IPULZUS OENTU Impulzusnyomaték, perdület, jele: N Definíció: Az (I) impulzussal rendelkező test impulzusmomentuma egy tetszőleges O pontra vonatkoztatva: O I r m Az impulzus momentum vektormennyiség: két vektor vektoriális szorzatának eredménye, ahol: I=m v N= r + I I = kg m s az r helyvektor pedig az impulzus vektor hatásvonalának távolsága a kiválasztott vonatkoztatási ponttól. Az impulzus momentum nagysága: N risin rmvsin Ahol az szög az r helyvektor és az impulzus vektor által bezárt szög. Értéke függ a választott vonatkozási ponttól (az r helyvektoron keresztül). Dimenziója: kg m2 s 1
Iránya: A helyvektor és az impulzusvektor által kifeszített síkra a jobb kéz szabály szerint merőleges. A sorrend számít! N= r + I N r I z= x y A sorrend felcserélésével az N vektor iránya 180 fokkal megváltozik. Az impulzus momentum idő szerinti megváltozása Idő szerinti változás: deriválás idő szerint dn d r I ahol I m v A deriválást a szorzat deriválási szabályának megfelelően elvégezzük: dn = dr d m v mv + r Ahol: dr =v és d m v = N. II. Törvény 2
Ezek behelyettesítésével: dn = v m v + r De az első tag nulla, mivel v és I párhuzamos vektorok, így a vektorszorzat értéke nulla: v m v = 0 így a végeredmény: dn = r A helyvektor és az erő vektoriális szorzata a forgatónyomaték, A forgatónyomaték definíciója: az erő hatásvonalának helyvektora és az erővektor vektoriális szorzata r Impulzus momentum tétel a forgatónyomatékkal megfogalmazva: d N Az impulzus momentum idő szerinti megváltoztatásához forgatónyomaték kell. Ha a forgatónyomaték nulla, az impulzus momentum irány és nagyság szerint is állandó. 3
Impulzus momentum megmaradásának tétele: Ha a testre ható erők eredő forgatónyomatéka nulla, akkor a test az impulzusmomentuma állandó. Ha =0, akkor N = állandó d N 0 orgató nyomaték: Definíció: Az erőnek az O pontra vonatkoztatott forgatónyomatéka: r r Ahol r az O vonatkoztatási pontból az erő támadáspontjába húzott helyvektor. Vektoriális szorzat: Nagysága: rsin az erő és a helyvektor által bezárt szög Iránya: jobb kéz szabály szerint a helyvektor és az erővektor által kifeszítette síkra merőleges O értékegysége: N m 4
orgatónyomaték a középiskolában: k k - erőkar: az erő hatásvonalának távolsága a forgástengelytől o r k Az O pontból merőlegest kell bocsátani az erő hatásvonalára: ez lesz az erőkar Az erőkar kifejezhető az r helyvektor és az segítségével: k rsin k r rsin szög Visszakapjuk a forgatónyomaték általános kifejezését. Az irány miatt a vektoriális szorzatban a vektorok sorrendjét meg kell tartani! 5
Impulzus momentum megmaradásának tétele: Ha a testre ható erők forgatónyomatékainak összege nulla, akkor a test impulzus momentuma állandó. Ha =0, akkor N=állandó Példa: centrális erő: pl: bolygómozgás Centrális erő mindig a két testet összekötő egyenes mentén hat, így mindig párhuzamos lesz a helyvektorral. A gravitációs erő centrális erő. A Naptól a bolygóhoz húzott helyvektor minden pillanatban párhuzamos az erővel, és ellentétes irányú. r bolygó g 0 r 0 Nap De 0 mert r ll A gravitációs erő és a helyvektor mindig párhuzamos egymással, így vektoriális szorzatuk nulla. 6
Az impulzus momentum ilyen esetben tehát irány és nagyság szerint is állandó. N Nagysága: mr p v p mr a v a N mrvsin állandó Az impulzus momentum nagysága a Napközeli és a Naptávoli pontban egyenlő: A bolygók a Nap közelében felgyorsulnak: Kepler II. tv.: a területi sebesség állandó vp v a 0 90 α r p r a α v a Kepler II. törvényének dinamikai igazolása v p N Iránya: a keringés síkjára végig merőleges. A sebesség mindig ugyanabban a síkban marad, a bolygók síkmozgást végeznek. A mozgás megtartja a síkját. Ugyanez történik biciklizés közben is. Ha a forgó kerekekre nem hat forgatónyomaték, a biciklikerék is megtartja forgási síkját, is kell a kormányt tartani. 7