PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorlger elődás fóliák Elméleti nyg tételek, definíciók, izonyítás vázltok Bércesné Novák Ágnes Források, jánlott irodlom: Hjós György: Bevezetés geometriá, Tnkönyvkidó, 97, 989,.. Schrnitzki Viktor: Vektorlger és lineáris lger, Tnkönyvkidó, 989. Bércesné Novák Ágnes-Hosszú Ferenc-Pentelényi Pál-Ruds Imre: Mtemtik, BDMF, 994. Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorlger. Vektor: irányított szksz (síkn, téren) D C A B A B F Kérdések: E - Jelölések - Egyenlőség szd vektorok - Párhuzmosság - Hossz (szolút érték) - Egységvektor - Nullvektor irány Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek vektorokkl Összedás: - nyílfolym-módszer: eltolás, második vektor kezdőpontját z első végpontjá, és így tová Összegvektor: z első vektor kezdőpontjáól z utolsó vektor végpontjá muttó vektor. (Két vektor esetén prlelogrmm módszernek) + + + Összedás tuljdonsági: (0.Zárt: összedás eredménye is vektor ). Kommuttív (ld. ár): +=+. Létezik egységelem: +0=. Létezik inverz (ellentett) elem: +( inverze) =0 inverze Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Összedás tuljdonsági (folyttás): 4. Asszocitív: (+) +c = +(+c) + c +c c (+) +c +(+c) + +c c (+) +c = +(+c) Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Kivonás értelmezése: inverz elem hozzádás, inverz elem jelölése x+= vektoregyenletet x-re megoldv: x++( inverze)=+( inverze) x+0= +( inverze) Jelölés (számokkl összhngn): +(-)= =x +(-) - - + +(-) +(-)=x x+= Bércesné Novák Ágnes 5
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Összedás tuljdonsági (összefogllás): (- zárt) - sszocitív - létezik egység CSOPORT (- zárt) - sszocitív - létezik egység KOMMUTATíV CSOPORT - létezik inverz - létezik inverz - kommuttív A kommuttív csoportot Ael csoportnk is hívjuk. Feldt: Mondjunk példát más hlmzr, melynek elemei dott műveletre nézve csoportot lkotnk Bércesné Novák Ágnes 6
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Szorzás.) Számot vektorrl: számml vló szorzás ( λ).) Vektort vektorrl-eredménye szám, neve: sklárszorzt, ngolul: dot product, () c.) Vektort vektorrl-eredménye vektor, neve: vektoriális (vgy kereszt)szorzt, ngolul cross product ( x ) Megjegyzés: A fenti szorzások közül lgeri értelemen csk c.) nevezhető műveletnek. (Miért?) Bércesné Novák Ágnes 7
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Számml vló szorzás / Vektor szorzás számml: - - - - Def.: λ R, vektor - λ 0, -vl egyirányú, hossz: λ =λ (ismételt összedás) λ λ<0, -vl ellentétes irányú, hossz: λ = λ ( inverzének, ellentettjének ismételt összedás) Lemm: λ R =λ Biz.: Tegyük fel hogy (Tfh.) = e és = e Ezekől: = (/ ( e ))= (/ ), =λ, λ= / Tfh. λ R =λ, kkor párhuzmosság definícióól közvetlenül dódik. Bércesné Novák Ágnes 8
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tuljdonságok:. λ=λ. µ(λ)=(µ λ) (definícióól közvetlenül dódik). (λ+µ)=λ+µ (definícióól közvetlenül dódik) 4. λ(+)= λ+λ (ld. lái ár) Ár: 4. λ(+)= λ+λ, ár: λ= eset + (+) + Bércesné Novák Ágnes 9
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt (első szorzt) vektor vektor=szám (DOT product, INNER product) Def.: = cosα, hol α vektorok áltl ezárt szög, 0 α 80. Két vektor áltl ezárt szög ( kise!): Speciális esetek: = cos(,)=, Következmény: >0, h 0, és =0 kkor és csk kkor, h =0. Ezt tuljdonságot úgy mondjuk, hogy sklárszorzt pozitív definit. H egységvektor, kkor =. H és egységvektorok, =cosα. Ezek koordinát rendszertől független eredmények!! Bércesné Novák Ágnes 0
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt geometrii jelentése: e egységvektor e= e cosα= cosα=x x: z vektor e-re vett előjeles merőleges vetületének hossz. x cosα= x= cosα α e Megjegyzés: x A geometrii jelentés definícó egyszerű következménye. Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt tuljdonsági:. Kommuttív: =. NEM sszocitív: ( ) c ( c), ugynis: Bl oldl=szám c =(c-vel párhuzmos vektor) Jo oldl= szám (-vl párhuzmos vektor). λ ( )=(λ) = (λ) Biz.: Nyilvánvló, h λ=0, kkor z zonosság fennáll. Továá kommuttivitás mitt elegendő λ ( )=(λ) zonosság izonyítás. BALOLDAL: λ ( )= λ ( cosα) JOBBOLDAL: (λ) = ( λ cosα)=λ ( cosα), h λ > 0. H λ<0, kkor λ= (-) λ, emmitt elegendő λ= (-) eset tárgylás: BALOLDAL: (-)( ) = (-) cosα JOBBOLDAL: (-) = (-) cos(80-α)=(-) cosα Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger 4. Disztriutív: (+c)= + c Biz.: (+c)= + c e (+c)=e +e c / λ e λ e= λ e(+c)=(λe) +(λe) c e +c c e e c e (+c) Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel: =0 (milyen koordinát rendszeren?) Biz.: H =0 kkor : H 0 és 0, kkor cos(,)=0 cos(,)=0 (,) =90 H vlmelyik vektor nullvektor, nnk irány tetszőleges, így merőlegesség teljesül. H kkor =0 cos90 =0 cos(,)=0 (,) =90 vgy (,) =70, de mivel megállpodás szerint kise szöget tekintjük, ezért két vektor 90 -os szöget zár e H két vektor merőlegessége oly módon iztosított, hogy leglá egyikük nullvektor, kkor 0 def. lpján =0 vgy =0, tehát =0 Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A sklárszorzt áltlános tuljdonsági A sklárszorzt V x V hlmzon (hol V vektortér) értelmezett, kétváltozós vlós függvény, (nem művelet!) mely z lái,.-4. tuljdonságokkl rendelkezik. Minden olyn függvény, mely ennek eleget tesz, sklárszorzt-nk nevezhető. Sklárszorzt: V x V R A sklárszorzt egy másik, szokásos jelölése: s(x, y). s(x, x) 0, s(x, x) =0 - szám x=0 vektor pozitív definit tuljdonság. s(x, y) =s(x, y) kommuttív tuljdonság. s(λ x, y) = λs(x, y) lineáris 4. s(x, y+z)=s(x,y)+s(x,z) lineáris A sklárszorzt egy másik, szokásos jelölése: <x, y>. <x, x> 0, <x, x> =0 x=0 (pozitív definit). <x, y> =<x, y> (kommuttív). <λ x, y >= λ<x, y> (lineáris ) 4. <x, y+z>=<x,y>+<x,z> (lineáris ) Bércesné Novák Ágnes 5
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A.-4. lineritás következőképpen is megfoglmzhtó: <x, λy+µz>=λ<x,y>+µ<x,z> A vektorlgerán sklárszorztot <x, y>:= x y cos(x,y) függvénnyel dtuk meg, és izonyítottuk fenti tuljdonságokt. Ezen definíció lpján eizonyíthtó következő tétel (ld. e jegyzet 8. oldlán): Az i, j, k ortonormált ázisr vontkozttott koordinátákkl ( dimenziós téren) sklárszorzt: <x, y>:= x y cos(x,y)= n i= i i A <x, y>:= n is lehetett voln definíciój sklárszorztnk, zonn így z eredeti fiziki i i i= jelentése elsikkdt voln. Mgs dimenziós vektortereken zonn definíció lehetősége éppen fordított, szög geometrii értelmezhetetlensége mitt éppen sklárszorzt segítségével lehet szög foglmát kilkítni. Bércesné Novák Ágnes 6
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R A felontás egyértelmű. Bércesné Novák Ágnes 7
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Biz.: felonthtóság: A c vektorkezdőpontján át húzzunk -vl, végpontján át -vel (vgy fordív) párhuzmos egyeneseket. Mivel és nem párhuzmosk, ezért M-en metszik egymást. c A M B mivel AM α R AM = α c mivel MB β R MB = β, és c= AM + MB =α+β Bércesné Novák Ágnes 8
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás síkn): H dott síkn két nem párhuzmos vektor ( és ), kkor minden más c síkeli vektor felonthtó és vektorokkl párhuzmos összetevőkre: c=α+β, hol α,β R. A felontás egyértelmű. Biz.: Egyértelműség: c=α +β - c=α +β 0=(α -α )+(β -β ) 0 0 Mivel nem párhuzmos -vel, így számszorosik sem párhuzmosk, ezért számszoroik összege nem lehet null jo oldlon. Tehát és együtthtói egyenlők nullávl: α =α és β =β Bércesné Novák Ágnes 9
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Definíció: és lineáris kominációj: c=α+β {,}, h nem párhuzmos -vel, kkor függetlenek. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk.. α,β z {,}ázisr vontkozttott koordináták. Bércesné Novák Ágnes 0
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel (Vektorok felontás téren): H dott téren három, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor,,, c, kkor ármely d téreli vektorhoz vn olyn α,β,γ R, melyekre igz, hogy d=α+β+γc. Ez felontás egyértelmű. Biz.: S T D d' c c. d tlppontján, T-n át z S síkkl S síkot rjzolunk.. c nem párhuzmos -vl és -vel, tehát d végpontján c-vel húzott egyenes D-en döfi S -t.. D-ől T-e muttó vektor legyen d. d c S d' d=d +c =(α+β)+ γc, hiszen d egy síkn vn -vl és -vel, így z előző tétel mitt felírhtó zok lineáris kominációjként. Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Bázis: A téren ármely, nem egysíkú, páronként nem párhuzmos vektor független. Mximális számú független vektor ázist lkot. Késő részletesen tárgyljuk. Például: H,, c, tér egy ázis, z előző tétel értelméen ármely d vektorr: d=α+β+γc. A jo oldlon álló kifejezés z,, c vektorok egy lineáris kominációj. Az α, β,γ számokt d vektor,, c ázisr vontkozttott koordinátáink nevezzük. H ázisvektorok sorrendjét rögzítjük, lineáris kominációt rövidíthetjük következő számhármssl: [α, β,γ]. Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Speciális ázisok: Ortogonális: vektorok páronként merőlegesek Normált: vektorok egységnyi hosszúk Ortonormált: ortogonális és normált, szokásos jelölése dimenzión: i, j, k (Descrtes), jorendszer: k i j Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: megfelelő koordinátákt összedjuk Biz.: X=α + β + γ Y=δ + ε + φ x+y= (α + β + γ)+(δ + ε + φ)= = (α + δ)+ (β + ε) +(γ+ φ)= (α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ)= x+y=(α+ δ)+ (β+ ε) +(γ+ φ) VEKTOR ÖSSZEADÁS + SZÁMOK ÖSSZADÁSA+ Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Számml vló szorzás: koordinátánként szorozzuk számml Biz.: HF Kivonás: Megfelelő koordinátákt kivonjuk Biz.: HF Bércesné Novák Ágnes 5
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektorműveletek, h vektorok koordinátáikkl dottk Összedás: + y δ x β α γ X=α+β Y=γ +δ x+y=α+β+γ +δ=(α+γ ) + (β+δ) x+y=(α+γ )+ (β+δ) VEKTOROK ÖSSZEADÁSA: koordinátánként Milyen koordinátrendszeren igz e szály? Bércesné Novák Ágnes 6
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek koordinátás lkn, ORTONORMÁLT BÁZISBAN A koordináták szemléltetésére nimáció: http://www.usd.edu/~jflores/multiclc0/webook/chpter_/grphics/chpter _/DemoHtml_/.coorsys.htm Bércesné Novák Ágnes 7
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Műveletek koordinátás lkn, ORTONORMÁLT BÁZISBAN Uu., mint áltlános ázisn: = i+ j+ k xi+yj+zk = i+ j+ k λ=λ( i+ j+ k)=(λ )i+(λ )j+(λ )k += i+ i+ j+ j+ k+ k=( + )i+( + )j+( + )k + + + Bércesné Novák Ágnes 8
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn Animáció: http://www.flstd.com/dotproduct/ (mind piros, mind kék vektort végénél fogv lehet mozgtni, jo felső srokn leolvshtó minden számdt. A piros vektor vetülete láthtó kék vektoron.) http://mgnus.poly.edu/~mleung/jv/vectors/dproduct/dproduct.html Bércesné Novák Ágnes 9
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Sklárszorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn A sklárszorzt értéke függ ázistól. Tétel: Legyenek i, j, k páronként merőleges egységvektorok, melyek jorendszert lkotnk. (Descrtes). A felontási tétel szerint ekkor: = i+ j+ k = i+ j+ k = i= i i Alklmzv sklárszorzt disztriutív tuljdonságát: =( i+ j+ k) ( i+ j+ k)= i i+ i j+ i k+ j i+ j j+ j k+ k i+ k j+ k k= + + Bércesné Novák Ágnes 0
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Felhsználás: I. Fizik, pl. W=F s II. Vetületek (Pl. fizikán is erők felontás) = + m m α e = (. e ) e = (hossz) irány Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger III. Sík normálvektoros egyenlete Animáció: http://www.usd.edu/~jflores/multiclc0/webook/chpter_/grphics/chpter _5/DemoHtml_5/.5%0LinesAndPlnes.htm Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger IV. Sík normálvektoros egyenlete n z S sík normálvektor (n síkr merőleges) n P 0 p 0 p P S P 0 (x 0, y 0, z 0 ) sík trtópontj (tetszőleges, de rögzített) P(x, y, z) sík tetszőleges pontj, futópont S egyenlete: n P 0 P = 0, hiszen merőleges vektorok P 0 P = p - p 0 Bércesné Novák Ágnes
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Péld: n(,,) p 0 (4,5,6), P 0 P = (x-4), (y-5), (z-6) P(x,y,z) (x-4) +(y-5) +(z-6) =0 x Rendezve: x+y+z-4-0-8=0 Áltlán z ()x+()y+()z= Ax+By+Cz=D lineáris egyenlet egy A, B, C, normálvektorú sík egyenletének tekinthető. Típusfeldtok:. Koordinátáivl dott sík pontj. Adj meg sík egyenletét!. Adott 4 pont. Hogyn lehet eldönteni, hogy egysíkúk-e? Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektoriális szorzt: vektor vektor=vektor (CROSS product) = sin(,) e hossz== sin(,) e = e, e,,e jorendszert lkot(-hüvelyk-,-muttó-,e-középsőujj) e Érdekes ez z nimáció: http://www.phy.syr.edu/courses/jv-suite/crosspro.html (Megjegyzés: z és vektorokt lehet mozgtni z egérrel, c vektorrl lehet forgtni z árát) Bércesné Novák Ágnes 5
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger A vektoriális szorzt geometrii jelentése: m= sinα lp: e α m x = sinα=terület = (lp mgsság) Bércesné Novák Ágnes 6
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Fontos vektoriális szorztok: i i=0 i j=k j j=0 j k=i k k=0 k i=j Jorendszert lkot és merőleges, így nem lehet más, mint. vektor. i k j i k=-j, st. A vektoriális szorzt tuljdonsági: =- ntikommuttív ( ) c ( c) (nem sszocitív) (+) c=( c)+( c) (+c)=( )+( c) kétoldli disztriutivitás Bércesné Novák Ágnes 7
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vektoriális szorzt kiszámítás ORTONORMÁLT BÁZISn Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) dottk, kkor = i j k = i -j +k Bércesné Novák Ágnes 8
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger =( i i)+( i j)+( i k)+ ( j i)+( j j)+( j k)+ ( k i)+( k j)+( k k) Felhsználv z előzőleg kiszámított vektoriális szorztokt, és lklmzv disztriutivitást (kiemelés): =i( - )-j( - )+k( - ) = i -j +k = i j k (Determináns) Bércesné Novák Ágnes 9
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Determinánsok kiszámítás kifejtési TÉTEL szerint (nem definíció, késő iz.): x : = : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Adott elemhez trtozó (előjeles) ldetermináns: Az elem sorát és oszlopát elhgyv új determinánst kpunk. Előjele skktál szály szerint. Pl. első sor szerint kifejtve: = x : Sor szerinti kifejtés: sor minden elemét megszorozzuk hozzá trtozó (előjeles) ldeterminánssl és z így kpott számokt összedjuk. Bércesné Novák Ágnes 40
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Tétel: =0 Biz.: ) =0 H két vektor egymássl párhuzmos, kkor ezárt szög 0 vgy π, és így sin(,)=0, tehát =0. ) =0 H és vektoriális szorzt 0, kkor = sin(,)=0 A jo oldlon álló nullvektor kétféleképpen állht elő. Vgy sin(,)=0, és ekkor ezárt szög =0 vgy π két vektor párhuzmos. A másik eset, hogy vgy leglá egyike nullvektor. Nullvektor irány tetszőleges, így párhuzmosság fennáll. Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Vegyes szorzt Definíció: Az ( x ) c szorztot vegyes szorztnk nevezzük. Geometrii jelentés: c m e legyen x -vel egységvektor, tehát merőleges z és vektorok síkjár : lpterület, ( e) c = (lpterület mgsság)= előjeles térfogt mgsság Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Az előjel prlelepipedon elhelyezkedését (ttól függően + vgy -, hogy c vektor ugyn térféle mutt-e, mint z x ) dj meg, szám pedig térfogt mérőszámát. Bércesné Novák Ágnes 4
PPKE ITK Diszkrét mtemtik és lger Bércesné Novák Ágnes 44 Vegyes szorzt kiszámítási módj ortonormált ázis esetén Tétel: H =( i+ j+ k) =( i+ j+ k) c= (c i+c j+c k) dottk, kkor ( x ) c= = c c c c c c + = Biz.: =i( - )-j( - )+k( - )= c=(i -j +k ) (c i+c j+c k)= c - c + c = = i j k c c c