Atomfizika című tantágy tételei 1 b A spektumok multiplicitása és az elektonspin; az alkálispektumok dublett szekezete A Sten- Gelach - féle kísélet Az alkálispektumok dublett szekezete Az egy vegyéték-elektonnal endelkező atomok spektumában megfigyelt soozatok sokféleségét az l azimutális kvantumszámnak megfelelő elfaulás megszűnésével magyaázhatuk A hidogéntípusú atomokban az ugyanazon n fő- és különböző l mellékkvantumszámokkal ellemzett enegianívók egybeesnek, az alkálifémeknél minden R/n 2 tem annyi teme hasad fel, ahány különböző étéket vehet fel az l, adott n esetén; azaz n számú különböző temet kapunk (l=0, 1,, n-1) Ezeknek a temeknek a száma elegendő ahhoz, hogy megmagyaázzuk a fő-, a két mellék- és a Begmann-soozatok keletkezését, vagyis az egyvegyéték-elektonnal endelkező atomok összes soozatainak a keletkezését Az alkáliatomok spektumvonalai azonban többszöös vonalakból állnak, ún finomszekezetet mutatnak, amelynek ételmezése az egyvegyéték-elekton modell má nem elegendő Az összes alkálifém fősoozatának minden vonala kettős vagy dublett vonal Pl a nátium fősoozatának alapvonala (a nátium D-vonala) dublett (λ D1 =589,6nm, λ D2 =589,0nm), a két vonal távolsága: 0,6nm A dublett komponensek közötti távolság a endszám növekedésével nő Az első melléksoozat és a Begmann-soozat vonalai ún összetett dublettek: háom komponensből állnak, de a hamadik komponens az egyikhez igen közel esik és a másik két vonalnál sokkal gyengébb A vonalak felhasadása a temek felhasadásáa vezethető vissza Mind az egyszeű-, mind az összetett dublettek megmagyaázhatóak, ha feltesszük, hogy a temek közül az S-temek egyszeűek, a P, D, F, -temek pedig dublett temek (az s-nívók egyesek, a p, d, f, -nívók pedig kettősök) Ennek megfelelően a Nanak nem egyetlen 3p-nívóa van, hanem kettő: a 3p 1 és a 3p 2 A temfelhasadás magyaázata az elektonspin létezésében elik Az elektonnak tébeli mozgásához nem kapcsolódó saát impulzusmomentuma (spine, s), és ettől elválaszthatatlan saát mágneses momentuma (μ s ) van
Az elekton spine és saát mágneses mometuma Az elekton spinének (s) saát impulzusmomentumának létezésée vonatkozó feltételezést a kíséleti tények nagy száma megeősíti, és a spin létezését ma má mint abszolút bizonyosságot kell tekinteni Az elekton spine egyszee kvantum- és elativisztikus tuladonság Az elektonon kívül más észecskék pl potonok, neutonok is endelkeznek spinnel A kvantummechanika Diac-egyenlete szeint egy elekton saát impulzusmomentumának (spinének) nagysága: s = s( s ) = ٣, ahol s = (spinkvantumszám) e Az s-hez kapcsolódó μ s saát mágnesesmomentum: µ = g s s s, ahol g m s az elekton g-faktoa (az elemi mágneses momentum és a ħ egységben kifeezett impulzusmomentum hányadosa) A kíséletek alapán g s =2,0023 A Diac-féle elativisztikus kvantumelméletben g s =2 éték adódott (az elektonnak a saát sugázási teével való kölcsönhatás figyelembe vételével) A saát mágnesesmomentum nagysága (g s =2 étéket véve): e e µ = s = s( s ) = µ B s( s ) = µ B ٣ s, m m e ahol µ = B a Boh-féle magneton vagy elemi mágnese momentum m Sten és Gelach kíséletei mutatták meg, hogy a spin egy külső B mágneses tében (amely pl a z iányba mutat) csak két diszkét helyzetet vehet fel: nevezetesen a téel paalel vagy antipaalel iányba állhat be Az s z-iányú komponense: mágneses kvantumszámát elenti s z = m s, ahol az m s = ± s = ± a spin
Az iánykvantálás kíséleti igazolása; a Sten-Gelach-féle kísélet Az atomnyaláboknak mágneses tében való eltéülése évén sikeült az iánykvantálás kíséleti bizonyítása, az atomok mágneses momentumának közvetlen méése Az első kíséleteket Sten és Gelach végezték (1921) ezüstatomsugáal, mad később kisülési csőben előállított hidogén atomokkal is Az ezüstsugaak az evakuált csőben elektomos áammal izzított platinadót beezüstözött felületéől indulnak ki (F), amelyből a D 1 és D 2 diafagmákkal kiválasztott keskeny nyaláb az inhomogén mágneses teet előállító elektomágnes M 1 és M 2 pólusa között áthaladva a hűtött L üveglemeze ut Az atomsugá meőleges az egymással megegyező z iányú mágneses tée és a té gadiensée Az inhomogén mágneses té a mágneses momentuma olyan eőt gyakool, amelynek iánya és nagysága a mágneses té és a mágneses dipólus egymás közötti elatív helyzetétől függ A mágneses téel paalel oientációú mágneses dipólus pl a téeősség növekedésének iányába mozog, a mágneses téel antipaalel oientációú mágneses dipólus pedig a téeősség csökkenésének iányába mozdul el; meőleges oientáció esetén a dipólus nem téül el A z-iányú eltéítő eő a mágneses té U= -μb potenciális enegiáából kapuk: db db Fz = µ z = µ cosα, ahol α a mágneses momentum és a té gadiensének iánya közötti szöget elenti dz dz A kísélet azt mutata, hogy az L üveglemeze becsapódó H és Ag atomok az atomnyalábot hatáoló ésnek nem egy szétfolyó, hanem két éles képét hozzák léte A kíséletek az alábbi következtetéseke vezettek: - Létezik iánykvantálás Az atomok mágnese momentumai a B téhez viszonyítva csak diszkét beállási lehetőséggel endelkeznek A H és Ag atomok esetében csak kétféle beállási lehetőség van: a mágneses momentum a B-vel páhuzamosan vagy ellentétesen állhat be - µ z = ± µ B Meghatáozhatuk az atomi mágnesesmomentum étékét, ha ismeük a mágneses té gadiensének nagyságát - Mindegyik belső elektonnak mind mechanikai, mind a mágneses momentumai semlegesítik egymást; méni csak a legkülső s-elekton hatását tuduk - Az s-elekton pálya-impulzusmomentuma: l=0, és így a pálya-mágnesesmomentuma is nulla; méni ekko csak a spinmágnesességet lehet - Az atomok az impulzusnyomatékuk nagyságát és iányát a tébeli mozgásuk soán megtaták
b A többelektonos atomok és ionok spektuma; a vektomodell 2 A hélium atom spektuma A legegyszeűbb kételektonos endsze a semleges hélium atom és a hozzá hasonló ionok (Li, Be, B, ) A hélium atom alapállapotában az n=1 főkvantumszámú legbelső hé az atom két s-elektonával telesen be van töltve Geesztett állapotban az egyik elekton ebben a legbelső héban maad vissza, amíg a másik elekton egy magasabb külső héba geesztődik Ily módon a legbelső félig betöltött héon az 1 elekton az n=1, l=0 állapotban, amíg a külső héon a 2 elekton az n>1, l=0 állapotban fog tatózkodni A két elektont tatalmazó héliumatom spektuma (amely lényegében két fősoozatból, két első és második mellék- és két Begmann-soozatból áll) két temendszeből számaztatható le; az egyiknek temei egyszeű vagy szingulett temek, a másikéi hámas vagy tiplett temek Olyan színképvonalat, amely a két temendsze tehát egy szingulett és egy tiplett tem közötti átmenetnek felelne meg, egyáltalán nem észleltek Sokáig úgy gondolták, hogy a héliumgáznak két módosulata van, nevezetesen a szingulett temendsze a paahéliumhoz, a tiplett pedig az otohéliumhoz tatozik A hélium atom tiplett-endszeének legmélyebb állapota (a 2 3 S állapot), a szingulett endsze második legmélyebb állapota (a 2 1 S állapot) metastabilis A metastabilis állapot élettatama hosszú A hélium szingulett-állapotából hiányzik a finomstuktúa Minden vonal egyszees A legmélyebb temet 1 1 S szimbólummal elölük Az elől álló 1 szám a főkvantumszám, az S betű a teles pályaimpulzus (amely itt nulla), az S betű bal felső sakába ít 1-es a multiplicitást (itt ez szingulett) elzi A magasabb temeket az alábbi szimbólumokkal feezzük ki, pl: 2 1 S, 2 1 P, 3 1 P, 3 1 D, stb A finomszekezet hiányából aa következtethetünk, hogy a két elekton spine antipaalel, amelyek vektoálisan egy S=0 eedő spint adnak, a mágneses momentum is: μ s =0 A tiplett-héliumot, amelynek van finomszekezete, otohéliumnak nevezzük A legmélyebb nívó itt: 2 3 S A 2-es szám az n=2 főkvantumszámú geesztett elektona, az S betű L=0-a vonatkozik, az S betű bal felső indexeként ít 3-as szám a multiplicitást (itt ez tiplett) elenti A endszeben mindkét elekton spine paalel egymással; az eedő spin kvantumszáma: s 1 s 2 =S=1 és a μ s =μ s1 μ s2 mágneses momentuma különbözik 0-tól A paahélium spektuma elsősoban az ultaibolya spektumtatományban, amíg az otohéliumé az infavöösben és a láthatóban található A két nem kombináló endsze megfelelő konfiguációi között elentős enegiakülönbség állapítható meg Ez az eltolódás a két elekton közötti antipaalel és paalel spinbeállásnál fellépő kicseéldődési kölcsönhatásnak a következménye A bonyolultabb spektumok néhány tövényszeűsége A multiplicitás váltakozásának szabálya: a peiódusos endszeben egymás után következő elemek spektáltemeinek multiplicitása felváltva páos és páatlan A peiódus endsze első oszlop elemeinek temei dublettek A második oszlop elemeinek temei pedig szingulettek, illetve tiplettek A III oszlopban a temek dublettek és kvatettek A IV oszlopban pedig szingulettek, tiplettek és kvintettek Háom elekton esetén két temendszet kapunk: S=1/2, S=3/2, amelyekhez két, illetve négy lehetséges J éték tatozik, azaz a temek multiplicitása: kettő (dublett temek), illetve négy (kvatett temek) Négy elekton esetén: S=0, 1, 2 J szingulett, tiplett, kvintett A spektoszkópiai eltolódási szabály: a Z endszámú atom spektuma és enegianívói hasonló szekezetűek a Z1 endszámú egyszeesen ionizált atom spektumához és enegianívóihoz Ez a tövényszeűség az atomok és a pozitív ionok spektumainak kapcsolatáa vonatkozik Az atomok és ionok színképeinek szekezetée az elektonok száma a mévadó, és az előbbi multiplicitási tétel úgy általánosíthaó, hogy páos (páatlan) számú elektont tatalmazó atomok vagy ionok temei páatlan (páos) multicplicitásúak
Az atom vektomodelle Egy ilyen modellnek a felépítésében, a mechanikai impulzusmomentumokat és a mágneses momentumokat iányított egyenes vonalak alakában ábázoluk Egy vektomodellt úgy kell tekinteni, mint szabályok gyűteményét, amelyet alkalmazva olyan helyes eedményeket kapunk, amelyeket a szigoú kvantummechanikai számítások is megeeősítenek Egy vektomodell a következő szabályok szeint épül fel Legyen L és L z meghatáozott éték, az L x és L y pedig hatáozatlan Az L vekto a kúp egyik alkotóának iányába mutathat Úgy képzelük el, mintha az L vekto egyenletes fogást végezne (pecesszálna) a kúp tengelyével megegyező z iány köül Tegyük fel, hogy egy B mágneses té a z-iányba mutat A μ mágnesesmomentum kapcsolatos az L mechanikai impulzusmomentummal Ennélfogva a té hatást gyakool a (μ-n keesztül) az L-e Tegyük fel továbbá, hogy az L momentum pecessziós sebessége a B köül nagy, az impulzusmomentuma ható té eős, azaz a B étéke elentős Az L 1 és L 2 impulzusmomentumok összeadódva pecesszálnak az L eedő impulzusmomentum iánya köül Az impulzusmomentumok kölcsönhatnak egymással Feltételezzük, hogy a pecesszió sebessége aányos a kölcsönhatás intenzitásával Abban az állapotban, amelyben L és L z meghatáozott, az L vekto fodított iányban pecesszál a z iány köül Ha a B mágneses té a z-tengely mentén épül fel, akko az impulzusmomentumoknak egymással és a mágneses téel való kölcsönhatási viszonyától függően különböző elenségeket fogunk megfigyelni - a gyenge külső mágneses té esete, amiko az impulzusmomentumok egymással való kölcsönhatása nagyobb, mint a mágneses té hatása áuk Az impulzusmomentumok egy L eedő impulzusmomentummá adódnak össze, ami a té iányáa van kivetítve Ily módon kétféle pecesszió fodul elő: az L 1 és L 2 impulzusmomentum pecesszióa az L iánya köül és az eedő L vekto pecesszióa a B iánya köül Az első pecesszió szögsebessége sokkal nagyobb, mivel az impulzusmomentumok egymással való kölcsönhatása meghalada a mágneses tének a áuk gyakoolt hatását - az eős mágneses té, amiko is a té hatása az impulzusmomentumok mindegyikée meghalada az impulzusmomentumok egymás közötti kölcsönhatását A té megszakíta az L 1 és L 2 impulzusmomentumok közötti kapcsolódást, és az L 1 is és az L 2 is egymástól függetlenül pecesszál a té iánya köül Az L 1 és L 2 vektook mindegyike külön-külön vetítődik a té iányáa
3 b A peiódusos endsze felépítése és ételmezése; a Pauli-elv A peiódusos endsze Mengyeleev ismete fel 1865-ben azt a nagyon elentős tövényszeűséget, hogy a növekvő atomsúly szeint felsoakoztatott elemek tuladonságaiban szakaszosság mutatkozik: az elemek bizonyos kémiai és fizikai saátságai peiodikusan ismétlődnek Ez a endsze függőleges oszlopoka vagy csopotoka (ómai számmal elölve) és vízszintes sooka vagy peiódusoka tagozódik Az elemeknek a peiódusos endszebeli soszáma a endszám Annak oka pedig, hogy egy elem atomtömege elté az egész számtól az, hogy az illető elem több izotóp keveéke A kvantummechanika szeint az atom bámelyik elektonának az állapota négy független kvantumszámmal ellemezhető: - az n főkvantumszám (n=1, 2, 3, ), - az l mellékkvantumszám (l=0, 1, 2,, n-1), - az m l mágneses-kvantumszám (m l =-l,, -1, 0, 1,, l), amely az l pálya-impulzusmomentumnak egy külső mágneses vagy elektonos té iányáa való vetületét szaba meg, - az m s mágneses spinkvantumszám (m s =1/2, -1/2), amely az s spinnek egy külső mágneses vagy elektomos té iányáa való vetületét hatáozza meg Pauli az alábbi elvet állította fel: Az atomnak a temészetben csak olyan állapotai öhetnek szóba, amelyeknél az atom két tetszésszeinti elektonának kvantumszámmal legalább egy kvantumszámban különböznek A He legkisebb enegiáú vagy alapállapotában mindkét elekton főkvantumszáma 1=n 1 =n 2 Ekko l 1 =l 2 =0, és így m l1 =m l2 =0 Ezét m s1 =1/2 esetén m s2 =-1/2 (illetve m s1 =-1/2 esetén m s2 =1/2) A két elekton spine tehát antipaalel, és így a vektomodell szeint az eedő S spin kvantumszáma zéus: S=0 Hasonlóan L=0, J=0 A He alapteme 1S 0 tem, pontosabban (1s) 2 1S 0 tem, ahol az (1s) 2 az elektonkonfiguációt, vagyis hogy mindkét elekton n-e 1 és l-e 0 Ha a He-atom két elektonának spine páhuzamos lenne, vagyis ha mind a négy kvantumszám megegyezne, akko léteönne a megfelelő (1s) 2 3 S tiplett tem Azonban ilyen tem a valóságban nem létezik Ennek a temnek a hiánya volt a fő indítéka a Paulielv kimondásáa A Pauli-elv a lehetséges temek számát kolátozza, ezét kizáási elv A Pauli-elv szigoúan kolátozza egy atomon belül azoknak az elektonoknak a számát, amelyeknek háom, illetve két kvantumszáma megegyezik, vagy amelyek egy meghatáozott kvantumszámmal endelkeznek - a K-héon legfelebb két elekton, nevezetesen két s- elekton lehet, - adott (n, l) esetén egy atomban hány elekton lehet: az ugyanazon (n, l)-ű ekvivalens elektonok maximális száma 2(2l1), - az adott n főkvantumszámú elektonok maximális száma n l = (l ) = n, a K-, L-, M-, N-, -héon ende legfelebb 2, 8, 18, 32,, 2n 2 elekton foglalhat helyet,
- az s-, p-, d-, f-, - alhéak ende legfelebb 2, 6, 10, 14, elektont tatalmazhatnak
Általánosan fennáll a következő tétel: egy telesen betöltött (lezát) alhé vagy hé elektonainak eedő pálya- és spinmomentuma nulla (L=0, S=0 és így J=0, a tem: 1 S 0 tem), más szóval a lezát alhé vagy hé az atom vektoszekezetéhez semmivel sem áult hozzá A peiódusos endsze felépítése és ételmezése A peiódusos endsze ételmezését, vagyis annak magyaázatát, hogy az elemek legtöbb kémiai és számos fizikai saátossága a endszám növekedésével peiodikusan ismétlődik, a Pauli-elv kielégítően lehetővé tette Az elektonok héól héa fokozatosan töltik be az egy és ugyanazon n főkvantumszámhoz tatozókat Ha a számuk adott n-e eléi a maximumot, azaz a 2n 2 -et, akko a hé felépülése befeeződik: kialakul egy stabilis szekezet A következő elektonnal má egy ú hé betöltése kezdődik el Összehasonlítva ezt az ideális endszet a valóságnak megfelelő valódi peiódusos endszeel, az egy-egy soban helyet foglaló elemek különböznek: 2, 8, 8, 18, 32, (ahol tehát a 8 és 18 imétlődik), de a 2n 2 -nek megfelelnek A peiódusos endsze ételmezésének alapát az ún felépítési elv képezi E szeint minden atom elektonbuka úgy adódik az előzőéből, hogy egy úabb elektont hozzáveszünk Peiódusok Az 1 peiódus A hidogénatom ( 1 H) alapállapotban az elekton kvantumszámai: n=1, l=0 (és =1/2), más szóval az elekton 1s elekton, és az alaptem 2 S 1/2 A héliumatomot ( 2 He) kapuk, ha a H-mag töltését e-vel növelük, az elektonához pedig egy második elektont veszünk A héliummal lezául az 1 peiódus, a két 1s elektonnal telesen betöltődik a K-hé A 2 peiódus Tovább növelve a maga töltését e-vel és hozzávéve egy úabb (hamadik) elektont, a 2 peiódust kezdő lítiumatomhoz ( 3 Li) utunk A lítiumatom hamadik elektona az L-héon mint 2s elekton foglalhat helyet Így a teles elektonkonfiguáció: (1s) 2 2s, az alaptem pedig: 2 S 1/2 A beilliumatom ( 4 Be) negyedik elektona szintén 2s, de a hamadikéval ellentétes spinű elekton, amellyel lezául az L-hé 2s alhéa A következő hat elemnél a 2p alhé betöltődik elektonokkal, és a neonnal lezául a 2 peiódus A 10Ne-atom egy telesen betöltött K-héal (amelyet két elekton foglal el) és egy telesen betöltött L-héal (amelyet nyolc elekton foglal el) endelkezik Az elektonkonfiguáció: 1s 2 2p 6 A 3 peiódusban a 11 Na-nál megkezdődik az M-hé felépítése, és telesen hasonlóan folytatódik, mint az L- héé a 2 peiódusban; a 12 Mg-ban lezául a két elektonból álló 3s alhé, a 18 A-ban pedig a hat elektont tatalmazó 3p alhé A 4 peiódusban feltűnő, hogy előbb az N-hé 4s alcsopota épül fel, és csak ezután kezdődik meg az M-hé 3d alhéának a betöltése Ennek az a magyaázata, hogy egy 4s elekton enegiáa kisebb, mint egy 3d elektoné Az ún átmeneti elemek a 21 Sc-tól a 28 Ni-ig a nem betöltött belső héuknak köszönhetik különleges tuladonságaikat, pl a színüket és paamágnesességüket Az 5 peiódus hasonló a 4-hez Az O-hé 5s alhéa, mad az N-hé 4d alhéa épül fel (4d-átmeneti elemek), ezután úból az 5s és végül az 5p alhé, amely az 54X nemesgázzal lezául A 6 peiódus első két elemében a p-hé 6s alcsopota alakul ki, a további elekton az 5d alhéa keül Ez az alhé azonban egyenlőe nem töltődik tovább, hanem nagyon hasonló viselkedésű itkaföldfémekben vagy lantanoidákban a még belsőbb N-hé 4f alcsopota épül fel A 7 peiódusban az első háom elem egy-egy további elektona ende a 7s, 7s, 6d alhéon van, mad a következő 14 elemben, az aktinoidákban fokozatosan az 5f alhé épül fel Az elektonbuok hészekezetének egyik legmeggyőzőbb bizonyítéka az ionizációs enegiának az atom legkönnyebben leválasztható elektonának eltávolításához szükséges enegiának a endszámmal való peiódikus változása Az elektoneloszlásból kitűnik, hogy az elemek peiodikus tuladonságai lényegében a legkülső elektonhé szakaszos ismétlődésée vezethetőek vissza; más szavakkal, az egymáshoz hasonló viselkedésű elemek atomaiban a külső elektonok száma és elendezése (típusa) megegyezik Így pl az alkálifémeket egy s típusú külső elekton ellemzi, az alkáliföldfémeket két s, a halogéneket két s és öt p, a nemesgázokat pedig (héliumtól eltekintve) két s és hat p típusú külső elekton
4 b A öntgensugázás Röntgenspektumok; Moseley-tövénye A öntgensugázás A öntgensugaak előállítása Röntgensugázás akko keletkezik, ha gyosan mozgó elektonok valamely anyagba ütközve lefékeződnek Az ábán egy moden, a öntgensugaak előállításáa szolgáló vákuum öntgencső és belső tatozékainak sematikus aza található A fűtött katód által emittált elektonok a katód és az anód közti néhány százeze volt feszültség hatásáa az anód felé gyosulnak és egy céltágyba ütköznek A öntgencső %-ban kifeezett η hatásfoka a következő empiikus összeggel íható le: η = CVZ, ahol V az anód és a katód közötti feszültség kv-ban, Z pedig az anód anyagának endszáma, C 10-4 /Volt Az anódól kiinduló öntgensugázás egy alkalmas anyagú, vastagságú és nagyságú ablakon át kilépve, vizsgálható és különféle céla felhasználható A öntgensugázás néhány tuladonsága A szem számáa láthatatlan öntgensugaak fluoeszkáló hatást keltenek alkalmas anyagokon, a fényképező lemezt eősen megfeketítik, a gázokat ionizálák A öntgensugaak a látható fényhez hasonló temészetűek (elektomágneses hullámok), csak a hullámhosszuk sokkal övidebb, mint a fényé A öntgensugaak tatománya a távoli ultaibolyától (~10-8 m- től) kb 10-12 m-ig teed A öntgensugázás két fontos ellemzőe az eősség és a keménység, amelyek egymástól telesen függetlenül változtathatóak: a fűtőáam eősségével a katódból kilépő elektonok számát, s ezzel a sugázás intenzitását, az anód-katód közti feszültséggel pedig a sugaak keménységét lehet szabályozni Ugyanazon keménységű öntgensugázás különböző anyagokon való áthaladásko annál obban gyengül, minél nagyobb az anyagban lévő elemek endszáma, és minél több atom van a téfogategységben, vagyis a gyengítés az anyag sűűségével nő Pl a víz és szeves anyagok a sugaakat kevésbé nyelik el, de a fémek vagy csontok eősen Ezét, ha a öntgensugázás útába pl szeget tatalmazó fadaabot, pénztácát vagy kezünket nézzük, egy fluoeszkáló enyőn megfigyelhetük a fémdaaboknak, illetve a csontoknak a könyezettől élesen különváló ányékképét
A öntgensugázás összetétele A fékezési öntgensugázás A öntgencső antikatódáól kiinduló ún pime sugázás általában két észből áll: a fékezési- és a kaakteisztikus sugázásból A fékezési sugázás a hullámhosszak folytonos soozatát tatalmazza, akácsak a fehé fény Keletkezése az elektonok lefékeződésének tuladonítható Az ábán a fékezési öntgensugázás spektumának kíséleti enegiaeloszlása látható különböző gyosító feszültségeknél Az egyes göbék bizonyos hullámhosszaknál maximumot mutatnak Egy göbe maximumának megfelelő hullámhossztól a hosszabb hullámok felé haladva a göbe enyhén let és a hullámhossz növekedésével aszimptotikusan tat 0-hoz, a övidebb hullámok felé viszont a göbe meedeken esik, és egy bizonyos hullámhossznál (λ min ) nullává válik, megszakad Ez a kitikus λ min hullámhossz a folytonos spektum övidhullámú hatáa csak a V gyosító feszültségtől függ és független az antikatód anyagától: λ = min ٣٩ V, ahol λ min-ot Å-ben kapuk, ha V-t voltban aduk meg A kaakteisztikus öntgensugázás Ha az antikatódon lefékeződő elektonok enegiáa elé egy az antikatód anyagáa ellemző kitikus étéket, vagy ennél nagyobbat, akko a pime öntgensugázás a fékezési öntgensugázáson kívül még ún kaakteisztikus öntgensugázást is tatalmaz A kaakteisztikus öntgensugázás spektuma diszkét vonalakból áll Lényegesen eltének az optikai spektumoktól Az ábán háom különböző gyosító feszültségnél és ugyanazon uténiummal (Ru) szennyezett ódium (Rh) antikadónál felvett öntgenspektum látható A folytonos spektuma áakódó vonalak spektum az antikatód anyagának kaakteisztikus sugázásától számazik A spektumvonalak szabályos soozatot alkotnak
A öntgenspektumok Kíséleti eedmények, Moseley-tövény A fékezési öntgensugázás folytonos spektuma akko ön léte, ha a geesztő elektonok enegiáa egy bizonyos kitikus éték alatt maad Ha azonban az elektonok enegiáa egyenlő ezzel a kitikus étékkel vagy nagyobb, akko ún kaakteisztikus öntgensugázás is keletkezik A kaakteisztikus sugázás spektumvonalai a öntgenspektum különböző észeibe eső szabályos vonalakat alkotnak, amelyeket K, L, M, illetve N betűkkel elölnek, ezeket csak nehéz elemeknél lehet észlelni Moseley 1913-ban mintegy 40, antikatódként alkalmazott elem öntgenspektumának endszees vizsgálatával megállapította, hogy a sugázást kibocsátó elem Z endszámának növelésével a soozatok vonalai szabályosan eltolódnak a kisebb hullámhosszak, illetve nagyobb hullámszámok (ν=1/λ) iányába A öntgenspektumok lényegesen különböznek az optikai színképektől Az optikai spektumok gyakan nagyon bonyolultak A öntgenspektumoknál nincs meg az optikai színképe ellemző peiodicitás Ez azt mutata, hogy nem az atom külső, hanem a belső észe átszik lényeges szeepet Vonalas spektumok csak emisszióban figyelhetők meg, abszopcióban nem Az összes öntgenspektum-soozat közül a legegyszeűbb a K soozat felépítése A K-soozat 3 vonalból áll, amelyeket K α, K β és K γ vonalaknak neveznek A háom vonal közül a K α -nak van a legnagyobb hullámhossza, és egyúttal ez a legintenzívebb is A K α -vonal ól szétválasztható dublett A K β is, azonban nem mindig lehet szétválasztani őket Az elemek öntgenspekumait vizsgálva, Moeseley a K-soozat legnagyobb hullámhosszú és legeősebb vonalának, a K α -vonalnak a ν K α hullámszáma és a Z endszám között az alábbi összefüggést (Moseley-tövényt állapította meg): ٣ ν K α = R( Z ) = ( Z ) R, ahol R a Rydbeg állandó (R=1,097 10 5 1/cm) A méésekből ٤ kapott ν K α étékeket a Z endszám függvényeként feltüntető pontok egy egyenesen, a Moseleyegyenesen vannak Az L-soozata: ν L α = R( Z σ ), ahol σ a leányékolási szám ٣ A Moseley-tövényt endszeint a következő alakban aduk meg: ν = C ( Z σ ), ahol C állandót elent, a Z*=Z-σ pedig az effektív magtöltésszám A Moseley-tövény elentős: - lehetővé teszi ugyanis a endszám meghatáozását, - eloszlatta a kétséget mindazoknak az elemeknek a besoolását illetően, amelyeket Mendeleev nem az atomsúlyuknak megfelelő soendben soolt be a endszebe Az atomsúly szeinti soendet az A-K, Co-Ni, Te-J elempáok esetében fel kell cseélni, - útmutatást nyútott addig még ismeetlen elemek, pl a 72 Hf és a 75 Re felfedezésée, - elsőnek mutatott á, hogy az atom kémiai saátságait nem az atomsúly, hanem a magtöltéssel számétékben egyenlő endszám hatáozza meg, - alapa a öntgensugaakkal végezhető kémiai analízisnek, és elősegítette a öntgenspektumok keletkezésének tisztázását is A öntgenspektumok keletkezése A öntgenspektumok keletkezése, illetve a kaakteisztikus öntgenspektum fotonainak kibocsátásához vezető folyamatok Kossel (1914) nyomán a következőképpen ételmezhetőek Ha a öntgencsőben egy elegendően nagy enegiáú katódsugá-elekton az antikatód egyik atomának valamely belső héáól kilök egy elektont, akko az így felszabadult ües helye ( lyuka ) átmegy egy elekton valamelyik távolabbi héól, és ennek az átugó elektonnak kezdeti és végállapota közti enegiakülönbséget az atom kisugáozza hν enegiáú öntgenfoton alakában
b Anyaghullámok; a észecske-hullám kettősség ; a de Boglie-hullámok 5 Az optikai elenségek egy észe kifeezetten a fény hullámtemészetét bizonyíták, amíg más optikai elenségek hatáozottan a fény kopuszkuláis temészetée utalnak A fénynél mutatkozó kettősség az olyan fizikai obektumoknál is évényes, amelyeket észecskéknek nevezünk Más tapasztalatok szeint viszont ugyanezek a észecskék hullámok módán viselkednek A de Boglie-hullámok L De Boglie 1924-ben azt a meész gondolatot vetette fel, hogy a észecske-hullám kettősség nem csupán az optikai elenségek saátossága, hanem általános évényű De Boglie felállította azt a hipotézist, hogy minden mozgó észecskéhez hullám tatozik, amelynek hullámhossza és fekvenciáa a észecske p=mv impulzusával és az E=mc 2 enegiáával (ahol m = m / ( v / c), m 0 a észecske nyugalmi tömege, v a sebessége, c a fény teedési sebessége) ugyanolyan kapcsolatban van, mint a fény hullámhossza és h fekvenciáa a foton p = = k impulzusával és az E=hv=ħω enegiáával Ennek megfelelően egy v λ sebességű észecskéhez, amelynek nyugalmi tömege nem nulla, egy olyan hullám tatozik, amelynek h h hullámhossza λ = = E mc és fekvenciáa ν = = p mv h h π Felhasználva a k hullámszámvektot (amelynek abszolút étéke k = ) és iánya megegyezik a p impulzus λ iányával ( p = k ), a hatáozott impulzusú szabad anyagi észecske mozgását a következő monokomatikus síkhullám (de-boglie-hullám) ía le: = i( k ω t) Ae = i( xk yk zk t) ( xpx yp y zpz Et) x y z ω Ae = Ae A de Boglie-hullámok néhány tuladonsága Az anyaghullámok (v f ) fázissebessége és (v cs ) csopotsebessége Az anyaghullámok fázissebessége a λ-nak és a ν-nek a szozata, illetve ω-nak és k-nak hányadosa: v f ω ω E mc c = λ ν = = = = = k k p mv v dω d( ω ) de dv f Az anyaghullámok csopotsebessége: vcs = = = = v f λ dk d( k) dp dλ, az utóbbi kifeezés a Rayleighegyenlet v cs =v, azaz a de Boglie-hullám csopotsebessége egyenlő a észecske v sebességével A de Boglie-hullámok hullámhossza Ha az elektonnyalábot gyosító V feszültség nem nagy, akko az m e tömegű v 0 0 kezdősebességű elekton sebessége a V gyosító feszültség szabad befutása után a következő összefüggésből hatáozható meg: h m e v = ev Az elekton de Boglie-hullámhossza szeint: λ eff = m v Behelyettesítve ide v-t ( v = ev / m ), továbbá beíva a h és m e étékeit, λ eff -e a következő kifeezést e ٥ kapuk: λ eff = A, ahol V V a voltban kifeezett feszültség számétéke A V V =150 volt feszültséggel V V felgyosított elektonokhoz tatozó de Boglie-hullámok hullámhossza: λ eff 1Å, vagyis akkoa, mint a öntgensugaaké Elektonsugaaknak kistályoka való bocsátásako a öntgensugaakéhoz hasonló intefeencia- vagy elhaláselenségek váhatóak e i
b A Compton-effektus, és ételmezése 6 A Compton-effektus; kíséleti eedmények A fény észecsketemészetét eősen alátámasztotta a öntgensugaak szóódásának vizsgálata soán felfedezett Compton-effektus λ 0 hullámhosszúságú öntgensugázás esik kis gafit- vagy paaffin daaba, akko a szót sugázásban öntgenspektométeel a pime λ 0 vonalon kívül kimutatható egy Δλ-val nagyobb λ hullámhosszúságú eltolt vonal is A nyet eedményeket göbék szemléltetik A göbék a szót sugázás intenzitásának spektális eloszlását mutaták, υ szóási szögek mellett - A szót sugázás spektumában a geesztő sugázás eedeti vonalán (a λ 0 helyen) kívül fellép egy másik vonal is (a λ helyen), amely az eedeti vonalhoz képest a hosszabb hullámok felé van eltolva - A λ 0 -nak és a λ -nek megfelelő vonalak közötti λ -λ 0 =Δλ eltolódás annál nagyobb, minél nagyobb a υ szóási szög A szóódásnál kapott Δλ hullámhossz-eltolódás független a szóó anyag minőségétől A szóó anyag Z endszámának növekedésével a λ 0 helyen lévő pime vonalak (P) intenzitása nő, amíg a λ helyen lévő eltolt vonalak (M) intenzitása csökken A Compton-effektus ételmezése Egy beeső öntgenfotonnak és a szóó anyag egyik lazán kötött elektonának a ugalmas ütközésénél mind az enegia, mind az impulzus megmaadásának tétele alkalmazható A foton tuladonságaiól A foton különleges tuladonságokkal endelkező észecske A foton mozgásáa a megfelelő elativisztikus összefüggéseket kell használnunk Egy foton E enegiáát a ν fekvenciáa hatáozza meg: E = hν = ω, ahol h a Planck-állandó, a ħ=h/2π és ω=2πν A foton teedési sebessége a fényhullám c teedési sebességével egyezik meg A hν enegiáú foton tehetetlen tömege: m f = hν c A foton nyugalmi tömegének nullának kell lennie mv p = mv = hν hν E π A foton impulzusa: v Egy másik fomula: p f = m f c = c = = = c c c λ c = k Mivel a foton a megfelelő elektomágneses hullám teedési iányába epül, ezét a p f impulzus iánya megegyezik az elektomágneses hullám teedési iányába mutató k hullámszámvektoal: p f =ħk
A Compton-fomula A Compton-effektus ételmezhető, ha a öntgensugá szóódását úgy vizsgálhatuk, mint a öntgenfotonoknak és a gyakolatilag szabad elektonoknak az ütközését A foton impulzusvektoait ħk 0 és ħk alakban íva, az enegia és az impulzus megmaadását kifeező hν egyenleteket a következőképpen íhatuk fel: hν 0 m 0 c 2 =hν mc 2 hν ', k = p k', = cos mv cosϕ c c Ezekből az egyenletekből meghatáozható ν valamint v és φ is mint a υ szóódási szög függvénye A Δλ=λ -λ 0 =c/ν -c/ν 0 hullámhossz eltolódás, vagyis a Compton-fomula: λ = λ C sin = λ C ( cos ), h ahol λ C = =, ٤٥ A az elekton Compton-hullámhossza egy univezális állandó -, amely a υ=90 mc o szóódási szögnél fellépő hullámhossz-eltolódást elenti Az enegia és az impulzus megmaadásának tétele az egyes elemi folyamatoka is évényes Hogy a szót öntgensugázásban az eltolt vonal mellett általában az eedeti vonal is fellép, az annak tuladonítható, hogy a szóó anyagban a lazán kötötteken kívül eősen kötött elektonok is vannak, amelyeket a fotonok nem képesek leszakítani, s ezét enegiáuk az ilyen elektonon való szóódásko változatlan maad Az eltolt és az eedeti vonal intenzitásának az aánya annál nagyobb, minél kisebb a szóó anyag endszáma, és minél nagyobb a hν 0
7 b A fény kettős temészete; a hullám vagy/és foton elmélet A fény hullám- és fotonelmélete A fény a elenségek egyik nagy csopotában (intefeencia, elhalás) kifeezetten hullámtuladonságokat, másik nagy csopotában pedig (pl abszopció, emisszió, Compton-effektus) észecsketuladonságokat mutat Ezt úgy szokás kifeezni, hogy a fénynek kettős (duális) temészete van A fény hullámtemészete, illetve az elektomágneses fényelmélet nem bizonyult alkalmasnak a fotoeffektus, a Compton-szóás és általában a fény abszopcióával és emisszióával kapcsolatos elenségek ételmezésée Ezeke a fény kopuszkuláis vagy kvantumos ellegű elmélete, a fény fotonelmélete ad számot E szeint a ν fekvenciáú fénynek más anyaggal való enegia- és impulzus-cseéét hν enegiáú és hν/c impulzusú fotonok közvetítik Vannak olyan fényelenségek is (pl a fénynyomás és a Dopple-effektus), amelyek a hullám- és a fotonelmélettel egyaánt megmagyaázhatóak Valóában a fény nem észecske és nem is hullám, hanem az anyagnak olyan fomáa, amelynek összes tuladonságai nem íhatók le egyetlen olyan egyszeű modellel, mint amilyen a makoszkopikus elenségek nyomán kialakult észecske- és hullámmodell A fény kettős temészetét a kvantumelektodinamika ía le helyesen A fény hullám- és fotonelméletének összeegyeztetésée iányuló póbálkozások Az Einstein-féle tűsugázásmodell E szeint az F fényfoás A, B, C, atomai által kibocsátott 1, 2, 3, fotonok egyenként igen kis tészögbe (keskeny tűsugaakban) haladó hullámvonulatok, amelyek összessége látszólag egenétékű lenne a tében statisztikailag egyenletesen eloszló gömbhullámmal Egy hullámvonulat vagy foton ketté is osztható, és a két félfoton úa egyesítésével intefeencia létesíthető A tűsugá-kép helytelenségét legszembetűnőbben Selényi Pál mutatta meg (1911) A Selényi-féle nagyszögű intefeenciakísélet azt bizonyította, hogy az atomok fénykibocsátása széles tészögtatományban is léteöhet Csillámlemeze vékony fluoeszkáló éteget vittek fel Egy megfelelően fókuszált fénynyalábbal a fluoeszkáló anyag atomait geesztve, azok fényt emittálnak A geesztett atom által kibocsátott fény egy észe közvetlenül a levegőbe lépett ki, a másik észe pedig a csillámlemez alsó felületéől visszaveődve utott a levegőbe A fluoeszkáló atomból nagy szög alatt kilépő fénysugaak között intefeencia lépett fel A elenség észletes vizsgálata azt mutatta, hogy a világítással geesztett elemi fényfoások, az atomok gömbalakban bocsáták ki a fényt Selényi kísélete megdöntötte a tűsugázás elméletét, ugyanakko nem vezetett ellentmondása a hullámelmélettel, sőt igazola azt Jánossy és munkatásainak kíséletei Jánossy Laos és munkatásai pecíz kíséletekkel bebizonyították, hogy a Michelson-féle intefeométeben a nomális fényintezitásoknál mutatkozó intefeenciával azonos típusú intefeencia lép fel olyan gyenge fény esetén is, amiko a készülékben egyideűleg csak egyetlen foton tatózkodik Nyilván a fény gömbhullámban való teedése mellett szólnak A kíséletek végül is, a kutatók szándékától függetlenül nem azt a kédést tisztázták, hogy a fény észecske-e vagy hullám, hanem azt, hogy mindkettő lehet; a kölcsönhatástól függ, hogy a fény melyik temészetét mutata
b Elekton- atom- és molekulasugaak diffakcióa 8 Elektonsugaak diffakcióa Az elektonok diffakcióát és ezzel az anyaghullámok létezését meggyőzően előszö Davisson és Geme mutatták ki 1927-ben Az E elektonágyúból V 30-300 volt feszültséggel felgyosított keskeny elektonnyalábot bocsátottak meőlegesen a (szabályos endszebe tatozó) nikkel egykistály oktaéde- vagy (111) indexű lapáa, és az elfogatható K fémkamához kapcsolt galvanométeel méték a φ szög alatt szóódó elektonoktól számazó áamot Az enegia növelésével a maximum egye eősödik és 54eV-nál éi el a legnagyobb étéket, mad az enegia további növeléseko ismét gyengül, és 68eV-nál má csaknem telesen eltűnik A gyosítófeszültséget és a K helyzetét úgy beállítva, hogy az 54eV- nál látható éles maximum állon elő, a kistályt köbe fogatták a függőleges tengely köül és közben állandóan méték a K-n átfolyó áamot Az oktaédelap háomfogású szimmetiáának megfelelően a kistály helyzete egy köülfodulás alatt háomszo esik egybe a kiindulási helyzettel A kíséletek szeint tehát a kistályól az elektonok csak meghatáozott diszkét iányokban veődnek vissza, és minden ilyen iányhoz meghatáozott V V -voltfeszültség vagy voltsebesség tatozik Elektondiffakció a Debye-Schee mintááa is előállítható A néhány tízeze volt feszültséggel felgyosított keskeny elektonnyaláb ó vákuumban a T tatóval elfogatható és eltolható, igen vékony ( 100Å) P pepaátumon halad át, és az így keletkező elhelyezkedő mikokistályokból álló pepaátum esetén az elhalási kép Debye-Scheegyűűknek, egykistály-fóliák esetén pedig különálló kis foltoknak a enszee A képnek mágneses té hatásáa bekövetkező eltolódása azt bizonyíta, hogy az elhalási képek valóban elektonokból számaznak, nem pedig az ezek által keltett öntgensugaakból Az elektonok elhalását hasonlóan, mint a öntgensugaakét sikeült később éleken és fémácsokon (súlódó beesés mellett), valamint gázsugaakon is kimutatni, és az eedményeket az elektonhoz tatozó anyaghullámokkal ételmezni Ezek a hullámok szabák meg nagy észben az elektonmikoszkóp feloldóképességét, illetve a d=λ/nsinu feloldási hatát Az elektondiffakciót széles köűen alkalmazzák anyagszekezeti vizsgálatoka, elsősoban felületi étegek tanulmányozásáa, az elektonsugaak ugyanis óval kevésbé hatolnak be az anyag belseébe, mint a öntgensugaak Atom- és molekulanyalábok diffakcióa Előszö Sten és munkatásai mutatták ki (1929), hogy a de-boglie-egyenlet a semleges atom- és molekulanyaláboka is alkalmazható Azonos sebességű héliumatomokból, mad hidogénmolekulákból álló vékony nyalábot bocsátottak lítiumfluoid kistály felületée, meghatáozták a visszavet nyalábok iány szeinti intenzitáseloszlását, és ebben szabályosan ismétlődő maximumokat találtak Az atom- és molekulasugaak nem hatolnak be a kistály belseébe A kiétékelésből adódó hullámhossz ól megegyezett a λ=h/mv de Boglie-hullámhosszal
9 b Mikoészecske potenciálgödöben Részecske áthaladása potenciálfalon (alagútelenség) A lineáis hamonikus oszcilláto A lineáis hamonikus oszcilláto Lineáis hamonikus oszcilláto klasszikus ételemben egy olyan tömegpont, amely egyenes mentén d x (pl az x tengelyen) hamonikus ezgést végez az F x =-Dx eő hatásáa, az m = Dx dt D mω mozgásegyenletből következő ω = fekvenciával Mivel a potenciális enegia U = Dx = x, m d m mω így a Schödinge-egyenlet most a következő alakba íhatuk: = E x dx A lineáis hamonikus oszcilláto lehetséges enegiaétékeie azt kapuk, hogy E n = ω n, n=0, 1, 2, Az oszcilláto E enegiáa tehát csak diszkét étéket vehet fel Az ába a hamonikus oszcilláto enegianívóit mutata Látható, hogy a szomszédos enegianívók közötti távolság független n-től, és nagysága: E = ω = hν Csak atomi endszeek nagyon kicsiny ezgő tömegeinél lesz az enegiakvantálás elentős, makoszkopikus tömegű ezgő-endszeeknél az enegiaállapotok olyan sűűn helyezkednek le egymás mellett, hogy azok klasszikus ételmezés alapán nem különböztethetőek meg A legkisebb lehetséges enegiaéték (zéuspont-enegia): E = ω Egy hamonikus oszcilláto esetében csak a szomszédos nívók közötti átmenetek lehetségesek Az ilyen átmeneteknél tehát az n kvantumszám eggyel változik (kiválasztási szabály): n = ± Az ennek megfelelő átmenetek az ábán nyilakkal vannak elölve
Részecske végtelenül mély potenciálgödöben Hatáozzuk meg egy végtelenül mély egydimenziós potenciálgödöben lévő észecskée vonatkozóan a megfelelő enegiasaátétékeket és saátfüggvényeket Tegyük fel, hogy a észecske csak x-tengely mentén mozoghat A mozgást kolátozzák az x=0-nál és x=l-nél lévő falak, amelyek a észecske számáa áthatolhatatlanok Az U potenciális enegia változása:, U = x < x l x > l Mivel a függvény csak az x koodinátától függ a Schödinge-egyenlet a következőe egyszeűsödödik: d m ( E U ) dx = Figyelembe véve, hogy a észecske a potenciálfal hatáain túla nem uthat, ezét a fal hatáain kívül a észecske megtalálásának valószínűsége nulla -nek a fal hatáainál is nullának kell lennie, azaz ( ) = ( l ) = d m Abban a tatományban, ahol nem nulla: E dx = m Bevezetve az ω = E elölést, a ezgéstanból ól ismet egyenlethez utunk: '' ω = Megoldása: ( x ) = a sin( ω x α ) A (0)=0 feltételből azt kapuk, hogy ( ) = a sin α =, α-nak 0-nak kell lennie Továbbá a (l)=0 feltétel azt elenti, hogy ( l) = a sin ω l =, ami csak úgy lehetséges, ha ω l = ± nπ, ahol n=1, 2, 3, ω-t kifeezve és behelyettesítve a észecske enegiáának saátétékeie azt kapuk, hogy E n = π n, n=1, 2, 3, ml Az enegiaspektum tehát diszkét Az ába a megfelelő enegianívódiagammot ábázola Becsülük meg két szomszédos enegianívó (E n1, E n ) közötti ΔE n távolságot, különböző m 0 észecsketömeg és l potenciálgödö-szélesség esetén: En = En π π En = (n ) n ml ml nπ Meghatáozhatuk a n ( x) = a sin x pobléma saátfüggvényeit is Az a együttható meghatáozásához l alkalmazzuk most a nomálási feltételt: l nπ a sin xdx =, azaz a l =, s így a = l l Vagyis a saátfüggvények alaka: n ( x) = sin l nπ l x, n=1, 2, 3,
Részecske áthaladása potenciálfalon (alagútelenség) Tegyük fel, hogy a észecske az x-tengellyel páhuzamosan, balól obba mozogva, beleütközik egy l szélességű és U 0 magasságú potenciálfalba A kvantummechanika szeint a észecske a következőképpen viselkedik Abban az esetben is, ha E<U 0, nullától különböző valószínűsége van annak, hogy a észecske a potenciálfalon keesztül halad A észecske ilyen viselkedése közvetlenül következik a Schödinge-egyenletből Íuk fel a Schödinge-egyenletet az ába I, II, III tatománya:, x ( I tatomány) Mivel U = U < x < l ( II tatomány), l x ( III tatomány) d m a Schödinge-egyenlet alaka az I és III tatománya (ahol E<U 0 ): E dx =, d m a II tatománya (ahol E-U 0 <0): ( E U ) dx = Ha i= -1, α = m E, az általános megoldás az I tatománya: = iα x A e iα x B e a III tatománya:, iα x iα x ٣ = A٣e B٣e β x β x = Ae Be, és a II tatománya: ahol β = m ( U E) és A 1, B 1, A 2, B 2, A 3, B 3 állandókat elentenek Mivel a III tatományban csak a potenciálfalon áthaladt és balól-obba teedő hullám van elen, ezét fel kell tételeznünk, hogy B3 étéke zéus A többi együtthatót pedig azokból a feltételekből hatáozzuk meg, hogy -nek és -nek folytonosnak kell lenniük az I és II, valamint a II és III tatományok hatáainál, vagyis x=0-nál és x=l-nél Az alábbi egyenleteket kapuk: A B = A B, β l β l iα l A e Be = A٣e, iα A iα B = β A β B, β l β l iα l β A e β Be = iα A٣e Pl alagútelensége: két fém éintkezési helye, hideg-emisszió, spontán ionizáció, adioaktív α-bomlás, makoszkopikus test
10 b A hidogénatom hullámmechanikai modelle Részecske mozgása centális eőtében A centális eőtée az a ellemző, hogy a benne lévő észecske U potenciális enegiáa csak az eőcentumtól számított távolságtól függ Ennek megfelelően, célszeű a Shcödinge-egyenletet az, υ, φ gömbi polákoodinátákban felíni A polákoodinátaendsze oigóa gyanánt az eőté centumát választva amiko is U=U() -, a Schödinge-egyenlet polákoodinátkban kifeezett alaka: )) ( ( sin sin sin = U E m ϕ Az egyenlet megoldásáa -t a következő alakban vesszük fel: ), ( ) ( ),, ( ϕ ϕ Y R = Helyettesítsük be ezt a póbakifeezést a Schödinge-egyenletbe, és az így nyet egyenletet osszuk el ( 2 /Y)-nal: = sin sin sin )) ( ( ϕ Y Y Y U E m d dr d d R Az egyenlőség a változók minden étékée csak úgy állhat fenn, ha mindkét oldal külön-külön állandó, monduk λ: )) ( ( = R U E m d dr d R d λ, ez az egyenlet egy közönséges diffeenciálegyenlet az R() függvénye nézve, a adiális Schödinge-egyenlet, sin = Y Y Y ctg Y λ ϕ A hidogénatom A hidogénatom e töltésű, illetve általánosabban egy hidogénszeű ion Ze töltésű és nyugvónak feltételezett magától távolságban a e töltésű, m0 tömegű elekton potenciális enegiáa: Ze U ٤ π ε = Behelyettesítve ezt az U étéket az időtől független Schödinge-egyenletbe, azt kapuk, hogy ٤ = Ze E m π ε vagy ٤ sin sin sin = Ze E m π ε ϕ A megoldást ), ( ) ( ),, ( ϕ ϕ Y R =, alakban keesve, a következő két egyenletet kapuk: ٤ = R Ze E m d dr d R d λ π ε, sin = Y Y Y ctg Y λ ϕ Akko vannak eguláis megoldásai, ha λ=l(l1), l= 1, 2, 3, A eguláis megoldások az ún gömbfüggvények: ϕ ϕ im m l e T Y = ) ( ), (,, m= -l,, -1, 0, 1, 2,, l Egy meghatáozott l-hez tehát 2l1 lineáisan független gömbfüggvény tatozik Ezek után a λ=l(l1)-gyel felít egyenlet vizsgálata dönti el, hogy az E enegiának mely étékei lehetségesek
Vizsgáluk most meg, hogy az egyenletből milyen kvalitatív következtetéseket vonhatunk le Mindenekelőtt d R dr m Ze l( l ) íuk át a következő alakba: = E ٤ R d d π ε m Ez az egyenlet egy olyan egydimenziós mozgást í le, amelyhez a következő fiktív U potenciális Ze l( l ) enegiafüggvény tatozik: U ' = ٤π ε m Ha elegendően nagy, akko az első tag dominál, ezét ilyenko U <0; esetén U 0 Kis étékeknél U kifeezésében a második tag szeepe a döntő, és ezét U >0 lesz Az E<0 tatományban egy potenciálgödö alakul ki Ha pedig E>0, akko egy adott enegiaétéknek megfelelő magasságban, az abszcisszatengellyel páhuzamosan húzott egyenes a potenciálgöbét csak egy pontban metszi A mozgás ilyenko csak a potenciálfal egyik oldaláa kolátozódik Vagyis ha E>0, akko az enegiaopeátonak folytonos saátéték-spektuma van Reguláis megoldások az E>0 esetben minden E étéknél, az E>0 esetben viszont csak a következő diszkét ٤ me Z enegiaétékeknél léteznek: E n = ٣π ε n Az E n enegia csak az n-től, a főkvantumszámtól függ, amelyet úgy kaphatunk meg, hogy az l azimutális és az n adiális kvantumszámok összegéhez hozzá adunk 1-et Az E n enegianívókhoz tatozó hullámfüggvények száma A hidogénatom ugyanazzal az enegiaétékkel endelkezhet, miközben több különböző állapotban van Ha ugyanazon enegiához több különböző állapot is endelhető, akko az enegiaétéket elfaultnak nevezzük: n l = ( l ) = n, az n főkvantumszámú állapot, illetve a hidogénatom minden enegianívóa n 2 -szeesen elfault Amennyiben a spint is figyelembe veszzük, az eedmény 2n 2 -e módosul Az egymásután következő nívókat célszeű úgy elhelyezni, hogy az azonos l azimutális kvantumszámhoz, de különböző n főkvantumszámhoz tatozó enegianívók egymás alá keülenek Ebben az ábázolásban a hidogénatomnak az azonos n-hez tatozó összes nívóa ugyanolyan magasságban helyezkedik el Egy ilyen diagamm visszatüközi a nívók elfaulását
b A Heisenbeg-féle hatáozatlansági elációk 11 A észecske-hullám dualizmusából következő hatáozatlansági összefüggések A de Boglie-hullámok valószínűségi elentése, illetve statisztikus ellege szoosan összefügg azzal a felismeéssel, hogy (Heisenbeg, 1927), hogy atomi endszeek esetében bizonyos fizikai mennyiségeknek egyideű tetszőleges pontossággal való meghatáozásához elvileg azaz telesen eltekintve a méőeszközök tökéletességétő nem lehetséges Heisenbeg 1927-ben levezette, hogy ha egy észecskée vonatkozóan az x, y, z helykoodináták Δx, Δy, Δz hatáozatlanságait megszoozzuk a p x, p y, p z impulzuskoodináták megfelelő Δp x, Δp y, Δp z hatáozatlanságaival, akko az így nyet szozatok étékei közelítőleg a Planck-állandóval egyenlők: Δx Δp x h, Δy Δp y h, Δz Δp z h Ezek az összefüggések amelyeket Heisenbeg-féle hatáozatlansági elációknak nevezünk azt elentik, hogy pl minél pontosabban meghatáozott a észecske x koodinátáa (vagyis minél kisebb a Δx), annál kevésbé meghatáozott a észecske p x impulzuskomponense (azaz annál nagyobb a Δp x ) és megfodítva A Heisenbeg-féle hatáozatlansági elációk általánosíthatóak minden kanonikusan konugált változópáa Így pl egy stacionáius állapotú endsze enegiáának ΔE hatáozatlansága és az állapotban való tatózkodás Δt időtatama között a következő eláció áll fenn: ΔE Δt h A hatáozatlansági eláció mindig két olyan mennyisége vonatkozik, amelyek közül az egyik inkább a hullámtuladonságához amíg a másik inkább a észecsketuladonsághoz tatozik A hatáozatlansági összefüggések azt feezik ki, hogy a klasszikus észecskefogalom mikoészecskéke csak kolátozott métékben alkalmazható Mikoészecskéknél nem lehet beszélni az x és a p x egyideű pontos étékéől Ez a különös viselkedés nyilván annak a következménye, hogy az elektonok és más mikoészecskék a kopuszkuláis tuladonságokon kívül hullámtuladonságokkal is endelkeznie Vagy a hamonikus hullámokhoz agaszkodunk, amelyet meghatáozott k hullámszámvekto, tehát meghatáozott impulzus ellemez; az ilyen hullám azonban kolátlan kiteedésű, vagyis ebben az esetben nem lehet szó semmiféle lokalizációól Vagy kolátos hullámot veszünk, akko azonban meghatáozott λ hullámhosszúságú hullám helyett egy folytonos spektummal bíó hullámcsopotot kapunk, ahol a a λ folytonosan változik egy bizonyos intevallumon belül Ez az intevallum annál szélesebb, minél kisebb a hullámcsopotok kiszélesedése, vagyis minél pontosabb a lokalizáció Példák a hatáozatlansági elációa Részecske (pl foton vagy elekton) helyének meghatáozása éssel ellátott enyő (blende) segítségével Tegyük fel, hogy az AB=Δx szélességű éssel ellátott E 1 enyőe (vagy blendée) egy elekton esik be Az elekton helyét a ésen való áthaladás pillanatában úgy lehet meghatáozni, hogy megaduk a és helyét a méőbeendezés többi észéhez képest Ha az E 1 enyő elég meev és sziládan kapcsolódik a méőbeendezés többi észéhez képest, akko a és helyzete a koodinátaendszeben ögzített, és ily módon az elekton helye a ésen való áthaladás pillanatában Δx hatáozatlansággal ismeetes A ésen áthaladó elekton helymeghatáozásának pontosságát növelhetük a és szűkítésével A ésen való áthaladás alkalmával egyes elektonok megváltoztaták mozgási iányukat Az iányváltozás annak a következménye, hogy egyes elektonok a blendével kölcsönhatásba lépve, az x tengely iányában Δp x impulzusa tesznek szet A ésen való áthaladás időpontában az elektonok koodinátáa Δx hatáozatlansággal, az impulzusa pedig Δp x hatáozatlansságal ismeetes Mivel pedig a fő elhalási maximum annál szélesebb, minél szűkebb a és, így ha a helymeghatáozás pontosságának fokozása célából elkezdük szűkíteni a ést, akko az impulzus Δp x hatáozatlansága megfelelően növekedni fog h Δx és a Δp x hatáozatlanságok között fennálló összefüggés: p x = p sin α = sin α Az első minimuma: λ x sin α = λ => Δx Δp x =h Ha a mellék elhalási maximumokat is figyelembevesszük, akko Δx Δp x λ Ez pedig éppen a Heisenbeg-féle hatáozatlansági eláció az x koodinátáa vonatkozóan
Heisenbeg gondolatkísélete : az elekton helyének meghatáozása mikoszkóp segítéségével Tegyük fel, hogy az x tengely mentén adott feszültséggel felgyosított, tehát ismet p 0x =mv 0x impulzusú elektonokból álló nyaláb halad, amelynek egyik elektona bizonyos időpillanatban a P pontban van Hogy az elekton helyét az M mikoszkóp segítségével meghatáozhassuk, ehhez az elektont a pl x iányú fénynyalábból legalább egy fotonnak el kell találnia, és az ütközés után M-be kell utnia A fényelhalás miatt a mikoszkóp felbontási hatáa: d λ/sinα, ahol α az obektív fél nyílásszöge Esetünkben nyílván a d=δx távolság a λ helymeghatáozás bizonytalansága: x sin α Figyelembe kell vennünk, hogy a p x a fotonnal való ütközés, azaz a Compton-effektus folytán megváltozik hν hν ' hν h az alábbi étékkel: dp x ' = cos ( cos ) = ( cos ) c c c λ A υ szóási szögől azonban csak annyit tudunk, hogy étéke 90 o -α és 90 o α közé esik Ennek megfelelően az h elekton p x impulzusának étéke a p 0x ±(h/λ)sinα közé esik: p α λ sin x = => Δx Δp x h, vagyis éppen a Heisenbeg-féle hatáozatlansági elációt nyetük A hatáozatlansági elációk néhány következménye A hatáozatlansági elációk kolátozó szeepe mako- és mikoészecskék esetében h v = Mivel h igen kicsiny, a Δv étéke főként a h és az m viszonyától függ Makoszkopikus m x tömegeknél a Δv hatáozatlanság a helymeghatáozás szempontából igen nagy lehet A spektumvonalak temészetes szélessége és a ΔE Δt h hatáozatlansági eláció Még a legnagyobb felbontóképességű spektométeel felvett egyetlen és egyszeű színképvonal is mindig véges szélességű Ennek a kiszélesedésnek több oka közül tekintetbe kell vennünk a spektumvonalak temészetes kiszélesedését, amely a ΔE Δt h elációval áll szoos kapcsolatban Egy atomi geesztett állapot (g) temészetes élettatama általában τ0=δt 10-8 s nagyságendű A geesztett állapot enegiáában E g h E g, a temétékben Tg =,٣ hatáozatlanság t hc c t cm tatozik Ily módon alapállapotba való átmenet soán emittált spektumvonal temészetes szélességét is ez az éték elenit: ν,٣ cm Ez a szélesség pl λ=5500ǻ-ös vonal esetén, a λ = miatt: λ = λ cm, A ν ν étéknek felel meg