Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr.

Szolnok Tudományos Közlemények XI. Szolnok, 2007. Dr. MADARAS LÁSZLÓNÉ Dr. AZ OPTIMALIZÁLÁS ELMÉLETÉNEK EGYIK MAGYAR GYÖNGYSZEME Előadásukkal a 160 éve született Farkas Gyula (1847-1930) akadémkus, vlághírű magyar elmélet fzka professzor matematka munkásságát és annak jelentőségét elsősorban az optmalzáláselméletben kmutatható jelentősége alapján kívánjuk méltatn. A tudományban gyakran előfordul, hogy az adott kor, amelyben egy-egy kutató dolgozk még nem érett meg teljesen arra, hogy a kutatás eredményeket a jelentőségüknek megfelelően értékelje. Így a korábban megfogalmazott tételek később új megvlágításba kerülve más, esetenként sokkal nagyobb jelentőséget kaphatnak. Az operácókutatás ma szntjén Farkas Gyula 1901-ben publkált 1, a lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tételének az optmalzálás-elmélet kalakulása után jóval nagyobb jelentőséget tulajdonítunk, mnt ahogyan az életében megítélhető volt. A 20. században a különféle vállalatok, ntézmények mérete, bonyolultsága órás mértékben megnövekedett. A bonyolultság és szakosodás növekedésével szükségessé vált a rendelkezésre álló erőforrások különböző tevékenységek között lehető leghatékonyabb szétosztása, s az egyes tevékenységek céljanak összehangolása a vállalat egészének céljaval. Így egyre gyakrabban került előtérbe a tudományos megközelítés alkalmazása a vállalatok, ntézmények vezetésében. Azért, hogy mnél objektívebb, megalapozottabb döntések születhessenek az egyre szerteágazóbb, összetettebb feladatok megoldására, kalakult az optmalzálás-elmélet. A különböző döntéselőkészítések kapcsán az adott probléma gazdaság modelljéből kndulva, annak matematka modelljét felállítva, az optmalzálás probléma számítógépes megoldása megadja a lehetséges optmáls megoldást (megoldásokat). A kalakuló új tudományterület, az operácókutatás a gyakorlat életben előforduló összetett rendszerek modellezésével, a korlátozottan rendelkezésre álló különböző erőforrások 1 [3] 1

szétosztásával és az ezekhez kapcsolódó döntések meghozatalával foglalkozó elmélet. Célja tehát a vezető döntéshozatal objektív megalapozása. Az operácókutatás gyors fejlődését sokan a másodk vlágháborúhoz kötk, amkor különösen fontossá vált a katona erőforrásoknak különféle had műveletek, másrészt e műveleteken belül tevékenységek között hatékony szétosztása. Az ezen a területen folyt kutatás eredmények egyk fontos eredménye a lneárs programozás feladatok megoldására szolgáló ún. szmplex módszer kdolgozása, amely George Dantzg (1947) nevéhez fűződk. Az operácókutatás gyors fejlődését az elektronkus dgtáls számítógépek létrejöttének (1946) s köszönhetjük. Az említett bonyolult problémák nagy mennységű számítása ugyans csak az embernél ezerszer, esetenként akár mllószor gyorsabban elvégzett artmetka műveletek segítségével történhettek. A nemlneárs programozás elnevezés Kuhn és Tucker 1950-ben publkált 2 ckkétől számítódk, melyben az optmalzálás szükséges feltételet fogalmazták meg. Farkas Gyula 1901- ben megjelent homogén, lneárs egyenlőtlenségrendszerekre vonatkozó tétele 1950-ben, az optmalzálás-elmélet kalakulása révén 3 került előtérbe. A lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó alapvető tételét ugyans Kuhn és Tucker felhasználta a nemlneárs programozás alaptételének bzonyításában 4. Így vált közsmertté a bzonyításban felhasznált Farkas tétel. Farkas Gyula főleg elmélet fzka problémákkal foglalkozott, de a fzka problémák matematka hátterét olyan alaposan és mélyen kdolgozta, hogy közben klasszkus matematka eredmények s születtek. A lneárs egyenlőtlenségek alaptételén túl az elmélet fzka kereten belül skerült megfogalmazna és bzonyítana a nemlneárs programozás legfontosabb alaptételét. Bár elmélet fzka eredményt fogalmazott meg, tétele alkalmazható a nemlneárs programozásban egyenlőtlenséges feltételek mellett optmalzálásra s. Ahhoz, hogy az elmélet fzka magyar megalapozójának lyen tárgyú munkásságába betekntsünk, elért eredményt témánk szempontjából méltassuk, pllantsunk bele a fzkának abba a korszakába, amelyben Farkas Gyula alkotott. Az 1970-es évektől az 1890-es évekg a fzka fenomenológa korszakát éltük, míg a századfordulót a korpuszkulárs elméletek előtérbe-kerülése jellemezte. Az elmélet fzka a 19. században az analtka mechanka és a matematka analízs módszeret alkalmazva jött létre. A mechanka, lletve ég mechanka mntájára a jelenségeket merev kapcsolatokra vagy távolba ható centráls erőkre gyekeztek vsszavezetn. A 19. század másodk felében kezdték felsmern, hogy a fzka egyes jelenségcsoportjat nem lehet a pontmechanka által előírt szűk keretekben tárgyaln. Így a hőtan, fénytan, elektrodnamka területet már az ún. 2 [6] 3 Prékopa András így írja le a történetet: Az 1976-ban Budapesten tartott IX. Nemzetköz Matematka Programozás Szümpozon bankettjén a mellettem ülő Tucker elmondta, hogy amkor a nemlneárs programozás ún. szükséges optmaltás feltételének bzonyításán dolgozott, Kuhnnal, akkor doktoranduszával együtt, megakadtak egy ponton, ahol szükségük volt a lneárs egyenlőtlenségrendszerekkel kapcsolatos eredményekre. Mután Tucker leküldte tanítványát a könyvtárba, hogy kutasson, hátha talál valamt, amre támaszkodva a bzonyítást teljessé tudják tenn, a tanítvány csakhamar ráakadt Farkas Gyula ckkére, melynek fő tétele pontosan azt mondja k, amre szükségük volt. In: [10], 16. oldal. 4 A nemzetköz matematka rodalom egyk folyóratában, a Crelle Journalban publkálta 1901-ben. 2

fzka fenomenológának 5 nevezett ránynak megfelelően a tapasztalatra alapozva dolgozták k. Hertz után az elektromágneses tér Maxwell-féle egyenlete adták az eletrodnamka alaptörvényet. A 90-es évektől rádóaktvtás jelenségenek felfedezésével az atom, korpuszkulárs felfogás kerül előtérbe, majd válk mndnkább uralkodóvá a fzka fenomenológával szemben. Majd a 20. század elejétől főként a relatvtás elmélete, lletve a kvantumelmélet határozzák kutatások jellegét. Farkas Gyula kutatása a fzka fenomenológa korszakában kezdődtek, annak egyk legkövetkezetesebb képvselője. Ebben a korszakban a fzka egyk legfontosabb célja a fzka alaptörvényenek a közvetlenül adott tapasztalatra épülő precíz kdolgozása és a szükségtelen korlátozások nélkül általánosítás volt 6. Ezért fordultak a szgorú és pontos matematka alapok felé. Farkas Gyula első dolgozata matematka tárgyúak 7. A kolozsvár egyetemre kerüléség (1887) huszonöt matematka tárgyú és négy fzka témájú dolgozata jelent meg. Mután a kolozsvár egyetem matematka fzka tanszékére került, érdeklődése s főként a fzka felé rányult. 1892-ben részt vett Paduában Galle tanszékfoglalásának 300.-dk évfordulójának tszteletére rendezett ünnepségeken, amelyek kapcsán az analtkus mechanka 5 A fzka fenomenológa a poztvzmust képvsel. A poztvzmus a tudományosság legfőbb krtérumának tapasztalatnak való közvetlen megfelelést, a bztos smeretek megfogalmazását tartja. Nem tartották célszerűnek a közvetlen tapasztalaton túl, ún. túl messzemenő következtetések levonását. A poztvsta rányzat eredményeként a fzka elméletek megalapozottabb fejlődése következett be, elvetve a hbásan létrejött, megalapozatlan smeretek jó részét. A fzka fenomenológa főbb képvselő Krchoff, W. Vogt, P. Duhem, Mach, Robn, Poncaré, Planck. 6 W. Vogt a fzka fenomenológa kmagasló képvselője elsmeréssel nylatkozott Farkas Gyula hdrodnamkában és termodnamkában megfogalmazott néhány eredményéről. (Kompendum der Theoretschen Physk, II. kötet, p.803) 7 Matematka értekezése egy részét Vllarceau és Hermte mutatták be a párzs Académe des Scences-ban. Ezek algebra problémákra, mnt lneárs egyenletrendszerek megoldására (Soluton d'équatons lnéares, présentée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII. 1878. 523-526.), algebra egyenletek képzetes gyökenek meghatározására (Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII. 1878. 791-794., Sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une communquée par M. Yvon Vllarceau. (Folytatás.) C. R. LXXXVII. 1878. 1027-1029., Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques. Extrat d'une lettre communquée par M. Yvon Vllarceau. (Folytatás.) C. R. LXXXVII. 1878.273-275., (Note sur la détermnaton des racnes magnares des équatons algébrques (sute et fn). Extrat d'une lettre communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. LXXXVII. 1878. 565-567.) trnom egyenletekre (Auflösung der dregledrgen algebraschen Glechung. Archív der Mathematk und Physk. 64. Tel. Erstes Heft. IV. 1-8. Grefswald. 1879.) a gyökök sorfejtéssel való meghatározására (Vegyes m-edfokú egyenlet egyk gyökének meghatározása sorfejtés által 1-16. Budapest. Athenæum R. T. nyomdája 1878.) vonatkoznak. Majd áttér függvénytan problémákra. Több dolgozatában s foglalkozk az ellptkus függvényekkel (Sur une classe de deux fonctons doublement pérodques, présentée par M. Yon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 1269-1271., Sur les fonctons ellptques, présentée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 1482-1484.), a magasabbrendű sznuszfüggvénnyel (~Sur. I'applcaton de la théore de Snus des ordres supéreurs å I'ntegraton des équatons dfférentelles lnéares. Extrat d'une lettre adressée å M. Yvon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 1542-1545., Sur la théore de Snus des ordres supéreurs, communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 209-211., Sur la théore de Snus des ordres supéreurs, communquée par M. Yvon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 278-281., Sur la théore de Snus des ordres supéreurs. Extrat d'une lettre a M. Yvon Vllarceau. C. R. XC. 1880. 544-547.) és alkalmazásaval, ellptkus ntegrálok sorbafejtésével (Sur le dévelopment des ntegrales ellptques de premère et de deuxème etc., prèsentèe par M. Yvon Vllarceau.) Jacobnak a Hamlton-féle kanonkus egyenletekre vonatkozó tételének általánosításával (Gènèralsaton du thèorème de JACOBI sur les èquatons de HAMILTON, prèsentèe par M. Hermte. C. R. XCVI. 1883.) egyértékű függvényekkel (Sur les fonctons unformes, communquèe par M. Yvon Vllarceau. C. R. XCVI. 1883.) Egyk dolgozatában (A Bólya-féle algorthmus. Értekezések a mathematka tudományok köréből, kadja a M. Tud Akadéma. VIII. kötet III. szám. 1881. 1-8.) az általa Bolya-féle algortmusnak nevezett x m =a+bx egyenlet megoldására szolgáló teráló eljárást tesz tanulmány tárgyává. Ugyancsak az terálás a témája a Sur les fonctons teratves című, a Journal de Mathematques-ban 1884-ben megjelent dolgozatának (Sur les fonctons tèratves. Journal de Mathematques. X. 1884. 101-108.), mely terálás által nyerhető függvények analtka karakterének megállapításával és az terálás processzus konvergencájával foglalkozk. Két geometra tárgyú dolgozata közül az egyk Pascal-bgavonalával (PASCAL bgavonalának elemzése. Budapest. Athenæum R. T. nyomdája 1881. 1-23.), a másk egymásra lefejthető felületekkel (Az egymásra teríthető felületek problémájáról. Erdély Múzeum-egylet Orvos-természett. Értesítője. Kolozsvárt. 1888? 260-265.) foglalkozk. 3

kezdte foglalkoztatn. A vrtuáls sebességek, a vrtuáls munka elvének tanulmányozásával 8 olyan problémára talált, amelyre vonatkozó kutatása tudományos munkásságának legeredményesebb részét képezk. Részletesen foglalkozott a mechanka Fourertől eredő elvével, amely a kényszerfeltételek körében egyenlőtlenségeket s megenged. A Fourer-féle elv történetével, az elv előfeltételevel, a használt fogalmak pontos kdolgozásával, az elv alkalmazhatóságával foglalkozk hét dolgozata 9. A témához sorolhatjuk az elv matematka megalapozását képező, a lneárs egyenlőtlenségrendszerekre vonatkozó kutatás eredményet 10. Farkas a lneárs egyenlőtlenségek elméletét fzka kutatásanak megalapozása érdekében fejlesztette k. Bzonyítja ezt a korábban említett 1901-ben németül publkált dolgozatának első két mondata. Az analtkus mechanka természetes és szsztematkus tárgyalásának alapját az előbb FOURIER, és később GAUSS által megfogalmazott egyenlőtlenség elvnek kell alkotna. Egy lyen tárgyalás lehetősége azonban megkövetel bzonyos smereteket a homogén, lneárs, egész egyenlőtlenségekkel kapcsolatban, melyek eddg úgyszólván teljesen hányoztak. 11 Ha a vrtuáls elmozdulás komponenset, mnt a kényszerfeltételek által megengedett δx, δy, δz és valóságos dx, dy, dz elmozdulások különbségeként defnáljuk δx =ðx -dx, úgy a Fourer-féle elvet a következő egyenlőtlenség adja: m x X δ x + m y Y δy + m z Z δz 0, (1) ahol m az -edk pont tömege, x, y, z a gyorsulás komponense. X, Y, Z a szabad erő komponense. Azaz a vrtuáls elmozdulásnál a kényszererők munkája nem lehet negatív. A kényszer általában lneárs relácók fejezk k. Az egyenlőségek és egyenlőtlenségek a vrtuáls elmozdulások komponense között a következő alakúak: ( A δ x + B δy + C δz ) n M n = 1 ( Lkδ x + M kδy + N kδz ) = 1 k k k = 0, ahol k = 1, L j, j 3n, 0, k = 1,2, L, (2) ahol az együtthatók a koordnáták és az dő dfferencálható függvénye, melyek számára a dszkrét folytonosság szakadás helyeket enged meg. A kényszer független egyenletenek a száma azonban nem lehet nagyobb, mnt a változók száma. Farkas Gyula bebzonyította, hogy ha a független egyenlőtlenségek számának nncs felső 8 A vrtuáls sebességek elve GALILEINÉL. Mathematka és Physka Lapok. 1893. 78-95., GALILEIről s a pádua GALILEI ünnepléséről. U. o. 1893. 78-95. 9 A Fourer-féle mechanka elv alkalmazása. M. T. É. XII. 459-472., A Fourer-féle mechanka elv története és némely specáls alkalmazása. Erdély Múzeumegylet Értesítője. 1895. 43-54 és 13-32., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról. Mathematka és Physka Lapok 1896. 49-54., A FOURIER-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja. M. T. É. XVI. 1898. 361-364., Parameteres módszer FOURIER ~ mechanka elvéhez. Mathematka és Physka Lapok 1898. 63-71., Általános mechanka elvek aether számára. M.T. É. XIX. 1901. Ugyanaz az Archív Neerlandases Lvre jublare dèdè å H. A. LORENTZ-ben., Beträge zu den Grundlagen der analytschen Mechank. Crelle Journal. 131, 1906. 165-201. 10 9 dolgozat tartozk de. A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról. Mathematka és Physka Lapok 1896. 49-54., A FOURIER-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja. M. T. É. XVI. 1898. 361-364. Vektor-tan és az egyszerű naequatok tana. Különlenyomat az Erdély Múzeumegylet Értesítője után. Kolozsvárt. 1900. I-XIV. és 1-165., Theore der enfachen Unglechungen. Crelle Journal. 124, 1902. 1-27.Multplcatoros módszer négyzetes alakhoz. M. T. É. XXXV. 1917. 51-53. Nem-vonalas egyenlőtlenségek vonalassá tétele. M. T.É. XXXV. 1917. 41-50., Egyenlőtlenségek alkalmazásának új módja. M. T. É. XXXVI. 1918. 297-308., A lneárs egyenlőtlenségek következménye. M. T. É. XXXVI. 1918. 397-408., Alapvetés az egyszerű egyenlőtlenségek vektorelméletéhez. M. T. É. XLIII 1926. 1-3. 11 In: [8] 166. oldal 4

határa, ha a változók száma nagyobb, mnt kettő. Független egyenlőtlenségeknek a változók számára újabb korlátozást jelentő egyenlőtlenségeket értjük. ' ' ' ' Ha θ A 1x1 + A2 x2 + L+ An xn és (3) θ A 1x1 + A 2 x2 + L+ An xn az x 1, L, xn n ' változó lneárs formája és a változóknak mnden θ = 0, = 1, L, k n., θ 0, = 1, L (4) lneárs relácórendszert kelégítő értékénél fennáll a ϑ a1x1 + a2 x2 + L+ a n xn 0 (5) lneárs homogén relácó, úgy azt mondjuk, hogy (5) relácó a (4) relácórendszer következménye. Ezen esetben mndg találhatók olyan λ multplkátorok és λ nem negatív multplkátorok, ' ' ' ' hogy ϑ λ θ + λ θ + L + λ θ + λ + L. 1 1 2 2 1 1 2θ 2 Azt s kmutatta, egy lneárs relácórendszert kelégítő változókra, hogy ezek előállíthatók résznt mnt tetszés szernt v, résznt mnt nem-negatív w paraméterek lneárs kfejezése: Farkas Gyula 1901-ben publkált dolgozatát az operácókutatással foglalkozók elsősorban a homogén lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tétele matt emelk k. Az általa vzsgált fzka probléma legfontosabb specáls esete a nemlneárs programozás alább problémájával azonosítható. Legyenek g 1,, g m, g m-komponensű vektorok és tekntsük az alább homogén lneárs egyenlőtlenségeket: x 0, = 1, L, M, (1) g T g T x 0. (2) A (2) egyenlőtlenséget az (1) következményének mondjuk, ha fennáll mnden olyan x esetére, amelyre az (1) egyenlőtlenségek fennállnak. Farkas tétele a következő: Tétel: A (2) egyenlőtlenség akkor és csak akkor következménye az (1) egyenlőtlenségeknek, ha léteznek olyan nemnegatív λ, λ, 1 2 L, λm számok, hogy fennáll a g = λ g + L + λ g 1 1 M M egyenlőség. (3) A tételt Farkas Gyula általánosabban s kmondta, az (1) relácók egy részére egyenlőséget megkövetelve. Az állítása ekkor csak annyban módosul, hogy az egyenlőséges feltételeknek megfelelő λ számoktól nem követeljük meg a nemnegatvtást, de a (3) egyenlőséget változatlanul állítjuk. A tétel bzonyítását Farkas a teljes ndukcó elve alapján végezte el. Azóta másfajta bzonyításokat s publkáltak. Közülük talán a legegyszerűbb a lneárs programozás dualtás elvére alapozó bzonyítás 12, amely azonban feltételez a lneárs programozás elméletének, ezen belül a dualtás tételének az smeretét, amt Farkas még nylván nem smerhetett. Farkas tétele egyébként ekvvalens a dualtás tétellel 13. Fontos még megemlíten, hogy Farkas Gyula 1901-ben publkált dolgozata tartalmaz még egy algortmkus eljárást s a G x 0 feltételnek eleget tevő x vektorok x = H w, w 0 alakban való előállítására. 12 Prékopa, A., A bref ntroducton to lnear programmng, Mathematcal Scentst 21 (1996) 85-11. 13 [9] 5

Egy, a Farkas-tétellel ekvvalens tételt Mnkowsk s bebzonyított 14. Farkas tételének azonban nagyobb lett a hatása, mert a lneárs egyenlőtlenségek elméletét alkalmazás céllal, egy konkrét fzka probléma megoldására dolgozta k. Így született meg a lneárs egyenlőtlenségekre vonatkozó tétel, amely Farkas-lemma néven az egyk legnagyobb magyar matematka eredmény. Ma már nemzetköz sznten s elsmert, hogy Farkas Gyulát a modern optmalzálás-elmélet egyk megalkotójának teknthetjük. FELHASZNÁLT IRODALOM 1. Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazása, Mathematka és Természettudomány értesítő 12 (1984) 457-472. 2. Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapjáról, Mathematka és Physka Lapok 5 (1896) 49-54. 3. Farkas, Gy., A Fourer-féle mechanka elv alkalmazásanak algebra alapja, Mathematka és Természettudomány értesítő 16 (1989) 361-364. 4. Farkas, J., Theore der enfachen Unglechungen, Journal für de Rene und Angewandte Mathematk 124 (1901) 1-27. 5. Farkas, Gy., Egyenlőtlenségek alkalmazásának új módja, Mathematka és Természettudomány Értesítő 36 (1918) 297-308. 6. Farkas, Gy., A lneárs egyenlőtlenségek következménye, Mathematka és Természettudomány Értesítő 36 (1918) 397-408. 7. Kuhn, H. W. and Tucker, A. W., Nonlnear Programmng, n: Proceedngs of the Second Berkeley Symposum on Mathematcal Statstcs and Probablty. Unversty of Calforna Press, Berkeley, Calforna, 1950. 8. Ortvay, R., Farkas Gyula tudományos működése, Matematka és Fzka Lapok 34 (1927) 5-25. 9. Prékopa, A., Az optmalzáláselmélet kalakulásának történetéről Alkalmazott Matematka Lapok 4 (1978) 166. oldal. 10. Prékopa, A., Lneárs Programozás I. Bolya János Matematka Társulat, Budapest, 1968. 11. Prékopa, A., Farkas Gyula élete és munkásságának jelentősége az optmalzálás elméletében, In: Új utak a magyar operácókutatásban, In memoram Farkas Gyula. Dalóg Campus Kadó, Budapest-Pécs, (1999) 15-31. 12. Szénássy, B., A Magyarország Matematka Története, Akadéma Kadó, Budapest, 1970. 14 Mnkowsky, H., Geometre der Zahlen Teubner, Lepzg und Berln, 1896. 6