PERDÜLETES PARADOXONOK (A)VAGY: PARADOXONOK A PERDÜLETRE Radnai Gula, Tich Géza ELTE Anagfizikai tanszék Írásunkat egkori kollégánk és idôsebb barátunk, Párkáni László (1907 1982) emlékének ajánljuk, születésének 100 és halálának 25 évfordulója alkalmából A jó paradoxon mindig kihívó Nem hag nugodni Segít, hog rájöjjünk, valamit nem jól gondoltunk idáig Vag csak nem gondoltuk át elég alaposan Most olan fizikai paradoxonok közül választottunk ki néhánat, amelik a perdület fogalmával, megmaradásával kapcsolatos A cikk három külön részbôl áll Az elsô részben a perdületmegmaradás tételének látszólagos megsértésére hozunk fel mechanikai és elektromos példákat A mechanikai paradoxon feloldását tanulságos fázisábra-sorozattal, az elektromosét pedig a kvantitatív gondolatmenet fôbb lépéseivel jelezzük A cikk második és harmadik része egeg kiegészítése az elsônek R G kiegészítésében régi emlékeit eleveníti fel a dipól dipól kölcsönhatásra vonatkozó paradoxonról, T G pedig az anizotróp dielektrikumok tárgalására terjeszti ki a perdületmegmaradás látszólagos sérülésének paradoxonát A klasszikus mechanika egik legfontosabb mennisége a perdület Több neve is van: forgásmenniség, impulzusnomaték, impulzusmomentum Megmaradása a tér izotrópiájának következméne, vagis annak, hog a térben nincs kitüntetett irán Ha a perdület megmaradási törvénét a bolgómozgásra alkalmazzuk, Kepler második törvénéhez, a felületi sebesség állandóságának tételéhez jutunk Ebben az esetben azért marad meg a perdület, mert a gravitációs erô centrális Két anagi pont között fellépô gravitációs kölcsönhatás centrális volta eléggé kézenfekvô, természetes feltevés Elméletileg annak a szimmetriameggondolásnak a következméne, hog a két pontot összekötô egenesen kívül nincs más kitüntetett irán (Ennek ellenére Newton harmadik törvéne Euler pontos és óvatos megfogalmazásában csak annit mond ki, hog két tömegpont kölcsönhatásakor a két testre ható erô nagsága megegezik, iránuk pedig ellentétes Nincs szó arról, hog a két erô hatásvonala egbeesik, az sem szükséges tehát, hog a kölcsönhatás centrális legen) Ha viszont eg tömegpontokból álló rendszerben csupán centrális erôk hatnak, akkor a mechanika törvénei megkövetelik, hog a tömegpontokra ható erôk forgatónomatékainak vektori összege bármel pontra vonatkoztatva nulla legen Ekkor a rendszer eredô perdülete nem változhat meg, állandó marad Tekintsük a következô (ellen)példát: két gerek hason fekve napozik eg-eg gumimatracon a Balaton sima víztükrén Hog beszélgethessenek egmással, matracaikat szembefordítják, íg fejük lesz a legközelebb, lábuk a legmesszebb egmástól Egszercsak az egik gerek játékból oldalra löki a másik matracának felé esô végét Erre mind a két matrac forgásba jön, mégpedig azonos forgásiránban! Úg tûnik, mégsem marad meg ebben a rendszerben az eredô perdület, hiszen belsô, centrális erôk hatására változott meg zérusról valamekkora nem zérus értékre (1 ábra) A paradoxon feloldása az, hog kiterjedt testek rendszerében az eredô perdület nem egenlô a testek saját perdületének összegével Példánkban az ellökött matracok nemcsak forognak, hanem haladnak is Tömegközéppontjaik egmással párhuzamos egeneseken mozognak, egmással ellentétes iránban Ehhez a haladó mozgáshoz is rendelhetô perdület, valamel (bármel) rögzített pontra vonatkozólag Ha például a közös tömegközéppontot választjuk vonatkoztatási pontnak, jól látszik, hog a matracok haladó mozgásához rendelhetô forgás éppen ellentétes értelmû, mint a matracok saját forgása A továbbiakban visszatérünk a pontszerû testekhez, de példáinkat elektrosztatikából vesszük, ahol a kölcsönhatást a Coulomb-törvén határozza meg, az erôk centrálisak, az eredô forgatónomatéknak tehát nullának kell lennie Vegünk eg egszerû rendszert, amel eg ponttöltésbôl és eg tôle elég messze lévô, p ql momentumú dipólusból áll A dipólus is legen pontszerû abban az értelemben, hog a dipólust alkotó q és q ponttöltések l távolsága legen sokkal kisebb, mint a dipólus r távolsága a ponttöltéstôl Ekkor a töltés elektromos terében lévô p dipólusra forgatónomaték hat Legen E a ponttöltés okozta térerôsség a dipólus helén, akkor a dipólusra ható forgatónomatékot a dipólmomentum és a térerôsség vektoriális szorzata adja: M p E Ez általában nem nulla, mivel p és E általában nem párhuzamosak Ekkor tehát úg tûnik, hog a ponttöltésbôl és a dipólusból álló rendszerben eg eredô forgatónomaték lép fel, s íg a rendszer eredô perdülete nem maradhat állandó A téves gondolatmenet, amelbe megpróbáltuk az olvasót is becsalogatni, azon a feltevésen alapul, hog a pontszerû dipólus kis körnezetében az erôtér homogénnek tekinthetô, vagis mindkét töltésre uganakkora erô hat, ellentétes iránban Ez nem igaz Nem haghatjuk figelmen kívül, hog a ponttöltés elektromos tere inhomogén A dipólust alkotó q és q ponttöltésekre kissé eltérô nagságú erôk hatnak, illetve nem pontosan párhuzamos a két erô hatásvonala A dipólusra tehát nemcsak eg erôpártól származó forgatónomaték, hanem F* gradep eredô erô is hat, ami ugan nagon kicsi, de a hozzá tartozó M* r gradep forgatónomaték éppen kompenzálja az erôpár M p E forgatónomatékát 244 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 7
t 0 0 t1 T/12 t2 2 T/12 t3 3 T/12 t4 4 T/12 t5 5 T/12 t6 T/2 1 ábra Pillanatfelvételek arról a folamatról, amikor két gerek, akik gumimatracon napoznak a Balatonon, oldaliránban szétlökik egmást Jól megfigelhetô, hog mindkét matrac uganabban az iránban kezd forogni (T a forgás periódusideje) Sérül a perdületmegmaradás tétele?! Amikor két dipólus hat kölcsön, a helzet még bonolultabbá válik Tetszôleges térbeli elhelezkedésû dipólusok esetén az erôk és forgatónomatékok szemléletes végigkövetése majdhognem lehetetlen (legalábbis a szerzôknek) A két dipólus közötti erôhatást meglehetôsen hosszú képlet írja le (l alább) A képlet diszkussziójából látható, hog az egik dipólus által a másikra kifejtett erô 1-szerese a másik dipólus által az egikre kifejtett erônek, eleget téve Newton harmadik törvénének Foglaljuk össze a dipól dipól kölcsönhatást leíró legfontosabb összefüggéseket: A koordinátarendszer origójában lévô p 1 dipólus terében a potenciál az r helen: U Uganitt a térerôsség: p 4 πε 0 r 3 1 r 3 E 4 πε p 0 r 3 r 2 1 r r p 1 Az elektrosztatikus tér E térerôsségû helén lévô dipólus helzeti energiája: W pot E Uganitt a dipólusra ható erô: F gradw pot grad E Homogén térben ez nilván nulla, inhomogén térben azonban majdnem mindig hat erô a dipólusra (Viszont nem hat erô, mert zérus a térerôsség, például két azonos elôjelû és nagságú ponttöltés által létesített inhomogén térben a töltéseket összekötô szakasz felezôpontjában, ahol is a potenciálnak szélsôértéke van) A p 1 dipólus elektrosztatikus terében tehát a dipólus helzeti energiája: W pot 4 πε 0 r 3 3 p 1 p r 2 1 r r Uganitt a dipólusra a p 1 dipólus által kifejtett erô: F 2(1) 1 3 4 πε p 0 r 5 1 r p 1 r r p 1 5 p r 2 1 r r r F 1(2) A dipólusok az elektrosztatikában a szigetelôk (dielektrikumok) tárgalásánál jutnak fontos szerephez, bárhog is szeretné az ember megkerülni ôket Csak ritkán akad valamilen kerülô út: homogén és izotróp dielektrikumok esetén még mindig segítségül hívhatjuk a jó öreg Coulomb-törvént, alig kell rajta módosítanunk Inhomogén, illetve anizotróp dielektrikumban azonban nagon bonolulttá válik a helzet Hasonlóképpen megkerülhetetlen a dipólusokkal való számolás a magnetosztatikában, mivel mágneses pólusok a természetben nincsenek Eg köráram olan mágneses dipólusként viselkedik, amelnél a mágneses dipólmomentum nagsága az áram és a terület szorzata, és még eg árammal átjárt szolenoid is tekinthetô messzirôl nézve mágneses dipólusnak, érdemes tehát megbarátkozni a dipól dipól kölcsönhatással Errôl, a dipól dipól kölcsönhatás eg speciális esetérôl szól az elsô kiegészítés Dipól dipól perpetuum mobile (R G) Fiatal tanársegédként sokszor maradtam bent késô estig a tanszéken, különösen akkor, ha a másnapi kísérleteket készítettük elô Nag Elemér vag Párkáni László elôadására Schuszter Ferenccel egütt Hajdu Jánostól tanultam a kísérletezés csínját-bínját Az egik ilen alkalommal ôk ketten már hazamentek, én még bent maradtam, hog felkészüljek a másnapi számolási gakorlatra Elektrosztatika volt soron, a dipólus terét terveztem meghatározni a Gauss-fôhelzetekben: a két ponttöltésen átmenô egenes mentén, valamint a töltéseket összekötô szakasz felezô merôlegesén, adott r távolságban Eltûnôdünk majd az eredménen: milen érdekes, hog mindkét fôhelzet- A FIZIKA TANÍTÁSA 245
Coulomb-erõk: töltésekre ható erõk eredõje: dipólusra ható erõk eredõje: ben a dipólmomentummal párhuzamos a térerôsség, de, ha uganolan messze lévô pontokat hasonlítunk össze, akkor a dipólus tengelén fekvô pontban kétszer akkora a térerô, + mint a dipólusra merôlegesen, uganakkora távolságban Mit lehetne ebbôl még kihozni? Támadt eg ötletem Vegünk két olan dipólust, amelek egmásra merôlegesek Mindkettô forgatónomatékot fejt ki a másikra Mindkettô helén a térerôsség merôleges az ottani dipólmomentumra Csakhog az egik esetben a térerô kétszerese a másiknak! Akkor pedig erre a dipólusra ható forgatónomaték is kétszerese a másiknak A két dipólusból álló rendszerben az eredô forgatónomaték tehát nem nulla?! Az ki van zárva! mondtam magamban, csak azt nem értettem, hog hol a hiba a gondolatmenetben Sebaj, azért vagok kísérleti fizikus, hog ellenôrizzem a dolgot Vettem két egforma rúdmágnest, felerôsítettem ezeket egmásra merôleges helzetben eg vízszintes fatalpra, az egészet pedig felfüggesztettem fonállal eg magas állvánra és vártam Vártam egrészt arra, hog hátha eszembe jut a paradoxon feloldása, másrészt vártam arra, hog megálljon a rendszer Ez uganis egre gorsabban forgott, ahelett, hog megállt volna Az izgalomtól elfáradva ültem le a székre, s néztem, néztem a becsavarodó fonalat És akkor megjött a mentô ötlet: Hát persze! A fonal, amire felfüggesztettem a rendszert, közönséges cérna volt És mivel a cérna is sodrott fonal, a megfeszítés hatására elkezdett kicsavarodni Rájöttem a rejtéles forgás okára De mi a feloldása az eredeti dipól dipól paradoxonnak? Aki jobban utánagondol, azt nemcsak az készteti csodálkozásra, hog az egik forgatónomaték kétszerese a másiknak, de hamarosan rájön arra is, hog a két forgatónomaték uganolan iránú! Vagis nemcsak hog nem kompenzálják, hanem még erôsítik is egmást! Érdemes lerajzolni és tanulmánozni két azonos síkú, egmásra merôleges állású, elektrosztatikai dipólus kölcsönhatását (2 ábra) Nos, áruljuk el a megoldást: a dipólusok tere inhomogén, s íg mindkét dipólusra nemcsak erôpár, hanem eredô erô is hat Ez ugan kicsi, a dipólusok távolsága viszont nag, íg kompenzálhatja ezen két eredô erôbôl álló erôpár forgatónomatéka a másik kettô összegét Nézzük meg ezt konkrétabban! Vegük fel például a p 1 és egmásra merôleges momentumú dipólusokat úg, hog a második dipólus az elsô iránában, tôle r távolságra legen Ekkor a második dipólusra ható erô iránú lesz, mégpedig a számolás eredméne szerint: 2 ábra Azonos síkban, egmásra merôlegesen álló elektrosztatikai dipólusok kölcsönhatása A ponttöltések közti Coulomb-erôk centrálisak, a dipólusok közti erôhatás azonban nem az Mindkét dipólusra forgatónomaték, mégpedig azonos iránú forgatónomaték hat E két forgatónomaték összegét kompenzálja a dipólusokra ható eredô erôk által alkotott erôpár forgatónomatéka F 2(1) 1 4 πε 0 3 p 1 r 4 Az elsô dipólusra ható erô ennek 1-szerese, vagis az elsô dipólusra ható erô erre a dipólusra merôleges és iránú, F 1(2) F 2(1), és a két erô hatásvonala egmástól r távolságra van A részletszámítások mellôzésével a további eredmének: Az elsô dipólusra ható erôpár forgatónomatéka: M 1(2) p 1 E 2 A második dipólusra ható erôpár forgatónomatéka: M 2(1) E 1 + 4 πε 0 r p p 3 2 1 4 πε 0 r 2 p p 3 2 1 A két dipólus helén fellépô F 1(2), illetve F 2(1) erôk alkotta erôpár forgatónomatéka: M r F 4 πε 0 r 3 p p 3 1 2 A három forgatónomaték összege tehát zérus, ahog azt vártuk is Mi a helzet akkor, ha a töltések nem vákuumban, hanem dielektrikumon-dielektrikumban helezkednek el? Errôl szól a második kiegészítés Anizotróp dielektrikum (T G) Ha a hangák fejlesztették volna ki a fizikát, akkor a felületi feszültség tulajdonságai elôbb lettek volna tisztázva, mint a gravitáció, mert számukra az a fontosabb Eg hanga, ha beleragad eg vízcseppbe, a felületi feszültség olan erôsen odaköti, hog nem képes elmenekülni Leesve az emeletrôl semmi baja nem lesz Hasonló ok miatt nem találjuk meg tankönvekben az anizotróp közegek elektrosztatikáját, de az anizotróp közegek féntörése, vagis a kettôs törés, minden optikakönvben szerepel 246 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 7
Az optikai kettôs törés akkor jön létre, ha az átlátszó anag polarizálhatósága különbözô iránokban más és más Az elektromos tér polarizálja a szigetelôt, de, mivel minden komponens másképpen polarizál, a polarizáltság irána nem mindig esik egbe az elektromos mezô iránával Mindig van három egmásra merôleges irán, a polarizálhatóság sajátiránai, amel iránokban éppen abba az iránba polarizálódik az anizotróp szigetelô, amerre az elektromos tér mutat Ezeket az iránokat véve koordinátarendszerünk tengeleinek, D x E x ; D E ; D z E z Az anizotróp kristált azért nevezik kettôs törô anagnak, mert rajta keresztül általában kettôsen látjuk a világot Ezen kívül érdekes tulajdonsága, hog ha az anizotróp kristálra esô fén az x iránból jön, mivel a fén transzverzális hullám, az elektromos térerô az z síkban rezeg Ha éppen az iránban rezeg, akkor a fén terjedési sebességét határozza meg, ha z iránban, akkor Ennélfogva e két polarizált fén között a hullám elôrehaladtával fáziskülönbség lesz Érdekes eset, ha a kristál éppen olan vastag, hog a két különbözôen polarizált fén között az útkülönbség a vákuumbeli hullámhossz negede Ekkor az a beesô fén, mel az z között éppen 45 fokban polarizált, körkörösen, azaz cirkulárisan polarizált fént eredménez a kimeneten Ha a vastagság ennek duplája, azaz az útkülönbség éppen félhullámhossz méretû, akkor az elôbb említett beesô fén polarizációs síkját a kristál éppen 90 fokkal fordítja el Hasonló, érdekes kettôs törési jelenségek fordulnak elô a mikrohullámú technikában is A gakorlat tette szükségessé az anizotróp szilárd anagok rugalmasságának kidolgozását Az ottani módszereket használva meghatározhatjuk a Coulombtörvént anizotróp dielektrikumra Ebben az esetben a dielektromos egüttható már nem skalár, hanem tenzor jellegû menniség A Maxwell-egenletek meghatározzák a térerôsséget és az elektromos eltolás vektorát is Az elektromos eltolás vektora D 4 π det(ε) r r ε 1 r 3/2 Ez eg centrális vektortér, az erôvonalak radiálisan haladnak a töltésbôl, az anizotrópiát csak az jelzi, hog az eltolás vektorának nagsága eg középpontjában a töltéssel gömbön nem állandó, a sugaras erôvonal sûrûség változó Olan, mint eg középen marokra fogott vesszôköteg vag mint a macska bajusza (3 ábra) Az erôhatást a térerô határozza meg, amel már nem lesz centrális, azaz a Coulombtörvén anizotróp esetben a következô alakú: F 1(2) 4 π det(ε) ε 1 r 12 r 12 ε 1 r 12 3/2, ahol F 1(2) a ponttöltés által a ponttöltésre ható erôt jelenti Az r 12 r 1 r 2 vektor a töltéstôl a -re mutat A fenti egenleteket vektoros jelöléssel írtuk fel Az elvontabb jelölés egszerûsíti ugan a képleteket, de elvonja a figelmet léneges összefüggésektôl Amenniben koordinátarendszerünket a fent említett módon vesszük fel, az eltolás vektora és a Coulombtörvén a következô lesz: D x D x F x 2 2 x / 2 3 ábra Az elektromos eltolás erôvonalai anizotróp közegben F / 2 + D z z 2 F z z / 2 A FIZIKA TANÍTÁSA 247
Ha a két ponttöltést összekötô egenes a dielektromos tenzor sajátiránába esik, akkor az erô centrális lesz A többi iránban is megegezik a két erô nagsága, iránuk pedig ellentétes, azaz Newton harmadik törvéne teljesül, de a két erô hatásvonala nem esik egbe, hanem csupán párhuzamos egmással, íg a két erô erôpárt alkot Amint említettük, a perdület megmaradása a tér izotrópiájának következméne A kérdés tehát az, hog most is izotróp-e a tér A két ponttöltés meg akarja csavarni a dielektrikumot Ez a dielektrikum is rendszerünk tagja, forgásba is jöhet, tehát a dielektrikum anizotrópiája nem rontja le a perdület megmaradását A paradoxon megint megjelent, de most már tudjuk, miként kell keresnünk a megoldást Az erôhatás nem a két töltés közötti kölcsönhatás, hanem a fizikai rendszert a két töltés és a sok-sok dipólusból álló dielektrikum alkotja Ezek a dipólusok a tér hatására elfordulnak, ezáltal létrehoznak eg teret, és a töltés terét ezek módosító hatásával egütt vesszük figelembe Ha a két töltés a szilárd dielektrikumhoz van rögzítve, akkor ez az erôpár a dielektrikumot akarja elforgatni Ezekre a dipólusokra is hat a megfelelô forgatónomaték uganabból a két okból, ameleket fent említettünk A dipólusok hele kötött a szilárd dielektrikumban, íg kialakul eg helrôl helre változó belsô feszültség is, amel a forgatónomatékot közvetíti a dielektrikum egik pontjától a másikig Az ilen dielektrikumban a mechanikai feszültség sajátos Molekuláról molekulára, atomról atomra nemcsak az erô adódik át, hanem forgatónomaték is Ezt a forgatónomatékot eg forgatónomaték feszültségi tenzorral írják le Ezt a tenzort, a most nem szimmetrikus feszültségtenzor antiszimmetrikus része hozza létre Itt nem a szokásos deformációs egenletekkel találkozunk, hanem eg sokkal gazdagabb, változatosabb világgal Ha a két töltés elmozdulhat, akkor uganúg nincs eredô forgatónomaték, de mind a dielektrikum, mind a ponttöltések mozogni kezdenek, mégpedig úg, hog a perdületek összege nulla marad A ismertetett példák egszerûek voltak, mégis elég bonolult átgondolni bennük a forgatónomatékok hatását Közben azt is megértjük, miért találjuk néha misztikusnak a forgó rendszerek viselkedését KÖNYVESPOLC Inzelt Görg: VEGYKONYHÁJÁBAN SZINTÉN MEGTESZI A KÉMIÁRÓL ÉS MÁS DOLGOKRÓL Akadémiai Kiadó, Budapest, 2006 348 o A szokásos ismeretterjesztô munkáktól több tekintetben is eltér Inzelt Görg könve Mindenek elôtt nem ijed meg képletek, egenletek, bonolult grafikonok közlésétôl sem, 1 uganakkor történelmi (pl az angol német orosz uralkodói családok összefonódása), nelvészeti (pl az angol nelv kialakulása) és a számos szépirodalmi idézet Homérosztól Goethén, Aran Jánoson keresztül József Attiláig (maga a könv címe is Madách-idézet), sôt még képzômûvészeti utalások is (Rubens,Veronese képei) gazdagítják a mûvet Mirôl is szól tulajdonképpen a könv? Minden érthetôvé válik, ha azt mondjuk, hog a könvnek azt a címet adjuk, hog fejezetek a fizikával összefonódott kémia történetébôl A szerzô maga fizikokémikus, az elektrokémia aktív mûvelôje, de már a fentiekbôl is világos, hog látóköre igen széles, és nemcsak a természettudománokban 1 Bár ezek kihagásával is élvezhetô a mondanivaló A fejezetek közül az elsô a súllal, a tömeggel, továbbá ezek mérésével és mértékegségeikkel foglalkozik, majd színkémia következik kitérôvel a tudomán és az ipar társadalmi hatásaira Eg másik fejezetben is visszatér még az ipar kérdésére a fenntartható fejlôdéssel kapcsoltban, és utalva az úgnevezett zöld technológiák fontosságára íg fogalmaz: a XIX század második felében a vegészek elkezdtek színezékeket, gógszereket, fehérítô-, tisztító- és fertôtlenítôszereket, mûtrágákat elôállítani, majd a XX században polimereket, vitaminokat, antibiotikumokat és még hosszan sorolhatnánk Nem fogunk itt sorrendben mind a tizeneg fejezeten végigmenni, inkább csak eges fontosabb témákról, néhán benomásunkról számolunk be a következôkben Íg megemlítjük, hog szó van olan aktuális kérdésekrôl, mint az úgnevezett tüzelôanagelemek, amelek a hidrogén-energetika bevezetésében alapvetô jelentôségûek természetesen belehelezve az elektrokémiai áramforrások fejlôdéstörténetébe és ezek családjában történô elhelezkedésére, de történik kitérés a napenergia hasznosításra, valamint külön fejezetben a szívritmus-szabálozóra 248 FIZIKAI SZEMLE 2007 / 7