0774. MODUL ALGEBRA Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok gykorlás KÉSZÍTETTE: HARSÁNYI ZSUZSA
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 1 MODULLEÍRÁS A modul célj Időkeret Ajánlott korosztály Modulkpcsolódási pontok A képességfejlesztés fókuszi Az egyenlőség és z zonosság hsonlóságánk illetve különbségének bemuttás. Algebrából z eddig tnultk begykorlás, z egyszerűbb egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásábn rutin szerzése. Az egyszerű, szöveges feldtok megoldásábn gykorlt szerzése. Az egyenlet és z zonosság hsonlóságánk illetve különbségének bemuttás. 4 ór 7. évfolym Tágbb környezetben: Kompetenciterületek: szöveges feldtok egy részében megfoglmzott problémák köznpi tpsztltokból indulnk ki, lklmsk szociális és környezeti kompetenciák fejlesztésére. Szűkebb környezetben: Geometriábn síkidomok területének kiszámítás, függvények grfikonjánk meghtározás, rányossági feldtok. Ajánlott megelőző tevékenységek: Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, szöveges feldtok megoldás, műveletek rcionális számok körében, helyettesítési érték számítás, műveletek z lgebri kifejezések körében. Ajánlott követő tevékenységek: Nyolcdik osztálybn z ezekben modulbn megszerzett ismereteket továbbfejlesztjük, gykoroljuk, lgebri tnulmányok, szöveges feldtok. Számolási kompetenci: egyenletek, egyenlőtlenségek megoldás, ellenőrzése, behelyettesítések, z zonosságok kipróbálás Mennyiségi következtetés: szöveges feldtokbn összetett mennyiségi következtetések lklmzás, összevetése gykorlttl Szövegértés, problémmegoldás metkogníció: szövegben megfoglmzott problém megértése, megoldás, ellenőrzése, összevetése köznpi tpsztltokkl, vlós gykorlt vgy elképzelt trtlmú szöveges feldtok lefordítás mtemtik nyelvére, z eredmény előzetes elképzelése, utólgos összevetése megoldássl Rendszerezés, kombintivitás: szöveges feldtok megoldáskor kiinduló dtok változttás. lgebri kifejezésekhez többféle lkkereséssel, műveleti sorrendek lehetséges változti, kiinduló dtok változttás szöveges feldtokbn Deduktív következtetés: szöveges feldtok megoldáskor tpsztltokból levonhtó következtetések segítik feldt megoldását, megoldási terv készítése, zonosság foglmánk kilkítás Becslés: helyettesítési értékeke előrebecslése, szöveges feldtok eredményének ngyságrendi ellenőrzés
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 2 AJÁNLÁS Az előző modulbn kilkított csoportokkl dolgozunk. A feldtlpok páros vgy egyéni megoldás, csoportos megbeszélése megsejteti tnulókkl z zonosság foglmát. A feldtok megoldás során szerzett tpsztltokt frontálisn pontosítsuk! Ügyeljünk rr, hogy z egyéni munk tényleg egyéni legyen, függetlenül ttól, hogy tnulók csoportbn ülnek. A csoportos megbeszélést, diákkvrtettet úgy irányítsuk, hogy csoportbn mindenki szóhoz jusson. Az egyenleteket, egyenlőtlenségeket, lgebri kifejezésekkel végzett műveletek gykorlását érdemes párbn feldolgozni, ugynis így tnulók tudják egymást segíteni, tnítni. A szöveges feldtok lklmsk differenciálásr. Jvsoljuk, hogy tnár lkítson tnulók képessége szerinti párokt. Ügyeljünk rr, hogy gyerekek szöveget jól megértsék, hogy készítsenek megoldási tervet, szöveg értelme szerint ellenőrizzék z eredményt, djnk szöveges válszt, és z eredményt vessék össze köznpi tpsztltokkl. A modulbn z nygot zért nem osztottuk fel órszámokr, mert tnár megítélésére bízzuk, hogy z osztály képességének megfelelően milyen ütemben dolgozz fel tnnygot. TÁMOGATÓ RENDSZER Tisztázni kell z zonosság foglmát (olyn egyenlőség, mely változó lehetséges értékeire igz). Az egyszerűbb nevezetes zonosságokt modul végén tnulságként soroljuk fel és rögzítsük is. Beszélni kell z lgebri kifejezések, zonosságok értelmezési trtományáról, értékkészletéről (z értelmezési trtomány z összes olyn szám, melyeket változók helyére beírv kifejezésben szereplő műveletek elvégezhetők, z értékkészlet kifejezés összes lehetséges értékéből álló számhlmz). ÉRTÉKELÉS Az egyéni és csoportos munk megfigyelése lpján értékelünk. A modul végén egy mérőlp szerepel.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 3 MODULVÁZLAT Lépések, tevékenységek Kiemelt készségek, képességek Eszközök feldtok I. Azonosság és z egyenlőség 1. Az zonosság foglmánk lpozás Számolási, becslés, következtetés, deduktív gondolkodás 1. feldtlp 1. 2. Az zonosság és z egyenlőség különbözősége Szövegértés, induktív 1. feldtlp 2. gondolkodás, számolási képesség 3. Azonosságok keresése Deduktív, induktív gondolkodás 1. tnári melléklet, boríték II. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánk gykorlás, lgebri kifejezések átlkítás 1. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánk Számolás, rendszerezés 2. feldtlp gykorlás 2. Algebri kifejezések összevonás Számolás, rendszerezés 2. feldtlp, írásvetítő, fóli III-IV. Szöveges feldtok megoldás 1. Szöveges feldtok megoldás Szövegértés, metkogníció, induktív, deduktív gondolkodás 3. feldtlp, írásvetítő, fóli
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 4 A FELDOLGOZÁS MENETE I. Egyenlet és zonosság 1. Az zonosság foglmánk lpozás A tnulók párbn játsszák el számkitlálós feldtot! Vegyék fel Kti és Pisti szerepét! 1. FELADATLAP 1. Kti és Pisti számkitllálóst játszott. Kti zzl hencegett, hogy rögtön meg tudj mondni műveletsor végeredményét, pedig nem is tudj, hogy Pisti milyen számr gondolt. Tláld ki, miért! (A műveletsort Kti htározz meg, és Pisti gondol egy számot.) Kti: (1) Gondolj egy számr! Adj hozzá 2-t, mjd z eredményt szorozd meg 3-ml! Ebből vond le gondolt szám háromszorosánk és 4-nek z összegét! Ugye, 2-t kptál? (2) Gondolj egy számr! Vedd négyszeresét, dj hozzá 10-et, ezt oszd el 2-vel, mjd hánydosból vond ki z eredeti szám dupláját! A végeredmény 5 lett, ugye? (3) Gondolj egy számr! Adj hozzá 5-öt, és z eredményt szorozd meg 7-tel! Az így kpott számból vond ki gondolt szám háromszorosát, mjd dj hozzá 2-t, és z eredményt csökkentsd gondolt szám négyszeresével! Ugye, 37 lett végeredmény? Kti zonosságokt mondott Pistinek, zért tudt előre végeredményt. Beszéljük meg közösen, vjon hogyn tudt Kti kitlálni műveletsor végeredményét? Ennek kérdésnek megbeszélése elvezet z zonosság értelmezéséhez. Ismeretes, hogy vnnk olyn egyenletek, melyek változó egyetlen értékére, néhány értékére vgy minden értékére teljesül. Az utóbbik z zonosságok. 2. Egyenlet és zonosság A következő feldt rámutt z zonosságok, z egyenletek és egyenlőtlenségek különbségére és emellett lklms gykorlásr is. Párbn dolgozztok, és megdott szempontok lpján válogssátok szét feldtokt! 2. Melyik egyenlet, melyik zonosság, melyik egyenlőtlenség? Egyenlet: ); b); f) Azonosság: c); e) Egyenlőtlenség: d) ) Vlki gondolt egy számot. Ezt kétszer vette, hozzádt gondolt szám háromszorosát; z eredményt megszorozt 3-ml, hozzádott 5-öt, és mit így kpott, zt elosztott 2-vel. Ekkor közölte, hogy z eredmény 40. Melyik számr gondolhtott? 3(2x+ 3 x) + 5 = 40 lpján x = 5. Tehát gondolt szám 5. 2
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 5 b) Kemenesék üzleti válllkozásb fogtk. Mennyit költöttek z első héten, h második héten 100 000 Ft-tl többet, hrmdik héten pedig négyszer nnyit költenek z üzletre, mint z első héten, és így összesen 2 500 000 Ft-juk ment el z üzlet beindításár? 6x + 100 000 = 2500 000 lpján x = 400 000 (Ft) tehát z első héten 400 000 második héten 500 000, hrmdik héten 1600 000 Ft-t költöttek. c) Milyen számokr teljesül z egyenlet? ( b) c = b c Azonosság. A változók minden értékére teljesül. d) Hány éves lehetek, h z éveim számánk kétszereséhez hozzádom először z éveim számánk felét, mjd negyedét, kkor 100-nál kevesebbet kpok? x x 2x + + < 100 lpján x < 36,36 &&. Tehát legfeljebb 36 éves vgyok. 2 4 e) Milyen -r igz z egyenlet? 5 3 ( + 2) 2 ( 4) = 2 Minden számr, zz változó minden értékére teljesül. f) Milyen b-re igz z egyenlet? 2 (b 1) + 2b = 7 b = 2,25 Közös megbeszélést trtunk rról, hogy z előző feldtlpon kitűzött példák miért kerültek z dott kupcb. A végén újr beszélhetünk z zonosság, z egyenlet és z egyenlőtlenség foglmáról. Világítsunk rá z zonosság és egyenlet közötti hsonlóságr és különbözőségre. Hsonlóság: két lgebri kifejezést kötünk össze z egyenlőség jelével, zz mindkettő egyenlet. Különbözőség: z egyenlőségnek csk véges sok megoldás lehetséges, míg z zonosságnál két oldl értelmezési trtományánk egyezőségén túl teljesülnie kell z egyenlőségnek minden olyn elemre, mit ebből válsztottunk. 3. Azonosságok keresése Ezt feldtot lssbbn hldó osztályokbn elhgyhtjuk. Készítsünk nnyi borítékot, hány csoport vn. A borítékokb helyezzük el z 1. tnári melléklet kártyáit. A gyerekeknek z dolg, hogy párosítsák össze kifejezéseket. 1. tnári melléklet Lásd modul végén és z eszközei közt!
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 6 (b + c) : b b b + + b [ : (b + c)] d 3x 2 : (b + c) d b+ c d ( ) : b ( b) b b + c ( 3x) 2 c d bc + bd 9x 2 1 + b b c ( 1)( + b + c) d b+ c (3x) 2 1 b b ( + c) 1 + b b b² b Egy borítékbn megkpjátok z lgebri kifejezéseket. Ezeket kell összepárosítnotok úgy, hogy z egyenlő kifejezések egymás mellé kerüljenek. ) (b + c) n) c d bc + bd b) : ; b o) 9x 2 c) + b ; b p) 1 + b d) + b ; q) b c e) [ : (b + c)] d; r) ( 1)( + b + c) f) 3x 2 s) d b + c g) : (b + c) d; t) (3x) 2 h) b+ c d 1 ; u) ; b i) ( ) : b; v) b ( + c) j) ( b) w) 1 + b k) b x) b ; b² l) b + c y) b m) ( 3x) 2
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 7 Egyenlőség: ) = q) = r); p) = d); i) = y); m) = o) = t); b) = u), e) = h), j) = k) ezek közül zonosság: ) q) r) ; m) o) t) ; e) h) ; j) k) II. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánk gykorlás, lgebri kifejezések átlkítás 1. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldásánk gykorlás A tnulók párbn dolgoznk. A munk menete biztosítj, hogy gyerekek társuk megoldásánk ellenőrzésével megtnulnk hibát keresni. Ez ngyon fontos eleme mtemtik tnulásánk, ugynis többek között z elmélyülést és rögzítést szolgálj. Most dolgozztok párbn! Egyikőtök z 1. feldt bloldli egyenletét, másik jobboldlit oldj meg. Után cseréljetek füzetet, és behelyettesítéssel ellenőrizzétek le párotok megoldását! Ugynilyen módszerrel oldjátok meg többi feldtot is! 2. FELADATLAP 1. Milyen egész számr igz z egyenlet? 1. x 7 + x = 4 3 12 x x + = 6 7 2 84 x = ; nincs megoldás. 13 Megoldások cseréje. 2. 5 2 x + 21 = 0 2 5 x x x + + = 2 3 6 14 x = 84 Megoldások cseréje. 3. 2 (5x + 3) 5 (2x 8) = 36 Nincs mo. 2 (5x + 3) 5 (2x 8) = 46 Azonosság. Megoldások cseréje.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 8 2. Milyen természetes számr igz z egyenlet? 1. 2x 3 (x + 1) = 6 x = 9; tehát nincs mo. 3x + 4 (x + 2) = 15 x = 1 Megoldások cseréje 2. 5x (8x 7) = 3x + 7 Azonosság. 5x (8x + 7) = 3x + 7 Nincs megoldás. Megoldások cseréje 3. x 2 2 (x + 3) x (x + 4) = 6 x = 0 x 2 1 (x + 4) x (x 2) = 5 x = 9 Megoldások cseréje 3. Milyen számokr igz z egyenlőtlenség? A megoldást ábrázold számegyenesen! 1. 6x + 5 1 2 x 21 3x < 3 x > 8 3 Megoldások cseréje 2. 8 (x 4) 3 (x 4) < 6 (x 4) x > 4 6 (x + 2) 5 (x 1) 3 (x 4) x 14,5 Megoldások cseréje 3. Egy szám háromszorosához 4-et dv Egy szám tízszereséből 6-ot elvéve nem kisebb számot kpunk szám kpunk ngyobb számot szám négyszeresénél. x > 4 négyszeresénél. x 1 Megoldások cseréje 2. Algebri kifejezések átlkítás 4. Írd át úgy z lgebri kifejezéseket, hogy ne legyen benne zárójel! 1. 5 (3 ) + 2 ( 5) = 3 + 5 4 (b 5) 3(b + 1) = b 23 Megoldások cseréje 2. ( 1) + ( 2) 5 = 2 + 4 10 (b 2) 3 + (b 3) b = b 2 6 Megoldások cseréje 3. 5b (b + 1) 2 (b + 5) = 5b 2 + 3b 10 4 ( 3) 3 ( + 4) = 4 2 15 12 Beszéljük meg közösen megoldásokt! Önálló munkár jánljuk következőket. A megoldásokt írjuk fel írásvetítő fóliár és így beszéljük meg közösen gyerekekkel.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 9 5. Állításokt írtunk le ötféle lgebri kifejezéssel. Krikázd be, melyik kkukktojás! ) Az szám négyszerese: 8 4 vgy 2 + 2 vgy + 3 vgy 2 b) A b szám 4 5 része: vgy 6 + 2 2 b 4 8 4 vgy b vgy 5 10 5 b vgy 4 b : 5 vgy b 0,8 c) A c szám 1,5-szerese: 1,5 c vgy 1 2c c vgy 2 c+ 0,5c vgy c + 1, 5 vgy c 05, 2 d) A d szám megnövelve 1,5-del: d 1, 5 3 vgy d + 1, 5 vgy + d vgy 05, 2 d 2 d + 3 vgy 2 2 6. Válszd ki z zonosságokt! ) 8 + 6 10 = 9 b) 16b 10b 7b = b Azonosság. c) 10c + 11c 8c 5c = 9c d) ( + 3) 2 + 1 = 2 + 7 Azonosság. e) 10 + 7 = 5 + 7 2 f) 8x 6 = 4x 3 2 Azonosság. g) ( + 2) = 3 h) x x 5x + = 2 3 6 Azonosság. i) (5 ) = 5 7. Oldjátok meg z egyenleteket! ) 3 1 = x = 2 4 2 3 b) 5 3 x = 3 4 x = 9 20 c) (2x +13) (5x 17) = 240 x = 70 d) (5x 28) (3x + 2) (2x 30) = 120 Nincs megoldás. e) (2x 1) 9 = 36 x = 2,5 f) 5(x 1) 4(x 3) = 20 x = 27 g) 8(2x 3) 3(5 x) = 18 x = 3 h) 3x x 2x + = 13 2 6 9 x = 9 i) 2x 3x x + = 11 3 4 x = 12
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 10 j) 4x 3 = 13 5 x = 17 k) 2 (5x + 3) = 6 + 10x Azonosság. l) 5 y y + 1 = 2 y = 1 n) 1 3y 2 y = 4 y = 7 8. A 10-nél kisebb természetes számok közül melyek teszik igzzá z egyenlőtlenségeket? ) 2x < 13 x < 6,5, tehát x = 0,1,2,3,4,5,6 b) 3x < 7 x < 7 tehát x = 0,1,2 3 c) 6x > 13,5 x < 2,25 tehát x = 0,1,2 III-IV. Szöveges feldtok megoldás Mielőtt hozzákezdünk munkához, beszéljük meg szöveges feldtok megoldás során eddig szerzett tpsztltokt. A szöveges feldtok megoldásánk menete: 1. A teljes szöveg figyelmes elolvsás, kár többször is. 2. Az dtok kigyűjtése mértékegységeikkel együtt, h vn. 3. H szükséges, szöveg lpján pontos vgy vázltszerű rjz készítése. 4. A végeredmény (leglább ngyságrendbeli) becslése. 5. A szövegben szereplő dtok közötti kpcsolt(ok) megkeresése. 6. Az értelmezési trtomány vizsgált. (Pl.: Lehet-e negtív z eredmény?) 7. Következtetéssel, egyenlet, egyenlőtlenség stb. felírásávl megoldás keresése. 8. A feldt megoldás. 9. A megoldás ellenőrzése szöveg értelmének megfelelően. 10. Az eredmény megdás kívánt mértékegységben. 11. Szöveges válsz kérdésnek megfelelően. Fontos felhívnunk figyelmet rr, hogy megoldás megkeresése előtt(!) becsüljünk. A kpott eredményről néh szinte sugárzik, hogy rossz: z átfogór negtív szám jön ki; z életkor nem szokott 150-nél több lenni; fénysebességnél gyorsbb nem lehet egy utó; stb. Persze, z is előfordul, hogy z értelmezés és megoldás is jó, és feldt szövege értelmetlen eredményre vezet. Az ellenőrzést mindig szöveg újrolvsásávl kezdjük! Tipikus hib, hogy már felírt összefüggések sem ekvivlensek szöveggel, és ilyenkor, h csk felírt egyenletet ellenőrizzük, megoldás jónk tűnik! Érdemes z ellenőrzés után (!) kerek, egész mondttl válszolni szövegben feltett kérdésre, ügyelve, hogy kívánt mértékegységben djuk meg válszt! Pl.: Hány km/h sebessége nnk z utónk, melyik 100 métert 5s ltt tesz meg? A jó válsz 20m/s helyett z, hogy 72km/h. A következő feldtokt tnulók tnár áltl kilkított párbn oldják meg. Érdemes gyerekeket képességek szerint párb rkni. Egy jobb képességű + egy gyengébb képességű.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 11 Ügyeljenek fentiekre! Inkább lssn, de részleteiben is megfelelően oldják meg példákt! Közben figyeljünk, korrigáljunk, figyelmeztessünk, segítsünk, h szükséges. Többféle megoldási mód lehetséges, ne erőltessük nekünk legszimptikusbbt. (Bár megoldásbn mi is csk egyet közlünk.) A modul végén szerepel egy mérőlp. 3. FELADATLAP 1. Oldjátok meg z lábbi problémákt! ) A mérleg egyik serpenyőjében 5 kg vn, másikbn négy egyenlő tömegű csomg, és még 2 kg. Mekkor egy csomgnk tömege, h mérleg egyensúlybn vn? 0,75 kg b) Egy kétemeletes házbn földszinten lkók felett 90-en lknk. Az első emeleten nnyin, mint földszinten és második emeleten együtt, második emeleten lkók ltt pedig 78-n. Hány ember lkik z épület egyes szintjein? Földszint 22, első emelet 56, második emelet 34, mert h x-szel jelöljük z első emeleten lkókt, kkor második emeleten 90 x lkó vn, földszinten 78 x. Így z egyenlet: x = 90 x + 78 x c) Krcsi következő feldtot dt Jóskánk: gondolj egy számot, dj hozzá 4-et, z összeget vedd ötször, szorztból vonj ki 25-öt, és z így kpott szám kétszeresét vondd ki gondolt szám tízszereséből. Miután Józsi megoldott feldtot, Krcsi megmondt, mennyi mrdék: 10. Honnn tudt? 10x [(x + 4) 5 25] 2 = 10 zonosság lpján. d) Mennyiért kéne árulni egy doboz kukorickonzervet? Egy tonn csöves kukoric felvásárlási ár 45 000 Ft. A kukoricszemek tömege teljes kukoric tömegének 30%-. A kukoricát gép morzsolj, költsége tonnánként 2300 Ft. A szállítási díj 6300 Ft/tonn. A konzervgyárbn konzerv előállítási költsége tonnánként 18 960 Ft. A konzerv boltokb kerüléséhez szükséges kereskedelmi láncolt +60%-os (!) árnövekedést eredményez. Egy konzervbe 300g kukoricát rknk. 18 960 + 45 000 + 2300 + 6300 = 72 560 tehát 300 kg tiszt kukorickonzerv ár 72560 Ft gyárbn, így 300g ár 72,56 Ft, kereskedelem után 116,096 116Ft A továbbikt önálló munkár jánljuk. 2. Egy péküzlet znpi péksüteménykészletének 20%-át elvitte szomszédos óvod. Zárásig 64 vásárló átlgosn 3 db-ot vett. Az utolsó 4 db-ot záráskor oddt egy eldó egy rászorulónk. Hány db péksütemény volt nyitáskor z üzletben? 0,2x + 64 3 + 4 = x lpján x = 245 3. Év mmáj ngyon szeret vásárolni. Márciusbn hárms tlált volt lottón. Elhtározt, hogy nyereményét táskár, cipőre és krórár költi. Ngyon sok kirktot végignézett, mire eldöntötte, hogy melyiket vásárolj meg. Az árkt pontosn nem jegyezte meg, csk nnyit tudott, hogy cipő 7000 Ft-tl volt drágább, mint tásk, és felennyib került, mint z ór. Mire bevásárolt, nyereménye, 73000 Ft mind elfogyott. Mennyibe került cipő, tásk és z ór? Írd össze, hányféle sorrendben vásárolhtt meg Év mmáj ezeket dolgokt, h mindegyiket más-más üzletben szerezte meg? A tásk 13 000 Ft, cipő 20 000 Ft, z ór 40 000 Ft-b került. A lehetséges sorrendek szám 6, mert h tásk árát x-szel jelöljük, kkor cipőé x + 7000, z óráé 2x + 14 000. Így z egyenlet: x + x + 7000 + 2x + 14000 = 73000
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 12 4. Egy zöldségüzletben február 30-án felvásárolták krumpli tömegének kéthrmdát és még 5kg-ot. Így z üzletben csk 11kg mrdt. Hány dkg krumpli volt z üzletben? Állpítsd meg, lehet-e vlós történet? Elvileg 2 5 11 3 x + + = x lpján x = 48, zz 4800dkg volt. A történet nem vlós, mert nincs február 30. 5. Mennyi pénzed vn, h Évávl együtt összesen 3500 Ft-od vn, és Évánk 1220 Ft-tl vn több pénze, mint neked? 2x + 1220 = 3500 lpján 1190 Ft-om vn. 6. Melyik számr gondolt Ági, h szám kétszerese 27-tel kevesebb 71-nél? 2x + 27 = 71 lpján 22-re gondolt Ági. 7. Mekkorák nnk tégllpnk z oldli és szögei, melynek egyik oldl másik oldl 2 -része, és kerülete 150 cm? 3 2 2 x+ x = 150 lpján x = 45. Az oldlk: 45 cm és 30 cm, szögek 90 -osk. 3 8. A Kovács csládbn z ny 28 évvel idősebb fiánál, és 3 évvel fitlbb férjénél. Hármuk életkor 74 év. Hány éves gyerek? x+ ( x 28) + ( x+ 3) = 150 lpján x = 33. Az ny 33 éves, fi 5 éves, férj 34 éves. 9. Dolgozói után minden válllt fizet munkválllói járulékot. Ez bruttó bér 4 %-. Az OCSET multivállltnál hivtlosn mindenki minimálbérért dolgozik, mi jelenleg bruttó 65 000 Ft. A válllt hvont 465 400 Ft munkválllói járulékot fizet z állmnk. Hányn dolgoznk ott? 65000 0,04 = 2600 és 465400 : 2600 = 179 tehát 179-en dolgoznk ott. 10. Megfigyelték, hogy Széles Álom úton Bárhov elágzáson csúcsidőben összesen kb. 6000 utó hld keresztül egy ór ltt. Nevesincs felé z utók hrmd, Seholsincs felé pedig z utók 5 része megy. Hány utó megy 3 ór ltt Útsincs felé? Negyede megy óránként, így 3 ór ltt 4500. 12
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 13 11. párosítsd össze KRESZ-táblákt grfikonokkl! A grfikonok z út emelkedését muttják megtett út függvényében. Ezek rányát százlékbn megdv írják z emelkedőre (vgy lejtőre) vontkozó táblákr. 1. grfikon 2. jelzőtábl 2. grfikon 3. jelzőtábl 3. grfikon 1. jelzőtábl
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 14 12. Nyerő úr 1200 000 Ft-ot nyert lottón. Azt tnácsot kpt, hogy pénzének egy részéért befektetési jegyet, másik részéért állmppírt vegyen. A befektetési jegy egy év ltt 18%- ot, z állmppír 12%-ot kmtozott, így 1,35 millió Ft-j lett. Számold ki, hogy Nyerő úr mekkor értékben vett befektetési jegyet! 0,18x + 0,12 (1200 000 x) =150 000 lpján x = 75 000(Ft) 13. Egy vdskertben nyulk és fácánok vnnk. Az álltoknk összesen 50 feje és 140 láb vn (nincs köztük sánt, stb.). Hány nyúl és hány fácán vn vdskertben? x nyulk szám, 4x + 2 (50 x) = 140, tehát 20 nyúl és 30 fácán FELADATGYŰJTEMÉNY A feldtok között szerepelnek ún. logiki feldtok is (1. 7.). Ezeket csptjátékhoz is lehet hsználni. A gykorltis feldtok (8. 15.) megoldáskor érdemes z eredményt összevetni. Közösen beszéljük meg és írjuk le megoldás lépéseit. Fóliár írt megoldásokkl segíteni tudjuk közös megbeszélést. Jvsoljuk, hogy válogssnk szöveges feldtok közül. A bonyolultbb, hosszbb szövegűeket érdemes jobb képességű gyerekekkel megoldtni. Bár önálló munkár jánljuk feldtokt, gyerekek képességétől függően lehet párbn, csoportbn, vgy közösen kidolgozni közülük néhányt. 1. Zoli 5 pár fehér és 3 pár kék zoknit trt fiókjábn. Elég rendetlen fiú, és mosdás után sohse párosítj össze zoknikt, csk bedobj őket fiókb. Egy téli reggelen ármszünet volt, és Zolink sötétben kellett egy pár zoknit kiválsztni. ) Leglább hány drb zoknit kellett kivennie, hogy biztosn legyen köztük egy pár? 3db b) Leglább hány drb zoknit kellett kivennie, hogy biztosn legyen közöttük egy kék színű pár? 12db 2. A londoni Dimond & Sons február utolsó hetében teljes készletét felszámolt. Ennek során: hétfőn eldták drágkövek felét és még négy drbot; kedden mrdék felét és még kettőt; szerdán ötöt; csütörtökön pedig kettő híján még meglévő kövek felét. Ezután péntekre nyolc drágkő mrdt. Hány drágkő volt hétfő reggel? 84 (hétfő) 38 (kedd) 17 (szerd) 12 (csütörtök) 8 (péntek) A megoldást visszfelé, következtetéssel végezzük. péntek: 8, csütörtök: 2 8 2 = 14, szerd:14 + 5 = 19, kedd: 2 19 + 2 = 40, hétfő: 2 40 + 4 = 84 3. Tudjuk, hogy New Yorknk több lkos vn, mint hány hjszál bármelyik lkos fején, és hogy senki sem teljesen kopsz. Következik-e ebből, hogy kell lennie leglább két lkosnk, kinek pontosn ugynnnyi hjszál vn? (A feldt Rymond Smullyn: Mi címe ennek könyvnek? című könyvében Műszki Könyvkidó, 1988 tlálhtó.) Igen, sktuly-elv lpján beláthtó.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 15 4. Egy vont elindul Bostonból New Yorkb. Egy órávl később elindul egy másik vont New Yorkból Bostonb. A két vont sebessége pontosn ugynkkor. Melyik vont lesz közelebb Bostonhoz, mikor tlálkoznk? (A feldt Rymond Smullyn: Mi címe ennek könyvnek? című könyvében Műszki Könyvkidó, 1988 tlálhtó.) Tlálkozáskor ugynkkor távolságr vnnk Bostontól. A következő feldt nehéz. H gyerekek nem boldogulnk vele, segíthetünk zzl megjegyzéssel, hogy minden állítás párnál z első állítás igz, második hmis. Így ngyon leegyszerűsödik feldt. 5. Öt lány: Kti, Év, Zsuzsi, Pnni és Rozi körmérkőzéses pingpongversenye véget ért. Szüleik nem mentek el versenyre, és ezzel kiérdemelték gyermekeik jogos hrgját. A lányok megállpodtk bbn, hogy mindegyikük csk féligzságot mond otthon versenyről, zz egy igz és egy hmis állítást, ezzel büntetik nemtörődöm szüleiket. A következőket állították versenyről: Kti: Pnni versenyen második lett. Sjnos én csk hrmdik lettem. Évi: Ngyon örülök, mert én lettem z első. Zsuzsi második helyen végzett. Pnni: Második lettem. Rozi: Rozi lecsúszott hrmdik helyre. A negyedik helyen kötöttem ki. Ktink legjobb, ő lett z első. Zsuzsi: Csk hrmdik lettem. Szegény Évinek csk z utolsó hely jutott. Állítsd össze helyezések sorrendjét! Év, Pnni, Zsuzsi, Rozi, Kti. 6. El lehet-e osztni 10 zseb között 44 forintot úgy, hogy mindegyik zsebbe más és más számú forintos érme kerüljön? Hogyn? Nem, mert 0 + 1 + 2 + 3 +... + 9 = 45 7. Egy meleg nyári npon Péter bevásárolt brátink büfében. Vett 13 limonádét, egyenként 150 Ft-ért, 6 csomg virslit és 9 szendvicset. Az eldó szerint összesen 4210 Ft-ot kellett voln fizetnie. Az nem lehet! mondt, pedig még nem is tudt, mennyibe kerül virsli és szendvics. Miért lehetett ilyen biztos dolgábn? A 150, 6, 9 oszthtó 3-ml, így összegük is, de 4210 nem. 8. Az Előrelátás Kft. új igzgtój működését zzl kezdte, hogy z lklmzottk számát megduplázt. A következő hónpbn felvett még 7 dolgozót. Ezután megsokllt beosztottk számát, és elbocsátott dolgozók 40%-át. Kisvárttv kiderült, hogy kdozik munk, nosz gyorsn felvett 15 embert. Az újbb tkrékossági intézkedések htásár zonbn kénytelen volt dolgozók egyhrmdát elbocsátni. Így már csk 24-en dolgoztk cégnél. Hányn dolgoztk cégnél z új igzgtó megérkezése előtt? Végül hogyn változott munknélküliségi rát z új igzgtó rendelkezéseivel? [ ] 2 (2x + 7) 0,6 + 15 = 24 lpján x = 14, rát csökkent. 3
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 16 9. A mtemtikversenyen 10 feldtot kellett megoldni. A versenyzők minden helyesen megoldott feldtért 5 pontot kptk, meg nem oldott vgy hibás feldtokért pedig egyenként 4 pontot vontk le. Hány feldtot oldott meg helyesen z tnuló, kinek z összeszámoláskor 32 pontj volt? És z, kinek 10 pontj volt? Lehet-e vlkinek negtív pontj? Lehet-e null pontj? Mi lehet legkevesebb pontszám? Hogyn lehetne lehetséges pontszámokt áltlános formábn felírni? x jól megoldott feldtok szám: 5x 4 (10 x) = 32 lpján x = 8, pontszám képlete: x = 9k 4, hol ( 4) < k < 6 egész. Így 8 és 0 nem lehet, minimum ( 40) 10. Egy szbdtéri koncert szünetében 3 mozgóárus perecet árult, 100 Ft-ért drbját. Átlgos jövedelmük z egyik este 22400 Ft volt. Az árusok közül z első 50%-kl, második 70%-kl ngyobb forglmt bonyolított le, mint hrmdik. Hány perecet dtk el külön-külön? x perecek szám: x + 1,5x + 1,7x = 224 lpján x = 53,33 zz nincs megoldás. 11. Egy ór árát 25%-kl felemelték, de nem volt elég kelendő, ezért z új árát 25%-kl csökkentették. Végül ki járt jobbn; vevő, vgy z eldó? 1,25 0,75 = 0,9375 vevő járt jobbn. 12. A tőkéd 1800 000 Ft volt 2 éve. Az egyhrmdát részvénybe fektetted, kétötödét betétkönyvben kmtozttod, többiért állmppírt vásároltál. A részvény nem kmtozik, de 2 év ltt összesen 30% osztlékot fizettek utánuk. A betétkönyv 10%-ot, z állmppír 15%- ot kmtozott évente. Mennyivel nőtt tőkéd 2 év ltt? Százlékosn melyik befektetési form hozott legtöbbet konyhár? 600 000 1,3 + 720 000 1,1 2 + 480 000 1,15 2 = 2 286 000, tőke 486 000 Ft-tl nőtt. Az állmppír 32,25%-ot hozott konyhár, részvények 30%-ot, betétkönyv csk 21%-ot. 13. A természetes számsorbn egymást követő három szám összege 56. Évi rögtön tudj, hogy téves z eredmény. Tláld ki, honnn jött rá! Jvítsd ki úgy z dtokt, hogy legyen megoldás feldtnk! Három egymást követő szám összege biztos, hogy oszthtó 3-ml, de z 56 nem. 14. Egy szám hrmd 2-vel ngyobb nál 12-vel ngyobb szám htodánál. Melyik ez szám? x 12 2 = x+ így x = 24 3 6 15. A toronyór 9 órát mutt. Hány órát fog muttni 4 ór, 17 ór, 60 ór, 2 np, egy hét, 602 ór múlv? 1 ór, 2 ór, 9 ór, 9 ór, 9 ór, 11 ór 16. Egy bnkbn 560 000 Ft egy év ltt 15%-ot kmtozik, de kmtdó 20%. Megéri betenni pénzt? Mennyi lesz kezdeti pénzből? Mennyi kmtdó? Hány százlékos vlódi, kmtdóvl csökkentett kmt? Megéri, mert kmtdó csk kmt 20%-t jelenti, nem teljes tőkére vontkozik! 56000 1,15 (56000 0,15) 0, 2 = 627200 (Ft) lesz végül. A kmtdó 16800Ft. A nettó kmt 12%.
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 17 17. Egy válllkozás beindításához Válllkozói Alpítvány Kurtórium Válllkozási kölcsönt d. A kölcsön ngyság rányos válllkozó mgántőkéjével. Fontosék és Tollsék válllkozói kölcsönt krnk fölvenni. A két cslád indulótőkéjének rány 2:5. Fontosék mennyi kölcsönt kpnk, h Tollsék 780 000 Ft-ot kptk? 780000 : 5 2 = 312000 (Ft) 18. A 200 000 Ft-os tőkédet jnuár 2-án évi 8 %-os kmttl beteszed bnkb. Június 16-án kiderül, hogy mégis szükséged vn pénzre. Mennyi pénzt kpsz, h bnk minden np számít kmtot, és nem szökőévről vn szó? 30 + 28 + 31 + 30 + 31 + 15 = 165 np, így 200000 0,08 165 = 7232 Ft kmt ( Bnkok 365 egész részt vesznek, nem kerekítenek!), tehát 207232 Ft-ot kpsz. 19. Zöldék házt krnk építeni. Már készen vnnk z lpozássl. A nyolctgú, Tégldobáló kőműves cspt flk felépítését 25 npr válllj. Zöldék zonbn inkább 15 tgú, Sörszerető csoportot bízzák meg munkávl. H feltételezzük, hogy minden kőműves teljesítménye egyform, kkor hány np ltt lesz ez cspt készen flk felhúzásávl? És h egyszerre mindkét csoport dolgozn? És h még 1000 munkás? 825 = 13,3 & 200, tehát 14 np ltt. H mindkét cspt dolgozn, kkor 8,7, zz 9 np; 15 23 1023 munkás esetén elvileg 1 np, de gykorltilg kivitelezhetetlen és költségesebb, mint hsznosbb ennyi munkást fogllkozttni egy házépítésnél. 20. Bélánk és Krcsink pénzre volt szüksége, ezért szünetben elmentek szórólpokt osztogtni egy diákszövetkezethez. Bél nemsokár megbetegedett, így Krcsink egyedül kellett befejeznie válllt feldtot. Úgy egyeztek meg, hogy pénzt 1:4 ránybn osztják el egymás közt. Mennyi pénzt kptk, h Krcsi 33360 Ft-tl többet kpott, mint Bél? x + 33360 = 4x lpján x = 11 120. Bél11 120Ft-ot, Krcsi 44 480Ft-ot keresett. 21. Zöldövezetben lkóprkot építenek. A telek ngyság 1,5 h (1h=10000m 2 ). A beépítési rendelet szerint zöldövezetben telek ngyságánk 33%-ár lehet házt építeni. Három ház építését tervezik úgy, hogy házk lpterületének z rány 3:4:5 legyen. Mekkor házk lpterülete külön-külön és együtt? Egyetértesz-e zzl, hogy teleknek csk 33%-át lehet felhsználni? (A válszodt indokold is!) 15000 0,33 x = = 412,5 lpján 1237,5 m 2 ; 1650 m 2 ; és 2062,5 m 2 területűek telkek. 12
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 18 1. tnári melléklet Krtonlpr nyomv, osztályonként 8 (csoportonként 1) kártykészlet ebben méretben. (b + c) : b b b + + b [ : (b + c)] d 3x 2 : (b + c) d d b+ c ( ) : b ( b) b b + c ( 3x) 2 c d bc + bd 9x 2 1 + b
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 19 b c ( 1)( + b + c) d b+ c (3x) 2 1 b b ( + c) 1 + b b b² b
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 20 FELMÉRŐ A CSOPORT Név: 7. évfolym, Algebr 1. Írd le mondtokt lgebri kifejezések segítségével! ) Ildi hvont Ft zsebpénzt kp. H semmit sem költ belőle, mennyi gyűlik össze egy év ltt? b) Egy tégllp kerülete 66 cm. Az egyik oldl b cm, mekkor másik? 2. Az lábbi kifejezéseket írd át egyszerűbb lkb és számold ki helyettesítési értéküket! ) 7 5 + 7 h =-2 b) 4 (3 + ) 2 h =5 c) 4 + 2 ( + 3) h =3 3. Oldd meg z lábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! ) 2x + 3x 4 = 8 x b) 3 (x 2) 2 (x + 1) = 11 c) 4x + 3 > 5x 1 d) 2 (3 x) < 4 + x 4. Oldd meg szöveges feldtokt! ) Melyik z szám, melynek 8 5 -d része 2-vel kisebb, mint 3 2 része? b) Két turist, Péter és Pál kétféle útvonlon hld. Péter útj 5 km-el hosszbb, mint Pálé. Ketten összesen 41 km-t gylogoltk. Milyen hosszú volt Péter illetve Pál útj?
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 21 FELMÉRŐ B CSOPORT Név: 7. évfolym, Algebr 1. Írd le mondtokt lgebri kifejezések segítségével! ) Péternek 17200 Ft-j gyűlt össze bnkbn. Kivett belőle Ft-ot. Mennyi mrdt bnkbn? b) Egy tásk ár b Ft. Mennyibe kerül egy pár cipő, h z ár tásk áránk 1,5-szerese? 2. Az lábbi kifejezéseket írd át egyszerűbb lkb és számold ki helyettesítési értéküket! ) 8 + 2 4 + 5 = 3 b) 5 ( 2) 2 + 3 = 4 c) 4 ( 3) + 7 + 2 = 2 3. Oldd meg z lábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! ) 6x 3x + 2 = 16 4x b) 5 (x + 3) + 3 (x 1) 3 = 33 c) 3 + 5x < 15 x5 x > 3 (5 2x) 4. Oldd meg szöveges feldtokt! ) Mennyi Molnárék egyhvi jövedelme, h keresetük 5 4 része 36 000 Ft-tl ngyobb, mint 3 2 része? b) Egy vont két kocsiján összesen 100 ember utzik. Mennyien utznk két kocsibn külön-külön, h z egyikben 22 emberrel több vn?
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 22 FELMÉRŐ A CSOPORT (MEGOLDÁS) 1. Írd le mondtokt lgebri kifejezések segítségével! Név: 7. évfolym, Algebr c) Ildi hvont Ft zsebpénzt kp. H semmit sem költ belőle, mennyi gyűlik össze egy év ltt? 12 2 pont d) Egy tégllp kerülete 66 cm. Az egyik oldl b cm, mekkor másik? 33 b 4 pont 2. Az lábbi kifejezéseket írd át egyszerűbb lkb és számold ki helyettesítési értéküket! d) 7 5 + 7 h =-2 3 7 13 5 pont e) 4 (3 + ) 2 h =5 12 + 2 22 5 pont f) 4 + 2 ( + 3) h =3 2 2 + 10 48 9 pont 3. Oldd meg z lábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! e) 2x + 3x 4 = 8 x x = 2 4 pont f) 3 (x 2) 2 (x + 1) = 11 x = 19 5 pont g) 4x + 3 > 5x 1 x < 4 4 pont h) 2 (3 x) < 4 + x x > 2 3 5 pont 4. Oldd meg szöveges feldtokt! 5 2 c) Melyik z szám, melynek -d része 2-vel kisebb, mint része? 8 3 5 2 x + 2 = x lpján 48. 4 pont 8 3 d) Két turist, Péter és Pál kétféle útvonlon hld. Péter útj 5 km-el hosszbb, mint Pálé. Ketten összesen 41 km-t gylogoltk. Milyen hosszú volt Péter illetve Pál útj? x+ ( x+ 5) = 41 lpján Pál útj 18 km, Péter útj 23 km volt. 10 pont
0774. Algebr Azonosság, egyenlet, szöveges feldtok Tnári útmuttó 23 FELMÉRŐ B CSOPORT (MEGOLDÁS) 1. Írd le mondtokt lgebri kifejezések segítségével! Név: 7. évfolym, Algebr c) Péternek 17200 Ft-j gyűlt össze bnkbn. Kivett belőle Ft-ot. Mennyi mrdt bnkbn? 17200 2 pont d) Egy tásk ár b Ft. Mennyibe kerül egy pár cipő, h z ár tásk áránk 1,5-szerese? 1,5b 4 pont 2. Az lábbi kifejezéseket írd át egyszerűbb lkb és számold ki helyettesítési értéküket! d) 8 + 2 4 + 5 = 3 6 + 5 = 13 5 pont e) 5 ( 2) 2 + 3 = 4 3 7 = 19 5 pont f) 4 ( 3) + 7 + 2 = 2 4 2 5+2 = 8 9 pont 3. Oldd meg z lábbi egyenleteket és egyenlőtlenségeket! d) 6x 3x + 2 = 16 4x x = 2 4 pont e) 5 (x + 3) + 3 (x 1) 3 = 33 x = 3 5 pont f) 3 + 5x < 15 x x < 2 4 pont g) 5 x > 3 (5 2x) x > 2 5 pont 4. Oldd meg szöveges feldtokt! c) Mennyi Molnárék egyhvi jövedelme, h keresetük 5 4 része 36 000 Ft-tl ngyobb, mint 2 4 2 része? x 36000 = x lpján x = 270 000 Ft 4 pont 3 5 3 d) Egy vont két kocsiján összesen 100 ember utzik. Mennyien utznk két kocsibn külön-külön, h z egyikben 22 emberrel több vn? x+ ( x+ 22) = 100 lpján z egyik kocsibn 39-en, másikbn 61-en utznk. 10 pont