KÉN (S) megnevezése a nyelvújíás idején is kevese válozo, ez megelôzôen Zay büdöskônek is neveze 1791 (Zay: Mineralógia), Kovás is így emlíi 1822 (Kovás: Ásványnévár); a nyelvújíás idején kénô 1829 (Schuser: Gyógyszeres) és kéneny 1844 (Schirkhuber: Természean 1 kiad) Czuczor Fogarasinál kéneny, de megengedi a kén használaá is: Minhogy a köz éleben is divaos szép rövid neve van (kén), és o maga ezen elemi es is iszán eléfordúl, az eny végzee nem arjuk szükségesnek KLÓR (Cl) elem volá csak 1810-ben állapíoák meg, de magá a klór 1774 óa ismerik; régi elnevezései: sósavany, klorina, zöldellô; az 1829-es szöveggyûjeményben chlor 1829 (Lánghy Lencsés); a nyelvújíásban Schusernél zöldlô 1829 (Schuser: Gyógyszeres), Irinyinél halvany 1842 (Irinyi: Vegyelemek), Schirkhubernél zöldeny 1844 (Schirkhuber: Természean 1 kiad) Czuczor Fogarasinál halvany, mer a szerves anyagokra halványió haása van KOBALT (Co) a régebbi szakmunkákban kobalkén, kobolkén, koboldkén használák, Kovásnál kisére 1822 (Kovás: Ásványnévár) A nyelvújíás idején banyany 1829 (Schuser: Gyógyszeres), kékeny 1842 (Irinyi: Vegyelemek), Jedliknél is 1850 (Jedlik: Természean) Bugánál büveny 1843 (Bugá: Szóhalmaz); Kovás nál késôbb: érczaró 1845/47 (Kovás: Háromnyelvû) Czuczor Fogarasinál büveny vagy bûveny KRÓM (Cr) 1797-ben állíoák elô elôször, így már a korai hazai kémiákban jogosan emlíik elemkén Geley még a lain megnevezés használa chromium 1811 (Geley: Ásványok), és ez használja Pehe is 1815 (Pehe: Kímia) A nyelvújíás idején fesany 1829 (Schuser: Gyógyszeres), Irinyinél feseny 1842 (Irinyi: Vegyelemek), Schirkhubernél fösény 1844 (Schirkhuber: Természean 1 kiad) Kerekes a kéziraában a króm megjelölés 1833 használja (Kerekes: Chemia) Czuczor Fogarasinál még mindig feseny A FIZIKA TANÍTÁSA LUCKY LUKE AZ EMBER, AKI GYORSABBAN LÔ, MINT AZ ÁRNYÉKA Bokor Nándor BME Fizika Tanszék A relaiviáselméle igazán szórakozaó, de elôfordul, hogy nem sikerül minden diáko meggyôznünk errôl Ilyenkor szokak segíeni a relaiviszikus paradoonok, amelyek sarkos megfogalmazásukkal és lászólagos képelenségükkel szine mindig felkelik az érdeklôdés Ráadásul olyan szemponból is felbecsülheelen a pedagógiai érékük, hogy szine kikényszeríik, hogy alaposabban uánagondoljunk, és ezálal jobban megérsünk egyes jelenségeke E cikk végén is szerepel egy nevezees relaiviszikus paradoon, az írás egésze viszon inkább arra példa, hogy idônkén a populáris kulúra valamely alkoásá is meglepôen sokoldalúan fel lehe használni a aníásban Az alábbiakban ulajdonképpen egyelen áralannak(?) hangzó mondaról és az ez illuszráló rajzról lesz szó, mégis a relaiviáselméle olyan szereágazó kulcsfogalmai, illeve jelenségei lehe szemléleesen diszkuálni a segíségével, min az esemény, a éridô-diagram, a éridô-inervallum, a kauzaliás, a gyorsuló és inerciarendszerek, az ekvivalencia-elv, a graviációs kék- vagy vöröselolódás, vagy a achyon-anielefon paradoon a Morris Goscinny szerzôpáros zseniális képregénysorozaának emblemaikus fôhôse Hidegvérû és nemeslelkû cowboy, akiôl a Vadnyuga minden gonoszevôje reeg, hiszen, min a soroza moója hirdei: az ember, aki gyorsabban lô, min az a A képregényfüzeek hásó boríójára rendszeresen felkerül a frappáns monda, valamin az illuszrálására szolgáló rajz, amelyen álövi a sajá á, még mielô az elôkapná a piszolyá (1 ábra) Gondolkozzunk el a nevezees moó jelenésén, fizikai aralmán Az alábbiakban három leheséges inerpreáció sorolok fel, a segíségükkel árgyalhaó relaiviszikus fogalmakkal együ A cikkben mindvé- 1 ábra 382 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 11
2 ábra gig feléelezem, hogy legfeljebb rendkívüli képességekkel rendelkezô ember, de a ermésze ismer örvényei rá is vonakoznak 1 inerpreáció esemény, éridô-diagram, szerû inervallum, kauzaliás Egy piszolylövés: esemény, a éridô jól definiál ponja, amelye valamely koordináarendszerben 4 szám ír le (három érszerû és egy idôszerû koordináaérék) Gyors vagy lassú viszon csak valamilyen folyama lehe, amelynek idôbeli lefolyása van Az elsô gondolaunk ehá, hogy a mondanak szigorúan véve nincs is érelme, hiszen egyelen esemény gyorsaságáról beszél Elsô inerpreációnk szerin a szerzôk alán arra gondolak: nem mozog egy üemben az ával, minden elôbb csinál, például piszolyá is elôbb süi el, min az a Ez azonban nem rendkívüli eljesímény, mindenki elôbb csinál minden mozdulao, min az a, hiszen a nek idôbe elik, amire az illeôôl az ig ér Tanulságos ez éridô-diagramon ábrázolni (2 ábra) Az origón ámenô függôleges egyenes világvonala, a ôle jobbra levô függôleges egyenes pedig az áé A lô és az lô eseménypár szerû éridô-inervallum válaszja el, és kauzaliási (ok-okoza) viszony áll fenn közük: kezének mozgása okozza az kezének mozgásá, az információ hordozója pedig a A kauzaliási kapcsola az is jeleni, hogy a ké esemény sorrendje invariáns, bármilyen szinkronizál órákkal felszerelkeze inerciarendszerbeli megfigyelô lövésé méri korábbinak, az é késôbbinek Összefoglalva: ha az elsô inerpreáció igaz, Lucky Luke eljesíményében nincs semmi rendkívüli 2 inerpreáció gyorsuló vonakozaási rendszerek és inerciarendszerek, ekvivalencia-elv, graviációs vöröselolódás Leheséges, hogy a szerzôk egy mozdulasor sebességére ualak: (1) elôránja a fegyver, (2) üzel Második inerpreációnk szerin ehá a moó az jeleni: a ké mozdula közö elel idôaram ( hibálan karórájának mérése szerin) kisebb, min az megfelelô ké mozdulaa közö elel idôaram (az helyén levô, ökéleesen azonos karóra mérése szerin) De ez nem így van, a ké mér idôaram ponosan megegyezik, min a 3 ábra muaja: Δ LL = Δ a Illeve várjunk csak! Mindeddig feléelezük, hogy (és az a) sík éridôben, azon belül is inerciarendszerben nyugszik Ez azonban nem igaz, a cowboy a Föld graviációs erében áll Nézzük elôször az az esee, amikor keze és kezének a azonos magasságban van a földfelszín fele (1 ábra) Ez a helyze szigorúan eljesül például napnyuga idején egy ado pillanaban A Föld forgásából ezzel a Nap relaív helyzeének válozásából adódóan az ugyan folyamaosan vándorol, de ez az mozgás elhanyagoljuk az ala a rövid idôaram ala, amely a fegyver elôránása, illeve az elsüés információjának az hoz való megérkezése közö elelik A Föld körüli éridô geomeriájának leírásakor is elekinünk a Föld forgásáól Ekkor a, az a és a Föld középponja álal meghaározo síkban a éridô leírására a Schwarzschild-merika használhaó, amelye mos a konkré algebrai alak mellôzésével egyszerûen ilyen alakban írunk: erán dτ 2 = A(r)dT 2 B(r)dr 2 D(r)dϕ 2, ahol dt, dr és dϕ ké infiniezimálisan közeli esemény Schwarzschild-koordináákban megado koordináakülönbségei, dτ pedig a ké esemény közöi idôar- 3 ábra D a erán (1) A FIZIKA TANÍTÁSA 383
y sugár hoz képes) Kulcsmomenum, hogy mivel az E(y), F(y)ésG(y) együhaók nem függnek a T-koordinááól, az 5 ábra éridô-diagramján a ké sugár világvonala párhuzamos Ebbôl adódik, hogy Δ T LL = Δ T a (4) 4 ábra am egy olyan órán, amely mindké eseménynél jelen vol Fonos hangsúlyozni, hogy az (1) egyenle jobb oldalán szereplô T, r és ϕ szimbólumok csupán a éridô leírására szolgáló globális koordinááka jelölnek, mérheô mennyiségeknek közvelenül megfeleleni ôke legfeljebb vélelenül lehe (mos vélelenül ényleg lehe, nagyjából olyan módon, ami a beûk sejenek, de ennek részleei számunkra i nem érdekesek) A bal oldalon levô τ viszon ényleges fizikai realiással bíró mennyiség További egyszerûsíésre ad leheôsége, ha a Lucky Luke és az a közöi ávolságon a Föld görbülee elhanyagolhaó, ami prakikus eseekben eljesül Ekkor a graviációs ere homogénnek ekinhejük, és a gömbszimmerikus (1) merika helye a éridô geomeriájá az ado síkban álalánosan dτ 2 = E(y)dT 2 F(y)d 2 G(y)dy 2 (2) alakú egyenleel írhajuk le, ahol az és y koordináák jelenése a 4 ábráról leolvashaó Fonos megfigyelni, hogy a (2) egyenleben az E (y), F (y )ésg(y ) együhaók (az úgyneveze merikus enzor (T,,y) koordináarendszerben felír komponensei) nem függenek sem a T -, sem az -koordinááól Az is lényeges megjegyezni, hogy min a 4 ábra muaja -o és á nyugvónak (állandó -és y -koordináákkal rendelkezônek) feléelezzük, ráadásul y -koordináájuk azonos: y LL = y a (3) Ugyanakkor, mivel a kéz és a kéz a ugyanazzal az y -koordináával rendelkezik, az elôkap lô eseménypárok közöi ΔT koordináakülönbségek a kéz és az eseében ugyanazzal az E (y) ényezôvel konverálódnak sajáidôvé Nézzük ez kicsi formálisabban A (2)-bôl adódik, hogy ennyire lô gyorsan (a sajá órája szerin): T = E y LL Δ T LL, az pedig ennyire (az helyére képzel óra mérése szerin): Δτ a = E y a Δ T a 5 ábra (5) Az uóbbi ké összefüggésbôl, (3) és (4) behelyeesíésével kapjuk, hogy = Δτ a (6) (7) Ha ehá a 2 inerpreáció igaz, akkor akármilyen ügyes is, naplemenekor ponosan olyan gyorsan lô, min az a Nézzük mos az az esee, amikor éppen délben gyakorolja udományá, és az algebrai egyszerûség kedvéér együk fel, hogy a Nap ponosan a feje fölül sü (Ez a helyze például, ha a nyári napforduló napján áruccan Meikóba, és épp a rákéríô szélességi körén arózkodik) Az alábbiakban láni fogjuk, hogy ez az ese a graviációs kékelolódás (illeve a sugarak irányának megfordíásával Még ha a Föld graviációs mezejé homogénnek (és ezzel a kérdéses éridôaromány síknak) is ekinhejük, a cowboy akkor sem inerciarendszerben nyugszik: a földfelszínhez képesi gyorsulása zérus, holo lábaiban érzi a alaj nyomóerejé A ényre, hogy az (,y) vonakozaási rendszer nem inerciarendszer, a 4 ábrán az ual, hogy a kezé és annak á összeköô sugár enyhén görbülre van rajzolva (Megjegyzés: e sugár görbülsége még nem jeleni a éridô görbüleé [1]!) Az 5 ábra a kérdéses eseménysor muaja egy háromdimenziós (T,, y) éridô-diagramon Az ábrán kezének és a kéz ának világvonalá egy-egy függôleges egyenes muaja, = 0, illeve = l egyenleel (Min fen emlíeem, az valójában lassan vándorol, de az 5 ábra idôskáláján ez csak észreveheelen görbülee okoz a függôleges világvonal- y erán DT LL DT a erán 384 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 11
y y a=g y LL sugár y a sugár 6 ábra 7 ábra a graviációs vöröselolódás) egyszerû és szemlélees árgyalására ad leheôsége Ki fog derülni, hogy az ekkor gyorsabban mozog, min A (3) helye mos az és LL = a y LL > y a (8) (9) összefüggések eljesülnek (6 ábra) Az ekvivalencia-elv szerin a homogén graviációs érben nyugvó -o ábrázoló 6 ábra fizikai viszonyai ponosan megegyeznek egy olyan ûrhajóban uralkodó fizikai körülményekkel, amely minden égiesôl ávol, inerciarendszerbôl nézve gyorsulva mozog a 7 ábra szerini irányban (Ekkor a Napból érkezô az ûrhajós feje fölö levô lámpa e helyeesíi) A 7 ábra kényelmesen végiggondolhaó, inerciarendszerbeli nézôpono mua Az ehhez arozó (pedagógiai okból erôsen orzío) éridô-diagram a 8 ábrán láhaó Az állandó gyorsulás mia kezének és a kéz ának világvonala ké párhuzamos hiperbola A 8 ábra azon inerciarendszer nézôponjá muaja, amelyben a piszoly elôránásának pillanaában éppen áll Az ábráról leolvashaó, hogy Δ LL > Δ a > Δτ a (10) Az elsô közelíô egyenlôség azér írhaó fel, mer a piszoly elôránása és elsüése közö a cowboy kezének a világvonala még jó közelíéssel függôleges A második reláció az ábra -engelyérôl közvelenül leolvashaó, a harmadik pedig az idôdilaáció mia eljesül A (10) bal és jobb oldalá összeveve ehá adódik, hogy 8 ábra > Δτ a (11) D a D a erán A (11) összefüggés nem más, min a graviációs kékelolódás olyan sugarakra, amelyek a graviációs ér iránya felé haladnak (A 8 ábrához hasonló éridô-diagram felvázolásával, eljesen analóg módon illuszrálhaó a graviációs vöröselolódás jelensége olyan sugarakra, amelyek a graviációs érrel szemben haladnak) Összefoglalva, ha a második inerpreáció fogadjuk el, akkor a címben szereplô állíás álalában nem igaz: a déli órákban például kifejezeen lassabban lô, min az a (Természeesen az effekus nagyon kicsi Ké méer magas cowboy- feléelezve y LL y a 1 méer, és a ké idôaram arányára, i nem részleeze számíás uán erán y Δτ a 1 g y LL y a c 2 1 10 16 adódik) A FIZIKA TANÍTÁSA 385
3 inerpreáció achyon-anielefon Végül dönheünk úgy is, hogy a gyorsabban lô, min az a kijelenés egyszerûen az 1 ábra szöveges megfogalmazásakén fogjuk fel Ekkor ehá a feladaunk nem más, min az ábra fizikai aralmá érelmezni A képen láhaó, hogy a cowboy a már á van lyukaszva, amikor az még elô sem ránoa a piszoly Rövid kiérô Mos nem kell örôdnünk az olyan bonyodalmakkal, min például, hogy az 1 ábra volaképpen egy ado pillanaban eponál kép, kövekezésképpen a különbözô részein rögzíe események nem egyidejûek, mer a jelene egyes részei más-más ávolságra volak a képezôgép lencséjéôl Számunkra mos csak az a fonos, hogy az on o lászik a golyó üöe lyuk, miközben az még nem nyúl a fegyverhez Mivel ké olyan esemény hasonlíunk össze, amelyek azonos objekumon örének, sorrendjüke helyesen ükrözi a képen muao lávány: elôbb üö a golyó lyuka az on, és azuán ránoa elô a fegyver az, a kép pedig a ké esemény közöi pillanao rögzíi az helyén (ez a pillanao * -gal jelölem a 9 ábra éridô-diagramján) Nézzük, kövekezik-e mindebbôl, hogy mozgása ermészefeleien gyors A 9 ábra éridôdiagramjáról leolvashaó, hogy bizony kövekezik (Mielô ovábbmennénk, egy megjegyzés: az egyszerûség kedvéér a 2 3 ábrákhoz hasonlóan mos inerciarendszernek ekinjük nyugalmi vonakozaási rendszeré, ehá a graviációól elekinünk Az i árgyal folyamaok a piszoly elôránása, elsüése, a repülése nagyon gyorsan lezajlanak Amikor mozgásának ügyességé, vagy a repülésének gyorsaságá elemezzük, akkor ponosan ugyanazon okból ekinheünk el a graviációól, amiér egy részecskegyorsíóban lezajló üközési folyamaok elemzésekor sem kell a Föld graviációs eré figyelembe venni) A 9 ábrából ké érdekes kövekezeés olvashaó le: 1 Aközö, hogy elôránoa a piszolyá és hogy elsüöe, kevesebb idônek kelle elelnie, min ami ala a eljuo -ól a ôle l ávolságra levô ig: hiszen min az ábrából leolvashaó még a szigorúbb Δ LL Δ LL < l c, Δ p < l c (12) (13) feléel is eljesül, ahol Δ p a repülési idôarama A (12)-bôl láhajuk, hogy valóban ördögien bánik a fegyverrel Ha l = 3 m (ez körülbelül megfelel az 1 ábrának), akkor a mozdulasor elvégzéséhez sajá óráján mérve kevesebb min 10 ns-ra vol szüksége! Bûnözô legyen a alpán, aki ez uánacsinálja erán l 9 ábra erán kilyukad D p * kép 2 A golyó gyorsabban ér oda az hoz, min az a (sebességgel közlekedô) információ, hogy elôránoa a piszolyá (Ez nem csak a 9 ábrából lászik, hanem a (13) összefüggésbôl, illeve magából az 1 ábrából is) fegyvere ehá alán még magánál a cowboy-nál is rendkívülibb képességekkel rendelkezik: a belôle kilô lövedék a nél gyorsabban repül, azaz achyon I már komoly ellenmondásokba üközünk a ermésze eddig apaszal örvényeivel, ehá aki eseleg eddig el is hie a képregény szerzôinek állíásá, mos már joggal gyanakodha A nél gyorsabban haladó részecské deekálni még senkinek sem sikerül, és magának a deekálásnak a kérdése is komoly logikai aggályoka ve fel [2]) A achyon léezése ennek ellenére önmagában még nem mond ellen kipróbál ermészei örvényeinknek, feléve, hogy eljesí ké feléel: (1) az ilyen részecskének állandóan a nél gyorsabban kell haladnia, nem lassulha sebesség alá, illeve nem lehe, hogy sebesség alól gyorsíouk a fölé; (2) az ilyen részecske nem használhaó kommunikációra, nem közveíhe információ (a achyon segíségével való kommunikáció ugyanis logikai paradoonhoz veze, lásd alább) állíólagos achyon-jára egyik feni feléel sem eljesül: (1) A golyó mind a kilövés elô, mind a becsapódás uán nyugalomban van, ehá repülés közben oda-vissza álépi a sebessége (2) A cowboy a lövéssel igenis kommunikál Valaki val meglôni az információközlés markáns (és álalában elíélendô) módja Kövekezeésünk ehá az, hogy az 1 ábra olyan achyon-részecske léé feléelezi, amely a kipróbál ermészei örvényeknek ellenmond Végül nézzük, miér kell egy achyonnak a (2) feléel eljesíenie, miér veze logikai ellenmondáshoz a kauzaliás megséréséhez egy olyan infor- 386 FIZIKAI SZEMLE 2014 / 11
A () C (vissza) B (elalálják) A () ( ez mos miér kapam?! ) D C (vissza) B (elalálják) Joe Dalon Joe Dalon 10 ábra 11 ábra mációközlô rendszer, amely achyonoka használ üzeneek ovábbíására! Mielô ovábbmegyünk, emlékezessük magunka, hogy ha egy achyon-forrás nyugszik egy inerciarendszerben, akkor milyen szabály szerin kell a belôle kilô achyon világvonalá berajzolni az ado inerciarendszer éridô-diagramjába (9 ábra): jobbra haladó achyon egy 0 és 45 közöi dôlésszögû (poziív meredekségû) egyenes, balra haladó achyon pedig egy 135 és 180 közöi dôlésszögû (negaív meredekségû) egyenes reprezenál Mos pedig ismerkedjünk meg Joe Dalonnal, Lucky Luke kegyelen ôsellenségével Keejük képzelebeli összecsapásá mesélik el a 10 és 11 ábrák éridôdiagramjai A öréne elején a ké szereplô egymásól ado ávolságra áll az -engely menén Joe Dalonnak is van egy achyon-piszolya, és a = 0 pillanaban használja is (A esemény) A achyon-golyó sebesen repül felé, és hamarosan el is alálja (B esemény) A képregény-soroza szellemiségével összhangban a cowboy nem sebesül meg, mondjuk mer a zsebében levô limonádés flaskába fúródik a golyó A lökés ereje mindenesere jobbra aszíja -o, aki rövid gyorsulási szakasz uán állandó sebességgel repül jobbra a levegôben Ezen állandó sebességû mozgásszakasz elején a cowboy sajá achyon-piszolyával visszalô a legidôsebb Dalon-fivérre (C esemény) Eddig a 10 ábrán köveük az eseményeke Mos hogy a fegyverébôl kilô golyó bizosan a feni elvünkkel konziszensen udjuk ábrázolni érjünk á a jobbra repülô cowboy (, ) nyugalmi inerciarendszerére Ez a nézôpono a 11 ábra éridô-diagramja muaja (ebbe halványan a korábbi A és B események is be vannak rajzolva, a Lorenzranszformációnak megfelelô ponokba) A Joe Dalon agressziójára válaszul kilô a D eseményben alálja el, és eszi mûködésképelenné(!) a Dalon kezében levô achyon-piszoly Ez igazi logikai ellenmondáshoz, a kauzaliás sérüléséhez veze A örénebôl láhauk, hogy az A, B, C és D események (ilyen sorrendben) ok-okoza láncolao alkonak Ugyanakkor a 11 ábrán lászik, hogy a D esemény elôbb örénik Joe Dalon világvonalán, min az A esemény (idôszerû világvonalra felfûzö ké eseményrôl van szó, amelyek sorrendje ehá minden megfigyelô szerin D A) Nem csoda, hogy a -ól érkezô fenyíés Dalon nem udja érelmezni Miér eék önkre a fegyveré, amikor még eszébe sem juo használni? Másfelôl: a fegyveré éppen azér eék önkre, mer használa (viszon nem használhaa, mer addigra önkreeék sb) E híres relaiviszikus paradoon ismer megfogalmazásában vadnyugai párbaj helye az információáviel achyonokkal megvalósíó elefon szerepel A hagyományos achyon-anielefon paradoon [2] elnevezés arra ual, hogy ilyen eszközzel üzeneeke lehene küldeni a múlba, márpedig ez (min a feni példa illuszrála) sérhei a kauzaliás A paradoon legkézenfekvôbb feloldásának az ûnik, ha elfogadjuk, hogy a ermésze nem engedi a achyonoka (ha egyálalán léeznek) információszállíásra használni A öréneek állandó moívumai közö más olyanok is vannak, amelyekhez hasonlóval a való éleben nemigen alálkozhaunk Ilyen a fôhôs lova és igazi szellemi ársa, a legalább emberi inelligenciával megáldo Jolly Jumper; vagy a börön kivéelesen bua, de gondolaai azér kerek mondaokban megfogalmazó kuyája, Rananplan Az 1 ábra annyiban kivéel, hogy logikai képelensége aralmaz Mégis helyénvalónak lászik, hogy a rajongók fejében épp ez a rajz képviseli, szine ikonikus módon, az egész képelen, szellemes és szórakozaó képregényfolyamo Irodalom 1 Bokor N: A graviációról II, Fiz Szemle 64/6 (2014), 198 203 2 G A Benford, D L Book, W A Newcomb: The Tachyonic Anielephone Phys Rev D 2/2 (1970), 263 265 A FIZIKA TANÍTÁSA 387