5. gyakorlat: Digitális alapsávi átvitel

Átírás

1 5. gyaorlat: Digitális alapsávi átvitel O.5.. A PAM jel spetrális viseledése PAM (Pulse Amplitude Modulation) jelne az () ifejezéssel értelmezett jeleet nevezzü: spam ( t) d h( t T). () A T időtartamot jelzési időne, a h ( t), t (, ) lényegében folytonos, többéevésbé orlátozott időtartamú függvényt elemi jelne, a d,,,,... diszrét értéészletű sorozat elemeit amplitúdóna nevezzü. Ha az elemi jel elég eseny (esenyebb, mint T), aor () szemléletes értelmezése: a modulált jel T szélességű szaaszait, az időréseet az elemi jel d -val arányos magasságú változataival töltjü i. Matematiailag () az elemi jel és az amplitúdó diszrét sorozatána onvolúciója. A d sorozat elemei gyaran várható értéűe (néha nem!), értéü soszor, 3,..., értéészletü számossága rendszerint ettő valamely hatványa, így egy amplitúdó egy véges hosszú bitsorozat épviseletét látja el. Pl. négyszintű jelnél a, 3 értéű amplitúdó rendre a,,, bitpáro megjelenítését végezheti. Az amplitúdó sorozatáról gyaran feltételezhető, hogy elemei statisztiailag függetlene. Ha ez igaz, aor a PAM jel spetrális viseledését izárólag az elemi jel határozza meg. Az elemi jelalaot az adószűrő-csatorna-vevőszűrő lineáris rendszer alaítja, így enne spetruma H( f ) c H A( f ) HC ( f ) HV ( f ). (Ebben az összefüggésben c valójában egy érdetelen szorzótényező, a D/A átalaító onverziós tényezője, így a szűrő átviteli függvénye dimenziótlan.) O.5.. A szimbólumözti áthallásmentesség feltétele Eddigi tanulmányain során láthattu, hogy az átviteli út lineáris torzításai (nemlineáris fázismenet, ill. aluláteresztő jellegű átviteli araterisztia) impul zusiszélesedéshez, azaz diszperzióhoz vezet. Digitális átvitelnél ez a jelenség ülönösen ellemetlen, mivel a szomszédos időrése özött áthallást ooz (ISI = Intersymbol Interference). A PAM jel megfejtése, iértéelése időrésenént történi, a jelből az időrése özepe tájéán vett egyetlen minta alapján. Az ISI nehezíti a deteciót (rontja a jel-zaj viszonyt), ráadásul edvezőtlen esetben önmagában is a vett minta hibás értelmezéséhez vezethet. (lásd P.7.5. példa) A szimbólumo özötti áthallás elerülhető, ha az elemi jel hatása a szomszédos időrése mintavételi időpontjában zérus. Pontosabban: van egy olyan t mintavételi időpont, hogy h, ha t t h( t), ha t t T, () tetsz őleges, egyébént

2 Eor () alapján behelyettesítéssel is látható, hogy spam ( t it )... di h, valóban nem lesz szimbólumözti áthallás. A fenti feltétel tulajdonéppen az elemi jelből nyert h( t T), T-özű mintasorozatra tesz iötést. A mintá özül csa h h ülönbözi nullától, így a mintasorozat spetruma H s ( f ) h T. A mintavett jele spetrumáról tanultu, hogy megadható az eredeti jel halmozott spetrumával: j ( f T ) t s H ( f ) H( f T) e h T Tehát minden olyan elemi jel, melyne spetruma ielégíti a fenti relációt (Nyquist ritérium), vagyis a jelzési idő reciproával halmozott spetruma onstans, egyben ielégíti a () feltételt is, vagyis az átvitel ISI mentes lesz. O.5.3. A zaj hatása Az átviteli utat szinte mindig terheli valamilyen zaj. Mivel a hibavalószínűség a jel/zaj viszony monoton csöenő függvénye (ld. P.7.4. példa), ezért célszerű vevőnet zajra is optimalizálni. Szélessávú, additív fehér zaj esetében a legjobb jel/zaj viszonyt abban az esetben apju, ha a vevőszűrő araterisztiája valamely t ésleltetéstől és egy arányossági tényezőtől elteintve - éppen omplex onjugáltja a bejövő jel spetrumána, amelyet ha a csatorna torzításmentes - az adószűrő alaít i: * jft H ( f ) H ( f ) e V Ha a csatorna zajána spetrális sűrűsége N, aor a vevőszűrő imenetén a zaj spetrális sűrűsége ( ) ( ) * jft ( ) ( ) ( ) j ft s f HV f HV f N HV f H A f e N cˆ H( f ) e N vagyis egy arányossági tényező erejéig az elemi jel Fourier spetrumával lesz megegyező (itt most cˆ c ). A döntést zavaró zaj szórásnégyzete, teljesítménye pedig N jft s ( f ) df cˆ H( f ) e df cˆ h N. A jel nagyságát pl. a leadott elemi jel energiájával minősíthetjü. Ez esetünben E c H A ( f ) df c c H V ( f ) H A ( f ) e A jft df cˆ H( f ) e jft h df cˆ A hibavalószínűséget h és - vagy négyzetei - viszonya határozza meg. Ez a viszony most: h h h E. cˆ h N N Tanulság: az elemi jel energiája és a zaj spetrális sűrűsége a hibavalószínűség meghatározó tényezői. Kis teljesítménnyel is el lehet érni is hibavalószínűséget, csa időt ell rá szánni, hiszen icsiny elemi jelne is lehet nagy az energiája, ha elég hosszan tart, azaz, ha T elég nagy.. Az elemi jel energiája ezen túlmenően meghatározza az adatjel teljesítményét is.

3 P.5.. Szemábra vizsgálata Rajzolju fel az ideális bináris NRZ jel elemi jelalaját, a..,,,,,.. bitsorozathoz tartozó jelalaot, majd a szemábrát! Tegyü meg ugyanezt, ha a jelet diszperzió sújtotta és a jelala oly módon torzult, hogy mind a csúcstól csúcsig fel- és lefutás, mind a csúcson maradás ideje T/! P.5.. A szimbólumözti áthallás elerülése Gondolju át, milyen jelzési sebessége esetén nincs szimbólumözti áthallás, ha az elemi jel spetruma f B, ha f B H( f ) B!, egyébént Gondolju át azt is, mi a övetezménye anna, ha a jelzési sebesség icsi az elemi jel sávszélességéhez épest! A megadott spetrumhoz tartozó időfüggvény is italálható, hiszen ez a háromszög egy feleszélességű "téglalap" önmagával alotott onvolúciója. Az időfüggvény tehát: 3

4 sin( Bt) h( t). Bt Teintve, hogy enne a függvényne nullhelyei /B egész soszorosainál vanna, a jelzési idő (az időrése szélessége) is /B soszorosa lehet, s eor nincs szimbólumözti áthallás. A frevenciatartományi ép alapján is erre a öveteztetésre jutun. Ha ugyanis a jelzési sebesség éppen B, az egymásra lapolódó eltolt háromszöge éppen onstansra egészíti i egymást. Ha a jelzési sebesség B-ne tört része, aor még e onstansoat is egymásra ell lapolni, persze az összeg eor is állandó marad. Ez a ép ad módot a másodi érdés tisztázására. Ha a jelzési sebesség icsi, aor so eltolt spetrum lapolódi egymásra, s bármilyen is a szélessávú spetrum alaja, so egymásra lapolódó szeleténe összege özel ugyanaz a onstans lesz. Minél több szelet játszi szerepet, eze annál esenyebbe, annál inább onstans az eredő. Ha pedig icsi az eredményfüggvény ingadozása, aor az azt jelenti, hogy icsi a megmaradt szimbólumözti áthallás is. P.5.3. Illesztett adó- és vevőszűrő araterisztiájána meghatározása Hogyan választaná meg a PAM rendszer adó- és vevőszűrőjét az előző feladatban megadott elemi jelala elérése érdeében, ha a csatorna torzításmentes ( H C ( f ) ), de fehér zajjal terhelt? A legjobb vevőszűrő illeszedi a vett jelhez, tehát HV ( f ) H A( f ). Ez a feltétel legegyszerűbben a HV ( f ) H A( f ) f T, ha f / T alaú tiszta valós araterisztiájú szűrőel valósítható meg. (Most tehát a arányossági tényező, az adó D/A átalaítójána c onverziós tényezője pedig T. Az egy mási érdés, hogy eze a szűrő a valóságban mennyire önnyen realizálható.) P.5.4. Példa a hibavalószínűség számítására Egy szimbólumözti áthallástól mentes bináris szinron PAM jel mintái a vevőszűrő utáni ponton. V értéűe. A vonali jelet szélessávú additív Gauss zaj zavarja, amely miatt a vevő döntő áramöréne bemenetén a jelmintához nulla várható értéű,.3 V szórású, normális eloszlású zaj adódi. Határozzu meg az átvitel hibavalószínüségét! Hogyan alaul a hibavalószínűség négy-, illetve nyolcszintű rendszer esetében, ha feltételezzü, hogy az egyes szinte előfordulási valószínűsége azonos? Hogyan változi a jelteljesítmény a szinte számána függvényében? A döntési üszöböt a névleges jelmintá özéne felére állítva étszintű rendszernél hibázás aor történi, ha a zaj n pillanatértée túl nagy abszolut értéű és rossz irányú. Ha az m jelérté h, aor: * 4

5 P e P ( n h, m h ) P( n h, m h ). Mivel a zaj a hasznos jeltől független, ezért írhatju, hogy P n h ) P( m h ) P( n h ) P( m ). P e ( h ( n h ( n h Az itt szereplő P ) és P ) valószínűsége az egységnyi szórású, nulla várható értéű normális eloszlás y Φ( x) e dy omplementer eloszlásfüggvénye segítségével adható meg: P ( n h ) Φ( h ), és P ( n h ) Φ( h ). Mivel a nulla várható értéű normális eloszlás sűrűségfüggvénye páros függvény, eze egyenlőe, s így az eredő hibavalószínűség: P m h ) P( m h ) Φ( h. P e x ) ( ( m h ) P( m h ) Felhasználva, hogy P, a étszintű rendszer hibavalószínűségére az adódi, hogy 5 P e Φ( h ) Φ(..3) 3.. Többszintű rendszere esetében a szinte számát (ez általában valamilyen hatványa) L-lel jelölve az egyes mintá a h, 3 h, 5 h,..(l ) h értéeet veheti fel. A szélső m=(l ) h értée esetében csa az ellentétes polaritású zaj épes hibát oozni, a többie esetén mindét irány fájdalmas lehet. A lehetőségeet számba véve, fetételezve, hogy a ülönböző szinte előfordulásána valószínűsége azonos ( L ), a hibavalószínűség: L h P e Φ L A fenti épletből látható, hogy a négyszintű rendszer hibavalószínűsége 5%-al, a nyolcszintűé pedig 75%-al nagyobb, mint az öszevethető étszintűé. Vegyü észre, hogy a szinte számána növelésével a jelteljesítmény is növeszi. Négyszintű jel esetében az átlagteljesítmény ( 3 ) 5-szöröse, míg nyolcszintű jel esetében már ( ) 4 -szerese az összevethető étszintűéne. Ez azt jelenti, hogy a négyszintű rendszernél 7, a nyolcszintűnél pedig nagyjából 3 db-lel ell nagyobb jel/zaj viszonyt biztosítani egy valamivel rosszabb hibaarány eléréséhez. A teljesítménynöveedés a szinte számával nem meglepő módon nagyjából négyzetes, L szintű jel esetében, az egyes szinte előfordulási valószínűségét azonosna feltételezve, ( L ) 3-szoros. Lehet persze isebb teljesítménnyel adni, ha azonban h csöen, aor a hibavalószínűség nő meg. P.5.5. A szimbólumözti áthallás romboló hatása Tételezzü fel, hogy az m(.) elemi jel valamely mintavételi fázisban ugyan ielégíti Nyquist feltételét (azaz T özű mintái rendre m, m, m,...), de a mintavételi fázis időzítési hiba öveteztében elcsúszi, és a meghatározó jelmintá m. 99, m., m., m,...értéűe leszne. Becsüljü meg a hibavalószínűséget meghatározó jel-zaj viszony leromlását, 4 és 8 szintű rendszerben! 5

6 Feltételezzü, hogy a, 4 és 8 szintű rendszerben a jelamplitúdó rendre, és 3 valamint,3, 5 és 7 értéűe. Mivel a jelamplitúdó özötti távolság azonos, azonos zajban e rendszere hibavalószínűsége is összevethető (bár enyhén ülönböző, miért is?). Aor, amior nincs szimbólumözti áthallás, a hibavalószínűséget meghatározó jel-zaj arány /, ahol a zajmintá szórása. Az időzítési hiba esetén az adatjel mintái elmosódna, az atuális időrés amplitúdója mellett. súlytényezővel a szomszédos időrése amplitúdói is "látszana". Legrosszabb esetben a szomszédos amplitúdó abszolut értée maximális, előjelü pedig olyan, hogy hatásu ugyanabba az irányba tolja el a vett minta értéét. Az eltérő tartalmat hordozó jelmintá távolsága így lecsöen, a fél-távolság. 99 d max (.. ) lesz. A zaj szórását a dolog nem érinti, ezért a jel-zaj viszony csöenése rendre.79,.39-szeres. 8 szintű rendszerben nagy baj van: Ez azt jelenti, hogy még zaj nélül is hibás olyor a döntés. Tanulság: a szimbólumözti áthallás mindig gondot jelent, de ez a gond többszintű rendszerben hatványozottan jelentezi. P.5.6. Példa a szimbólumözti áthallás finomszerezetére Egy szinron PAM rendszerben a szimbólumözti áthallást az eltorzult elemi jel m., m., m. 5, m,...mintái jellemzi. Milyen értéeet vehet fel a -adi időrésből vett zajmentes jelminta, ha az adás étszintű, illetve négyszintű? Állapítsa meg, mely értéene van döntő szerepe a hibavalószínűség meghatározásában! A zajmentes jelmintá: s. 5 d. d. d Kétszintű esetben a három szomszédos adat összesen nyolcféle lehet. Ha a özépső adat értée, aor a mintá rendre:.5,.5,.95,.75. A mási négyes nullára szimmetriusan épződi: -.5, -.5, -.95, Négyszintű jelnél az adato értée és 3. Ha a özépső adat éppen 3, aor örülötte 6 féle érté állhat elő, eze egyie-másia elfajuló lehet, amennyiben esetleg ülönböző szomszédos értépáro is oozhatna azonos értéű eltolódást. A legnagyobb értéeltolódást érdemes számba venni. Ha mindét szomszéd maximális, azaz 3-as abszolut értéű, s szerencsétlenül azonos irányba hatna, aor a maximális értéeltolódás Így tehát 3-as értéű özépső adat hatására a.5 és a 3.75 özötti mintaértée jöhetne létre. Az értéű adat hatására hasonlóéppen.5 és.75 özötti mintá eletezhetne. Negatív oldalon hasonló a helyzet. 6

7 G.5.. Gyaorló feladat Egy T jelzési idejű, bináris ( d ) alapsávi PAM rendszer elemi jele az alábbi ábrán látható. h(t) a) Rajzolja fel az alapsávi PAM jelet, ha az átvinni ívánt bitsorozat , és az -et +, a -t pedig értéű amplitúdó ( d ) jeleníti meg!.5.5 t b) Keletezi-e itt szimbólumözti áthallás, ha a mintavétel fázisa t T 4? c) Milyen értéű mintáat szolgáltathat a T T vevőészülé mintavevője? d) Rajzolja fel a vett jel szemábráját! e) Alalmas-e ez az elemi jel négyszintű rendszer üzemeltetésére? f) Alalmas-e ez az elemi jel nyolcszintű rendszer üzemeltetésére? G.5.. Gyaorló feladat Egy T jelzési idejű, bináris ( d ) alapsávi PAM rendszer elemi jeléne spetrumát az alábbi éplet adja meg. a) Rajzolja fel léptéhelyesen ezt a h T cos ft ha f H ( f ) függvényt! b) Vizsgálja meg és nyilatozzon, egyébént T elerülhető-e ebben a rendszerben a szimbólumözti áthallás? c) Milyen lehet ebben a rendszerben a vevőszűrő átviteli függvénye? (Feltehető, hogy rendszerünet szélessávú additív zajra optimalizáltá.) Rajzolja fel léptéhelyesen a vevőszűrő átviteli függvényét! d) Az adó jelét egy Hz határfrevenciájú aluláteresztő szűrővel szűrjü. Ooz-e várhatóan ez a szűrés számottevő szimbólumözti áthallást, ha a jelzési idő 833 s? G.5.3. Gyaorló feladat Egy T jelzési idejű, bináris ( d ) alapsávi PAM rendszer elemi jeléne időfüggvényét az alábbi éplet adja meg. t T h cos ha t (, T ) a) Rajzolja fel léptéhelyesen ezt a h( t) T függvényt! egyébént b) Vizsgálja meg és nyilatozzon, elerülhető-e ebben a rendszerben a szimbólumözti áthallás! Hogyan választaná meg a mintavételi időpontoat? c) Milyen értéeet vehetne fel a PAM jel mintái a (. ) T időpontoban (azaz, ha t. T mértéű időzítési hiba lép fel)? d) Érdemes-e ezen a rendszeren négyszintű átvitellel próbálozni? És nyolcszintűvel? e) Hogyan befolyásolja a mintavétel t. T mértéű időzítési hibája a d) érdésre adott válaszait? t 7