KALMÁR CSANÁD SZAKDOLGOZAT

Átírás

1 KALMÁR CSANÁD SZAKDOLGOZAT

2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK SZAKDOLGOZATOK

3 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK KALMÁR CSANÁD SZAKDOLGOZAT Gerjesztési paraméterek hatása egy glicerinbe helyezett, harmonikusan gerjesztett, gömbszimmetrikus gáz buborékra Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc egyetemi adjunktus Témavezető: Dr. Hegedűs Ferenc egyetemi adjunktus Budapest, 2014

4 Szerzői jog Kalmár Csanád, Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés december 12. napján ér véget.

5 Ide kell befűzni az eredeti feladatkiírási lapot!

6 vi

7 NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: december 12. Dr. Hegedűs Ferenc Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Kalmár Csanád (FFZ7F0) a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a szakdolgozatot meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, december 12. Kalmár Csanád vii

8 viii

9 TARTALOMJEGYZÉK Előszó... xi Jelölések jegyzéke... xiii 1. Bevezetés Numerikus módszerek Buborékok viselkedése Fizikai modell Alkalmazások A dolgozat céljai A rendszer periodikus és kaotikus megoldásai Részletes matematikai modell Poincaré-metszet Kaotikus megoldás, Lyapunov-exponens Bifurkációs diagramok Szimulációk, eredmények Megoldó program Kontrollparaméter: nyomásamplitúdó Kontrollparaméter: gerjesztési frekvencia Eredmények értékelése, összefoglalás Eredmények értékelése Összefoglalás Javaslatok, következtetések, tanulságok Summary Felhasznált források ix

10 x

11 ELŐSZÓ Közhiedelmekkel ellentétben a tudomány messze nem ismeri még tökéletesen a természet viselkedését. A fenntarthatóság érdekében nagy szükség van az ismeretlen területek kutatására, fejlesztésére. Ilyen terület az akusztikusan gerjesztett buborékok dinamikai viselkedésének vizsgálata is. A számítástechnika fejlődésével lehetőség nyílt arra, hogy szimulációk segítségével előzetes megoldásokhoz jussunk bonyolult rendszerek viselkedésével kapcsolatban, ezáltal teret nyitva a gyakorlati használat számára. Ezen dolgozat abból a célból készült, hogy képet kapjunk az ultrahangos technológia alkalmazhatósági tartományairól, korlátairól, előnyeiről, hátrányairól. Az ipar számos területén használják már most is az akusztikai kezelést, pl. orvostudomány, élelmiszeripar, stb. Célunk, hogy a technológia a lehető legközelebbi jövőben, széles körben minél nagyobb teret nyerjen, ezáltal új alkalmazásokat, módszereket, gyógymódokat hozva létre az utókor számára. * * * KÖSZÖNETNYILVÁNÍTÁS Ezúton szeretnék köszönetet mondani témavezetőmnek, Dr. Hegedűs Ferencnek a téma megismertetéséért, a közös munkáért, az állandó és lelkes segítségnyújtásáért. Köszönettel tartozom családomnak, akik végig támogattak a munka során, és biztosították a csendes, nyugodt hátteret számomra. Nem utolsó sorban pedig köszönöm barátaimnak, hogy mellettem álltak és segítettek, nélkülük nem születhetett volna meg ez a dolgozat. A teljesség igénye nélkül köszönet illeti Tokaji Kristófot, az órákon át tartó megbeszélésekért, hasznos ötleteiért, Hardi Aport, az orvosi alkalmazásokban adott praktikus tanácsaiért, valamint Varga Stefániát és Resch Nikolettát, akik a legnehezebb percekben is mellettem álltak és erőt adtak. Budapest, december 12. Kalmár Csanád xi

12 xii

13 JELÖLÉSEK JEGYZÉKE Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték g gravitációs gyorsulás (9,81) m/s 2 p nyomás Pa v. bar T hőmérséklet C R buboréksugár m t idő s c hangsebesség m/s m tömeg kg Ma Mach-szám 1 Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték μ dinamikai viszkozitás Pa s Az alábbi táblázatban a többször előforduló jelölések magyar nyelvű elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. Mértékegység Mértékegység ρ sűrűség kg/m 3 ν kinematikai viszkozitás m 2 /s σ felületi feszültség N/m ω körfrekvencia rad/s λ Lyapunov-exponens 1 Indexek, kitevők Jelölés i G V L E Megnevezés, értelmezés általános futóindex nem kondenzálódó gázfázis gőzfázis folyadékfázis távoltéri egyensúlyi xiii

14 ii

15 1. BEVEZETÉS 1.1. Numerikus módszerek A fizika és a mérnöki gondolkodás több évszázados múltra tekint vissza. A tudomány egyik legfontosabb célkitűzése volt mindig is, hogy a természet működését, fizikai törvényeit matematikai egyenletek formájába öntse. Híres, kevésbé híres tudósok, filozófusok, mérnökök jutottak el hosszabb, rövidebb úton a természettudományok pár tucat axiómájából a gyakorlat számára igen fontos és sűrűn használt egyenletekig, összefüggésekig, pusztán a matematika és a logika törvényszerűségeit felhasználva. A végeredményt megelőzhette több éves, évtizedes kitartó munka, mérési folyamat, de születhetett zseniális gondolat egyik pillanatról a másikra is. Példaként megemlíthetjük Sir Isaac Newton jól ismert történetét az almafáról, vagy éppen Arkhimédész híres felkiáltását. A kapott egyenletek természetesen sokfélék, melyekre megannyi megoldási módszer létezik, a legegyszerűbb összeadástól a legbonyolultabb egyenletrendszerig. Sok esetben azonban a gondolatmenet végén kapott összefüggés ugyan leírja a természet viselkedését, az egyenlet megoldása, illetve alkalmazása nehézkes, időnként akár lehetetlennek is tűnhet. A gyakorlatban általában valamilyen jelenség térbeli eloszlására, illetve időbeli lefutására vagyunk kíváncsiak (pl. mechanikai feszültség a rúd hossza mentén, nyomáseloszlás egy zárt térben, stb.). A keresett egyenlet tehát legtöbbször valamilyen egyvagy többváltozós függvény. Egy olyan egyenlet, amelynek megoldása függvény, szükségképpen differenciál-egyenlet, vagy differenciálegyenlet-rendszer. A matematika ugyan kínál eszközöket differenciál-egyenletek, egyenletrendszerek analitikus megoldására (pl. változók szétválasztása, karakterisztikus egyenlet megoldása, stb.), viszont ezek meglehetősen csekély számú egyenletre alkalmazhatóak. A legtöbb esetben a fentebb említett, valamilyen gondolatmenet végén kapott differenciál-egyenlet nem lineáris, megoldására ismert analitikus megoldás nem létezik, vagy ha létezik is, annyira bonyolult és hosszadalmas lenne, hogy belefogni sem érdemes. A gyakorlat számára azonban létezik megoldási eljárás, melyet numerikus megoldásnak nevezünk. A módszer lényege a következő: a keresett függvényt nem analitikus formában adjuk meg, hanem az értelmezési tartomány bizonyos diszkrét pontjaiban a függvény konkrét számértékét határozzuk meg. Amennyiben az értelmezési tartomány felosztása elég sűrű, a kapott eredményeket diagramon ábrázolva elegendően jó közelítést kapunk, ezáltal a mérnöki gyakorlat számára a későbbiekben méretezési, tervezési célra megfelelő megoldás áll rendelkezésre. A numerikus megoldás tehát 1

16 nem folytonos függvény, hanem pontsorozat, mely megfelelő sűrítés esetén kellően jól közelíti a keresett függvényt. A numerikus módszerek ötlete már évszázadokkal ezelőtt felmerült, ám a 20. század közepéig gyakorlati alkalmazhatósága korlátolt volt. A módszer legnagyobb hátránya az, hogy kellően pontos megoldást csak viszonylag nagy mennyiségű számítás után kapunk. Ekkora kapacitás a számítástechnika előtérbe kerüléséig elérhetetlen volt. Az utóbbi évben azonban az informatika rohamos térnyerése elősegítette a numerikus módszerek fejlődését, hiszen lehetővé vált százezer, akár millió ismeretlenes lineáris egyenletrendszerek viszonylag rövid idő alatt történő megoldása. Mára a technika odáig fejlődött, hogy a kereskedelemben megfizethető áron kapható személyi számítógépek képesek valós, gyakorlati feladatokat órákon, akár perceken belül megfelelő pontossággal megoldani Buborékok viselkedése Ezen dolgozat során buborékok viselkedését vizsgáljuk, ezért érdemes összefoglalni viselkedésük alapjait. Először is, a buborékot gömbszimmetrikusnak modellezzük. Bár a szakirodalomban előfordul más lehetőség is (pl. kavitáció, buborékfelhő, stb.), jelen esetben ez a közelítés megfelelő lehet. A buborék geometriáját leginkább befolyásoló tényező a felületi feszültség, mely a buborékot minél kisebbre, és minél inkább gömb alakúra próbálja összehúzni. Nagy buboréksugár esetén kevésbé, kisméretű buborékoknál ez a feltételezés igen jónak bizonyul (lásd Koch et al. 2011). Magára hagyott rendszerben egy buborék felvesz egy egyensúlyi állapotot, sugara RE egyensúlyi sugár lesz. Az egyensúlyi sugár értéke csak a környezeti, illetve anyagjellemzőktől függ (lásd később). Megjegyezzük, hogy esetünkben nem kell 10 cm átmérőjű buborékokra gondolni, a vizsgálat során a maximális buboréksugár ~1 mm, az egyensúlyi buboréksugár ~0,1 mm. Az egyensúlyi állapothoz képest megnövelt buboréksugár esetében, a folyadék tehetetlensége miatt rendkívül nagy buborékfal-sebességek jöhetnek létre. Ennek hatására a pillanatnyi nyomás elérheti az 1000 bar-os nagyságrendet, a hőmérséklet pedig akár a 8000 K-t is, lásd Brennen (1995). Egy tipikus buboréksugár-idő kapcsolatot mutat az 1.1. ábra. 2

17 1.1. ábra: Tipikus buboréksugár-idő kapcsolat Megfigyelhető, hogy bizonyos időközönként (0,33, 0,56, ms) a buborék nagyon gyorsan, kis méretre zsugorodik, majd újra kitágul. Ezt a jelenséget nevezi a szakirodalom összeroppanásnak. Az összeroppanás környékén a buborékfal sebessége a Mach-szám nagyságrendjébe esik, értéke jelen esetben a 3000 m/s-ot is eléri. A magas Mach-számok miatt lökéshullámok keletkezhetnek, valamint a kialakuló magas hőmérséklet és nyomás kémiai reakciók beindulását idézheti elő. A buborék belsejében a szobahőmérsékleten többatomos molekulák (O2, H2, H2O) a magas hőmérséklet hatására disszociálhatnak, belőlük H, O, HO2, H2O2 szabad gyökök képződhetnek, melyeket Kenthale et al. (2008), valamint Storey és Szeri (2000) numerikusan is igazolt. Taleyakhan et al. (2002) kimutatta, hogy a hőmérséklet a buborék belsejében elérheti a K-t is, így akár fúziós reakciók is lejátszódhatnak. Ez a jelenség a jövőben akár egy hasznos energiatermelési folyamat lehet az emberiség számára. A következőkben összefoglaljuk a szakirodalomban megtalálható legfontosabb, illetve legelterjedtebb buborékmodelleket Fizikai modell A BUBORÉK FIZIKAI LEÍRÁSA Tekintsünk egy gömbszimmetrikus buborékot végtelen folyadéktérben, az 1.2. ábra alapján. 3

18 1.2. ábra: Gömbszimmetrikus buborék végtelen folyadéktérben Célunk a buboréksugár időfüggésének, R(t)-nek meghatározása. Ehhez a tömeg-, energia- és impulzustranszport megmaradási egyenleteit kell megoldani, mind a gáz, mind a folyadék oldalon. Az egyenletek megoldásához a szükséges változók (1.2 ábra alapján): u radiális falsebesség, p nyomás, T abszolút hőmérséklet, ci valamely komponens koncentrációja. A megmaradási egyenletek megfelelő peremfeltételekkel kapcsolódnak egymáshoz. Ezek pontos leírása meglehetősen bonyolult, mert a határfelület közelében nem egyensúlyi jelenségek játszódhatnak le, melyekhez igen összetett termodinamikai folyamatok ismerete szükséges (lásd Cercignani 2000, és Fujikawa 2009). A hőmérséklet növekedésével az ideális gázmodell, illetve a lineárisan összenyomható folyadékmodell meglehetősen pontatlanná válik. Ha a hőmérséklet eléri a kritikus pontot, többparaméteres állapotegyenletre van szükség, ahogy azt a Haar Gallagher Kerr modell is leírja (lásd Haar et al. 1988). Sőt, amennyiben a fentebb említett disszociációk is lezajlanak, kémiai egyenletek, modellek használata is szükségessé válik. Összefoglalva tehát, a pontos, minden körülményt figyelembe vevő modell megoldásához legalább 6 parciális differenciál-egyenlet megoldása szükséges, ha a kémiai reakciókat is figyelembe vesszük, akkor komponensenként még két (a buborékfal belső és külső oldalán) egyenlet adódik. Habár az ilyen pontosságú modellek használata meghaladja ezen dolgozat kereteit, természetesen bizonyos feltételezésekkel, egyszerűsítésekkel élve megfelelő pontosságú, és gyakorlatban jól használható eredményeket kaphatunk. 4

19 EGYSZERŰSÍTETT BUBORÉK-MODELLEK Ha a folyadékot összenyomhatatlannak tekintjük, a mozgásegyenlet integrálható a buborékfaltól a végtelenig. Homogén hőmérséklet-eloszlást feltételezve, valamint eltekintve a buborékfal két oldala közötti gázdiffúziótól, az úgynevezett Rayliegh Plesset-féle buborékmodellhez jutunk (1949), mely egy másodrendű, nemlineáris, közönséges differenciál-egyenletet ad a buboréksugár időbeli változására. Ez a modell még összenyomhatatlan folyadékkal számol, a modellt módosítva lehetőség van figyelembe venni a folyadék összenyomhatóságát is (lásd Gilmore 1952, Keller és Kolodner 1956, Keller és Miksis 1980). Amennyiben fázisváltozás történik a buborék mozgása során, a folyadékban figyelembe kell venni a hőtranszportot is, a magas párolgási-, ill. kondenzációs hő miatt. Ez különösen fontos, ha a környezeti hőmérséklet és nyomás a gőz tenziógörbéjének közelében van (lásd Plesset és Zwick 1952, Dassie és Reali 1996). Ha a buborék belsejében, térben homogén tulajdonságokat feltételezünk, a gáz állapotváltozása igen jól közelíthető politropikus állapotváltozásként. Habár ez a megoldás meglehetősen egyszerű, a politróp kitevő megválasztása nem magától értetődő, megfelelő választás csak kis amplitúdójú, lineáris rezgések esetén ad kellően pontos eredményt (lásd Prosperetti, 1976). Ha pontosabb modellel akarunk dolgozni, vagy a nyomás és a hőmérséklet a buborékon belül nem homogén, a fizikai modellt fejleszteni kell. Számos irodalom foglalkozik a buborék belsejének összetettebb leírásával, törekedve a lehető legegyszerűbb matematikai eszközök felhasználására (Prosperetti et al. 1988, Akhatov et al. 2001, Kim et al. 2006, stb.). Ezek a modellek figyelembe veszik a buborékfalon keresztül történő hővezetést, a Navier Stokes-egyenletet, stb. Az egyik legpontosabb buborékmodellt Storey és Szeri publikálta 2000-ben. A modell teljes hidro- és termodinamikai egyenletrendszert, valamint a Soave Redlich Kwong állapotegyenletet használja AZ ALKALMAZOTT BUBORÉK-MODELL Tekintsük az alábbi egyszerűsítéseket: a nem kondenzálódó gáz ideális gázként viselkedik, és teljes mértékben keveredik a gőzfázissal. A gáz diffúziója a folyadékba, valamint a reakciókinetika nincs modellezve. A folyadék összenyomhatatlan, a gáz ideális gázként viselkedik, n politróp kitevővel, valamint a folyadék hőmérséklete állandó. Ezeket feltételezve felírható a klasszikus Rayleigh Plesset (RP) egyenlet (lásd Brennen, 1995), mely számos újabb modell alapjául szolgál: ahol 3 R 2 + RR = 1 (p 2 ρ V p (t) + p g0 ( R 0 R )3n R 4μ 2σ ), (1.1) R R 5

20 R = R(t), a buboréksugár az idő függvényében [m], pv a gőznyomás [Pa], p (t) a buboréktól távoli nyomás [Pa], ami általában egy szabályozható függvény, pg0 a referencianyomás [Pa], R0 a referenciasugár [m], n a politropikus kitevő [-], μ a folyadék dinamikai viszkozitása [Pa s], σ a felületi feszültség [N/m]. A pontok rendre az idő szerinti deriváltakat jelölik. Az RP-modell a folyadékot összenyomhatatlannak tekinti, vagyis végtelen hangsebességet feltételez a folyadékban, tekintve, hogy a hangsebesség a folyadék rugalmassági modulusának négyzetgyökével arányos (lásd Lajos, 2008). A dolgozat során azonban, a nagy falsebességek miatt szükség van a folyadék öszszenyomhatóságának figyelembe vételére. Ezen megfontolásból, módosítva az egyenletet, az ún. Keller Miksis (KM) egyenlethez jutunk (lásd Keller és Miksis, 1980): ahol (1 R 3c L ) 3 2 R 2 + (1 R c L ) RR + ( 4ν c L R ) = = 1 ρ L [(1 + R c L ) (p V p (t)) + (1 + (1 3n) R c a folyadékbeli hangsebesség [m/s], ν a folyadék kinematikai viszkozitása [m 2 /s]. c L ) p g0 ( R 0 R )3n 4μ R R 2σ R ], (1.3) Látható, hogy az egyenlet csak egy új változót tartalmaz az RP-hez képest (a kinematika viszkozitás a dinamikai viszkozitás és a sűrűség hányadosa), mégpedig a c hangsebességet. Továbbá megfigyelhető, hogyha a hangsebesség helyére az összenyomhatatlan közegre érvényes végtelen értéket helyettesítjük, visszakapjuk az RPegyenletet. Innentől kezdve a dolgozatban a megoldandó egyenlet a KM-egyenlet, mely már figyelembe veszi a folyadék összenyomhatóságát, így az RP-egyenlet egy pontosabb, kiterjesztett változata Alkalmazások Az ún. kavitáció során a kialakuló alacsony nyomás hatására a folyadék forrni kezd, a kialakuló gőzbuborékok összeroppanása a gyakorlatban legtöbbször kerülendő jelenség. A fent említett fizikai és kémiai folyamatok többnyire az áramlástechnikai gépek roncsolásához, tönkremeneteléhez, vagy az élettartam jelentős csökkenéséhez vezetnek. Az utóbbi évtizedekben azonban a technológia rohamos fejlődése miatt előtérbe kerültek olyan kutatási területek, ahol az ultrahanggal gerjesztett folyadékban 6

21 lejátszódó kavitációs jelenségeket hasznosítani lehet. Ezen alkalmazások általában a keletkező nagy hőmérséklet-, illetve nyomásértékeket, vagy a kialakuló lökéshullámokat használják ki. Fő cél az összeroppanáskor létrejövő extrém körülmények miatti anyag-, hő- és impulzusáram növelése a fázisok között. A következőkben tekintsünk néhány technológiát, melyek alkalmazása hasznos lehet az ipar számára a közeljövőben SZENNYVÍZKEZELÉS Egy szennyvízkezelési alkalmazást mutat be cikkében Mahvi (2013). Azt a fentebb említett jelenséget használja, hogy a buborék összeroppanása során kialakuló extrém magas hőmérsékleten (akár 8000 K) a víz molekulái hidrogénre, oxigénre, valamint egyéb, normál körülmények között nem stabil molekulákká disszociálnak. Így a szennyvíz szervesanyag-tartalma segédanyag hozzáadása nélkül oxidálható. A szennyvíz számos összetevőjének ártalmatlanításáról említést tesz. A baktériumtartalom akár 99,9%-os eltávolítása is lehetséges 80 perces ultrahangos kezelés során (lásd 1.3. ábra). Lehetőség van továbbá az alga-, gomba-, illetve élősködőtartalom jelentős csökkentésére, valamint egyéb szennyezők kiszűrésére ábra: Ártalmatlanított baktériumok az idő függvényében (Mahvi, 2013 nyomán) A módszer előnyeként említi meg, hogy külön hozzáadott anyag nélkül lehetséges a szervesanyag-tartalom csökkentése, ezáltal a keletkezett iszap is könnyebben kezelhetővé válik. Így csökken a károsanyag-kibocsátás, valamint a veszélyes hulladékok 7

22 keletkezése is. Hátrány, hogy a módszer még csak mostanában került előtérbe, így a mindennapos használat elterjedéséhez még idő kell ANYAGTUDOMÁNY Habár az új polimerek kutatása nagy érdeklődést vonz, a műanyagipar jelentős figyelmet fordít a már meglévő anyagok fejlesztésére. A felületi tulajdonságok változtathatósága különösen fontos cél. Az anyagtulajdonságok jelentősen függenek a molekulatömegtől és a mikroszerkezettől, ezért ezek pontos szabályozása kritikus kérdés. Kenneth és Gareth (1999) arról számol be cikkében, hogy folyadék állapotban történő ultrahangos besugárzás során a létrejövő lökéshullámok hatására fizika változások történnek a műanyagokban. Javulnak a keveredési tulajdonságok a különböző segédanyagokkal, színezőanyagokkal, valamint az olvadási, illetve szilárdági tulajdonságok is kedvezőbbé válnak. A degradáció (terhelés hatására bekövetkező molekulahossz-csökkenés) volt az első jelenség, melyre az ultrahangos technológia pozitív hatását kimutatták. A besugárzás segítségével módosítható a polimerek molekulatömegeloszlása, előre meghatározott mértékben csökkenthető a polimer láncok hossza. Ennek köszönhetően lehetőség nyílik az anyag fizikai tulajdonságainak szabályozására. Egy tipikus molekulatömeg-besugárzási idő diagramot mutat be az 1.4. ábra ábra: Besugárzási idő hatása polisztirolok molekulatömegére (Kenneth és Gareth, 1999 alapján) 8

23 Belátható, hogy a degradáció nagy molekulatömegnél sokkal gyorsabb, valamint létezik egy Mlim határérték, amely alá a molekulatömeg nem csökken (esetünkben ~ g/mol). Megfigyelték, hogy ez a jelleg minden típusú makromolekulánál mutatkozik, vagyis ez a közös viselkedés nem függ a molekula kémiai összetételétől. Kedvező hatásokat mutattak ki a fémtechnológia területén is. Az ultrahangos besugárzás felgyorsítja a kémiai reakciókat folyadék-szilárd heterogén rendszerekben. A gyakorlatban sűrűn használt reagens fémek (pl. magnézium, cink, lítium) reaktivitását akár tízszeresére sikerült növelni, melléktermék keletkezése nélkül. A reakciók meggyorsítása érdekében fontos, hogy a fémpor minél finomabb szerkezetű legyen, vagyis a szemcsék méretének csökkentése kiemelt szempont. Besugárzás nélkül a részecskék jelenleg elérhető legkisebb mérete ~200 μm. Folyadék-szilárd keveréket besugározva a magas Mach-számok miatt kialakuló lökéshullámok hatására a közeli szemcsék egymással ütközhetnek. Ha az ütközés megfelelő szögben történik, a részecskék megolvadhatnak, illetve széttöredezhetnek, ezáltal elérhető akár 100 μm alatti szemcseméret is (lásd 1.5. ábra) ábra: Besugárzás hatása fémporok szemcseméretére (Kenneth és Gareth, 1999 alapján) Besugárzás hatására a szemcseméret-csökkentés mellett az egyes fémeket körülvevő oxid-, nitridréteg, illetve széntartalmú bevonat leválik az anyagról, ezzel is növelve a reaktivitást. Belátható tehát, hogy az anyagtudomány területén is számos helyen alkalmazható az ultrahangos besugárzás, lehetővé téve az olcsóbb, gyorsabb, és környezetbarát termelést. 9

24 ÉLELMISZERIPAR Az élelmiszeriparban is jelentős kutatások folynak az ultrahangos technológia területén (Chemat et al., 2011). A fő célok az élelmiszerek kezelési idejének csökkentése, energia megtakarítás, valamint a minőség hosszabb ideig történő megőrzése. Az eddig használatos technológiák (pl. hőkezelés, vákuumhűtés, magas nyomású kezelés, stb.) jó minőséget biztosítanak, de csak magas költségek, szakmai tudás és ellenőrzés mellett működnek megbízhatóan. A technológiák három különböző terület szerint csoportosíthatóak: közvetlen alkalmazás a termékre, összekapcsolás már meglévő módszerekkel, valamint alámerítés ultrahangos fürdőbe. Az ipar számos helyén fellelhető az ultrahangos technológia alkalmazása, a következőkben ezekből néhány kerül bemutatásra a teljesség igénye nélkül. A szűrés területén az egyik legnagyobb probléma a szűrőmembrán anyagának elöregedése, tönkremenetele. A szűrési technológiát ultrahanggal kombinálva (folyamatos kavitációt hoznak létre a szűrőfelületen), megnő a membrán élettartama, nő az átáramló térfogatáram, valamint a be- és kimenő koncentrációk különbsége is. Gyümölcssűrítmények és italok gyártása közben az eddig alkalmazott eljárások során a nedvességtartalom 85%-ról 50%-ra csökken, míg ultrahangos technológiát használva akár 38%-ra is csökkenhet. A hab nem más, mint gáz diszperziója folyadékban, melyet széles körben alkalmaznak mind az élelmiszer-, mind a kozmetikai iparban. Intenzív habzás azonban számos technológiai folyamat során káros jelenség, csökkenti a termelékenységet, valamint környezetet is szennyezi. Az iparban hagyományosan mechanikus törőkkel, hőmérséklet-csökkentéssel, valamint kémiai anyagok (habmentesítők) hozzáadásával védekeznek a habosodás ellen. Ezek a módszerek azonban jelentős problémákat hordoznak: a mechanikus megoldások csak durva habok ellen hatékonyak, hőfeszültsé-gek alakulhatnak ki, a habmentesítők hatására csökken a felületi feszültség, stb. Ezzel szemben magas intenzitású ultrahang-hullámok jelentős habtalanító hatást fejtenek ki. Erre a célra egy új típusú ultrahang-generátort fejlesztettek ki (lásd 1.6. ábra), melynek hatására a legtöbb buborék azonnal eltűnik. A tökéletes eredmény eléréséhez fontos az intenzitás pontos beállítása, valamint a rövid tartózkodási idő is. A folyadékok legtöbbször tartalmaznak oldott oxigént, szén-dioxidot, vagy nitrogént, melyek eltávolítása fontos a termék minőségének megőrzése érdekében. Hagyományosan forralással, illetve nyomáscsökkentéssel oldják meg a kigázosítást, viszont az ultrahangos technológia nagy előnye, hogy kis hőmérséklet-változással jár. Ennek során a gázmolekulák összetapadnak, és kellően nagy növekedés után képesek a folyadék felszínére úszni. 10

25 1.6. ábra: Habtalanító berendezés vázlata (Chemat et al., 2011 alapján) Ezt a technológiát alkalmazzák többek között sörök, borok, egyéb italok gáztartalmának csökkentésére, melynek hatására jelentősen csökkent az eltört üvegek száma, illetve a folyadékok túlcsordulása is. Itt említjük meg, hogy folyadékból történő gáztalanításra ismert egy másik módszer, az ún. egyenirányított diffúzió ( rectified diffusion ). A módszer nem kapcsolódik szorosan a buborékdinamika kérdésköréhez, itt egy speciális eljárással az oldott gázokat a buborékba diffundáltatják, ezáltal nő a buborék mérete. Így egy bizonyos méret után a buborék magától felúszik a folyadék felszínére, ami ezek után könnyen eltávolítható ORVOSTUDOMÁNY Mai napig az orvostudomány egyik legfontosabb területe a rákbetegségek gyógyítása, kezelése. Az utóbbi időben számos kutatás zajlott azzal kapcsolatban, hogy az ultrahangos technológiát hogyan lehet hatékonyan alkalmazni a különböző rákos szövetek gyengítésére illetve elpusztítására. Yu et al. (2003) cikkében arra mutat rá, hogy az ultrahangos besugárzásnak kitett rákos sejtek membránjának jelentősen nő a permeabilitása, ezáltal ugyanakkora koncentrációjú beadott citotoxikus gyógyszer több rákos sejtet tud károsítani. Ez arra ad lehetőséget, hogy ugyanolyan hatékony kezelést érjünk el alacsonyabb besugárzási dózis mellett. A besugárzás sejtmembránokra gyakorolt hatását illusztrálja az 1.7. ábra. 11

26 1.7. ábra: Ultrahangos besugárzás hatása a sejtmembránokra (Yu et al., 2003 alapján). Az ábrán A-val a kapszulált gyógyszermolekulák, B-vel a kavitációs buborékok vannak jelölve. Látható, hogy besugárzás után a sejtmembránok széttöredeznek, ezáltal lehetővé téve a sejtbe való könnyebb behatolást a gyógyszerek számára. Ezt a jelenséget erősíti meg Rosenthal et al. (2004). Ez azért kivételesen fontos, mert csökkenteni lehet a beadagolt gyógyszer mennyiségét, így az egészséges szövetekre gyakorolt káros hatások jelentős mértékben csökkenthetők (immunrendszer károsodása, hajhullás, láz, rosszullét, stb.). A cikk foglalkozik továbbá a rák egy másik ismert kezelési módjával, a génkezeléssel is. Ezzel a módszerrel közvetlenül a rákos DNS-t próbálják meg gyógyítani, pontosabban a letális gént kicserélni. Az egyik legnagyobb kezelendő probléma, hogy a besugárzást nagy pontossággal kell lokalizálni a rákos szövetekre, mert az egészséges szövetekre is rossz hatással van. A cikk szerint az ultrahangos besugárzás a génkezelés hatékonyságát egyértelműen növeli. Két különböző intenzitású és frekvenciájú besugárzásról számol be (állandó, valamint tüskeszerűen kiugró intenzitás mellett), melyek során 50, illetve 65 %-os hatékonyság-növekedést tapasztaltak A dolgozat céljai A fentebb említett számos gyakorlati alkalmazás miatt is hasznos és szükséges az ultrahangos technológiát kutatni, fejleszteni, melynek alapja buborékdinamika. Ezért a dolgozat során gömbszimmetrikus buborék viselkedését vizsgáljuk harmonikusan változó nyomástérben. Fő kérdés, hogy két meghatározott, független gerjesztési paraméter, a nyomásamplitúdó, és a gerjesztési frekvencia változtatásával a felhasznált Keller Miksis-egyenletre milyen megoldás, megoldások adódnak. Látni fogjuk, hogy a rendszer bizonyos intervallumokban jól meghatározható, szabályos, periodikus viselkedést mutat, máshol viszont rendezetlen, kaotikus megoldásokat kapunk eredményül. A különböző megoldások különböző tulajdonságokkal rendelkeznek (pl. a lökéshullám nagysága, maximális nyomás, stb.). Cél az eredmények megjelenítése nyomásamplitúdó-gerjesztési frekvencia paramétersíkon. A számítások során a folyadék anyaga glicerin, melynek sűrűsége a vízhez közeli (1,261 g/cm 3 ), viszont viszkozitása több nagyságrenddel nagyobb (1,5 Pa s). Ez várha- 12

27 tóan stabilabb viselkedést, kisebb buborékfal-sebességeket eredményez (pl. vízhez képest), ami probléma, hiszen gyakorlat számára hasznos lökéshullámok csak nagy Mach-számoknál alakulnak ki. A kapott eredményeket vizsgálva képet kapunk arról, hogy mely tartományokban alkalmazható, melyekben kerülendő az ultrahangos technológia, mely paramétereket, hogyan érdemes növelni illetve csökkenteni a megbízható, gazdaságos alkalmazás céljából. 13

28 14

29 2. A RENDSZER PERIODIKUS ÉS KAOTIKUS MEGOLDÁSAI 2.1. Részletes matematikai modell A FELHASZNÁLT EGYENLET Tekintsük ismét a már fentebb említett Keller Miksis-egyenletet (1.3): (1 R ) 3 3c L 2 R 2 + (1 R ) RR + ( 4ν L R ) = c L c L = 1 ρ L [(1 + R c L ) (p V p (t)) + (1 + (1 3n) R 15 c L ) p g0 ( R 0 R )3n 4μL R R 2σ R ] (2.1) Ez egy másodrendű, közönséges, nemlineáris differenciál-egyenlet. A modell harmonikus gerjesztést feltételez. Az egyenletben használt jelölések: R(t) az időfüggő buboréksugár [m], cl a folyadékban vett hangsebesség [m/s], ρl a folyadék sűrűsége [kg/m 3 ], νl a folyadék kinematikai viszkozitása [m 2 /s], pv a gőznyomás [Pa], p (t) a buboréktól távoli nyomás [Pa], n a politropikus kitevő, esetünkben kétatomos gázra n = 1,4, pg0 a referencianyomás [Pa], R0 a referenciasugár [m], μl a folyadék dinamikai viszkozitása [Pa s], σ a felületi feszültség [N/m]. A távoli nyomás (p (t)) egy állandó és egy időben változó összetevőből áll: ahol P a környezeti nyomás [Pa], p A a gerjesztés nyomásamplitúdója [Pa], ω a gerjesztés körfrekvenciája [rad/s]. p (t) = P + p A sin(ωt) (2.2) Amennyiben a gőz és a gáz is ideális gáznak tekinthető, a buborék belsejében az öszszenyomás a komponensek parciális nyomásának összegével egyenlő. Ez alapján a buborékfalon belüli és kívüli nyomások közötti kapcsolat a következőképpen írható (lásd Lajos, 2008): ahol p G + p V = p L + 2σ R + 4μ L R R (2.3)

30 p G a nem kondenzálódó gáz nyomása [Pa], pv a gőznyomás [Pa], pl a folyadék nyomása a buborékfal közelében [Pa]. A buborék belsejében lévő, nem kondenzálódó gáz nyomását egyszerűen politropikus állapotváltozásként számolhatjuk: ahol p g0 a referencianyomás [Pa], R0 a referenciasugár [m]. p G = p g0 ( R 0 R )3n (2.4) Megjegyzendő, hogy pg0 és R0 értékei az ideális gáztörvény alapján együttesen meghatározzák a buborékban lévő gáz tömegét, így a buborék méretét is ANYAGJELLEMZŐK Az anyagjellemzők a számítások során állandónak tekinthetők, értékük P, T ismeretében állapotegyenletből, anyagtörvényből számítható. A folyadék anyaga glicerin, melyben speciálisan az anyagjellemzők nyomásfüggése jó közelítéssel elhanyagolható. A számszerű értékeket a Dow Chemical Company 1 eredményei alapján határoztuk meg. n = 1,4 kétatomos gáz esetén, p V = f(t ) = 0,1244 Pa, ρ L = f(t ) = 1249 kg/m 3, σ = f(t ) = 0,062 N/m, μ L = f(t ) = 0,284 Pa s, c L = f(t ) = 1886,5 m/s GERJESZTETLEN RENDSZER, EGYENSÚLYI BUBORÉKSUGÁR Ahhoz, hogy teljesen megértsük a buborék viselkedését, meg kell vizsgálnunk a rendszert gerjesztés nélküli állapotban. Ebben az esetben a buboréksugár értéke beáll egy, a környezeti paraméterek által meghatározott egyensúlyi értékre. Ezt az értéket egyensúlyi buboréksugárnak nevezzük, jele: RE. Tekintve, hogy RE értéke hosszútávon állandó, ezért az összes derivált rendre zérus értékű, így a (2.1) egyenlet az alábbi alakra egyszerűsödik: 0 = p g0 ( R 0 R E ) 3n + (pv P ) 2σ R E. (2.5) 16

31 A nem kondenzálódó gáz pg0 és R0 referenciaértékei tetszőlegesen megválaszthatók, együtt egyértelműen meghatározzák a gáz tömegét a buborékon belül: ahol R a specifikus gázállandó [ J m G = p g0v 0 kg K 4 3 = p g0r 3 0 π R T R T, (2.6) ], levegőre R = 287,058 [ J kg K ]. Amennyiben R0 helyett RE-t választjuk szabad paraméternek, valamint R0 helyére RE-t helyettesítünk, a pg0 referencianyomás (2.5) alapján kiadódik: p g0 = 2σ R E (p V P ) (2.7) Ezzel az eljárással tehát RE, mint változtatható paraméter segítségével pg0 már nem szabadon választható, hanem kiadódik (R0 = RE esetén). A továbbiakban bemenő adatként RE-t kell majd megadni, ami egyértelműen meghatározza a buborék méretét ELSŐRENDŰ RENDSZER Ismert, hogy egy másodrendű differenciál-egyenlet, mint (2.1) is, felírható két, elsőrendű differenciál-egyenletből álló egyenletrendszer alakjában. Ez azért szükséges, mert a numerikus megoldók ebben az alakban tudják az egyenletet kezelni. Ehhez be kell vezetnünk új változókat: Y 1 = R, (2.8) Y 2 = R. (2.9) Az új változókat alkalmazva, felírható az elsőrendű differenciálegyenlet-rendszer: Y 1 = Y 2, (2.10) Y 2 = N D, (2.11) ahol N = p L p (t) + Y 2 ω cos(ωt) (p ρ L Y 1 c L ρ L Y G (1 3n) p (t) + p V ) (1 X 2 ) 3 Y2 2, (2.12) 1 c L ρ L 3c L 2 Y 1 D = 1 X 2 + 4μ L. (2.13) c L c L ρ L Y DIMENZIÓTLAN RENDSZER Annak érdekében, hogy az eredményeket jól, szemléletesen össze lehessen hasonlítani, az egyenletekben szereplő mennyiségeket dimenziótlanítani szokás. Vezessünk be dimenziótlan változókat: 17

32 Dimenziótlan idő: Dimenziótlan buboréksugár: t τ = ( 2π = t ( ω ) (2.14) ω ) 2π Dimenziótlan buborékfal-sebesség: y 2 = Y 2 = Y ( R E ω 2π ) 2 Dimenziótlan gerjesztési frekvencia: ahol y 1 = Y 1 R E (2.15) ω r = ω ω n, 2π R E ω (2.16) (2.17a) ω n az egyensúlyi buboréksugárhoz tartozó, ún. természetes csillapítatlan frekvencia, mely az egyensúlyi buboréksugár függvénye, és az alábbi képlettel számolható (lásd Brennen 1995): ω n (R E ) = 3(P p V ) ρr E 2 + 4σ ρr E 3 8μ2 ρ 2 R E 4. (2.17b) Ezek alapján a dimenziótlan egyenletrendszer a következő alakú: ahol N = p L p (t) + y 2 p ref y 1 μ A ref D = 1 M D + y 1 = y 2, (2.18) y 2 = N D, (2.19) (p y G (1 3n) p (t) + p V ) p A cos(2πτ) B 1 μ ref (1 M D ) 3 y 2 2, (2.20) 3 2 y 1 4μ L μ ref y 1. (2.21) A képletekben szereplő referenciamennyiségek: Referencianyomás: p ref = c L R E 2 ( ω 2π )2 (2.22) Referencia viszkozitások: A μ ref μ ref = c L ρ L R E (2.23) = c L ρ L R E ω 2π = μ ref ω 2π B ω μ ref = c L ρ L R E = μ A 1 (2π) 2 ref 2π (2.24) (2.25) 18

33 Mach-szám a dimenztiótlan mennyiségekkel: M = R Eωy 2 2πc L. (2.26) A nem kondenzálódó gáz nyomása az alábbi alakban írható (vö. 2.4 és 2.7): A folyadék nyomása a buborékfal közelében (vö. 2.3): A távoltéri nyomás (vö. 2.2): p G = ( 2σ R E (p V P )) ( 1 y 1 ) 3n. (2.27) p L = p G + p V 2σ R E y 1 4μ L ( ω 2π ) y 2 y 1. (2.28) p (t) = P + p A sin(2πτ). (2.29) Látható, hogy (2.29) alapján a gerjesztés periódusideje τ0 = 1. Megjegyzendő, hogy a dimenziótlan egyenletekben a pontok már a τ dimenziótlan idő szerinti deriváltakat jelölik ÖSSZESÍTÉS Előállítottuk tehát a megoldandó dimenziótlan egyenletrendszert, mely két, elsőrendű, közönséges, nemlineáris differenciál-egyenletből áll. Az egyenletrendszer bemenő paraméterei a következők: pa a gerjesztés nyomásamplitúdója [Pa], ωr a gerjesztés dimenziótlan körfrekvenciája [-], RE egyensúlyi sugár [m], P a környezeti nyomás [Pa], T a környezeti hőmérséklet [ C], n a politropikus kitevő [-]. A számítások során használt paraméter-értékeket mutatja a 2.1. táblázat. Paraméter pa ωr RE P T n Mértékegység bar - m bar C - Érték Kontroll paraméter [0 5] Kontroll paraméter [0,1 3] , táblázat: bemenő paraméterek értékei a számítások során 19

34 2.2. Poincaré-metszet A dolgozat során gömbszimmetrikus buborék viselkedését vizsgáljuk periodikusan változó nyomású folyadéktérben, magas nyomásamplitúdó, illetve gerjesztési frekvencia mellett. A számítások glicerinre történnek, de megjegyzendő, hogy a Keller Miksis-egyenlet más anyagokra is jó megoldást ad. Az egyenlet nem lineáris, ezért különböző fajta, stabil megoldások létezhetnek egyszerre is, melyek tulajdonságai (buboréksugár, falsebesség, maximális Mach-szám, stb.) eltérőek lehetnek. Ezen megfontolásból fontos tudni, hogy a különböző megoldások hogyan viselkednek a paraméterek változtatása mellett. Időben változó, periodikus nyomásgerjesztésről lévén szó, a megoldás nem konstans, hanem szintén időben változó. Lineáris rendszerek esetén, állandósult állapotban a rendszer időfüggvénye olyan jellegű, amilyen a gerjesztő függvény, harmonikus gerjesztés esetén a válaszfüggvény periódusideje megegyezik a gerjesztés periódusidejével. Esetünkben viszont nemlineáris egyenletről van szó, ekkor a periódusidő a paraméterek függvényében változhat. Megfigyelhető, hogy a rendszer Tp periódusideje az alábbi alakban írható: ahol T p a rendszer periódusideje [s], k egész szám (1,2 ), T 0 a gerjesztés periódusideje [s]. T p = k T 0, (2.30) Vagyis a periódusidő felírható a gerjesztés periódusidejének egész számú többszöröseként. Ezek a megoldások a paraméterek változtatásával megváltoztathatják stabilitásukat, a rendszer periódusideje megváltozik. Az első bifurkációs számításokat Prosperetti (1974, 1975) publikálta. Francescutto és Nabergoj (1983) analitikus eredményeket közölt, kisebb amplitúdók esetén. Parlitz et al. (1990) számolt bifurkációs pontokat a nyomásamplitúdó-frekvencia paramétersíkon. Ahogyan (2.1)-ből is látszik, a rendszer explicit időfüggő, két dimenziós fázissíkon (y1,y2) ábrázolva az ún. trajektóriák metszhetik egymást, a megoldások szemléltetése bonyolult lehet. Két dimenziós fázissíkon mutat be egy megoldást a 2.1. ábra. Látható, hogy a vonalak több helyen is metszik egymást, azt, hogy a metszéspontból merre halad tovább a megoldás, csak a konkrét értékekből lehet megmondani. 20

35 2.1. ábra: Egy megoldás bemutatása kétdimenziós fázissíkon Emiatt a problémát szükségképpen az (y1,y2,τ) fázistérben ajánlott kezelni, így a trajektóriák biztosan nem metszik egymást. Viszont, ahogy már fentebb említésre került, a rendszer periódusideje a gerjesztés periódusidejének egész számú többszöröse, vagyis a három dimenziós fázistér a gerjesztés periódusidejével ismétlődik. Elegendő tehát az időtengely csak egy ismétlődő szakaszát vizsgálni, és azt kiterjeszteni az időben. Tekintsük most az (y1,y2,τ) fázisteret 2.2. ábra bal oldala szerint. y0 kezdeti értékről elindítva a rendszert, a megoldás bejár valamilyen trajektóriát (2.1)-nek megfelelően (az ábra bal oldalán fekete folytonos vonal). Egy T0 idő elteltével a megoldást visszavetítve a τ = 0 síkra (az ábrán S sík), megkapjuk P(y0) pontot (az ábrán piros szaggatott vonal). A trajektóriát innen folytatva, minden T0 elteltével visszavetítve a megoldást S síkra, N db periódusidő elteltével P N (y0)-ba jutunk. Más szóval mondva, az időtengelyt T0-anként elmetsszük egy rá merőleges síkkal, és az adott időpontban felvett (y1, y2) értékeket visszavetítjük a τ = 0 síkra (S). A fázistér fentebb meghatározott S síkján így azok a pontok jelennek meg, melyeket a megoldás az egyes periódusidők elteltével felvett. Ez az S sík látható 2.2. ábra jobb oldalán, melyet Poincaré-metszetnek nevezünk. Mivel a megoldás T0-nak egész számú többszöröse (lásd 2.30), egy idő után biztosan lesz egy olyan pont a Poincaré-metszeten, ami rá fog esni egy, már korábban megkapott pontra. Innentől kezdve, tovább folytatva az eljárást, a megoldás mindig egy, már meglévő pontra esik. Ebben az esetben a megoldást periodikusnak nevezzük, a periódusszám pedig nem más, mint a pontok száma a Poincaré-metszeten. A 2.2. ábra tehát egy három periódusú megoldást mutat, mert a Poincaré-metszeten 3 pont található. 21

36 2.2. ábra: A Poincaré-metszet elkészítése. Az ábrán egy 3 periódusú megoldás látható. Hegedűs (2012) alapján. Az így kapott Poincaré-metszet segítségével könnyen el tudjuk dönteni, hogy a megoldás hány periódusú, milyen tulajdonságokkal rendelkezik (Mach-szám, maximális, minimális nyomás, stb.) Kaotikus megoldás, Lyapunov-exponens Az előzőek alapján tehát azt láttuk, hogy bizonyos számú periódusidő elteltével biztosan visszajutunk a kezdeti pontba, ahonnan a megoldás már ismétlődik. A gyakorlat azonban azt mutatja, hogy léteznek olyan paraméter-tartományok, amelyeknél a megoldás akármilyen nagy számú periódusidő elteltével sem tér vissza a kezdeti állapotba. A megoldás ekkor is stabil, mert a Poincaré-metszet pontjai jól meghatározott, zárt síkrészben helyezkednek el, viszont a Poincaré-metszet elkészítésekor azt tapasztaljuk, hogy az N iterációszám növelésével nem jutunk vissza a kezdeti P(y0) pontba. Az ilyen típusú megoldást nevezzük kaotikus megoldásnak. Egy kaotikus megoldás Poincaré-metszetét mutatja a 2.3. ábra. Az ábrából jól kivehető, hogy az iterációszám növelésével sem jutunk vissza a kezdeti értékhez. 22

37 2.3. ábra: Kaotikus megoldás Poincaré-metszete. Kijelenthető, hogy a kaotikus megoldás csak végtelen sok T0 után tér vissza a kezdeti értékhez. Felmerül az igény, hogy használjunk egy olyan mérőszámot, ami alapján egyértelműen el lehet dönteni, hogy egy megoldás periodikus, vagy kaotikus. Erre a célra vezették be az ún. Lyapunov-exponenst. A módszer lényege a következő: vegyük az első iterációban kapott megoldás eredményét, számoljuk ki a távolságát a linearizált egyenlet megoldásától, nevezzük el d1- nek. A második iterációban kapott megoldás távolságát pedig d2-nek. A két távolság arányáról felírható, hogy: ahol λ a Lyapunov-exponens [-]. Mindkét oldal természetes alapú logaritmusát véve: d 2 d 1 = e λ, (2.31) ln ( d 2 d 1 ) = λ. (2.32) Ha minden egyes iterációhoz kiszámoljuk a Lyapunov-exponens értékét, majd ezeket átlagoljuk, az adott megoldásra jellemző átlagos Lyapunov-exponenst kapunk. ahol N az iterációk száma. 1 λ = lim ln N N (d 2 ), (2.33) d 1 A Lyapunov-exponens tehát nem más, mint két, egymáshoz nagyon közeli kezdeti értékről elindított megoldás exponenciális távolodásának mérőszáma. Látható, hogy ha 23

38 λ pozitív, (2.31) alapján d 2 d 1 növekszik, vagyis N növelésével a közeli megoldások távolodnak egymástól, a megoldás kaotikus. 2.4 ábra: A periódusszám, illetve a Lyapunov-exponens változásai. ωr = 1. Ha E negatív, d 2 csökken, a közeli kezdeti értékről indított megoldások közelednek d 1 egymáshoz, a megoldás stabil, periodikus. A periódusszám, valamint a Lyapunov-exponens értékeinek változását mutatja a 2.4 ábra. Látható, hogy azon az intervallumon, ahol a Lyapunov-exponens pozitív, a periódusszám nagy, vagyis a megoldás kaotikus, negatív E értékeknél viszont kicsi, a megoldás periodikus. Megjegyzendő, hogy a számítások során az iterációszámot 128-en maximalizáltuk, e felett a megoldást kaotikusnak tekintettük. A Lyaponov-exponens tehát szemléletesen azt jelenti, hogy a nagyon közelről indított megoldások az idő előrehaladtával közelednek, vagy távolodnak egymástól. Bevezetésével találtunk egy jó mutatószámot arra, hogy eldöntsük, kaotikus-e a megoldás, vagy sem, sőt, a Lyapunov-exponens előjele akár a periodikus illetve kaotikus megoldások definíciója is lehet. 24

39 2.4. Bifurkációs diagramok Megkaptuk tehát meghatározott paraméterértékhez a Poincaré-metszetet, valamint a Lyapunov-exponens segítségével el tudtuk dönteni, hogy a megoldás periodikus, vagy kaotikus (pl. a 2.4. ábrán pa = 4 bar, ωr = 1). Célunk azonban, hogy a teljes (pa,ωr) paramétersík viselkedéséről képet kapjunk. Ezt úgy tudjuk elérni, hogy valamelyik kontrollparamétert kis lépésközönként növelve, a másikat állandó értéken tartva minden értékhez felrajzoljuk a Poincaré-metszetet, és vesszük annak valamelyik irányú vetületét (y1 vagy y2). A kapott vetületeket ábrázoljuk a futtatott kontrollparaméter függvényében, így elegendően kis lépésköz esetén (várhatóan) folytonos görbét kapunk. Ezt a görbét nevezzük bifurkációs diagramnak. Tipikus bifurkációs diagramokat mutat be a 2.5. ábra. Ábra 2.5: Bifurkációs diagramok. A függőleges tengelyeken a Poincaré-metszetek y1 irányú vetülete látható. A bifurkációs diagramokon jól láthatóan megjelennek a periodikus megoldások. Ahány pont figyelhető meg egy bizonyos paraméterértéknél, annyi periódusú a megoldás. Például a B ábrán kb. 0-tól 2,8 bar-ig egy periódusú, 2,8-tól 5 bar-ig két periódusú a megoldás. Megfigyelhető, hogy vannak olyan pontok, ahol az addig stabil, egy periódusú megoldás instabillá válik, és belőle egy stabil, két periódusú megoldás lesz. (pl. B ábrán pa = 2,6 bar-nál). Az ilyen pontokat nevezzük perióduskettőző bifurkációnak. 25

40 Perióduskettőző bifurkációkat látunk az A, B és D ábrákon, nyilakkal megjelölve. Megfigyelhető, hogy egy két periódusú megoldás szét tud válni 3, 4, 5, stb. periódusú megoldásra (pl. A ábrán kb. pa = 3,5 bar-nál). Továbbá az ábrákból jól kivehető, hogy egy több periódusú megoldásból is válhat egy periódusú (pl. a C ábrán ωr = 2 körül). Egy másik jellegzetes bifurkációs pont az ún. nyereg-csomó bifurkáció. A C ábrán jelölt részt mutatja kinagyítva a 2.6. ábra ábra: Nyereg-csomó bifurkáció Az ábrán látható, hogy az ωr = 0,25-ig stabil megoldás instabillá válik (az ábrán piros szaggatott vonal), majd egy nagyobb y1 értékről folyatódik tovább. A diagramon ez úgy jelenik meg, mintha a stabil megoldásban szakadás lenne. Ezt nevezzük nyeregcsomó bifurkációnak. A bifurkációs ábrákon jól látszanak továbbá a kaotikus megoldások is (az A, C és D ábrákon pirossal bekeretezve). Ezek általában valamilyen többszörös perióduskettőző bifurkációk eredményei. Ilyenkor a megoldás végtelen periódusú, ezért a Poincarémetszeten is végtelen sok pont van. Megfigyelhető azonban, hogy egyes kaotikus mezők mellett az addig periodikus megoldások nem tűnnek el, továbbra is megőrzik periodikus jellegüket (pl. az A ábrán látható 3 periódusú megoldás). A bifurkációs diagramok tehát szemléletesen mutatják a megoldások lefutását, így könnyen lehet következtetni a rendszer viselkedésére. További bifurkációs ábrákról, valamint az eredményekről részletesen lesz szó a 3. fejezetben. 26

41 3. SZIMULÁCIÓK, EREDMÉNYEK 3.1. Megoldó program A megoldandó egyenletrendszer tehát a (2.18)-(2.29). A megoldást a Matlab nevű szoftverrel keressük. Ez egy széles körben alkalmazott program, mely lehetőséget nyújt programozási, szimulációs, grafikus problémák numerikus kezelésére. A programkód rendelkezésre állt, meg kell adni a bemenő paramétereket (lásd 2.1.6), a kontrollparamétert, valamint egyéb, a futtatáshoz szükséges adatot (pl. a kontrollparaméter intervallumát, növekményét, a konvergencia tűrését, stb.). Az egyenletrendszer megoldását ode113 függvénnyel végezzük. Ez egy Matlabba beépített differencálegyenlet-megoldó algoritmus, mely magasabb rendű egyenletek megoldására ajánlott, kis hibával, viszonylag gyorsan dolgozik. Az elve az Adams Bashforth Moulton PECE megoldón alapul. Az Euler-, vagy Runge Kutta-módszerekkel ellentétben ez egy lineáris többlépéses módszer, mely nemcsak az előző megoldás alapján lép tovább, hanem a korábbi értékeket is felhasználja, ezáltal csökkentve a számítási időt. A számítást a program 5 különböző, véletlenszerű kezdeti feltételről indítja. A program az eredményeket mátrix formában tárolja, és.txt kiterjesztésű fájlba menti el. Ezek után könnyen tudunk ábrázolni számos kívánt mennyiséget a különböző paraméterek függvényében Kontrollparaméter: nyomásamplitúdó A pa gerjesztési nyomásamplitúdó, mint kontrollparaméter 0 és 5 bar között fut, alapvetően 0,01 bar-os lépésközzel, helyenként sűrűbben. A futtatások során ωr-t, mint állandó paramétert 0,1 és 3 között állítjuk. Előzetesen azt várjuk, hogy kis amplitúdóknál kisebb falsebesség, Mach-szám, illetve nyomásértékek, nagy amplitúdóknál nagyobb értékek adódnak. A Poincaré-metszetek y1 irányú vetületeit mutatja a 3.1. ábra, 6 különböző ωr értéknél. 27

42 3.1. ábra: Bifurkációs diagramok pa kontrollparaméter esetén. A függőleges tengelyeken a Poincaré-metszet y1 irányú vetülete látható. Az ábrák alapján az alábbiak figyelhetők meg: kis nyomásamplitúdóknál (kb. pa = 0- tól 3 bar-ig) a megoldás egy periódusú, nem tapasztalható kaotikus jelleg. ωr = 0,1 ki- 28

43 vételével mindenhol megfigyelhető egy perióduskettőző bifurkáció kb. pa = 3 bar környékén (ωr = 2,5-nél ez eltolódik kb. 4,75 bar-ra). ωr = 1 környékén jelenik meg egy nagyobb kaotikus tartomány, 3,5 bar-nál nagyobb nyomásamplitúdókon. Fontos eredmény, hogy ωr 0 esetén a megoldás struktúrája igencsak leegyszerűsödik, viszont a rezgések amplitúdója megnő (akár az egyensúlyi buboréksugár 20-szorosa is lehet). Ábra 3.2: Bifurkációs diagramok pa kontrollparaméter esetén. A függőleges tengelyeken a maximális Mach-szám (Ma) látható. 29

44 A 3.2. ábra a Mach-számok változását mutatja pa függvényében. Az ábrákról kivehetők ugyanazok a tendenciák, mint a 3.1. ábrán (pl. kaotikus, periodikus tartományok, stb.). Itt is megfigyelhető, hogy ωr = 0,1-nél adódnak igen magas Mach-számok (akár 6-ot is eléri), a frekvencia növelésével az értékek nagymértékben csökkennek. Ez azt jelenti számunkra, hogy az ultrahangos technológia alkalmazásakor, a lökéshullámok létrehozása végett ωr-rel érdemes jóval a sajátfrekvencia alatt maradni, mert a Mach-szám ekkor ér el nagy értékeket. Az 3.3. ábra mutatja a létrejövő maximális nyomást (pmax) a nyomásamplitúdó függvényében. 30

45 Ábra 3.3: Bifurkációs diagramok pa kontrollparaméter esetén. A függőleges tengelyeken a maximális nyomás (pmax) látható. A diagramok alapján számos következtetést lehet levonni. Elsőként a nyomás-amplitúdó növelésével, állandó gerjesztési frekvencián mindhárom érték (y1, Ma, pmax) növekszik, ahogy azt előzetesen várni lehetett. Viszont a gerjesztési frekvencia növelésével az értékek csökkennek, pl. ωr = 0,1-nél a maximális Mach-szám akár a 6-ot is elérheti, míg nagyobb frekvenciákon kisebb értékeket kapunk. Ez a tendencia érvényes a buboréksugárra, illetve maximális nyomásra is. Mindenképpen elmondható, hogy amennyiben lökéshullámok létrehozása a cél, nem érdemes nagy frekvenciákat használni, nagy Mach-számok jóval a rendszer sajátfrekvenciája alatt adódnak. A várakozásoknak megfelelően ωr = 1 környékén tapasztalunk egy viszonylag nagy kaotikus tartományt. Nagy nyomásamplitúdó értékeknél mindhárom ábrán megjelennek kaotikus megoldások, ám ezek kis, illetve nagy frekvenciákon nem figyelhetők meg Kontrollparaméter: gerjesztési frekvencia A gerjesztési frekvenciát (ωr) 0,1 és 3 közötti intervallumon vizsgáljuk, szintén 0,01- es lépésközzel. pa-t, mint állandó paramétert 0 és 5 bar között állítjuk A Poincaré-metszetek y1 irányú vetületét mutatja a 3.4. ábra. 31