Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 1. Diszkrét matematika 1. középszint 2. előadás Nagy Gábor nagygabr@gmail.com nagy@compalg.inf.elte.hu compalg.inf.elte.hu/ nagy Mérai László diái alapján Komputeralgebra Tanszék 2016. ősz
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 2. Moivre-azonosságok Tétel HF Legyen z, w C nemnulla komplex számok: z = z (cos ϕ + i sin ϕ), w = w (cos ψ + i sin ψ), és legyen n N. Ekkor zw = z w (cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ)); z w = z w (cos(ϕ ψ) + i sin(ϕ ψ)), ha w 0; z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ). A szögek összeadódnak, kivonódnak, szorzódnak. Az argumentumot ezek után redukcióval kapjuk! Geometriai jelentés Egy z C komplex számmal való szorzás a komplex számsíkon mint nyújtva-forgatás hat. z -vel nyújt, arg(z) szöggel forgat.
Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 3. A z = z (cos ϕ + i sin ϕ) és w = w (cos ψ + i sin ψ) trigonometrikus alakban megadott komplex számok pontosan akkor egyenlőek: z (cos ϕ + i sin ϕ) = w (cos ψ + i sin ψ), ha z = w ϕ = ψ + k 2π valamely k Z szám esetén. n-edik gyökvonás: Legyen z n = w: z n = z n (cos nϕ + i sin nϕ) = w (cos ψ + i sin ψ). Ekkor z n = w z = n w nϕ = ψ + k 2π valamely k Z esetén, vagyis: ϕ = ψ n + k 2π n valamely k Z esetén. Ha k {0, 1,..., n 1}, akkor ezek mind különböző komplex számot adnak.
Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 4. Tétel Legyen z = z (cos ϕ + i sin ϕ), n N. Ekkor a z n-edik gyökei azok a w-k, amikre w n = z: w = n ( ( ϕ z cos n + 2kπ ) ( ϕ + i sin n n + 2kπ )) n k = 0, 1,..., n 1.
Gyökvonás Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 5. w = n ( ( ϕ z cos n + 2kπ ) ( ϕ + i sin n n + 2kπ )) : k = 0, 1,..., n 1. n Példa Számítsuk ki a 6 1 i 3+i értékét! 1 i = ( 2 2 2 i ) 2 2 = 2 ( cos 7π 4 + i sin 7π 4 ( 3 ) 3 + i = 2 2 + i 1 2 = 2 ( cos π 6 + i sin ) π 6 Mivel 7π 4 6 1 i π 6 = 19π 12, ezért: 3+i = 6 2 1 ( cos 19π 19π 12 + i sin 12 ( cos 19π+24kπ 72 + i sin 19π+24kπ 72 = 1 12 2 ) ) = ) : k = 0, 1,..., 5.
Komplex egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 6. Definíció Az ε n = 1 feltételnek eleget tevő komplex számok az n-edik egységgyökök: ( ε k = ε (n) k = cos 2kπ n + i sin 2kπ ) : k = 0, 1,..., n 1. n Nyolcadik komplex egységgyökök ε ε 2 3 ε 1 ε 4 ε 0 = 1 ε 5 ε 7 ε 6
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 7. Gyökvonás Pozitív valós számok négyzetgyöke: legyen r > 0 valós szám, ekkor az x 2 = r megoldásai: ± r. Tétel Legyen z C nemnulla komplex szám. n N és w C olyan, hogy w n = z. Ekkor z n-edik gyökei feĺırhatóak a következő alakban: wε k : k = 0, 1,... n 1. Bizonyítás A wε k számok mind n-edik gyökök: (wε k ) n = w n ε n k = z 1 = z. Ez n különböző szám, így az összes gyököt megkaptuk.
Rend Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 8. Bizonyos komplex számok hatványai periodikusak ismétlődnek: 1, 1, 1,... 1, 1, 1, 1,... i, 1, i, 1, i, 1,... 1+i 2, i, 1+i 2, 1, 1 i, i, 1 i 2, 1, 1+i 2, i,... 2 Általában: cos( 2π n ) + i sin( 2π n )-nek n darab különböző hatványa van. Definíció Egy z komplex szám különböző (egész kitevős) hatványainak számát a z rendjének nevezzük és o(z)-vel jelöljük. Példa 1 rendje 1; 2 rendje : 2, 4, 8, 16,... ; 1 rendje 2: 1, 1; i rendje 4: 1, i, 1, i.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 9. Rend Tétel Egy z komplex számnak vagy bármely két egész kitevős hatványa különböző (ilyenkor a rendje végtelen), vagy pedig a hatványok a rend szerint periodikusan ismétlődnek. A rend a legkisebb olyan pozitív d szám, melyre z d = 1. Továbbá z k = z l o(z) k l. Speciálisan z k = 1 o(z) k. Bizonyítás Tegyük fel, hogy z rendje véges. Ekkor léteznek olyan k, l különböző egészek, melyekre z k = z l. Legyen k > l. Ekkor z k l = 1. Legyen d a legkisebb olyan pozitív szám, melyre z d = 1. Ha z n = 1, akkor osszuk el maradékosan n-et d-vel: n = q d + r, ahol 0 r < d. Tehát 1 = z n = z q d+r = (z d ) q z r = 1 q z r = z r. A d minimalitása miatt r = 0 azaz d n. Visszafelé is igaz: d n z n = 1. Beláttuk: d n z n = 1.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 10. Primitív gyökök Az n-edik egységgyökök rendje nem feltétlenül n: 4-edik egységgyökök: 1, i, 1, i. 1 rendje 1; 1 rendje 2; i rendje 4. Definíció Az n-ed rendű n-edik egységgyökök a primitív n-edik egységgyökök. A tétel következményei: Következmény(HF) Egy primitív n-edik egységgyök hatványai pontosan az n-edik egységgyökök. Egy primitív n-edik egységgyök pontosan akkor k-adik egységgyök, ha n k.
Primitív egységgyökök Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 11. Példa Primitív 1. egységgyök: 1; Primitív 2. egységgyök: 1; Primitív 3. egységgyökök: 1±i 3 2 ; Primitív 4. egységgyökök: ±i; Primitív 5. egységgyökök:... (HF) Primitív 6. egységgyökök: 1±i 3 2. Álĺıtás(HF) Egy cos ( ) ( 2kπ n + i sin 2kπ ) n n-edik egységgyök pontosan akkor primitív n-edik egységgyök, ha (n, k) = 1.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 12. Matematikai logika A logika a helyes következtetés tudománya. Alkalmazási területek: matematika; informatika; mesterséges intelligencia;... Példa Minden bogár rovar. tagadás: Van olyan bogár, ami nem rovar. Esik az eső, de meleg van, bár a nap is elbújt, és az idő is későre jár. tagadás:?
Axiomatikus módszer Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 13. A tudományok a valóság egy részének modellezésével foglalkoznak. Axiomatikus módszer: közismert, nem definiált fogalmakból (alapfogalmakból) és bizonyos feltevésekből (axiómákból) a logika szabályai szerint milyen következtetéseket vonunk le (milyen tételeket bizonyítunk). Példa Euklidészi geometria Alapfogalmak Axiómák pont, egyenes, párhuzamossági axióma, sík. Az axiomatikus módszer előnye: elég ellenőrizni az axiómák teljesülését....
Predikátumok Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 14. Definíció Predikátum: olyan változóktól függő definiálatlan alapfogalom, amelyhez a változóik értékétől függően valamilyen igazságérték tartozik: igaz (I, ), hamis (H, ), és a kettő egyidejűleg nem teljesül. Példa M(): Minden jogász hazudik. 0-változós, értéke: I. Sz(x): x egy szám. 1-változós, értéke: Sz(1)=I, SZ(h)=H. E(x): x egy egyenes. 1-változós. P(x): x egy pont. 1-változós. I (x, y): x illeszkedik y-ra. 2-változós. F (x, y): x az y férje. 2-változós. Gy(x, y, z): x az y és z gyermeke. 3-változós.
Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 15. A predikátumokat logikai jelekkel tudjuk összekötni: Tagadás, jele: A. És, jele: A B Vagy, (megengedő), jele: A B. Ha..., akkor... (implikáció), jele: A B. Ekvivalencia, jele: A B. Igazságtáblázat A B A A B A B A B A B I I H I I I I I H H H I H H H I I H I I H H H I H H I I
Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 16. A köznyelvben a vagy háromféle értelemmel bírhat: Megengedő vagy Átok reá ki gyávaságból vagy lomhaságból elmarad,... A B I H I I I H I H Kizáró vagy: Vagy bolondok vagyunk és elveszünk egy szálig, vagy ez a mi hitünk valóságra válik. A B I H I H I H I H Összeférhetetlen vagy: Iszik vagy vezet! A B I H I H I H I I
Logikai jelek Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 17. Az implikáció (A B) csak logikai összefüggést jelent és nem okozatit! A B I H I I H H I I Példa 2 2 = 4 i 2 = 1 2 2 = 4 kedd van Hamis álĺıtásból minden következik: Példa 2 2 = 5 i 2 = 2 Adott logikai jel, más módon is kifejezhető: (A B) ( A B)
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 18. A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Álĺıtás 1 (A (B C)) ((A B) C), (A (B C)) ((A B) C) (asszociativitás); 2 (A B) (B A), (A B) (B A) (kommutativitás); 3 (A (B C)) ((A B) (A C)), (A (B C)) ((A B) (A C)) (disztributivitás); 4 ( (A B)) ( A B), ( (A B)) ( A B) (De Morgan); 5 (A B) ( B A) (a kontrapozíció tétele); 6 ((A B) A) B; 7 ((A B) (B C)) (A C) (szillogizmus); 8 ((A B) (B A)) (A B).
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 19. A logikai műveletek tulajdonságai, ítéletlogikai tételek Bizonyítás (példa) 1 A (B C) (A B) C (a logikai vagy asszociativitása) A B C B C A (B C) A B (A B) C (A (B C)) ((A B) C) i i i i i i i i i h i i i i i i h i i i i i i i h h i i i h i i i i h i i i i i i h h h i i i i h i h i i i i i h h h h h h h i
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 20. Kvantorok Kvantorok egzisztenciális kvantor: létezik, van olyan. univerzális kvantor: minden. Példa V (x): x veréb. M(x): x madár. Minden veréb madár. Van olyan madár, ami veréb. Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). x(v (x) M(x)). x(m(x) V (x)).
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 21. Formulák A formulák predikátumokból és logikai jelekből alkotott,,mondatok. Definíció(Formulák) A predikátumok a legegyszerűbb, ún. elemi formulák. Ha A, B két formula, akkor A, (A B), (A B), (A B), (A B) is formulák. Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) is formulák. Példa Minden veréb madár, de nem minden madár veréb. ( x(v (x) M(x))) ( x(m(x) V (x))). Ez egy formula. Ha nem okoz félreértést, a zárójelek elhagyhatóak.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 22. Zárt/ nyitott formulák Definíció Ha A egy formula és x egy változó, akkor ( xa) és ( xa) formulákban az x változó minden előfordulása az A formulában a kvantor hatáskörében van. Ha egy formulában a változó adott előfordulása egy kvantor hatáskörében van, akkor az előfordulás kötött, egyébként szabad. Ha egy formulában a változónak van szabad előfordulása, akkor a változó szabad változó, egyébként kötött változó. Ha egy formulának van szabad változója, akkor nyitott formula, egyébként zárt formula. Példa Gy(x, y): x gyereke y-nak. y Gy(x, y): x-nek létezik szülője.
Zárt/nyitott formulák Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 23. Példa E(x): x egy egyenes. P(x): x egy pont. I (x, y): x illeszkedik y-ra. E(x), P(x), I (x, y) (elemi) nyitott formulák. A(x, y) legyen E(x) P(y) I (x, y). Az x egyenes illeszkedik az y pontra. B(x, y) legyen P(x) P(y) (x = y). Az x és y pontok különbözőek. C(x) legyen y (E(x) P(y) I (x, y)). Van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x szabad, y kötött változó. D() legyen x (E(x) y (E(x) P(y) I (x, y))). Minden x egyenes esetén van olyan y pont, ami illeszkedik az x egyenesre. Itt x, y kötött változó.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 24. Halmazok Halmazelméletben az alapvető fogalmak predikátumok, nem definiáljuk őket: A halmaz (rendszer, osztály, összesség,...) elemeinek gondolati burka. x A, ha az x eleme az A halmaznak. A halmazok alapvető tulajdonságai axiómák, nem bizonyítjuk őket. Példa: Meghatározottsági axióma Egy halmazt az elemei egyértelműen meghatároznak. Két halmaz pontosan akkor egyenlő, ha ugyanazok az elemeik. Egy halmaznak egy elem csak egyszer lehet eleme.
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 25. Halmazok Részhalmazok Definíció Az A halmaz részhalmaza a B halmaznak: A B, ha x(x A x B). Ha A B-nek, de A B, akkor A valódi részhalmaza B-nek: A B. A részhalmazok tulajdonságai: Álĺıtás (Biz. HF) 1 A A A (reflexivitás). 2 A, B, C (A B B C) A C (tranzitivitás). 3 A, B (A B B A) A = B (antiszimmetria). Halmazok egyenlősége egy további tulajdonságot is teljesít: 3. A, B A = B B = A (szimmetria).
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 26. Halmazok Definíció A halmaz és F(x) formula esetén {x A : F(x)} = {x A F(x)} halmaz elemei pontosan azon elemei A-nak, melyre F(x) igaz. Példa {z C : Im(z) = 0}: valós számok halmaza. {z C : n N z n = 1}: komplex egységgyökök.
Halmazok Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 27. Speciális halmazok Üres halmaz Annak a halmaznak, melynek nincs eleme a jele:. A meghatározottsági axióma alapján ez egyértelmű. A A halmaz A Halmaz megadása elemei felsorolásával. Annak a halmaznak, melynek csak az a elem az eleme a jelölése: {a}. Annak a halmaznak, melynek pontosan az a és b az elemei a jelölése: {a, b},... Speciálisan = {}, illetve, ha a = b, akkor {a} = {a, b} = {b}.
Műveletek halmazokkal Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 28. Definíció Az A és B halmazok uniója: A B az a halmaz, mely pontosan az A és a B elemeit tartalmazza. Általában: Legyen A egy olyan halmaz, melynek az elemei is halmazok (halmazrendszer). Ekkor A = {A : A A} = A A A az a halmaz, mely az A összes elemének elemét tartalmazza. Speciálisan: A B = {A, B}. Példa {a, b, c} {b, c, d} = {a, b, c, d} {z C : 0 < arg(z) π 2 } {z C : π 2 = {z C : Im(z) > 0} < arg(z) < π} =
Diszkrét matematika 1. középszint 2016. ősz 29. Műveletek halmazokkal(az unió tulajdonságai) Álĺıtás 1 A = A 2 A (B C) = (A B) C (asszociativitás) 3 A B = B A (kommutativitás) 4 A A = A (idempotencia) 5 A B A B = B Bizonyítás 1. Egy x pontosan akkor eleme mindkét oldalnak, ha x A. 2. x (A (B C)) (x A) (x (B C)) (x A) ((x B) (x C)) ((x A) (x B)) (x C) (x (A B)) (x C) x ((A B) C) 3-as, 4-es hasonló. 5. : A B A B B, de A B B mindig teljesül, így A B = B. : Ha A B = B, akkor A minden eleme eleme B-nek.