MÛHELY Közgazdasági Szemle, LVI. évf., 29. január (84 92. o.) DOBOS IMRE Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell A anulmány a variációszámíás gazdasági alkalmazásaiból ismere hárma. Mind három alkalmazás a Leonief-modellen alapszik. Az opimális pályák vizsgálaa uán arra keressük a válasz, hogy az Euler Lagrange-differenciálegyenle rendszerrel kapo megoldások valóban opimális megoldásai-e a modelleknek. Arra a kövekez eésre ju a anulmány, hogy csak pólólagos közgazdasági feléelek bevezeésével haározhaók meg az opimális megoldások. Ugyanakkor a megfogalmazo felée lek segíségével az ismeree modellek egy álalánosabb kerebe illeszheõk. A a nulmány végsõ eredménye az, hogy mind a három modell opimális megoldása a Neumann-sugárnak felel meg.* Journal of Economic Lieraure (JEL) kód: C67, D5, D57, O4, O41. A variációszámíás alkalmas arra, hogy idõfüggõ, azaz dinamikus megoldásoka állíson elõ közgazdasági problémákra. A anulmányban három dinamikus opimalizálási (variációszámíási) feladao muaunk be, amelyeke a Leonief-modellbõl származao Bródy [198, 22], valamin Ábel [1981]. A célunk mindezzel a variációszámíás alkalmazhaóságának vizsgálaa lineáris vagy annak lászó modellekben. Az elsõ modell Bródy [198] könyvébõl származik, amelyben a szerzõ rendszerének mozgásegyenleei vezei le. Az i opimalizálandó funkcionál az idõben összegze összes nyeresége aralmazza, elekinve aól, hogy az mely ágazaok állíoák elõ. Ez a modell az árak és a ermelési szinek olyan meghaározásá keresi, amelyek melle az összes jövedelem a gazdaságban maimális. A kövekezõ dinamikus problémá, amely variációszámíással kezelheõ, Ábel [1981] cikkébõl veük. A anulmány a gazdaságban jelenlévõ álalánosabb munkamegakaríási elve vizsgálja egy dinamikus modellben. Az álalános modell egy alkalmazásakén a zár dinamikus Leonief-modell ekini a szerzõ minának. Ez a lineáris modell árgyaljuk i. Az uolsó modellben újra Bródy [22] egy munkájá állíjuk a vizsgála középponjába. Bródy e munkájában a ciklus anulmányoza, és Goodwin ciklusmodelljeinek szellemében egy lineáris differenciálegyenlee aralmazó modellben muaja be a ciklus kialakulásá és mozgásai. E differenciálegyenlebõl származahaó egy opimalizálási felada, ahol a rendelkezésre álló és beruházo ermékek különbségé opimalizáljuk. E három különbözõ modell elemzése a variációszámíáshoz (Kósa [197], Leimann [1981]), vagy opimális irányíáshoz (Ponrjagin és szerzõársai [1968]) veze. A variációszámíással nyerheõ megoldás az Euler Lagrange-differenciálegyenle szolgálaja, * A szerzõ köszöni Ábel Isvánnak és Simonovis Andrásnak, hogy a anulmány egy korábbi válozaá elolvasák, és javaslaaikkal hozzájárulak a dolgoza érheõségének javíásához. Dobos Imre egyeemi docens, Budapesi Corvinus Egyeem, Vállalagazdaságan Inéze.
Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell 85 míg opimális irányíás eseén a Ponrjagin-féle maimumelv ad megoldás. Ponrjagin és szerzõársai [1968] bebizonyíoa, hogy minden variációszámíási felada áalakíhaó opimális irányíási feladaá. Sokan arják az opimális irányíás elméleé a modern variációszámíásnak. A variációszámíásban azonban nehéz megállapíani, hogy az Euler Lagrange-differenciálegyenleel kapo megoldás valóban opimális-e. A szóban forgó három modellben ez fogjuk vizsgálni, valamin az elemezzük, hogy milyen pólólagos közgazdasági feléelek szükségesek az opimális megoldások léezéséhez. Az opimaliáshoz szükséges kiegészíõ feléelek A bemuaásra kerülõ dinamikus Leonief-modellekben a kövekezõ jelöléseke alkal mazzuk: A n n-es nemnegaív mári a folyó ráfordíások mária, B n n -es nemnegaív mári a õkebefekeések mária, () n-dimenziós nemnegaív vekor az ágazaok ermelési szinje, p() n-dimenziós nemnegaív vekor az árvekor, m() fel nem használ ermékek mennyisége, n-dimenziós nem negaív vekor, a ervezési idõhorizon hossza, nemnegaív. A ermelési szin és az árvekor idõ szerini deriváljá jelölje a fölöük lévõ pon. A máriok és vekorok ranszponáljá vesszõvel jelöljük. Feléelezzük, hogy az A márinak léezik nemnegaív Leonief-inverze, azaz (I A) 1 (Bródy [1969]). A feni jelölések segíségével ovábbi közgazdasági feléelezésekkel élünk. Elõször a gazdaságban megermel ermékmennyiségre eszünk nemnegaiviási feléeleke. Az éelezzük fel, hogy a bruó kibocsáás [()] nagyobb, min a bruó kibocsááshoz szükséges ermelõ felhasználás [A()] és a ermelés bõvíéséhez szükséges eszközök [B ()] összege, vagyis () A() + B (). (1) Ez az összefüggés azzal is indokolhaó, hogy csak a rendelkezésre álló ermék mennyiségé lehe ermelõ felhasználásra és az eszközök bõvíésére használni. Egy másik feléelezésünk az, hogy a fel nem használ ermékek összege nem lehe nagyobb, min egy elõre megado mennyiség, azaz () A() B () m(). (2) Ezzel a feléellel a gazdaságban eselegesen fellépõ pazarlás nagyságának állíunk korláo. Az árvekorokra is eheõ feléel, aminek alapján az egységnyi ráfordíás [p() A] és az árválozásából eredõ nyereség [p () B] összege nem emelkedhe a piacon kialakul árak, p() fölé: p() p() A + p () B. (3) Az (1) (3) feléelezések segíségével oldjuk meg a dinamikus opimalizálási feladaainka, és elõállíjuk az opimális rajekóriáka.
86 Dobos Imre A nyereségmaimalizáló modell Bródy András Ciklus és szabályozás címû könyvében (Bródy [198]) e kísérlee a Goodwin-féle ciklusmodell Leonief-féle modellekre örénõ alkalmazására. A ciklus a gazdaság szereplõinek nyereségmaimalizáló viselkedésébõl vezee le. E modell nyereségfunkcionálja három ényezõbõl áll: a piacon realizál nyereség p() (I A)() alakban felírhaó része, a készleek és befekee eszközök árválozásából eredõ nyereség, amely p () B() alakú és a a ermelés bõvíésére fordío eszközök p () B () kölsége. E három ényezõbõl áll elõ az idõben kummulál nyereség: I(p,) = [p() (I A) () + p () B () p() B ()]d, (4) ami maimalizálni szerenénk, ahol I(p, ) az opimalizálandó funkcionál. Ez a funkcionál elõször a variációszámíásból ismer Euler Lagrange-féle differenciálegyenle-rendszerrel oldjuk meg. A cél ehá a gazdaságban képzõdõ összes nyereség maimalizálása. Alakísuk á a (4) funcionálban szereplõ L[p(), (), p (), ()] inegrandus a kövekezõ alakra: L[p(), (), p (), ()] = 1 I A p() B p () [p() ()] I A () + [p() ()] B (). 2 Ez az alak azér lesz hasznos, mer ebbõl az Euler Lagrange-differenciálegyenle rendszer könnyebben származahajuk. Alkalmazzuk mos az opimaliás szükséges feléelé: L I A p() B p () [p(), ()] [p(), (), p (), ()] = I A () + B (), valamin L [p (), ()] [p(), (), p (), ()] = B p(), B () amibõl az Euler Lagrange-differenciálegyenle rendszer felhasználva L d L [p(), ()] [p(), (), p (), ()] [p(), (), p (), ()] =, d [p (), ()] a kövekezõ lineáris differenciálegyenle-rendszer kapjuk az opimum szükséges feléelekén: I A p() B p () B p () =, I A () + B () B () ami egyszerû árendezéssel (I A) () 2 B () =,
Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell 87 p() (I A) () 2 p() B () =, p() (I A) () + () B p () p() B () =. (I A ) p() + 2 B p () =. Az ilyen ípusú differenciálegyenle-rendszerek megoldásá muaa be Dobos [27]. Szorozzuk mos be az elsõ egyenlee a p () árvekorral, míg a másodika a evékenységi szinek () vekorával. Ekkor és () (I A ) p() + 2 () B p () =. Összegezve a ké egyenlõsége, kapjuk, hogy A szöglees zárójelben lévõ kifejezés azonos az (4) funkcionál inegrandusával. A kapo feléel ehá az jeleni, hogy ennek az inegrandusnak az eremális megoldásban nullával kell azonosnak lennie, vagyis,2,3,2 s s I[p (), ()] =, s s ahol [p (), ()] jelöli a sacionárius megoldás. Ez az eredmény kapa Bródy [198] is, jóllehe formálisan nem a variációszámíás Euler Lagrange-féle szükséges feléelé alkalmaza. Ezen a formán végeze azán a ciklus alakjá vizsgáló analízisé is. De ez valóban az opimális megoldása a (4) variációszámíási feladanak? A kövekezõkben egy numerikus számpéldán az fogjuk megmuani, hogy ez nem lehe opimális, csak sacionárius megoldás, ehá a problémá ovább kell vizsgálni. A numerikus példa adaai Bródy [24] anulmányából származnak. Legyenek a rendszer máriai,6,2,2 3 5 2 A =,1,3,2, B =. 2 1 1 Ekkor a kövekezõ ké differenciálegyenle-rendszer kell megoldani az opimumo adó rajekóriák elõállíásához: 3 5 2 1 (),4,2,2 1 () 2 2 () =,1,7,2 2 (), [, 5], 1 1 3 ( ),2,3,8 3 () 1 () 3 2 () = 1, 3 ( ) 3 p 1 (),4,1,2 p 1 () 2 5 1 p 2 ( ) =,2,7,3 p 2 (), [, 5], 2 1 p 3 ( ),2,2,8 p 3 ()
88 Dobos Imre Ezek megoldása p 1 () 1 p2 () = 1. 1 akkor udjuk, hogy () = p () =. Ebbõl kövekezik, hogy p 3 ( ) 1 () 1 3 p 1 () 1 1 2 () = e 6 1, p2 () = e 6 1 3 () 2 p 3 () 1, [, 5], vagyis ebben az eseben a megoldások a Neumann-sugáron fekszenek, vagyis nemnegaívak. A nyereségfuncionál éréke a sacionárius megoldásra: I(p, ) =. Ugyanakkor, ha veszünk egy olyan leheséges megoldás, amely konsans a ervezési idõhorizon menén, nevezeesen a kezdei érékkel egyezik meg: 1 () 3 p 1 () 1 2 () = 1, p 2 () = 1 3 ( ) 2 p 3 () 1 5 5 I(p, ) = [p() (I A) ()]d =, [, 5], 1,3 d = 6,5. ehá az kapuk, hogy az Euler Lagrange-differenciálegyenle rendszer kielégíõ ermelési és árvekorok nem adnak maimális összes nyeresége a gazdaságra nézve, mer léezik ennél legalább egy jobb rajekória. Ez az is jeleni, hogy a maimális nyereség eléréséhez ovábbi közgazdasági feléeleke is eljesíenie kell a gazdaságnak. Az muajuk meg, hogy a (2) és (3) feléelekkel az opimális megoldás elõállíhaó. Alakísuk á a (4) funkcionál a kövekezõ módon: I(p, ) = {p() [(I A) () B ()] + p () B ()}d. A (2) és (3) egyenlõlenségeke szorozzuk meg mos a nemnegaív árvekorral és a nemnegaív ermelési szinek vekorával. Ekkor az kapjuk, hogy valamin p() m() p() [(I A) () B ()], (5) p() (I A) () p () B (). (6) Az összes nyereségre ehá a kövekezõ felsõkorlá adódik: {p() [(I A) () B ()] + p () B ()}d {p() m() + p() (I A) ()}d.
Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell 89 Ez az jeleni, hogy a maimumo a nyereségfunkcionál akkor éri el, ha az (5) és (6) egyenlõlenségek szigorú egyenlõségre eljesülnek, ami egyben maga uán vonja a (2) és (3) egyenlõlenségek szigorú egyenlõség volá is. Az opimális rajekóriáka ehá az és a () = A () + B () + m(), p() = p() A + p () B differenciálegyenle-rendszerek megoldásával állíhajuk elõ. A megoldás eplici formában Dobos [27] muaa be. A munkamegakaríó elv Ábel [1981] anulmányában a Bródy [1969] álal modelleze mari munkaérék-elméle alapján mua be egy variációszámíási modell. A modell alakja a kövekezõ: L() = [p() (I A) () p() B ()]d eremal. Ez a modellforma annyiban különbözik a Bródy [198] álal javasolól, hogy i az árválozásból eredõ nyereség nem szerepel az inegrandusban, és a profimaimalizálás helye a munkamegakaríás kell maimalizálni. A modell felállíásakor feléelezzük, hogy az árak p() vekora ismer, amin az Ábel [1981] is feléeleze. Az Euler Lagrange-féle differeciálegyenle-rendszer alkalmazhajuk a feladara, amin az Ábel [1981] is ee. Az erémum szükséges feléele ehá (I A ) p() + B p () =, [, ]. (7) Ezzel az összefüggéssel ehá csak az árakra eheünk feléelezés, és nem a ermelési szinre. Mivel az árak eogén válozók, ezér azok elõre ismerek. Az árakra viszon ekkor a p() = e λ p összefüggés eheõ, ami Bródy [1969] könyvében is megalálhaó. A λ érék és p vekor a (I A ) p + λ B p = sajáérék-felada nemnegaív megoldásai. De érjünk vissza a modellhez és együk fel a kérdés, hogyan alakulna ugyanakkor ez a szükséges feléel, ha az árvekor nem elégíené ki a (7) differenciálegyenlerendszer! éelezzük mos fel, hogy a p() árvekor nem elégíi ki a feni differenciálegyenle-rendszer, de idõben differenciálhaó függvény. Ekkor az inegrál a kövekezõk szerin alakíhajuk á: [p() (I A) () p() B ()]d = = [{p() (I A) + p () B} ()] d [p() B ()]. A minimalizálás így csak akkor udjuk elvégezni, ha minden idõponban léezik a kövekezõ feladanak minimuma: min [{p() (I A) + p () B} ()]. ( )
9 Dobos Imre A kövekezõ alakú lehe a minimumfelada egyik megoldása: o ()= p() (I A) + p () B + p() (I A) + p () B <, ami az jeleni, hogy amennyiben a ermelési szinek vekora felülrõl nem korláos, akkor csak egy speciális rajekória léezik. Válasszunk mos egy másik ua az opimális megoldás elõállíásához! Mivel ebben az eseben a célfunkcionál nem maimalizálni kell, hanem minimalizálni, ezér alkalmazhajuk a minimalizáláshoz az (1) egyenlõlensége. A minimalizálás azér lesz kiûzö cél ebben a modellben, mer a munkamegakaríás maimalizáljuk, azaz a ermékveszesége minimalizáljuk. Az alsó korlá az inegrandusra a kövekezõ lesz: [p() (I A) () p() B ()]d. Mivel az ismer árvekor nemnegaív, és az (1) egyenlõlenség is nemnegaív, így az opimumo, azaz a nullá az L() funkcionál akkor veszi fel, ha az (1) egyenlõlenség szigorú egyenlõsége vesz fel, vagyis () = A() + B (). Ez az alak pedig nem más, min a zár dinamikus Leonief-modell. A megoldás könnyen elõállíhaó Dobos [27] cikkében ado módszerrel. Az opimális rajekória a Neumann-sugáron fekszik. A mozgásegyenleek és a variációszámíás Mos áérünk a bõvíe újraermelés ciklikus pályája modelljének vizsgálaára (Bródy [1997]). A modell máriai és válozói, amelyek a gazdaság ciklusai generálják: I B (I A) p() S =,. B I, K = I A z() = () A gazdaság mozgásegyenlee ekkor S z() = K z(). (8) A Bródy [22], [27] álal felvázol variációszámíási modell alakja az alábbi módon alakul: [z() K z() z() S z()] d ma. Az inegrandus ebben az eseben a rendelkezésre álló és beruházo öbble egyenlege, ami maimalizálni kell. Kisebb áalakíások uán az inegrandus a kövekezõ formá veszi fel: [p() () ] (I A) p() I B p () = I A () [p() () ] B I () = d p() B () 1 d p() p() + d () (). d 2 d d
Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell 91 Mindezek alapján a célfunkcionál alakja: [z() K z() z() S z()] d = = d p() B () 1 d p() p() + d () () d = d 2 d d = p( ) B ( ) 1 2 p( ) p( ) 1 2 ( ) ( ) p() B () 1 2 p() p() 1 () (). 2 Ez az is jeleni, hogy a felada ebben az eseben nem más, min a ervezési idõhorizon végén rendelkezésre álló p( ) B( ) készleek érékösszegének, valamin a ermelési szinek és az árvekor négyzeösszege különbségének a maimalizálása, az (1) és (3) mellékfeléelek melle. A probléma ehá a kövekezõ formában írhaó fel: I B p( ) [p( ) ( ) ] B I ( ) ma, valamin () A () + B (), p() p() A + p () B. A felada ebben a formájában ehá egy kvadraikus célfüggvényû dinamikus közgazdasági probléma, amelynek az opimális megoldásá keressük. A felada lényegé ekinve a hagyományos urnpike elmélehez veze, amelye Dorfman és szerzõársai [1958] ír le elõször. A probléma maemaikai ulajdonságainak árgyalásá diszkré modellben lásd például Aszmanov [1984]. A maemaikai részleek mellõzésével felírhaó a probléma opimális megoldása, amely nem más, min az árakra és ermelési szinekre a Neumann-sugár, azaz és () = e λ, p() = e λ p, ahol a zár dinamikus Leonief-modell jobb oldali, míg p a bal oldali sajávekora, és λ a legnagyobb növekedési ráa. Vizsgáljuk mos meg a (8) lineáris differenciálegyenle-rendszer leheséges megoldásai, amin az ee Bródy [24]! Ehhez a kövekezõ sajáérék-feladao kell megoldanunk: λs z = K z. Ehhez hasonló sajáérék-feladao vizsgál Dobos [27] arra az esere, amikor az S mári szinguláris. Ebben a feladaban is elképzelheõ, hogy a mári szinguláris, mégpedig akkor, ha az I B B mári szinguláris. Mos az fogjuk beláni, hogy ha egy λ 1 sajáéréke a problémának, akkor a λ 1 is sajáéréke. Ez az is jeleni, hogy a sajáérékek vagy páronkén valósak, vagy páronkén iszán képzeesek.
92 Dinamikus opimalizálás és a Leonief-modell éelezzük fel, hogy λ 1 sajáérék és a hozzá arozó sajávekor z 1. Ekkor λ 1 S z 1 = K z 1. Vegyük mos ennek az egyenlenek a ranszponáljá: λ z S = z K. 1 1 1 Mivel az S mári szimmerikus, ezér S = S, valamin a K mári ferdén szimmerikusságából kövekezik, hogy K = K. Használjuk mos ez a ké összefüggés az elõbbi, ranszponál feladara: ami áalakíás uán z 1 λ 1 z 1 S = z 1 K, λ z S = z K. 1 1 1 Ez ehá az jeleni, hogy ha λ 1 sajáéréke a problémának, akkor λ 1 is az. Ráadásul ha jobb oldali sajávekor, akkor z 1 bal oldali sajávekora a feladanak. * A anulmányban három modell ekineünk á, amely a Leonief-modellre épülõ gazdasági elemzések és a dinamikus opimalizálás (variációszámíás) kapcsolaá vizsgálák. Az kapuk, hogy az ilyen modellekben pólólagos feléelek szükségesek az opimális rajekóriák megállapíásához. A pólólagos feléelezések egyrész a ermelési szinekre adnak korláozásoka, másrész az árakra. A Leonief-modellen alapuló dinamikus opimalizálási feladaok opimális megoldása, amin az a három modellben láuk, a Neumann-sugárhoz veze. Hivakozások ÁBEL ISVÁN [1981]: he labor saving principle wih an applicaion o he Leonief-ype economies. Inernaional Economic Review, 22. 377 383. o. ASZMANOV, S. A. [1984]: Vegyenyije v mayemayicseszkuju ekonomiku. Nauka, Moszkva (oroszul). BRÓDY ANDRÁS [1969]: Érék és újraermelés. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes. BRÓDY ANDRÁS [198]: Ciklus és szabályozás: Kísérle a klasszikus piac- és cikluselméle maemaikai modelljének megfogalmazására. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes. BRÓDY ANDRÁS [1997]: A piac és az egyensúly. A neumanni és kvázi-hamiloni rendszer. Közgazdasági Szemle, 9. sz. 738 756. o. BRÓDY ANDRÁS [22]: Bevezeés a mozgáselmélebe. Közgazdasági Szemle, 2. sz. 93 14. o. BRÓDY ANDRÁS [24]: Near equilibrium. A research repor on cyclic growh. Aula, Budapes. BRÓDY ANDRÁS [27]: A ciklus oka és haása. Közgazdasági Szemle, 1. sz. 93 914. o. DOBOS IMRE [27]: Egy megjegyzés Bródy András: Leonief zár dinamikus modellje címû dolgozahoz. Közgazdasági Szemle, 11. sz. 14 111. o. DORFMAN, R. SAMUELSON, P. A. SOLOW, R. M. [1958]: Linear Programming and Economic Analysis. McGraw-Hill, New York. KÓSA ANDRÁS [197]: Variációszámíás. ankönyvkiadó, Budapes. LEIMANN, G. [1981]: Calculus of variaions. Plenum Press, New York, London. PONRJAGIN, L. SZ. BOLYANSZKIJ, V. G. GAMKRELIDZE, R. V. MISCSENKO, E. F. [1968]: Opimális folyamaok elmélee. Közgazdasági és Jogi Könyvkiadó, Budapes.