IMPULZUS, MUNKA, ENERGIA A ozgáok leíáa, a jelenégek ételezée zepontjából fonto fogalak. Ipulzu ( lendület), ipulzu egaadá Az ipulzu definíciója: töegű, ebeéggel ozgó tete: I Az ipulzu ektoennyiég, a ebeég iányába utat. Newton II. töénye felíható az ipulzu egítégéel: a d dt d dt di dt A newtoni klaziku echanikában a ozgó tet töege időben állandó, így: d dt dt Az eő az ipulzu idő zeinti elő deiáltja. d
Ipulzu tétel: Az eő az ipulzu idő zeinti elő deiáltja: Az ipulzu ekto egáltozáa az eő iányába utat. d I dt Eőlöké: Definíció: ha a tete ideig eő hat: dt I I di I I eőlöké Ipulzu áltozá Ipulzu egaadá tétele: A időtataa ett eőlöké egyenlő a idő alatt beköetkezett ipulzuáltozáal. eetén d I dt I állandó Ha a tete ne hat eő, agy a tete ható eők eedője nulla, a tet ipulzua nagyág é iány zeint állandó.
Munka, unkatétel, enegia Az eőhatá oán gyakan elozdulá töténik, ez unkaégzéel já. A unka definíciója elő közelítében: az eő é az eő iányába eő elozdulá zozata: Métékegyége: N kg kg * a, Az eő nagyága állandó, é az elozdulá az eő iányába töténik: S Speciáli eeteken keeztül izgáljuk, ajd általánoítunk. Az eő unkája úton ebben az eetben: A unka záétéke az () göbe alatti teülettel egyenlő. áll. ll
b. Az eő nagyága állandó, de az elozdulá ne az eő iányába töténik: =áll. Az eő é az elozdulá ektook által bezát zög p co in Cak az elozduláal páhuzao eőkoponen égez unkát: A unka ebben az eetben: p co Az elozduláa eőlege eőkoponen a tetet eeli: A talaja ható nyoóeő: N g in A unka általáno definíciója: az eő é az elozdulá ekto kalázozata: ( ) ( ) () co
c. Az eő nagyága a ozgá oán ne állandó. Példa: a ugóeő Lineái eőtöény: ( x) D x Az eő az elozdulá lineái függénye. Gafiku ábázoláal: x Elei unkát záítunk: Az x hely ki könyezetében az eő állandónak ehető. Ki x egnyúlá oán az elei unka: (x) x x x x Ainek záétéke közelítőleg a zaggatott pio tapéz teülete.
Kétféleképpen i kizáolható: A göbe alatti teület (háozög) Az integálá zabályai zeint i i i D x x Ha x DXo Az integálá zabályai zeint: Xo (D x) x Dx x xdx D x dx x x Dx D x D x D x
tapéz: az ábán két háozög teületének különbége: D x D x Integáláal ugyanezt az eedényt kapjuk: Dx x x Dx x x D x dx D x x D x x x X A ugó egnyújtáa oán égzett unkát izakapjuk, ha egzűnik az eőhatá. A ugó unkát égez. Az x hozúágban egnyújtott ugóban enegia táolódik : helyzeti (potenciáli) enegia.
A áltozó eő unkája általánoan: d Skalá zozat Ha iejük az eő-elozdulá függény konkét alakját, akko a függény elozdulá zeinti integálja adja a unkát. Mi az eedénye a teten töténő unkaégzének? A tet enegiához jut. Speciáli példán keeztül izgáljuk, ajd általánoítunk. Mozgái enegia, unkatétel Példa: egyenleteen gyouló ozgá Száítuk ki, ennyi unkát égzünk, aíg egy tetet állandó eőel felgyoítunk adott ebeége! állandó a a állandó =*S A ebeég egyenleteen áltozik. t
Legyen kezdetben i ebeég: t A egtett út a -t göbe alatti teület (tapéz): t t A gyoulá eghatáozáa a pillanatnyi ebeég ieetében: t a t at t t t t E t t E Mozgái enegia definíciója adott ebeégű ozgá eetén: A befektetett unka kizáítáa: A befektetett unka egáltoztatja a tet ozgái enegiáját: E Az eő: t a t
Munkatétel: E A unkaégzé eedénye a tet ozgái enegiájának egáltozáa: E E ég E kez deti Több eő eetén az öze eő unkájának özege egyenlő a tet ozgái enegiájának egáltozááal: öze E ozg
A nehézégi eő unkája, helyzeti enegia A két pont között több úton i lehet enni, háo lehetőéget utatunk az ábán: B A h g 3 h h h h g g A tetet állandó, a nehézégi eőel azono nagyágú eőel eeljük, így gyouláa nulla, állandó ebeéggel ozog. Az eő elozdulát hoz léte, így unkaégzé i töténik. A tet ebeége ne áltozik, ozgái enegiát ne nye. Mie fodítódik a nehézégi eő unkája? A h elozdulá ekto é az g nehézégi eő ellentéte iányú.
Száítuk ki, hogy a ozgá oán a nehézégi eő ekkoa unkát égzett! A záítához haználjuk a -e jelű, legöidebb utat! A g Az elei unkát ezen elozduláoka felía: p A eőlege elozduláal záított kalái zozat étéke nulla, iel A páhuzao elozdulá eetén: p o o 8 co( 8 ) ( p) o 9 A ínuz előjel jelentée: az eő é az elozdulá ellentéte iányú. Munkaégzé cak az eő iányába aló elozduláko töténik.
A telje unkaégzé A-tól B-ig: =g AB B A g B A p g h Miel a eőlege elozduláok özege a h zintkülönbég: Általánoan: AB h h d gh h gh gh h A nehézégi eő által égzett unka a h zintkülönbégtől függ. B A p h gh Az öze lehetége göbée ugyanezt a záolát eg lehet tenni, a nehézégi eő unkája a két pont között ugyanakkoa lez, ne függ az úttól, cak a h elozdulától. h agaága aló eeléko a nehézégi eő által égzett unka: AB g h A nehézégi eő unkája cak a tet helyzetétől függ, a tet helyzeti enegiáa tez zet. E h gh
Konzeatí eő fogala A nehézégi eő unkája független az úttól, nagyága cak a kezdeti é a égállapottól függ! Az ilyen eőket konzeatí eőknek neezzük. Ha a példánkban a tetet izaizük B-ből A-ba: A nehézégi eő iánya ne áltozik, az elozdulá ekto iánya izont igen: ot az elozdulá ekto é a nehézégi eő egyiányú lez. A nehézégi eő unkája ebben az eetben: BA gh Egy telje köbeozgatáko tehát a gaitáció eő öze unkája nulla lez. AB BA gh gh A tetnek h agaágban helyzeti (potenciáli) enegiája an. A helyzeti enegia fogala cak konzeatí eők eetén ételezhető.
Általánoíta: Konzeatí eő zát göbe entén égzett unkája nulla: d Példa ne konzeatí eőe: Súlódái eő Az () elozdulá é az () úlódái eő iánya ellentéte. A úlódái eő úton égzett unkája:
odítuk eg a ozgáiányt, igyük a tetet iza. A úlódái eő iánya i egáltozik, ot i ellentéte lez az elozduláal! A úlódái eő unkája ot i: A úlódái eő unkáját zát göbée kizáíta: ( ) Zát göbe entén a úlódái eő unkája ne nulla! A úlódái eő ne konzeatí, a helynek ninc kitüntetett zeepe.
Mechanikai enegia egaadáa Egy tet a gaitáció eő hatááa zabadon eik. kezdőebeéggel dobjunk le egy tetet az -e pontból. Íjuk fel a unkatételt az. é a. pont között! A nehézégi eő é az elozdulá ot azono iányú. A unkatétel zeint: E neh g h h Az egyenletet átendeze: Konzeatí eők hatáa alatt ozgó tet eetén a ozgái é helyzeti enegiák özege a ozgá oán állandó. E ozg E gh h állandó gh állandó gh A echanikai enegia egaadáának tétele cak konzeatí eők eetén igaz.
A gaitáció eő unkája általánoan Mekkoa a gaitáció eő unkája, ha az töegű tetet a öld felzínén léő A pontból a B pontba izük? Változó eő unkáját kell záolnunk, a Newton féle gaitáció töény alapján. A gaitáció eő iány é nagyág zeint i áltozik, így a eő é az elozdulá ekto kalázozatát kell integálnunk. AB b a g d d E pot M AB AB b M B A M M a d A potenciáli enegia definíciója M B A A gaitáció eő unkája a tet helyzeti (potenciáli) enegiájának egáltoztatááa fodítódik.
Ha a B pontot a égtelenben helyezzük el, akko b A helyzeti enegia étéke a égtelenben nulla. Ebben az eetben a unkaégzé : A M a Ez a kifejezé egadja az töegű tet helyzeti enegiájának étékét az A pontban a égtelenhez képet. A gaitáció eőtében a helyzeti enegia étéke negatí. E h M A echanikai enegia egaadáának tétele egítégéel a áodik koziku ebeég eghatáozható.
Máodik koziku ebeég: zökéi ebeég Mekkoa az a legkiebb ebeég, aiel a űhold á éppen elhagyja a öld gaitáció eőteét? (A égtelenbe ée á ne legyen ebeége.) A gaitáció eő konzeatí, echanikai enegia egaadát lehet haználni. A égtelenben a helyzeti enegia é a ozgái enegia i nulla. A öld felzínén: E h, M R A echanikai enegia egaadáa iatt: E E, h, E, z z M z R z M R g R k z kö
Műholdpályák különböző ízztinte kezdőebeégek eetén. Egyene pálya zabadeé: a=g. Ellipzi pályák k 8 Táolabbi fókuzban an a öld 3. Köpálya: köebeég: k 8 k k 4. Ellipzi pályák 8 Közelebbi fókuzban an a öld 5,6. Hipebola pályák: zökéi ebeég: a űhold elhagyja a öld gaitáció teét. k
Példa á konzeatí eőe: ugóeő elhaznált özefüggéek: Eozg Eh Dx E ozg E h állandó Dinaikából: a Dx a D x a Kineatikából x Ain t Aco t a A in t A kineatikai függényeket behelyetteíte a dinaikai alapegyenletbe a köetkező özefüggét kapjuk: D T D T D
A ozgá oán a kitéé é a i ebeég áltozik. Íjuk fel a echanikai enegia egaadáának tételét ugóeő által ozgatott tet eetée! Helyetteítük be az iet függényeket é x helyée: Dx A co ( t) DA in ( t) elhaznála, hogy: D co ( t) in ( t) Dx DA (co t in t) DA Az A aplitúdó é a D diekció eő a ozgá oán állandó, ne függ e a kitéétől e a ebeégtől, e az időtől. Igazoltuk, hogy a ozgá oán a echanikai enegia állandó.