Biztosítási kockázatok elemzése befektetések gyelembe vételével

Biztosítási kockázatok elemzése befektetések gyelembe vételével Diplomamunka Írta: Csisztu Nóra Alkalmazott matematikus szak Témavezet k: Márkus László, egyetemi docens Valószín ségelméleti és Statisztika Tanszék és Mályusz Károly, vezet aktuárius Cardif Biztosító Zrt. Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2010

Tartalomjegyzék 1. Bevezetés 4 2. Általános pénzügyi bevezet 6 2.1. A piac jellemz i............................... 6 2.2. A Black-Scholes modell........................... 9 2.2.1. Opciós ügyletek........................... 9 2.2.2. A modell............................... 10 2.3. Martingál mértékek............................. 13 3. A biztosításmatematikai díjkalkulációs elvek 16 4. A pénzügyi díjkalkulációs elvek 20 5. A tiszta díj változó ltráció mellett 23 6. Hedzselés különböz ltrációk mellett 25 7. Egyesített tér 27 7.1. A tér deniálása............................... 27 7.2. Az utolsó pillanatban érkez információ esete............. 29 7.3. A független, folyamatosan növekv ismeretek esete.......... 30 7.4. A kezdett l ismert biztosítási kockázat esete............. 30 8. A nem-hedzselhet rész változása 31 9. Határok a tiszta díjhoz 32 10.Az információ változásának hatásai 35 11.Viszontbiztosítási szerz dések 43 11.1. Stop loss viszontbiztosítási szerz dés korláttal.............. 44 11.2. Pénzügyi stop loss viszontbiztosítási szerz dés.............. 46 11.2.1. A biztosítás bemutatása...................... 46 11.2.2. A biztosítás árazása......................... 48 12.Katasztrófa viszontbiztosítás 50

13.Földrengésbiztosítás megvalósítása 52 13.1. A modell kiválasztása............................ 52 13.2. A megvalósítás............................... 55 13.3. A válság hatása............................... 60 14.Összegzés 61 15.Függelék 62

1. Bevezetés Egyre fontosabb kérdéssé válik a mindennapjainkban is, hogy védve legyünk a nem várt és el re nem látható események ellen, melyek befolyásolják az anyagi helyzetünket. Ezek kivédésére hivatottak a különböz biztosítási formák, amelyek megkönnyítik a kockázat elfogadható mérték viselését. A fogyasztási cikkekhez hasonlóan a bizalmon alapuló biztosítási szolgáltatások igénybevétele során is a vásárló kiemelt célja, hogy a megvásárolt termékét minél jobb min ségben és minél alacsonyabb áron kapja meg. Ezért az egyre b vül piacon minden biztosító arra törekszik, hogy a saját kockázatait nem növelve egyre kedvez bb áron tudja eladni a termékeit, ezzel minél szélesebb és elégedettebb ügyfélkört szerezve. A kereslet igényeinek megfelel szolgáltatás kialakításával a biztosító növelheti bevételeit. Kockázatai csökkentéséhez különböz eszközöket használhat. Az egyik lehet ség, hogy a beszedett díjak egy részét nem csupán tárolja, tartalékolja, hanem különböz befektetéseken keresztül hozamot generál és ezt például díjcsökkentés formájában visszautalja az ügyfélnek. A dolgozat célja, hogy megvizsgálja, hogyan hatnak a termékekbe beépített befektetések a biztosítási díjakra, és hogyan változik ezáltal a kockázat, speciális esetként vizsgálva a viszontbiztosításokat. A klasszikus pénzügyi és biztosítási elvekb l kiindulva és ezeket kombinálva vizsgáljuk meg azt a feltevést, hogy a befektetések hatására lecsökkennek a biztosítási díjak. A dolgozat els része azokat az alapvet pénzügyi és biztosítási ismereteket tartalmazza a teljesség igénye nélkül, amelyek elengedhetetlenek a téma megértéséhez, gondolva itt többek között a klasszikus biztosításmatematikai díjkalkulációs elvekre vagy a pénzügyi élet egyik legfontosabb formulájára, a Black-Scholes-egyenletre. A biztosítás és a pénzügy világa közötti kapcsolatot oly módon teremtjük meg, hogy a biztosítási díjkalkulációs elveket átültetjük a pénzügyi számításokba. Az értekezés következ lépésében a tiszta díjjal foglalkozunk különböz szempontok szerint, többek között azt is vizsglva, hogy hogyan változik a biztosításról kapott információ függvényben. Deniáljuk a biztosítási és pénzügyi kockázatok valószín ségi terének egyesítését és ezen alsó és fels határt számolunk a tiszta díjhoz. Ezekben a fejezetekben Thomas Möller cikkeire támaszkodtunk. A dolgozat utolsó részében a viszontbiztosításokkal foglalkozunk, azon belül is a stop loss szerz déstípussal. A díjat úgy számoljuk ki, hogy magába a biztosított kockázatba építjük bele a befektetési kockázatot. Gyakorlati alkalmazásként katasztrófa viszontbiztosítással foglalkoztunk, azon belül is földrengés károk biztosításával, ezen szemléltetve a befektetés esetleges jótékony hatását a díjra. 4

Ezúton szeretném megköszönni konzulemsemnek, Márkus Lászlónak a témában nyújtott szakmai segítséget, és hogy a diplomamunka elkészítése alatt felügyelte a munkámat és ötletekkel látott el. Szintén köszönettel tartozom küls témavezet mnek, Mályusz Károlynak a hasznos javaslatokért. 5

2. Általános pénzügyi bevezet 2.1. A piac jellemz i A pénzügyi matematikában használatos alapvet fogalmakat tekintjük át ebben a fejezetben, ami a kés bbiek megértéséhez szükséges. Tekintsünk egy (Ω, F, P ) valószín ségi mez t és egy T id horizontot. Az információk F rendszere F 0 F 1... F t... F T, ahol F t ami a t id pontig rendelkezésre álló meggyelhet események σ algebrája. amit a Black-Scholes-féle modellben a Wiener folyamat generál. Van egy kockázatmentes eszközünk, B, ami egy x kamatozású kötvény, B 0 = β t B t, ahol β a diszkonttényez és van d db kockázatos termékünk, S i, i = 1,..., d, amik általában részvények. Az (Ω, F, P ) -téren P változhat, hiszen az egyének illetve cégek kockázatvállaló magatartása eltér lehet. Az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy B 0 = 1. Ha konstans az r kamat, akkor β t = (1 + r) t. Az árvektort S = ( B, S 1,..., S d) írja le, ami a t id pontban S t = ( ) B t, St 1,..., St d. Az egyes papírok az id ben fejl d St k sztochasztikus folyamattal vannak leírva. Feltesszük, hogy ez adaptált az F ltrációhoz, vagyis nem hordoznak magukban a ltráción túlmen vagy azon belül el re tekint információt. Az (Ω, F, P, T, F, S) az értékpapír piaci modell. Θ t = { Θ 0 t, Θ 1 t,..., Θ d t } R d+1 vektor a portfólió, t [0, T ]. Az induló vagyon V t (Θ) = Θ t S t = V 0 (Θ) = Θ 0 S 0. d Θ i tst i + Θ 0 t B t : t T, t 1. i=1 Feltesszük, hogy Θ el re jelezhet, azaz Θ t+1 F t mérhet. Feltesszük továbbá, hogy nincs küls pénzforrás és nincs pénzkihelyezés sem, azaz Θ t 1 S t 1 = Θ t S t 1 t. 6

Egy stratégiát önnanszírozónak nevezünk, ha a portfólióváltás csupán átrendezi a meglév vagyont az eszközök között, azaz Θ n S n = Θ n+1 S n. Ezt folytonos id ben is megfogalmazhatjuk. Jelöljük δ t -vel a kötvények mennyiségét és η t -vel a részvényekét. Az értékfolyamat ekkor V t (Θ) = δ t B t + η t S t. Θ önnanszírozó stratégia, ha (δ t, η t ) két mérhet és adaptált folyamat, mely kielégíti az el z egyenletet, és a megfelel értékfolyamat: V t (Θ) = δ t B t + η t S t = δ 0 B 0 + η 0 S 0 + ˆt δ s db s + ˆt η s ds s. 0 0 Ha önnanszírozó a Θ, akkor a vagyon változása: V t (Θ) V t 1 (Θ) = Θ t S t Θ t 1 S t 1 = = Θ t S t Θ t S t 1. A nyereségfolyamat: G t (Θ), G 0 (Θ) = 0. G t (Θ) = t Θ i (S i S i 1 ). i=1 Egy portfóliósorozat akkor és csak akkor önnanszírozó, ha V t (Θ) = V 0 + G t (Θ), vagyis a csak a részvényeken és a kötvényen realizált nyereség változtatja a vagyont. Az X t diszkontáltja: DX t = β t X t. Folytonos id ben a diszkontált részvényfolyamat: DS t = e rt S t, a diszkontált értékfolyamat pedig DV t = e rt V t. Legyen Θ önnanszírozó stratégiák osztálya. Ekkor egy Θ Θ önnanszírozó stratégia megengedett, ha t T-re teljesül, hogy V t (Θ) 0. 7

Jelölje ezek osztályát Θ a. A piacon van er s arbitrázs, ha létezik olyan megengedett Θ stratégia, amelyre V 0 (Θ) = 0 V t (Θ) 0 t T P (V T (Θ) > 0) > 0, azaz ha a végs hozam pozitív valószín séggel pozitív. Gyenge arbitrázsról beszélünk, ha V 0 (Θ) = 0 P (V T (Θ) > 0) = 1. Ismert, hogy gyenge arbitrázs létezéséb l következik az er s arbitrázs létezése, ha diszkrét kereskedést vizsgálunk véges horizontú piacon. A P martingál mérték, ha az St B t = DS t folyamat (F t, P ) martingál. A P -ekvivalens martingál mérték, ha martingál mérték és ha a nulla halmazai megegyeznek az eredeti P mérték nulla halmazaival. Végesen generált esetben igaz a következ két tétel, amelyek bonyolultabb piaci modellek esetén további technikai feltételek mellett továbbra is érvényben maradnak. Az eszközárazás I. alaptétele: A piac akkor és csak akkor arbitrázsmentes, ha létezik ekvivalens martingál mérték. A piacot teljesnek hívjuk, ha minden X valószín ségi változóhoz létezik Θ önnanszírozó stratégia, hogy V T (Θ) = X. Az eszközárazás II. alaptétele: A piac akkor és csak akkor teljes, ha az ekvivalens martingál mérték egyértelm. Hedzsnek, vagy másnéven fedezeti stratégiának nevezzük azokat a lehetséges technikákat, amelyek bizonyos kockázati tényez k ellen védenek. Célja nem protszerzés, hanem a 8

veszteség minimalizálása. Legyen f T az elvárt hozam a T id szak végén és Θ önnanszírozó stratégia. Ekkor Θ (v, f T )-hedzs, ha v = Θ 0 S 0 és f T V T (Θ). 2.2. A Black-Scholes modell 2.2.1. Opciós ügyletek Az eszközárakból különböz, úgynevezett származtatott terméket képeznek a piaci kereskedés során. Ezek egyike az opciós ügylet, vagy röviden opció fontos szerepet játszik. Ez vásárlójának jogot, a kibocsájtójának kötelezettséget biztosít valamely termék (például értékpapír, részvény) megvételére illetve eladására adott céláron, adott lejáratig. Tehát az opció egy olyan szerz dés, ami az egyik félnek jogot biztosít valami megtételére anélkül, hogy kötelezné rá. Az opciós ügyletnek két szerepl je van, a kiíró, aki az ajánlatot teszi és egy vev, aki elfogadja azt. Két fajtájáról beszélhetünk: A vételi (call) opció vételi jogot biztosít vev jének és kötelezettséget a kiírójának. Az eladási (put) opció eladási jogot biztosít vev jének és kötelezettséget a kiírójának. Az egyszer ség kedvéért beszéljünk csak részvényekre kötött opciókról. A kizetésfüggvények felírásához vezessük be a következ jelöléseket: 1. T: lejárati dátum, az az id pont, ameddig az opciós szerz dés érvényes. 2. K: kötési- vagy lehívási árfolyam, azaz árfolyam, amin a jogosult élhet a jogával. Ez szerz déskötéskor rögzített. 3. S t : a t id pontban a részvény árfolyama. A vételi opció kizetés függvénye: (S T K) +, az eladási opció kizetés függvénye pedig: (K S T ) +. A kett t ki tudjuk fejezni egymással a következ képpen, amit put-call paritásnak hívunk: C put = C call 1 + K (1 + r) S 0, T 9

ahol C put és a C call az eladási- illetve a vételi opció árai, r pedig a kamat. Az opciónak több típusa létezik attól függ en, hogy a vev mikor érvényesítheti a jogát: Európai opcióról akkor beszélünk, ha a beváltás egyetlen id pontban történhet, az opció lejáratakor. Amerikai opció esetében a jogot az opció lejáratáig bármikor lehet érvényesíteni. Piacát tekintve beszélhetünk t zsdei illetve t zsdén kívüli (OTC - over the counter) opciókról. Az opciós ügylet lejárat el tti értékét a szerint határozhatjuk meg, hogy milyen a típusa. A már említett európai opció esetében folytonos részvényáralakulást feltételezve ez a Black-Scholes modell segítségével történik. Amerikai opciók esetében explicit formula nem adható, ezért numerikus módszereket használnak, ezek közül a legismertebb a binomiális modell. A dolgozatban az európai opciók is szerephez jutnak, ezért nagyon röviden áttekintjük az ide tartozó fogalmakat. Ehhez szükséges a Black-Scholes modell részletes bemutatása. 2.2.2. A modell Tegyük fel, hogy a piacon következ feltételek teljesülnek: 1. A részvények árfolyama geometriai Brown mozgást követ, azaz a drift és a volatilitás független az id t l. A részvényekre felírhatjuk a ds t = S t (µdt + σdw t ) egyenletet, ahol µdt innitezimális növekv ráta, σdw t pedig innitezimális ingadozás, rizikó. Ennek megoldása: ) S t = S 0 exp (µt σ2 2 t + σw t. 10

( Ha ennek vesszük a logaritmusát, akkor a log S t = log S 0 + µ σ2 2 ) t + σw t egyenletet kapjuk, tehát ez egy sodródó Brown mozgás, ahol a drift µ σ2 2, a volatilitás pedig σ. Ennek következménye, hogy a részvényárak bármely véges intervallumon lognormális eloszlást követnek. 2. A részvény nem zet osztalékot. 3. A részvények tökéletesen oszthatóak. 4. A kockázatmentes kamatláb ismert és konstans. 5. Az opciót a lejáratkor lehet érvényesíteni. 6. Nincsenek tranzakciós költségek. 7. Lehet ség van short sellingre, azaz eladhatunk egy olyan részvényt, amely nincs a birtokunkban. Ennek nincsenek többletköltségei. 8. Nincs lehet ség arbitrázsra. A valóságban nem fordul el olyan eset, amikor ezek a feltételek maradéktalanul teljesülnek, mégis használják opciók árazásához ezt a modellt. Az opció értékét a Black-Scholes formula segítségével határozhatjuk: ahol a következ jelöléseket használtuk: C = S 0 Φ (d 1 ) Ke r(t t) Φ (d 2 ), C: az opció ára S 0 : a részvény jelenlegi értéke K: az opció kötési árfolyama r: kockázatmentes kamatláb T t: lejáratig hátralév id tartam Φ (x) : a normális eloszlású valószín ségi változó eloszlásfüggvényének értéke az x helyen 11

d 1 = ln( S 0 K )+(T t) σ (T t) d 2 = ln( S 0 K )+(T t) σ (T t) ) (r+ σ2 2 ) (r σ2 2 = d 1 σ (T t) σ: a részvény volatilitása, azaz a részvény logaritmikus hozamának id egységre vonatkozó szórása. Heurisztikusan úgy fogalmazhatunk, Φ (d i ), i = {1, 2} annak a valószín sége, hogy a részvény T-beli árfolyama nagyobb lesz kötési árfolyamánál, és az opciót lehívják. A formulát jobban megérthetjük, ha a két részt külön tekintjük. Az els tagban a részvény jelenértékét szorozzuk meg egy valószín séggel, amib l kivonjuk a második tagot, ami pedig az opció kötési árfolyamának jelenértéke szorozva egy valószín séggel. 12

2.3. Martingál mértékek Ebben a részben leírjuk azokat az általános tudnivalókat, amik szükségesek a kés bbiekben felírt illetve kiszámolt eredmények megértéséhez, ezért elméleti jelleg megállapítások következnek. Tekintsünk az (Ω, F, F, P ) teljes ltrált valószín ségi mez t, ahol az F = (F t ) 0 t T teljesíti a szokásos feltételeket, azaz jobbról folytonos és teljes, és F = F T, ahol T x, véges id pont. Nem tesszük fel, hogy F 0 trivális. Legyen X egy d-dimenziós folytonos szemimartingál F-re, ami felírható a következ alakban: X = X 0 + M + A, ahol X 0 F 0 - mérhet, M folytonos lokális P-martingál, A abszolút folytonos és korlátos variációjú. Az a természetes feltevés, hogy X arbitrázsmentes, megköveteli, hogy A abszolút folytonos legyen < M > kvadratikus variációra és hogy létezzen egy R d -beli el rejelezhet λ folyamat, hogy A t = t d < M > 0 s λ s és t 0 λtr s d < M > s λ s = t i,j=1 0 λi sλ j sd < M i, M j > s < P-majdnem mindenütt minden t [0, T ]-re. Ez a szükséges feltétele egy Q mérték létezésének, ami ekvivalens a P-vel. Deníció: ˆP legyen a minimális martingál mérték, amit a következ képpen deniálhatunk: d ˆP ( ˆ dp = exp ) λdm T = exp ˆT 0 λ s dm s 1 2 ˆT 0 λ s d < M > s λ s Legyenek T 1 T 2 T F-megállási id k és legyen h egy korlátos R d -beli F T1 -mérhet véletlen változó. Legyen ν a f = h (X T2 X T1 ) alakban felírt sztochasztikus integrálok által meghatározott tér. Legyen M s (P ) az el jeles Q P mértékek tere, ahol Q(Ω) = 1 és E ( dq f) = 0 f ν, dp és legyen M e (P ) azon Q valószín ségi mértékek tere, melyekre Q M s (P ) és Q P. Ezek után vezessük be a D s és D e tereket, melyekre minden x {s, e}. D x = { } dq dp Q Mx (P ), 13

Denícó: A szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték, P az egyetlen olyan e- D = d P dp L2 (P ) minimalizálja a D L 2 (P ) = leme az M s (P )-nek, amelyre ( ) ) 1 (D 2 2 + 1 normát D D s L 2 (P ). d P dp Ha X folytonos és feltesszük, hogy D e L 2 (P ) /O, akkor P M e (P ) hogy egy valószín ségi mérték és P P. Ez azt jelenti, hogy D > 0P-majdnem mindenütt. Ezért a továbbiakban tegyük fel, hogy D e L 2 (P ) /O. Vezessük be a korábban már említett megengedett kereskedési stratégiák Θ(F) terét, amely R d -beli F-mérhet ϑ-kból áll, amelykre a valós érték folyamat ϑdx egy Pmartingál a [0, T ]-n és T 0 ϑ tdx t L 2 (P ), és legyen G T ( Θ(F)) := ˆT 0 ϑ t dx t ϑ Θ(F). Tétel: A H L 2 (F T, P ) valószín ségi változóra létezik a következ el állítás H = c H + ˆT ahol c R,ϑ H Θ(F), E ( N H) = 0 és E 0 ϑ H t dx T + N H, ( N H T 0 ϑ tdx t ) = 0 ϑ Θ(F). A H igényhez kapcsolódó J 0 (x) hedzselési hiba a következ : J 0 (x) := min E ϑ Θ(F) H x ˆT 0 2 ϑ t dx t. Az x + T 0 ϑ tdx t jelentése az x kezdeti t kével vett értéke a T id pontban az önnanszírozó ϑ stratégiáknak. Így azt a stratégiát találjuk meg, ami adott kezdeti t kére a 14

minimális L 2 -eltérést adja. Vezessük be a következ mennyiséget: J 0 = min x R J 0(x) ami az optimális kezdeti t kéhez tartozó hedzselési hiba. 15

3. A biztosításmatematikai díjkalkulációs elvek A biztosítási matematika egyik alapvet kérdése, hogy elfogadható és a gyakorlatban használható elveket határozzon meg a biztosítási díj kiszámításához. Tömören megfogalmazva a díjkalkulációs elv egy szabály ennek a megvalósításához. A matematika nyelvén szólva ez egy függvény, amely minden szerz déshez egy számot rendel, mégpedig azonos káreloszlással rendelkez szerz désekhez ugyanazt a számot, amit biztosítási díjnak nevezünk. Tehát a díjakat tulajdonképpen káreloszlásokhoz rendeljük. Ezt képlettel is megfogalmazhatjuk: Legyen K a nemnegatív félegyenesre koncentrált eloszlások halmaza. Ekkor a Π díjkalkulációs elv vagy díjelv, ha Π : K Π K R + 0 { }. leképezés. Az eloszláshoz rendelt érték az eloszlás díja. A díjkalkulációs elveket három csoportra oszthatjuk a kiválasztás módszere alapján. Azonban ez nem általánosan elfogadott részekre bontás és egy elv nem csak egyetlen csoporthoz tartozhat. Az els az "ad hoc módszer. Az elnevezés abból fakad, hogy az aktuárius saját döntése, hogy melyik elvet használja. Kiválaszt egyet és megvizsgálja, hogy teljesíti-e a kívánt tulajdonságokat. A második módszer az el bbinél jóval szigorúbb szabályokon alapul, a karakterizáló módszer. Itt el ször a tulajdonságok listáját határozza meg, amit teljesítenie kell a díjkalkulációs elvnek. Ha nem talál olyat, ami teljes egészében jó lenne, akkor azt választja, ami a legkevésbé tér el az elképzeltt l. A harmadik a gazdasági módszer, ahol az aktuárius elfogad egy gazdasági teóriát és az alapján választ díjkalkulációs elvet. Tekintsük az (Ω, F 2, F 2, P ) valószín ségi mez t, ahol F 2 = (F 2 t ) 0 t T. Ezen értelmezzük a különböz biztosítási károkat. Jelöljük X, Y, Z,...-tal az el bb bevezetett valószín ségi mez n értelmezett nemnegatív valószín ségi változókat. Π-vel jelöljük továbbra is a díjkalkulációs elveket. 16

Megjegyezzük, hogy Π (X) felveheti a + értéket is. A következ ekben felsoroljuk a különböz díjkalkulációs elvek lehetséges tulajdonságait. 1. Függetlenség: Π (X) csak az X eloszlásfüggvényét l függ. Ez a tulajdonság azt mondja, hogy a biztosítási díj csak a kár értékét l és a kár bekövetkezésének valószín ségét l függ, magától a bekövetkezés okától nem. 2. Indokolt kockázati ráhagyás: Π (X) E (X) X. A biztosítási díjnak legalább akkorának kell lennie mint a károk várható értékének, ellenkez esetben a biztosító csak veszetséges lehet. 3. Nem indokolt kockázati ráhagyás: Ha az X c, ahol c 0 konstans, akkor Π (X) = c. Ha biztosan tudjuk, hogy a biztosító kizetése egyenl a c konstanssal, akkor nincs indokunk több díjat beszedni. 4. Maximális veszteség: Π (X) ess sup (X) A biztosítási díj biztosan kisebb, mint a lehet legnagyobb veszteség. 5. Transzláció invariancia: Π (X + a) = Π (X) + a X és a 0-ra. Ha egy konstans értékkel növeljük a kockázatunkat, akkor a díj is ugyanazzal a konstanssal növekszik. 6. Skála invariancia:π (bx) = bπ (X) X és b 0-ra. Ha kétszeresére növekszik a kockázatunk, akkor a biztosítási díj is a duplájára emelkedik. Ha 2X ára nagyobb lenne, mint a az X árának kétszerese, akkor érdemes lenne két különböz biztosítót bevonni. Ha pedig olcsóbb lenne a 2X ára, mint az X árának kétszerese, az arbitrázslehet séget biztosítana a biztosítónak azáltal, hogy továbbadja kockázatot két különböz biztosítónak egyenként X áráért. 7. Additivitás: Π (X + Y ) = Π (X) + Π (Y ). 17

8. Szubadditivitás: Π (X + Y ) Π (X) + Π (Y ). Ez a tulajdonság vitatható fontosságú, mivel sértheti az arbitrázsmentességet azáltal, hogy az egyedi kockázatokat külön tekintve nagyobb díjat kérhetünk el, mint a két kockázatot együtt biztosítva. Olyan esetekben, amikor a két kockázat különbiztosítása nem lehetséges, a szabály használata érthet. 9. Szuperadditivitás: Π (X + Y ) Π (X) + Π (Y ). A szabály használata abban az esetben indokolt, ha nagyobb kockázat vállalása több költséggel jár. 10. Független kockázatok additivitása: Π (X + Y ) = Π (X) + Π (Y ), ha X és Y függetlenek. Er snek érezhetjük az additivitás szabályát és feltehetjük, hogy az arbitrázsmentesség csak független kockázatokra vonatkozik. 11. Monotonitás: Ha X (ω) Y (ω) ω Ω 1, akkor Π (X) Π (Y ). 12. Sztochasztikus dominancia: Legyen F X (t) = P (ω Ω 1 : X (ω) > t). Ekkor ha F X (t) F Y (t), akkor Π (X) Π (Y ). Klasszikus díjkalkulációs elvek közül felsorolunk néhányat: ũ 1 (H) = E (H) + ad 2 (H) (1) ũ 2 (H) = E (H) + ad (H) (2) ũ 3 (H) = E (H) (1 + a) (3) ũ 4 (H) = E ( He ah) (4) E (e ah ) Ezek a megfelel sorrendben: szórásnégyzet elv (1), szórás elv (2), várható érték elv (3) és az Esscher díjkalkulációs elv (4). Táblázatba foglalhatjuk, hogy ezek a díjkalkulációs elvek a fent felsorolt tulajdonságok közül melyeket teljesítik: 18

Név Szórásnégyzet elv Szórás elv Várható érték elv Esscher elv 1 Függetlenség igen igen igen igen 2 Indokolt ráhagyás igen igen igen igen 3 Nem indokolt ráhagyás igen igen nem igen 4 Maximális veszteség nem nem nem igen 5 Transzláció invariancia igen igen nem igen 6 Skála invariancia nem igen igen nem 7 Additivitáa nem nem igen nem 8 Szubadditivitás nem nem igen nem 9 Szuperadditivitás nem nem igen nem 10 Függetlenek additivitása igen nem igen nem 11 Monotonitás nem nem igen nem 12 Sztochasztikus dominancia nem nem igen nem 1.táblázat: A díjkalkulációs elvek tulajdonságai Ezek a díjelvek nem veszik számításba a piaci kereskedés lehet ségét. Egy olyan szemléletmóddal alkották meg ket, amelybe nem fér bele a pénzügyi piacon való kereskedés. A díjat a szerz dés aláírásakor határozzák meg és ez marad érvényben egészen a szerz dés lejáratáig, addig a T id pontig, amíg a biztosító átvállalja a szerz désben rögzített kockázatokat. A biztosítót számos tényez korlátozza a pénzügyi piacon való kereskedésben, például a törvények, az üzlet költsége, az információk hiánya és az esetleg aránytalanul megnövekv kockázat. Mi a legf képpen az utóbb említettre koncentrálunk majd és megvizsgáljuk, hogy milyen hatással van az információ a különböz díjkalkulációs elvekre. 19

4. A pénzügyi díjkalkulációs elvek Tekintsünk egy x, valószín ségi változót, legyen ez H L 2 (P ). Pénzügyi kontextusba helyezve gondolhatunk úgy a H-ra, mint a nettó eredményére néhány származtatott terméknek, mint néhány származtatott termék, például az európai eladási opció nettó eredményére. Biztosítási szemszögb l nézve a H-t tekinthetjük úgy, mint a biztosító által kizetett károk értékének ellentételezése. Felmerül a kérdés, hogy mennyit zetünk illetve kapunk, ha megvesszük illetve eladjuk a H-t. Ha az utóbbit nézzük, azaz hogy H egy biztosítási kockázat, akkor egyszer en alkalmazhatjuk a biztosításmatematikai díjkalkulációs elvek közül az adott helyzetnek megfelel t. Most legyen H az az igény, amelyet a szórásnégyzet és szórás elv segítségével vizsgálunk. A ad 2 (H) és ad (H) részeket gyakran nevezik biztonsági ráhagyásnak. A további számolások megkönnyítésére használjuk a következ t: Y = H. Vegyünk egy u leképezést az Y véletlen változók teréb l a valós számok terébe. Az u (Y )-t értelmezhetjük az Y -hoz kapcsolódó hasznosságnak. Választhatjuk például a u-t biztosításmatematikai díjkalkulációs elvek egyikének. Ekkor u i (Y ) = ũ i (H). Ezzel: u 1 (Y ) = E (Y ) ad 2 (Y ) u 2 (Y ) = E (Y ) ad (Y ) Ezek a függvények írják le a biztosító nyereségét. Feltesszük, hogy a biztosító célja maximalizálni u i (Y )-t. Tekintsük most a pénzügyi piacot két eszközzel, ahol az egyik egy részvény, aminek a diszkontált árfolyamata X t, a másik pedig egy megtakarítás aminek a diszkontált értékfolyamata konstans és egyenl eggyel. Feltesszük továbbá, hogy H és Y diszkontált árak és a T id pontban meglév t ke is az, ahol a diszkontálás a pénzügyi bevezet ben leírtaknak megfelel. Jelöljük c-vel a biztosító kezdeti t kéjét, ϑ-val és ϑ-mal egy-egy önnanszírozó stratégiát és legyen X t a részvény diszkontált érték folyamata. A H u i -árát most defíniáljuk úgy, mint a következ egyenlet h i megoldását. sup u i ϑ Θ c + h i + ˆT 0 ϑdx t H = sup ϑ Θ u i c + ˆT 0 ϑ t dx t 20

A megoldást a tiszta díjnak hívjuk, a maximalizáló ϑ stratégia neve pedig az optimális stratégia. Az egyenlet bal oldalán lév rész a szuprémuma a c + h i + T dx 0 t H kifejezésnek, ami egyszer en c kezdeti t ke plusz a h i díj összeadva a kereskedésb l származó nyereséggel, T ϑ 0 tdx t -vel, ahol ϑ az önnanszírozó stratégia, levonva bel le kárigények H értékét. Θ a megengedett stratégiák tere, amit kés bb defíniálunk. Az egyenlet jobb oldalán álló rész a szuprémuma annak a nyereségnek, amit a kezdeti t ke befektetésével érhetünk el, ha egy önnanszírozó stratégiát választunk. Bár a Black-Scholes modell teljes piacot határoz ( ) meg, az átfogóbb kép érdekében most { nem teljes piacot tekintünk. Jelölje Θ} T G T Θ = ϑdx 0 t ϑ az önnanszírozó stratégiával nulla kezdeti ( ) t kéb l származó pénzügyi nyereség terét. Legyen π(.) projekció L 2 (P)-ben G T Θ -ra és vezessük be a T 1 π(1) = βdx mennyiséget, amit 0 kés bb az optimális stratégia meghatározásához fogunk használni. Jelöljük P-mal a szórásnégyzet optimálizáló martingál mértéket és az egyszer ség kedvéért használjuk az Ẽ jelölést aze P várható értékre. Szintén az optimális stratégia leírásához vezessük be Z T = d P -ot. H-t írhatjuk úgy, mint dp ˆT H = Ẽ (H) + 0 ϑ H t dx t + N H (5) ahol ϑ H Θ ( és N H R + G T (Θ) ). N H a nem-hedzselhet része az igénynek. A H igényt megengedhet nek hívjuk, ha N H = 0, azaz ha a H leírható egy önnanszírozó stratégiával. Két fontos tétel következik, amiben a H igényhez a pénzügyi szórásnégyzet és a szóráselvek segítségével határozzuk meg az árat : 4.1 Tétel: H L 2 (P ), c R, ekkor az u 1 -höz kapcsolódó ár a H-ra: v 1 (H) = Ẽ (H) + ad2 ( N H) és az optimális stratégia: ( ) 1 + D 2 ZT ϑ = ϑ H + β 2a 21

4.2 Tétel: H L 2 (P ), c R, ekkor az u 2 -hez kapcsolódó ár a H-ra: ( ) feltéve, hogy a 2 D ZT Ha a 2 D ( ) v 2 (H) = Ẽ (H) + a D 2 ZT 1 D ( N H) a 2. Ha a 2 < D ( ) ZT, akkor az optimális stratégia ( ) 1 + D 2 ZT ϑ = ϑ H + a 1 D2 ( Z T) a 2 ( ZT ), akkor u 2 nem deniált. ( D ) N H β A tételekben szerepl árakat felbonthatjuk két részre, ahol az els H várható értéke a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték alatt, a második pedig egy megtakarítás, ami az igény nem-hedzselhet részének szórásnégyzetéhez kapcsolódik. Ha H megengedhet, akkor mindkét ár Ẽ (H), ami egybeseik a H arbitrázsmentes árával. A két árazási elv nem additív. Nézzük meg a H 1 és a H 2 igényekre N H 1 és N H 2 nemhedzselhet részekkel. v 1 (H 1 + H 2 ) = Ẽ (H 1) + Ẽ (H 2) + ad ( 2 N H 1 + N 2) H. Látható, hogy v 1 (H 1 + H 2 ) = v 1 (H 1 ) + v 1 (H 2 ) ha N H 1 és N H 2 korrelálatlanok. A szóráselvnél a v 1 (H 1 + H 2 ) v 1 (H 1 ) + v 1 (H 2 ) formulát kapjuk, ami pont a szubadditivitás. Ha a két igény egyszerre merül fel, például ha biztosítási kockázatokra gondolunk, akkor ha ugyanarról a veszélyközösségr l van szó és ugyanazoknak adunk el valamilyen fajta biztosítást valamint a kockázatok hasonlóak, vagy például ugyanarra az id tartamra vonatkozik a fedezet köre, akkor logikusabb a H 1 a H 2 igényeket együtt tekinteni és egyetlen árat meghatározni hozzájuk. Ha az egyiket, például H 1 -et már eladta a viszontbiztosító, akkor a másodikat úgy kell árazni, hogy a kezdeti t két, c-t meg kell változtatni a c + v i (H 1 ) H 1 -re, azaz egy olyan véletlen kezd t kével kell dolgozni, ami leírja az els szerz dés hatását. Ezzel egy sokkal realisztikusabb eredményt kapunk. 22

5. A tiszta díj változó ltráció mellett Ebben a fejezetben megvizsgáljuk, hogy hogyan változik a tiszta kockázati díj ha egy b vebb ltrációt tekintünk, azaz ha több információnk van a biztosítási kockázatról. Azzal az alapfeltevéssel élünk, hogy a vizsgált kockázataink, a pénzügyi és a biztosítási károk függetlenek egymástól. Legyen X a részvény diszkontált értékfolyamat az (Ω, F, P ) valószín ségi mez n értelmezett, amely adaptált az F 1 = (Ft 1 ) 0 t T ltrációhoz. Azt az esetet vizsgáljuk, amikor az (X, F 1 ) teljes és arbitrázsmentes. A biztosítási kockázatot meghatározza az U folyamat és az F 2 = (Ft 2 ) 0 t T ltráció. Feltesszük, hogy U t FT 2 -mérhet. Feltesszük, hogy Ft 1 és Ft 2 sztochasztikusan függetlenek a P mérték szerint az F ltráció alatt, ahol F az F t = Ft 1 Ft 2 által deniált. Megmutatható, hogy a 4.1 és 4.2 tételekben a tiszta díj csökken, amikor az F 2 ltráció n, azaz ha több biztosítás matematikai információt veszünk számításba az alacsonyabb díjhoz vezet. (A [2] hivatkozásban részletesebben megtekinthet.) Deniáljunk a tiszta díjhoz határokat a két díjkalkulációs elvet használva! A szórásnégyzet elvhez a fels és az alsó határ a következ : v 1,max (H) = Ẽ (H) + ae ( D 2 ( H F 1 T )) v 1,min (H) = Ẽ (H) + a 1D 2 (Ẽ ( H F 2 T ) ) ahol a 1 = E( a Z T) a 2 A szórás elvhez a határok a következ ek: ahol a 2 = v 2,max (H) = Ẽ (H) + a 2 E (D 2 (H FT 1)) ) v 2,min (H) = Ẽ (H) + a 3 D (Ẽ 2 (H F 1 T ) 1 D2 [ Z T ] a 2 és a 3 = a 2 E[ Z 2 T ]. 23

Ezeknek a korlátozó értékeknek a meghatározásához csak a várható értékekre és a szórásnégyzetekre van szükségünk, ezért számításuk egyszer nek mondható. Az a érték megválasztása nagyban befolyásolhatja kapott eredményeket, de az biztosítónként változó lehet, ezért a kapott eredmények igen különböz ek lehetnek ha más és más biztosítót tekintünk. 24

6. Hedzselés különböz ltrációk mellett Ebben a részben megvizsgáljuk, hogy hogyan viselkedik a hedzselési hiba két különböz ltráció mellett. (Ω, F, F, P ) egy teljes, ltrált valószín ségi tér, ahol az F ltráció rendelkezik a szokásos tulajdonságokkal, F 0 a triviális ltráció és F = F T. Legyen X egy d-dimenziós szemimartingál F-re. Vezessünk be egy kisebb ltrációt, F 0 F, ami szintén rendelkezik a szokásos tulajdonságokkal és X adaptált F 0 -ra. Így X F 0 -szemimartingál is. Tegyük fel továbbá, hogy FT 0 = F T. F 0 a megszorítása a stratégiák terének. A D e L 2 (P ) /O feltevés most is érévnyben marad. A korábbiakhoz hasonlóan legyenek T 1 T 2 T F 0 -megállási id k, ahol az X T 2 megállítási folyamat korlátos, és legyen h egy korlátos R d -beli FT 0 1 -mérhet véletlen változó. Legyen ν (F 0 ) f = h (X T2 X T1 ) alakban felírt sztochasztikus integrálok által meghatározott tér. Nyílvánvaló, hogy ν (F 0 ) ν (F). Belátható, hogy a P szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték létezik F alatt. Vezessük be a Θ (F 0 ) teret, amely az F 0 - mérhet ϑ folyamatok tere, ahol ϑdx P 0 - martingál és T ϑdx 0 L2 (P ). Tegyük fel, hogy ϑ Θ (F 0 ) és belátható, hogy Θ (F 0 ) Θ (F), így ϑ Θ (F). A kérdés, amire választ szeretnénk kapni, az az, hogy mit mondhatunk a J 0 (F, x) és a J 0 (F 0, x) hedzselési hibák közötti különbségr l, ahol a következ képpen defíniálhatjuk a hibát: J 0 (G, x) := min E ϑ Θ(G) ahol G {F, F 0 },H L 2 (P, F T ). H x ˆT 0 2 ϑ t dx t, ( ) ( ) Lemma: Tegyük fel, hogy a G T Θ (F 0 ) és a G T Θ (F) lineáris terek zártak. Ekkor J 0 (F 0, 0) J 0 (F, 0) = E ˆT 0 ( ϑh,0 t ϑ H t 2 ) dx t 0. 25

Következmény: Tegyük fel, hogy D e (F) L 2 (P ) /O. Ekkor igaz, hogy D 2 ( N H,0) D 2 ( N H). Tehát azt kaptuk, hogy a nem-hedzselhet rész szórásnégyzete F 0 esetében nagyobb, azaz a kockázatunk növekszik kisebb ltráció mellett. 26

7. Egyesített tér 7.1. A tér deniálása Két valószín ségi teret határozunk meg, az egyik a pénzügyi piac, a másik a biztosítási kockázatok tere. Ebb l a kett b l szeretnénk egy általános valószín ségi teret meghatározni, amiben a kétfajta szemlélet összefonódik, tehát jelen van benne a pénzügyi és a biztosítási kockázat egyaránt. Ebben a pontban, csak úgy mint a következ háromban bizonyítás nélkül közöljük azokat a legfontosabb állításokat, tételeket, amelyek a terek egyesítésének martingálokra vonatkozó következményeit leírják. Mivel ezek a tételek alapvet en technikai jelleg ek, ezért nem térünk ki a bizonyításokra, ezek a [2] hivatkozásban találhatóak meg. Deniáljuk a két valószín ségi teret a két kockázatunkhoz: 1. Jelölje (Ω 1, F 1, P 1 ) pénzügyi kockázatok terét egy F 1 = (F 1 t ) 0 t T ltrációval, amely teljesíti a szokásos feltételeket, azaz teljes és jobbról folytonos. Feltesszük, hogy az F 1 0 triviális σ-algebra, F 1 = F 1 T és lexáljuk a T véges id intervallumot. Egy tisztán pénzügyi kockázat egy véletlen változó, melyre H (1) L 2 ( P 1, F 1 T ). 2. Legyen (Ω 2, F 2, P 2 ) egy teljes, ltrált valószín ségi mez a jobbról folytonos, de nem feltétlenül teljes F 2 ltrációval. Itt F 0 2 nem feltétlenül triviális σ-algebra. Egy tisztán biztosítási kockázat egy véletlen változó, melyre H (2) L ( 2 P 2, F ) T 2. Azzal az alapfeltevéssel élünk, hogy a pénzügyi piac sztochasztikusan független a többi vizsgált kockázattól. A két tér egyesítéséhez vezessük be az (Ω, F, F, P ) teret, mint az (Ω, F 1, F 1, P ) és az (Ω, F 2, F 2, P ) terek szorzatát. Legyen Ω = Ω 1 Ω 2, P = P 1 P 2, így kapunk egy teljes valószín ségi teret. Vezessük be az N szigma-algebrát, amely az F 1 F 2 nullahalmazainak a részhalmazai által generált: N = σ { F Ω 1 Ω 2 G F 1 F 2 : F G, ( P 1 P 2) (G) = 0 }. Ezzel már tekinthetjük az F-et, amit a következ képpen írunk fel: F = ( F 1 F 2) N. 27

Deniáljuk az F 1 -et és F 2 -t a szorzattéren a következ kkel: F 1 t = ( F 1 t {Ø, Ω 2 } ) N, F 2 t = ( {Ø, Ω 1 } F ) t 2 N. Ezek alapvet en ugyanazt az információ mennyiséget hordozzák, mint az F 1 és az F 2. Lemma: 1. F1 és F 2 teljesítik a szokásos feltételeket. 2. F1 és F 2 függetlenek. 3. Az F = (F t ) 0 t T az F t = Ft 1 Ft 2 által defíniált ltráció teljesíti a szokásos feltéteteleket. Továbbá: F t = ( 1 F t F ) t 2 N.. Lemma: Tegyük fel, hogy X folytonos szemimartingál az ( Ω 1, F 1, F ) 1, P 1 téren, mely rendelkezik az X = X0 + M + Ā kanonikus felbontással. Ekkor X egy folytonos szemimartingál az (Ω, F, F, P ) téren az X = X 0 + M + A felbontással. Tétel: Legyen ˆP 1 és ˆP 2 a minimális és a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték X-hez, P pedig a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték X-hez. Ekkor 1. A ˆP minimális martingál mérték az X-hez a következ képpen írható: ˆP = ˆP1 P 2. 2. A P szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték az X-hez a következ képpen írható: P = P1 P 2. 28

Következmény: Tegyük fel, hogy ( X, F 1 ) -hez tartozó martingál mérték létezik és egyértelm. Ekkor P = ˆP. Mivel a két fajta kockázat független, ezért a a minimális és a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték nem függ az F 2 választásától az (Ω 2, F 2, P 2 ) téren. Ezért változtathatjuk az F 2 -et anélkül, hogy ez hatással lenne a két martingál mértékre, tehát a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték megegyezik az F 1 és az F alatt. 7.2. Az utolsó pillanatban érkez információ esete Ebben és a következ részben a H = c + H T 0 ϑh t dx T +N H részeinek meghatározásával foglalkozunk speciális esetekben. Tekintsük azt az F ( ) 2 2 = Ft ltrációt, ami a következ képpen van megadva: 0 t T {Ø, Ω F t 2 2 } t < T, = F 2 t = T. Ez annak felel meg, mintha a viszontbiztosító nem kapna információt a kockázatokról a [0, T ) id intervallumban. Ekkor a következ tételt fogalmazhatjuk meg a dekompozícióra: 7.2.1 Tétel: Tegyük fel, hogy F 2 az el z ekben magadott és hogy az ( X, F1 ) tér teljes. Ekkor H L 2 (P, F T ) esetén az H = c H + T 0 ϑh t dx T + N H megadható a következ képpen: N H = H E P ( H F 1 T ) = H EP ( H F 1 T ), és ϑ H meghatározható, mint E P ahol H 0 valamilyen konstans. ( H F 1 T ) = H0 + ˆT 0 ϑ H t dx t, 29

7.3. A független, folyamatosan növekv ismeretek esete Ezt az esetet egy példán keresztül vizsgáljuk meg. Legyen F 1 = F W (1) és F 2 = F W (2), ahol W (1) és W (2) független standard Wienerfolyamatok az (Ω, F) téren és tegyük fel, hogy X = W (1). Tekintsük a H-t a következ formában: H = ˆT 0 ˆT ϑ (2) t dw (1) t + 0 ϑ (1) t dw (2) t, ahol ϑ (i) F i -mérhet. A trivális estben vizsgáltakra a mostani megoldásunk a következ : N H = ˆT 0 ( ( ϑ (2) t E ϑ (2) t )) ˆT dw (1) t + 0 ϑ (1) t dw (2) t. 7.4. A kezdett l ismert biztosítási kockázat esete Ebben az esetben azt vizsgáljuk, amikor az F 2 az F t 2 = F 2, 0 t T által defíniált. Ebb l következik, hogy F t = Ft 1 FT 2. Tehát ez az az eset, amikor minden információ rendelkezésre áll a biztosítási kockázatokról már a 0 id pillanatban. 7.4.1 Tétel: Tegyük fel, hogy F 2 az el z ek alapján adott és hogy az ( X, ) F1 tér teljes. Ekkor a H L 2 (P, F T ) a következ egyértelm dekompozícióval felírható: ˆT H = H 0 + ϑ H t dx t, 0 ahol H0 L 2 (P, F 0 ) és ϑ H Θ (F). 30

8. A nem-hedzselhet rész változása Vezessük be az F 2,0 F 2 ltrációkat a biztosítási kockázathoz. Az pénzügyi piac F 1 ltrációját rögzítsük le és készítsük el a megfelel F 0 F ltrációt a szorzattéren. A D e ( F1 ) L 2 (P 1 ) /O feltevés garantálja, hogy a R + G T ( Θ (F) ) = { c + G T (ϑ) c R, ϑ Θ(F) } tér zárt az L 2 (P )-ben. A R + G T ( Θ (F 0 )) esetében hasonlót mondhatunk el. Ez garantálja a H = c H + T 0 ϑh t dx T + N H dekompozíció létezését az F 0 és az F ltrációk alatt. A következ lemma azt mutatja, hogy a nem-hedzselhet része az H igénynek (N H illetven H,0 ) n, amikor az F ltrációt kisebb F 0 ltrációra cseréljük. Lemma: Jelentse az N H és az N H,0 a nem-hedzselhet részét a H-nak az F illetve az F 0 ltrációk alatt. Ekkor D ( 2 N H,0) D ( 2 N H). 31

9. Határok a tiszta díjhoz Ebben a fejezetben megvizsgáljuk, hogy milyen intervallumban mozoghat a tiszta díj. Az el z szakasz eredményei alapján határokat határozhatunk meg a valós díjhoz a korábban említett pénzügyi árazási elveket gyelembe véve. Az el z szakaszban bevezetett szorzattéren vizsgálódunk. Az F 1 ltrációt lexáljuk. Azzal a feltevéssel élünk, hogy a pénzügyi piac teljes. Alsó és fels korlátot határozunk meg a díjhoz minden lehetséges ltrációra az (Ω 2, F 2 ) téren a biztosítási kockázathoz és bevezetünk egy minimális és egy maximális ltrációt a téren. A minimális ltráció esetében kapjuk meg a fels korlátot, ami megfelel annak, hogy a szerz dés eladója nem kap információt a biztosítási kockázatról, az alsó korlátot pedig úgy kapjuk, hogy az eladás pillanatában minden információ rendelkezésre áll. Az F 2 ltrációra az(ω 2, F 2 )-téren, ahol F 2 T = F 2, azt kapjuk, hogy Ḡ0 F 2 Ḡ, ahol Ḡ0 a triviális ltráció és a következ képpen van megadva: {Ø, Ω Ḡt 0 2 } = F 2 t < T t = T és ahol a Ḡ a Ḡt = F 2 minden t [0, T ]. Ḡ 0 a minimális ltráció az (Ω 2, F 2 )-en, amely teljesíti, hogy Ḡ0 T = F 2. Ḡ a maximális ltáció az (Ω 2, F 2 ) téren ahol Ḡ T = F 2. Vezessük be a megfelel teljes és jobbról foyltonos ltrációkat: G 0 := F 1 Ḡ0 és G := F 1 Ḡ. Az el z fejezet eredményeit felhasználva megkapjuk a fels határt a pénzügyi szórásnégyzet elvhez a G 0 minimális ltráción, az alsó határt pedig a G maximális ltráción. Használva a 7.2.1 tételt kapjuk, hogy a fels határ a valós díjhoz a szórásnégyzet elvvel a következ : v 1,max (H) = Ẽ (H) + ad2 ( H E ( H F 1 T = Ẽ (H) + ae ( D 2 ( H F 1 T )). Az alsó határ vizsgálatához meg kell jegyeznünk, hogy a 7.4.1 tételben szerepl (X, G) )) 32

teljes és így bármely H L 2 (P, F T )-hez létezik a következ dekompozíció: H = H 0 + ahol H0 = E [H G 0 ]. Ezt úgy írhatjuk, hogy ahol c H = Ẽ[H] és LH, P t H = c H + ˆT 0 ˆT 0 ϑ H t dx t, ϑ H H, P t dx t + LT, = Ẽ [H G0] Ẽ[H], t [0, T ]. Vezessük be a Z ( ) t = Ẽ D Ft jelölést, ahol D = d P. Emlékeztet ül megjegyezzük, hogy P a valószín ségi téren dp értelmezett mérték, P pedig a szórásnégyzet optimalizáló martingál mérték. További összefüggéseket használva megkaphatjuk, hogy az alsó határ a valós díjhoz a szórásnégyzet elv mellett a következ : v 1,min (H) = Ẽ (H) + a ) ( )D (Ẽ 2 (H G0 ). E Z2 T A standard szóráselvhez a megfelel határok a következ ek: ( ) v 2,max = Ẽ (H) + a D 2 ZT 1 E (D 2 (H FT 1)), a 2 ( ) v 2,min = Ẽ[H] + a D 2 ZT 1 a 2 D2 (Ẽ (H G0 )) ( ). E Z2 T Tétel: Tegyük fel, hogy a pénzügyi piac teljes és a D e ( F1 ) L 2 (P 1 ) /O teljesül. A H L 2 (P ) igényhez és az biztosítási kockácat F 2 ltrációjához a v i (H) valós díj teljesíti a v i,min (H) v i (H) v i,max (H) egyenl tlenséget, ahol i = 1, 2 lehet és v i,min és v i,max az el bb meghatározottak. 33

A biztosítási kockázat egy adott ltrációjához a dönt H = c H + T 0 ϑh t dx T + N H dekompozíció túl bonyolult lehet és nehéz kiszámolni a megfelel valós díjat. Az el z tétel fontos információkat nyújthat a valós díjról. Továbbá ezeket a határokat viszonylag egyszer módon ki lehet számolni, mivel csak várható értékeket és a szórásnégyzeteket tartalmaznak. Meghatározhatjuk a H = c H + T 0 ϑh t dx T + N H -ban szerepl ϑ H -folyamatot a minimális és a maximlis ltrációhoz abban az esetben, amikor ( ) a az igény a H = H (1) H (2) alakban van megadva, ahol H (1), H (2) L 2 (P ) L 2 P, H (1) FT 1 -mérhet, H (2) G 0 - mérhet. Mivel ( X, ) F1 teljes, H (1) = H (1) T 0 + 0 ξh(1) t dx t konstans H (1) 0 -lal el rejelezhet ξ H(1) folyamattal, ahol ξ H(1) dx egy négyzetesen integrálható P-martingál. A minimális ltrációra a kapottak alapján igaz, hogy ϑ H t ltrációra egy korábbi tétel alapján adódik, hogy ϑ H t = Ẽ ( H (2)) ξt H(1) = H (2) ξt H(1). és a maximális 34

10. Az információ változásának hatásai Gyakran használt feltevés a biztosítási veszteségek elemzése során, hogy a kárigények Poisson-folyamat szerint érkeznek. Ezt az analógiát követve megvizsgáljuk, hogy hogyan függ a biztosítási díj a kockázatról kapott információ mennyiségét l. Tekintsük a 2. fejezetben bevezetett Black-Scholes piacot, amely két eszközt tartalmaz, amiknek az értékfolyamata a következ képpen van megadva: B t = e rt r > 0, és ˆt ˆt S t = S 0 + µs u du + σs u dw u, 0 ahol S 0, µ R és σ (0, ). Vezessük be a ν = (µ r) /σ jelölést. Ezzel együtt tekintsünk egy λ-paraméter N t Poisson-folyamatot az (Ω 2, F 2, P 2 ) valószín ségi téren. N t leírja a biztosítási kárszámfolyamatot. A korábbi feltevésekkel összhangban most is függetlenek a pénzügyi és a biztosítási kockázatok. Feltételezzük, hogy F 2 t = F N t = σ {N u, u t} és továbbá hogy F 2 = F N T. Az N és az X folyamatokat a már deniált szorzattéren értelmezzük és deniálhatjuk az F 1 és F 2 ltrációkat. Most tekintsük kárigénynek a következ t: 0 H = N T X T ami jelentheti például, hogy a kárfolyamat ingadozásait, változásait is gyelembe vesszük, amit az X ír le. Négy különböz esetben vizsgáljuk a tiszta díjat és az optimális stratégiát a viszontbiztosító szemszögéb l. Mindegyik esetben a (Ω 2, F 2 ) térhez kapcsolódó egy-egy speciális ltrációt tekintünk, ami leírja a rendelkezésre álló információmennyiséget. 1. A triviális ltráció az F 2,0 = ( ) 2 F, ahol 2,0 t F 0 t T t = {Ø,Ω 2 }, 0 t T és F 2,0 T = F T N. Ez az az eset, amikor a viszontbiztosítónak nincs információja a Poisson-folyamatról a T id pont el tt. 35

2. Szakaszonként konstans ltráció F 2,p = ( 2,p F t )0 t T, ahol 2,0 F t = {Ø,Ω 2 }, 0 2,p t t 0, F t = F t N 2,p 0, t 0 t T és F T = F T N. Ekkor az információ egy x t 0 id pontban válik elérhet vé a [0, T ] id intervallumban. 3. Az F 2 = ( 2 F t ltrációt fentebb defíniáltuk, ez a természetes ltrációja az )0 t T N Poisson-folyamatnak. Ez azt jeneti, hogy a viszontbiztosító meggyeli a folyamatot a [0, T ] intervallumban. 4. F2,r = ( 2,r F t )0 t T ltráció, ahol 2,r F T = F T N, 0 t T, az az eset, amikor a viszontbiztosító már a szerz déskötéskor, a 0 id pillanatban tudja, hogy hogyan fog alakulni a Poisson-folyamat. A fenti négy esethez vezessük be szorzattéren a megfelel ltrációkat: F 0 = F 1 F 2,0, F p = F 1 F 2,p,F = F 1 F 2, F r = F 1 F 2,r. [ A könnyebb írásmód kedvéért használjuk a következ jelöléseket: Z = E d P 1 P1 dp 1 ζ = sup exp ( λdx ) e ν2t λ. F 1 ] és 1.eset: N (2),0 t := Ẽ ( N T F 0 t ) = λt t < T N T t = T ( J ) 0 F 0 = E ( ) XT 2 D 2 (N T ) = λt X0e 2 2(µ r)t +σ2 T amib l azt kapjuk, hogy a tiszta díj v1 0 (H) = λt X 0 + aλt X0e 2 2(µ r)t +σ2t. Az optimális stratégia a következ : ϑ t = λt + Z t λ t 2a. Az els része írja le a [0, T ] id intervallum alatt bekövetkez kárigények feltételes várható értékét, amikor nincs információ a bekövetkezésr l csak a T id pillanatban. A második rész a pénzügyi díjszámítási elvhez kapcsolódik. 36

2.eset: N (2),p t := Ẽ (N T F p t ) = λt t < t 0 N t0 + λ (T t 0 ) t 0 t < T t = T N T A tiszta díj: J 0 (F p ) = λt 0 X 2 0e ν(t t 0)+2(µ r)t 0 +σ 2 t 0 + λ (T t 0 ) X 2 0e 2(µ r)t +σ2 T ( ) v p 1 (H) = λt X 0 + a λt 0 X0e 2 ν(t t 0)+2(µ r)t 0 +σ 2 t 0 + λ (T t 0 ) X0e 2 2(µ r)t +σ2 T. Az optimális stratégia: λt + Z tλ t t t ϑ 2a 0 t = N t0 + λ (T t 0 ) ζx t0 (N t0 λt 0 ) + Z tλ t t 2a 0 < t < T. A t 0 id pontig a stratégia megegyezik azzal, amit az els esetben láttunk, majd a viszontbiztosító a kapott információnak megfelel en alakítja a stratégiáját. Az N t0 + λ (T t 0 ) a feltételes várható értéke a t 0 után bekövetkez károknak, X t0 (N t0 λt 0 ) a különbség a becslésben az N T X T -re vonatkozóan. 3.eset: N (2) t := Ẽ (N T F t ) = N t + λ (T t) = λt + N t λt A hedzselési hibára a következ t kapjuk: Ebb l a tiszta díj: J 0 (F) = λe ν2t X 2 0 1 ( ) e (ν2 +2(µ r)+σ 2 )T 1. ν 2 + 2 (α r) + σ 2 λe ν2t X 2 ( ) 0 v 1 (H) = λt X 0 + a e (ν2 +2(µ r)+σ 2 )T 1. ν 2 + 2 (µ r) + σ 2 37

Az optimális stratégia: ϑ t = N t + λ (T t) ζ t ˆt 0 Z s 1 X s dms u + Z t λ t 2a. Ebb l a N t + λ (T t) rész a tel tt bekövetkez károk számának feltételes várható értéke, az integrál pedig a változás a viszontbiztosító el rejelzésének a változása a károk várható értékében. 4.eset: A hedzselési hiba: A tiszta díj így: N (2),r t := Ẽ (N T F r t ) = N T. J 0 (F r ) = e ν2t X 2 0λT, v r 1 (H) = λt X 0 + ae ν2t X 2 0λT. Az optimális stratégia: ϑ t = N T ζ Z 1 0 X 0 (N T λt ) + Z t λ t 2a. Az els rész, N T a Poisson-folyamat értéke a T id pillanatban, a második rész a viszontbiztosító becslése az N T X T -re a kezdeti id pont el tti és a 0 id ponti érték közötti különbség. A következ ábrákon láthatjuk, hogy hogyan változik a hedzselési hiba a volatilitás függvényében a négy esetre. 38

1. ábra: Hedzselési hiba változása a volatilitás függvényében Az el z eredmények alapján számolhatunk hedzselési hibát és árat a négy különböz esetre. A következ táblázatok összefoglalják, hogy milyen feltételezésekkel éltem a számítások során. A bal oldali táblázat értékeit a felhasznál cikk alapján választottam, a jobb oldaliban a ν értékeit számoltam. 39

σ 1 0,15 ν 1 0,267 σ 2 0,25 ν 2 0,160 T 1 λ 1 X 0 1 µ 0,1 r 0,06 σ 3 0,35 ν 3 0,114 σ 4 0,45 ν 4 0,089 σ 5 0,55 ν 5 0,073 σ 6 0,65 ν 6 0,062 σ 7 0,75 ν 7 0,053 2. táblázat: A számításhoz szükséges változók értékei σ 8 0,85 ν 8 0,047 σ 9 0,95 ν 9 0,042 t 0 = 0, 5 és a = 0, 25 J 0 (F 0 ) v 0 1 (H) J 0 (F p ) v p 1 (H) J 0 (F) v 1 (H) J 0 (F r ) v r 1 (H) 1 1,1079 1,2770 1,0619 1,2655 1,0171 1,2543 0,9314 1,2328 2 1,1532 1,2883 1,1067 1,2767 1,0614 1,2654 0,9747 1,2437 3 1,2245 1,3061 1,1619 1,2905 1,1015 1,2754 0,9870 1,2468 4 1,3264 1,3316 1,2368 1,3092 1,1512 1,2878 0,9921 1,2480 5 1,4659 1,3665 1,3368 1,3342 1,2151 1,3038 0,9947 1,2487 6 1,6528 1,4132 1,4680 1,3670 1,2969 1,3242 0,9962 1,2491 7 1,9012 1,4753 1,6391 1,4098 1,4009 1,3502 0,9972 1,2493 8 2,2311 1,5578 1,8616 1,4654 1,5326 1,3832 0,9978 1,2494 9 2,6711 1,6678 2,1520 1,5380 1,6996 1,4249 0,9982 1,2496 3. táblázat: A számítás eredményei 1. A táblázatban összefoglaltam a különböz hedzselési hibákat és a hozzájuk tartozó árakat a volatilitás változása mellett. Látható a táblázatban, hogy a kevesebb információ magasabb díjhoz vezet, azaz minél kevesebbet tud a viszontbiztosító a biztosítási kockázatról, annál magasabb díjat határoz meg. Ugyanez a helyzet a hedzselési hibával is. 40

t 0 = 0, 5 és a = 0, 5 J 0 (F 0 ) v 0 1 (H) J 0 (F p ) v p 1 (H) J 0 (F) v 1 (H) J 0 (F r ) v r 1 (H) 1 1,1079 1,5540 1,0619 1,5309 1,0171 1,5085 0,9314 1,4657 2 1,1532 1,5766 1,1067 1,5533 1,0614 1,5307 0,9747 1,4874 3 1,2245 1,6122 1,1619 1,5810 1,1015 1,5507 0,9870 1,4935 4 1,3264 1,6632 1,2368 1,6184 1,1512 1,5756 0,9921 1,4961 5 1,4659 1,7330 1,3368 1,6684 1,2151 1,6076 0,9947 1,4974 6 1,6528 1,8264 1,4680 1,7340 1,2969 1,6485 0,9962 1,4981 7 1,9012 1,9506 1,6391 1,8195 1,4009 1,7005 0,9972 1,4986 8 2,2311 2,1156 1,8616 1,9308 1,5326 1,7663 0,9978 1,4989 9 2,6711 2,3356 2,1520 2,0760 1,6996 1,8498 0,9982 1,4991 4. táblázat: A számítás eredményei 2. Az els táblázathoz képest megváltozott a biztonsági ráhagyás, az a értéke, mely 0,25-r l 0,5-re emelkedett, tehát a biztosító biztonságosabb üzletpolitikát folytat. A megnövekedett biztonsági ráhagyás megnövekelte az árak értékeit, ezeket pirossal jelöltem. t 0 = 0, 75 és a = 0, 25 J 0 (F 0 ) v 0 1 (H) J 0 (F p ) v p 1 (H) J 0 (F) v 1 (H) J 0 (F r ) v r 1 (H) 1 1,1079 1,2770 1,0726 1,2682 1,0171 1,2543 0,9314 1,2328 2 1,1532 1,2883 1,1176 1,2794 1,0614 1,2654 0,9747 1,2437 3 1,2245 1,3061 1,1763 1,2941 1,1015 1,2754 0,9870 1,2468 4 1,3264 1,3316 1,2568 1,3142 1,1512 1,2878 0,9921 1,2480 5 1,4659 1,3665 1,3644 1,3411 1,2151 1,3038 0,9947 1,2487 6 1,6528 1,4132 1,5055 1,3764 1,2969 1,3242 0,9962 1,2491 7 1,9012 1,4753 1,6888 1,4222 1,4009 1,3502 0,9972 1,2493 8 2,2311 1,5578 1,9262 1,4815 1,5326 1,3832 0,9978 1,2494 9 2,6711 1,6678 2,2341 1,5585 1,6996 1,4249 0,9982 1,2496 5. táblázat: A számítás eredményei 3. 41

Az els táblázathoz képest megváltozott az információ átadásának az id pontja, a t 0 értéke. Ez a különbség a J 0 (F p ) hedzselési hiba és a hozzá tartozó ár, v p 1 (H) értékében jelent változzást. Ezeket zöld színnel jelöltem. Ebben a két oszlopban szerepl értékek megnövekedtek, tehát valóban számít az is, hogy az id intervallumon belül mikor kapjuk az információt a biztosítási kockázatról. t 0 = 0, 75 és a = 0, 5 J 0 (F 0 ) v 0 1 (H) J 0 (F p ) v p 1 (H) J 0 (F) v 1 (H) J 0 (F r ) v r 1 (H) 1 1,1079 1,5540 1,0726 1,5363 1,0171 1,5085 0,9314 1,4657 2 1,1532 1,5766 1,1176 1,5588 1,0614 1,5307 0,9747 1,4874 3 1,2245 1,6122 1,1763 1,5881 1,1015 1,5507 0,9870 1,4935 4 1,3264 1,6632 1,2568 1,6284 1,1512 1,5756 0,9921 1,4961 5 1,4659 1,7330 1,3644 1,6822 1,2151 1,6076 0,9947 1,4974 6 1,6528 1,8264 1,5055 1,7527 1,2969 1,6485 0,9962 1,4981 7 1,9012 1,9506 1,6888 1,8444 1,4009 1,7005 0,9972 1,4986 8 2,2311 2,1156 1,9262 1,9631 1,5326 1,7663 0,9978 1,4989 9 2,6711 2,3356 2,2341 2,1171 1,6996 1,8498 0,9982 1,4991 6. táblázat: A számítás eredményie 4. Az els táblázathoz képest megváltozott az információ átadásának id pontja, t 0 és megváltozott a biztonsági ráhagyás is, a. Ez az els táblázathoz képest a színes részekben jelent különbséget. A különbözö színek az eddigi táblázatoknak megfelel en lettek beállítva, az azonos értékek azonos színeket kaptak. A v p 1 (H) oszlop az egyetlen olyan, amelynek értékei még egyik táblázatban sem szerepelnek, ezek kék színnel íródtak. 42