Logaritmus DEFINÍCIÓ: (Logaritmus) Ha egy pozitív valós számot adott, - től különböző pozitív alapú hatvány alakban írunk fel, akkor ennek a hatványnak a kitevőjét logaritmusnak nevezzük. Bármely pozitív szám egyértelműen felírható valamely től különböző pozitív szám valós kitevőjű hatványaként. A logaritmus a hatványozás inverz művelete: adott a hatványérték és hatványalap, keressük a hatványkitevőt. DEFINÍCIÓ: (a alapú logaritmus) Legyen a pozitív valós szám. Tetszőleges b pozitív valós szám esetén létezik pontosan egy olyan c valós szám, hogy b = a c. Ekkor a c hatványkitevőt a b szám a alapú logaritmusának nevezzük. Jelölés: log a b = c. Egy számnak egy adott alapra vonatkozó hatványkitevőjét a szám adott alapú logaritmusának nevezzük. Az a alapú logaritmus b jelenti azt a c kitevőt, amelyre a - t emelve b adódik: a log a b = b. Az a t alapnak, a b t numerusznak nevezzük. A tízes alapú logaritmust lg vel, az e (természetes) alapú logaritmust ln nel jelöljük. A definíció értelmében log a = 0 és log a a =, továbbá log a a k = k. Egy adott alapú logaritmust átírhatunk más alapú logaritmusra a következőképpen: log a b = log c b log c a log a b = log b a a; b; c R + a; c a; b R + a; b log a b = log a x b x a; b R + a x 0 x R
A logaritmus azonosságai: Szorzat logaritmusa megegyezik a tényezők ugyanolyan alapú logaritmusának összegével. Jelöléssel: log a (x y) = log a x + log a y, ahol a; x; y R + és a. Tört logaritmusa megegyezik a számláló és nevező ugyanolyan alapú logaritmusának különbségével. Jelöléssel: log a x y = log a x log a y, ahol a; x; y R + és a. Hatvány logaritmusa megegyezik az alap ugyanolyan alapú logaritmusának a kitevővel vett szorzatával. Jelöléssel: log a x k = k log a x, ahol a; x; k R + és a. Az azonosságok alkalmazásánál figyelnünk kell arra, hogy mindkét oldal értelmezve legyen. Páros k esetén az x negatív értékeket is felvehet a bal oldali kifejezésben, így ekkor a jobb oldal a következőképpen írható: k log a x. DEFINÍCIÓ: (Természetes alapú logaritmus) Az e (Euler féle szám) alapú logaritmust, természetes alapú logaritmusnak nevezzük. Jele: ln. Az e egy (irracionális) matematikai állandó, melynek értéke: e,78. Az e t definiálhatjuk a következőképpen is: e = n=0 n! = lim n ( + n )n.
Gyakorló feladatok K: középszintű feladat E: emelt szintű feladat. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben a c értékét! log 4 = c log 3 7 = c log 5 5 = c lg 0 = c log 3 7 49 = c. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben az a értékét! log a 3 = 5 log a 5 = log a 64 = 3 log a 0 = 3 log a 7 = 3 4 3. (K) Határozd meg a következő kifejezésekben a b értékét! log b = 8 log 9 b = log 7 b = log 5 b = 0, 0 lg b = 5 4. (K) Milyen x értékek esetén értelmezhetőek a következő kifejezések? log 5 (x ) + log x+3 (5 x) lg (x + x ) log 3 x 4 3 x 5. (K) Számítsd ki a következő kifejezések értékét áttérve másik alapú logaritmusra! log 7 9 log 4 8 log 9 3 log 5 7 log 8 5 6. (E) Mennyi a következő kifejezések pontos értéke? log 3 log 3 4 log 4 5 log 5 6 log 6 7 log 7 8 log 5 4 log 7 5 log 7 7. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log (lg 00) log (log 5 5) 3 log [log 3 (log 4 64)] 8. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! log 8 log 9 7 5 log 5 7 4 + log 3 ( 3) 4 log 3 00 3 log 36 4 log 3 + log 7 64 9 3
9. (K) Számítsd ki a következő kifejezések pontos értékét! lg 75 + lg 44 lg log 5 750 log 5 5 3 log 5 8 lg + 6 lg 5 + lg 8 lg 3 log9 (tg 30 ) + log9 (cos 45 ) log9(sin 60 ) 0. (K) Fejezd ki az x et a következő egyenlőségekből! a) lg x = lg 5 + 3 lg b) log 3 x = log 3 log 3 7 c) log x = log 96 log log 3 +. (E) Írd fel a következő kifejezések logaritmusát! x = abc x = a bc 5 x = a b x = a a b x = 5a3 6bc + 4c. (E) Igazold a következő azonosságokat! a) log a b log b c = log a c a, b, c > 0 és a, b b) log a x log a y = log b x log b y c) log a b + log a b + log a 3 b + d) log b n+ ab n = n + log b a n+ log a 4 b = 0 log b a a, b, x, y > 0 és a, b, y a, b > 0 és a, b a, b > 0 és b, n 3. (E) Fejezd ki a = lg és b = lg 3 segítségével a következő logaritmusokat! lg, 5 lg 8 3 lg lg 7 8 lg 45 4. (E) Fejezd ki az lg 40 et az lg 0 segítségével! 5. (E) Fejezd ki az lg 5 - öt az lg 75 és lg 45 segítségével! 6. (E) Fejezd ki az lg 8 - at az lg 7 és az lg 864 segítségével! 4
Felhasznált irodalom () Hajdu Sándor; 004.; Matematika.; Műszaki Könyvkiadó; Budapest () Urbán János; 003.; Sokszínű matematika ; Mozaik Kiadó; Szeged (3) Ábrahám Gábor; 00.; Matematika emelt szint; Maxim Könyvkiadó; Szeged (4) Urbán János; 0.; Sokszínű matematika feladatgyűjtemény ; Mozaik Kiadó; Szeged (5) Gerőcs László; 006.; Matematika gyakorló és érettségire felkészítő feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (6) Dr. Gyapjas Ferencné; 00.; Matematika feladatgyűjtemény I.; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (7) Korányi Erzsébet; 998.; Összefoglaló feladatgyűjtemény matematikából; Nemzeti Tankönyvkiadó; Budapest (8) Vancsó Ödön; 005.; Egységes Érettségi Feladatgyűjtemény Matematika I.; Konsept H Könyvkiadó; Piliscsaba (9) Ruff János; 0.; Érettségi feladatgyűjtemény matematikából. évfolyam; Maxim Kiadó; Szeged (0) Fröhlich Lajos; 006.; Alapösszefüggések matematikából emelt szint; Maxim Kiadó; Szeged () https://users.itk.ppke.hu/itk_dekani/files/matematika/list.html () Saját anyagok 5