Műveletek mátrixokkal. Kalkulus. 2018/2019 ősz

Hasonló dokumentumok
Mátrixok, mátrixműveletek

Diszkrét matematika I., 12. előadás Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach november 30.

1. Determinánsok. Oldjuk meg az alábbi kétismeretlenes, két egyenletet tartalmaz lineáris egyenletrendszert:

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

Lineáris algebra (10A103)

1. Mátrixösszeadás és skalárral szorzás

1. A kétszer kettes determináns

Determinánsok. A determináns fogalma olyan algebrai segédeszköz, amellyel. szolgáltat az előbbi kérdésekre, bár ez nem mindig hatékony.

Matematikai statisztika 1.

DETERMINÁNSSZÁMÍTÁS. Határozzuk meg a 1 értékét! Ez most is az egyetlen elemmel egyezik meg, tehát az értéke 1.

2. előadás. Lineáris algebra numerikus módszerei. Mátrixok Mátrixműveletek Speciális mátrixok, vektorok Norma

1. ábra ábra

Bevezetés az algebrába 1

3. el adás: Determinánsok

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Mátrixok február Feladat: Legyen A = ( ( B =

Mátrixok 2017 Mátrixok

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris algebra (10A103)

és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk. (Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok 2 3-as, a ij..

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Valasek Gábor

11. DETERMINÁNSOK Mátrix fogalma, műveletek mátrixokkal

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

Lineáris algebra (10A103)


Irodalom. (a) A T, B T, (b) A + B, C + D, D C, (c) 3A, (d) AD, DA, B T A, 1 2 B = 1 C = A = 1 0 D = (a) 1 1 3, B T = = ( ) ; A T = 1 0

1. Geometria a komplex számsíkon

Gauss-eliminációval, Cholesky felbontás, QR felbontás

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, mátrixegyenlet

összeadjuk 0-t kapunk. Képletben:

Hadamard-mátrixok Előadó: Hajnal Péter február 23.

9. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 9. előadás Mátrix inverze, Leontyev-modell

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

Numerikus módszerek 1.

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

LINEÁRIS ALGEBRA (A, B, C) tematika (BSc) I. éves nappali programtervező informatikus hallgatóknak évi tanév I. félév

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

1. zárthelyi,

Lineáris algebra. (közgazdászoknak) T C T = ( 1 ) ; , D T D =

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Matlab alapok. Baran Ágnes

1. fogalom. Add meg az összeadásban szereplő számok elnevezéseit! Milyen tulajdonságai vannak az összeadásnak? Hogyan ellenőrizzük az összeadást?

Gauss elimináció, LU felbontás

12. előadás. Egyenletrendszerek, mátrixok. Dr. Szörényi Miklós, Dr. Kallós Gábor

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

MATE-INFO UBB verseny, március 25. MATEMATIKA írásbeli vizsga

A mátrix típusát sorainak és oszlopainak száma határozza meg. Tehát pl. egy 4 sorból és 3 oszlopból álló mátrix 4 3- as típusú.

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

5. Előadás. (5. előadás) Mátrixegyenlet, Mátrix inverze március 6. 1 / 39

Mátrixok. 3. fejezet Bevezetés: műveletek táblázatokkal

karakterisztikus egyenlet Ortogonális mátrixok. Kvadratikus alakok főtengelytranszformációja

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

LINEÁRIS PROGRAMOZÁSI FELADATOK MEGOLDÁSA SZIMPLEX MÓDSZERREL

Bodó Bea, Somonné Szabó Klára Matematika 2. közgazdászoknak

8. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, , oldal. 8. előadás Mátrix rangja, Homogén lineáris egyenletrendszer

Lineáris algebra. Wettl Ferenc, BME , 0.2 változat. Tartalomjegyzék. Geometriai szemléltetés. (tömör bevezetés) Az egyenletek szemléltetése

EGYSZERŰSÍTETT ALGORITMUS AZ ELEMI BÁZISCSERE ELVÉGZÉSÉRE

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

Juhász Tibor. Lineáris algebra

DISZKRÉT MATEMATIKA: STRUKTÚRÁK Előadáson mutatott példa: Bércesné Novák Ágnes

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Bázistranszformáció és alkalmazásai 2.

Intergrált Intenzív Matematika Érettségi

1. Bázistranszformáció

Bevezetés az algebrába 1

Diszkrét matematika I.

5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.

NUMERIKUS MÓDSZEREK I. TÉTELEK

1. Interpoláció. Egyértelműség Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Lineáris algebra. Közgazdász szakos hallgatóknak a Matematika A2a Vektorfüggvények tantárgyhoz tavaszi félév

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Diszkrét matematika 2. estis képzés

Klasszikus algebra előadás. Waldhauser Tamás április 28.

Definíció: A tér irányított szakaszait vektoroknak nevezzük. Egy vektort akkor tekintünk adottnak, ha ismerjük a nagyságát és az irányát.

Feladat: megoldani az alábbi egyenletrendszert: A x = b,

Gauss-Jordan módszer Legkisebb négyzetek módszere, egyenes LNM, polinom LNM, függvény. Lineáris algebra numerikus módszerei

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

Mátrixok február Feladat: Legyen ( ( B = A =

Matematika elméleti összefoglaló

1. Egész együtthatós polinomok

Gy ur uk aprilis 11.

Matematika A1a Analízis

Egész számok. pozitív egész számok: 1; 2; 3; 4;... negatív egész számok: 1; 2; 3; 4;...

Vizsgatematika Bevezetés a matematikába II tárgyhoz tavasz esti tagozat

Az elméleti fizika alapjai házi feladat

Lineáris egyenletrendszerek

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Typotex Kiadó. Bevezetés

Nem szokványos algebrai struktúrák nemzetközi és hazai matematikaversenyeken

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

Negatív alapú számrendszerek

Lineáris algebra. =0 iє{1,,n}

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Algebra

- hányadost és az osztót összeszorozzuk, majd a maradékot hozzáadjuk a kapott értékhez

Algebra es sz amelm elet 3 el oad as Permut aci ok Waldhauser Tam as 2014 oszi f el ev

Műveletek egész számokkal

Átírás:

2018/2019 ősz

Elérhetőségek Előadó: (safaro@math.bme.hu) Fogadóóra: hétfő 9-10 (H épület 3. emelet 310-es ajtó) A pontos tárgykövetelmények a www.math.bme.hu/~safaro/kalkulus oldalon találhatóak.

A mátrix definíciója Mátrixnak egy n sorból és k oszlopból álló (szám)táblázatot nevezzük, például: 2.5 4 B = 5 6 8 7 esetén n = 3, k = 2. Ekkor az n, k páros a mátrix mérete, ezt úgy jelöljük, hogy A R n k. Később látni fogjuk, hogy a táblázatunk elemei nem csupán valós számok lehetnek.

Indexelés A mátrixot többnyire nagy betűvel, az elemeit kisbetűvel jelöljük. A mátrix elemeinek helyét a táblázaton belül az adott elem indexével jellemezzünk. Az első szám azt mondja meg, hogy hányadik sorban, a második szám pedig azt, hogy hányadik oszlopban van. Ezeket a kisbetű alsó indexébe írjuk. A = 2 4 5 6 8 7 = a 1,2 a 1,2 a 2,1 a 2,2 a 3,1 a 3,2 Ekkor a 1,2 elem az első sor második oszlopában lévő elem, itt 4.

Transzponálás Az A, n k méretű mátrix transzponáltján azon k n-es mátrixot értjük, amelynek első sora megegyezik az eredeti mátrix első oszlopával, a második sora a második oszloppal,.... Jele: A T. Például: A = 2 4 5 6 8 7, A T = [ 2 5 8 4 6 7 Ha a mátrix négyzetes (azaz sorainak száma megegyezik az oszlopainak számával), akkor a transzponáltját úgy kapjuk, hogy az elemeit a főátlóra (a 1,1, a 2,2,..., a n,n elemek) tükrözzük. Indexekkel kifejezve az A T mátrix (i, j)-edik eleme megegyezik az eredeti mátrix (j, i)-edik elemével. ]

Konstanssal szorzás Egy mátrix és egy valós szám szorzatát úgy képezzük, hogy a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal, például 2 4 1 2 A = 5 6, 0.5A = 2.5 3 8 7 4 3.5

Mátrixok összeadása Két mátrixot csak abban az esetben tudunk összeadni, ha megegyezik a méretük, azaz a sorok és oszlopok száma külön-külön is. Ekkor elemenként vesszük az összeget (az azonos pozíciókban lévőket adjuk össze). Például: A = 2 4 5 6 8 7, B = 0 1 2 0 0 0 Nem értelmezett viszont az A + B T! A + B = 2 5 7 6 8 7

A műveletek tulajdonságai Asszociativitás Az összeadás átzárójelezhető, azaz (A + B) + C = A + (B + C) Kommutativitás Az összeadás sorrendje felcserélhető, azaz A + B = B + A Zérus elem Létezik egy olyan mátrix, amellyel tetszőleges A mátrixra A + 0 = 0 + A = A Ellentett Minden A mátrixhoz van olyan A-val jelölt mátrix, amelyre A + A = A + ( A) = 0 (itt a jobboldalon egy mátrix áll, nem egy szám!) Konstans kiemelhető Ha c és d valós számok és A és B tetszőleges mátrixok, akkor (c + d)a = ca + da, c(a + B) = ca + cb, (cd)a = c(da)

Mátrixok szorzatának definíciója Definíció: Legyen A egy n k méretű, míg B egy k m méretű mátrix. Ekkor az AB mátrix (a két mátrix szorzata) azon n m méretű mátrix, amelynek a i,j -dik eleme az A mátrix i. sorának és a B mátrix j. oszlopának (mint k elemű vektoroknak) a skalárszorzata. Az AB mátrixszorzás tehát csak akkor elvégezhető, ha A-nak ugyanannyi oszlopa van, mint ahány sora B-nek (azaz ha egymás mellé írjuk a méreteket, akkor a két belsőnek kell stimmelnie). Az ilyen párt kompatibilisnek nevezzük.

Példa Vegyük az alábbi két mátrixot, és döntsük el, hogy összeszorozhatóak-e. 2 4 [ A = 5 6 6 7 8 9 1 3, C = 5 8 1 7 8 2 8 7 Az AC szorzás elvégezhető, mert A-nak 2 oszlopa van, C-nek pedig 2 sora. Ugyanakkor a CA szorzás nem végezhető el, mert C-nek 6 oszlopa van, de A-nak csak 3 sora. ]

Példa- folyt. Az AC szorzat kiszámításához rendezzük el átlósan a két mátrixot. [ 6 7 8 9 1 ] 3 5 8 1 7 8 2 2 4 5 6 8 7

Példa- folyt. A szorzat első sorának első eleme az A mátrix első sorának, és a C mátrix első oszlopának skalárszorzata. [ ] 6 7 8 9 1 3 2 4 5 6 8 7 5 8 1 7 8 2 Most (2, 4)-nek és (6, 5)-nek kell a skalárszorzata. Két vektor skalárszorzata úgy számítható ki, hogy az azonos pozíciókban lévő elemeket összeszorozzuk, majd a szorzatokat összeadjuk. Itt: < (2, 4) (6, 5) >= 2 6 + 4 5 = 32.

Példa folyt. A többi elemen végighaladva: [ 6 7 8 9 1 3 5 8 1 7 8 2 2 4 5 6 8 7 32 46 20 46 34 14 60 83 46 87 53 27 83 112 71 121 64 38 A kapott 3 6-os mátrix az AC szorzat. ]

Nincs kommutativitás Ha AB elvégezhető, attól még lehet, hogy BA nem végezhető el. Ha mindkettő értelmezett és egyforma méretű is lenne (ez sem biztos), általában akkor sem igaz, hogy AB = BA. Például: A = [ 5 6 1 2 ] [ 7 3, B = 4 2 ] AB = [ 59 27 15 7 ] [ 38 48, BA = 22 28 ]

A mátrixszorzás tulajdonságai Asszociativitás Ha a mátrixok kompatibilisek, akkor a mátrixok szorzása átzárójelezhető, azaz A(BC) = (AB)C Disztributivitás(ok)! Ha a megfelelő mátrixok kompatibilisek, akkor A(B + C) = AB + AC, és (A + B)C = AC + BC Konstans kiemelhető Ha a megfelelő mátrixok kompatibilisek, akkor d(ab) = (da)b = A(dB) Egységelem Az n n-es mátrixok körében egyértelműen létezik egy olyan I mátrix (egységmátrix), amellyel AI = IA = A. Ez a mátrix egyébként a főátlójában csupa egyest, egyébként nullákat tartalmazó mátrix.

Inverz Kérdés, hogy találunk-e minden négyzetes mátrixhoz olyan másik mátrixot, amellyel megszorozva az egységmátrixot kapjuk. Ha létezik ilyen mátrix, akkor az a A mátrix inverzének nevezzük, és A 1 -el jelöljük. Nem biztos azonban, hogy minden mátrixnak létezik inverze. Például a csupa 0 elemekből álló mátrix minden más mátrixszal megszorozva csupa 0-t ad, így ez biztosan nem invertálható. Kérdés, hogy rajta kívül van-e még más nem invertálható mátrix is? Ennek a kérdésnek a megválaszolásához szükségünk lesz a determináns fogalmára.

A determináns definíciója Legyen A egy négyzetes n n-es mátrix. Az A mátrix determinánsa egy valós szám, amelyet a következőképpen definiálhatunk. Válasszunk ki n elemet a mátrixból úgy, hogy minden oszlopból, és minden sorból pontosan egyet veszünk. Ezeket a számokat szorozzuk össze, és a szorzatot lássuk el egy előjellel. Egy szorzat előjelét úgy kapjuk, hogy megnézzük, hogy az első sorból hányadik oszlopbeli elem kerül a szorzatba, ennek feĺırjuk a számát. Aztán a második sorbeli elem oszlopának a számát is leírjuk, így haladva az utolsó sorig.

A determináns definíciója - folyt. Amikor megkaptunk n darab oszlopindexet (oszlopok sorszámát), ami nem más mint az 1-től n-ig számok egy sorrendje (permutációja), megszámoljuk, hogy ebben a permutációban hány olyan pár van, ahol egy nagyobb számot követ egy kisebb. Ha páros sok ilyen pár van, akkor a szorzatunk előjele pozitív lesz, ha páratlan sok, akkor negatív. Végül adjuk össze az összes lehetséges előjeles szorzatot, ez a szám lesz a mátrix determinánsa.

Kétszer kettes eset [ ] a1,1 a A = 1,2 a 2,1 a 2,2 Ehhez a mátrixhoz két különböző módon tudjuk előálĺıtani a kéttényezős szorzatokat. Első esetben az első sorból az első elemet választjuk, a 1,1 -t. A második sorból akkor csak a második oszlopbeli elem jöhet szóba, a 2,2. Ekkor az oszlopok sorrendje 1 2, ebben nincs (0 darab) fordított pár van, így az előjel pozitív. A második lehetőség, hogy az első sorból a második oszlopbeli elemet választjuk ki, a 1,2 -t. Ekkor a második sorból csak az első oszlopbeli tudjuk, a 2,1 -t. Itt az oszlopok sorrendje 2 1, ebben egy fordított pár található, azaz a szorzat előjele negatív.

Kétszer kettes eset -folyt. [ ] a1,1 a A = 1,2 a 2,1 a 2,2 Végül tehát a determináns: a 1,1 a 2,2 a 1,2 a 2,1 (azaz a főátlóban lévő elemek szorzata mínusz a mellékátlóban lévő elemek szorzata). Általában nem a definíció alapján számítjuk ki a mátrix determinánsát. Két gyakran használt módszer a determináns meghatározására a kifejtési tétel (ezt nézzük meg most) és a (ez következő előadáson fog szerepelni).

A determináns kiszámítása kifejtési tétellel Kifejtési tétel Ez egy rekurzív módszer, amelynek segítségével egy n n-es determináns kiszámítását visszavezethetjük n db (n 1) (n 1) determináns kiszámítására. Ehhez kiválasztjuk a mátrix egy tetszőleges sorát (ez szerint fogjuk kifejteni a determinánst). Minden pozíciót ellátunk egy előjellel a sakktábla-szabály szerint: a bal felső elem pozitív (fehér mező), a többi elem előjele pozitív, ha a sakktáblán fehér mező, negatív, ha fekete. Indexekkel ezt úgy fejezhetjük ki, hogy az (i, j) indexű pozíció előjele ( 1) i+j lesz.

A determináns kiszámítása - folyt. Az eredeti mátrix determinánsa meg fog egyezni egy összeggel: sorban megyünk a kiválasztott sor (= amely szerint ki szeretnénk fejteni a determinánst) elemein. Minden tagban egy háromtényezős szorzat szerepel: a sakktábla-szabály szerinti előjel, az aktuális elem és az az (n 1) (n 1)-es determináns, amelyet úgy kapunk, hogy a mátrixból kitakarjuk az aktuális elem sorát és oszlopát. Ezen eljárás alkalmazható nem csupán sorokra, hanem oszlopokra is. Azaz oszlop szerint is kifejthető a determináns. Ilyenkor az előjelek megállapítása szintén a sakktáblaszabály szerint történik.

Példa Számítsuk ki az alábbi determinánst! 1 1 2 1 1 0 3 0 2 Ezt a determináns a második sor szerint célszerű kifejteni, mert az abban szereplő 0 miatt egy taggal kevesebbet kell kiszámolnunk. 1 1 2 1 1 0 3 0 2 = 1 1 2 0 2 + 1 1 2 3 2 = Most alkalmazhatjuk a 2 2-es determináns kiszámításának szabályát. 1 2 + 1 ( 8) = 10.

Példa Számoljuk végig ugyanezen példát úgy, hogy a harmadik oszlop szerint fejtjük ki a determinánst! 1 1 2 1 1 0 3 0 2 = 2 1 1 3 0 2 1 1 1 1 = 2 ( 3) 2 2 = 10.

A determináns tulajdonságai Ha egy sorhoz hozzáadjuk egy másik sor λ-szorosát, akkor a determináns nem változik. Ha a főátló alatt minden elem 0 (ezeket a mátrixokat háromszögmátrixoknak nevezzük), akkor a determináns a főátlóban lévő elemek szorzata. Ha valamelyik sor vagy oszlop minden eleme 0, akkor a determináns is 0. Ha két sort felcserélünk, akkor a determináns (-1)-szeresére változik

A determináns tulajdonságai - folyt Ha valamelyik sor minden elemét λ-val megszorozzuk, akkor a determináns is λ-val szorzódik. Ugyanez oszlopra is igaz. Ha két sor megegyezik, akkor a determináns 0. Ugyanez oszlopra is igaz. Ha egyik sor a másik λ-szorosa, akkor a determináns 0. A mátrix transzponáltjának determinánsa megegyezik az eredeti mátrixéval. Szorzástétel Az AB mátrixszorzat determinánsa megegyezik az A és B mátrixok determinánsának szorzatával, azaz det(ab) = det(a) det(b).

A determináns és az inverz kapcsolata Pontosan azon mátrixoknak létezik inverze, amelyeknek a determinánsa nem 0. Ez onnan is következik, hogy AA 1 = I, és det(i) = 1 (mert háromszögmátrix), ezért A determinánsa nem lehet 0, hiszen akkor a baloldal is 0 lenne. Az invertálható mátrixokat más szóval regulárisnak nevezzük. Azon mátrixokat, amelyek nem invertálhatóak szingulárisnak hívjuk.

A mátrixműveletek kapcsolata Amennyiben valamennyi művelet értelmezett, akkor az alábbi szabályok érvényesek: det(a 1 1 ) = det(a) (AB) T = B T A T (AB) 1 = B 1 A 1 ( A 1) T = ( A T ) 1