Egy szép és jó ábr csodákr képes Az lábbi. ábrát [ ] - ben tláltuk; tlán már máskor is hivtkoztunk rá.. ábr Az különlegessége, hogy vlki nem volt rest megcsinál(tt)ni, még h sok is volt vele munk. Ennek eredményeként villámgyorsn megérthető z igzolndó állítás, mi z lábbi. Tétel: Egy körhenger minden síkmetszete ellipszis, h metsző sík nem párhuzmos körhenger tengelyével. Igzolás: Az. ábrán zt szemléltetik, hogy egy sugrú körhengert egy α síkkl elmetszettek, mely henger tengelyére merőleges β metszősíkkl φ szöget zár be. A β sík körhengert egy k körben metszi. Azt krjuk igzolni, hogy z α sík áltl előállított k metszeti görbe: ellipszis. Ehhez felvesszük α - bn z Oxy síkbeli derék - szögű koordinát - rendszert, z. ábr szerint. Most válsszuk ki k görbe egy tetszőleges M pontját, melynek k - n lévő vetülete z P pont, mjd írjuk fel M pont Oxy - beli koordinátáit! Az. ábr szerint: x = OQ = OP cost = cos t, QP OP sin t y = = = sin t = b sin t, cos ϕ cos ϕ cos ϕ
zz: x = cos t, y = b sin t, hol b =. cos ϕ ( ) Az ( ) egyenletek egy ellipszis prméteres egyenletrendszere, hiszen innen x y + = t + t = b cos sin, vgyis x y + =, b ( ) mi pedig egy ellipszis knonikus egyenlete. Megjegyzendő, hogy b =, cos ϕ 0 ϕ < 90. ( 3 ) Itt b z ellipszis ngytengelye, pedig kistengelye. Értelemszerűen: h φ = 0, kkor ( ) és ( 3 ) szerint b =, vgyis síkmetszet kör. Ezzel igzolást nyert fent kimondott tétel. Megjegyzések: M. Az. ábr gusztust csinált egyéb összefüggések felírásár is, mintegy ismétlő jelleggel. Ehhez tekintsük. ábrát is! Ez lpján z M pont koordinátáir írhtjuk, hogy X = cos t, Y = sin t, Z = tg ψ. ( 4 )
3. ábr Mjd ( 4 ) - gyel is: ρ = X + Y + Z = cos t + sin t + tg ψ = cos sin tg tg, = t + t + ψ = + ψ tehát: ρ = + tg ψ. ( 5 ) Ezután megint ( 4 ) - gyel is: Z tgψ tgψ tg ϕ = = =, Y sin t sin t innen: tgψ = tgϕ sin t. ( 6 ) Most megint. ábr lpján: X és = ρ cos ϑ = ρ cos ψ cos t, ( 7 )
4 d sin ψ = ρ sin ϑ = ρ. sin ϕ ( 8 ) Mjd ( 7 ) és ( 8 ) - cl: sin ψ ρ d sin ϕ sin ψ tgψ tg ϑ = = = =, X ρ cos ψ cost sin ϕ cos ψ cost sin ϕ cost tehát: tgψ tg ϑ =. sin ϕ cos t ( 9 ) Ezután ( 6 ) és ( 9 ) - cel: tgϕ sin t tgt tg ϑ = =, sin ϕ cos t cos ϕ tehát: tgt tg ϑ =. cos ϕ Mjd jellemző szögek összefüggései ( 6 ) és ( 0 ) - ből: ψ( ϕ, t) = rctg ( tgϕ sin t), ϑ( ϕ, t) = rctg tg t. cos ϕ ( 0 ) ( ) Ezután ( 5 ) és ( 6 ) szerint: ρ( ϕ, t) = + tg ϕ sin t. ( 3 ) Azonos átlkításokkl, ( 0 ) - zel is: tg t cos tg tg sin t tg tg ρ ϕ ϑ = + ϕ = + ϕ = + ϕ = + tg t + cos ϕ tg ϑ sin ϕ tg ϑ + cos ϕ tg ϑ + sin ϕ tg ϑ = + = ; cos tg cos tg + ϕ ϑ + ϕ ϑ
5 tovább lkítv: ρ + tg ϑ cos ϕ + sin ϕ + tg ϑ = = = = + cos ϕ tg ϑ + cos ϕ tg ϑ cos ϑ + cos ϕ tg ϑ =, cos ϑ + cos ϕ sin ϑ innen ( / 3 ) - ml is: ρ = = = cos ϑ + cos ϕ sin ϑ cos ϑ cos ϕ cos ϑ sin ϑ + sin ϑ + b, miből: ρ( ϑ ) =. cos ϑ sin ϑ + b ( 4 ) Ez z ellipszis polárkoordinátás egyenlete, hol pólus z origó. Ugynis (4 ) - gyel: cos ϑ sin ϑ ρ +, = b ρ cos ϑ ρ sin ϑ + =, b vlmint. ábráról is leolvshtó x = ρ cos ϑ, y = ρ sin ϑ ( 5 ) egyenletekkel ( ) dódik. M. H z. ábr szerinti P pont ω = áll. szögsebességgel kering O körül, kkor t szögre írhtjuk, hogy t( τ ) = ω τ, ( 6 ) hol τ z idő - változó.
6 Most ( 0 ) - et z idő szerint differenciálv: dϑ dt = ; cos ϑ dτ cos ϕ cos t dτ bevezetve ferde síkon történő keringés szögsebességére z dϑ Ω = d τ jelölést, ( 6 ), ( 7 ) és ( 8 ) - cl kpjuk, hogy ω cos ϑ ω + tg t Ω = = ; cos ϕ cos t cos ϕ + tg ϑ mjd ( 0 ) és ( 9 ) - cel: ω + tg t + tg t Ω = = ω cos ϕ, cos ϕ tg t cos ϕ + tg t + cos ϕ ( 7 ) ( 8 ) ( 9 ) ( 0 ) vgy ( 6 ) és ( 0 ) - szl: + tg ω τ Ω( τ ) = ω cos ϕ. cos ϕ + tg ω τ ( ) Eszerint ferde síkon vló keringés szögsebessége z időben periodikusn változik z + tg ω 0 ω cos tg 0 cos cos Ω τ = 0 = ω cosϕ = ω cos ϕ = ϕ + ω ϕ ϕ ( ) és z + π π + tg tg π Ω cos cos τ = = ω ϕ = ω ϕ = ω cos ϕ ω π cos ϕ cos ϕ + tg + π tg ( 3 )
7 htárok között. A 3. ábrán szemlélhetjük ( ) függvény lefutását, z lábbi dtokkl: ω =, ϕ = 60. s.8 Ω( / s ) f(x)=*(+tn(x)*tn(x))/(+4*tn(x)*tn(x)).6.4..8.6.4. 0.8 0.6 0.4 0. -0. 0. 0.4 0.6 0.8..4.6.8..4.6.8 3 3. 3.4 3.6 3.8 4 4. 4.4 4.6 4.8 5 5. 5.4 5.6 5.8 6 6. 6.4 τ( s ) -0. -0.4-0.6-0.8 3. ábr M3. A fenti képletek lkj már máshonnn is ismerős lehet figyelmes Olvsónk. Vlóbn, krdáncsukló kinemtikájávl kpcsoltos korábbi dolgoztink szerint is éppen egy ( 0 ) lkú összefüggés áll fenn hjtó és hjtott tengelyek szögelfordu - lási között, így nem véletlen, hogy szögsebességek formulái is ismerősek. Ezek szerint előttünk áll egy lehetséges geometrii szemléltető eszköz, krdáncsukló működésének mgyráztához. Forrás: [ ] Ефимов, Н. В. : Краткий курс аналитической геометрии (0-е изд.), М.: Наука, 967. Sződliget, 03. június 0. Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár