Mindennapi hatványösszegeink

Átírás

1 Mindennai hatványösszegeink Szalkai István Pannon Egyetem, Veszrém, February, 07 Haladvány Kiadvány, 0700, htt://wwwmathbmehu/~hujter/700df Bevezetés Az általánosított hatványközeeket H := r x + ::: + x n n () és hatványösszegeket S := x + ::: + x n = n H () már lassan másfél évszázada "feltalálták": x ; :::; x n tetsz½oleges nemnegatív valós számok, R, 6= 0, ráadásul "körülöttünk élnek" Mégis nagyon kevéssé ismertek mind a tanárok, diákok, mind a szakemberek körében Ebben a cikkben ár egyszer½u közéiskolás feladatot elemzünk (sorrend nélkül): megle½o kitev½okkel találkozunk, melyeket a cikk legvégén táblázatban is összefoglalunk (A * Feladat Descartes tétele, bizonyítása nem egyszer½u!) A H hatányközeeket néha Hölder közéértéknek is nevezik (Otto Hölder, , német matematikus) után, de nem a fenti 6 egyenl½otletséget nevezik Hölder-egyenl½otlenségnek (lásd l [9], [0]) A H; S; K; M; ::: bet½uket nem egységesen használja a szakirodalom [] -ben H és S () és () rengeteg gyakorlati, matematikai és m½uszaki alkalmazását ismerhetjük meg, sajnos a magyar nyelv½u [] honlaon nincs ilyen felsorolás [4] 6 része érdekesen szemlélteti a Pitagoraszi közéértékeket a traéz különböz½o közévonalaival A súlyozott közéértékekr½ol [4], [5] és [] -ben is olvashatunk H és S tulajdonságai Azonnal szembeötlik, hogy: = esetén H = A = számtani (aritmetikai) közé, = esetén H = Q = négyzetes (kvadratikus) közé, = esetén H = H = harmonikus közé, továbbá = esetén S = x + x a zikából jól ismert "relusz" (recirok lusz)

2 és Aránylag könnyen belátható még (lásd l []): a mértani (geometriai) közé, továbbá tetsz½oleges és = ontosan csak akkor van, ha x = ::: = x n lim (x ; :::; x n )!+ = max (x ; :::; x n ), () lim (x ; :::; x n )! = min (x ; :::; x n ), (4) lim H (x ; :::; x n ) = n x ::: x n (5)!0 < + esetén H (x ; :::; x n ) H (x ; :::; x n ) (6) (a bizonyítást ld l []-ben) Tehát a H közeek messzemen½o általánosításai a Pitagoraszi közéértékeknek (számtani, mértani, stb), s½ot súlyozott változataik is gyakran használatosak: tetsz½oleges w ; :::; w n R + ozitív súlyokra amely a w 0 i := H w := r w x + ::: + w n x n w + ::: + w n és S w := w x + ::: + w n x n, (7) w i w + ::: + w n helyettesítés után H w := w 0 x + ::: + w 0 nx n (w 0 + ::: + w 0 n = ) alakban is írható Seciálisan w = ::: = w n = wi 0 = esetén visszakajuk ()-et n H és S homogén függvények: tetsz½oleges 0 < valós számra H (x ; :::; x n ) = H (x ; :::; x n ) és S (x ; :::; x n ) = S (x ; :::; x n ) A feladatok 0 Feladat: Mutassuk meg, hogy a traéz általánosított közévonala az oldalak súlyozott ax + cy számtani közee: k = x + y 0ábra: Traéz általános közévonala Feladat: Érintse három kör mindegyike a másik kett½ot és egy egyenest Milyen összefüggés van a három kör sugara között? Feladat : Érintse négy kör mindegyike mindegyik másikat Milyen összefüggés van a körök sugarai között? Feladat: Két-két azonos hosszú (a és b) lécb½ol készítettünk ajtókeretet, de nem lett derékszög½u Milyen összefüggés van az így kaott aralelogramma átlói és a tervezett téglala átlója között?

3 - ábrák: Az - feladatokhoz 4 Feladat: Milyen összefüggés van egy háromszög beírt- és hozzáírt köreinek sugarai között? 5 Feladat: Húzzunk árhuzamosokat egy tetsz½oleges háromszög tetsz½oleges bels½o ontjá keresztül Milyen összefüggés van a keletkezett kis háromszögek és a nagy háromszög alábbi méretei között: a) területek, b) kerületek, c) körülírt körök átmér½oi, d) szögek összege, e) mint alaok fölé írt egységnyi magasságú hasábok térfogatai, f) mint alaok fölé írt olyan tetraéderek térfogatai, amelyekben az alala és az oldallaok egy rögzített! szöget zárnak be 4ábra: Az 5a) feladathoz 6 Feladat: Egy tetsz½oleges tetraéder tetsz½oleges bels½o ontján átmenve húzzunk árhuzamos síkokat a laokkal Milyen összefüggés van a keletkezett kis tetraéderek és a nagy tetraéder alábbi méretei között: a) térfogatok, b) felszínek, c) körülírt gömbök átmér½oi, d) élek összege 7 Feladat: Bontsunk fel egy n dimenziós tetraédert vagy kockát m (nem feltétlenül egybevágó) kisebb tetraéderre/kockára Milyen összefüggés van az eredeti test és a kis testek ` dimenziós felületei között? Megjegyzés: A feladat nem említi, hogy a kis testeknek hasonlóaknak kell lenniük a nagy testhez A feladat ez a feltétel nélkül nyilván megoldhatatlan Azonban a feladat (ontosabban a keresett összefüggés) nem csak tetraéderekre és kockákra érvényes, hanem bármilyen n dimenziós testnek hozzá hasonló testekre történ½o felbontására is (Lásd még [] és az 5 ábrát) 5ábra: A 7 feladathoz

4 Megoldások Feladat megoldása: A körök közéontjaiból bocsássunk mer½olegeseket az egyenesre és a most behúzott mer½olegesekre Néhány Pitagorasz tétel és kis rendezés után megkajuk a végeredményt: = +, (8) R R R vagyis =! R = S (R ; R ), 6ábra: Az feladat két megoldása Ne feledjük: ha az R és R sugarú körök el½ore adottak, akkor a feladatnak két megoldása van (a fenti két els½o ábra szerint), a második esetben R = R R Feladat megoldása: A feladatnak ismét két megoldása van: az egyik körön kívül vagy belül van a másik három: 7ábra: A feladat két megoldása Ez a feladat Descartes tétele ([6], [7]): = R R R R 4 R R R R4 (9) vagyis vagy más szokásos alakjai [S (R ; :::; R 4 )] = S (R ; :::; R 4 ), (k + k + k + k 4 ) = k + k + k + k 4 (0)

5 és ahol k 4 = k + k + k k k + k k + k k () k i = r i az i -dik kör görbülete Amennyiben a k 4 körön belül van a másik három kör, akkor R 4 -et és k 4 -et negatívnak kell tekintenünk (9) ill (0)-ben, valamint ()-ben a helyén el½ojel áll A tétel bizonyítása nem könny½u, a (körre vonatkozó) inverzióval lehetséges Kiemeljük, hogy a magyar nyelv½u Wikiédia [8] más tételt említ a "Descartes tétele" címszó alatt [7]-ben a tétel általánosítása is megtalálható n + gömbre az n (tetsz½oleges) dimenzióban, ez már Thorold Gosset tétele A köröket [6]-ban Soddy-körök-nek is nevezik A feladat eredete az Aolloniusroblémához vezethet½o vissza: [6] (Pergai Aollonius kb 6-90 között élt Krisztus el½ott, az "Aollonius-roblémáról" sajnos magyar nyelv½u wikiédia honla nincs) A feladat seciális esetének tekinthetjük az feladatot: az egyenes görbülete nulla k 4 = 0 (vagyis "r 4 = ") esetén (9)-() mindegyike ekvivalens (8)-val(Ennek belátása viszont egyszer½u közéiskolás feladat) Feladat megoldása: 8ábra: A feladat megoldása és általánosítása Az auv és buv háromszögekre felírva a koszinusz-tételt és összeadva vagyis a = u + v uv cos () b = u + v uv cos (80 o ) a + b = u + v = d d = r a + b = H (a; b), a téglala átlója négyzetes közee a aralelogramma átlóinak, vagyis =! Ha a téglala és a aralelogrammák u oldalát egyazon szakaszra mérjük fel, a 8 ábra jobb oldalán látható módon, akkor láthatjuk, hogy a aralelogrammák (jobb fels½o) C 0 csúcsai a T közéont körüli, v sugarú körön mozognak A fenti számolások szerint edig újabb összefüggést katunk: Tétel: A kör függ½oleges T C sugara (mindig) négyzetes közee az a = AC 0 és b = BC 0 szakaszoknak Ez edig általánosítása a körbe q írt derékszög½u háromszög tulajdonságának: a kör sugara négyzetes közee a befogóknak: r = +b (baloldali ábra) a

6 9 ábra: A négyzetes közé kétféle szemléltetése jobboldali ábra: htts://enwikiediaorg/wiki/pythagorean_means Vegyük észre, hogy a most felírt összefüggés nem azonos a számtani-, mértani- és négyzetes közeek szokásos, jobboldani ábráján látható szemléltetéssel Amint a koszinusztétel a Pitagorasz tétel általánosítása, úgy a Pitagorasz tételt is tekinthetjük a négyzetes közé egyfajta változatának A feladat eredete és alkalmazása megtalálható []-ben 4 Feladat megoldása: Közismert, hogy a háromszögbe beírt kör sugara r = T és az s oldalakhoz kívül írt körök sugarai r a = T s a, r b = T s b és r c = T, amikb½ol könnyen s c következik, hogy r = + +, r a r b r c r = S (r a ; r b ; r c ), vagyis = 5 Feladat megoldása: Jelöljük a kis háromszögeknek a nagy háromszög c oldalával árhuzamos oldalait c, c és c -vel 0 ábra: Az 5 Feladat megoldása A kis háromszögek nyilván hasonlóak a eredeti háromszöhöz, a hasonlóságok arányai i = c i c és nyilván + + = () a) Mivel t i = i T, ezért () alaján t + t + t = T, () tehát = T = S (t ; t ; t ),

7 b) A kis háromszögek kerületei k i = i K, ezért () alaján k + k + k = K, (4) K = S (k ; k ; k ), tehát = A (4) összefüggés közvetlenül is látszik a 0 ábrán: a kis háromszögek oldalait árhuzamosan eltolva a nagy háromszög oldalait hiánytalanul megkajuk c) A b) feladathoz hasonlóan a körülírt körök átmér½oi d i = i d, ahonnan tehát = d + d + d = d, (5) d = S (d ; d ; d ), d) A szögek összege mindegyik háromszögben i = 80 o és = 80 o, így nyilván (kicsit nagyké½uen) + + = H ( ; ; ) =, (6) és ebben az esetben is = (A háromszögek hasonlóságai alaján felírhatnánk a i = 0 i összefüggést is a b) és c) esetekben alkalmazott gondolatmenethez hasonlóan, de mivel a () összefüggésb½ol nem tudunk 0 -adik gyököt vonni, így tényleg 6= 0) e) Mivel rögzített magasság esetén a térfogatok az alaterülettel arányosak, és most mindegyik magasság ugyanakkora, ezért () alaján V + V + V = V, tehát = V = S (V ; V ; V ), f) Mivel a tetraéderek alaterületei hasonlóak és az alalanak az oldallaokkal bezárt szögei ugyanakkorák, ezért a tetraéderek hasonlóak,, és aránnyal, így V i = i V, tehát () alaján V + V + V = V, tehát = V = S (V ; V ; V ), 6 Feladat megoldása: Bár a keletkezett kis tetraéderek szemmel láthatóan hasonlóak az eredeti tetraéderhez, a ; :::; 4 hasonlósági arányokra nekem nem sikerült els½ore igazolnom a = (7) egyenl½oséget A feladat I megoldásban kevesebb szemléltetéssel de több számolással oldjuk meg a feladatot (7) nélkül, ez a gondolatmenet magasabb dimenzióra is könnyen általánosítható A II

8 megoldás legelején elemei geometriai fejtegetéssel (ami úgy t½unik, csak dimenzióra alkalmazható) igazoljuk az (7) összefüggést - ami alaján a feladat kérdéseire már azonnal válaszolhatunk 6 Feladat I megoldása: Legyenek a tetréder csúcsai A ; A ; A ; A 4 A P ontot a csúcsokkal összekötve a tetraédert négy kisebb tetraéderre bontjuk fel, melyek magasságai P -nek a laoktól vett távolságai, amelyeket jelöljünk x ; x ; x ; x 4 -el Ekkor x T + x T + x T + x 4 T 4 = V (8) A feladatban szerel½o kis tetraéderek hasonlóak az A ; A ; A ; A 4 tetraéderhez, a hasonlóság aránya i = x i ahol m i a tetraéder megfelel½o magassága Így a kis tetraéderek térfogatai: m i ahonnan V i = xi m i V = xi m i m it i V i V = x i T i = x i T i m i = x i Ti m i T i amit visszaírva (8)-ba kajuk: V V + V + V + V 4 = V vagyis V + V + V + V 4 = V (9) tehát = S (V ; V ; V ; V 4 ) = V Megjegyzések: i) A kaott (9) egyenl½oségbe ha beírjuk a V i = i V azonosságot, akkor azonnal megkajuk a keresett (7) összefüggést Emiatt a feladat további kérdéseire már (7) alaján, a II megoldásban válaszolunk ii) A (8) -hoz hasonl½o egyenl½oségeket kielégít½o onthalmazokkal az [] cikkben foglalkozunk, az eredmények könnyen általánosíthatók tetsz½oleges dimenzióra is 6 Feladat II megoldása: A baloldali ábrán felülnézetben ábrázoljuk a P ont által meghatározott négy kis (sárga) tetraédert, melyek közös csúcsa P A citromsárga tetraéder a nagy tetraéder (vízszintes) alalaján helyezkedik el Mivel a másik három (fakósárga) kis tetraéder a három oldallara "támaszkodik", és a P -re illeszked½o síkok árhuzamosak a laokkal, ezért ezt a három (fakósárga) kis tetraédert a nagy tetraéder oldallajain "lecsúsztathatjuk" az alalara - és a jobboldali ábrát kajuk Err½ol edig leolvasható, hogy a négy kis tetraéder egyirányba es½o oldalainak összege éen a nagy tetraéder megfelel½o oldalát adják Ez edig igazolja a (7) összefüggést! ábra: A tetraéderek felülr½ol és lecsúsztatva

9 a) a V i = i V és () összefüggések alaján V + V + V + V 4 = V, tehát = V = S (V ; V ; V ; V 4 ) b) A i = i A és () alaján A + A + A + A 4 = A, tehát = A = S (A ; A ; A ; A 4 ) c) és d) d i = i d, K i = i K és () alaján d + d + d + d 4 = S (d ; d ; d ; d 4 ) = d és tehát = K + K + K + K 4 = S (K ; K ; K ; K 4 ) = K, 7 Feladat megoldása: A feltételek szerint a kis testek hasonlóak az eredeti (nagy) testhez, így V i = n i V és n + ::: + n t = (0) Továbbá az ` -dimenziós felületekre A (`) i esetén q ` A (`) = ` i A (`) (minden 0 ` n esetén), ahonnan ` 6= 0 n q n ` ` n + ::: + = A (`), () S n ` A (`) t A (`) ; :::; A (`) t = A (`), vagyis = ǹ, míg ` = 0 esetén i = = a szögek összege (ráadásul i = 0 i ), (6)-hoz hasonlóan nyilván + ::: + t =, () t H ( ; :::; t ) =, vagyis ez esetben = Az ` = esetben az élek K i összegét számoljuk, ekkor seciálisan (megle½o, de igaz): vagyis ez esetben = n K n + ::: + K n t = S n (K ; :::; K t ) = K n, ()

10 Összefoglalás A feladatokban az alábbi kitev½okkel találkoztunk: References a) b) c) d) e) f) Feladat Feladat - Feladat 4 Feladat 5 Feladat 6 Feladat 7 Feladat n ` ( ` n) [] Szalkai István: Egyenesekt½ol való távolságokról, Polygon, XVI (008), 45-48, htt://mathuni-annonhu/~szalkai/tavolsagolygondf [] Szalkai István: Ácsok és földmér½ok háromszögei, Haladvány Kiadvány 06, htt://wwwmathbmehu/~hujter/6044df [] Hujter Mihály, Oláh Béla: Négyzetekre bontás - új megoldások régi roblémákra, Haladvány Kiadvány 008, htt://mathbmehu/~hujter/0807df [4] Rzadkowski, G: Remarks on the geometric mean-arithmetic mean inequality, Math Gazette, vol 88 No 5 (004) [5] Urmanin, Z: Generalization of the arithmetic mean - geometric mean - harmonic mean inequality, Math Gazette, vol 86, 00 [6] Descartes theorem, Wikiedia, htts://enwikiediaorg/wiki/descartes _theorem [7] Satz von Descartes, Wikiedia, htts://dewikiediaorg/wiki/satz_von_descartes [8] Descartes tétel, Wikiédia, htts://huwikiediaorg/wiki/descartes-tétel [9] Hölder-egyenl½otlenség, Wikiédia, htts://huwikiediaorg/wiki/hölder-egyenl½otlenség [0] Hölder s inequality, Wikiedia, htts://enwikiediaorg/wiki/hölder s_inequality [] Hatványközeek, Wikiédia, htts://huwikiediaorg/wiki/hatványközé [] Hatványközeek közötti egyenl½otlenség, Wikiédia, htts://huwikiediaorg/wiki/hatványközeek_közötti_egyenl½otlenség [] Generalized mean, Wikiedia, htts://enwikiediaorg/wiki/generalized_mean [4] Matematikai közeek, Wikiédia, htts://huwikiediaorg/wiki/matematikai_közeek [5] Pythagorean means, Wikiedia, htts://enwikiediaorg/wiki/pythagorean_means [6] Problem of Aollonius, Wikiedia, htts://enwikiediaorg/wiki/problem_of_aollonius