A BSc-képzés szakdolgozati témái

Átírás

1 A BSc-képzés szakdolgozati témái Geometriai Tanszék 2017/ téma: Szabadon választható téma Témavezet : A tanszék bármelyik oktatója. Rövid leírás: Ha egy hallgató tetsz leges geometriai téma iránt érdekl dik, akkor témavezet nek választhatja azt a szakembert, aki ehhez ért, és ebben segítséget tud neki nyújtani. a hallgató és a témavezet megállapodása alapján. Szakirány: mindegyik. 2. téma: Görbék és felületek geometriai vizsgálata a Mathematica programmal Témavezet : Csikós Balázs Rövid leírás: A Mathematica program egy szimbolikus számítások elvégzésére alkalmas program, mely kiváló grakus lehet ségekkel is rendelkezik, és a pontosan nem kiszámítható feladatokra jó numerikus közelítést tud adni. Használatával a görbék és felületek analitikus vizsgálatakor a hangsúly a fárasztó számolások elvégzésér l áttev dik a különféle fogalmak és konstrukciók geometriai tartalmának és viselkedésének megértésére, az eredmények elemzésére. [ ] A. Gray, E. Abbena, S. Salamon: Modern Dierential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica. Szakirány: mindegyik. 3. téma: Geometriai széls érték-feladatok Témavezet : Csikós Balázs 1

2 2 Rövid leírás: A geometriában gyakran találkozunk optimalizásási feladatokkal. Ezek közt nagyon sok már megoldott klasszikus probléma van (izoperimetrikus, izodiametrális egyenl tlenségek, stb.), és vannak régóta megválaszolatlan kérdések is. Ugyanakkor felvethet k új problémák is, melyeket eddig keveset vizsgáltak. [ ] D. O. Skljarszkij, N. N. Csencov, I. M. Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb l. II. rész, 2. kötet. Geometriai egyenl tlenségek és széls érték-feladatok [ ] D. S. Mitrinovi, J. E. Pe ari, A. M. Fink: Recent Advances in Geometric Inequalities (Mathematics and its Applications), Kluwer Academic Publishers. Szakirány: mindegyik. 4. téma: Geometriai fejtör khöz kapcsolódó matematikai problémák Témavezet : Csikós Balázs Rövid leírás: A szakdolgozó feladata egy geometriai játékhoz vagy fejtör höz kapcsolódó matematikai problémák összegy jtése, megoldása. Például: Hányféleképpen lehet összerakni egy darabjaira szedett Rubik-kockát? Hány összerakásból tekerhet ki a gyári elrendezés? Hányféleképpen lehet egy Rubik kocka kis négyzeteit kiszínezni k színnel, ha két színezést nem különböztetünk meg, ha egymásba tekerhet k? Mi a helyzet a Rubik-kocka variánsaival?... Avagy: Egy dobókockát görgetünk a síkon úgy, hogy minden lépésben az egyik élén átgördítjük. Milyen helyzetekbe juttathatjuk így el a dobókockát? Hány görgetés kell minimálisan egy adott helyzetbe eljuttatáshoz? Vizsgáljuk meg ugyanezeket a kérdéseket egy számozott lapú tetraéderre, oktaéderre, ikozaéderre. Szakirány: mindegyik. 5. téma: Geometriai egyenl tlenségek a síkon és a gömbfelületen Témavezet : Kertész Gábor Rövid leírás: A feladat néhány egyszer en megfogalmazható, de nem feltétlen könnyen bizonyítható egyenl tlenség, mint a háromszöglemez pontjának csúcsoktól és oldalegyenesekt l mért távolságai közti Erd smordell egyenl tlenség körbejárása. Lehet ség van még egyszer, de a Hajós-könyvön túlmutató gömbi egyenl tlenségek vizsgálatára is. Hogyan változik a csuklókkal összekötött rudakból álló négyszög területe a síkon és a gömbfelületen? Analitikus és más bizonyítások.

3 3 [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába [ ] Sklarszkij, Scsencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréb l. 6. téma: Tengelyes tükrözések az euklideszi és a gömbi geometriában Témavezet : Kertész Gábor Rövid leírás: Ismert, hogy a tengelyes tükrözések generálják a sík és a gömbfelület egybevágósági csoportját, de ún. tükrözésgeometriai eszközökkel sajátosan kezelhet ek a sugársorok és a ciklusok (itt kör és egyenes) is. Segítségükkel bebizonyítjuk azt is, az adott oldalhosszúságú sokszögek halmazában, ha az nem üres és gömbön a kerület kisebb, mint π, egybevágóság erejéig pontosan egy körbe írható van. [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába. 7. téma: A momentumgörbe véges terekben Témavezet : Kiss György Rövid leírás: A q elem véges test fölötti n-dimenziós projektív térben momentumgörbének nevezzük a {(1 : t : t 2 :... : t n ): t GF(q)} {(0 : 0 :... : 0 : 1)} ponthalmazt. A görbének érdekes geometriai tulajdonságai miatt sok kódelméleti és kriptográai alkalmazása van. Ezek közül néhány kiválasztott bemutatása és példák konstruálása a leend szakdolgozó feladata. [ ] Hirschfeld, J. W. P. and Thas, J. A., General Galois Geometries, Clarendon Press, Oxford, [ ] Kiss Gy. és Sz nyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó, Szeged, Szakirány: (alkalmazott) matematikus 8. téma: Er s reprezentáló rendszerek magasabb dimenziós általánosításai Témavezet : Kiss György Rövid leírás: Véges projektív síkon er s reprezentáló rendszernek nevezünk illeszked pont-egyenes pároknak egy olyan {(P i, l i )} halmazát, melyre teljesül, hogy ha P j I l k, akkor j = k. Az ilyen tulajdonságú halmazok szorosan kapcsolódnak szemioválisokhoz és síkbeli minimális lefogó halmazokhoz. A leend

4 4 szakdolgozó feladata ezen halmazok lehetséges magasabb dimenziós általánosításainak vizsgálata. [ ] Illés T., Sz nyi T. és Wettl F.:Blocking sets and maximal strong representative systems in nite projective planes, Mitteilungen des Mathematischen Seminar der Universitat Giessen, 201 (1991), [ ] Kiss Gy. és Sz nyi T.: Véges geometriák, Polygon Kiadó, Szeged, Szakirány: matematikus 9. téma: An szabályos sokszögek Témavezet : Kiss György Rövid leírás: Az an szabályos sokszögek az euklidészi sík szabályos sokszögeinek an képei. Bármely háromszög an szabályos, a négyszögek közül pedig a paralelogrammák az an szabályosak. Ha egy sokszög oldalszáma négynél nagyobb, akkor viszont ránézésre már nem lehet eldönteni az an szabályosságot. A leend szakdolgozó feladata az an szabályos sokszögek tulajdonságainak összegy jtése, a hozzájuk kapcsolódó tételek rendszerezése. [ ] Reiman I. A geometria és határterületei, Szalay Könyviadó, Kisújszállás, Szakirány: matematika tanár ordin 10. téma: Vektorazonosságok és alkalmazásaik Témavezet : Lakos Gyula Rövid leírás: Nevezetes és kevébé nevezetes vektorazonosságok vizsgálata. Vektorazonoságok alkalmazása elemi vagy projektív geometriában. [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába. [ ] Reiman István: A geometria és határterületei. 11. téma: Körök analitikus geometriája Témavezet : Lakos Gyula Rövid leírás: Körgeometriai tételek analitikus megközelítésben. Szükséges alapismeretek: A lineáris algebra magabiztos használata. [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába. [ ] H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai, 6. fejezet.

5 5 12. téma: Lineáris algebra indenit vektortereken Témavezet : Lakos Gyula Rövid leírás: Indenit bilineáris formákkal kapcsolatos témakörök (pl. klasszikációs eredmények) feldolgozása a szakirodalom alapján. Szükséges alapismeretek: A lineáris algebra megbízható ismerete. [ ] Gohberg, Lancaster, Rodman: Indenite Linear Algebra and Applications. Szakirány: matematikus 13. téma: Geometriai módszerek a végtelen csoportok elméletében Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A csoportelmélet legtöbb eszköze csak a véges csoportok esetében m ködik hatékonyan. A végtelen csoportok megértéséhez különféle geometriai és topológiai módszerek állnak rendelkezésünkre: izometrikus csoporthatások, a Cayley-gráf geometriája és aszimptotikus viselkedése, görbületi feltételek. [ ] M. Kapovich: Lectures on Geometric Group Theory [ ] M. Bridson, A. Haeiger: Metric Spaces of Non-positive Curvature. Szakirány: matematikus. 14. téma: Coxeter-csoportok Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A diszkrét transzformációcsoportok között a tükrözésekkel generált csoportokat, illetve ezek absztrakt megfelel it, a Coxeter-csoportokat ismerjük a legalaposabban. A szakdolgozat felderítheti a geometria és az algebra között ebben a témában különösen szépen megmutatkozó összjátékot. [ ] M. W. Davis: The geometry and topology of Coxeter groups [ ] H. Hiller: The geometry of Coxeter groups. Szakirány: matematikus. 15. téma: Hiperbolikus geometria Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A BolyaiLobacsevszkij-féle geometria b ségesen kínál felderítésre váró érdekes témákat úgy a modern, magasabb dimenziós vonatkozások területén (pl. transzformációcsoportok, térformák leírása), mint a klasszikus síkgeometriai kérdésekben (pl. a területszámítás elemi tárgyalása, háromszögek geometriája, trigonometria, szerkesztések).

6 6 [ ] E. B. Vinberg: Geometry II. (Springer EMS Vol. 29.) [ ] Szász P.: Bevezetés a BolyaiLobacsevszkij-féle geometriába [ ] Reiman I.: A geometria és határterületei. Szakirány: matematikus, tanári. 16. téma: Gömbi geometria. Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A nem-euklideszi geometriák közül a legszemléletesebb és legismertebb a gömbi geometria. Kísérletezni lehet bármilyen ismert síkgeometriai témakör átültetésével a gömbi geometriába (pl. háromszögek geometriája, szerkesztések, kúpszeletek, izoperimetrikus problémakör). [ ] Csikós B.: Gömbi geometria [ ] Moussong G.: Izopoerimetrikus egyenl tlenségek és gömbi geometria. 17. téma: Poliéderek, mozaikok Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A jól ismert szabályos poliédereken kívül jó néhány érdekes poliédertípus vár feltérképezésre és osztályozásra: félig szabályos, uniform, csillag-, Johnson-, Catalan-, stb. poliéderek. Rokon téma a mozaikok világa: a periodikus mozaikok osztályozása, nevezetes nem-periodikus mozaikok. [ ] D. Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. 18. téma: Érdekes síkgörbék Témavezet : Moussong Gábor Rövid leírás: A geometria hosszú története során változatos céllal és igen nagy számban vizsgáltak különféle síkbeli görbéket. Ezek összegy jtése, rejtett összefüggéseik feltárása lehet a szakdolgozat témája. [ ] Reiman I.: A geometria és határterületei [ ] Pelikán J.: Klasszikus algebrai görbék [ ] D. Wells: The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. 19. téma: Kombinatorikus geometriai problémák Témavezet : Naszódi Márton

7 7 Rövid leírás: Különböz elemi módszereken alapuló síkgeometriai eredményeket lehet bemutatni, illetve nyitott kérdéseket vizsgálni. Néhány példa: Erd s Szekeres-tételkör, azaz konvex n-szög létezése megfelel en nagy ponthalmazban, gráf síkbarajzolásában az élek metszeteinek száma, körlapok családjában páronként diszjunkt elemkb l álló részcsalád keresése. [ ] J. Matou²ek: Lectures on Discrete Geometry [ ] Pach J.: Combinatorial Geometry 20. téma: Normált terek geometriája Témavezet : Naszódi Márton Rövid leírás: Az euklideszi távolságot a síkon (általánosabban R n -ben) kicserélhetjük más távolságfüggvényekre, amelyek az euklideszit l különböz érdekes geometriákhoz vezetnek. Lehet például vizsgálni, hogy az euklideszi síkbeli trigonometria hogyan vihet át normált síkba, mi a mer legesség fogalma, mik az állandó szélesség halmazok, stb. [ ] A. C. Thompson: Minkowski Geometry Szakirány: matematikus, tanári, alkalmazott matematikus. 21. téma: Konvex geometriai módszerek Témavezet : Naszódi Márton Rövid leírás: A magasdimenziós konvex testek vizsgálatában alkalmazott valószím ségi módszert lehetne bemutatni a Dvoretzky-tétel egy bizonyításán keresztül. E tétel szerint tetsz leges k természetes számhoz van olyan n természetes szám, hogy minden n-dimenziós konvex testnek van olyan k-dimenziós metszete, amely nagyon hasonlít az euklideszi gömbre. [ ] K. Ball: Introduction to Modern Convex geometry [ ] J. Matou²ek: Lectures on Discrete Geometry Szakirány: matematikus. 22. téma: Csomóelmélet, régi és új invariánsok Témavezet : Némethi András Rövid leírás: A csomóelmélet a háromdimenziós térbeli zárt hurkok elmélete, érdekes találkozása a topológiának, kombinatorikának és a csoportelméletnek. A régi invariánsok is (fundamentális csoport, Alexander polinom, fed terek

8 8 szerkezete) már nagyon érdekes képet adnak, az újabbak (Jones vagy HOM- FLY polinomok) már egészen misztikusak. [ ] csomóelméleti könyvek, cikkek. Szakirány: mindegyik 23. téma: 3 dimenziós sokaságok Témavezet : Némethi András Rövid leírás: A modern topológia alappillérének számít a kisdimenziós terek elmélete, de ugyanakkor még nagyon szemléletesek. Ez a dimenzió már érdekes kihívás, még látni lehet a teret, de már érdekesebb módszerek kellenek a szerkesztésekhez, osztályozásokhoz (kombinatorika, csoportok). A bevezet példák: lencseterek, Seifert sokaságok, gráf 3 sokaságok. Kiindulási pont lehet dierenciál topológia vagy akár algebrai geometria (szingularitás elmélet) fele. Szakirány: mindegyik 24. téma: A fundamentális csoport Témavezet : Némethi András Rövid leírás: A topologikus terek megértésében és osztályozásában egyik legfontosabb invariáns a fundamentális csoport. Nagyon sok geometriai jelenséget ez a csoport vezérel (miben különbözik az úszógumi a Klein üvegt l vagy a focilabda a projektív síktól). Kapocs a véges és kombinatorikus geometria, csoportelmélet, gráfelmélet, reprezentációelmélet között. Szakirány: mindegyik 25. téma: Algebrai görbék Témavezet : Némethi András Rövid leírás: A (komplex) an vagy projektív tér görbéit egy polinom zérushelyeként deniáljuk. A polinom algebrai merevsége és a görbe alakja között érdekes összefüggések vannak, összekötve az algebrát a topológiával. Ez az algebrai geometria születési helye, elementárisan megfogalmazható százéves nyílt kérdésekkel. Szakirány: mindegyik 26. téma: Egybevágóságok Témavezet : Szeghy Dávid

9 9 Rövid leírás: Az egybevágóságok euklideszi osztályozásának mintájára a gömbi és a hiperbolikus geometria egybevágóságait tekintjük át. [ ] H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai [ ] M. Berger: Geometry [ ] E. B. Vinberg: Geometry II. (Springer EMS Vol. 29.) Szakirány: matematikus, tanári. 27. téma: An transzformációk Témavezet : Szeghy Dávid Rövid leírás: Az anitások áttekintése és felhasználása sík- és térgeometriai kérdésekben. [ ] H. S. M. Coxeter: A geometriák alapjai [ ] M. Berger: Geometry. 28. téma: Állandó görbület zárt felületek Témavezet : Szeghy Dávid Rövid leírás: Áttekintjük a zárt felületek topológiai osztályozását és felderítjük, melyiken milyen állandó görbület geometria létezik. [ ] E. B. Vinberg: Geometry II. (Springer EMS Vol. 29.) Szakirány: matematikus, tanári. 29. téma: Szerkesztések a Cayley-Klein-féle körmodellben Rövid leírás: A síkbeli hiperbolikus geometria legismertebb modellje a Cayley- Klein-féle körmodell. Alapvet projektív geometriai ismereteket alkalmazva ebben a modellben már megoldhatóak olyan problémák, mint például egy szakasz felez mer legesének vagy két egyenes korrespondeáló pontjainak a megszerkesztése. A modellbeli körök, paraciklusok és hiperciklusok euklideszi értelemben ellipszisek, és ezeket centrális-tengelyes kollineációk segítségével lehet megkapni. [ ] Reiman István: A geometria és határterületei. Szakirány: tanári 30. téma: Trigonometriai összefüggések a Cayley-Klein-modellben

10 10 Rövid leírás: A Cayley-Klein-féle modellben viszonylag könnyen igazolni lehet a hiperbolikus trigonometria olyan alapvet eredményeit, mint a szinusztétel és a két koszinusztétel. Ezen kívül le lehet vezetni a parallelszögre, valamint a kör kerületére és területére vonatkozó összefüggéseket is. [ ] Reiman István: A geometria és határterületei. 31. téma: Másodrend görbesorok a projektív síkon Rövid leírás: Mint ismeretes, a projektív síkon egy másodrend görbét öt független adattal (pédául három ponttal és közülük kett ben az érint vel) lehet egyértelm en leírni. Alapvet kérdés, hogy az ilyen koordináta-adatokból miként lehet egyszer en kiszámítani a másodrend görbe egyenletét. Ez a probléma jól kezelhet a másodrend görbesorok alkalmazásával. [ ] Horvay Katalin, Reiman István: Projektív geometria [ ] I. Faux and M. Pratt: Computational geometry for design and manufacture. Szakirány: tanári

11 téma: Geometriai vetítések analitikus leírása Rövid leírás: A számítógépes grakában a térbeli alakzatok parallel vagy centrális vetületeinek el állításakor különféle geometriai transzformációkat alkalmaznak. A cél ezen transzformációk részletes leírása és néhány ábrázoló geometriai eredmény analitikus igazolása. [ ] Szirmay-Kalos László: Számítógépes graka [ ] Foley, van Dam, Feiner and Hughes: Computer graphics, principles and practice Szakirány: tanári, alkalmazott matematikus 33. téma: A másodrend felületek an osztályozása Rövid leírás: Ha megfelel koordináta-transzformációt alkalmazunk az euklideszi térben, akkor egy másodrend felület egyenlete kanonikus alakra hozható. Ez a módszer lehet séget nyújt a másodrend felületek an osztályozására. További feladat a síkba nem lefejthet másodrend vonalfelületek (az egyköpeny hiperboloid és a hiperbolikus paraboloid) geometriai tulajdonságainak tárgyalása. [ ] Hajós György: Bevezetés a geometriába Szakirány: tanári 34. téma: Térbeli geometriai transzformációk analitikus leírása (foglalt) Rövid leírás: A térbeli egybevágóság által a szabad vektorok terén indukált leképezés. Az egybevágóság leírása mátrixegyenlettel (a koordinátázott térben). Az egybevágóságok osztályozása. A síkra tükrözés és a tengely körüli elforgatás mátrixa. Az egységkvaternió által meghatározott elforgatás. A szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai. A térbeli hasonlósági transzformációk osztályozása, a xpont szerepe. Az an transzformációk jellemzése. Speciális térbeli anitások. Az an transzformáció invariáns derékszög triédere. [ ] Marcel Berger: Geometry I-II. Szakirány: tanári

12 téma: A hiperbolikus sík Poincaré-féle körmodellje (foglalt) Rövid leírás: A köri pontnégyes kett sviszonyának szerepe a modellbeli távolság megadásában. Az euklideszi síkon vett inverziók, mint a körmodell tengelyes tükrözései. A Bolyai-féle hiperbolikus síkgeometria axiómáinak teljesülése a modellben. A modell szögtartó tulajdonságának igazolása. A körmodellben a körök, a paraciklusok és a hiperciklusok meghatározása. Szerkesztési feladatok megoldása a modellben. Kapcsolat a Poincaré-féle félsíkmodellel. [ ] Reiman István: A geometria és határterületei. Szakirány: tanári 36. téma: Másodrend felületek és felületsorok a projektív térben Rövid leírás: A projektív tér koordinátázása, a pontok és síkok homogén koordinátái. Koordináta alapalakzatok, koordináta-transzformációk a projektív térben. A másodrend felületek projektív osztályozása a kanonikus egyenletek alapján. Pólus-polársík kapcsolat egy másodrend felületre vonatkozóan. Az érint sík, mint polársík. A másodrend felület kanonikus egyenletének meghatározása az autopolár négyszög felhasználásával. Másodrend felületsorok. A másodrend felületsor alapgörbéje, a szétes áthatás tétele. [ ] Kárteszi Ferenc: Ábrázoló geometria [ ] Horvay Katalin, Reiman István: Projektív geometria. Szakirány: tanári