VEKTORALGEBRA A közönséges geometrii tér vektori 1. Alpfoglmk A hétköznpi tér z elemi geometri háromdimenziós euklideszi tere két különöző pontj, z A és B közti szksznk kétféleképpen dhtunk irányítást. AB jelöli zt z irányított egyenes sz- B kszt, melynek kezdőpontj A, végpontj B. Az irányított egyenes szkszok közé számítjuk z AA szimólumml jelölt elfjuló szkszt is, mely pusztán egy pont AB HK szksz kezdő és végpontj egyeesik. H 3 A K Vektor. Az irányított egyenes szkszok összességét felosztjuk olyn osztályokr, melyekől ármely két különözőnek nem lesz közös része. Azt mondjuk, hogy zt AB és CD irányított egyenes szkszok egy D B osztály trtoznk, h z AD és CB szkszok felezéspontji egyeesnek. Egy ilyen osztályt nevezünk vektornk. A vektorokt vstg etűvel, írásn láhúzv vgy fölényilzv jelöljük: F 1 F 2,, A C Azt, hogy z AB irányított egyenes szksz z vektorhoz trtozik, úgy is mondjuk, hogy AB z egy reprezentáns és h kell, AB = -v jelöljük. Elemi geometrii tény, hogy h megdunk téren egy pontot, P -t, kkor minden vektornk vn olyn reprezentáns, melynek kezdőpontj P, tehát vn olyn Q pont, hogy P Q =. Ezt úgy mondjuk, hogy egy vektor ármely pontól felmérhető. Vektor hossz, irány, irányítás. Tegyük fel, hogy AB és CD nem kollineáris, zz nem egy egyenese eső irányított egyenes szkszok és egyik sem null hosszúságú. H Az árán láthtó kpcsolt két irányíott egyenes szksz között ekvivlencireláció. Jelölje I z irányított egyenes szkszok hlmzát. H AB és CD ugynnnk z vektornk reprezentánsi, kkor AB, CD I, kkor legyen ACDB ilyen sorrenden egy prlelogrmmát lkot. Eől rögtön következik, hogy AB és CD minthogy prlelogrmm egymássl szemközti oldli egyeesnek AB = AD és CB CD def felezéspontji komplnárisk (egy síkn vnnk), párhuzmos egyeneseke esnek és egyenlő Ekkor I, = olyn relációstruktúr, melyen minden AB, CD, EF I-re hosszúk. Igz továá, hogy végpontokt összekötő BD és kezdőpontokt összekötő AC szkszok nem metszenek egymás, mit úgy mondunk, hogy zonos irányításúk. Az is világos, hogy z vektor ármely két reprezentánsár igzk z elői megállpítások. Kollineáris eseten szintén értelmezhető hossz és zonos irányítottság foglm, 1. AB = AB (reflexív), 2. AB = CD és CD = EF, kkor AB = EF 3. AB = CD, kkor CD = AB (szimmetrikus) (trnzitív), Ekkor I szétesik egymássl páronként diszjunkt, nemüres hlmzok uniójár, mely hlmzokn z egymássl ekvivlens elemek vnnk. Ez I/ = osztályfelontás. null hosszúságú ( P P típusú) irányított szksz esetén z irány és irányítás forglm nem természetesen dódik, de késői vizsgáltok értelmezhetővé teszik ezeket jellemzőket null hosszúságú reprezentánskkl rendelkező, úgy nevezett nullvektor esetén is. Mindezek mitt értelmezhetőek következő foglmk. Definíció. Az vektor hosszán ármely reprezentánsánk hosszát értjük és -vl jelöljük. Definíció. Az vektor irányán z összes olyn vektor hlmzát értjük, melynek reprezentánsi párhuzmosk z reprezentánsivl. Azt, hogy z és vektor irány zonos, úgy jelöljük, hogy. A nullvektor definíció szerint párhuzmos minden vektorrl. Definíció. Az és vektorok zonos irányításúk, h reprezentánsik párhuzmosk és zonos irányításúk. Egy vektor irányításán vele zonos irányítású vektorok hlmzát értjük. Azt, hogy és zonos irányításúk úgy jelöljük, 1
hogy. H párhuzmosk, de nem zonos irányításúk, kkor ezt jelöli. A nullvektor minden vektorrl zonos irányításúk, definíció szerint. Elemi geometrii módszerekkel igzolhtó, hogy fenti definíciók helyesek, zz nem függnek reprezentánselem válsztásától. Tétel. H és vektorok, kkor = = kkor és csk kkor, h Tehát két vektor egyenlő, h hosszuk, irányuk és irányításuk megegyezik. és és Definíció. Az és nem kollineáris vektorok szögén értjük zt első szöget, mely egy tetszőlegesen válszott P A = és P B = irányított egyenes szksz esetén z P AB háromszög P csúcsánál vn. Egy egyenese eső vektorok esetén, h nem nullvektorok és kkor szög definíció szerint 0 o, h, kkor szög 180 o. A nullvektor ármely vektorrl 0 o -os szöget zár e. 2. Vektorok összege Az = AB és = BC vektorok összegén értjük zt vektort, melynek reprezentáns z AC irányított szksz. Beláthtó, hogy ez jól definiált művelet, zz mindegy, hogy melyik AB és BC irányított szkszt válsztottuk (csk z lényeg, hogy második z első végpontjáól legyen felmérve mi viszont nem jelent megszorítást). Az elői definíció z összeg vektorfűzés útján + történő értelmezése. Ugynezt foglmt kpjuk, h prlelogrmm módszerrel definiáljuk z összedást. Ez utói szerint zonos P kezdőpontól kell felmérni vektorokt és z összeget P -ől szkszok áltl kifeszített prlelogrmm P -vel átellenes Q pontjá muttó irányított szksz htározz meg (ez eseten gondot okoz z, hogy kollineáris vgy null hosszúságú szkszok esetén nincs prlelogrmm). A vektorösszedás kommuttív és sszocitív. Tetszőleges,, c vektorokr + = + (kommuttív) ( + ) + c = + ( + c) (sszocitív) Az utói szály lehetővé teszi, hogy zárójeleket elhgyjuk töes összegeknél, így ( + ) + c illetve + ( + c) jelölése egyránt + + c. A vektorösszedás kommuttív és sszocitív szály végeredményen nem más, mint z kijelentés, hogy z árán láthtó digrmok kommuttívk, következő értelemen. Egy 6 nyilkt trtlmzó digrmot (irányított gráfot) kkor tekintünk kommuttívnk, h igz z, hogy ármely két pont c között hldó ármely két nyílfolytonos út egyenlő (zonosnk + + c + c tekinthető). A vektorlger esetén nyilk vektorok, nyilk + + egymáshoz kpcsolás z összedás, fenti digrmok kommuttivitás pedig pont z említett két zonosságot eredményezi. Megjegyezzük, hogy kommuttív digrmok ktegórielmélet illetve z univerzális lger lpfoglmi. Különség, nullvektor, ellentett vektor. A számok kivonásánk művelete kivezetett természetes számok köréől. Vjon vektorokéól kivezet-e? A vektorkivonás műveletéhez jutunk, h meg kívánjuk oldni z + x = vektoregyenletet. Vizsgáljunk meg két speciális esetet: 1. H =, kkor z + x = egyenlettel állunk szemen. Itt vn fontos szerepe P P típusú, null hosszúságú irányított egyenes szkszoknk. H z ezek áltl reprezentált nullvektort 0 jelöli, kkor világos, hogy x = 0 z egyetlen megoldás. Az 2 H V-vel jelöljük vektorok hlmzát, kkor V = V, +, (. ), 0 struktúr kommuttív vgy Ael-csoportot lkot. Ez zt jelenti, hogy minden,, c V elemre teljesül: 1. ( + ) + c = + ( + c) 2. + 0 = 0 + = 3. + ( ) = ( ) + = 0 4. + = + A 4. tuljdonság nélkül, csk csoportnk neveznénk V-t.
egyenlet nullvektor definiáló tuljdonság is lehetne. 2. H = 0, kkor z + 0 = + x = 0 egyenletet kell vizsgálnunk. Az vektor lesz megoldás, mely zonos hosszúságú -vl, párhuzmos vele és ellentétes irányú. Jelölje zt z egyetlen vektort, melyre teljesül: =, ( ), ( ) -t nevezzük z ellentett vektoránk és definiáló tuljdonság: + ( ) = 0 Az első egyenlet megoldásához nincs más hátr, minthogy z egyenlet mindkét oldlához hozzádjunk ( )-t (lról) + x = / ( )+ ( ) + + x = ( ) + sszocitív szály és ellentett tul. 0 + x = ( ) + nullvektor tul. x = ( ) + kommuttív szály x = + ( ) B AB = A Ezek után már definiálhtjuk: Tétel. def = + ( ) H P A = és P B =, kkor AB =. Tehát, h közös kezdőpontól vektorok muttnk z A és B pont, kkor z AB vektor végpontjá muttó vektor mínusz kezdőpontjá muttó vektor. P Az összegre és különségre vontkozón igzolhtók következő egyenlőtlenségek, melyek közül z elsőt háromszög egyenlőtlenségnek nevezzük. + + A prlelogrmm zonosság pedig nnk z elemi geometrii tételnek z vektoros megfoglmzás, hogy egy prlelogrmm átlói hosszánk négyzetösszege z oldlk hosszink négyzetösszegével egyenlő: + 2 + 2 = 2 2 + 2 2 3. Sklárrl vló szorzás H λ vlós szám, kkor következőképpen értelmezzük z vektor λ sklárrl történő λ. szorztát: λ. = λ λ. {, h λ 0 λ., h λ < 0 Tehát λ sklárrl vló szorzás λ szoros nyújtás, h λ > 1, λ rányú zsugorítás, h 1 > λ > 0 és h λ < 0 kkor ezek mellett vektor kezdőpontjár történő tükrözés is. Néhány htáreseten már ismert vektorokhoz jutunk: 1. = ( 1). = 0. = 0 1 2. 1 2. 2. 3
Műveleti zonosságok. Minden λ, µ R és, V esetén: λ.(µ.) = (λ µ). (λ + µ). = λ. + µ. λ.( + ) = λ. + λ. Az első két zonosság lényegéen zt mondj ki, hogy egy rögzített egyenesen elüli vektorokr (értsd: kollineáris vektorokr) skláris szorzás úgy viselkedik, mint számegyenes pontjink vlós szorzás. A hrmdik zonosság párhuzmos szelők tételének egy vektoros átfoglmzás, mely ngyon fontos szerepet játszik vektorok elemi geometrii evezetésénél. Párhuzmosság. Az vektor párhuzmos nem nullvektorrl, kkor és csk kkor, h = λ. lklms λ sklárrl. (Nullvektorrl minden vektor párhuzmos). Tétel. H 1, 2 és 3 három nemkomplnáris vektor, kkor tetszőleges vektor egyértelműen áll elő: lkn, hol λ 1, λ 2, λ 3 vlós számok. = λ 1 1 + λ 2 2 + λ 3 3 A λ 1 1 + λ 2 2 + λ 3 3 összeget 1, 2 és 3 vektorok rendre λ 1, λ 2, λ 3 sklárokkl vett lineáris kominációjánk nevezzük. Nem komplnáris vektorok B = ( 1, 2, 3 ) rendszerét tér egy ázisánk mondjuk. Bizonyítás. Csk z áltlános eset igzoljuk, mikor nincs i -k közül ármely kettő síkján (kkor ugynis hrmdik együtthtój 0, másik kettő érték meghtározás visszvezethető síkeli esetre). Vegyük föl közös kezdőpontól z = OA, 1 = OB 1, 2 = OB 2 és 3 = OB 3 vektorokt. Az ( OB 1, OB 2 ), ( OB 2, OB 3 ), ( OB 3, OB 1 ) síkokkl állítsunk párhuzmos A síkokt z A ponton át. Ez összesen 6 sík egy prlelepipedont htároz meg, melynek egyik testátlój éppen OA. Legyenek prlelepipedon O-ól induló (irányított) élei 1, 2, 3. Ekkor = 1 + 2 + 3. Mivel z 1, 2, 3 élvektorok rendre egy egyenese esnek 1, 2, 3 3 vektorokkl, ezért ezek rány, mint vlós számok 2 rány meghtározhtó és így λ 1 = 1, λ 1 1 = 1, O 3 1 λ 1 = 1 1 1. A szerkesztés egyértelműsége mitt ezek számok egyértelműen vnnk meghtározv. H meghtározzuk egy v vektor esetén z egyértelműen létező λ 1 1, λ 2 2 és λ 3 3 vektorokt, melyekkel v = λ 1 1 + λ 2 2 + λ 3 3, kkor zt mondjuk, hogy v-t komponensekre ontjuk. A skláris szorzás evezetésének motivációi: 4. Skláris szorzt (1) Leggykrn ázisvektoroknk három egységhosszúságú, egymásr páronként merőleges vektort válsztunk, melyet ortonormált ázisnk nevezünk. Világos, hogy ekkor komponensek, ázisvektorok egyeneseire eső merőleges vetületek. Ezek meghtározásár vló skláris szorzás. (2) Egy egyenesen elüli (zz kollineáris), vektorok minden szempontól úgy viselkednek, mint vlós számok, mennyien szorzást úgy tekintjük, mint λ.µ, hol λ, µ rendre z illetve hossz szolút értékű és z illetve irányításánk megfelelő előjelű szám. Két nem egy egyenese eső vektort ezzel számegyenesen elüli szorzássl csk kkor tudjuk összeszorozni, h z egyiket merőlegesen rávetítjük másikr, és vetülettel végezzük el szorzást. (3) Alklmzás fizikán például: W = Fs, zz munk z erő és erő irányá tett elmozdulás szorzt. Vgy j ármsűrűség és z A felületvektor szorzt keresztmetszeten átfolyó árm: I = ja. Definíció. Az és nemnull vektorok skláris szorzt: = cos γ hol γ = (, ) z és áltl közezárt szög. Nullvektor és egy másik tetszőleges vektor skláris szorzt 0. 4
Világos, hogy ez egy külső művelet: sszocitív lenne. R, értéke nem vektor hnem sklármennyiség, így fel sem merül hogy Műveleti tuljdonságok. Minden,, c V és λ, µ R esetén: Geometrii tuljdonságok. = (szimmetrikus) (λ. + µ.) c = λ ( c) + µ ( c) (megtrtj lineáris kominációt) (1) 2 def = = 2 ill. = 2 ϕ e = (e ).e (2) H e egységvektor, kkor e z vektor e egyenesére eső merőleges vetülete (ez skláris vetület, nem vetületvektor, mi (e ).e). (3) H, nem nullvektorok, kkor (4) 1, 2 és 3 ortonormált ázis lkot és vektor, kkor = 0 = ( cos ϕ). 1 + ( cos ψ). 2 + ( cos ϑ). 3 = ( 1 ). 1 + ( 2 ). 2 + ( 3 ). 3 hol ϕ, ψ és ϑ rendre (, 1 ), (, 2 ) és (, 3 ) szögek. A vektoriális szorzás evezetésének motivációi: 5. Vektoriális szorzt (1) Az e egységvektorrl történő skláris szorzás egy vektor e irányú komponensét számítj ki. Az e egységvektorrl történő vektoriális szorzás vektor e-re merőleges komponens vektorát számítj ki és ezt vektort elforgtj +90 o -kl e körül. Ezzel szorzássl z ortonormált ázisvektorokt egymás lehet forgtni egymás körül. Az e nem egységvektorrl vló vektoriális szorzás esetén merőleges komponensvektorát szintén elforgtjuk +90 o -kl körül és előjeles szorzást így végezzük el z és között. c = e (2) A geometri szemszögéől két szksz szorzt egy tégllp területe. e Két vektor esetén, mikor z irány is fontos, kkor z áltluk kiveszített prlelogrmm területe. A prlelogrmm síkját egyértelműen meghtározz normálvektor, innen, hogy vektoriális szorzt értéke olyn vektor, mi két vektor síkjár merőleges. Az egymás után fűzött vektorok síkjukn egy körenjárást htároznk meg és elég kézenfekvő, hogy területnek kétféle körenjárásnk megfelelően előjelet vgy irányítást djunk. Ekkor célnk megfelelő ± sin(, ) előjeles szám z ún. külső szorzt (ez kárhány dimenziós téren értelmezhető), h pedig z ilyen hosszúságú és megfelelő irányítású normálvektort vesszük, kkor z vektoriális szorzt (mi lényegéen csk 3D-en vn). (3) Az r végpontján egy testet támdó F erő forgtónyomték pont z M = r F vektoriális szorzt. Az elektromágneses mező energiárm-sűrűségvektor ( fény áltl z egységnyi, merőleges felületre időegységenként szállított energi, Pointing-vektor) S = 1 µ E B hol B mágneses mező (indukcióvektor), E z elektromos mező. Definíció. H és két nem nullvektor, kkor z ngyság sin(, ) def = irány és irányítás, és ilyen sorrenden jorendszert lkot vektort z és ilyen sorrenden vett vektoriális szorztánk nevezzük. H vlmelyik nullvektor, kkor vektoriális szorzt definíció szerint 0. Műveleti tuljdonságok. Minden,, c V és λ, µ R esetén: = (ntikommuttív) 5
(λ. + µ.) c = λ.( c) + µ.( c) (megtrtj lineáris kominációt) ( c) + (c ) + c ( ) = 0 (nem sszocitív, de igz Jcoi-zonosság) Megjegyzés. Nem igz z egyszerűsítési szály: = c-ől nemnull esetén sem következik, hogy = c. Mindzonáltl h feltesszük emellett, hogy = c, kkor nemnull esetén már teljesül. (Az egyszerűsítési szály skláris szorztr sem igz, de együtt már muttják tuljdonságot.) 3 T = Geometrii tuljdonságok. (1) H és egyike sem nullvektor, kkor hossz z és áltl kifeszített prlelogrmm területe. Az és áltl kifeszített háromszög területe 1 2. (2) H és tetszőleges vektorok, kkor = 0 (3) ( 1, 2, 3 ) ortonormált ázis kkor és csk kkor lkot jorendszert, h 1 2 = 3 6. Töszörös vektorszorztok H sklárrl vló szorzást, skláris szorzást és vektoriális szorzást értelmes módon komináljuk, kkor gykrn hsznos, önálló jelentéssel író mennyiségeket kpunk. (1) Vegyes szorzt: (c) def = ( c). (i) (c) = (c) = (c) = (c) = (c) = (c) (ii) (c) z, és c vektorok áltl kifeszített prlelepipedon térfogt (iii) c = 0, és c egymáshoz komplnáris vektorok (2) Kétszeres vektoriális szorzt: ( c) (i) ( c) = c ( ) = c ( ) (ii) ( ) c = (c). (c). (kifejtési tétel) (iii) ( ) (c d) = ( (c d)) = c c d d Diádok. Az : r (r) leképezés didikus szorzt vgy diád, mely íly módon nem vektor, hnem operátor. A tenzorok diádok lineáris kominációi. 7. Néhány téreli lkzt vektoregyenlete. (1) Egyenes. Az r 0 végpontján áthldó, nemnull v irányvektorú egyenes mint ponthlmz: {r 0 + t.v t R}. Prméteres vektoregyenleten: r = r 0 + t.v t R Vektoregyenleten: (r r 0 ) v = 0 (2) Egyenes szksz. Az és végpontji közötti zárt szksz mint ponthlmz: { + t.( ) t [0, 1]} = {(1 t). + t. t [0, 1]}. Prméteres vektoregyenleten: r = + t.( ) t [0, 1] (3) Sík. Az r 0 végpontjár illeszkedő, nempárhuzmos v, u vektorok áltl kifeszített sík mint ponthlmz: {r 0 +t.v+s.u (t, s) R 2 }. Illetve {r V (r r 0 ) n = 0} r 0 végpontjár illeszkedő, nemnull n normálvektorú sík. Normálvektor dódik például két irányvektor vektoriális szorztáól: n = v u. Prméteres vektoregyenleten: r = r 0 + t.v + s.u (t, s) R 2 Vektoregyenleten: (r r 0 ) n = 0 6
(4) Göm. A c végpontj mint középpont körüli, R > 0 sugrú göm mint ponthlmz: {r V (r c) 2 = R 2 }. Vektoregyenleten: (r c) 2 = R 2 8. Nevezetes vektorgeometrii feldtok (1) Igzoljuk, hogy háromszög súlyvonli egy pontn metszik egymást (ez z 1 3 (++c) vektor végpontj, mennyien csúcsok muttó vektor egy kezdőpontól,, c)! (2) Htározzuk meg z dott szkszt m : n rányn osztó pont helyzetét! (3) Bizonyítsuk e Koszinusztételt! (4) Mi z dott pontr és síkr vontkozó tükrözés, illetve z síkr vontkozó vetítés hozzárendelési utsítás vektorosn? (5) Bizonyítsuk e szinusz tételt! (6) Igzoljuk Héron területképletét! (7) Igzoljuk, hogy háromszög mgsságpontjá muttó vektor + + c, mennyien vektorok kezdőpontj háromszög körül írt körének középpontj. (8) Igzoljuk, hogy Feuerch-kör középpontj 1 2 ( + + c), mennyien vektorok kezdőpontj háromszög körül írt körének középpontj. 9. Koordinát reprezentáció. Definíció. H B = ( 1, 2, 3 ) ázis (nem komplnáris vektorok), kkor z egyértelműen meghtározott [. ] B : V R 3 ; λ 1 λ 2, melyre teljesül = λ 1 1 + λ 2 2 + λ 3 3 λ 3 függvényt B-re vontkozó koordinát-leképezésnek nevezzük. A [] B oszlopvektor neve, z vektor B ázisr vontkozó koordinátmátrix. Az ortonormált, josodrású rendszer ázisvektorink jelölése áltlán i, j és k, illetve = x.i + y.j + z.k esetén [] = x y vgy z = 1.i + 2.j + 3.k jelölés esetén [] = 1 2 z 3 V elemeit tehát kölcsönösen egyértelmű módon megfeleltethetjük háromemeletes vlós értékű oszlopvektorok R 3 hlmzánk. A térvektorok közötti műveletek reprezentáció áltl szintén megfeleltethető lesz R 3 -eli elemekkel végzett műveleteknek. Tétel. (A vektorműveletek reprezentációi R 3 -n) H [] = [ + ] = 1 + 1 2 + 2 3 + 3, [λ.] = λ 1 λ 2 λ 3 1 2 3 és [] = 1 2 3, kkor, [ ] = 1 1 + 2 2 + 3 3, = 2 3 2 3 1 3 + 1 3 1 2 1 2 Sor-oszlop sklárszorzás 1 1+2 2 + 3 3 1 2 3 illetve vektoriális szorzás determinánssl: [ 1, 2, 3 ] = i j k 1 2 3 1 1 3 = 7
10. Az nlitikus térgeometri lpfeldti. A sík koordinátegyenlete: A(x x 0 )+B(y y 0 )+C(z z 0 ) = 0, hol (x 0, y 0, z 0 ) sík egy pontj, (A, B, C) egy normálvektor. Az egyenes prmétermentes egyenletrendszere: sem null. x x 0 = y y 0 = z z 0 c ( = t ) feltéve, hogy,, c egyik Sík és pont távolság: d(σ, P ) = A(x x 0) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) A 2 + B 2 + C 2, hol Σ sík dti fentiek, pont P (x, y, z). (1) Pont és egyenes távolság: d(e, P ) = (r r 0) v v (2) Két egyenes hjlásszöge: cos ϕ = v 1v 2 v 1 v 2 (3) Kitérő egyenesek távolság: d(e, f) = pontját összekötő vektor (4) Egyenes és sík hjlásszöge: sin ϕ = nv n v (5) Két sík áltl ezárt szög: cos ϕ = n 1n 2 n 1 n 2 ( )c, hol z e irányvektor, z f irányvektor, c két egyenes egy-egy 8