Rezgések Hullámok Hang rezgés és a rezgési állapo idő beli és érbeli ovaerjedése sok féle formában jelenik meg er mészei és echnikai körne zeünkben. z új jelenség fogalmai, alapörvénei a legegszerűbb rezgések, a mechanikai rezgések vizs gálaa során fogjuk el sajáíani. mechanikai hullámok anulmánozása uán igen sok gakorlai alkalmazás ismerünk majd meg. körnezeünkből észlel információk öbbsége is rezgéssel ju el hozzánk gondoljunk a hangra (hanghullám), illeve a fénre (fénhullám)! Rezgések és hullámok
1. lecke Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás Milen mozgás végez a műugró a rambulinon az ugrás elő? Csendes-óceán délnugai részén alálhaó Pünkösd-szige őslakóinak ermékenségi ünnepén, riuálék kereében 1-15 méer magas, enhén előredőlő oronból férfiak ugranak a mélbe. Lábukra rugalmas szőlőindákból sodor köele erősíenek, amel bizosíja, hog az ugrónak épp csak a haja súrolja a földe. Ez a vallási szerarás az őse a ma divaos exrém spornak, a bungee jumpingnak. nag zuhanás uán a gumiköélhez köö ember még sokáig le-föl mozog. Hogan lehe ez a mozgás leírni? Egenlees körmozgás (Ismélés) Ebben a fejezeben az időben szabálosan ismélődő mozgásokról fogunk anulni. legegszerűbb periodikus jelenséggel, az egenlees körmozgással már a 9. évfolamon, mechanikai anulmánaink során megismerkedünk. z o szerze ismereeinkre mos is szükség lesz, ezér áisméeljük az akkor anul fogalmaka, örvéneke. Eg ömegpon egenlees körmozgás végez, ha a pálája kör, és azonos időaramok ala azonos hosszúságú íveke esz meg raja. mozgás jellemzői: pálasugár (R), eg kör megéeléhez szükséges idő, a periódusidő vag keringési idő (), az egségni idő ala mege körök számá a frekvencia vag fordulaszám (f ) fejezi ki. frekvencia mérékegsége 1. megfigelés időarama ala befuo körívhez arozó középponi szöge szögel- s fordulásnak (α) nevezzük. fizikában a szöge álalában ívmérékben mérjük. z egenlees körmozgás során a szögelfordulás méréke egenesen arános az elel idővel, íg hánadosuk állandó. Ez ad leheősége a szögsebesség (ω) fogalmának bevezeésére, ami a ké menniség hánadosa. mérékegsége: rad s, de 1 s a mérékegsége röviden, mivel a radián csak eg aránszámo akar. vizsgál ömegpon sebessége állandó nagságú, és mindig a körpála érinője iránába mua, a neve kerülei sebesség (v k ). z egenlees körmozgás jellemző menniségek közöi összefüggések: f = 1, ω = 2π = 2 π f v k = 2r π = 2r π f, v k = ω r
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás Egenlees körmozgás során a ömegpon sebessége állandó nagságú ugan, de az irána folamaosan válozik. Ennek az az oka, hog a esnek a körpála középponja felé muaó gorsulása van, melnek neve cenripeális gorsulás (a cp ). a cp = v2 k r = ω2 r = v k ω dinamika alapegenlee mia ez a gorsulás a esre haó erők eredője eredménezi. F = m a cp rezgésről álalában Körnezeünkben igen gakran fordulnak elő az egenlees körmozgáson kívül más, kváziszabálosan ismélődő, periodikus jelenségek. Ilen az évszakok válakozása, a szívverésünk, vag akár valamel áru (például a búza) őzsdei árfolama is válozha il módon. moor hengerében a dugaú mozgása, a sípok légoszlopainak rezgése, az inga lengése, az áramkörök válakozó árama szinén periodikus jelenség. ω a cp v k m R O Vidámparki óriáskerék F z egenlees körmozgás dinamikai alapegenleének szemléleése 12 m sugarú kerék percenkén 1 fordulao esz meg. Mekkora sebességgel mozognak az uasok? dugaú periodikus mozgásának nég üeme z éle sok erüleén megjelennek időben periodikusan válozó mozgások. Ennek legegszerűbb fajájával, a mechanikai rezgéssel ismerkedünk mos meg, s az i szerze ismereeinke majd alkalmazzuk a fizika más erüleein is (mechanikai hullámok, hangan, elekromágneses rezgések, elekromágneses hullámok, fén). enger hullámzása is periodikus jelenség 7
8. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás Rezgések leírása kasszunk eg pici, de nehéz ese az egik végén rögzíe spirálrugó végére! Várjuk meg, míg a es nugalomba kerül az egensúli helzeében! Függőleges egenes menén érísük ki valamelik iránba (föl vag le), s hagjuk magára! Figeljük meg a kialakuló mozgás! Láhajuk, hog a es egenes menén, a ké szélsőhelze közö időben ismélődő mozgás végez. z a mozgás, amelnek során eg ömegpon valamel helkoordináája vag helkoordináái a ké szélső érék közö időben periodikusan váloznak, mechanikai rezgésnek nevezzük. Vezessünk be az új mozgásra fizikai jellemzőke! z a helzee, amikor a rezgőmozgás végző esre haó erők eredője nulla, egensúli helzenek nevezzük. Ha a rugóra akaszo ese az egensúli helzeébe visszük, és i magára hagjuk, akkor az o is marad. Ha innen kiéríjük, és magára hagjuk, akkor a es a rezgőmozgás során azonos időközönkén áhalad az egensúli helzeen. z egensúli helzeől a ömegpon pillanani heléig húzo vekor a kiérés(vekor). Jele:, mérékegsége a méer (m). kiérés vekormenniség. z egensúli helzeben =. szélsőhelzeekben a es sebessége irán vál, ez a ké végpono fordulóponoknak is nevezzük. I a es sebessége eg pillanara. Valamelik szélsőhelzehez arozó kiérés nevezzük ampliúdónak. Jele:, mérékegsége a méer (m). z ampliúdó vekormenniség. mozgás fordulóponjaiban a kiérés = ±. (z ampliúdó lain eredeű szó, jelenése: nagság, erjedelem, ágasság.) rezgőmozgás ismélődő egségeinek időarama azonos. Eg eljes rezgés megéeléhez szükséges idő periódusidőnek vag rezgésidőnek nevezzük. periódusidő skalármenniség. Jele:, mérékegsége a másodperc (s). rezgés szaporaságának másik mérheő mennisége a frekvencia vag rezgésszám. frekvencia a rezgés során mege rezgések k száma és az elel idő hánadosa. Jele: f. f = rezgések száma k, f = elel idő frekvencia száméréke az 1 másodperc ala mege eljes rezgések számá adja. frekvencia mérékegsége 1 vag Hz. frekvencia skalármenniség. s Eg periódusidő ( ) ala a es álal mege eljes rezgések száma 1. Íg können megadhajuk a frekvencia (f ) és a periódusidő ( ) kapcsolaá. f = rezgések száma elel idő = 1, f = 1 Δl m g F = D Δl = m g Δl = m g D m g mechanikai rezgés vizsgálaa F < m g m g min v = F m g max v = F eg eljes rezgés Felső szélsőhelze Egensúli helze lsó szélsőhelze 8
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás rezgőmozgás oka Vízszines, súrlódásmenes aszallapon rögzísük eg húzó-nomó rugó egik végé (a)! másik végéhez eg ese erősíünk. Ha az egensúli helzeéből kiéríjük, majd magára hagjuk, kialakul a rezgőmozgás. Ekkor a esre haó rugóerő ellenées iránú a kiéréssel (b). Miuán a es áhalad az egensúli helzeen, a es kiérése és a rugóerő is irán vál (c). a) Egensúli helze: F = b) c) esre haó eredő erő ellenées iránú a kiéréssel Húzó-nomó rugó végén rezgőmozgás végző kiskocsi egensúli helzeben (a), a rugó összenomva (b), illeve a rugó megnújva (c) Eg periódus ala hánszor halad á a kiskocsi az egensúli helzeen? Elmondhaó, hog a vizsgál rezgőmozgás során a esre haó erők eredőjének nagsága egenesen arános a kiéréssel, és vele ellenées iránú. z olan erő, amelnek nagsága egenesen arános a kiéréssel, és vele ellenées iránú, harmonikus erőnek nevezzük. harmonikus erő álal lérehozo rezgőmozgás harmonikus rezgőmozgásnak nevezzük. harmonikus rezgőmozgás lérejöének feléele, hog a esre haó erők eredője harmonikus legen, azaz: F = D D neve direkciós állandó, vag rugóállandó, mérékegsége N. rugóállandó skalármenniség. M z előző oldal alján láhaó húzó-nomó rajzokon függőleges rugóra akaszo es rezgőmozgásá vizsgáluk. z egensúli helzeben a esre lefelé haó m g nehézségi erő egensúl ar a felfelé muaó D Δl rugóerővel: m g = D Δl vonakozaási rendszerünk kezdőponjá helezzük az egensúli helzebe! Ha a mozgás során a es az egensúli helze fele ávolságnira van: F = D (Δl ) mg = D Δl m g D = D nehézségi erő kompenzálja a rugó egensúli helzeéhez arozó megnúlásából származó rugóerő. Íg ha a függőleges rugón rezgő es mozgásának vizsgálaakor az egensúli helzehez válaszjuk a vonakozaási rendszer kezdőponjá, uganolan jellegű mozgás kapunk, min amile a súrlódásmenes, vízszines aszallapon harmonikus rezgőmozgás végző es eseében láunk (lásd az erre vonakozó ábrasor). I a es mozgásá egelen, válozó nagságú és iránú erő a rugóerő haározza meg. ( függőleges iránú erők eredője e mozgás során végig nulla.) KIDOLGOZO FELD függőleges helzeű rugó felső végé rögzíjük. z alsó végére eg 2 dkg ömegű ese erősíünk. es egensúli állapoában a rugó megnúlása 1 cm. a) Mekkora a rugó rugó állandója? b) z egensúli helzeéből függőlegesen kimozdíjuk a ese, majd magára hagjuk. 1 eljes rezgés 6,283 s idő ala esz meg a es. Menni a rezgés idő? c) Menni a rezgés frekvenciája? 9
. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás MEGOLDÁS daok: a es ömege: m =,2 kg a rugó megnúlása: Δl =,1 m k = 1 eljes rezgés ideje: = 6,283 s a) D =?, b) =?, c) f =? a) es egensúli állapoában F =. z m ömegű esre haó nehézségi és rugóerő azonos nagságú, ellenées iránú: m g = D Δl D rugóállandó már können kifejezheő: D = m g Δl,2 kg 1 m s = 2 = 2 N,1 m m rugó rugóállandója: 2 N m b) rezgésidő: = k = 6,283 s =,6283 s 1 c) rezgés frekvenciája: f = 1 = 1,6283 s = 1,59 1 1,6 Hz s 1 Eg 3 méer sugarú körhinán ülő, 4 kg ömegű germek 15 másodperc ala 3 kör esz meg egenleesen. a) Mekkora a körmozgás végző es periódusideje, frekvenciája? b) Mekkora a körmozgás végző es szögsebessége, kerülei sebessége? c) Mekkora a germek álal 1,5 másodperc ala befuo körív hossza és a szögelfordulás? d) Mekkora a germek gorsulása és a esre haó erők eredője? Kérdések és feladaok 2 cenrifuga fordulaszáma 7 1 min, dobjának ámérője 3 cm. forgó dob oldalfalára apad eg 5 dkg ömegű zokni. a) Mekkora a zokni mozgásának periódusideje? b) Mekkora a zokni sebessége, szögsebessége? c) Mekkora erő kénszeríi egenlees körmozgásra a cenrifuga oldalfalára apad zokni? 1
1. Rezgések leírása, harmonikus rezgőmozgás 3 Eg Oo-moor hengerében a lökehossz 96 mm. 3 1 fordulaszám melle min mekkora ua esz meg a dugaú a hengerben percenkén? ( dugaú lökehossza megegezik a rezgés ké szélsőhelzee közöi ávolsággal.) 6 Rugós jáék figura rugójának felső végé megfogjuk, a rugó függőleges helzeű lesz, az alsó végén a 3 dkg ömegű jáék figura függ. mikor a es nugalomban van, a rugó megnú lása 6 cm. Mekkora a rugó rugó állandója? 4 giár E-húrja 6652- rezeg 2 másodperc ala. Mekkora a frekvencia? Mekkora a rezgésidő? 5 vízszines helzeű rugó egik végé rögzíjük. másik végéhez eg es van erősíve, ami súrlódás nélkül képes mozogni a vízszines aszallapon. ese egensúli helzeéből 5 cm-rel kiéríjük, majd magára hagjuk. kialakuló rezgés periódusideje 1,5 s. Mekkora a mozgás frekvenciája? Mekkora ua esz meg a es, és mekkora a es elmozdulása 3 s, illeve 4,5 s idő ala? spirálrugó végén lévő állaka mozgása is rezgés 7 Eg időben vizsgálunk ké különböző szabálos rezgőmozgás (például spirálrugókra akaszo ké es mozgásá). Mindké rezgő es a vizsgála kezdőpillanaában az egensúli helzeen eg iránban halad á. z egik rezgés periódusideje 2, a másiké 3 másodperc. djuk meg azoka az időponoka, amikor a ké es egszerre halad á az egensúli helzeen! 8 függőleges helzeű rugó felső végé rögzíjük, az alsóra ké azonos ömegű ese helezünk. mikor a esek nugalomban vannak, a rugó megnúlása 1 cm. z alsó es hirelen elválik a felsőől. Mekkora gorsulással indul az egik, illeve a másik es? Mekkora ampliúdójú rezgés végez a rugón maradó es? 11
2. lecke Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása harmonikus rezgés végző es mozgása időben ismélődő szakaszokból áll. Ennek megfelelően a es kiérése, sebessége, gorsulása is időben periodikus menniségek. Milen függvénkapcsola írja le ezeke a kinemaikai jellemzőke? Körmozgás és harmonikus rezgőmozgás Harmonikus rezgőmozgás legegszerűbben úg figelheünk meg, ha eg függőleges helzeű, felső végén rögzíe rugóra akaszo ese az egensúli helzeéből kiéríünk, és magára hagjuk. szabálosan ismélődő mozgás során a kinemaikai jellemzők (kiérés, sebesség, gorsulás) időben periodikusan váloznak. célunk az, hog megadjuk a harmonikus rezgőmozgás leíró kiérés-, sebesség- és gorsulás-idő függvének maemaikai alakjá. KÍSÉRLE kövekező megfigelésben az újfaja mozgás eg már jól ismer jelenség segíségével írjuk le. z alábbi kísérle a harmonikus rezgőmozgás és az egenlees körmozgás közöi kapcsolara világí rá. henger melik részén mozog a moor dugaúja a leggorsabban? F É N Y R k O r Ernő z egenlees körmozgás és a harmonikus rezgőmozgás kapcsolaa Milen feléelek eseén lájuk a ké es árnéká az ernőn egü mozogni? Eg kisméreű es függőleges síkban egenlees körmozgás végez. Ebben a síkban a rugóra akaszo másik es függőleges egenes menén végez harmonikus rezgőmozgás. rezgő es egensúli
2. Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása helzee és a körpála középponja azonos magasságban van, valamin a körpála sugara és a rezgés ampliúdója egenlő. körmozgás síkjába heleze lámpával oldalról világíjuk meg a ké mozgó ese vízszinesen. z árnékuka a úloldalon lévő ernőn láhajuk. PSZL Ha a ké mozgás periódusideje azonos, valamin a kezdőpillanaban a ké es a körpála középponjának magasságából eg iránba indul (például felfelé), akkor az apaszaljuk, hog a megfelelően beállío kör-, illeve rezgőmozgás végző esek árnéka az ernőn egü mozog. KÖVEKEZEÉS z egenlees körmozgás végző esnek a kör síkjába eső bármel egenesre eső veülee harmonikus rezgőmozgás végez. Íg minden harmonikus rezgőmozgáshoz hozzárendelheő eg egenlees körmozgás. hozzárendelési szabál: a körpála sugara legen egenlő a rezgés ampliúdójával (R = ), valamin a ké mozgás periódusideje legen azonos ( k = r ). z íg kapo körmozgás a vizsgál harmonikus rezgőmozgás referencia körmozgásának nevezzük. ( referencia lain szó, jelenése: ajánlás, ado jelnek a jelrendszeren kívüli vonakozaása.) Elmélei megfonolás úján is könnedén igazolhajuk, hog az egenlees körmozgás végző ömeg ponnak a kör valamel ámérőjére eső merőleges veülee harmonikus rezgőmozgás végez. z ábrán felismerünk ké hasonló, derékszögű háromszöge. megfelelő oldalak arána egenlő: F F cp = R O R harmonikus rezgőmozgás és referencia körmozgásának vizsgálaa O F cp F Ebből kövekezik, hog F = F cp R, azaz F nagsága arános a kiéréssel, irána ellenées vele. Fázis, fázisszög Mivel a körmozgás leírásá már jól ismerjük, segíségével meg udjuk fogalmazni a harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírásá. rezgés pillanani állapoá a mozgás eg fázisának nevezzük. rezgés fázisá a es pillanani hele és sebessége adja meg. vizsgál rezgőmozgás induljon az egensúli helzeből, és idő elele uán a referencia körmozgás végző es szögelfordulása legen φ. Ez a φ szög egben a rezgés fázisá is jellemzi, neve fázisszög. fázisszög megmuaja, hog a rezgő es a eljes rezgés melik részénél van éppen. Ké rezgés azonos fázisban van, ha a fáziskülönbségük a eljesszög egészszámszorosa: φ 2 φ 1 = k 2π, k Z harmonikus rezgőmozgás kiérés--idő függvéne jelenség megfigelésének kezdőpillanaában mindké es a rezgőmozgás egensúli helzeének magasságában van. rezgő es kiérése idő múlva. referencia körmozgás végző es szögelfordulása φ, ami egben a harmonikus rezgőmozgás fázisszöge. O R φ ω referencia körmozgás végző es φ szögelfordulására fennáll: sin φ = z ábrán lévő derékszögű háromszöge vizsgálva: = R sin φ = sin φ 13
. Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása Egenlees körmozgás során a szögelfordulás egenesen arános az elel idővel. φ = ω () = sin (ω ) v k φ v v z ω- körmozgásnál szögsebességnek, rezgőmozgásnál körfrekvenciának nevezzük. O φ ω v max ω = 2π = 2π f harmonikus rezgőmozgás végző es kiérése az időnek szinuszos függvéne. () = sin (ω ) harmonikus rezgőmozgás kiérés-idő (-) grafikonja harmonikus rezgőmozgás sebesség--idő függvéne Folassuk ovább a rugóra akaszo, függőleges egenes menén rezgő es kinemaikai leírásá! hog a rezgőmozgás végző ese figeljük, az a benomásunk, hog a sebesség az egensúli helze körnezeében a legnagobb. szélsőhelzeekben a mozgásnak fordulóponjai vannak, i a sebesség irán vál, nagsága eg-eg pillanara nulla. ponos maemaikai leíráshoz ismé segísége ad a harmonikus rezgőmozgáshoz rendel referencia körmozgás vizsgálaa. z egenlees körmozgás végző es kerülei sebessége állandó nagságú. v k = R ω = ω sebesség engelre eső merőleges veülee minden pillanaban megegezik a harmonikus rezgőmozgás végző es pillanani sebességével. z ábra alapján: v() = v k cos φ udjuk, hog φ = ω, íg: v() = ω cos (ω ) ké sebesség kapcsolaa: cos φ = v v k koszinuszfüggvén 1 és 1 közöi érékeke vesz fel. Ezér a sebesség legnagobb éréke (sebességampliúdó) v max = ω, ami az egensúli helzeen való áhaladáskor ér el a es. harmonikus rezgőmozgás végző es sebessége az időnek koszinuszos függvéne. v() = ω cos (ω ) v ω ω harmonikus rezgőmozgás sebesség-idő (v-) grafikonja kiérés és a sebesség kapcsolaa: rezgés fázisszöge meghaározza a kiérés és a sebesség éréké: = sin φ, v = ω cos φ Fejezzük ki a szögfüggvének érékei: sin φ =, cos φ = v ω Vegük az egenleek négzeei, majd adjuk össze őke: (sin φ) 2 + (cos φ) 2 = 2 ω 2 + v 2 2 ω 2 Használjuk fel, hog az egenle bal oldala 1, valamin az egenleből fejezzük ki a sebessége: v = ± ω 2 2 14
2. Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása harmonikus rezgőmozgás gorsulás--idő függvéne gorsulás megadhajuk a kiérés függvénében is: a = ω 2 rugóra akaszo es rezgőmozgásának gorsulása is időben periodikusan válozik. z egensúli helzeen való áhaladáskor a esre haó eredő erő nulla. dinamika alapegenlee mia i a gorsulásnak is nullának kell lennie. szélsőhelzeekben legnagobb az eredő erő, ezér a gorsulásnak is i van maximuma. részleek ponos megállapíásá szinén a referencia körmozgás vizsgálaa bizosíja. z egenlees körmozgás végző es gorsulása mindig a kör középponja felé mua, és nagsága a cp = R ω 2. kövekező ábra alapján láhaó, hog a referencia körmozgás a cp cenripeális gorsulásának függőleges komponense minden pillanaban megegezik a harmonikus rezgőmozgás gorsulásával. harmonikus rezgőmozgás gorsulásának nagsága egenesen arános a kiéréssel, vele ellenées iránú. a = ω 2 Ábrázoljuk közös koordináa-rendszerben az egensúli helzeből induló harmonikus rezgőmozgás végző ömegpon kiérésé, sebességé, gorsulásá! v () () a() = a cp sin φ = ω 2 sin (ω ) z a cp és a kapcsolaa: sin φ = harmonikus rezgőmozgás végző es gorsulása az időnek mínusz szinuszos függvéne. a () = ω 2 sin (ω ) a ω 2 ω 2 O φ a cp φ ω 2 a ω 2 harmonikus rezgőmozgás gorsulás-idő grafikonja a a a cp a max es gorsulása a szélsőhelzeekben a legnagobb, éréke (gorsulásampliúdó): a max = ω 2 Megállapíhajuk, hog a sebesség neged periódussal ( π 2 ) -vel sie a kiéréshez képes. kiérés és a gorsulás ellenées fázisban mozog. Előfordulha, hog a megfigelés kezdeén a harmonikus rezgőmozgás végző ömegpon nem az egensúli helzeben van. z ekkor rá jellemző fázisszöge φ kezdőfázisnak nevezzük. Íg módosulnak a mozgás leíró kinemaikai függvének: kiérés-idő függvén álalános alakja: () = sin (ω + φ ) sebesség-idő függvén álalános alakja: v() = ω cos (ω + φ ) gorsulás-idő függvén álalános alakja: a() = ω 2 sin (ω + φ ) O φ Kezdőfázissal rendelkező harmonikus rezgőmozgás kiérés-idő függvéne a szinuszfüggvén ranszformálja a () 15
16. Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása MEGOLDÁS daok: k = 18, Δ = 6 s, = 2 cm =,2 m, =,15 s v k v v φ v ω φ O Kezdőfázissal rendelkező harmonikus rezgőmozgás sebesség-idő függvénének grafikonja a) v =?, b) a max =? c) () =?, v() =?, a() =? harmonikus rezgés frekvenciája: f = k Δ = 18 6 s = 3 1 s, körfrekvenciája: ω = 2 π f = 2 π 3 1 s = 18,85 1 s a ω 2 φ cp a a O φ KIDOLGOZO FELD a ω 2 Kezdőfázissal rendelkező harmonikus rezgőmozgás gorsulás-idő függvénének grafikonja varrógép le-föl járó űje harmonikus rezgőmozgás végez. 18 ölés végzünk vele percenkén. Varrás közben a ű hege 2 cm-rel emelkedik az anag fölé, illeve 2 cm-rel sülled alá. a) Mekkora sebességgel döfi á a ű a szövee? b) Mekkora a ű gorsulásának legnagobb éréke? c) Mekkora a ű hegének kiérése, sebessége, gorsulása az egensúli helzeen való áhaladás uán,15 másodperccel? a) szöve ádöfésekor a ű hege épp az egensúli helzeen halad á, i a legnagobb a sebessége: v = v max = ω =,2 m 18,85 1 s =,377 m s b) legnagobb gorsulás: a max = ω 2 =,2 m ( 18,85 1 2 = 7,1 s ) m s 2 c) kiérés éréke =,15 s időponban: () = sin (ω ) =,2 m sin ( 18,85 1 s,15 s) = =,2 m sin (2,83 rad) =,2,31 =,62 m (Ügeljünk arra, hog a fázisszög mérékegsége radián!) sebesség éréke =,15 s időponban: v() = ω cos (ω ) = =,2 m 18,85 1 s cos (2,83 rad) =,36 m s gorsulás éréke =,15 s időponban: a = ω 2 sin (ω ) = =,2 m ( 18,85 1 2 s ) sin (2,83 rad) = 2,2 m s 2 Vag: a = ω 2 = ( 18,85 1 2 s ),62 m = 2,2 m s 2 16
2. Harmonikus rezgőmozgás kinemaikai leírása 1 z (cm) 12 alábbi ábra a harmonikus rezgőmozgás végző jáék figura (11. oldal) kiérés-idő függvéné muaja. 1,6 (s) Kérdések és feladaok 4 megpendíe űs hangvilla vége a nélhez viszoníva harmonikus rezgőmozgás végez. menniben eg egenes menén egenleesen végighúzzuk a kormozo üveglapon, a noma szinuszgörbe lesz. 44 Hz-es hangvilla álal húzo hullámvonalon ceniméerenkén nég eljes rezgés nomá lájuk. Mekkora sebességgel mozgauk a hangvillá? 12 a) Mekkora a mozgás ampliúdója és rezgésideje? b) djuk meg a es kiérés-idő függvéné! c) Mekkora a mozgás sebességének és gorsulásának legnagobb éréke? d) djuk meg és ábrázoljuk a harmonikus rezgőmozgás v- és a- függvénei! e) Mekkora a rezgő es kiérése, sebessége, illeve gorsulása = 1,4 s időponban? 2 moor hengerében a dugaú harmonikus rezgőmozgás végez. periódusidő hánadrészében egiránú a dugaú kiérése és a sebessége? 3 moor dugaújának kiérés-idő függvéne: = sin (2π f ), = 5 cm, f = 6 1 s a) Mekkora a dugaú lökehossza, frekvenciája és rezgésideje? b) Mekkora a dugaú legnagobb sebessége? c) Ábrázoljuk a rezgő es kiérés-idő függvéné! d) djuk meg a es v- és a- függvénei! e) Ábrázoljuk a es v- és a- függvénei! 5 Eg szálloda páernoszere (nio kabinok láncából álló lif) elromlik. z üzemzavar abban nilvánul meg, hog a kabinok 1 cm ampliúdójú harmonikus rezgőmozgás végeznek függőleges egenes menén. vendégek épségben elhagák ugan a kabinoka, de eg bőrönd benn marad. Legfeljebb mekkora a rezgés frekvenciája, ha a mozgás során a bőrönd nem emelkedik el a padlóól? 6 periódusidő hán százalékában nagobb a harmonikus rezgőmozgás végző ömegpon kiérése az ampliúdó felénél? 7 Eg es harmonikus rezgőmozgásának ampliúdója 5 cm, periódusideje 2 s. Mekkora a es sebessége akkor, amikor a es kiérése 3 cm? 8 Mekkora kezdőfázissal kezdi meg harmonikus rezgőmozgásá az a ömegpon, amelnek a sebessége ponosan fele a sebességampliúdónak a megfigelés kezdőpillanaában? 17
3. lecke rezgésidő. Fonálinga Galilei a pisai dómban ülve gakran figelhee meg eg, a plafonról hosszú köélen függő bronzcsillár periodikus, lengő mozgásá. legenda szerin ez figelve kapo kedve az ingamozgás örvénszerűségeinek felárásához. Miől függ a csillár mozgásának periódusideje? rezgésidő harmonikus rezgőmozgás időbeli szabálosságának méréke a periódusidő. Ez rezgőmozgás eseén rezgésidőnek is nevezzük. Vizsgáljuk meg, miől függ az éréke! KÍSÉRLEEK 1. rugóra akaszo es függőleges egenes menén mozogha. Ké különböző ömegű esel végezzük el a kövekező kísérlee! Először akasszuk a rugóra a könnebb ese, majd várjuk meg, míg az egensúli helzeében nugalomba kerül! Innen érísük ki, s engedjük el! Figeljük meg a mozgás rimusá! Mos a nehezebb esel végezzük el uganez! Föld milen ulajdonságá igazola Foucaul a híres ingakísérleel? F Uganarra a rugóra akaszo kisebb, illeve nagobb ömegű es harmonikus rezgőmozgás végez Melik eseben nagobb a kialakuló mozgás periódusideje? fiz-11e_1-42.indd 18 216.6.28. 16:28:6
3. rezgésidő. Fonálinga PSZL Ha a rugóra nagobb ömegű ese akaszunk, lomhább rezgőmozgás apaszalunk. D KÖVEKEZEÉS KÍSÉRLEEKBŐL z a ganúnk, hog a rezgésidő alapveően a rugóállandó és a rezgő es ömege haározza meg. vizsgál mozgásra alkalmazzuk a dinamika alapegenleé: F = m a m rugóerő (amel lineárisan függ a kiérésől) hoz lére harmonikus mozgás. D = m a D M m < M ké rezgőmozgás kiérés-idő grafikonja 2. Mos uganaz a ese akasszuk először eg lágabb (kisebb rugóállandójú), majd eg keménebb (nagobb rugóállandójú) rugóra! Hasonlísuk össze mos is a ké mozgás periódusidejé! D 1 m D 2 m D 1 < D 2 Különböző rugókra akaszo azonos ömegű esek harmonikus rezgőmozgás végeznek Melik eseben nagobb a kialakuló mozgás periódusideje? PSZL Mos az apaszaljuk, hog uganazon a esen a nagobb rugóállandójú rugó okoz szaporább rezgés. Használjuk fel a kiérés és a gorsulás közö fennálló ismer kapcsolao: a = ω 2 D = m ω 2 feni vekoregenle csak akkor lehe igaz, ha: D = m ω 2 ganúnk beigazolódo! Elmélei úon eljuounk eg olan összefüggéshez, amel aralmazza a rugó eg jellemzőjé (D), a rezgő es adaá (m) és a rezgés szaporaságá jellemző körfrekvenciá (ω). ω = D m rezgésidő és a frekvencia meghaározásához használjuk fel, hog ω = 2 π = 2 π f. Ebből és f kifejezheő. = 2 π m D ; f = 1 2 π D m harmonikus rezgőmozgás rezgésideje és frekvenciája a es ömegéől és a rugó direkciós állandójáól (rugóállandóól) függ. kapo összefüggések összhangban vannak a apaszalaal. Uganazon a rugón rezgő nagobb ömegű es periódusideje nagobb. Uganazon es rezgésideje nagobb rugóállandójú rugón kisebb. feni összefüggésekben nem szerepel a rezgés ampliúdója. Ez az jeleni, hog a rezgésidő és a frekvencia nem függ őle. Ez minőségileg úg lehe magarázni, hog a nagobb ampliúdó eseén nagobb a es álal befuo ú, de a es álagsebessége is nagobb. 19
3. rezgésidő. Fonálinga z ingamozgás Ingamozgás végez eg vízszines engellel elláo merev es, ha egensúli helzeéből kiéríjük, és magára hagjuk. ( engel ne a es ömegközépponján menjen á, hiszen akkor a es bármel helzeben egensúlban van! Ekkor nem jön lére mozgás.) legegszerűbb ingamozgás a fonálinga vizsgálaával írhajuk le. Fonálingá úg kapunk, ha eg hosszú, elhanagolhaó ömegű fonál egik végé rögzíjük, a másik végére pedig eg pici, nehéz (ponszerű) ese erősíünk. (Például kulcscsomó helezünk eg kulcsaró szalagra.) z l hosszú fonál végén lévő ese az egensúli helzeéből érísük ki, majd engedjük el! (Ügeljünk arra, hog a köél feszes legen, és kezdősebesség nélkül induljon a es!) Figeljük meg a fonálinga mozgásá! Gakorlailag elegendő a lengő ponszerű ese nomon kövenünk. z ingaes eg síkban, eg körív menén mozog. z m g nehézségi erő és a K köélerő egü haározza meg a es mozgásá. Periodikus jelensége láunk: a es az egik szélsőhelzeből indul. sebessége egészen addig növekszik, amíg a köél függőleges helzeű lesz. Ekkor legnagobb a sebessége. es eheelensége mia ovábblendül, innenől viszon a sebessége csökken, egészen a másik oldali szélsőhelzeig. Innenől a mozgás hasonlóan zajlik le, min eddig, csak a másik iránba. fonálinga mozgása az imén végigkövee egségekből evődik össze. fonálinga mozgásának vizsgálaa v max m g K l m g K fonálinga eg eljes lengése Eg eljes lengésnek nevezzük az ingamozgás azon szakaszá, melnek során a es készer fu végig a fonálinga álal bejár köríven. Eg eljes lengés ideje a lengésidő. Jele:. lengésidő mérékegsége: s. lengésidő skalármenniség. MÉRÉSI KÍSÉRLE Mérjük meg különböző hosszúságú fonálingák lengésidejé! Célszerű 1-1 eljes lengés idejé mérni. mér adaból számísunk lengésidő! kapo érékeke ábrázoljuk először a fonálingák hosszának, majd a fonálhosszak négzegökének függvénében! 1. mérés 2. mérés 3. mérés 4. mérés 5. mérés 6. mérés l (m),2,4,6,8 1, 1,2 1 (s) 9 13 16 18 2 22 (s),9 1,3 1,6 1,8 2, 2,2 l (m,5 ),45,63,77,89 1, 1,1 (s) 2,4 2,2 2, 1,8 1,6 1,4 1,2 1,,8,2,4,6,8 1, 1,2 l (m) lengésidő függése a fonálinga hosszáól 2