TOKAJI KRISTÓF SZAKDOLGOZAT

Átírás

1 TOKAJI KRISTÓF SZAKDOLGOZAT

2 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK SZAKDOLGOZATOK

3 BUDAPESTI MŰSZAKI ÉS GAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR HIDRODINAMIKAI RENDSZEREK TANSZÉK TOKAJI KRISTÓF SZAKDOLGOZAT Akusztikusan gerjesztett gőz vagy gáz buborék dinamikai vizsgálata Konzulens: Dr. Hegedűs Ferenc adjunktus Budapest, 2014

4 Szerzői jog Tokaji Kristóf, Ez a szakdolgozat elzártan kezelendő és őrzendő, a hozzáférése a vonatkozó szabályok szerint korlátozott. A hozzáférés korlátozása és a zárt kezelés év 12 hónap 19 napján ér véget.

5 Ide kell befűzni az eredeti feladatkiírási lapot!

6

7 NYILATKOZATOK Elfogadási nyilatkozat Ezen szakdolgozat a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kara által a Diplomatervezési és Szakdolgozat feladatokra előírt valamennyi tartalmi és formai követelménynek, továbbá a feladatkiírásban előírtaknak maradéktalanul eleget tesz. E szakdolgozatot a nyilvános bírálatra és nyilvános előadásra alkalmasnak tartom. A beadás időpontja: témavezető Nyilatkozat az önálló munkáról Alulírott, Tokaji Kristóf (L5ACE1), a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem hallgatója, büntetőjogi és fegyelmi felelősségem tudatában kijelentem és sajátkezű aláírásommal igazolom, hogy ezt a diplomatervet meg nem engedett segítség nélkül, saját magam készítettem, és dolgozatomban csak a megadott forrásokat használtam fel. Minden olyan részt, melyet szó szerint vagy azonos értelemben, de átfogalmazva más forrásból átvettem, egyértelműen, a hatályos előírásoknak megfelelően, a forrás megadásával megjelöltem. Budapest, szigorló hallgató vii

8 viii

9 TARTALOMJEGYZÉK Előszó... xi Jelölések jegyzéke...xiii 1. Bevezetés Célkitűzések Áttekintés Szakirodalmi áttekintés Előzmények Alkalmazások Egészségügy Élelmiszeripar Anyagtechnológia Vízkezelés Modell Anyagjellemzők Paraméterek Dimenziótlanítás, linearizálás Szimuláció Program Poincaré diagram Bifurkációs diagram Periódus szám Lyapunov exponens Eredmények Nyomásamplitúdó, mint kontrollparaméter Egyensúlyi buboréksugár, mint kontrollparaméter Két kontrolparaméter Összefoglalás Kitekintés, fejlesztés Summary Felhasznált források Melléklet Nyomásamplitúdó, mint kontrollparaméter melléklet Egyensúlyi buboréksugár, mint kontrollparaméter melléklet ix

10 x

11 ELŐSZÓ A mai modern világban szükség van újabb és újabb tudományterületek, kutatási területek felé nyitni. A buborékok akusztikai gerjesztésének vizsgálatához nélkülözhetetlen a modern technológia, ami mára elérte azt a fejlettségi szintet, hogy mind szimulációk mind mérések terén lehetővé teszi a kutatást ezen a területen. Az eddigi alkalmazások azt mutatják, hogy elég széleskörűen használható a buborékgerjesztés okozta hatás. Csak a két legfontosabbat említem, amely az egészségügy és az energiaipar. A mai társadalomnak mindkét területen szüksége van hamarosan áttörésre, például az energiaéhség kielégítésére. Az efféle fejlődéshez szükség van a gerjesztett buborék dinamikájának feltérképezésére. Ennek a dinamikai térképnek egy részét vizsgálom, és azon belül is a buborék viselkedését 2 paraméter változtatásának függvényében. Az általam elvégzett szimulációk az első lépést jelenthetik abban, hogy jobban megismerjük a technológiát és ez-által fejlődhessenek a jelenlegi alkalmazások, illetve új alkalmazások jöhessenek létre. * * * Köszönettel tartozom családomnak és barátaimnak kik mindvégig támogattak a munkámban. Lakótársamnak, aki megengedte, hogy használjam az ő számítógépét is a szimulációkra. Barátnőmnek, aki kitartóan javította a nyelvtani hibákat. Köszönöm konzulensemnek Dr. Hegedűs Ferencnek, aki megmutatta nekem ezt a kutatási területet és végig segítette a munkámat. Budapest, Tokaji Kristóf xi

12 xii

13 JELÖLÉSEK JEGYZÉKE A táblázatban a többször előforduló jelölések elnevezése, valamint a fizikai mennyiségek esetén annak mértékegysége található. Az egyes mennyiségek jelölése ahol lehetséges megegyezik hazai és a nemzetközi szakirodalomban elfogadott jelölésekkel. A ritkán alkalmazott jelölések magyarázata első előfordulási helyüknél található. Latin betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység c hangsebesség m/s d távolság 1 n politropikus kitevő 1 p nyomás bar t idő s M Mach-szám 1 P nyomás bar R sugár m T hőmérséklet C Görög betűk Jelölés Megnevezés, megjegyzés, érték Mértékegység λ Lyapunov exponens 1 μ kinematikai viszkozitás kg/m/s ρ sűrűség kg/m 3 σ feszültség N/m τ dimenziótlan idő 1 ω körfrekvencia rad/s Indexek, kitevők Jelölés Megnevezés, értelmezés 0 referencia érték krit max távoli mennyiség kritikus maximum érték xiii

14 E G L R V egyensúlyi érték gáz folyadék referencia érték gőz xiv

15 1. BEVEZETÉS 1.1. Célkitűzések A folyadékokban lévő és keletkező gőz illetve gázbuborékok már régóta sok munkát adnak a mérnökök számára. A gépészetben általában ez a kavitáció jelenségére vezethető vissza, mint egy nem kívánt körülmény. Ugyanis ekkor az adott berendezésben lévő buborék réteg vagy buborék sokaság keletkezése és eltűnése, összeroppanása káros eróziót okoz az érintett alkatrészen. Többek között e jelenség értelmezésében és kivédésében is segítséget nyújtana, ha megismernénk a gerjesztett buborék dinamikáját. A mai akusztikus technológia lehetővé teszi, hogy széleskörűen változtassuk az ultrahangos gerjesztés paramétereit lehetőséget adva számos alkalmazási területnek. Mivel a gyakorlatban elérhetőek a megfelelő gerjesztési állapotok, ezért érdemes szimulációkat végezni, hogy megismerjük a buborék reakcióját az adott állapotban. A legelső lépés gömbszimmetrikus formát feltételezve vizsgálni a buborék méret és falsebesség változásait. Az egyedüli buborék vizsgálata segítséget nyújt a bonyolultabb buborékformák dinamikájának megértéséhez, amelyek vizsgálata életszerűbb lenne ugyan, de a rendelkezésre álló modellek túl bonyolultak és kevésbé részletes eredményhez vezetnének. A buborékot végtelen folyadéktérben gerjesztem, és fontos paraméter, hogy ez a folyadék milyen tulajdonságokkal rendelkezik. Az általam elvégzett szimulációk során víz közeget feltételezek, mely viszonylag kis csillapítással rendelkezik, így nagy mozgásteret ad a buboréknak. Sűrűbb közeg esetén, például glicerin, lényegesen más eredményt kaphatunk, lásd Hegedűs A buborék a gerjesztés hatására radiális rezgésbe kezd. Az oszcilláció lehet periodikus és kaotikus is. A periódusidő megegyezhet a gerjesztés periódusidejével, de lehet ennek többszöröse is. A rezgés során létrejöhetnek nagysebességű változások, amikor a buborékfal a folyadékbeli hangsebességnél is gyorsabban mozog és a sugárméret minimálisra csökken. Ez a jelenség az összeroppanás, lásd 1.1. ábra, kavitáció esetén is ez okozza az eróziót. 1

16 1.1. ábra A buborék összeroppanását szemléltető diagram. Az idő függvényében van ábrázolva a buboréksugár. Az összeroppanások esetén szélsőséges állapotok jöhetnek létre a buborék belsejében. A gyorsan lecsökkent méret nagy nyomást és hőmérsékletet eredményezhet. Adódhatnak akár 1000 bar és 5000 C nagyságrendű értékek is (Suslick és Price 1999). Az ehhez hasonló kirívó értékek szükségesek több alkalmazási területhez, gondolva itt például az energiaiparra. Mivel ilyen nyomás és hőmérséklet értékek mellett végbemennek bizonyos kémiai folyamatok a rezgő buborékra akár egy kis kémiai reaktorként is lehet tekinteni, bővebben Leonelli és Mason De a nagy nyomást és hőmérsékletet igénylő fúzió kutatásában is segíthet a buborékdinamika feltárása, lásd Taleyarkhan et al A szimulációk során két paraméter függvényében vizsgálom a buborék rezgését, víz közegben. A két paraméter a gerjesztés amplitúdója, valamint a buborék egyensúlyi mérete. A gerjesztés során figyelem a buborék periodikus és kaotikus rezgését. Mindkét paraméter esetén vizsgálom a különböző tartományokat. Léteznek egy vagy több periódusú rezgéseket tartalmazó intervallumok, és létrejöhet káosz is. Megpróbálom felfedezni és megérteni a rezgésben lévő rendszerességet és szabálytalanságokat. A két paraméter szerinti vizsgálatokat összevetve létrehozható egy háromdimenziós térkép, amely megmutatja a különböző rezgési tulajdonságokkal rendelkező területek elhelyezkedését. Így megtudom, milyen paraméterek függvényében jön létre kaotikus illetve periodikus megoldás. Ez lehetőséget ad arra, hogy megismerjem a buborék dinamikáját, valamint meghatározható, hogy az általam vizsgált körülmények mely alkalmazási terület alapfeltételeinek felelnek meg. Egyes alkalmazások- 2

17 ban, például egészségügy, a kaotikus állapot kerülendő és inkább szükség van a periodikus buborék összeroppanásra. Az ekkor keletkező lökéshullám felhasználható az egyes ipari területeken, például az anyagtechnológia területén Áttekintés Dolgozatom bevezetésben röviden ismertetem a technológiát és a számítási elvet. A történeti áttekintés után ismertetek néhány aktuális alkalmazást. Majd leírom a számításhoz használt modellt és meghatározom a konstans anyagjellemzőket valamint az állandó és a változó paramétereket. A modell linearizálása és dimenziótlanítása után megkapom a számításhoz szükséges egyenletrendszert. Ezt követi a szimuláció leírása majd a későbbi értelmezéshez szükséges ábrázolási módok magyarázata. A szimulációt lefuttatom egyszer a gerjesztés nyomásamplitúdóját majd az egyensúlyi buborékméretet alkalmazva kontrol paraméterként, a kapott eredményeket kiértékelem. Megvizsgálom a kapott eredményeket összevetve egymással. 3

18 4

19 2. SZAKIRODALMI ÁTTEKINTÉS 2.1. Előzmények Hosszú időn keresztül a gerjesztett buborékvizsgálatok azt a célt szolgálták, hogy az addig sok problémát okozó kavitáció folyamatát jobban megértsék. Mivel ilyen esetekben nem egyedüli buborék keletkezik, hanem buborékfilm, vagy buborék sokaság ezért lassú volt a fejlődés az egyedüli buborék vizsgálata terén, lásd Chan 1988, Escaler et al. 2003, A alkalmazási lehetőségek számának növekedésével és fejlődésével egyre nőtt az igény efféle vizsgálatokra. Ahogy a méréstechnika és a számítógépes technológia fejlődött, úgy jelentek meg egyre pontosabb és használhatóbb modellek. Elsők közt volt a Rayleigh Plesset egyenlet, mely Rayleigh (1917) összenyomhatatlan modelljéből, és Plesset (1947) kiegészítéséből áll, létrehozva egy közönséges másodrendű differenciálegyenlet rendszert. Ezt a modellt fejlesztve létrejöttek pontosabb modellek, erről bővebben olvashatunk Gilmore 1952, Keller és Kolodner 1956, Keller és Miksis 1980 és Prosperetti 1993 tanulmányaiban. Ha figyelembe vesszük, hogy a buborékban fázisváltozás mehet végbe a buborékon belüli hő és nyomásváltozást nem elhanyagolva, további modelleket találhatunk. Ez akkor lehetséges, ha a távoli nyomás közel esik a buborékban lévő gőz tenziójához, amely összemérhető a nem kondenzálódó gáz parciális nyomásával, lásd Plesset és Zwick 1952, Dalle Donne és Ferranti 1975, Dassie és Reali 1996; Hao és Prosperetti További fejlődés a buborék belsejének fizikájával érhető el, mellyel leírható a buborékban lévő gőz és gázkeverék viselkedése. Figyelembe vehető még a buborék belseje és a folyadékfázis közötti energiaátadás, de minden egyéb kiterjesztés bonyolítja a megoldandó egyenleteket így a további modellek esetén a kutatók arra törekednek, hogy minél jobban megközelítsék az egyes fizikai paraméterek pontos számítását, amellett, hogy maga a modell a legegyszerűbb formában maradjon. Bővebben megtalálható Prosperetti et al. 1988, Kamath és Prosperetti 1989, Dassie és Reali 1996, Hao és Prosperetti 1999, Akhatov et al és Kim et al. 2006, 2007 tanulmányaiban. Az egyik legpontosabb buborékmodellt, mely megold egy teljes hidrodinamikai és termodinamikai egyenletrendszert, Storey és Szeri publikálta 2000-ben. Az eddig felsorolt modelleket és egyéb variációkat felhasználva többen is végeztek buborékdinamikai számításokat. Lauterborn és Parlitz 1988 a kaotikus állapot fizikai leírását tanulmányozták. Megfigyelték milyen paraméterek mellett alakul ki kaotikus állapot, amikor a buborék rezgésében nem lehet rendszerességet, periódust felfedezni. Meghatároztak az egyes paraméterek esetén határértékeket, mely értéknél megjelenik, vagy eltűnik a kaotikus viselkedés. 5

20 Parlitz et al az akusztikus kavitáció zajának spektrumát vizsgálták. A nemlineáris buborékrezgések megfigyelésének megértéséhez vizsgálták az egyedüli buborék dinamikus tulajdonságait akusztikus gerjesztés hatására. A buborék rezgése folyamán tapasztalható szabályos periodikus rezgés, valamint kaotikus állapot. Azon paramétereket figyelték meg, melyek megváltoztatják a periódusszámot, majd kaotikus megoldást okoznak. A gerjesztő frekvencia, mint kontollparaméter függvényében határozták meg a buborék rezgésének dinamikai állapotát. Tehát feltérképezték, hogy mely esetekben kapható periodikus, illetve mely esetekben kaotikus megoldás. Lauterborn és Kurz 2010, a Rayleigh modell alkalmazásával, lásd bővebben (Lauterborn és Kurz 2010), további buborékdinamikai számításokat végeztek. A gerjesztés amplitúdójának és frekvenciájának változtatásával figyelték a buborék periodikus és kaotikus állapotát. Mivel a modern méréstechnika lehetővé tette mérések elvégzését is, számítási eredményeiket összehasonlították a fénykép alapú mérési eredményekkel. Vizsgálták a buborék alakváltozását, nem csak gömbszimmetrikus formát feltételezve. Valamint lejegyezték a szélsőséges nyomás és hőmérséklet értékeket a buborék belsejében Alkalmazások Az akusztikus gerjesztés ultrahang használatával valósítható meg. Az ultrahang egy magasfrekvenciás hanghullám, amely már több felhasználási területen megjelent. Bizonyos felhasználásokban alacsony energiával rendelkező ultrahangot alkalmaznak, kihasználva azt a tulajdonságát, hogy különböző közegekbe lépés esetén megtörik, visszaverődik a hullám, anélkül hogy károsítaná az adott közeget. Az iparban például szilárd testekben keletkező üregek megtalálására, az egészségügyben, a méhben elhelyezkedő magzatról kép készítésére használják. Az általam vizsgált ultrahang magas energiával rendelkezik. Az akusztikusan gerjesztett buborékok által kiváltott lökéshullámot, magas nyomás és hőmérséklet értékeket arra használják, hogy fizikai és kémiai reakciókat indítsanak be vagy serkentsenek. A 1990-es évek óta folyamatosan jelennek meg publikációk az ultrahangos gerjesztés újabb és újabb alkalmazási lehetőségeiről. Egyre jobb és jobb közelítésekkel lehet meghatározni, hogy mire is lehet számítani egy akusztikus gerjesztés hatására. Ez segít abban, hogy további alkalmazási területeket fedezhessünk fel. Mivel a mai világban az egyik legfontosabb elem egy folyamat fejlesztésében az energiahatékonyság növelése és erre az ultrahang használata lehetőséget ad; a jövőben várható, hogy további felhasználási területekre tör be a technológia. 6

21 EGÉSZSÉGÜGY A magas energiatartalmú ultrahangos technológia az egészségügyben még kutatási fázisban van, de már kecsegtető eredményekkel rendelkezik. A 21. század egyik legtöbbet emlegetett betegsége, a rák gyógyításában jelenthet áttörést az új látásmód. Az ultrahangos gerjesztés probléma nélkül alkalmazható az eddigi kezelési módszerek mellett. Önmagában is sikeres gyógymód lehet, de kedvező hatása van az eddig alkalmazott gyógyszerek hatékonyságára. A gerjesztés hatására létrejövő lökéshullám a kezelt tumorban károsodást okozhat. Ez a folyamat műthetővé tehet olyan eseteket, amelyekről az orvosok már lemondtak. A legelterjedtebb rákkezelési módszer a kemoterápia. Ennek a kezelésnek is elősegítheti a hatékonyságát és sebességét az ultrahangos gerjesztés. A bevitt gyógyszer a lökéshullám hatására gyorsabban terjed el a rákos sejtben, valamint hatékonyabb formában lesz jelen. Ez az eljárás a drug delivery. A gyógyszer egy gázbuborékban jut el a megfelelő helyre, majd a buborék összeroppantásával, lökéshullám generálásával a hatóanyag a megfelelő helyre juttatható. Ez a folyamat látható a 2.1. ábrán ábra A drug delivery eljárás mechanizmusa. Bal oldalon az akusztikus gerjesztés hatása előtt jobb oldalon utána. Az ábra Yu, Wang és Mason A review of research into the uses of low level ultrasound in cancer therapy publikációból átvéve. Az ilyen kezeléshez még sokat kell tanulmányozni a biológiai hatásokat. A módszerből egyértelműen kiderül, hogy nagyon szűk paraméter intervallumokban alkalmazható, mivel fontos, hogy csak a rákos részeket érje károsodás, az egészséges szerveket ne. Valamint az egyes szervek, de a sejtszintű biológiai alkotók is érzékenyek az alacsony külső nyomásra. Ha a szokásosnál nagyobb nyomás hat rájuk azt elviselik, de ha a külső nyomás alacsonyabb, mint a szükséges, ezáltal húzófeszültség keletkezik a sejt falán, az komoly károkat okozhat a sejtrendszerben. Ezért is szükséges feltérképezni buborék dinamikáját, meghatározni, hogy például mely paraméterek esetén jön létre a káros alacsony nyomás, illetve milyen értékek esetén játszódik le a drug delivery vagy a rákos sejtroncsolás folyamata. Az ultrahangos gerjesztésről bővebben Yu, Wang és Mason 2003 publikációjában tájékozódhatunk. Ők is felhívják a figyelmet a nagyon szűk paraméter intervallumokra. Szerintük megfelelő kutatási idő után ez a technológia széleskörűen elterjedt lesz az orvostudományban, azon belül is a rákkezelés témakörében. Ha ez a technológia megfelelő támogatást és nyilvánosságot kap, akkor további egészségügyi alkalmazási területeket tárhatnak fel. 7

22 ÉLELMISZERIPAR Az élelmiszeripar rengeteg különféle folyamatot alkalmaz az ételek megfelelő kezelésére, előkészítésére. A jelenlegi jogszabályok szigorú követelményeket állítanak a gyártóknak, hogy az élelmiszer a megfelelő minőségben kerüljön a fogyasztó elé. Az élelmiszer kezelési folyamat egészen az összetevők előkészítésétől a készétel csomagolásáig tart. Ezt a folyamatot alkothatja keverés, szűrés, főzés, hőkezelés, vágás és még sok más lépés. Az ultrahangos gerjesztés alkalmazása szinte mindegyik lépésben segíthet a gyártónak a leggyorsabban, a legjobb energiahatékonysággal elérni a kívánt minőséget. Chemat, Zill-e-Huma, és Khan összeszedték az élelmiszeripari folyamatokban az ultrahang alkalmazhatósági lehetőségeit. Ezen cikkből kiragadva pár alkalmazást látható lesz, hogy van helye az ultrahangnak e területen is. Az első kiragadott élelmiszerkezelési lépés a szűrés. Membrános szűrő szűrési elvét vizsgálva belátható, hogy a szűrés folyamatával a szűrőfelület permeabilitása csökken. Ez energia és idő szempontjából nem kívánt körülmény. Az ultrahang alkalmazása egy ilyen szűrő esetében csökkenti ezt a kapacitáscsökkenést. A gerjesztett buborék által indukált lökéshullám a szilárd részecskéket nem engedi lerakódni a szűrő felületén, így az nem tömítődik el. Az ultrahangos szűrés mechanizmusa látható a 2.2. ábrán ábra Az ultrahangos gerjesztés hatása membrános szűrés esetén. Bal oldalt látható a folyamat gerjesztés nélküli állapota és jobb oldalt a gerjesztett folyamat. Az ábra Chemat, Zill-e-Huma, és Khan Aplications of ultrasound in food technology publikációból átvéve. Az élelmiszer kezelés egyik legfontosabb lépése a pasztörizálás ugyanis ekkor pusztulnak el az emberi szervezetre káros mikroorganizmusok és enzimek. Kimutatható, hogy az ultrahang alkalmazásával e lépés esetén gyorsabban érhető el a kívánt minőség. A buborékok gerjesztése folytán a kiváltott lökéshullám hatással van a mikroorganizmusokra és enzimekre, valamint az összeroppanás hatására keletkező hő is közrejátszik a folyamatban, mivel buboréksokaság esetén a hőátadás már nem elhanyagolható. A hagyományos pasztörizálásnál jóval homogénebb kezelt anyag keletkezik, jóval kevesebb energia befektetésével. A sütés folyamatát is segítheti az ultrahangos gerjesztés, mivel a többi módszerhez (hagyományos sütő, indukciós sütő) képest az ultrahangos sütő egyszerre hat az egész alapanyagra. Így elkerülhető, hogy a sütött élelmiszer egy része megégjen, más része még nyers maradjon. 8

23 Ezeken kívül számos alkalmazásról olvashatunk a fent említett cikkben. Általánosságban az élelmiszeripari alkalmazhatóságról elmondható, hogy a legtöbb esetben időt és energiát lehet megspórolni az ultrahangos gerjesztés használatával amellett, hogy végeredményül jobb minőségű termék kapható. Ezeket a körülményeket tekintve belátható, hogy szükség van a technológia fejlesztésére, hogy széleskörűen és még hatékonyabban alkalmazható legyen ANYAGTECHNOLÓGIA A buborék gerjesztése során, ahogy már írtam, nagy energia koncentrálódik. Ez megjelenhet nyomáshullám formájában vagy hő keletkezésében. A magas nyomás és hőmérséklet szinte bármelyik anyag megmunkálásához szükséges, akár fémekről, polimerekről, kompozitokról, szerves vagy szervetlen összetevőkről van szó. A mai iparban, aki szilárdabb, rugalmasabb, kitartóbb anyagot hoz létre, minél kisebb tömeg és méret mellett, és azt kisebb tűréssel tudja késztermékké gyártani, az annál versenyképesebb a piacon. Az akusztikus gerjesztés segítségével atomi szinten finomítható a kristályrács, amivel jobb szilárdságtani tulajdonságok érhetők el. Felületkezelésére is használható a technológia, amellyel egy rugalmas anyag külső rétegeire egy szilárdabb bevonat hozható létre. Ugyanilyen elven két különböző anyag egymásba ötvözésében is nagy szerepet játszhat, mivel a kristályrács hatékonyabb összekapcsolódását elősegíti ábra Nikkel por ultrahangos kezelésének hatása. Suslick és Price Applications of ultrasound to materials chemistry 1999 A 2.3. ábra jól szemlélteti az ultrahangos kezelés hatását nikkel poron. Megváltoztatta a kristályszerkezetet, kedvezőbb tulajdonságokat eredményezve. A szélsőséges nyomás és hőmérsékletértékek miatt kémiai reakciók is lejátszódhatnak a kavitáció során. Így ez a jelenség az anyagtechnológiában is hasznosul. Nemcsak fizikai, de kémiai kezelést is elősegíthet az ultrahang használata. 9

24 Az eddigi anyagmegmunkáló alkalmazások viszonylag magas költséggel járnak. Ezeket a költségeket az ultrahang alkalmazása lényegesen csökkentheti amellett, hogy jobb fizikai és kémiai tulajdonságokkal rendelkező anyagot lehet létrehozni. A technológia alkalmazása még rengeteg kutatást igényel, hogy a lehető leghatékonyabban lehessen alkalmazni és lehet, hogy teljesen új irányt szabhat a jelenlegi ipari alkalmazásokhoz képest. Ennek a modern, újszerű technológiának az amúgy is folyamatosan fejlődő polimer és kompozit gyártásba integrálása nagy ugrást jelenthet az anyagmegmunkálás, gyártás és összességében az egész ipar számára. Ezt Suslick és Price 1999 is így látta. A témáról bővebb információ olvasható a publikációjukban VÍZKEZELÉS Vízkezelésre a legtöbb ipari alkalmazás után szükség van. Egy folyamat végén meghatározó, hogy mennyi költséget jelent még az, hogy a felhasznált anyagokat a megfelelő, előírt állapotba hozzák. A vízkezelés olykor nagyon hosszú folyamat lehet. Ha ennek időtartama csökkenthető, valamint energia és költség szempontjából kedvezőbb formában kivitelezhető, az sokat segíthet a folyamat hatékonyságán. Az ultrahangos kezelés egy fizikai folyamat, ami preferált a víztisztítás témakörében. Tehát, ha egy eddig kémiai folyamat kiváltható fizikaival már ez ösztönző lehet a technológia alkalmazásában. A nagy mennyiségek miatt részletesebben vizsgálandó az energiahatékonyság az eddigi módszerekhez képest. Az bebizonyosodott, hogy ultrahanggal kis vízmennyiség esetén gyorsan és nagy százalékban elpusztíthatók a nem kívánt összetevők. Ez a kezelés javítja a BOI értéket (Biológiai Oxigén Igény, a víz szerves szennyezettségének mérőszáma), hatással van az alga kialakulásának megakadályozására, valamint olyan fizikai folyamat, amely hat a mikroorganizmusokra, baktériumokra is. Ez utóbbi két élősködőt is hatékonyan pusztítja el. A témáról részletesebben Mahvi publikációjában olvashatunk. A 2.4. ábrán látható, hogy adott idejű ultrahangos kezelés milyen hatással van a szennyvíz BOI értékére, két különböző frekvencia esetén ábra A biológiai oxigén igény változása különböző frekvenciájú kezelés hatására. Mahvi, Application of Ultrasonic Technology for Water and Wastewater Treatment 10

25 3. MODELL A vizsgálódás során végtelen folyadéktérben figyelem a gerjesztett buborék méret- és falsebesség változásait. A számításokhoz a Keller Miksis egyenletet (Keller és Miksis (1980)) használom fel, mellyel meghatározható a buboréksugár változása az idő függvényében. A közönséges másodrendű differenciálegyenlet: (1 R ) RR + (1 R ) 3 R 2 = 1 (1 + R c L 3c L 2 ρ L c L ) (p L p (t)) + R d(p L p (t)), (3.1) ρ L c L dt ahol R(t) az időfüggő buboréksugár, c L a hangsebesség, ρ L a sűrűség a folyadékban, p L a nyomás a buborékfalnál a folyadéktérben és p (t) a távoli nyomás, ami egy statikus és egy periodikus komponensből áll: p (t) = P + p A sin(ωt), (3.2) P a folyadéktér statikus nyomása, p A és ω pedig a gerjesztés nyomásamplitúdója illetve körfrekvenciája. A buborék belsejében vízgőz és nem kondenzálódó gáz van. Felírható a kapcsolat a buborék belsejében lévő nyomás és a kívül lévő nyomás között: p G + p V = p L + 2 σ + 4μ R L, (3.3) R ahol p G a vízgőz parciális nyomása a buborékban, p V a nem kondenzálódó gázok nyomása a buborékban, p L a folyadéktér nyomása, σ a felületi feszültség és μ L a folyadék kinematikai viszkozitása. A p G gőznyomás a buborék belsejében konstans, a közeg T hőmérsékletének függvénye. Politropikus összefüggés szerint közelíthető: p G = p g0 ( R 0 R )3n, (3.4) ahol adiabatikus körülményeket feltételezve, mivel a folyamat olyan gyorsan megy végbe, hogy hőcsere nem történik. A politropikus kitevő n = 1,4, p g0 a referencianyomás, R 0 a referencia sugár. Az 3.1. ábrán látható a buborék fizikai modellje, kiemelve a nyomás egyensúly a buborékfal két oldalán. R 11

26 3.1. ábra A buborék fizikai modellje 3.1. Anyagjellemzők Az anyagjellemzők többnyire környező nyomás (P ) és környező hőmérsékletfüggő (T ) mennyiségek. Mivel ezeket a szimuláció során konstans értékeknek veszszük fel, így az anyagjellemzők is állandók lesznek. Buborék belsejében: n = 1,4, politropikus kitevő. p V = f(t ) nem kondenzálódó gázok parciális nyomása. Buborékon kívül: ρ L = f(t, P ) folyadék sűrűség. σ = f(t ) felületi feszültség. μ L = f(t, P ) kinematikai viszkozitás. c L = f(t, P ) hangsebesség a folyadékban. A vizsgált folyadék esetemben víz, így ezek a jellemzők a Haar Gallagher Kell egyenlettel számíthatóak. Az alkalmazott számítási módról bővebben Goodwin et al

27 P és T meghatározott kiindulási paraméter függvényében a meghatározott anyagjellemzők: P = 1 bar T = 25 C p V = 0, bar ρ L = 997,064 kg/m 3 σ = 0,072 N/m μ L = 8,9021*10-4 kg/m/s c L = 1497,3 m/s 3.2. Paraméterek Mivel az anyagjellemzők nagyrészt a környező nyomástól és hőmérséklettől függenek, így ez a két adat az elsődleges paraméterek, P és T. A korábban leírt egyenletekből ( ) kiderül, hogy a további paraméterek a referencia sugár R 0 és referencianyomás p g0, a gerjesztés amplitúdója p A és frekvenciája ω. Referenciasugárnak egy olyan értéket érdemes választani, amely könnyen meghatározható. Ha a gerjesztetlen rendszert vizsgálom, p A = 0, akkor a buborék sugara nem változik, hanem egy egyensúlyi állapotot vesz fel. Ez az érték meghatározható a buborékfalra felírt statikus (minden idő szerinti derivált értéke nulla) impulzusegyenletből: 0 = p g0 ( R 0 ) 3n + (p R V P ) 2 σ. (3.5) E R E Tehát ha paraméterként a referencia sugarat az egyensúlyi sugárnak veszem fel R 0 = R E, akkor a referencianyomás: p g0 = 2 σ (p R V P ). (3.6) E A buborék méretét a benne lévő gáz tömege m G határozza meg. Ez a tömeg függ p g0 referencianyomás és R 0 referencia sugár értékétől: m G = 4 p g0 R 0 3 π 3 R T, (3.7) így R 0 = R E és (1.6) egyenlet lapján m G egyértelműen meghatározható az egyensúlyi buboréksugár R E értékéből. A szimulációhoz szükséges még a gerjesztés nyomásamplitúdója p A, valamint a körfrekvenciája ω. A frekvencia több nagyságrendet átívelve változhat, így érdemes egy dimenziótlanított értékkel számolni. A felhasznált referencia mennyiség az egyensúlyi buboréksugárhoz tartozó lineáris csillapítatlan sajátfrekvencia, Brennen (1995) szerint: ω E = 3n(P p V ) ρ L R E (3n 1)σ ρ L R E 3. (3.8)

28 Így a relatív körfrekvencia: Tehát a paraméterek: P : T : R E : p A : ω R : ω R = ω. (3.9) ω E távoli nyomás távoli hőmérséklet egyensúlyi buboréksugár gerjesztés nyomásamplitúdó relatív körfrekvencia 3.3. Dimenziótlanítás, linearizálás A számítás és ábrázolás segítése érdekében az egyes változókat dimenziótlanítom. Így létrejön a dimenziótlan buborék sugár y 1, a dimenziótlan idő τ illetve a dimenziótlan buborékfal sebesség y 2, amely a dimenziótlan buboréksugár deriváltja: y 1 = R R E, (3.10) t τ = = t ( ω ), (3.11) ( 2π ω ) 2π y 2 = y 1. (3.12) Ezen dimenziótlan változók segítségével felírható a két elsőrendű differenciálegyenlet: ahol N = (p L p ) + y 2 p ref y 1 μ A ref y 1 = y 2 = f 1 (y 1, y 2 ), (3.13) y 2 = N D = f 2(y 1, y 2 ), (3.14) (p y G (1 3n) p (t) + p V ) p A cos(2πτ) B (1 M D 1 D = 1 M + μ ref ) 3 y2 2, 3 2 y 1 (3.15) 4μ L μ ref y 1, (3.16) a referencianyomás a referencia viszkozitások: p ref = ρ L R E 2 ( ω 2π )2, (3.17) μ ref = c L ρ L R E, (3.18) ω = c L ρ L R E ω 2π ref 2π (3.19) B ω = c L ρ L R E A 1 (2π) 2 ref 2π (3.20) A μ ref μ ref 14

29 a pillanatnyi Mach szám: M = R E ω y 2 2πc L, (3.21) a gáznyomás a buborék belsejében: p G = ( 2 σ R E (p V P )) ( 1 y 1 ) 3n. (3.22) A nyomás a buborékon kívül a buborékfal közelében: p L = p G + p V 2 σ R E y 1 4μ L ( ω 2π ) y 2 y 1, (3.23) és a buborékfaltól távoli nyomás: A gerjesztés periódusideje τ 0 = 1. p (t) = P + p A sin(2πτ). (3.24) Ezután (3.13) és (3.14) egyenletekből létrehozom a lineáris egyenletrendszert: f 1 f 1 y 1 y 2 y L = [ ] y f 2 f 2 L. (3.25) y 1 y 2 A linearizált egyenletrendszer segítséget nyújt a buborék rezgés állapotának meghatározásában. A lineáris alak alapján meghatározható, hogy a gerjesztés a buborékból periodikus reakciót vált ki vagy káoszszerű rezgést. 15

30 16

31 4. SZIMULÁCIÓ 4.1. Program A szimulációk elvégzéséhez a Hegedűs (2014) által alkalmazott programot használom fel. A program futása során meghatározza a buborék állapotát több konstans paraméter és egy futó paraméter mellett. Esetemben a két futó paraméter egyszer a gerjesztés nyomásamplitúdója p A, másszor az egyensúlyi buboréksugár R E. Az állandónak vett értékek: a relatív körfrekvencia ω R, a távoli hőmérséklet illetve nyomás T és P. Ezen paraméterek számértékei: ω R = 1 T = 25 C P = 1 bar A programból kinyerhető értékek a dimenzió nélküli és a tényleges buboréksugár és buborékfal sebesség, a maximális Mach szám, a buborék által kibocsátott nyomáshullám minimuma és maximuma, az akusztikus energia, illetve a periódusszám és a Lyaponov exponens. A szimulációt öt különböző, véletlenszerű kezdeti pontból indítom, majd vizsgálom, hogy beállnak-e egy vagy több stabil megoldásra, vagy az adott tartományban nincs stabil megoldás. Szükség van konvergencia vizsgálatra, mivel több instabil megoldás is jelentkezhet. Ha a konvergencia vizsgálat nem megfelelő az instabil megoldás stabilnak tűnhet. A konvergálódás folyamatát akkor tekintem befejezettnek, ha a külön kezdeti pontból indított megoldások egy toleranciahatáron belül kerülnek. Ezt a toleranciát re vettem, ekkor már úgy tekinthető, hogy a megoldás bekonvergált. A megoldáshoz a Matlab szoftverbe integrált ode113 megoldót alkalmazom. Az ode113 integrálja a differenciálegyenleteket t0 és tf között, majd megoldja y0 kezdeti feltétel felhasználásával. Ez egy többlépéses megoldó, szüksége van a korábbi időpontokban jelentkező megoldásokra az aktuális kiszámításához. A megoldó alkalmas az általam meghatározott 10-8 értékű hibatolerancia mellett a megoldás kiszámítására. Az ode113 az ehhez hasonló magas pontosságigényű, nagy mennyiségű számítás sorozat megoldására ideális. 17

32 POINCARÉ DIAGRAM A buborék gerjesztése során az egyes változó értékek, például a buboréksugár és buborékfal sebesség, időfüggőek. E két változó vizsgálata esetén nem elég két dimenzióban ábrázolni, mivel a változás folytonos. Ezért ha két dimenzióban folytonosan ábrázolnám a két változót, egy saját magát többször keresztező végtelen hosszú görbét kapnék. Ha harmadik dimenzióként hozzáadom az időt, akkor egy végtelenbe tartó háromdimenziós ábrát kapok, amely nem igazán alkalmas további vizsgálódásra. Szükség van egy olyan ábrázolásmódra, amellyel az időfüggőség áthidalható, ilyen a Poincaré ábrázolásmód. A gerjesztés periódusidejével τ 0 megegyező időnként mintavételezem az eredményt és csak ezeket az értékeket vizsgálom. A 4.1. ábra a bal oldali diagramja a dimenziótlan buboréksugarat és a dimenziótlan falsebességet ábrázolja az idő függvényében. A vizsgálat y0 kezdeti értékről indul és megy egészen t = τ 0 pillanatig (4.1. ábrán t=t0). Az itt kapott értéket visszavetítem a kezdeti t = 0 síkra, így létrehozva P(y0) Poincaré pontot. A megoldást a P(y0) folytatva ismét végigkövetem az útját t = τ 0 pillanatig. Ekkor újboli mintavételezéssel és visszavetítéssel a kezdeti síkra, létrehozom P 2 (y0) pontot. Ezen az elven minden mintavételezési pontot visszavetítek a kezdeti síkra. A 4.1.ábrán látható, hogy P 2 (y0) = y0, ez akkor következik be, ha periodikus megoldás van, ugyanis egy periódus végeztével a mintavételezett érték megegyezik a kezdeti értékkel. Ebben az esetben, mivel a harmadik τ 0 idő elteltével tért vissza a görbe y0 pontba, háromperiódusú megoldás jelentkezik. Kaotikus megoldás esetén elméletileg egy végtelen számú pontból adódó ábrát kapnék, mert a megoldás sosem tér vissza a kezdeti értékhez ábra Poincaré diagram elve, Hegedűs (2014). T0 a gerjesztés periódusideje, a bal oldali ábrán látható a visszavetítés a kiindulási síkra, jobb oldalon a kapott Poincaré diagram, melyen egy háromperiódusú megoldás látható A 4.2. ábrán az általam végzett szimuláció eredményének felhasználásával ábrázolt Poincaré diagramok láthatóak, különböző p A nyomásértékek esetén azonos színnel ábrázolva az egy megoldáshoz tartozó pontokat. 18

33 4.2. ábra Poincaré diagramon ábrázolva y1 buborékmérettel arányos mennyiség függvényében y 2 buborékfal sebességgel arányos mennyiség, állandó egyensúlyi buboréksugár mellett (R E = m), különböző nyomásértékeken (p A ). A 4.2. ábra 1-es sorszámú diagramján egy egyperiódusú megoldás látható, 2 bar gerjesztés nyomásamplitúdó mellett. A visszavetítésnél minden pont megegyezett a kiindulási értékkel. Majd 2,25 báron már kétperiódusú megoldást kapok. A 3-as számú diagramon megjelenik egy párhuzamosan keletkező megoldás. Így egymás mellett létezik egy kétperiódusú és egy háromperiódusú megoldás. Ez a nem linearitás hatása. Az hogy a megoldás melyik állapotra áll be, az a kiindulási értéktől függ, 19

34 hogy melyik megoldás vonzáskörzetéhez esik közelebb. A 4-es diagramon egy hatperiódusú és egy 2 periódusú megoldás látható. 2,58 bárnál jelentkezik egy hatperiódusú és egy négyperiódusú megoldás. A 6-os diagramon egy kaotikus megoldás látható egy kétperiódusú megoldás jelenléte mellett. A kaotikus megoldás esetén a megoldás τ 0 időintervallumonként mindig más értéket vesz fel. Így a Poincaré pontok egyszer sem esnek egybe. A 6 diagramon észlelhető egy folyamatos dimenziótlan buborékfal sebesség növekedés a gerjesztő nyomásamplitúdó növekedésével. 2 báron y 2 2,25, míg 2,3 báron y 2 maximális értéke y 2 3 és 2,58 bár gerjesztés esetén megközelíti az y2 4 értéket. A 4.1. táblázat az egyes gerjesztések esetén jelentkező megoldások számát és ezek periódusszámát tartalmazza. A 4.5. ábrán ismét megjelennek e Poincaré diagramok; ott az adott gerjesztési pontot piros nyíllal jelzem. (Ezen nyilak sorszámát is szerepel a táblázatban.) 4.2. ábra segédtáblázata: Sorszám pa [bar] Megoldások száma Periódusszámok , ,3 2 2, ,45 2 2, ,58 2 4, , kaotikus táblázat Segédtáblázat a 4.2. ábrához 4.5. ábrán a jelző nyíl száma BIFURKÁCIÓS DIAGRAM Az azonos egyensúlyi buboréksugár értéken, de különböző nyomásértékeken elkészített Poincaré diagramokat egymás mellé helyezve, megkapjuk az ábrázolt értéket, például dimenziótlan buboréksugár y 1, vagy dimenziótlan buborékfal sebesség y 2, a gerjesztő nyomásamplitúdó függvényében. De ugyanezen az elven az állandó nyomás mellett különböző egyensúlyi buboréksugár értékeken létrehozott Poincaré diagramok egymás mellé helyezésével létrehozható az értékek ábrázolása R E függvényében, és így tovább bármelyik paraméter függvényében. Ezzel az ábrázolással feltérképezhető a stabil rezgési állapot. A 4.3. ábrán látható, hogy az egy periódusú rezgés hogyan jelentkezik a bifurkációs diagramon, illetve milyen kép kapható kaotikus megoldás esetén. Bifurkációs diagramon ábrázolhatóak a buborékméret és falsebesség illetve e értékeknek a maximuma, a Mach szám maximuma és a nyomás maximuma és minimuma, melyek segíthetnek az alkalmazási területek feltárásához és 20

35 fejlesztéséhez, például az egészségügyi felhasználásra, ahol a negatív akusztikus nyomás nem kívánt állapot, ugyanúgy ahogy a kaotikus állapot sem. Továbbá megjeleníthető a megoldás periódusszáma, a Lyapunov exponens, mely a kaotikus állapot jelenlétére utal. E ábrázolások segítenek a buborékdinamika feltérképezésében ábra Bifurkációs ábra melyen a gerjesztés amplitúdójának függvényében van ábrázolva a dimenziótlan buboréksugár, R E = m egyensúlyi buboréksugár esetén. Megjelölve a kezdeti egyperiódusú megoldás és a kaotikus megoldás, továbbá az első bifurkációs pont. A 4.3. ábra R E = m egyensúlyi buboréksugár érték mellett, a dimenziótlan buboréksugarat ábrázolja a gerjesztés nyomásamplitúdójának függvényében. Alacsony nyomású gerjesztésnél (0-2 bar) látható, hogy a buborék egy stabil állapotot vesz fel, miszerint a buborék a gerjesztés frekvenciájával azonos frekvenciájú oszcillációkat végez. Majd nagyobb gerjesztésnél, körülbelül 2 bar, egy bifurkációs pont keletkezik, amit követően kétperiódusú megoldást kapunk. 2,5 és 3,5 bar között egy kaotikus sáv látható. A kaotikusságot igazolja a Lyapunov exponens, amelyről írok még a továbbiakban. Kaotikus megoldás esetén a buborék minden periódusidőnkénti pillanatban más buboréksugár méretet vett fel a gerjesztés hatására Periódus szám A buborék rezgése a gerjesztés hatására lehet periodikus és nem periodikus, vagyis kaotikus. A gerjesztés növelésével megjelennek magasabb periódusszámú meg- 21

36 oldások is. A különböző periódusú megoldások egymás jelenléte mellett párhuzamosan is keletkezhetnek. A nem periodikus káoszszerű megoldás mellett is jelentkezhetnek periodikus megoldások. A 4.4. ábra az eddig is tanulmányozott állapotban, R E = m, mutatja a periódusszámot Per a gerjesztő nyomásamplitúdó p A függvényében ábra Periódusszám Per a gerjesztő nyomásamplitúdó függvényében, a 4.3. ábrával megegyező R E = m egyensúlyi buboréksugár érték mellett. Az adott paraméterek esetén a megoldás periódusszáma nagyrészt 20 alá tehető. Látható néhány kiugró érték, mely azt jelzi, hogy azon a gerjesztési ponton keletkező rezgés 128 periódusú. Ez a kaotikus állapotra utal, mivel a programot úgy állítottam be, hogy maximum 128 periódusig vizsgálja az adott megoldást. Tehát a továbbiakban, ha 128 periódusú megoldást kapok, akkor az azt jelenti, hogy ott valószínűleg kaotikus állapotú megoldás van. De előfordulhat, hogy a vizsgálati tartománynál magasabb periódusszámú megoldás jelentkezik, így a kaotikusságot a Lyapunov exponens igazolja biztosan. A 4.5. ábrán a 4.3. ábra és 4.4. ábra egyes részei kiemelésével értelmezem a periódusszámot. 22

37 4.5. ábra A periódusszám értelmezése a pa-y1 bifurkációs diagramban. Piros nyilakkal jelezve a 4.2. ábrán bemutatott Pioncare diagramok helyét. Az egyes bifurkációs pontokat kék nyíl jelzi. A kaotikus megoldást jelző 128-as periódusszámot nem ábrázolva, láthatóak a különböző periódusszámú megoldások. A kaotikus rész előtt létrejövő megoldások periódusszámát a piros nyilak és a bifurkációs pontok helyét a kék nyilak jelzik. A piros nyilak a korábban 4.2. ábrán szereplő Poincaré diagramoknak megfelelő gerjesztésen helyezkednek el, lásd 4.1 táblázat. Az 1-es nyíl egy egyperiódusú megoldást mutat, ami egy bifurkációs pont (kék nyíl) után kétperiódusú lesz (2-es nyíl). Körülbelül 2,3 bar-nál megjelenik egy a kétperiódusú megoldással párhuzamosan jelen lévő háromperiódusú megoldás is (3-as nyíl). Ez a megoldás is elér egy bifurkációs ponthoz így keletkezik egy hat-periódusú megoldás (4-es nyíl). Ezután megjelennek egyéb 23

38 magasabb periódusszámú megoldások is. 2,5 bar-hoz közeledve megfigyelhető, hogy a korábban lévő 2 periódusú megoldás is egy bifurkációs ponthoz ér így létrejön egy 4 periódusú rezgés (5-ös nyíl). A kezdeti 1 periódusú megoldás perióduskettőződése után 2 periódusú megoldás valamint a mellette jelentkező 3 periódusú megoldás további bifurkációkon mennek keresztül. Így elméletileg végtelen periódusú megoldásokat kaphatnék, de bizonyos számú és sűrűségi bifurkáció után a megoldások átalakulnak egy kaotikus megoldássá. Feigenbaum szerint meghatározható egy határérték, amely után már nem jön létre bifurkáció, hanem káoszszerű megoldás jelentkezik. Bővebben olvasható Feigenbaum Lyapunov exponens A kaotikus megoldás vizsgálatához szükség van a Lyapunov exponensre. Ez az érték megmutatja, hogy számítások részeredményei közelednek egymáshoz, vagy távolodnak egymástól, tehát bekövetkezik-e a konvergencia. Az exponens meghatározásához szükség van a linearizált formára, lásd (3.25) egyenlet. Az első részeredmény esetén meghatározom az y 1 L és y 2 L értékét, majd ábrázolom y 2 L -t y 1 L függvényében. A pont origótól mért távolsága d 0. A következő részeredmény esetén szintén meghatározom a liearizált értékeket, és létrehozom a d 1 távolságot. d 1 és d 0 hányadosáról kimondható: d 1 d 0 = e λ, (4.1) ahol λ a Lyapunov exponens. Egy iteráció vizsgálata esetén (4.1) egyenlet átírható: λ = ln d 1 d 0, (4.2) Minden iteráció esetén d N távolságot az előző d N 1 távolsággal vetem össze, λ = ln d N d N 1. (4.3) Majd ezen az értékek átlagolásával, megkapható a teljes iterációra: λ = lim N 1 N ln d N d N 1, (4.4) ahol N az iterációk száma. Az így kapott λ érték alapján kimondható, ha λ>0 akkor az eredmény kaotikus, ha λ<0 akkor nem kaotikus, hanem adott periódusszámú eredmény kapható. 24

39 4.6. ábra Lyaponov exponens értelmezése a gerjesztés nyomásamplitúdójának függvényében, R E = m egyensúlyi buboréksugár esetén. A piros sávon található λ>0 Lyapunov exponens érték, tehát itt van kaotikus megoldás. A 4.6. ábra alapján, pozitív Lyapunov exponens értékek 2,5 bártól 3,4 bárig jelentkeznek. A piros sáv jelöli a kaotikus megoldás jelenlétét, de lehetséges mellette más, nem kaotikus megoldás is Eredmények A szimulációkat a korábban már megadott állandó paraméterek mellett futtattam. A három állandó paraméter mellett két paramétert folyamatosan változtattam. E két paraméter a gerjesztés nyomásamplitúdója p A és az egyensúlyi buboréksugár R E. A gerjesztés amplitúdóját 1-5 bar intervallumban, az egyensúlyi buboréksugarat pedig m intervallumban változattam. Az egyensúlyi buboréksugár vizsgálati intervallumának meghatározásában figyelembe vettem a csillapított rendszer sajátfrekvenciáját, mely Brennen (1995) szerint: ω P = 3n(P p V ) ρ L R E (3n 1)σ ρ L R E 3 8μ 2 L ρ L R4. (4.5) E Az egyenletből látható, hogy amikor a gyökjel alatti rész negatív tartományba megy át, akkor komplex megoldása lesz. Ekkor a rendszer túlcsillapított állapotba

40 kerül. Hogy vizsgálhassam ezt a tartományt is, meg kellett határoznom a kritikus egyensúlyi buboréksugár értéket. Ehhez szükségem van a egyenletekben is szereplő, Haar Gallagher Kell egyenletekből meghatározható konstans anyagjellemzőkre, valamint a szimuláció során konstansként kezelt paraméterekre. Ismét öszszefoglalva: n = 1,4 P = 1 bar p V = 0, bar ρ L = 997,064 kg/m 3 σ = 0,072 N/m μ L = 8,9021*10-4 kg/m/s Az egyenlet zéruspontjainak megkeresése megmutatja, hogy milyen egyensúlyi buboréksugár értékeknél lesz a rendszer túlcsillapított. E számítás szerint a kritikus egyensúlyi buboréksugár R E,krit 3, m, tehát várhatóan ennél kisebb R E érték esetén változást tapasztalhatok az addigi struktúrában. Két kontrolparaméter függvényében végzem a számításokat: a gerjesztés nyomásamplitúdója és az egyensúlyi buboréksugár. E két érték folyamatos változtatása mellett vizsgálom a y 1 buboréksugárral arányos érték változását. Továbbá feltérképezem a maximális buborékfal sebességeket a maximális Mach-szám ábrázolásával Ma, és, az egyes alkalmazások terén érdekes, maximális nyomást p max a buborék belsejében. Majd a két kontrollparaméterrel kapott eredményeket összevetem NYOMÁSAMPLITÚDÓ, MINT KONTROLLPARAMÉTER A gerjesztő ultrahang nagyságát változtatva figyelem, hogy reagál erre a buborék. Először az y 1 Poincaré ábrára visszavetített értékeket ábrázolom (P(y 1 )): 26

41 4.7. ábra Az y1 értékek a gerjesztő nyomás függvényében, különböző egyensúlyi buboréksugár értékek esetén A 4.7. ábrán a különböző egyensúlyi buboréksugár értékeken lefuttatott szimulációk eredménye látható. A dimenziótlan buboréksugár értékeket ábrázolom a kontrollparaméter, a nyomásamplitúdó függvényében. Jellegre hasonlóak, mint a korábban példaként bemutatott bifurkációs diagram 4.3 ábra. Kezdetben egyperiódusú 27

42 megoldás átalakul több periódusúvá, megjelennek párhuzamos megoldások és a sok bifurkáció után létrejön a kaotikus állapot, majd ismét periodikus megoldás kapható. Észrevehető, hogy az egyensúlyi buboréksugár növelésével a kaotikus rész egyre kisebb gerjesztés mellett keletkezik. Tehát minél kisebb buborékot gerjesztek, annál nagyobb gerjesztési amplitúdóra van szükség, hogy létrejöjjenek magasabb periódusszámú rezgések és a kaotikus állapot. De fontos megállapítani, hogy a kritikus egyensúlyi buboréksugár R E,krit 3, m felett, az egyensúlyi buboréksugár hatása szinte elhanyagolható. Tehát a kaotikus rész közel ugyanolyan gerjesztés intervallumban keletkezik. Az egyensúlyi buboréksugarat csökkentve, 10-6 m-hez közeledve a kaotikus sáv vándorlása felgyorsul. A gyorsulás 5*10-5 és a 10-6 melletti diagram közti nagy különbségből egyértelműen látható. 5*10-7 m egyensúlyi buboréksugár érték mellett, 0-5 báros gerjesztés esetén a megoldás egyszerű lesz, mivel nincs kaotikus szakasz. Az egyensúlyi buboréksugár csökkenésével a kritikus érték alatt az y 1 egyre kisebb értéket vesz fel. Tehát a buborék egyre kisebb mértékű méretnövekedésen megy keresztül a rezgés folyamán. A buborékfal sebességet a maximális Mach szám ábrázolásával vizsgálom. A Mach szám az aktuális sebesség és a közegre jellemző hangsebesség, c L =1497,3 m/s, hányadosa. Az alkalmazás terén a Mach szám egy meghatározó változó. Magas érték esetén lökéshullám keletkezik, és ezt használja az ipari alkalmazások nagy része. Így érdemes meghatározni milyen paraméterek esetén keletkezik nagyobb Mach szám. 28

43 4.8. ábra A maximális Mach szám értékek a gerjesztő nyomás függvényében, különböző egyensúlyi buboréksugár értékek esetén A 4.8. ábrán a buborékfal sebességéből létrehozott Mach számot ábrázolom a gerjesztő nyomásamplitúdó függvényében. Az eredmény struktúrájában megegyezik a 4.7. ábrán látható azonos számítási pontokon kapott eredmény struktúrájával. A kaotikus rész itt is kivehető és az egyensúlyi buboréksugár változtatásával a vándorlás is szintén látható. Kijelenthető, hogy ahogy nő az egyensúlyi buboréksugár, úgy egyre 29

44 közelebb jut a buborékfal sebessége a folyadékban lévő hangsebességhez értéknél már Ma=0,6 értéket is elér a Mach szám. A kritikus egyensúlyi buboréksugár alatt az elérhető Mach szám rohamosan csökken. Míg R E = m esetén a Mach szám megközelíti a Ma=0,5 értéket, addig R E = m mellett épp eléri a Ma=0,2-et. R E = m esetén a Mach szám már csak század nagyságrendű. Nagy sebességérték esetén bekövetkezik a buborék összeroppanása. Ekkor gyorsan töredékére csökken a buborék sugara és a buborékban nagy nyomásérték várható. A nagy nyomást igénylő alkalmazások számára az egyik legfontosabb tényező az elérhető nyomásmaximum. Ezért szükséges a buborékban keletkező maximális nyomások p max vizsgálata. 30

45 4.9. ábra A maximális nyomás értékek a gerjesztő nyomás függvényében, különböző egyensúlyi buboréksugár értékek esetén A 4.9. ábrán a buborékban keletkező nyomásmaximumokat vizsgálom a gerjesztő nyomásamplitúdójának függvényében. Az eredmény struktúrájában megegyezik a korábbiakkal. A várakozásnak megfelelően a nagyobb Mach szám értékek esetén nagyobb nyomásértékek kaphatóak. Tehát amikor az összeroppanás a leggyorsabban megy végbe, akkor keletkezik a legnagyobb nyomás a buborékban. A kaotikus sza- 31

46 kasz után egy stabil kétperiódusú rezgés következik, amely esetén a maximális nyomás közel lineárisan növekszik a gerjesztő amplitúdó függvényében. Ez a jelleg az összes egyensúlyi buboréksugár érték esetén megfigyelhető, ahol kialakul kaotikus rész. A nyomásérték maximuma az egyensúlyi buboréksugár növekedésével egyre nagyobb értéket vesz fel, R E = m mellett közelíti a bárt. Viszont, ahol kis Mach szám keletkezik ott a maximális nyomás is kicsi. Így a nyomás esetében is elmondható, hogy a kritikus egyensúly buboréksugár alatt az értéke rohamosan csökken. A kapott eredmények p max, Ma és y 1 jellegre hasonlóak, felismerhetőek minden esetben a kaotikus és periodikus részek. Magasabb RE értékek esetén ugyanaz a jellemző minta ismerhető fel mindhárom változónál. A kisebb egyensúlyi buboréksugár értékek esetén nagyobb gerjesztő nyomásamplitúdó szükséges, hogy a kezdeti egyperiódusú megoldáson bifurkációk következzenek be. Továbbá a kritikus egyensúlyi buboréksugár feletti megoldások közel függetlenek az egyensúlyi buboréksugártól. De a kritikus érték alatt, a túlcsillapítás hatására, a változók értéke rohamos csökkenésbe indul. A szélsőséges nyomásértékek illetve Mach számok magas gerjesztésen, p A =5 bar, és nagyobb egyensúlyi buboréksugár érték esetén R E = m keletkeznek. A további egyensúlyi buboréksugár értékek mellett kapott bifurkációs diagramok a mellékletben ábrákon láthatóak EGYENSÚLYI BUBORÉKSUGÁR, MINT KONTROLLPARAMÉTER Az egyensúlyi buboréksugár értékét változtatom 10-6 m-től 10-4 m-ig. Ebben az esetben is vizsgálom a maximális Mach számot és a maximális nyomásértékeket, a különböző gerjesztő nyomásamplitúdó értékeken. A struktúra meghatározásához y 1 dimenziótlan buboréksugár értéket ábrázolom. 32

47 4.10. ábra Az egyensúlyi buboréksugár függvényében az y1, különböző nyomásértékek esetén. A RE logaritmikus skálán ábrázolva. Ahogy a ábrán látszik, alacsony gerjesztés esetén csak egy egyperiódusú megoldás tapasztalható, összhangban a nyomás függvényében ábrázolt megoldással. Ahogy növekszik a nyomásamplitúdó a kaotikus rész egyre kisebb egyensúlyi buboréksugár értékek felé tolódik. 2 és 3 bar között a kaotikus sáv átvándorol a teljes intervallumon. 5 bárnál megjelennek kaotikus ablakok m és m egyen- 33

48 súlyi buboréksugár értékek között. A kaotikus ablakot mindkét oldalról bifurkációs pontok, majd periodikus megoldások veszik körül. A 10-6 m-nél még kétperiódusú megoldás négyperiódusúvá majd nyolcperiódusúvá válik. A következő bifurkáció után már kaotikus rész is megjelenik. Végül 10-5 m-nél a megoldás ismét nyolcperiódusú lesz. Korábban már említettem a Mach szám fontosságát az egyes alkalmazások terén. Ezért ezt az értéket az egyensúlyi buboréksugár függvényében is vizsgálni kell ábra Az egyensúlyi buboréksugár függvényében a maximális Mach szám, különböző nyomásértékeken 34

49 A ábrán is látható, hogy a legnagyobb buborékfal sebesség a nagyobb buborék méret és magasabb gerjesztés amplitúdó érték esetén keletkezik. Ahogy a nyomás függvényében is látható volt a maximális Mach szám Ma=0,6-hez közelít, p A =5 bar és R E = m értékek mellett. A maximális nyomásértékeket is vizsgálom az egyensúlyi buboréksugár függvényében ábra Az egyensúlyi buboréksugár függvényében a maximális nyomás értékek, különböző nyomásértékek mellett. 35

50 A ábrán is látszik, hogy bárt is megközelítheti a buborékban a nyomás, magas gerjesztési érték esetén. Alacsony gerjesztésen a nyomás is csak 10-es nagyságrendű. Ezek a szélsőséges nyomásértékek stabil, alacsony periódusszámú buborékrezgés mellett is elérhetőek. Ez kedvező az egyes alkalmazások számára, mivel a szükséges lökéshullámokat szabályos rezgésekkel érjük el, és nem előnytelen kaotikus oszcillációval. A további gerjesztés nyomásamplitúdó értékek mellett kapott bifurkációs diagramok a mellékletben ábrákon láthatóak KÉT KONTROLPARAMÉTER A két kontrolparaméter függvényében történő ábrázolással jobban áttekinthető, hogy milyen egyensúlyi buboréksugár és gerjesztési nyomásamplitúdó párosítás esetén kapható periodikus vagy kaotikus megoldás. Feltérképezhető, hogy hol keletkeznek a magas Mach számok, tehát lökéshullámok, illetve milyen esetben keletkezik a legnagyobb nyomás. Így az ilyen szélsőséges értékeket igénylő alkalmazásokhoz megtalálhatóak a szükséges egyensúlyi buboréksugár és gerjesztés nyomásamplitúdó értékek. Az általam lefuttatott összes szimuláció eredményét ábrázolom egy háromdimenziós diagramban, az egyensúlyi buboréksugár R E és a gerjesztés nyomásamplitúdójának p A függvényében az y 1 dimenziótlan buboréksugarat, a maximális Mach számot Ma és a maximális nyomást p max ábra A nyomásamplitúdó és az egyensúlyi buboréksugár függvényében az y 1 dimenziótlan buboréksugár. Pirosra színezve a kritikus egyensúlyi buboréksugár körüli megoldásokat. 36

51 A ábrán jól látható a kritikus egyensúlyi buboréksugár hatása. Az R E = 3, m egyensúlyi buboréksugár érték alatt a kaotikus sáv eltolódik egyre nagyobb gerjesztések irányába. R E = érték alatt kaotikus állapot már nem keletkezik a vizsgált gerjesztési intervallumban ábra Nyomásamplitúdó és az egyensúlyi buboréksugár függvényében a maximális Mach szám. Pirosra színezve a kritikus egyensúlyi buboréksugár körüli megoldásokat ábra A nyomásamplitúdó és az egyensúlyi buboréksugár függvényében a maximális nyomás. Pirosra színezve a kritikus egyensúlyi buboréksugár körüli megoldásokat. 37

52 Mindhárom ábrán, ábra, ábra, ábra, jól látható a kaotikus rész elhelyezkedése. Egyértelműen kiderül, hogy nagyon kicsi egyensúlyi buboréksugár értékek esetén (R E < 5*10-7 m) a kaotikus rész a 0-5 báros tartományban nem jön létre. Majd egy rövid átmeneti szakasz után (5*10-7 m < R E < 3*10-6 m) felvesz egy állandó pozíciót p A = 1,5 3 bar gerjesztés mellett. Pontos szabályozást igénylő alkalmazások esetén, például az egészségügyi felhasználásban, az e kaotikus sávba eső részt nem ajánlatos alkalmazni, mivel kiszámíthatatlan. De egyes alkalmazásokban lehetséges, hogy éppen erre a rendszertelen rezgésre van szükség, például ha a gerjesztés oldódást vagy keveredést hivatott segíteni, gyorsítani. Nagyon kicsi egyensúlyi buboréksugár esetén a gerjesztésnek már nincs hatása a buborék rezgésének struktúrájára. A 10-7 m nagyságrendű egyensúlyi buborék méret mellett egy sima egyperiódusú megoldás kapható. Kijelenthető, hogy az ultrahangos gerjesztés nem túl hatékony, ha túl kicsi buborékokra kell alkalmazni. Így olyan körülményeket kell teremteni, ahol ennél nagyobb méretű buborékok is vannak. Az alkalmazások nagy részénél ez nem okozhat problémát, az atomi átmérő m nagyságrendű, a vírusok 10-8 m nagyságrendű, és a levegőben lévő aeroszolok m nagyságrendű méretekkel bírnak. Tehát belátható, hogy az esetek többségében a megfelelő egyensúlyi buboréksugár biztosítható. Az egyensúlyi buboréksugárhoz hasonlóan a kis nyomás értékek sem okoznak túl nagy változást a buborék rezgésében. Az oszcilláció periódusideje megegyezik a gerjesztés periódusidejével. Egy viszonylag stabil terület látható 3,4*10-6 m < R E < 1*10-4 m és 3 bar < p A < 4 bar intervallumban. Ebben a sávban magas nyomásértékek és sebességértékek jelentkeznek. Mivel elég széles intervallumról van szó, ezért a szabályozás egyszerűbb, mint ha kisebb intervallum állna rendelkezésre. A magas nyomásértékek és sebességértékek széleskörű alkalmazhatósági lehetőségeket biztosítanak. Az ekkor kialakuló szabályos lökéshullámok hasznossá teszik szinte bármely felhasználási területen. A maximális nyomás és Mach szám értékek a legnagyobb paraméter értékek mellett, ez esetben 10-4 m egyensúlyi buboréksugár és 5 bar gerjesztés amplitúdó, keletkeznek. Jellegre úgy tűnik, hogy ezen a maximális ponton a megoldás egy végleges maximumhoz közeledik az egyensúlyi buboréksugár függvényében. A méréshatár bővítésével meghatározható ez a maximum. A nyomás függvényében a vizsgált intervallumban folyamatos emelkedés látható a maximális nyomás és Mach szám értékekben. Így várhatóan a nagyobb nyomásokat és sebességértékeket igénylő alkalmazások esetén a gerjesztés nyomásamplitúdójának növelésével elérhető a megfelelő nagyság. 38

53 5. ÖSSZEFOGLALÁS Az ultrahanggal gerjesztett gőz és gázbuborék dinamikai vizsgálatának során több mint 50 szimulációt futtattam. A kapott eredmények kiértékelése során, az olyan területeken, ahol gyorsan nagy változás megy végbe a mérési pontokat besűrítettem. Így jobb képet kaptam a buborék rezgéséről. A felhasznált program megfelelő paramétereinek beállításával és ideális osztásköz és konvergencia határ megválasztásával, jól ábrázolható, pontos eredményeket kaptam. A buborék állapotát két paraméter, a gerjesztés nyomásamplitúdója és az egyensúlyi buboréksugár függvényében vizsgáltam. A gerjesztés amplitúdót a 0 5 báron változtattam, az egyensúlyi buboréksugárét m intervallumon. Néhány számítást végeztem 10-6 méternél kisebb sugarakon is, hogy pontosabb képet kapjak a rendszer csillapításáról. A vizsgált intervallumon viszonylag jó képet kaptam a buborék viselkedéséről. A buborék rezgetése folyamán feltérképeztem a maximális nyomás és buborékfal sebesség állapotokat. Az eredményekből kiderül, hogy a legnagyobb nyomás és Mach szám az 5 báros gerjesztés és 10-4 m egyensúlyi buboréksugár mellett keletkezik. Ekkor a nyomásértékek megközelítik a bár nyomást és a 0,6-as Mach számot. Ezek a szélsőséges értékek több felhasználhatósági mód számára hasznosak. A teljes intervallumot megfigyelve további területek észlelhetők melyek alkalmasak arra, hogy egy adott alkalmazás szempontjából megvizsgáljuk. Az összes eredmény vizsgálatából kiderül, hogy hol van kaotikus állapot, ez segít, hogy bizonyos esetekben elkerülhető legyen, más esetben előidézhető legyen. Található egy kétperiódusú megoldás, mely széles tartományban keletkezik (2*10-6 m < R E < 1*10-4 m és 3 bar < p A < 4 bar). Az alkalmazásoknak ideális nagy nyomás és sebesség értékek keletkeznek ebben az intervallumban. A nyomás és bar között alakul, míg a Mach szám 0,3 és 0,7 nagyságban mozog. Az alkalmazások tanulmányozása során arra jutottam, hogy a technológia széleskörű felhasználásra ad lehetőséget. Bizonyos alkalmazások, például az energiaipar és egészségügy esetében az ultrahang alkalmazása teljesen új irányt jelenthet Kitekintés, fejlesztés A számítógépes futtatások során kiderült, hogy az ehhez hasonló bonyolult mozgásegyenletek megoldása nagy kapacitást igényel. Így ahhoz, hogy jó felbontású megoldást kapjunk széles intervallumban, szükség van olyan informatikai kapacitásra, mely számomra nem volt elérhető. Mind a grafikai megjelenítést fejleszteni kell, 39

54 mind a programot, amely kiszámítja az eredményeket. Ezekkel értékes idő spórolható a kutatás során. A jövőben tervezem az eddig vizsgált intervallumok kibővítését, kiegészítve más kontrollparaméterekkel, valamint vizsgálni a buborék rezgését a víztől eltérő tulajdonságokkal rendelkező közegben, teljessé téve ezzel a buborékdinamika feltérképezését. Fontos a szimulációk eredményét mérési értékekkel összevetni, ezzel validálni az eredményeket. Miután elkészültek ezek az állapottérképek érdemes azokat megvizsgálni az alkalmazások szempontjából is és megismerkedni a jelenleg már alkalmazott berendezésekkel. Ezek esetleg fejleszthetőek, mivel az ultrahang jótékony hatását már felismerték korábban is, de részletes paramétervizsgálatot kevesen végeztek. Így a jelenlegi alkalmazások esetén optimalizálni lehet a működési paramétereket. Új felhasználási területet is lehet vizsgálni, törekedve az energiahatékonyságra. 40

55 6. SUMMARY Keywords: bubble, ultrasound, cavitation Vapour and gas bubbles have been creating a lot of work for engineers so far. Usually it is the matter of cavitation. It causes a lot of problems when the bubble bulk collapses and causes the equipment to erode. These bubbles can be excited by ultrasound and this makes them more stable and computable. There are many applications today which use ultrasonic excitation to be more efficient. If the bubble oscillation can be influenced and controlled, it will be useful for plenty of industrial applications. To this state we should map the bubble behaviour under ultrasonic excitation. If we know the dynamics of a single spherical bubble we will be able to make some conclusions for a bubble bulk or layer. Single spherical bubbles make periodic and non-periodic, chaotic oscillations by the effect of excitation. If we know which parameter values cause chaotic and periodic oscillation we can control the bubble status. I examined the bubble oscillation in endless liquid environment. I chose two control parameters, the exciting pressure amplitude and the equilibrium radius and I made some simulations changing these parameters. As a result it can be stated which parameter values make chaotic and non-chaotic oscillation and where maximum pressure and maximum velocity value appear. This computation can be very useful for various applications using shock wave with maximum velocity. Ultrasound is applied at materials industry, at energy industry, at wastewater treatment, at health and food technology. With good bubble dynamic map these applications could be developed and could be made more efficient. Furthermore it is possible to apply it in new areas. Ultrasonic technology makes it possible to use less energy and make better products. This attribute makes it competitive in the market today. As a consequence ultrasound technology has big future potential and it deserves further research and development. 41

56 42

57 7. FELHASZNÁLT FORRÁSOK 1. Akhatov, I., Lindau, O., Topolnikov, A., Mettin, R., Vakhitova, N., Lauterborn, W., Collapse and rebound of a laser-induced cavitation bubble. Phys. Fluids 13(10), Brennen, C.E., Cavitation and bubble dynamics. Oxford University Press, New York. 3. Chan, W.K., Detection of cavitation erosion in centrifugal pumps. Int. J. Heat Fluid Fl. 9(1), Englisch, V., Lauterborn, W., The winding-number limit of perioddoubling cascades derived as Farey-fraction. Int. J. Bifurcat. Chaos 4(4), Escaler, X., Egusquiza, E., Farhat, M., Avellan, F., Coussiart, M., Detection of cavitation in hydraulic turbines. Mech. Syst. Signal Pr. 20(4), Feigenbaum, Presentation functions, fixed points, and a theory of scaling function dynamics, Journal of Statistical Physics, 52, Goodwin, Sengers, Peters, Applied thermodynamics of fluids Haar, L., Gallagher, J.S., Kell, G.S., NBS/NRC Wasserdampftafeln. Springer, Berlin. 9. Hao, Y., Prosperetti, A., The dynamics of vapour bubbles in acoustic pressure fields. Phys. Fluids. 11(8), Hegedűs Spherical bubble dynamics and cavitating vortex shedding, Kamath, V., Prosperetti, A., Numerical integration methods in gasbubble dynamics. J. Acoust. Soc. Am. 85, Keller, J.B., Miksis, M., Bubble oscillations of large amplitude. J. Acoust. Soc. Am. 68(2), Lauterborn, W., Cramer, E., Subharmonic route to chaos observed in acoustics. Phys. Rev. Lett., 47(20), Lauterborn, W., Numerical investigation of nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids. J. Acoust. Soc. Am., 59(2), Lauterborn, W., Kurz, T., Mettin, R., Ohl, C.D., Experimental and theoretical bubble dynamics. In: Advances in Chemical Physics (ed. Prigogine, I. and Rice, S.A.) 110,

58 16. Lauterborn, W., Koch, A., Holographic observation of perioddoubled and chaotic bubble oscillations in acoustic cavitation. Phys. Rev. A, 35(4), Lauterborn, W., Suchla, E., Bifurcation superstructure in a model of acoustic turbulence. Phys. Rev. Lett., 53(24), Leonelli, Mason, Chemical engineering and processing: Process Intensification, Mahvi Application of Ultrasonic Technology for Water and Wastewater Treatment, Iranian J Publ Health, Vol. 38, No.2, pp Parlitz, U., Englisch, V., Scheffczyk, C., Lauterborn, W., Bifurcation structure of bubble oscillators. J. Acoust. Soc. Am., 88(2), Parlitz, U., Lauterborn, W., Resonances and torsion numbers of driven dissipative nonlinear oscillators. Z. Naturforsch., 41A, Parlitz, U., Common dynamical features of periodically driven strictly dissipative oscillators. Int. J. Bifurcation and Chaos., 3(3), Plesset, M.S., 1949, The dynamics of cavitation bubbles. ASME J. Appl. Mech. 16, Plesset, M.S., Prosperetti, A., Bubble dynamics and cavitation. Ann. Rev. Fluid Mech. 9, Prosperetti, A., 1993, Bubble dynamics: some things we did not know ten years ago. In Bubble dynamics and interface phenomena pp Boston:Kluwer. 26. Prosperetti, A., Crum, L.A., Commender, K.W., Nonlinear bubble dynamics. J. Acoust. Soc. Am. 83, Prosperetti, A., Nonlinear oscillations of gas bubbles in liquids: steady-state solutions. J. Acoust. Soc. Am., 56(3), Prosperetti, A., Application of the subharmonic threshold to the measurement of the damping of oscillating gas bubbles. J. Acoust. Soc. Am., 61(1), Rayleigh, L., On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity. Phil. Mag. 34, Suslick, Price Applications of ultrasound to materials chemistry Annu. Rev. Matter. Sci. 29: Ttaleyarkhan, West, Cho, Lahey Jr.,Nigmatulin, Block, Evidence for Nuclear Emissions During Acoustic Cavitation, 295, Yu, Wang, Mason A review of research into the uses of low level ultrasound in cancer therapy

59 8. MELLÉKLET 8.1. Nyomásamplitúdó, mint kontrollparaméter melléklet 8.1. ábra 45

60 8.2. ábra 46

61 8.3. ábra 47

62 8.4. ábra 48

63 8.5. ábra 49

64 8.6. ábra 50

65 8.7. ábra 51

66 8.8. ábra 52

67 8.9. ábra 53

68 8.10. ábra 54

69 8.11. ábra 55

70 8.12. ábra 56

71 8.13. ábra 57

72 8.14. ábra 58

73 8.15. ábra 59

74 8.16. ábra 60

75 8.17. ábra 61

76 8.18. ábra 62

77 8.19. ábra 63

78 8.20. ábra 64

79 8.21. ábra 65

80 8.22. ábra 66

81 8.2. Egyensúlyi buboréksugár, mint kontrollparaméter melléklet ábra 67

82 8.24. ábra 68

83 8.25. ábra 69