217/18 1 félév I VEKTOROK, MÁTRIXOK I1 I2 Vektorok 1 A síkon derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak van vízszintes és van függőleges koordinátája, ezeket sorrendben v 1 és v 2 jelöli A v síkbeli vektort megadhatjuk a v 1, v 2 rendezett párral Ezért a síkbeli vektorok halmazát R 2 jelöli A térben derékszögű koordinátarendszerben minden v vektornak három koordinátája van, jelölje ezeket sorrendben v 1, v 2 és v 3 A v térbeli vektort megadhatjuk a v 1, v 2, v 3 rendezett hármassal A térbeli vektorok halmazát R 3 -mal jelöljük Ezek mintájára ha v 1, v 2,, v n valós számok, akkor a v 1, v 2,, v n ún rendezett n-est n dimenziós vagy n koordinátás vektornak nevezzük Az előzőekhez hasonlóan ezek halmazát R n jelöli 2 Műveletek a vektorokkal Definíció Az u u 1, u 2, u 3 és v v 1, v 2, v 3 térbeli vektorok összege az u + v u 1 + v 1, u 2 + v 2, u 3 + v 3, különbsége az u v u 1 v 1, u 2 v 2, u 3 v 3 térbeli vektor Ha λ valós szám, akkor a v térbeli vektor λ-szorosa a λv λv 1, λv 2, λv 3 térbeli vektor A v vektor hosszúsága vagy hossza v v 2 1 + v2 2 + v2 3 Az u és v vektorok skaláris szorzata uv u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 Síkbeli vektorok esetén a definícióban a harmadik koordinátákat el kell hagyni, több koordinátás vektorok esetén további koordinátákat kell hozzávenni 3 Feladat a u 1, 2, 3 és v, 4, 2 esetén adja meg az u + v, u v és 5u vektorokat! b Mekkora az u és a v vektor hossza? c Mekkora az u és a v vektor skaláris szorzata? Megoldás: a u + v 1 +, 2 + 4, 3 + 2 1, 2, 5, u v 1, 2 4, 3 2 1, 6, 1, 5u 5, 1, 15 b u + 2 2 + 3 2 14, v 2 + 4 2 + 2 2 2 c uv u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3 1 + 2 4 + 3 2 2 Mátrixok 1 Definíció Számok téglalap alakú táblázatban való elrendezését mátrix nak nevezzük Ha a táblázat m sorból és n oszlopból áll, akkor m n-es mátrixról beszélünk Az oszlopok száma a mátrix vízszintes mérete, a sorok száma pedig a függőleges mérete Példák 1 2-es mátrix 2 2-es, 3 2 1 5 2 3-as, 4 1 2 3 2 1 3 2-es, Az A mátrix i-edik sora j-edik elemét általában a ij -vel jelöljük, így az m n-es mátrix A a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, vagy röviden Minden n-dimenziós v v 1,, v n R n vektor azonosítható a 2 5 2 1-es, a ij, i 1,, m, j 1,, n v 1 3 n 1-es ún oszlopmátrix szal és a v1 v n 1 n-es ún sormátrixszal is v n
217/18 1 félév I3 Definíció A mátrixot négyzetesnek hívjuk, ha sorainak és oszlopainak száma azonos A négyzetes mátrix főátlója al felső elemet a jobb alsó elemmel összekötő átló folyamatos vonal jelöli lentebb, mellékátlója a jobb felső és al alsó elem között húzódó átló szaggatott vonal mutatja ugyanott Determinánsok a 11 a 1n a n1 a nn 1 Minden négyzetes mátrixhoz tartozik egy meghatározó valós szám, neve determináns Az n n-es A mátrix determinánsának jele deta vagy a 11 a 1n a n1 a nn Először a 2 2-es és a 3 3-as mátrixok determinánsát definiáljuk, a nagyobbakat azután rekurzív módon Definíció 2 2-es: 3 3-as: a c b d ad bc c d e f g h i aei + bfg + cdh ceg afh bdi E két szabály könnyen megjegyezhető: a b c d ad bc A főátló folyamatos vonallal jelölve két elemének szorzatából kivonjuk a mellékátló pontozott vonallal jelölve két elemének szorzatát c d e f d e aei + bfg + cdh ceg afh bdi g h i g h Először a mátrix első két oszlopát a determináns mögé másoljuk Utána a főátló elemeit összeszorozzuk, majd hozzáadjuk a vele párhuzamosan elhelyezkedő két számhármas szorzatát folyamatos vonalak, ebből kivonjuk a mellékátlóbeli elemek szorzatát és a vele párhuzamos két számhármas szorzatát pontozott vonalak Az eljárás neve Sarrus-szabály A 2 2-es és a 3 3-as determináns definíciójában is a tagok olyan szorzatok, melyekben minden sorból egy tényező szerepel és minden oszlopból is Pl a 3 3-as determináns utolsó tagjdi, melyben b az első sor, d a második sor, i a harmadik sor eleme, míg az oszlopokat tekintve b a másodikhoz, d az elsőhöz és i a harmadikhoz tartozik 3! 6 ilyen szorzat van 2 Példák a 1 4 2 3 2, b 3 2 3 2 2, c c a c b ac, d e c d e f a b d 1 1 3 2 1 1 + 1 3 + 1 2 1 3 1 2 1 1 2, a d f + b e + c c d a e b f adf
217/18 1 félév 3 Definíció Egy determinánsban valamely elem aldeterminánsának nevezzük az adott elem sorának és oszlopának elhagyásával keletkező kisebb determinánst Az A négyzetes mátrix i-edik sora j-edik eleméhez a ij tartozó aldeterminánst A ij -vel jelöljük mátrix aldeterminánsainak mérete n 1 n 1 Az n n-es A nagyobb méretű determinánsok definícióját megadhatjuk eggyel kisebb méretű aldeterminánsok segítségével az eljárás neve determináns kifejtése aldeterminánsokkal Példa 3 Az 4 determináns bal felső 1 eleméhez tartozó aldeterminánsa 9 8 9 Az első sor második eleméhez, 2-höz tartozó aldetermináns 4 6 7 9, a középső 5 elemhez tartozó aldetermináns pedig 1 3 7 9 Definíció Egy determináns rekurzív módon aldeterminánsokkal úgy kapható meg, hogy tetszőlegesen választott sorban vagy oszlopban minden elemet megszorzunk a hozzá tartozó aldeterminánssal, majd a kapott szorzatokat a,,sakktáblaszabály + + + + + szerinti előjelnek megfelelően összeadjuk, ill kivonjuk Bizonyításra szorul, hogy bármely sor vagy oszlop szerint számolva azonos eredményt kapunk Azt is ellenőrizni kell, hogy a 3 3-as determináns értéke a Sarrus-szabály és a kifejtések szerint megegyezik Az utóbbi pl az első sor szerinti kifejtésre: c d e f g h i a e h f i b d g f i + c d g e h aei fh bdi fg + cdh eg aei afh bdi + bfg + cdh ceg aei + bfg + cdh ceg afh bdi Általában a determináns első sor szerinti kifejtése a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 A 11 a 12 A 12 + a 13 A 13, a második sor szerinti kifejtés a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 21 A 21 + a 22 A 22 a 23 A 23 +, és például az első oszlop szerint kifejtve a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 11 A 11 a 21 A 21 + a 31 A 31 4 Feladat Számolja ki az előző c példabeli a determinánst többféleképpen kifejtve! Megoldás: Az első sor szerint kifejtve 1 1 2 1 1 1 3 1 + 1 1 3 2 2, 2
217/18 1 félév I4 a második sor szerint a harmadik oszlop szerint pedig 2 1 +1 3 1 3 2 2, 2 2 2 1 1 3 2 3 2 +1 1 1 2 2 A többi három kifejtés harmadik sor szerinti, első oszlop szerinti, második oszlop szerinti hasonlóan számolható ki 5 Definíció Felső háromszögmátrix nak nevezzük az olyan négyzetes mátrixot, amelyiknek minden főátló alatti eleme nulla Az alsó háromszögmátrix olyan négyzetes mátrix, melynek minden főátló fölötti eleme nulla A diagonálmátrix olyan négyzetes mátrix, amelyik a főátlóján kívül csak nulla elemeket tartalmaz A diagonálmátrix egyszerre felső és alsó háromszögmátrix Állítás Minden háromszögmátrix determinánsa a főátlóbeli elemek szorzata Műveletek mátrixokkal 1 Egy négyzetes mátrixot a főátlójára tükrözve ugyanolyan méretű négyzetes mátrixot kapunk, melyet az eredeti mátrix transzponáltjának hívunk Nem négyzetes mátrixoknak is van transzponáltja, az m n-es mátrixé n m-es Definíció Az A a ij i,j1,,n mátrix transzponált mátrixának, röviden transzponáltjának nevezzük az A T a ji i1,,n ugyanolyan méretű mátrixot Példák a T 1 3 2 4, b d T a b d, c 1 4 2 3 5 6 T 1 4 3 2 2 Azonos méretű mátrixok összegét, különbségét, valamint egy mátrix számmal való szorzatát úgy képezzük, mint vektorokra a vektorok összegét koordinátánként, a mátrixok összegét elemenként Definíció Két azonos méretű mátrix összege, különbsége és egy mátrix számszorosa az az ugyanolyan méretű mátrix, melynek elemeit úgy kapjuk, hogy a két mátrixban az azonos helyen álló elemeket összeadjuk, kivonjuk, ill a mátrix minden elemét megszorozzuk az adott számmal Tehát a ij ± b ij a ij ± b ij, λ a ij λa ij Példák a b c 5 5 8 1 + 5 2 + 8 6 1 + 6 7 3 + 6 4 + 7 9 11 5 8 1 5 2 8 4 6 6 7 3 6 4 7 3 3 5 1 5 2 5 1 5 3 5 4 15 2
217/18 1 félév 3 Két mátrix szorzatát akkor definiáljuk, ha az első tényező oszlopainak száma vízszintes mérete megegyezik a második tényező sorainak számával függőleges mérete Definíció Az m n-es A és az n p-es B mátrix szorzata az az m p méretű C mátrix, melynek bármely elemét úgy kapjuk, hogy az első mátrixnak annyiadik sorát, mint a keresett elem első indexe, skalárisan szorozzunk a második mátrix annyiadik oszlopával, mint a keresett elem második indexe sor-oszlop szorzás, ld az ábrán Az A a ij és B b ij mátrixok C c ij szorzatának elemei c ij a i1 b 1j + a i2 b 2j + + a in b nj, hiszen i-edik sor a i1 a i2 a in j-edik oszlop b 1j b 2j c ij b nj Azoknak a mátrixoknak értelmezzük a szorzatát, melyekre az első tényezőben a sorok ugyanolyan hosszúak, mint a második tényezőben az oszlopok Példák négyzetes mátrixok szorzására: 1 5 + 2 7 1 6 + 2 8 3 5 + 4 7 3 6 + 4 8 43 5 5 1 + 6 3 5 2 + 6 4 23 34 7 1 + 8 3 7 2 + 8 4 31 46 Általában AB BA, vagyis a mátrixok szorzása nem kommutatív művelet A mátrixok szorzásának szabálya egyszerűen megjegyezhető, ha a két mátrixot A és B az AB szorzatukkal együtt a 2 2-es B A AB táblázatban helyezzük el Ekkor a szorzat elemei sorokat oszlopokkal szorozva anélkül kiszámolhatók, hogy eltévesztenénk a sort vagy az oszlopot Amikor ui egy sort egy oszloppal megszorzunk, szorzatuk helyét az adott sor és oszlop kijelöli Példa Az A és B mátrixok AB szorzata így is kiszámolható: 43 5, 19,, 43, 43 5 Egy lépésben 43 5
217/18 1 félév 4 Definíció Az Ezzel a mátrixszal szorozva 1 1 1 mátrixot 2 2-es egységmátrixnak hívjuk, I 1 2 -vel jelöljük 1 1 1 a + c 1 b + d a + 1 c b + 1 d a 1 + b a + b 1 c 1 + d c + d 1 Tehát bármely 2 2-es A mátrixszal szorozva AI 2 I 2 A A, vagyis I 2 úgy viselkedik a 2 2-es mátrixok szorzásakor, mint 1 a valós számok szorzásánál Definíció Azt az n n-es mátrixot, amelyiknek a főátlójában 1-esek állnak, a többi elem pedig, n n-es egységmátrixnak nevezzük, I n -nel jelöljük 1 Az I n n n-es egységmátrix és tetszőleges n n-es A mátrix szorzata mindkét sorrendben A-t 1 adja: I n A AI n A Azonos méretű négyzetes mátrixokkal számolva az egységmátrix indexét gyakran elhagyjuk, röviden I-vel jelöljük 5 Azonos méretű diagonálmátrixok szorzását egyszerűen elvégezhetjük A szorzat is ugyanolyan méretű diagonálmátrix, a főátlójának elemeit az eredeti két mátrix azonos helyen álló elemeinek szorzataként kapjuk Állítás Az A a 11 b 11 és B, diagonálmátrixok AB és BA szorzata megegyezik, mégpedig AB BA a nn a 11 b 11 a nn b nn b nn I5 6 A mátrixműveletekre érvényes több valós számokra ismert azonosság Állítás Ha λ valós szám és A, B, C olyan mátrixok, melyekre a következő azonosságok egyik oldala értelmezve van, akkor a másik oldal is értelmezve van, és az egyenlőség fennáll: ABC ABC asszociativitás, A + BC AC + BC és AB + C AB + AC disztributivitás mindkét módon, λa ± B λa ± λb, λab λab AλB Mátrix és vektor szorzata 1 Mátrix és vektor szorzatát úgy kapjuk, hogy a vektort oszlopmátrixként tekintve a két mátrixot szorozzuk: A v Av Definíció Az A n n-es mátrix és az n dimenziós v vektor szorzata az az n dimenziós Av vektor, melynek koordinátái Av 1 a 11 v 1 + a 12 v 2 + + a 1n v n Av i a i1 v 1 + a i2 v 2 + + a in v n Av n a n1 v 1 + a n2 v 2 + + a nn v n 2 Az egységmátrix a nevéhez híven viselkedik mátrix és vektor szorzásakor is: Bármely n dimenziós v vektorra I n v v Példák
217/18 1 félév a I 2 v v: b I 3 v v: 1 v1 1 v1 + v 2 v1 1 v 2 v 1 + 1 v 2 v 2 1 1 v 1 v 2 1 v 1 + v 2 + v 3 v 1 + 1 v 2 + v 3 v 1 v 2 1 v 3 v 1 + v 2 + 1 v 3 v 3 I6 Vektor és mátrix a Wolframalphában Az u 1, 2, 3 vektort az {1,2,3 alakban adhatjuk meg a Wolframalphacom honlapon, a v, 4, vektort {,-4,5 alakban, vagyis kapcsos zárójelek között vesszővel elválasztva felsoroljuk a koordinátákat A mátrixokat a sorvektorai felsorolásával adhatjuk meg, például az mátrixot 1,2,{3,4 alakban, a mátrixot pedig -1,,-1,{1,1,1,{3,2,1 módon Például a 3a házi feladat megoldását így ellenőrizhetik a Wolframalphával: 2,-1{2,3*1,3{2,1 I7 Házi feladatok 1 a Legyen u 2, 3, és v, 2, 4 esetén adja meg az u + v, u v és 3u vektorokat! b Mekkora az u és a v vektor hossza? c Mekkora az u és a v vektor skaláris szorzata? Megoldás: a u + v 1,, 4, u v 3, 5, 4, 3u 6, 9, b u 2 2 + 3 2 + 2 13, v + 2 2 + 4 2 21 c uv 2 + 3 2 + 4 8 3 2 2 5? Megoldás: A Sarrus-szabály szerint det 3 1 5 + 2 2 3 + 4 1 3 3 2 4 2 5 Az első oszlop szerint kifejtve is 3 2 5 3 4 5 2 4 5 + 3 2 3 3 6 + 3 3 2 1 3 4 3 a? b 2 5 3 5 11 Megoldás: a, b 8 9 9 2 3?