Fizika 1 Mechanika órai eladatok megoldása. hét /1. Egy tömegpont helyektora az időtől a köetkezőképpen ügg: r(t) (at+b) i + (at b) j + ( ct +4at+5b) k, ahol a 3 m/s, b 1 m, c 5 m/s. a) Milyen táol an a tömegpont az origótól a t időpontban? b) Milyen táol an a kiindulási ponttól a t s -ban? test t -ban indult. c) Határozzuk meg a tömegpont sebességét és gyorsulását! d) Mekkora a sebessége a t időpontban? e) Mely időpontban éri el a tömegpont az -y síkot? MO. a) konstansokat behelyettesíte r(t) (at+b) i + (at b) j + ( ct +4at+5b) k [m]. t ban az r() 1 i 1 j + 5 k [m] pontban an a test, aminek a táolsága az origótól d () r() 1 " +1 " +5 " 51,96 m. b) t s-ban az r() 16 i 4 j + 54 k [m] pontban an a test. z elmozdulásektor a t és t s interallumban r r() r() 6 i + 6 j + 4 k [m], ennek nagysága 6 " +6 " +4 " 9,381 m. c) (t) r& (t) a i + a j + ( ct+4a) k 3 i + 3 j + ( 1t+1) k [m/s] a(t) & ( t) & r ( t) c k 1 k [m/s ] d) () 3 i + 3 j + 1 k [m/s], nagysága () 3 " +3 " +1 " 1,73 m/s. e) az -y síkot akkor éri el, amikor z, azaz 5 t + 1 t + 5 t1 4,58 s (és t,18 s -ban is ott lett olna) és még egy kérdés: (ez nem zh-eladat) ) Bizonyítsuk be, hogy a mozgás síkmozgás! Határozzuk meg a pálya síkját! MO. mozgás síkmozgás, ha + B y + C z + D teljesül minden t-re. Most at+b, y at b, z ct +4at+5b, tehát (at+b)+b(at b)+c( ct +4at+5b)+D( Cc)t +(a+ba+ca)t+(b Bb+5Cb+D), amiből Cc és a+ba+ca és b Bb+5Cb+D. Cc C a + Ba B b Bb + D D b 1 álasztással a sík egyenlete: y b. /. Egy repülőgép mozgását az (t) a cos/ 3 + a sin/ j üggény írja le, 1 1 ahol a m, t s. a) Milyen pályán mozog a repülőgép? b) Mekkora szöget zár be a sebességektor a gyorsulásektorral a t és a t s időben? MO. a) (t) a cos(t/t) cos (t/) y(t) a sin(t/t) 4 sin(t/) Fejezzük ki az első egyenletből cos(t/t)-t, a másodikból sin(t/t)-t. Miel cos t t + sin t t 1, ezért y y + + 1, a a 4. hét /1
azaz egy ellipszisen mozog a repülőgép (pozití orgásirányban). [ Miel T/ π, a periódusidő T 4π 1,57 s. ] t y t y b) (t) r& (t) a/t sin(t/t) i + a/t cos(t/t) j 1 sin(t/) i + cos(t/) j a(t) & ( t) & r ( t) a/t cos(t/t) i a/t sin(t/t) j 5 cos(t/) i 1 sin(t/) j t s -ban () j [m/s], a() 5 i [m/s ] látható, hogy a két ektor merőleges. [ test az tengely (, ) pontjában an; a sebesség +y irány, azaz előreelé mutat az ellipszis érintőjének irányában; a gyorsulás az origó elé mutat, merőleges a sebességre, agyis ebben a pillanatban állandó nagyság sebességgel kanyarodik.] t s -ban () 1 sin(1) i + cos(1) j 84,15 i + 18,1 j [m/s], a() 5 cos(1) i 1 sin(1) j 7, i 84,15 j [m/s ]. két ektor által bezárt szög nagyságát skalárszorzattal számolhatjuk ki: általánosan: a b 5 7 cosα, itt () a() 8() 5() cosα () a() ( 84,15) ( 7,) + ( 18,1) ( 84,15) 6819,7 cos α () a() 84,15 + 18,1 7, + 84,15 136,96 88,377,5634 α,169 rad 14,3 [t s-nál ϕ / 1 rad 57,3, ekkora szöget zár be a helyektor az tengellyel; a sebesség érintő irány; a gyorsulás beelé, az origó elé mutat, ami ebben a pillanatban a sebességre merőleges irányhoz képest hátraelé an, agyis ebben a pillanatban lassula kanyarodik.] Skalárszorzattal t esetében: () a() merőlegesek. /3. Egy kipukkadt lui sebességét az alábbi üggény adja meg: (t), e,1t i,8 sin(4t) j + (3 4t) k [m/s] (z időt másodpercekben, a táolságot méterben mérjük.) Kipukkadásakor, t s-ban a lui az r i + 1,4 j + 1,5 k [m] pontból indult. a) Hol lesz a lui él másodperc mla? b) lui egy olyan 3 3 3 m-es szobában an, melynek egyik sarkához illesztettük a koordinátarendszerünket. Mikor, melyik al (ill. plaon. padló) melyik pontjának megy neki először? MO. Keressük azt az r(t) üggényt, amire teljesül, hogy - deriáltja a ent megadott (t) üggény: :(t) 8(t) és - helyettesítési értéke megelel az adott eltételnek; speciálisan t esetén r() r. Ezt a üggényt határozott agy határozatlan integrállal is előállíthatjuk.. hét /
Határozott integrállal: (t) (t ; )+< 8(τ) dτ 1, koordinátánként (t) (t ; )+< > (τ) dτ; y(t) y(t ; )+<? (τ) dτ; z(t) z(t 1 ; )+< @ (τ) dτ 1 1. Esetünkben t, (t ) () m ; y(t ) y() y 1,4 m ; z(t ) z() z 1,5 m. (t) (t ; )+< > (τ) dτ +<,e ;,τ dτ +,B C1,Dτ 1 ; E ;, +(e ;, 1) e ;, ; ; cos (4τ) y(t) y(t ; )+G? (τ) dτ 1,4+G,8 sin (4τ) dτ 1,4,8H I 1 ; 4 ; 1,4+,7(cos (4t) 1),7(1+cos (4t)); z(t) z(t ; )+< @ (τ) dτ 1,5+< (3 4τ)dτ 1,5+[3τ τ " ] 1 ; ; 1,5+3t t " ; azaz r(t) e,1t i +,7(1+cos(4t)) j + (1,5+3t+t ) k [m]. Határozatlan integrállal: (t) G > dt G,e ;, dt,,1 e;, +k e ;, +k k1 konstans értékének meghatározásához az r ektorból kiolassuk értékét: ; ezzel kell egyenlő legyen az (t) értéke t-ban, amihez az (t) üggénybe t -t helyettesítünk: () K ;, ; +L +L és elírjuk, hogy () : + k1 k1, tehát (t) e ;,. y <? dt <,8 sin (4t) dt ",M cos (4t)+k N ",7 cos (4t)+k ", a kezdeti eltételből,7cos + k,7 + k 1,4 k,7, tehát y(t),7(1+cos (4t)). z < @ dt <(3 4t) dt (3t t " )+k O, a kezdeti eltételből + k3 1,5 k3 1,5, tehát z(t) 3t t " +1,5. a) t,5 s behelyettesítéséel e,5,13 m, y,7(1+cos()),487 m, z 3,5,5 +1,5,5 m, tehát r(,5),13 i +,487 j +,5 k [m]. b) szobát határoló síkok az, 3, y, y 3, z és z 3 síkok; azt kell megizsgálni, melyik eltétel mikor teljesül, és a legkisebb időt kiálasztani. e,1t : soha e,1t 3 : t 4,55 s y,7(1+cos(4t)) : ty,7854 s y,7(1+cos(4t)) 3: soha z 3 t t +1,5 : tz 1,896 s z 3 t t +1,5 3 : soha lui tehát t,7854 s-ban nekimegy az y egyenletű al (,7854),163 m, z(,7854),6 m pontjának. /4. Egy test gyorsulása a(t) ( t + 1 ) i + π cos (3πt) j [m/s ]. t s -ban a test sebessége i + j [m/s]. Mennyi lesz t 4 s -ban a) a sebesség nagysága? b) a sebességektornak az tengellyel bezárt szöge? c) Hol lesz a test t 4 s -ban, ha t 1 s-ban r(1) j + k [m]?. hét /3
MO. Keressük azt a (t) üggényt, amire teljesül, hogy - deriáltja a ent megadott a(t) üggény: 8:(t) 5(t) és - helyettesítési értéke megelel az adott eltételnek; speciálisan t esetén (). Határozott integrállal: > (t) > (t ; )+< a > (τ) dτ +< (τ+1) dτ +[τ " +τ] 1 ; ; +t " +t? (t)? (t ; )+< a? (τ) dτ +< π " cos (3πτ) dτ +π " B STU(Oπτ) π E 1 ; + sin (3πt) Oπ ; O Határozatlan integrállal: a :> t + 1 (t) t + t + k1 miel (), így + + k1 k1, azaz t + t + ; ay :? π cos(3πt) y(t) π/3 sin(3πt) + k miel y(), így π/3 sin() + k k, azaz y π/3 sin(3πt) + ; tehát (t) ( t + t + ) i + (π/3 sin(3πt) + ) j [m/s]. t 4 s-ban (4) (4 +4+) i + (π/3 sin(1π) + ) j i + j [m/s]. Ennek a) nagysága 8(4) 31,11 m/s ; b) az tengellyel azaz az i egységektorral bezárt szöge: 8(N) 3 cosφ "" V"" ; " Φ π/4 rad 45. 8(N) "" " " c) z integrálásnál arra kell igyelni, hogy most t. Határozott integrállal: (t) (1)+< > (τ) dτ B τw + τx +τe O " / W y(t) y(1)+<? (τ) dτ +< (τ " +τ+)dτ + X O " +t /W + X + W + X O " O " +t Y Z ([\]S(Oπτ)) +< /+ π sin(3πτ) dτ +Bτ+ π O O Oπ +/t ^cos (3πt) /+^ t ^cos(3πt) ^ z(t) z(1)+< @ (τ) dτ +< dτ Határozatlan integrállal: r(t) ( t 3 /3 + t / + t + k4 ) i + ( 1/9 cos(3πt) + t + k5 ) j + k6 k [m]. k4, k5, k6 értékét most t 1 behelyettesítéséel kapjuk meg: (1) 1 3 /3 + 1 / + 1 + k4 17/6 + k4 k4 17/6; y(1) 1/9 cos(3π 1) + 1 + k5 1/9 + + k5 k5 1/9; z(1) k6 k6 ; tehát r(t) ( t 3 /3 + t / + t 17/6 ) i + ( 1/9 cos(3πt) + t 1/9 ) j + k [m]. t 4 s -ban r(4) 34,5 i + 79/9 j + k 34,5 i + 87,78 j + k [m]. E Gyakorló eladatok a zárthelyire: /5. Ágygolyó röppályájának egyenlete r(t) (at + b) i + (gt + ct + d) k, ahol a 5 m/s, b 1 m, c 1 m/s, d m, g 5 m/s. a) Honnan lőtték ki az ágygolyót? kilöés t s-ban történt. b) Mekkora olt a kezdősebessége? c) Mekkora olt a gyorsulása? d) Mikor és hol ér öldet az ágygolyó? koordinátarendszer origója a öldön an. e) Mikor és hol lesz merőleges a sebesség a gyorsulásra?. hét /4
MO. a) t s-ban r() b i + d k 1 i + k [m]. b) (t) r& (t) a i + (bt + c) k 5 i + ( 1t + 1) k, () 5 i + 1 k, 5 " +1 " 11,18 m/s. c) a(t) & ( t) & r ( t) b k 1 k [m/s ] (azaz a gyorsulás konstans, 1 m/s leelé, ami a szokásos közelítő érték g-re, csak most a képletben ennek a ele olt g-el jelöle ) d) azaz a z síkot mikor éri el: gt + ct + d 5t + 1t + t 7,43 s (a másik gyök negatí, 5,43 s) e) a két ektor ott merőleges, ahol a skalárszorzatuk nulla: a 5 + ( 1t + 1) ( 1) 1(t 1) t 1 s, r(1) 15 i + 5 k [m], ez a pálya cscspontja. (Gyorsabban megoldható a eladat a z 1t + 1 eltételből.) /6. Egy test gyorsulása a(t) 4a sin (ωt+ϕ) i + 4b sin ωt j, ahol ω s 1, ϕ π/. t1 π/4 s-ban a test az r1 a i b j [m] pontban an és sebessége 1 a i [m/s]. a) djuk meg a test helyektorát és sebességét t 3π s-ban! ( r?,? ) b) Milyen pályán mozog a test? c) Mely időpontokban an legközelebb a test az origóhoz? MO. a 4a sin (t+π/) 4a cos t :> a sin t + k1 t1 π/4 s-ban 1 a k1, a sin t : a cos t + k t1 π/4 s-ban 1 a k a, a cos t + a ay 4b sin t :? y b cos t + k3 t1 π/4 s-ban 1y k3, y b cos t y: y b sin t + k4 t1 π/4 s-ban y1 b k4, y b sin t (t) (a sin t) i (b cos t) j [m/s], r(t) (a a cos t) i (b sin t) j [m]. a) r(3π) ( a cos 6π + a) i b sin 6π j [m], (3π) a sin 6π i b cos 6π j b j [m/s]. b) (t) a a cos t cos t (a )/a y(t) b sin t sin t y / b Felhasznála, hogy cos α + sin α 1: a pálya a y + 1 a b c) (t), ha t k π; y(t), ha t k π/ ; azaz t k π esetén a test táolsága az origótól zérus. ellipszis /7. Egy m 5 kg tömegű test sebességét az alábbi üggény írja le: a sin(bt) i + c sin(dt) j, ahol a 1 m/s, b s 1, c m/s, d 1 s 1. test a t s-ban az r 9 i + 3 j [m] pontban olt. a) Milyen pályán mozog a test? Rajzoljuk is meg! b) Mekkora szöget zár be a sebesség és a gyorsulás t π/ s-ban?. hét /5
MO. a sin(bt) i + c sin(dt) j 1 sin(t) i sin(t) j [m/s] a) r <8 dt (t) < > dt <( 1sin(t))dt 6 cos(t) + k1 () 6 cos() + k1 6 + k1 9 k1 3 y(t) <? dt <( sin(t))dt cos(t) + k y() cos() + k + k y 3 k 1 tehát a pálya paraméteres alakban: r(t) [ 6 cos(t) + 3 ] i + [ cos(t) + 1 ] j [m] pálya alakja: cos(t) ( 3)/6, cos(t) (y 1)/ cos(t) cos (t) sin (t) cos (t) [1 cos (t)] cos (t) 1 tehát ( 3)/6 [(y 1)/] 1 az 3y(y ) parabolának az a része, amire 3 9 ( és 1 y 3 ), agy y ±d >VO O +1 b) a 8: ab cos(bt) i + cd cos(dt) j 4 cos(t) i cos(t) j [m/s ] (π/) 1 sin(π) i sin(π/) j j [m/s] a(π/) 4 cos(π) i cos(π/) j 4 i [m/s ] merőlegesek /8. Két légy mozgásának pályaüggénye r1(t) a t i + b t j + c k r(t) i + d t j + e t k ahol a 5 m/s, b m/s, c 5 m, d 3 m/s, e m/s. a) Írjuk el egymástól aló táolságukat az idő üggényében! b) Számítsuk ki a t 1 s-ban a két légy sebességektorát és sebességük nagyságát! /9. Egy m 5 kg tömegű test sebességét az alábbi üggény írja le: a sin bt i + c sin dt j, ahol a 1 m, b s 1, c m, d 1 s 1. test a t s-ban az r 9 i + 3 j [m] pontban olt. a) djuk meg a testre ható erőt az idő üggényében! (Vektorként és a nagyságát is.) b) djuk meg a test helyektorát az idő üggényében! c) Milyen pályán mozog a test? Rajzoljuk is meg! d) Mekkora szöget zár be a sebesség és a gyorsulás t π/ s-ban? /1. Műrepülés közben két repülőgép pályája a köetkező pályaüggényekkel adható meg: r1(t) a cos 3ωt j + a sin 3ωt k r(t) 3a cos (5ωt+π) i + 3a sin (5ωt+π) j ahol a 1 m, ω,1 s 1. a) Milyen pályákon repülnek a repülőgépek? b) Mekkora a táolság a két repülőgép között t s-ban?. hét /6
Egyéb eladatok (nem zh-eladatok) /11. Egy ember a tóparton leő pontból a legröidebb idő alatt szeretne a B pontba érni. Milyen tonalat álasszon, ha a maimális utási sebessége, szási sebessége pedig? B D MO. s z t két szakaszból áll, először alameddig ut a parton: legyen ez az ábra jelölése szerint s, majd ott beugrik a ízbe és egyenesen a B pont elé szik; ez az t t( ) t + t + s + D. teljes idő tehát annak üggénye, hogy hol kezdett el szni. zt az értéket keressük, amelynél t-nek minimuma an (azaz ahol a t() üggény deriáltja zérus): d t 1 +,amiből d D. + D Látszik, hogy ez csak akkor megoldás, ha > (agyis ha alaki gyorsabban szik, mint ahogy ut, akkor égig csak sszon). [ t() üggény második deriáltja d t/d D /( ( +D ) 3/ ) >, tehát a szélsőérték tényleg minimum.] Ellenőrizzük még, teljesül-e, hogy s, azaz: D s D 1+ s Ez automatikusan nem teljesül; ez azt jelenti, hogy ha nem tudunk ennyiel gyorsabban utni, mint szni, akkor is égig szni kell. nalógia a Snellius-Descartes-törénnyel srló beesés esetén: a dt/d kiejezésből látható, o hogy + D 1 sin9 n (α a teljes isszaerődés határszöge) sin α sin α /1. Egy csónak L szélességű olyón halad át a olyóra merőlegesen a ízhez képest állandó sebességgel. olyó izének sebességeloszlása parabolikus: e e ; 1 4g" h " i a) Határozzuk meg a csónak pályájának egyenletét! b) Mennyiel iszi le a íz a csónakot, míg az egyik partról a másikra ér? MO. a) csónak eredő sebessége mindig a pálya érintőjének irányába mutat. u d/dt és dy/dt (dy/dt)/(d/dt) / u dy / d a pálya érintője. u ügg y-tól, tehát az alábbi dierenciálegyenletet kell megoldanunk, hogy a pálya egyenletét y() aagy (y) alakban megkapjuk: kl km n o 1. pqx r X Szeparáljuk és integráljuk: l < o 1 s/" n /1 NlXtg < tu s X ; m u o l 1 NlW Bg n Os XE o 1 [s/" n g NlW s N([ r X )W iw o 1 Os X " Os X n /g NlW + s a pálya Os X O egyenlete. s α B α D L y u + D Vagy: < o 1 NlX /1 n tg <tu u o 1 s X n /g NlW Os X+. hét /7
és tudjuk, hogy nál y L/: o 1 s N([ r X )W i+ o 1 s + n " Os X n O agyis o 1 s n O és u o 1 NlW /g + s. n Os X O b) csónak átér, ha y L/, ezt behelyettesíte u " O o 1 n h. /13. és B áros 84 km-re annak egymástól. Két biciklis elindul egy időben, az egyikük -ból B-be 16 km/h, a másik B-ből -ba 1 km/h sebességgel. Egy ecske is elindul elük egy időben árosból B áros elé, de amikor találkozik a B-ből jöő biciklissel, isszaordul elé, majd amikor találkozik az -ból jöő biciklissel, isszaordul B elé, és így toább. Mekkora utat tesz meg a ecske a biciklisták találkozásáig? ecske sebessége 5 km/h óra, és egy szempillantás alatt meg tud ordulni. MO. megoldást nem gy keressük, hogy a ecske és az egyik ill. másik biciklista találkozásának helyét és idejét számoljuk ki és a ecske által megtett utakat összegezzük, hanem a két biciklista találkozásáig eltelt összes időt számoljuk ki, mert a ecske addig égig repül, így az idő ismeretében az általa megtett t könnyebben kiszámolható. találkozásig eltelt idő - az egyik biciklistához rögzített koordinátarendszerben: miel a biciklisták egymással szembe haladnak, a másik biciklista sebessége az origóban léőhöz képest 16+1 8 km/h, kezdetben a táolság köztük 84 km, tehát t 84 / 8 3 h. - az thoz rögzített koordinátarendszerben: az origó árosban an, az onnan induló biciklista koordinátája 1 16 t, a B árosból indulóé pedig 84 1 t. Találkozáskor 1 : 16 t 84 1 t t 3 h. ecske által megtett t s 3 5 15 km. /14. Egy illamosonalon a illamosok T időközönként járnak c sebességgel. pálya mellett gépkocsi halad sebességgel. Mennyi időközönként találkozik a gépkocsi illamosokkal? MO. Írjuk el egy illamoshoz rögzített koordinátarendszerben az autó sebességét: ha az autó és a illamosok ellenkező irányba mennek: rel + c ha az autó és a illamosok egy irányba mennek és > c: rel c ha az autó és a illamosok egy irányba mennek és < c: rel c illamosok táolsága egymástól d c T, ekkora táolságot kell megtenni az autónak, tehát az ehhez szükséges idő t c T / ( + c), ha az autó és a illamosok ellenkező irányba mennek, t c T / ( c), ha az autó és a illamosok egy irányba mennek és > c, és t c T / (c ), ha az autó és a illamosok egy irányba mennek és < c. /15. Lelépjük egy szekér hosszát menet közben: a szekérrel egy irányba mene a lépésnek mérjük, szembe mene pedig b lépésnek mérjük. Milyen hossz a szekér? MO. szekér sebessége sz, az emberé e. Ha egy irányba mennek, akkor t 1 idő alatt ér el az ember a szekér égétől a szekér elejéig, ezalatt e t 1 a (1) lépést tesz meg, és e t 1 sz t 1 + L () Ha szembe mennek, akkor a t idő alatt jut el az ember a szekér elejétől a égéhez, ezalatt e t b (3) lépést tesz meg, és ( e + sz ) t L (4) Ez 4 egyenlet 5 ismeretlennel, ügyesen kell rendezgetni. Pl. (1)-et behelyettesíte ()-be sz t 1 a L, másrészt (3)-at behelyettesíte (4)-be sz t L b, és a két egyenletet eloszta t 1 /t (a L)/(L b). Ugyanakkor (1)-et eloszta ()- el t 1 /t a/b. Ezeket összeete (a L)/(L b) a/b, amiből L "z{ zv{ /16. Folyóíz sebessége 3 m/s, és an egy csónakunk, ami a ízhez képest 4 m/s sebességgel tud menni. Mekkora legyen a olyó sodráal bezárt szög, ha a) a legröidebb idő alatt; b) a legröidebb ton szeretnénk átérni a tlpartra? MO. a) csónak orra mutasson a tlsó part elé, azaz α 9. y b) csónak eredő sebessége legyen merőleges a olyó sodrára, azaz a β 138,6. y L cs α e L cs β e. hét /8