Hegyesszögek szögfüggvényei Feldt: Kovás slád hétvégén kirándulni ment. Az útjuk során egy 0 -os emelkedőhöz értek. Milyen hosszú z emelkedő, h mgsság 45 méter? Megoldás: Rjzoljuk le keletkezett háromszöget! α 0 h 45 m s? Ilyen háromszöggel már tlálkoztunk. Tükrözzük hosszik efogó egyenesére! Az eredeti háromszög és képe egy egyenlő oldlú (szályos) háromszöget lkot. Eől z s h 45m s 90m Tehát lejtő hossz 90 méter. Mi vn kkor, h lejtő lppl ezárt szöge nem 0 -os, hnem, 7,5, 8,9 st? Ilyenkor már nem tudunk ilyen egyszerűen számolni, ezért vezessünk e egy új foglmt, szögfüggvényeket.
Hegyesszög szinusz Derékszögű háromszögen z α hegyesszöggel szemközti efogó hosszánk és z átfogó hosszánk z rányát z α szög szinuszánk nevezzük. Definíió: Derékszögű háromszögen egy hegyesszög szinusz szöggel szemközti efogó és z átfogó hosszúságánk hánydos. jele: sin α sin α zαszöggel szemközti efogó hossz átfogó hossz sin α sin β Hegyesszög koszinusz Derékszögű háromszögen z α hegyesszög melletti efogó hosszánk és z átfogó hosszánk z rányát z α szög koszinuszánk nevezzük. Definíió: Derékszögű háromszögen egy hegyesszög koszinusz szög melletti efogó és z átfogó hosszúságánk hánydos. jele: os α os α zαszög melletti efogó hossz átfogó hossz os α os β
Hegyesszög tngense Derékszögű háromszögen z α hegyesszöggel szemközti efogó hosszánk és z α hegyesszög melletti efogó hosszánk z rányát z α szög tngensének nevezzük. Definíió: Derékszögű háromszögen egy hegyesszög tngense szöggel szemközti efogó és szög melletti efogó hosszúságánk hánydos. jele: tg α tg α zαszöggel szemközti efogó hossz zαszög melleti efogó hossz tg α tg β Hegyesszög kotngense Derékszögű háromszögen z α hegyesszög melletti efogó hosszánk és z α hegyesszöggel szemközti efogó hosszánk z rányát z α szög kotngenséneknevezzük. Definíió: Derékszögű háromszögen egy hegyesszög kotngense szög melletti efogó és szöggel szemközti efogó hosszúságánk hánydos. jele: tg α tg α z α melletti efogó hossz zαszöggel szemközti efogó hossz tg α tg β
Összefüggések hegyesszögek szögfüggvényei között Pótszögek szögfüggvényei sinα osβo mivel α + β 90 osα sinβ, mivel α + β 90 tgα tgβt mivel α + β 90 tgα tgβ, mivel α + β 90 sinα os(90 α) osα sin(90 α) tgα tg(90 α) tgα tg(90 α) Bármely hegyesszög szinusz egyenlő pótszögének koszinuszávl Bármely hegyesszög koszinusz egyenlő pótszögének szinuszávl Bármely hegyesszög tngense egyenlő pótszögének kotngensével Bármely hegyesszög kotngense egyenlő pótszögének tngensével sin α os (90 α) os α sin (90 α) tg α tg (90 α) tg α tg (90 α)
Pitgorszi zonosság Írjuk fel Pitgorsz-tételét z lái háromszögre: + osszuk el mindkét oldlt -tel ( > 0) + A htványozás zonosságit, mjd szinusz és koszinusz szögfüggvények definíióját lklmzv: + + Tétel: Adott hegyesszög szinuszánk és koszinuszánk négyzetösszege -gyel egyenlő. sin ( sin α) + ( osα) α + os α
A tngens és kotngens kifejezése szinusszl és koszinusszl sin α osα osα sin α tgα tgα tg α sin α os α tg α osα sin α Összefüggés tngens és kotngens között tgα tgα tgα tgα A tngens és kotngens egymás reiproki. tg α tgα tg α tg α
Az α szög szögfüggvényei sin α tg α os α tg α tg α tgα tg α sin α osα Az β szög szögfüggvényei sin β os β tg β tg β tg β tgβ tg β sin β osβ
Nevezetes szögek szögfüggvényei A 0 -os és 60 -os szögek szögfüggvényei Rjzoljunk egy olyn egyenlő oldlú háromszöget, melynek oldli egység hosszúk. Rjzoljuk meg z egyik súsáól mgsságát. Ekkor kpjuk BCT -et. Az átfogój egység hosszú, rövideik efogój ennek fele ( egység) és Pitgorsz tételéől hosszik efogó: egység. Szögei rendre 0, 60, 90. Így definíiók lpján: sin0 os60 sin60 os0 tg0 tg60 tg60 tg0
A 45 -os szög szögfüggvényei Rjzoljunk egységnyi oldlú derékszögű háromszöget. A két efogój egység hosszú és Pitgorsz tételéől z átfogój egység hosszú. Így definíiók lpján: sin 45 os 45 tg 45 tg 45 sin os tg tg 0 45 60
Feldt: Htározzuk meg nnk z egyenlőszárú háromszögnek mgsságát és lpjánk hosszát, melynek lpján lévő szögeinek összege 0, szár 5 m. Megoldás: α 0 5 m m?? α 0 α 65 m sin α m sin α 5 sin65,59(m) x osα x osα 5 os65 6,4(m) x 6,4,68(m) Tehát z egyenlő szárú háromszög mgsság,59 m, lpjánk hossz,68 m.
Feldt: Egy m hosszú tűzoltólétr nekidől z égő ház flánk, mivel emereket kell kimenteni z lkon át. Az lj 5 m-re vn fltól. Htározd meg létr dőlésszögét! Milyen mgsn vn z lk? Megoldás: h m x 5 m α? m? osα sin α x 5 0,467 α 65,8 h m m h sin α sin 65,5 0,9(m) h Tehát létr dőlésszöge 65,8,, z lk 0,9 m mgsn vn.
Feldt: A 80 m mgs szemmgsságú emer 46 -os látószög ltt lát egy gyárkéményt. Milyen mgs kémény, h megfigyelő 78 m-re áll z épülettől? Megoldás: α 46 s 78 m x 80 m,8 m m? h tgα h s tgα 78 tg 46 80,77(m) s m x + h,8 + 80,77 8,57(m) Tehát gyárkémény 8,57 m mgs.
Feldt: Milyen távolságr vn tőlünk z foild, melyet stdionn, 5 m mgs lelátóról 0 fokos depressziószögen látunk? Megoldás: α 0 h 5 m x? h h 5 sin α x 50(m) x sin α sin0 Tehát foild 50 méterre vn tőlünk.
Feldt: Egy egyenlő szárú létr összezárt állpotn 40 m. Milyen mgsn vn teteje kinyitott állpotn, h két szár 4 -os szöget zár e egymássl? Megoldás: ω 4 40 m m? ϖ ϖ β β osβ m 4 m osβ 40 os 4,06(m) Tehát létr teteje 4,06 m mgsn vn.
Feldt: Egy forgáskúp lkotói 0 m hosszúk, kúp körének átmérője 8 m. Mekkor forgáskúp nyílásszöge és mgsság? Megoldás: A forgáskúp (lpjánk átmérőjén átmenő) síkmetszete: 0 m d 8 m m? ω? d 8 d r r 4(m) r 4 sinβ 0,7 β 44,4 0 ϖ β 44,4 88,86 osβ m m osβ 0 os 44,4 4,8(m) Tehát forgáskúp nyílásszöge 88,86, mgsság 4,8 m.