Töréskép optimalizálás Elmélet, megvalósítás, alkalmazás

Elmélet, megvalósítás, alkalmazás Készítették: Borbély Dánel Szerkezet-építőmérnök Msc hallgató Borbély Gábor Alkalmazott matematka Msc hallgató Koppány Zoltán Földmérő- és Térnformatka mérnök Msc hallgató Témavezető: Dr. Görög Péter Adjunktus BME Építőmérnök Kar, Építőanyagok és Mérnökgeológa Tanszék BME 2011

_b`] Z ^ç Г ç Г Г ç ç ç Г çг: ç Г Г ç ç Г Г ç ç ç ç žç ç ç ç ç œç ž ç Г ç ) ç Гç Г çг çг ç Ÿç Ÿ ç çг ç ç çг ç Ÿ ç Г Г ç Г Г ç Ÿ ž ç Г ç ç Ÿ Ÿ ç Г ç Ÿ ç Г:çГ ç Ÿ ç ç Г Г ç Г ç ç ç ç Г Г ç ç ç žœç ž ç žžç ž ç ž ç ç ç: ç Г çг: ç Г Г çççг ç Г ç ) çг: ç ç _` _ \ç _ cb^ç ž ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ a ^çг b ` _ ] ç Ÿ ç ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç ç _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ç _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ž ç ç Г çгг:çг Гç ž ç b[ b _b` ç \ç _ _ç ž ž ç a ç ç _ b ç [ ^ç ž Ÿ ç Zb _ ç [ ^ç ž ç a _ ç] Z ç [ ^ç ž ç _ az ç ž ç ` _ _ ^ç ž ç ž ç ž ç Ÿœç ŸŸç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç Ÿ ç œç œç œç ç 2. oldal

ž ç _] çг b ` _ ç _ ç Ÿ ç ç Г Г çç çгç ) Гç Ÿ ç _ b ^ç Ÿ ž ç _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç Ÿ Ÿ ç ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç Ÿ ç ç Z [ ç` \ ç Ÿ ç ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç Ÿ ç c aç \ ç _ ç Zb_ ç ç ç : ç ç ç GГ ç Г çгг:çг Гç ç Г b ` _ ç ž ç çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç ç ç çг ç ç Z ç _ ]ç ž ç a\ b bcç _ ]b^ç Ÿ ç `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç ç bz aç^ ç ç Z _ aça \_ Z ç _ `ç ç ГГ ç çг ç ç Г ) ç Г Гç ç ç Г:Гç ç ç ç ž ç ç Ÿ ç Г: ç Г ç ç ç Г ç çгçг) ç ç çг ç çгç Г ç ç Г:)ç ç ç ç ç ç ç ç žç ç ç ç ç ç ç ç ç ç œç žç žç žç Ÿç ç ç ç ç œç œç ç žç ç ç œç ç ç ç ГçГ çг ç GГ çç :çг JГç ç ž ç ГçГ çг ç GГ ççг çgг: ç ç Г ГГç œç Ÿ ç çг JГ çj Г ç ГГ ç ç 3. oldal

ç )ç Г ç ç Г G ) ç ç çгçг Г ç ç Nç Гç ž ç Г çгг ç Ÿ ç Г ) ç ç çг ç çç ç ç ç Гç ç ç ç Г Г ç Г ГГ: :Гç ž ç ГГ ç ç ž ç b [a\^ \ç Z ç^ ` [ a\^ \ç`b ç ž ž ç \ ^ \ _ ç ž Ÿ ç b` \ \ç ç ž ç ç[\ ^ç[ ç Ÿ ç Г)çГ ç Г : :Гç ç ç çг ç ç žç ç ç ç ç ç œ ç œ ç œ ç œ ç œ ç œžç œžç œÿç œ ç œ ç ГГ ç œ ç Г ) ç çг Гç ç ç ç çç Г ç ç ç ç Г ç œ ç œ ç œç Ÿç Ÿç ç ç ç 4. oldal

_ _ a ç Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x * u& f h ¾ h¾ * ε& jf h ¾f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f nf½ ¾ h f mf x ¾ h f b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç sf f h¾ h ½ ¾ nf f h¾ h h ½ ¾ If¾ ¾ x f f q T + + + = { q1, q1, q2, q2,..., qm} q, q f x¾f ¹ c T = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { 1 1 1 1 2 2 m m m m lf ¾¾ f σ f ¾ h ¾h f ¹ ¾ h T x y x y y x y f = f, f, f, f,..., f } f, f f¾ ¾ x¾ h ½ ¾ { 1 1 2 2 n j j 5. oldal

x yf x x ½ h f h h ^ cçbc \` _\ _ ç ¹ ½f h¾ h h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = 2 + + T {s1,s1,s2,s,...,sm } d = {s1,n1,s2,n2,...,n m } f h ¾ ½ f h¾ h ¹ T g = l * c, l * c, l * c,..., l * c, l * c } { 1 1 1 1 2 2 m m m m lf ¾x ¾x ¾¾ f cf ¾x ¾x x f T x y x y y x y u = u, u, u, u,..., u } u, u f n¾ ½ ff f f h ¾ h¾ { 1 1 2 2 x¾ h ½ ¾ N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } 1, n j 1 2 p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f j p x¾ p 2 0 1 T D s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { D1 D1 D2 D2 Dm T L s n s n n f = f, f, f, f,..., f } { L1 L1 L2 L2 Lm f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h s D n D s L n L f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x f f f x f ¾ f Jf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f 6. oldal

f ¾h x ¹ T x y x y y t = t, t, t, t,..., t } { 1 1 2 n t, t f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ x y T q = S, N, S, N,.., N } f x¾-f x f x¾ h h ¾¹ ¹ { 1 1 2 2 m f x½ ¾ ¾ h¾f x x ¹ f h¾ f f f h¾h f x f D f f f h¾ ¾ h f ¹ T u = 0, u,0, u,..., u } x¾ f x f f f h¾ { 1 2 m x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f h f f¾ f f f ¾ f¾ h h x ¾ 7. oldal

^ ç f nx ff x¾ x½ ½ f h h¾ x x ¾¾ f h¾f ¾ f f½ ½ f x¾ x¾,f f ¾ ¾x x @ h h½x h ¾ ¾ x f f ¾ ¾ x ¾ f f f f ¾h h x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f x¾ x ¾ ¾ x½ x f f f x¾ f h¾h f x ¹ x½ x x¾ x½x x¾ f h f ¹ ¾ h h¾h f ¾ x f f½ f f x½ x f h h¾ ¾ h f f ½ f¾ n f f ¾ ¾ ¾ f ¾ ¾x x ¾ h f f f ¾ h¾ ¾¹ f ¾ h f @ f f f f¾ h h¾ ¾ ½ h ¾x ¾ ¹ ¾ ¾x x ½ f f x ¹ x¾ f ½x¾ x f f f f f h¾f ¾ ¾ x¾ ¾ ¹ ½ h f f x¾ f f½ ¾ x ¾ ¾ x¾ f¾ f f ¾ ¾ f f ¾¾ f f f h f h ¾ h f f ¾ h h¾ f f¾ h¾ ¾, x¾ x h¾ f h h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f ¾ x ¹ f f f¾ f h¾ f h f ¾ ¾x f h f h¾ f x ¹ f f f f f f h ¾ x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x x f f ¹¾x f ¾f x¾f f ¾ x¾ x ¾ f x¾x f ¾ f x ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾ f f x x¾ f f f f f h ¾ ½ f h¾ ¾ x ¹ f f ¾ h ¹ 9 x¾ f f f x h ¾ ½ f h¾ f f h¾ ¹¾x ¾ ¾ ¾ h¾f f f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ½ f¾ n ¾¾ f ½ f f ¾ ¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ x ¾ ¾ f¾ h f f f f f f ¾h h x¾ f x ¾h h h¾ x h f¾ f h f f h f x¾ ½ f f ¾ n¾ ¾¾h x¾ ¾ x½ 8. oldal

f f x¾ x½ ½ f h h¾ x x¾ f f ¹¾x ¹ x ¹ f f f ff ¾ n¾ ¾ x¾ f h f x¾ ½ f h ¾h h ¾ ½x h ¾ f x h f h ¾f f h h¾ f f¾ ¾¾ x ¾ x¾ f f f n¾ x¾ f f x ¾x¾ x¾ h h f Ix ¾¾ f f h f h¾ ¹¾x x¾ 9. oldal

ç,x f f¾x f f f x x¾ f f f f h h¾ f f x½ x x¾x x ¹ h¾¾ h h¾h f h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h f ¾ h ¾ ¾ x ¾ ¾ x ¾ f x f f f f ¾ f f h ¹ h f f ¾x ¾ h¾ f ¹ ¾ f x f f x¾ f f n x¾ f f f x½ x f h h f½ ¾ h f h 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 x ¹ x ¹ f f f ¾ x ¾ f f f f ¾ ¹ h x½ ¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¹ ¾ h¾ f ¾ x¾ x h f¾ f f x¾ x ¾ x ¹ f h f h ¾ ¾ ¹ ¾ ¾ ¾ ¾x x x ¹ x½ x f f x¾½ x h f f f f f h f f ¾ h f f ¹¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f x¾ h f¾ f x ¾ n¾ ¾ f f f f x ¾ f f x¾ x½ x¾ x½ ½ f h h¾ ¾n f ½ f f f f h¾ f f f¾ f f ¾ ¹ hn¾ ¾ f x f h h¾h x ¹ ¾ f 9 n f f ¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f¾ f f ¾ f f f f h x¾ h ¾ f x ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f x½ x x x¾ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾ ¾h h f h x h f f ½ J 9 f J f h f f hn¾ ¾ f f h f f f f h¾h f x ¾ ¾ f f½ ¾f f ¹ f f f f ¾f ¾ f f f n f x ¾h f x h ¾ f f f f ¾ ¹¾ ½ x f f f f f f f x¾ x½ ¾ h ¾ f h¾ ¾x ¾ h¾ ¾ f h ¾½ f h¾, f ¾ ¾x x f x f f f f f 10. oldal

x f f f x¾ f ¾ h h¾ n f f f f¾ ¹ x¾ f ¾ h h¾ f½fn h¾ f x x x¾f h ¾½ f h¾ f f h¾h f n h ¾ ¹ f¾x ¹ f h ¾½ f h¾ f f ½ ¹ f h h f f f f ¹ x h f f f½ f ¾ ¾ x ¾ h x½ x ¹ f h¾f ¾ x x f hn¾ ¾ f ½ f h h¾h f ¾ f f n f f ½ x h f ¾ h, h f ¾ n f f f f h¾f f ¾ ¹ x¾, f f ¾h f f½ h f f½ h¾ h¾ ½ x¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ x ¾, ¾ h ¾h h ¾x x h, x f f ¾ h f f x¾ f f x¾ ¾ f, x¾ h f f h x ¾h h f ¾ h h¾f ¾ ¾x ¾ x f h f fh f ¹¾ h h¾h ¾, f ¹nx f f f f½ ¾ ½ h h¾f f ¾ ¾¾ f h¾f f x¾ x½ ½ f h h¾ f h¾h x¾ x f¾ h f h h x ¹ x¾ ¾ f f ¾¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ x f f½ f h f h x¾ f f x½ x f h h¾ ¾ h f h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f n f f f f½ f ¾ f x½ x f h h¾f ¾ x¾ ¾¹ h h ¾ h ¾ f h ¾ ½ f h¾¾f f½n¾ f ¾ f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ f n ¾ ½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ x x¾x h¾ ¹ x¾ f x¾ x½ ½ f h h¾ h¾h f x x f f f f f f f f 9 h f h¾ x½x¾ ¹nx f f f ¾ ¹ ¾x f f f ¾ 9 h f f f ¹ x¾ f h f x¾ ½ f f h x¾ f ¾ ½ f h¾ n f x x¾ ¾ h f 11. oldal

x¾ ¾ x¾ f f f f f ½ f f h h¾h f h f x¾ f f f h¾h f h x½ f f ¹¾x f f h h¾h f ¾ h¾ x x x x¾ f f h f h¾ ¹¾x ¹ 12. oldal

ž c_ ^ a ç[ [ ç \ Z _ ç _ \ çг\`\ ça _\ ç x¾ ½ f ¾ h¾ x¾ f n f f ¹ x¾ x x ¹ ¹ f f f n f f ¾ h h¾ f x ¾ ¹ x¾ ¾ h¾ f f h x ¾h ½ x h h¾h f x¾ f f f¾ ¾ h f f f h x ¾h ¾ h f nx f ¾ f f h¾ f f f h h f½ ¹ x ¹ f h h¾f f f¾ ¾ h f nx ff f f h¾h f x ¹f f h h¾ x¾ ¾ ¾x f h h¾f f f¾ h f ¾h f h h f½ f f x¾ f f f f ¹ h¾ f ½ ¾ h f h h x½ ¹ ¾ h h¾ h h¾ f h x ¾h ½ x h ff h¾ ¾ h h¾nx ff x½ x f f x¾ f h h¾f ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f ¾ x f ¾ f x ¾ x½ x f f f¾ h f ¾ x f f f¾ f f h h¾ f f f f f n¾ x f h h f h¾f ¹ f f f f x½ x f h h¾ ¾ h f f f ¾ f f ¹ x f h h¾h f ¾ f x ¾ ¾ x¾ f ¹¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾¾ h h¾ h h¾ f f f ¾ f f ¾ h h f x¾f f ¾ ¾x x ¹ x x¾ f ¾ f x½ x h¾ ¾ h f 9 f¾ n f ¾ ¾ 9 ¹ f f h h ½ x h f f ¾ ¾¾ ¾x x ¹ x½ ¾f ¾ f¾ h x f ¾ x½ f½ f ¹ f ¾ f ¾¹ D½½ D h h ¾ h f n f f h¾¾ h ¾ ¾ x¾ x n f f f x¾ f h f ¾ 9 x h ff ¾¹x¾f f ¾ h ¾ h h¾f ¾ ¹ ¾ f f f x¾ f f f¾ f f x ¾ h h¾h h ½ ¾ h¾f ¾ ¾x ¾ f f f x¾ ½f h¾ ¹ f ¾ h h f ¾ h h¾f f f f f x½¹ ¾ ¾x ¾ h¾ f f½ h x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ f h h ¾x 13. oldal

f h¾ x f f ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¹ ¾ h f x f f ¹f f f x½ x ¹ ¹ ¾ h h¾f f¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ h f¾ f f f f ¾ f ½ f f f ¾ h f ¹ f ¹ ¾¹ h h f ¾ h h¾ff ¹ x½½ x ¹ f ¾¹ ¹ h f h ¾ h¾ ¾ x ¾¹ f ¹f ¾¹ ¹ h f f h ¾ h¾ x ¾¹ h f * * T u da+ F u& dv = A & σ & ε dv V V j * j f Tf ¾ F f x f σ jf ¾ f x ¹ ¾ ¾x u& f h ¾ h¾ ε& f h ¾f f h h¾ f * h ¾¾ ¹ ¹ f ¾¾ x ¾ f f½ h ¾ h f f h ¾ h¾ ¾ f ¹ f f ¹ f x½ x ¹ ¹ f h h¾h f ¾x ¾ h ¾ h¾ ¾ f h f¾ f f ¾ f f ¹f f f x½ x ¹ x ¾ ¾¹ h h f f @ h f D h ¾ h¾ f x¾ x ¾ ¾ h h ¾ ¾¹ f ¾¹ h x h x¾ h¾ f ¾ h n¾ ½h f x¾ h f ¹ h f h h f h f f f h¾ ¾ ¹ ¾ f ¾h f ¾ f f h f h f f f ¾f h ¾ h¾ f h f f ¾ ¾x xx f h f f f ¾ n¾ ½h h¾ x x¾ h x f h h¾f ¹ f f ff ¹ f ¾ x¾ ¾¹ D h f x f h x½ x ¹ f ¾ ff x h¾ x f ¹ f f h¾f x x f f f f n f f ¾ h h¾ h h¾ f x¾ x f¾ f f ¾f, x¾ x f f½¾ @ x¾ ¾ h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ½x h f 14. oldal * j

@ ¾nf x¾ x f f, x f ¾½ n h ¾ ¾ f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ x ¾ ¾ h f h ¾ x¾ x ¾ f¾ h f f ¾ h h¾ ¹ h ¾ x¾ x f f¾ f¾ h f h f h ¾ x¾ x ¾ f h f f f f x½ x x¾ f h¾ f ¾h ff x¾ x ¾ h f ¾ x n¾ ¹¾x f ¾ ¾x x¾f h¾ f f f¾ ¾ h f f¾ x x¾ x x ¾ x¾ f f h¾ ¾f x¾ h ¾ ¾x h f½ f f½ h ¾ x x¾f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f ¾ f h¾ n¾f f h h h¾ ¾ x h f f x½ x ½ f¾ n h f x½ x h f x½ x x¾ h h h¾ f½n¾ f f ¾¾ x¾ f n= s * tg( φ) f s, nf f h¾ x¾ h h ½ ¾ f ¾ f f ¾ x f x x¾ ¹ ¾ f f ¾ n¾x¾ f f ¾ x¾x f f ¾ n h f 15. oldal

h f ¾ h f ¾ h f f¾ ¾ x x f x½ x n¾f h ½ ¾ f f h¾ f h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x h f h¾ f x¾ x½ x x¾¾ ¾ x f¾¾ n f h¾ x x¾ x f f ¾ h f f x¾ f f ¾¹¾ h¾ ¾ x x f x f f ¾ x ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾ ¾ x f f ¾ x¾x f f¾¾ n f h¾ f¾¾ n f f ¾ f x¾ h h h¾ h¾,f f ¾ f¾ n¾x¾ f f ¾ h f f f x½ x f¾ h f h f f h x ¾h ¾h n¾ x¾ f f h x ¾h ¾h f½ f h h¾¾f f x ¾ h ¾h f¾¾ n f h¾ x x¾x ¾ n¾x¾ f f ¾ ¹½ ¾¾h f ¹ f 16. oldal

2¾¾ f f f ¹ f ¾ x¾ ¾¹ h h f f h h¾h ¹ ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾ f f f ¾x ¾ h¾ ¾ x f ¹ f ¾ h ¾ h f f ¹ f h¾ f ¹ ½ x f x f x ¾ ¾ h¾ ¾ b ¾ x ¾¾x h f¾ f ¾h x ¾ x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ ¾ h x ¾ f f f h¾h f ¾ h h¾f f, x¾ x f f f h¾h f ¾ x ¾ f f f ¾x ¾ ¹ ¾ x¾f f f f ¾x ¾ h¾ ¾ f h f f f f f h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾ ¾x ¾ ¹ h¾ ¾ ¾ ¹ ¾ h h¾f ¾ x ¹ f¾ h x f ¹ P 1 m h b 1 c ( + ) 2 c b 2 b m h f bf ¾ x ¾¾x hf x f¾ f ¾h f mf M n¾ ½ ¾ h f f b h f¾ f f ¹ h ¾ x¾ m( m 1) m( m+ 1) c h f x P c f ¹ f½ x f h f f f f f 17. oldal

h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ x¾ ¾¹ n¾ x¾ f f h¾ f f f h¾ f f f f f ¾¹ h f D x x f f ¾ h x ¾ f ¾ x¾ ¾ f f f h¾ x½ x h¾ ¾ h f f 9 f f f f ¾ ¾x¾ ¾ ¾ ¾x x h f h ¾ f f ¾ f f f 9 f f f¾f f h ¹ ¾ h h¾ h h¾ h¾h f f f h f h¾ f ¹ ¾ f f f h h¾ f ¾ x ¾¹x x ¾x¾ f x f x¾ f ¾ f f ¾h ¾ f f x x ¾ h x½ f ¾h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f f f f h ¾½ f h¾¾ ¾x x 18. oldal

3. A Lneárs Programozás matematka alapja 3.1. Glogáls optmalzálás A Lneárs Programozás (LP) a globáls optmalzálás egy specáls esete. A glogáls optmalzálás, mnt matematka módszer számtalan helyen előkerül a mérnök számításokban, mvel nagyon általános problémát fogalmaz meg. mn ƒ(x)=? (4) x X R d ahol X egyadottkereséstér és ƒ : X Radottcélfüggvény. Egyszerűtranszformácóval maxmumot s kereshetünk, ha az ƒ függvény 1-szeresét vesszük célfüggvénynek. Az általános globáls optmalzálás feladatnak a megoldása sem analtkusan, sem numerkusan nem smert, a megoldó módszerek az adott probléma ƒ célfüggvényének és X keresés terének sajátosságat használják k. Egy általános optmalzálás feladatnál kérdés a keresett mnmum, az az x X vektor, ahol a mnmum felvétetk, valamnt az, hogy van-e lletve hány lyen x vektor van. Az optmalzálás feladatok egy lehetséges osztályozása: X R d,ƒ : X R (nncs megkötés) globáls optmalzálás (5) X egy konvex alakzat konvex optmalzálás (6) X egy konvex alakzat,ƒ(x)=c x konvex programozás (7) X egy poléder,ƒ(x)=x A x+c x kvadratkus programozás (8) X egy poléder,ƒ(x)=c x lneárs programozás (9) X Z d {egy poléder},ƒ(x)=c x egész értékű programozás (10) Például a Lagrange multplkátor alapfeladata(5)-nek része. (7)-ben egy konvex alakzat adott rányban(c) extremás pontját keressük, míg(9) esetén azt s megkötjük, hogy az alakzatot egyenes oldalak (hpersíkok) határolják. (10) esetén s egy poléder belseje a keresés tér, de csak az egész koordnátájú pontokra hagyatkozunk. Természetesen ezeken belül s vannak még kutatott feladatosztályok, valamnt ezeknél általánosabbak s. A fentebb felsorolt progblémák közül(8) bzonyos esetere,(7)-re valamnt (9)-ra smerünk gyors (és általános) numerkus algortmust, (10) például NP nehéz feladat. Ezen problémák mndegykére vannak elméletek, de az (9)-ban van lehetőségünk a legnagyobb méretű feladatok megoldására.

3.2. Lneárs Programozás A (9) feladat felírásához meg kell értenünk a polédereket. 3.0.1. Állítás. Egy X R d alakzat poléder akkor és csak akkor, ha letezk egy A R m d mátrx és egy b R m vektor, hogy X= x R d Ax b Vagys az Ax R m vektorkoordnátánkéntnem nagyobb b vektornál. Geometralag ez azt jelent, hogy előáll félterek metszeteként. Íly módon az LP feladat megfogalmazható a következő alakban: Legyen adott A R m d, b R m és c R d. Keressük x R d vektort, hogy Ax b és mnden más x R d vektorra, amre Ax b teljesül az, hogy c x c x. mnc x (11) Ax b (12) x=( 1, 2,... d ) -t döntés vagy LP változóknak nevezzük, c=(c 1,c 2,...c d ) -t célfüggvénynek, vagy célfüggvény-vektornak. Az lyen alakú LP feladatot kanonkus alakúnak hívjuk. Más típusú feltételeket s be lehet építen az egyenletekbe és a fent (kanonkus) alakra hozn. mnc x mnc x m xc x Ax b Ax=b Ax b x 0 A (11)-(12) probléma megoldása lletve megoldhatóságának karakterzácója régóta smert [Gale, 1951], ezek osztályozása: ˆ Ideáls esetben (6(a) ábra), egyetlen x vektor létezk, amre teljesül a kívánt feltétel és a célfüggvény mnmáls. ˆ Lehet, hogy több optmáls vektor s van (6(b) árba), ekkor optmáls megoldások halmazáról beszélhetünk. Ez a jelenség akkor lép fel, ha a poléder optmáls lapja párhuzamos a célfüggvény szntvonalával. ˆ Elképzelhető, hogy a magadott feltételek nem elég korlátozóak, így található olyan megoldás, amn a célfüggvény értéke tetszőlegesen nagy lesz. Ekkor azt mondjuk, hogy (az adott halmazon) nemkorlátos a célfüggvény (6(c) ábra).

A feladat túlhatározott, az X halmaz üres, vagys nncs olyan x R d, hogy Ax b teljesüljön. Ekkor nncs fízbls megoldás. 2.0 y 2.0 y 2.0 y y 2 x max y 2 x max y 2 x max 1.5 1.5 1.5 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 0.5 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x (a) (b) (c) 6. ábra 3.3. Dualtás 3.1. Tétel (Erős dualtás tétel (Gale, 1951)). Tekntsük a mnc x (13) Ax b x 0 LP feladatot. Ha a feladatnak van optmáls megoldása, akkor a m xb x (14) A y c y 0 feladatnak s van optmáls megoldása és a célfüggvények optmáls értéke egyenlőek. A (13)-t prmál, a (14)-t duál feladatnak hívjuk. Vagys egy (13) alakú feladatot úgy s megoldhatunk, hogy képezzük a párját és azt oldjuk meg. Ez azért lehet célszerű, mert(14)-nek esetleg kevesebb változója van, vagy valam matt jobban tudjuk kezeln, megérten. A két feladat matematkalag egymással ekvvalens, lényegében két különböző egyenlet ugyanarra a problémára.

Természetesen a tételnek több féle általánosítása létezk(lagrange dualtás), és mélyebb kapcsolat s fennáll a prmál feladat és annak duál párja között. M a következőt használjuk ebből: mnden LP feladatnak képezhető un. duál párja és ha az eredetnek van megoldása, akkor a duálnak s van, sőt a célfüggvények értéke megegyezk. Ha a duál feladatnak (mnt kndulás feladat) képezzük megnt a duál párját, akkor vsszakapjuk az eredet egyenleteket. Továbbá az s gaz, hogy ha a prmál-duál feladatpár közül az egyknek nemkorlátos a célfüggvénye, akkor a másknak nncs fízbls megoldása (és vszont). De az s lehetséges, hogy egyknek sncs fízbls megoldása. 3.1.1. Megjegyzés. A duáls képzés matematka művelet, mnden faladatra elvégezhető, annak fzka tartalmától, a modellezendő problémától függetlenül. Egy általános, nem kanonkus alakú, LP feladat duálsának a felírását most nem taglaljuk, csak a számunkra érdekes eset duálsának felírását közöljük. (P) mnc x Ax=b (D) m xb y dualtás A y c x 0 x R d y R m (P) feladatban A R m d és tpkusan m<d, hogy az Ax=b alulhatározott legyen. 3.4. Megoldó algortmusok Az LP feladatok szerkezetükben a lehető legegyszerűbbek, de ennek ellenére nagyon sok probléma írható fel lyen (lneárs) alakban a menetrend-optmalzálástól a termékraktározásg. A számítás nehézséget a keresés tér mérete adja. Valós problémákban az A mátrx mérete d,m > 10 5 nagyságrendű. A feladatok megoldhatóságát sokszor nem s a számítás kapactás (CPU), hanem az együtthatómátrx tárolása korlátozza (RAM/HD kapactás). Egy LP feladat megoldására két főbb módszert smertetünk, az egyk az un. szmplex módszer, a másk az un. belsőpontos módszer. A szmplex módszer kfejlesztésében többek között George Dantzg játszott fontos szerepet a 20. század közepén. A módszer alapvetően Gauss elmnácós lépéseket használ a feladatból képzett szmplex táblán. A pvotálás lépések elvégzésére több szabály lletve heursztka s létezk. Addg kell

A b c T 0 7. ábra. Szmplex tábla sorműveleteket végeznünk amíg egy leállás feltételt el nem érünk, ekkor a jobb alsó sarokelemhelyénmegjelenkacélfüggvényoptmálsértéke,ac vektorhelyénpedg az x változó, amn ez az optmum felvétetk. Ilyen és ehhez hasonó elveken alapuló algortmusok képesek pontos, analtkus eredményt adn, vszont lassúak. Ponotsságukat az adja, hogy a Gauss elmnácó szmbolkusan s elvégezhető, vszont a szükséges elmnácók száma esetenként nagyon nagy lehet. Lehet olyan példát konstruáln, amben a futásdő a mátrx méretének exponencáls függvénye. A belső pontos módszer elve egészen más. Itt egy kezdet pontot kell találn a poléder belsejében, majd nnen ndulva teratív lépésekkel közelít meg az optmum pontot. x n+1 kszámolásához a feladat A mátrxából és az előző x n értékből az algortmus összeállít egy lneárs egyenletrendszert, majd azt megoldja (mátrxnverz számolás). Ezt a módszert először a 80-as években Karmarkar tette használhatóvá, amben a számítástechnka fejlődésének s fontos szerepe volt. Ekkortól már bzonyíthatóan és praktkusan s lehetett polnom dőben nagyméretű (több 10000 változós) LP feladatokat megoldan [Karmarkar, 1984]. A belső pontos módszereknél megfgyelhető jelenség a numerkus nstabltás. Az algortmus mnden elem lépésében egy (nagyméretű) lneárs egyenletrendszer megoldása történk, amnek a pontosságát az adott együtthatómátrx kondícószáma negatívan befolyásolhatja. A kforrottabb szoftverek ezt a jelenséget ugynevezett pre-solver segítségével kezelk. Egy nulladk fázsként átskálázza a program a döntés változókat úgy, hogy a kapott feladat jobban kondíconált legyen és persze vssza tudja következ-

tetn belőle az eredetnek a megoldását. y 2.0 y 2 x max 1.5 1.0... x n 0.5 x 1 x 2 x 0 0.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 x 8. ábra A belső pontos algortmusok egy hátránya, hogy mndg csak adott tűrésen belül dolgoznak, a tökéletes optmumot sosem érk el és az Ax=bfeltételt s csak közelítőleg teljesítk. Természetesen a tűrést csökkentésével elméletleg pontos eredményt s tudnak szolgáltatn, de a gyakorlatban meg kell elégednünk valamenny numerkus hbával. Ma a belső pontos algortmusok a kzárólagos eszköze a nagyméretű LP feladatok megoldásának[illes, 2002]. A belső pontos algortmusok egy másk jellegzetessége, hogy a dualtás tételt khasználva egyszerre írja fel és oldja meg a prmál és a duál feladatot. 3.5. Az oszlopgenerálás (column generaton) Azzal, hogy[karmarkar, 1984] lehetővé tette a tízezres nagyságrendű feladatok megoldását, sem a rácsos tartók alakjának megtalálása, sem a talajok törésképe nem váltak egy PC számára számolhatóvá. Tovább gyorsítás lehetőség az oszlopgenerálás [Bertsmas, 1997]. Tekntsük a m xb y A y c (D) y R m

duál feladatot. Csökkentsük a változók számát és egy ksebb feladatot oldjunk meg. Oldjuk meg m xb ŷ-t a redukált  ŷ ĉ feltétellel, ahol  R m d, ĉ R d és d <d. y y A T c A T c A 0 T c 0 (a) (b) 9. ábra Vegyük észre, hogy y,ŷ R m, a döntés változók száma nem változott, csak egy másk feladatot írtunk fel rájuk. Ezután le tudjuk ellenőrzn, hogy a kapott ŷ mennyben közelít az eredet 9(a) problémát. h:=c A ŷ R d Ha jól oldottuk meg a 9(b) feladatot, akkor h-nak az első d koordnátája nem-negatív, vszont a több koordnátájára nncs megkötésünk. Az oszlopgenerálás fő ötlete az, hogy vegyük hozzá 9(b) feladathoz azokat a sorokat, ahol h-nak a koordnátá a legksebbek. Ezzel bővítjük vssza a feladatot, hogy közelítsük a 9(a) megoldását. Egy gyors algortmusnál persze a cél az, hogy a redukált feladat kbővített változata s (sokkal) ksebb legyen, mnt az eredet feladat. A kérdés az, hogy mely sorokat vegyük bele a kbővített feladatba a h smeretében. Erre több technka és heursztka létezk. Az egyk legegyszerűbb, ha nagyság szernt rendezzük h koordnátát és a legelső (legksebb) μ d darab értéknek megfelelő sorral bővítjük a

feladatot (μ<1). Az oszlop generálás sematkus algortmusa: 1. Vegyük a 9(a) feladatot d sorral (A,c). 2. Vágjuk k (nem feltétlenül az első) d darab sorát (Â,ĉ). 3. Oldjuk meg a m xŷ b ŷ Â ŷ ĉ feladatot. 4. Képezzük h=c A ŷ vektort. 5. Válasszukkh-nakalegksebbμ d darabelemét,ésazezekndexenekmegfelelő sorokatvegyükhozzáâ -hoz. Ígyleszd +μ d elemeĉ-nakéssoraâ -nak. Ezután folytatjuk: ˆ Ha mn =1...d h > ε, akkor leállunk. ˆ Ha mn =1...d h ε, akkor 3. lépés. Ez a módszer a prmál megfogalmazásban azt jelent, hogy megtaláljuk a szgnfkáns változókat és nem kell a feleslegeseket cpeln. A prmál feladat változó (oszlopa) megfelelnek a duál feladat feltételenek (soranak). Ennek a technkának a megvalósításáról olvashatunk Glbert és Tyas 2003-as ckkében konkrét futás eredményekkel és tapasztalatokkal. Ezzel a technkával lényegében 10 8 nagyságrendűproblémákváltakszámolhatóváésezeredményezte(többekközött) a DLO elterjedését.

^ cçbc \` _\ _ ç b ç ^ç^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \çbc \` _\ _ ç ç ç _ ]b^ç ^ c_ ^ a ç [ a ^ç a _ Z\ ] ç _` _ \ç _ cb^ç x x½ x x¾ f f h¾ x¾f ½ h ¾, n x hn¾ ¾ f, n hn¾ ½ h f f¾ ¾h f f I, n x hn¾ ¾ f x ¾ h ¾ f f f ¾ ¾ f h f x¾f h¾¾ ¾ ¾ x f ¾ f¾h f x ¹ 9 ½ x h f f¾ f ¹ ¾ x n¾ ¾ f½ f f h f ¾½ x f ¾ h h¾h f ¾ h ¾x ¾ f¾ ¾h f f x¾ x ¾¹ ff h¾ ¾¾ x¾f ¾ h ¾h ¾ f f ¾ ¾x ¾ ¾ ¾ f ¹x¾f ¾¾ ¾ f h f f ¾ h ¾h f x½ h f ¾f f f½ h h f f x ½ x f f¾ 9 h f @ x¾ ¾ f f f f f ¾ ¾ x h ¾¾ f f ¾ x f h ¾½ f h¾ f f x ¹ x¾ x½ ½ f h h¾ h f ½ f x¾ x f x f h ¾ ¾ f ½ n ¾ h f f ¾ h h¾ f ¾x ¾ x¾ x½ ¾ h f ¹¾ x x ¹ f f ¾ x½ ¾ f ½ f f h ¾ x½ f h f ¹ ¾ h f f f½ h ½ x¾x x¾ h ¹ f h¾ x¾ xx x f ¾ h h¾ ¾ x f f f½ h f x x¾ x h ff x ½x h h ¾ ¹ h h f h x f½ n¾ ¾ f½ f f h ¾ ¹h h¾f ¾ n¾ ½h f h h h¾ ¾ ¾x ¾ f x h f ¾ f h ½ h x f½ f h f 27. oldal

h f h f @ x¾ x¾ x½ x½ ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ½ f h h¾ x f f f x¾ x½ f ž b ç ^ç ^ c_ ^ a ç bcb_ Z\ \ç bc \` _\ _ a ^ç Г b ` _ ] ç I ¾ h f f n¾ h ½ f x¾m¾ h ¾x ¾ hn¾ f h f h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ h f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x f h h¾h f ¾ h h¾fx¾f x hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h f f¾¾ ¾ ¾ x x f f f 9 ff ¹ 28. oldal

T mnv = c q x Bq= q 0 f T + + + f Vf¾ ¾ x f f q q, q, q, q,..., q } q, = { 1 1 2 2 m q f x¾f ¹ f f f T = 1,..., m c = l / σ, l / σ, l / σ,..., l / σ, l / σ } { 1 1 1 1 2 2 m m m m l, σ f ¾¾ fx¾¾ h ¾h f B ¹ n m ¾ h T x y x y y f = f, f, f, f,..., f } { 1 1 2 2 n f, f x j y j f j n¾ ½ f f f¾ ¾ x x¾ y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f f f f f¾ ¾ x ¾h hn f f f ½ f f ¾x ¾ hn¾ f ¾¾ h f f h f f¾ ¾ f f f f h ¾ x f h f f x¾ f f Ix f f h ¾ f ¾ f f h ¾ f f h f x¾ x¾ ¾ ¹ h h¾ ff f x x x x ¹n¾ ½ f x x x x ¹n¾ ½ f f h f ¾ h f ¾ f x¾f ¾ h f x¾f ¾ h x¾ x x f ¾ ¾ ¾ fx¾ ¾ ¾ f h f f x¾ f h h ¾¾ h f h f x¾ 29. oldal

α = β = x y 1 1 x l l y 12 12 f 1 x 1 y f x ¾¹ x ½ h f h h x2 y2 f x h¾ x ½ h f h h f f½ h f f ¹ h f f + α + β α β α β q + α q + β + f f = f f x 1 y 1 x 2 y 2 h f¾ ¹ fn¾ ½ f ¹x x f x¾ f ¹ ¾ B h ¾¾ f f f h¾f f f ½ f x f f ¾ f f ¹ f f ½ f f ¹ ¹ x f ¾ f f h f¾ ¹ h f f Bq= f h¾f h q ½ f¾ f f f f h x¾ f f h h¾ x mnv T = c q ¾ f f f f ¾x ¾ ½ h f h ¾ x f h¾ f f f f h ¾½ f h¾ ¾ ¾ ¾x x f f f ¹ ¾ f f 9 h f½ h¾ h f h f Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çг b ` _ ] ç I h ¾ f ¾ x¾ ¾ h x ¾ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾m ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½½f h f 30. oldal

h f x¾ x½ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x ½ f h h¾¾ h f f f ¾ h h¾x¾f f½ x f¾¾ ¾ ¾ h f f f 9 f f ¹ T mn E = g d x Bd = u d 0 f E f d h¾ ¾ x h ¾ ¾¹ f d T = 2 + + {s1,s1,s2,s,...,s m } s, + s f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ h ¾ f T h¾ h¾ f = 1,..., m g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾f x B ¹ 2n m ½f h¾ T x y x y y h u = u, u, u, u,..., u } { 1 1 2 2 n u, u x j y j f j n¾ ½ f f f f h ¾ h¾xx¾y h ½ ¾ f j = 1,..., n h f f h f f f f x¾ x½ f f f f h h f f x¾ x f ½ f f f¾ f x h f x¾ 31. oldal

f h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h h f ½f h¾ f x¾f ½f h¾ h ¾ h f h h x ¹ f½n¾ f ¹ f n¾ ½ f ¹x x f x¾f ¹¾ f B h ¾¾ f½ f h¾ f f h¾h h ¾x ¾n¾ ¾ f½ x½¹ f h¾ h¾ ¾ f f 9 h ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¹¾x x ¹ f f f f ¾¹ ¹ h h f h f f ¾¹ ¹ h h f x x f ¹ f λ ¾h x ¹ ¾ h f f½ x f h f h f 32. oldal

x¾ ½h f ¾ ¹ h¾ f ¾ x ¹ x ¾ f¾ ¾h f h h f ¾ h f f ¹ @h h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h f @h h f x¾ x½ ½ f h h¾x¾f x½ x ½ f ½ f h h¾f f h f hn¾ ¾ f @f f x¾ 9 h ¹ q f h¾ d f h ¾ h B ½f h¾ h B @ ¾¹ ¹ f n¾ ½ h¾ u x x x f f h h¾f V f f h h¾f E f x¾,f f f h ¾ f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f hn¾ f ¾ h¾ h x¾ x f f h¾ ¾ ¹ h¾ f ¹ h f hn¾ f x h¾ ¾ ¹n¾ ¾ f½ ¾x ¾ h¾ f ¹ h¾ ¾ ¹ n¾ ¾ f½ f hn¾ f h ¾h h f ff f x ¾ f ¾ x¾½ x n¾ ½ f ¾ f ¾ f ½f h¾ f f f f n¾ ¾ f½ f x½¹ ¹ f f h¾ h¾ x¾ ¾ f f ¾ x¾½ f n¾ ½ f ¹ f ¾x¾ f½ f x _ ç ç a _ Z\ ç\ _ ç ¾ ½x h f h ¾ x f n ¾ ½ ¹ x ¾ h h¾ h h¾ f¾ ¾h h I f f h h f f ½ x ¹ hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h f f x¾ f h ¾¹ x¾ x x ¹ f h f f f f x¾ ½ ¾¾ ¹ ¾ f f¾ x ¹ f ¾ h ¾h f ¹ f h f f fnx x x ¾ x x ¾ ½ f ¾ ¾ f¾ x f f f h¾ f h f f f 33. oldal

h f f f x¾f ¾ h h¾f h f f f x¾f ¾ h h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f h f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f h¾f hn¾ ¾ f ½ f h h¾ f f f f f x½ x f h h¾ f f f h f ¾ x h f f ¾ f x ¹ f¾ f f x x ¾¾ ¾h f f½x¾f f f x f f n¾f f ¾ f f¾ ff x x f ¾ h ¾h ¾ h f x ¹ h¾ ¾ h f h x ¾h ¾h ff h f 34. oldal

h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ f f x¾f ¾ h h¾f x¾f ¾ h h¾f h f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾ x½ ½ f h h¾ f f h¾f f f h¾f h f ½ h f f h x x x f ¾ f x h¾ h n¾f f f ¾ f h x ¹ ¹ f 9 f f x ¾ f ¾ x x x ¾x x ¹ ¾ f _ ^ç _ _ç çz ^b _ aç ¾¾x x½½ f hn¾ ¾ f x½ x ½ f ½ f h h¾h x ¹½ f ¾ x¾ f x x½ ¹ ¾ x¾ f f x x x 35. oldal

h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f h f x½ ¹ ¾ ½ h ½ f f h ¹ f f ¾¾ h ¾ f¾ h ¾ h h¾ f x¾ f ¾ x ¾¾ @ @ h¾ - f h¾ f f h f f ¾ h f f ¾ 36. oldal

¾f h f ¾ f ¹ f f f f ½ h h¾ f h h ¾¹½h f x f h f f¾ h h¾f x f½ f f¾ ¾ f f f fn¾ ¾ f h ¾ f f ž \a ` \^ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç f ¾ x ½ x h h¾h f ¾¾ 9 ½ x h ¾f x f ¹, f f x ¹ ¾ x¾ - f¾¾ n f h¾ x f¾ ¾x¾ ¾ x ½ ¾ f f ½ ¾ f ½ ¾ ½ x x, x¾ f f¾ x¾ x @f f x @h f f ¾ h f ¾h f x f ½ f f x x x x¾x ¾¾ f f f h¾f¾ ¾x ¾ ž b[ b _b` ç \ç _ _ç, f f x ¹ ¾ x¾¾ ¾x ¾¾x ¾ f f h¾ h¾ f h h f h¾ ¾ h f h ¾ x x f f f h h f f B d = u + α + β α β β + α s + β n α u u = u u x A y A x B y B α x¾β f n¾ ¾ f½xx¾y h ¾ x ¾ ¾ f 37. oldal

h f ½f h¾ h f ½f h¾ @ ¹¾x f sx¾n ¾¾ x¾ f h¾h f ¾ ¹¾x f f¾¾ n f h¾ ¾ n = s * tg( φ) ¾ ¾x ¾f f¾¾ n f h¾ ¾ h f f f ¹ ¾¾ x¾ f f¾ ¾ f sx¾ n ¾x x f f f n½ x¾f, x¾ x ¾ 1 1 1 p s N p d = = 0 2 ( ) ( ) tg φ tg φ p n f N f x½ x ¾x h p = { p p 2 } f f h h¾ f h f p x¾ p 2 0 1 1, 1 p x¾ 2 p f x½ x ž ž a ç ç _ b ç [ ^ç h¾h f nx f ¾¹ ¹ h f f d h¾ ¾ x f f h h¾f f x ½ n f f f ff f x f f¾ ¾ h f x f ¾ h ¾ @ ½ x f f f f f 38. oldal

½f n h ¾ ¾h x ¹ ¾ x¾ f h x ¾h ¾h ¾ h h¾h h f ¹ ¹ f f f f f f ¾h h f x¾½ f f h f ¾ ½x h f f½f f ¾ f Ih f f f f f ¾h h f x¾ ½ f f h f ¾¾ ½x h f ¾h f f½ ¾ x¾ ¾ h h¾ f½ ¾h x ¹ h¾ f x¾ ¹ x ¹ f ¾h h f x¾f h f f h f ¾h h f h f ¾f h f h f f f ¾h fx¾f h ¾ ¾f x¾ ¾ h h¾¾ ½ h h f x¾ h ¾¾ x ¾ ¹ f f h¾ f ¾¾h ¾ ½ h x ¹ ¾ ¾ h¾¾f ¾¾ ¾ h h¾ h¾ f½n¾ x¾ f f½ h ¾ ¾x ¾ f ¾¹ x¾ ¾¹ h ¾ h ¾ h ½ n f f f ff f f f 9 f T T T λf d = f d g p L D + T D s n s n n s n s n n f f = f, f, f, f,..., f } x¾ f = f, f, f, f,..., f } x¾ s D n D s L { D1 D1 D2 D2 n L Dm T L { L1 L1 L2 L2 f, f, f, f f x f x¾ h h h f x¾ h f = 1,..., m Ih ¾ x f u= 0 x¾¾ x f f h ¾ f f x x f h ¾ h h h¾ f x f x ¹ f T L d = 1 ¾ f f f f f ¾ x x¾ f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¾ f f x¾ f h f f f h¾ ¾ h f ¾f ¾ ¾ h ½ x ¾ ¾ h f f h f ½ ¾h f f½f f f f x¾ f¾ h f f f Lm 39. oldal

h f f x¾ h f f f f f h n¾ f h x ¾h f f½n¾ f f ¾ h¾h f¾ f f ž Ÿ Zb _ ç [ ^ç ¾ x ½ ¾ f¾ f x¾ f f¾ x¾, ¾ x f x f ¾ h h h¾ ¾ f f ff A B Cx¾D½ f ¾¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f x¾f ½ ¾ f n AB = n BC = n CD x x¾¾ x f f¾ x¾ ¾ x f h h h¾ f f f f ¾ f f x¾, ¹ ½x h ¾h f f½ f f¾ ¹f h¾ ž a _ ç] Z ç [ ^ç, f f f h h¾ f h¾ f f f x f ¾ ¾x x f ¾ f h h¾h h f ¾¾ x¾f f f f f f ¾ ¾ h f ¹ ¾ ¾ ¾x f ¾ ¹ ¾ h x ¾x x¾ f f f x f ¾ f, ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¹ x½½ f fn¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ h f sx¾ n h ½ ¾ f f f f s d = Wβ Wα n T [ ] f D f Wf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾h f x ¹ ¾ f ¾¾ x¾ f h f ¹ f ¾ f f ¾ h ¹f x x T f L f f f ¾ ž _ az ç f¾ ¾ x ¹ f x¾ ¹ ¾ h f ¾ ¾ ¾ x¾ ¹ x x f ¾ f f ¹ ¾ ¾x¾ 40. oldal

¹ ¾ ¾ h¾ ¾ h f f ¾ J h f ¾ f ¾¾ ¾f f h f x¾ f x x¾ ¾ x ¹ ž ` _ _ ^ç ½ x f h¾h f½ x x x ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾h f ¾ f f f f x f x x ¾ f f 9 h f ¾ ½ ¹ ¹ f x¾ f h f ½ f f f½x f ¾h x h f h¾ f f ½ x x x x x ¾ f f ¾ ½ ¹ g f f x ¾ ½ f s x¾ n x x f h f f ¾ f x x¾f ¾¹¾ h¾ ¾ x x x ¾ ¾ ½ ¹n x x x x ¾ f ž _] çг b ` _ ç _ ç ¾¾ f f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ ½ h f f 9 f f ¹ T T T mnλf d = f d g p L D + x Bd = 0 Np d = 0 f T d = 1 p 0 L f f x¾ f f f¾ ¾x¾ ¾ f f f d f x T f f h¾ d = { s1, n1, s2, n2,..., nm} s, n f x f f 41. oldal

h ¾ h¾ x¾ h h ½ ¾ f = 1,..., m T g = { l1 * c1, l1 * c1, l2 * c2,..., lm * cm, lm * cm} l, cf ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾¾ fx¾ f x B ¹2n 2 m ½f h¾ h N ¹ 2m m x½ x ¾x h p f p x¾ p f x½ x f f h h¾ f h f f f f f p x¾p f f f f p d x¾λf 9 h Ÿ ^ cçbc \` _\ _ çc aç \ ç _ ç Z Z _ç 9 f f h¾h f ¹ ¾ f ½ f h h¾ x¾ f f f f f h¾ f 9 f f h¾h f x ¾ f f h f x f f f x ¹ x½ f f¾¾ f 9 f x½ x¾x ¹ ¾ f f x¾ ½ n f n ¾ ¾x x @h h f h f f ¾ f h fnx x f ¹¾x f f f h x x f h¾ h x¾fnx x x x h h f ¾ ¾x x x½ f½ f x¾ x½ ½ f h h¾ x¾x ¹ ¾ f ¾ ¾x f f h¾h f ¾ f f¾ h f f x n¾f ¾ f½ x h f f f ½ f x¾f f ¾¾ ¹ ¾¾ x x¾f ¾ x x ¾x f ¾¹¾ h¾ ¾ x f ¾ x¾f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ f f f f ¾¹x f ¾x ¹ h¾ ¾¹ x½x¾ f½ x¾x ¾ h ¹h h¾f f @h h f f f f h f h¾ h ¹x n¾ f f h f½ x f h¾h 42. oldal

@h h f 9 x¾ @h h f 9 x¾x ¾ f x ¾ f Pontok sorszám x y 1 0 0 2 1 0 3 2 0 4 0 1 5 1 1 6 2 1 Élek Él sorszám kezdıpont végpont él tulajdonságok sorszám x y sorszám x y hossz sznusz kosznusz szabad perem-e 1 1 0 0 2 1 0 1,00-1,00 0,00 nem 2 1 0 0 4 0 1 1,00 0,00-1,00 nem 3 1 0 0 5 1 1 1,41-0,71-0,71 nem 4 1 0 0 6 2 1 2,24-0,89-0,45 nem 5 2 1 0 3 2 0 1,00-1,00 0,00 nem 6 2 1 0 4 0 1 1,41 0,71-0,71 nem 7 2 1 0 5 1 1 1,00 0,00-1,00 nem 8 2 1 0 6 2 1 1,41-0,71-0,71 nem 9 3 2 0 4 0 1 2,24 0,89-0,45 nem 10 3 2 0 5 1 1 1,41 0,71-0,71 nem 11 3 2 0 6 2 1 1,00 0,00-1,00 nem 12 4 0 1 5 1 1 1,00-1,00 0,00 gen 13 5 1 1 6 2 1 1,00-1,00 0,00 gen f f 9 f f f f½ ¹ x¾ ¹ h f h Ih x x f f f 43. oldal

½ h x x x x Ih x x x x ¹ x¾ ¾ 9 f f f @h h f f f f f ¹ f ¾¾ f ¾ ½ f f f f½ h f ¹ ¾ f h ff f h ¾ f ¾ f ¾ ½ f x ¹¾ ¾ h f f Ÿ _ b ^ç f f ¹ f h f f x f ¾ ½ ½ f f x¾½ @h h f ¾ ¾ h ¾ h f f h f f f x x f f f ½ f f ¾h ¾ f f ¾ ½ f ½ x x f f f f ¾ ½ h¾ f½ x f h ¾ f f h f Ÿ ž _ ZZ a ç ^ b ç ç ^ ç x f 9 f f h¾h f f f h x¾fnx x h f ¾ f ff f fnx x x x h ¾ nx x f nx x f @h h f f ¾ x x¾ ¹ h ¾ ½ f f f ff ¾ h x¾ h x f f ¾ ½ ½ f f f ff x ¾¾ h f x¾ x h f ¾ f h f f nx x x x f ff h x ¾h ¾h f f x x ¾ Ÿ Ÿ ç _ b ^ç ^ ç a ç` Z^ ^ç f f f ¾x¾ x x x¾ h f ½ ½ ¾ f ¾ h f x¾ f ½ n f n h f f Ÿ ç Z [ ç` \ ç f h x x¾ ¹ h f ¾ f f f ff f T d = 1 x¾ ¾ ¾ ½h f f f h n h ½ x ¾x x f f f f L 44. oldal

¾ x¾ ¾ ½f h ½ h f f ¾ ½ x ¾ f Bd = 0 x¾ ¾ f f f ff Np d = 0 x¾ h f f - h f ¾ ½ f f h f f½x x ¾ f h¾¾ h ½ f ¾ ½ f x ¹ ¹h f f h f x x f h f x x f f ¾ f ¾ ¾ ¾ n¾ ½f x ¾ f f f n ff h h ¾ h¾ f x ¹ x¾ h h¾f f f f ¹ f f ¾ ¾ x f x ¾ f x¾ ¹¾x x @ x¾ ¾ ff f f x¾ h h ¾ f x¾ ¹ f f h Ÿ ç]b çb_ _ç ç çbc b b^ç, x¾ ¾ f f ¾ h x f f h x¾f h x x x ¾ f h f ½ h ¾ ½ f h f f f f f f ¾ ½ ¹ ¹¾x ¾ f ¾ ½ x¾ f f f ¹ f ¾ f ¾ f ¹¾x f¾ f h ¹ ¾f 9 f f f h x¾ x¾x ¹ x ¾ f ¹ f f f f x¾ f x¾ f f f f f f ¾ f ¾ f ¾¹ f f f T d = 1 x¾ ¹ f x x x ¾ f x¾ h f f f f Ÿ c aç \ ç _ ç Zb_ ç, ½f f n¾ f f f f f f f f L fnx x h f x¾f h x x x ¾ f h ¾ h n f f f fnx x x x fnx x f h f h f f f f n h 45. oldal

f f f f ½ h f f h x¾f h x x x ¾ f f h x ¾ f f f f ff ½ ½ f f ¹ f h f ½ n f n, h f ½ n f n, h¾ f f f f½ fnx x x x x f f x¾f h x x x f @h h f h ¾ f f f f x h h f x½ f½ f f h f h f @ h f @ 46. oldal

Élek Pontok Sorszám 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Él sorszám tulajdonság 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n s n p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 p1 p2 együttható mátrx 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 1 2-1,00 0,00 0,00 1,00-0,71 0,71-0,89 0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 3 0,00-1,00-1,00 0,00-0,71-0,71-0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 4 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,71 0,71 0,00 1,00-0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 5 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00-0,71 0,71-1,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 6 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89 0,45 0,71 0,71 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 7 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,45 0,89-0,71 0,71-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 8 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00-0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 9 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45-0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 10 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,71-0,71 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 11 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 12 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,89-0,45 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71-0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,45 0,89 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,71 0,71 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 14-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 15 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 16 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 17 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 18 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 20 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 22 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 23 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 24 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 25 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 26 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 27 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 28 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 29 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 30 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 31 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 32 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 33 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 34 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 36 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 0,00 0,00 F 0 37 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 0,00 0,00 F 0 38 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00-1,00 F 0 39 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,09 0,09 F 0 44 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 = 0 Operátorok Jobboldal célfüggvény vektor Változók Célfüggvény értéke 0,00 1,00 0,00 0,00 0,35 0,35 0,45 0,89 0,00 1,00-0,35 0,35 0,00 0,00 0,35 0,35-0,45 0,89-0,35 0,35 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,00 1,00 1,41 1,41 1,00 1,00 1,41 1,41 2,24 2,24 1,41 1,41 1,00 1,00 0,00 0,00 1,00 1,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,14-2,70 0,24 2,21 0,19 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-1,19 1,00-1,43-1,70 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1,55 0,00 0,00 2,70 2,21 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00-0,55 0,05 0,00 0,00 0,78 0,07 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2,19 0,00 0,00 2,70 3,13 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 célfüggvény értéke: 8,37

@ x¾ x½ ½ f h h¾ @ n f x f ¾ h¾ f f f h¾ ç` ç[ ^ba Z ç ½ ¾¾h f ¾ h h¾ x x x ¹ f f f h ½ f ¾ ¹ ½ ¾ x f ¹ x f f f½ ¾¾ ¾ ¾x ¾ hn h ¹ h f h¾ ¹x ¹ ¾ f ¾ ¹ x ¾ ¾x ¾ ½ ¾¾h x¾ f ¾ h h¾ f½n¾ f h f x f, f ½ x f x f ¾f ¾ f ½ ¾ h h f x¾x 9x f x h f ¾ f f ¾ h¾ ½ h f x n ¾ f¾ ½ f f ½ f ¹ x f ¾½x f ¾ ¾ x h f h f f x ½ x h f ¾ f x f f f ¾ f¾ h ¾ x ¾ h x½ f ¾ ½ h h¾ f f x½ x ¹ ¾ h h¾h h f f½ n n ¾n hn¾ ¾ f ¾ x f f ¾ ¾x x f f ¾ ¾ f¾ h h¾ ¹x¾ f f x n¾ x¾x hn ¾ h h¾ f ¾ ¾ h ¹¾ h ¾x ¾x h f f f f f f x hf h¾h f f ¾x¾ ¹ f x h x¾ ¾ f¾ f x¾ @ f¾ f¾ n x ¾ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹h f f h ¾h f f ¾ f f½ 9 h f f h f Z a _ \ç Z a_ ^ aç _ c _ çг b ` _ ç Г b ` _ ç f h¾ f f½ h f ¾ h ¾f ¹h f ¾ x f h ¾ f ¾ x¾, x¾ x ¹ ¾ ¾ ¾x h f½ f x ¹ f f f n ¾ h ½ f x¾ m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½½f ¾ h ¾ ¾ 9 ff ¹ maxλ x f

T B t+λf L q= f D N T q g, T x y x y y x f t = t, t, t, t,..., t } t, t { 1 1 2 n y f x¾ h f ¾n¾ ½ ¹ f = 1,..., n u f f ½f ¾h f h ¾ ¹ qf x f T x¾ h h q = S, N, S, N,.., N } f Sx¾N f x f x¾ h h ¾¹ ¹ x¾ = 1,..., m { 1 1 2 2 m ¾ fλ S x¾n nx λ f f h h¾f f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x ¾ f, x¾ x ¾x x¾ 9 f x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f B t +λf L q = f D T x t A y s s + α + β α β t A f S L f D + λ = n n x β + α + β α tb f L N f D y tb ¾¾ x¾ n f f h¾ f f½ h ¾ h f h f x h f x f ¹ h f x f ¹, x¾ x x¾ ¾ f n¾ ¾ f½ f T N q g, 49. oldal

1 tg( φ) S cl, 1 ( ) tg φ N cl h ¾ h¾h f x f f ¾¹½ ¾ ¾ f h ¹ f½ h x¾f h f f ½h f ¾f h ff ½ h f ¾ x¾ t t Sx¾N x x ¾ x½ x f f h h¾ f h f ¾ ¾x ¾ f f f n¾ ¾ f f h h f, x¾ x ¾ x¾x h f f f h f f f f½ h ¹h f ½ h f f ¹ h ¹f f¾ h¾ f f½ h ¾ ¾x ¾f ¾ f f ¾¹ ff x½ x f f h h¾ f h x¾f x ¾ f f ž çb _bcz a _ baç _ c _ ç` ç, h f h f ¹ ½ ¾ x x x¾x f x h ¾ ½ f h¾ f f f f f x f ¾ ¾¾ ¹ x, f f h ¾½ f h¾ f f m all n( n 1) = ¾ h ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f f f h¾ h ¹ 2 ¾ h h¾h f ¾ n¾ ¹ ¹¾ f f ¾ x ¾ h x½ f f ¾h h f x x f x x f ¾h m m f n¾ f 9 h ¾ h h f f f x ¾ ¹ ¹¾ n¾ x¾x ¾ h f ¹ f f x¾x f ¾ ½ h h¾ h h¾ x h ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ f f f f 9 f f f f x hn ¾ h h¾¾f f f f¾ f f¾ fn¾ ¾ f½ ¾¾ h f f h f n¾ f x f f ¾x ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h f f ¾¾ f 2 f f h ¾x h ¾h f x ¹ ½ ¾ x ¹ m= 4n ¾x ¾n¾ ¾ f½ f½ f f ¹ ¹ x½ ¾ ¹¾n¾ x¾,f m~ = m m ¾ h ¾x ¾ n¾ ¾ f½ h f¾ f f f f all h ¾½ f h¾ f f f x¾ f f f, 50. oldal

½ f ¾ t t x x x x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ~ S + α ~ = N β + β + α α + β t β t α t t x A y A x B y B f + λ f s L n L + f f s D n D x¾ S ~ x¾ N ~ f f f ff ¾f x½ ¾ ½ ¹Sx¾N ¾ 9 h mx ¾ h f Sx¾N m ~ x ¾ h f S ~ x¾ N ~ f ¾¾ ¾ ¾x ¾x ¹ ¹f, x¾ x f f x f x x¾ f 9 ½ x h f x¾ S ~ x¾ N ~ ¾x f, x¾ x ¾ f f¾ ¾x f f x x¾ x hf f 9 ½ x h f hf x ¾ h h x ¾ h f¾ f f f h¾ 9 ½ x h f ¾ ½ ¹ x ¾ h h f ¾ f ¾ ¾ h f ¹ @ x¾ ¾ h¾ h h¾ ¾ f f f ¾ ¾ ¾ ¾ f f f½ h¾ ¹¾ h hn x f f f ¾ f h ¾ f x¾ ¹¾ n¾ f h¾ ¹x¾f¾ ¾x ¾ f x½x¾ ¾ x f hn ¾ h h¾ f½ f ¾ ¾x x f ¾x ½ h f f ¾ f f ¹ f h h f ¾ x½x¾ f ¹ I I I ¾½ x f ¾ h h¾fn½ f ½ ¾¾ x¾ ¾¾ h f½ x h ½ h x 9 ½ x f h¾ff f h ¾ x ½ x h f 9 ½ x f h¾f x¾ f f½ h f ¾¾ ¾m f x ¹ f, x¾ x f f ¾ f x f ¾x f x f f h f h x x¾ x hf f 9 ½ x h f f x½x¾ ¹ f f f h x½ 51. oldal

I f h x f ¾ x ½ x f h¾h f ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f hn¾ ¾ f ¾ x ¾ ¾x ¾ hn¾ f f f f 9 f f f f h¾ ¹ f ¾ ¾x ¾ f ¹¾ n¾ ¹ ¾ ½ h h¾ f¾ h f h f ¾x ¾ x ¾ x f h¾ ¹ f f ¾ ½ x f h¾h ¾ ¾x ¾ ¹ f f x f ¾½ x h ¾ f h f f h¾ ¹ f f x x f ¾h n¾ @ f¾ a[b`bz aç a\ b bcç _ ]b^ç x f f f h f h x ¾ x f f f f f ¾ ¾x x f ¾ h f h f x f f ¾ ½ x x¾h f h f f f h f f h ¾ ¾ f ½ f f ¾ ¾ h f f Z ç _ ]ç h h¾f f f x f h f ¾ ¹ ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ x nx¾ φ x x x f f f f x f f f ¹ f ¾ f @f f x ¾ ¹ ¾ cx x f x x x h f ¾¾ ¾ ¾ h f f ¾ f ¾h x x x ¾¹ n¾ x¾x f f x fφx x x x ¾ h f¾ f n¾ f f h f x ¹ x x ¾ ¾x xx f ¾ x ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f értékőt fφx x x f¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ h f ¾ h ¾ ¾ h h¾h h f ¾x ¾n¾ ¾ f½ x f f ¾ h ¾¾ ž a\ b bcç _ ]b^ç ½ f f f ¹ ¾ x f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f f f ¹ x fn¾ ¾ f½ h h ¹x x h f f f f ½ f ¾h f ¾ ¹,x ¾x ¹ ¹ 52. oldal

h¾x¾fn¾ ¾ f½ h h ¹f ½ f x x f h f f f h f x h f x f ½ f ½ f f f f Ÿ `_\a \ ç \ç _ _ç[ a _ ç f f¾ h, x¾ x h h¾ x¾ x ¾ f¾ h f f f x f h ¹x¾f ¾ h ¾h f½n¾ f h h x¾ x x ¾ x¾ ¾ x f f f f x¾ x f x¾ x½ ½ f h h¾ f - h ¾ x¾ x ¾ x f h ¾ ½ f h¾ f¾ h f f x¾ x ¾ h¾ ¾ nx f ¹ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾f¾ f f f f x¾¾ h ¾½ x h 9x f x ff f ¾ x¾ x x¾x f h f 9 ¾¾f f h ¾ x¾ f h x x x¾ ¾h f ¾ f ¹ ¾ - ¾ h ¾h f f h ¾h f f ¹x x f ¾ f f f ¾ ¾x h ¹ ¾ f f ¾ x ¾ ¹ x ¾x f ¹ x f ¾¹ n¾ x¾ ¾x ¹ x x¾f 53. oldal

54. oldal h ¾ x f f ¾¾ ¾ x x¾ f f f ¹ ½ ¾ f ¹ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ h f - h ¾ x¾ x x¾ ¾ f x¾ x ¾ ¹ h f h ¾ x¾ x f ¹ x½½ ¾, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 ) ( 1 + + + c c b b a a c c b b a a l c l c l c l c l c l c N S tg tg tg tg tg tg φ φ φ φ φ φ f k φ f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ k c f ¾ f x ½ h f ¾ h f h¾ ¾ f h f ¾ f f ¹ x½½ f f,9f,9f

N p d 1 = a tg( φ ) 1 a tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 b tg( φ ) 1 c tg( φ ) 1 p 2 p 1 1 p c 2 tg( φ ) p 1 p 2 p a b c s = 0 n a b c h f ½½ h h ¾ h f ¹ ¾ h¾ ¾ h f h f f h¾ x½ x h bz aç^ ç f x x¾ f h¾h f f ¹ ¾ h ¾ ¾x h f½ f x½ x f ¾h f f f f f ¾h h ¾ x ¹¾x f ¹ x½ x ¹ x ¾ h h¾h f f x¾ x½ ½ f h h¾ f¾ h f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾ h ¾h h f f ¾ h ¾h ¾ h f h x¾ f ½ x¾ ¾ ¾ h f h f f x¾ x½ x¾ h¾ ¾ f h f f x½ x ¹ ¾ h h¾h f f ¹ x½ x x¾ ¹ ¾ h ¾h x x x f h h¾f h h ¾ f h ¾ x¾ x f f½ h x 9 f f ff f ¾ Z _ aça \_ Z ç _ `ç x f f f ¹ f f f f ½ ¾ ¾x ¾ ¾ h ¾h f f f f f f f f ¾ h ¾h h f ¾ f¾ h f f x ¾ h ¾h x x¾ f h ¹ x ¹ f ¾x ¾n¾ ¾ f½ f ¾x ¾ h f 55. oldal

h f @ x ¾ h f @ x ¾ _ b _a\ç^ c ç _ ` ^ç h f n¾f h¾ h¾ f f f ¾ h f f¾ h ½ x h f h¾ h¾ f ¾ ¾ h¾ h¾ ¾¾ ¾¾x x f f f f f n f ¾ x f f ¹¾ h¾ x h f ¾ h f x¾ f f h f x¾ f f 56. oldal

¾ ¾ ½x h ½ ¾f ¾h f f½ f h f f ¾ x f h¾ f f f f h f ¹ h¾ ¾¾ x f h¾h ¹ x ¹¾ h h¾ h h¾ f f ¾ ¾x x½ ¾ x x ¾ ¾x ¾ f x ¹ h¾ x¾ ¾ f f f x x x ¹ h¾ x¾f ¾¹ ¹ h f f h¾ x h ¾ h h¾f h¾ ¾ x f h f h f h f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f h¾x¾ h¾ f½n¾ f f f,f f f x¾ ¾ f ¾ h f x f f ¾ f ff ¾x¾ x x x x¾ f ff¾ h h¾ ¾¹ n¾ x¾ x f h n¾ ¾ f½ f ¾¾½ h f f 30 h f f ¾¾½ h f f f,f f ¾ h ¾ h¾h f f h¾h ff f ¾¾½ h ¾ f f h¾ h h¾ x x h h h¾ f ¾ n = u lω ω f f ¾ x ¾¾x f¾ h¾x¾ 57. oldal

1 u= 0,5 π tanφ 1+ e ¾ h x x ¹ ¾ h h h¾ n = a tanφ + u lω x¾ ¾ h h¾ f x f ¾h f f ¾f,½ h f h¾f f, x¾ x ¹ f f ¾ x f h¾ ¾ h f ¾¹ f 2 u l ω c W = tanφ f ¾ h¾ ¾ h f ¾¹ h ¾¹ ¹ f f f f hn h¾ x h h f f f f x f f¾ ¾ h¾ h¾h f n¾ x¾ f f f h h h ¾f h¾ f f ¹ ¹f ¾¾ x¾ x½ ¾ ¾ h f h f f f ½x h _ ] ç \Z _ ` _ ç f¾ h f f ¹¾x f f f f f h¾h f x x ¾ f f h¾h f f x x ¹ f h¾ x f E AB = U ABn AB f E x x ¹ f h¾ x f U f f f h¾ ¾ h f ¹f x n x x x ¹ h h h¾ x¾ f f f h¾h f x ¾¹ h f T T T T mnλf d = f d + g p u d L D T f u = 0, u,0, u,..., u } x¾uf x f f f h¾ f = 1,..., m { 1 2 m 58. oldal

x ¾ ¹ ¾¾ f ¾ x f n¾ ½ h¾ f f ¾ x¾ f f f¾ f f f ¾ f¾ h h ¹ ¾ f f x 59. oldal

ç` Z _ _ çc bz `ç ¾ ¹ ¹¾x f h¾fx¾f ¾ x x¾ x x ½ f ¾,@ x¾ f¾ h h¾h f f f ¾ f¾ h ¾ h f x ¹ ¹ ½ f,@ h¾ ff x f h f nx f f f h f f h x¾ f f f f f h¾ f h f h f ¹¾x f h f½ f x¾ f x¾¹ ¹ x¾ ¾¾ ¹ f ½ f f h h¾ x x¾ x x f ¾ h¾ x x¾ h f ½ x h f x¾ f h¾f f f ^\a çç x h¾h ¾¹ x½x¾ f½ x h ¾ h f ¾ h f ¾¾ ½ f x¾f ¾x ¾ x¾ x½ f½ f ¾¾ ¹ x x¾ f f f h f f ¾ h h¾ x x f f f h¾ ½ ¾¾h h f f f x x h¾¾f ½ ¾f x f½ f -f h¾ ¾ h h¾f f f f ¾ h h¾ ½ x h ¾ f f ½ f x¾x x¾ ¾ ¾ ¹ h¾ ¾ x ½ x f x x¾f h¾ x x h ¾ f½n¾ f f h h¾¾f x f ½ ¾¾h x x¾x f h¾ f f f¾ h h¾ ½ x f x x f ¾ h ¾ x x¾ f h f x f f f f f, n¾ f h¾ ¹, ¾ ¾ f h f 9 h f f ¾ h¾ h f f ¾ ¾ ¾ f¾ h ¾¹ x ½ f f ¹¾ ½ f ¾f f f f h h¾ ¾ x n¾ f f h¾ ¹ ¹ ff h¾ ¹ n¾ f f 60. oldal

f¾ h h¾f ¾ x ¹ h¾¾f h f ¾ f f ¹ f f ½ f x x¾ f h ¾ ½ f h¾ f f h¾h f¾ h f f f ¾ h f¾ h¾h ¾ h f f¾ ½ x¾f ¾¹½ ¾ ¾ h¾ ¹¾x f¾ h f h¾ ¾f¾h h f x¾½ ¾¾h h f x x¾ f ¾ h h¾ ¾ f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f h¾ ¾x¾ f ¾ ½ x f x x f f f f f h¾h f ¾ x ¹ f½ ¾¾h x x¾ ½ f¾ ¾ ¾ f¾ h f h f x f f h f¾ h¾h x¾ f½ fn f h f h ¾½ f h¾ f f f ¾ n¾ f f¾ h f ¾h h ¾ h,h¾ x¾ ½ f ¾ h h¾ ½ x f x ¾ ¹¾ h¾ ff ¹½ f h¾ h f¾ h¾h ž ` a ^ç x¾ x ¾¾½ n h f ¹f f x f f f h h h f f ¾¾ 61. oldal

@h h f ¹f f @h h f ¹f f @ ½ f @ x¾ ¾ f f¾ ¾ f 9 x f n ¾ @ x¾ f f f f ¾ @f f f ¹ h h¾ h¾ ½ f f f f f f ¾ f f f ½ x h ¾ h f f f h¾h f f f½ h f f x½½ f h ¾ h f x ½ h ¾h x¾f½ ¾ h h x¾ f f ¾x ¾x ¹ f f f ½ h ¾ h f ¾ h f f x ¾ f h¾¾ ¹ f¾ ¾ x ½ ¾ h f h ¾ f f f h f f h¾ n¾f f x f x f f f x ¾ f f f h h ¾ h f ¾ x x f f f f x f @ h hf ¾ f f¾ ¾ h f h f ½ x f n¾f x ¾ h f x f f x¾f ½ ½ ¾h ¾ f h ¾ f f ¾ f f f f f f f ¾ f h¾ ¾f f n¾f x ¾ h f h f f ¾ f h¾ f f f ¹ f n ¾ ¹ f f ¾h f ¹ f f ¾ h f f ¾ ¾x ¾ x¾ ¾ x f f f h f f f ¹ f f½ h x¾f x f f ½f f x n f h h h¾ f h¾f ¾¾ ¾x ¾ f f ¾ ¾ h h f ½x h ¾ ½ h h¾ h f¾ h f ¾ f f ¾ h f h f x f½ f f ¾ f f h f x¾ ½ f f Ÿ bcb_ Z\ ç b_ a ^ç^ \ç ½ f h h¾h f f f h f h f f ½ h h x¾f h f½n¾ x h f ¾ f ¾ h h¾ x x h¾ ff¾ h h¾ ½ x f x x f f f f f h¾ ¾ x ½ h h h f f f 62. oldal

½ f x h ff¾ h x½ h h f f½ h h f x ¾¾ f ¾x¾ ¹ x ¾ ¹ f f f ¾ x¾ h h f x¾ ¾ f ¹ f f f f x¾ f ¾ x f ¾ x n¾ ½h f f f f x f ¾ f x¾ f f ¾ ¾¾ f x ¾ h f h f h f @ ½ f h h¾fx @ ½ f h h¾fx ½ ¾ h f ½ ¾ h f h¾ h h¾ ¹¾x f x¾f f½n¾ f x x ¹ h¾f h¾ ¹ x f ½ ¾ h f h f f h f f f f ¾ h f f f½ h h f x ¾ ¾x x f¾ ¾ h x¾ h fx x¾x f h f f f f f½ h h f½ ¾ ¾ h f f½ ¾ h ff O h h f f¾ x f ¹ h h f h h f½ ¾ ¾ h ff ¹ x½ ¾ h f 63. oldal

¹ ¾ h f x f x x x f ¾ h x ¾ f f f f nx ¾ h ¹¾ f ¾¹½ ¾¾ f ¾¾ ¾ f f h¾ f f f f ½ ¾¾ h f f f ½ f ¹ f ¾¾ ¾ ½ f ¾ h f f x ¹ h h f f 9 ¾ ¾ h h f x ½ f ¹x ¾ ¾ h f n¾ ¹¾ h f ¾ f f ¾¾x ¾ f f ¹ x¾ f f ¾¾ ¾½ ¾ h f x¾ f ½ f ¹x ¾ ¾ h f h f h f 9 x¾x ¾¾ x¾ 9 x¾x ¾¾ x¾ f x ¾ x f f ¹x¾f x ½ h f ¾ ¾ h f f h f h¾ h¾h f x¾x n¾ ½h f x 64. oldal

f f ¾ ¾ h x ¹x¾ x ½ h f ¾ ¾ h f x x ¹ h¾ f ¹ f h h hf½ x x ½ h f ½ f f f½ h f f ¾ hn ¾ f ¾ x ¹ -f h h ff f ¾ ¾x x ¹ f x¾ 9x h h f h¾ f f f f f f f ¾ fx f f f f f f x x¾f h¾ ¹ ¹ h h f f ff x ¾ ¹ h h f @h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h f @h h f, f h h¾ ¾ ¹ h h f ¾ h¾ h h¾ x¾ x, f x -f - n¾ h¾ ¹ f - n¾ n¾ x x¾x 9 x x x x ½ f ¾ h¾ ½ f ¾ h¾ h ¹ - n¾ @ x¾ x¾ ¾ n¾f h f h¾ f ¾x ¾, h¾ f f x ¾ h f h f f f h¾, f ¾ ½ h h¾ ¾ x ¾½ x h f n¾f ¾ x¾ x f h¾ f f f h ¾ x h x ¾ h f f f ¾x ¾ x ¾ h h f ¾x ¾x ¾ h h f f x¾ ¾ ½ ¾ f ¾ f f f x f hf ¾x x¾ ¹ f f f x½ x¾f ¾x ¾x ¹ f ¾¾ ¾x f f h f x½ h f f ¾¾ ¾x ¾ h f f x½ x¾ f ¾ f ¾¾ ¾x ¾ h h f ¾ x h ¾ f f f h x h f ¾ h f f ¾x ¾ x ¾ h h f x ¾ x f n¾ f ¾x ¾ x f f h f f ¾¾ ¾x ¾ h h f fx x ¾ ½ f f x ¾x ¾ f ¾ 65. oldal

x x¾f½ f½n¾ f x ¾ ¾x x ¾ f f ½ x¾ h h f½n¾ f h x ¾x ¾x f f ¾ ¾ h f f f½ h f f f h f ¹x¾ x ½ h h ¹¾ x f ¾x ¾x ¾ h h f f f x ¾ ¾ h h h ¾ h ¾ ½ f¾ h ¾ f x ¾ ¾ h ff ¾¾ ¾x f f h f ½ h f h f ¾ x ¾ ¾x x f ¹ x¾ x ½ ¾ ¾ h f ¾ h f f x x ½ ¾ ¾ h f ¾ x¾f ¾ x f½ f x ¾x ¾x ¾ ¾ h h f f h f f x ¾ ¾x x f h h f x ¾¾ ¾x ¾ ¾ h h h f ¾¾ ¾x ¾ h f f f f x ¾ ¾ h f ¾x ¾ x h f f ¾x¾ ¾ f ¾ x¾f x¾ ¾ ¹ n¾ ½h f ¾¾ ¾x¾ ¾x ¾x ¾ h f f f f h h f f ¾ h f h f f f f f x f f h¾ ¾ h f f f½ x f h ¾ f h f x x ¾ f h x f Г\a \ çc bz `b \ç _ ç _ ç f f f ¾ f f h h h f h f f h x x f ¾ f x f f f f ¾f h ¾½ x h ¾ x ¾ f f h¾h f x ¹¾x f f f ¾ x¾ h f f f f ¾ f h f f ff h f h¾ ¹¾x f ¾ h x x f f f ¹ f x x¾¾ f½ f f x f hn f h h f f f f h¾, f ½ h h¾ h f ¾¹ h¾ f¾ h ¾ ½ h h¾¾f ¾ f 9 h¾ f h ¹ ¾ f x¾f x f½n¾ f h h f f f f h¾h f f f x ¾ f - h ¹ x f¾ f ¾ f f n h h f 9 66. oldal

½f f x x¾x ¾ x f f h ¾¾h f h x ¾ f¾ h f ¾ ¾ f f f h f f f ½ h f ff f ½ 9 f n¾ ½h f ¹ x x x h f f ¾ f f ¾,h¾ ¾ ¾ f ¾f ½f f x ¹ h f ½,f f f f, x¾,f f f f ¹¾ f f x h ¾ x¾x f h f f x x¾ f h f x ¹¾ f½n¾ f h f n¾ ¾ f f f f x x¾ ¹ x ¾ f f f¾ h h¾h f f¾ h f h f f ¾ f ¾ ç_\a \ çc bz `b \ç _ ç` Zb_ ç h ¾½ f h¾ f f f h f f h ¾ x¾ x ¾ ¾ ¾x x f f¾ ½ f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ ½ 67. oldal

¾ f h h f x¾ ½ ¾ x f½ f f h¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n¾f ¹ f h¾ f¾ h f f ¾ ½ h h¾ ¾ x hn ¾ h h¾ f ¾ h ¾ ½ x h x¾ f x hn f f x f f ½ x h x¾ f h ¾ ¾ ½ h h¾ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ f x f f f h ¾ h¾ h h f f ff h¾ ¹ h h¾h f½ x f x ¾ h h f x¾x ¾ h h f¾ f f h¾ ¹ f x ¾ ¾ x f¾ ½ ¾f f f f h¾ ¾ ¾ x¾½ f f f f f ½ f f f ¾ ½ h h¾ h ¾ f f x f ½ h ¾ ¾ h ¾ x ¾ h f h f h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h¾ ¹ ¾ ½ h h¾¾f x¾f x h ¾½ f h¾ f f h¾h f f 9 x ¹ -x ¹¾ ½,,f f f f ¾ ½ 9 ¾ ¹¾x 68. oldal

¾f¾h f x¾f n f½ ¾¾h f ¹ f x¾ x¾x x f x f ¾ h h f f f½f¾ f f f f ¾¾,f f x½ h ¾½ f h¾ f f h h¾f f h f ¾ h x½ ¾ f¾¾ ¾ ½ f ¾f ¾ f f f x f ¾ h ¾ x ¾ ¾ f ¾¹½ ¾ ¾ n h f h ¾ x ¾ x ¾ ¾¾ x ¾ h f f f f f ¾ ½ h h¾ ¾ ¾ f¾ h f f x f ¾ h f x ½ ¾ h h¾ f f f ¾f ¾ hn f ¾¾ x f x x ½ f f h¾¾f x¾ n n¾ x¾ f f ¾¹ ½ ¾ ¾ f ¾ f h f x f f x h¾ f f f ¾ h f f f, ¾ h ¾ h f¾ h f ¾ h¾ f h¾ nx f x ¹ f½ ¾ f ¾ ¹ ¾ ½ x h ¾ f f ½ f n¾ f f f½ ¾ x h f ¹ ¾ f,f f ¾ ¾ f ¾ ¾ f,f f f ½ x¾ h x x f ¾x n n ¾, ¾ f f ½ x¾ h f f h f½n¾ f h¾, ¾ f ¾ f ¾ ½ ¾¹½ ¾ ¾ ¾ x f¾½ hn¾ f f ¾ f¾ h x½ f½ x h x½ f h¾ ¹ f f x f f f f¾ h x½ ¾ ½ f f¾ h f x ¹ f½ f n¾ f f¾ f f h¾h f x¾ x f f ¾ h f 9 -D f 9 f ½ f f ¾x¾¾ f f h¾ f ¹½ f n¾ f h ¾½ f h¾ f f h¾h f ¾ f 69. oldal

h¾ ½ f h¾ ¾ x,f f f n¾f h¾h f f n¾f ¾ 9, O h f x f 9 x ¾ f¾ ½ ¾ ¾ f h¾ f x x½ ¾ f f ¾f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ f f f ¾ ¹ ¾¾x ¾ ¾ f h f h ¹ ½ ¾ f x x f f h n h f h f f ¾¹½ ¾ ¾ ¾ h f f¾ h f f f x¾¹ f h¾ x f, ¾ h ¾ h f¾ h Z _ b çc bz `ç x¾ ½ f nx f f¾ f f f f h f x¾f h f f ¾ ¾ f¾¾ f f f h¾ f ¾¾h ¾ f x f¾ f f f f ¾ ½ f f f ¾¾ ¾ ¹¾x f ¾ f h f ¹ ¾ h f f f n f x½ f½ f f @x f f½f f x¾ x¾ f f ¾ h f f x ¾, f f ¾ f f ½ x h ¾ f f ¾ ¾f x¾ x½ @ ¹ f f ¹ ½ x ¹ ¾ h f f ¾ ¾ h f f, f f ¾ ½ f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f f f h¾h h f ½ x h f f ¾¹½ ¾ ¾ f¾ h f h ½ f, ¾ ½ f n¾ f f f f f f ½f f x ¹ f f ¾ h f, f f f f f ¾ h f f ¾ h f¾ h x½ ¾ 70. oldal

, f f f ¾ f f¾ ¾ h f f h x f¾ ¾ f½n¾ f f f f f f f f f f f x f½n¾ f f h 9 f f,f f ¾ x¾ x¾x f ½f f x x¾ f f f f ¾ f¾ h D f½ nf D¾ fn f,f f ¾f h x x¾ h x h¾h f h h¾f f ¾ ½ h h¾ ¾ f f ¹ x¾ x¾, O h ¾ ¾x x f ¾ ¾ f x h¾h f,f f f x ¾ ¾x ¾ h¾ ¹ x ¾ n ¾ f f f f ¾ f x ½ h h¾ x bz `ç ` ç ½ f x¾x f9 f ½x f f h¾h f f f x f ¾f h f ¾ ¾x x f x x ¹ ¹ x h f 71. oldal

h f h f ½ f f h¾ ¹ ½ f f h¾ ¹ h¾ ¾ ¾x ¾ ½ f,f f h¾ h h,,f f ½ f¾¾ f x f h f, ¾ f h @ h h¾ f ½ f ½ x¾x ¹ f f h f f h f ½ f h¾h f x f h f ¾ h ¾ f x½ ¹ x½ f h f f f x f f f ¹f f f f ¹f f f h f x¾ Ih f¾¾ f x¾ x x f ¾ f @ x¾ h h¾f f f @ x¾ h h¾f ½h ¾ x f f h f 72. oldal

h f h f @ x¾ h h¾f½h ¾ x f f @ x¾ h h¾f½h ¾ x f f ½h ¾ x f f h f f f x¾ x f f¾ h ¾h x h f ¾ h f O x x f x x f f ¾ f f f x¾ x h f, f x f x¾ ¾ x f f¾ ½ h f x n¾f f x¾ ¾ x h f n¾f f x ½ x ¾ f h h¾h f f ¾ f @ f f f x¾ f x ¾ f ¾ f f ¾¹½ f ½ n h ½ f x¾ ¾ f ¾ 73. oldal

h f h f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f½h ¾ x f f, f f¾ ¾ f ¾h f f h h¾f ½h ¾ x f f h f h f f f½n¾ f ¾ f ¾h f f f x h ff f ¾h h h f f h f h f f f f x f½n¾ f f f, ¾ f f f x f f f, h f¾, h¾f f½ h h¾ ¾ ¾ h f ¹ f ¾ f f f f x f ¾ f x¾ f ¾ f f ½ x ¾f f h ff f½ h h x ½h ¾ x f f h f h f, f½x f, f½x f h f ¾ f ¹f f f h¾ h f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f h f f h f f h¾¾ h f ¾ ½ h h¾ ¾ x h f¾ h f f f f ¾ f h ¾½ f h¾ f f ¾ ¾ ¾ ½ ¾¹½ ¾ ¾ @ h h f f f f f f f 74. oldal

½f f x ¾ ½x h f h¾ ¾ ¾ ½ h h¾ x h ¾ x¾ h f¾ f¾ ½ f f ¾ f f h¾ f h f h f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ h h¾ ½h ¾ x f f f h¾ f f f, h f½ f x f ¾ h h¾ f f x¾ x½ ¹f ¹f f f h f ¾¹ ¾f f f ¾h x ¹x x ¾x ¾ x f ¹ f f½ f h¾ f f h¾f f f ¾ x¾ f½ x h f f f h¾ h¾ f f ¾ h h¾ f x f ¾ f½ x x ¹ x¾¹ x x¾ ¾ ¾ 75. oldal

h f h f h¾ x h¾ x x¾x x h¾h f, x¾ ½ f f ¾ 76. oldal

b^ç f ¾ ½ f x h ¹ ¾ h f h¾h f f f f h¾f f f ¾ ¹ f ¾ ½x h f f¾¾ f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f n f f ¹ n f f f f f f f x¾ x½ ½ f h h¾ ¾ ¾x x f f ¾ h f ¾x f f 9 h f _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç^b[ \ ça _^ _ç h¾ f ¾ ¾ f ¾ x¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ f x ½ ¾x 9 f f f ¾ h¾ h f ¾h f f½ f f f f x¾ ¾ h h¾h f x½ x ¹ x x ¾ h x ¾ f f ¾ x f ¾ f h¾h f x ¾ x ¹ x¾ ¾ x Q ULS = ( 2+ Π ) c B f Q ULS f x½ x ¹ Bf¾h f f½¾ x ¾¾x cf f f x f h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ h f h f f½f f f f x¾9 f ¾ kn x ¾ x ¾¾h f f½ ¾ x c= 1 x x f x½ x ¹ m 2 kn kn Q ULS = ( 2+Π) 1 1m = 5, 14 2 m m 77. oldal

¾ h h¾ ¾ h f f f x x¾¾ x f¾h f f½ x ¾ f f f f f h h¾f f f f f f f x ¹¾ h h¾ f ¾ x¾ f h f f f¾ f ¾¹x ¾ f f ½ f ¾¹¾ f f¾ f f h f f ¾h f ¾x x¾ f f f ¹ ¾ h¾ f x f ¾f ¾ h f h f x¾f ¾ f f x ¾ ¾ h¾ f¾ f f f f x h¾ f f f x¾ f f f h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ h f f½f f f f x¾ f¾ h x¾ x½ f f x¾ x½ h f f h f h¾ f ¹ f x¾ x ¾ h f¾¾f 9 f ¾ h¾ x ¹ f ¹ ¾ h¾ f f f h¾ h f f f½ h x ¾h ¾h f ¾¾ ¾ n¾ x¾ f ¾ f x¾x x ¹ x¾ ¾ ¹½ ¾¾h x f h f f ¾ h f x ½ ¾¾h h f x¾f ¾x ¾n¾ ¾ f½ ¾ h h f ¾ h f 78. oldal

Élek száma a raszterméret függvényében 1800000 1600000 1400000 Élekszáma 1200000 1000000 800000 600000 400000 200000 0 0 10 20 30 40 50 Élek száma Hatványfüggvény Pontok száma f f ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x ¾x ¾x ¾ h f f x x ¹ f¾ ½ ¾ h h f x x h f f x ¾ h f f h f f ¾ h¾¾ x¾x 10,000% Analítkus megoldástól való eltérés Eltérés 1,000% 0,100% 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 Pontosság Hatványfüggvény Élek száma f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f n¾ x¾ x x f ½ ¾ h h f x¾x n¾ f @ x¾ ¾ f½ ¾ h h f f f ¾ f½ ¾¾h f f f½ h f ¾ h ¹ x ¾ ¾x ¾ f ¾¾ ¾ 79. oldal

½ h f f x x ¾ h f f f f½ h x f f f¾½ h f f h f f½f h f f½f f f f f f f x¾ ¾ ¾ h¾ x¾ ¾ ¾ h¾ ½ h f f ½ h f f f¾ ¾ h¾ f h¾ h f h f f f¾ h h¾ f f f x x f f ½ x h f f ¹¾ f ¾ h¾ ¾ ¹ ½ ¾ @ x h f x f h f h¾ f ¹ f¾ ¾ h¾¾f x ž _ cç _ \ç _ ] ç a _ ç ç _ ç _ \ç Zç \Z _ ` _ _ç ½x f x f f ¹¾h f f½ f ¹ ¾ x¾f x ¾ f f ¾h f f½ ¾ x ¾¾x x f x 9f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ f f x f ¾ f - h h¾h f f f ¹ f ¾ f f h f f ¾¹ ¾ h¾ ¾ ¾ f f x½ x ¾x h x x x f h f h¾ f 80. oldal

h f h f f½f f f f x¾ h f h f f½f f f f x¾ ¹ ¹ - - h f h f f½f f f f h f h f f½f f f f x¾ x¾ ¹ ¹ - - h f f½ ¹ x f h h¾h f ¾ ½ ¾ h f ¾ h h¾ ¹ x½x¾ f ¹ @ h¾ x ¹ N q 2 ϕ exp( π tan( ϕ) ) tan 45 + = 2.471 2 ( N q 1) N c = 8.345 tan( ϕ) := := ( ) N γ := 2 N q 1 tan( ϕ) = 0.519 81. oldal

h f f½ x x f f f x ¹ f ¾h f s γ := 1 s q := 1 s c := 1 x¾ ¹ ¾ f f ¾x x x ¹ ¾ x ¾x q := 1 c := q N q 1 N q 1 = 1 γ ( 1 f) m B := + 1 = 1 ¹ f ¾h f ¾ ( ) R k := B c N c c s c b c + N q s q q q+ 0.5 γ N γ s γ γ B = 255.537 1 m kn. ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ x f x h h f ¾ h f h h @h h f x½ x f h h¾ ¾ h f h f 9 ¾ x ¾ h h¾ f f ¾¾ x¾ ¾h f f½ ¹ x f h h¾h f f f h h f 82. oldal

f h f f½ h¾f f ¾ f f h f f½ h¾f f ¾ f f f¾ f f¾h f f½ h¾f f f ½ f f x ¾¾ f¾ h¾ f f f f¾ ¾ h h¾ f f f x f f f ¾f f f x¾ x½ ½ f h h¾ f f½ ½ f f,f f 9 n ¾n ½ ¹ ¾¹ ¾ h¾ ¾ x¾ ¾ h h¾ h h¾ f f½ x h h f f h h @h h f 83. oldal

@h h f @h h f h f f½ h¾f h f f½ h¾f - - Sorszám φ [ ] LmtState Geo EC PLA Saját Eltérés EC Eltérés PLA 1 0 156,2 154,3 150 155,7 3,8% 1,0% 2 5 202,1 195,7 190 201,4 6,0% 2,9% 3 10 270,3 255,5 250 262,2 4,9% 2,6% 4 15 369,7 345,1 350 351,7 0,5% 1,9% 5 20 524,1 484,4 470 491,0 4,5% 1,4% 7 30 1170,0 1105,0 1180 1112,6 5,7% 0,7% 9 40 3467,0 3320,0 3380 4000,0 Sávalap teherbírása Teherbírás [kn] 3000,0 2000,0 1000,0 0,0 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 Lmt State Euro Code Plastc lmt Analyss Saját program φ [ ] f h f f½ h¾f f h f f½ h¾f x h h¾¾f ¾ h x ¾ x x¾ f f f h f x¾ x½ ½ f h h¾ x f x x¾ f f x¾f x½ x f h h¾¾f f½ x ¹ f ¹ ¹½x h f f½f¾ f f f x x¾f ¾ h x¾x n¾ f f h f f f f f¾ h h¾f ¾ h h¾ h h h¾ ½ ¾ h f ¾ 84. oldal

100 Hba nagysága Hba [%] 10 1 100 1000 10000 100000 1000000 10000000 Lehetséges csúszólapok száma Eltérés a PLA-tól Hatvány (Eltérés a PLA-tól) Eltérés az EuroCode-tól Hatvány (Eltérés az EuroCode-tól) f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f f f ¾h f ½ f f ¾¾ h h h h f f h x ½ ¾ f ¾ ¾ f ½ f f f f h f ff f h h¾f f f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x f x¾ x½ ½ f h h¾ n¾ x¾ ¹f f ¾ h h¾ h¾h f ¾ n¾ ¹¾ f f f ¾ h f ¾ f ¹ ¾ h¾ ¾ x f ¹ f f f ¾h f ¹ ¾ f f f n¾f x¾¾ f h f ¾x f x h f h f h¾ ¾ ¾x ¾ ¾ ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ x f f f x¾ x½ f ¾f9 f x f f f h f h f 9 f n f ¾ h f 9 f n f ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ ¹ f n f ¾ h f f 85. oldal

h f n f ¾ h f n f ¾ f f f½ x n¾f f x x x f f x¾ x½f f h f ¾ f ¾f f f ¾ x ½ f x ¹¾ f¾ h h¾f f f½ h ¾ Ÿ Z ` ça _^ _\ç ZZ _ Z ç _ _ ç h f¾ h¾ x ¹ ¹ ¾ f f f f¾¾h h f f h h¾h ff f h f x½ f ¹ f f¾ 4 c φ m0 = tg(45 + ) nγ 2 86. oldal

f nf x f ¾¹¾ h¾ ¾ f f f x f ¾ fx¾ f ¾h x ¹ ¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ f x n 9f f f x f ¾ f - f f f¾¾h f f ¾h x ¹ h h¾f f f x¾ ¾¹x¾ f f f¾ f f ½ f x¾f ¾ f f f f fn¾f f ¾ f f x¾ ¾ h f½ h x ¾h ¾h f ¾ f f f ¾ h¾ f f x x ¾ f¾ h h¾ ¾ ¾¹ n¾ x¾ f f x¾ x½ ¾ x f h f ¾f f ¾ x n¾ ¾ h f h f h f¾ h¾ h f h f¾ h¾ x x x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½ x¾ f f f f x¾¾ h x¾ x½, f f x x½ ¾ ¾¹ n¾ x¾ x ¹ f h¾ x ¾ ¾¹ n¾ x¾ ¾¾ h h¾f f x h f h f ¾¾½ h f f f h f x¾ f h x ¾h x x x ¾¹ h f ¾ 87. oldal

h f f ¾¾½ h f f x¾ x h f f ¾¾½ h f f x¾ x½ f f f f f x x f f½ f f ¾ h f f x¾ h x ¾h ¾ h h¾ f x f f ½ f f ¾ h f f x h f ¾ h x¾ x½ f h f ¾ h x¾ x½ f f f h f x ½ f f fn¾ f x x f f ¾ x x x f f ¾ ¾¹ h ç _ a b` ç ½f¾¾ h¾ f h h¾h f f f f ¾ h¾ h f 88. oldal

h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f ¾ ¾ ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ ½ f ¾ ¾ ¾ ¾x h f x ¹ ¾ h f x¾ x½ ½ f h h¾¾f ¾ h f f½f¾¾ h¾ f ¾ x ¾ h f f f ¾ ¾ f f ¾ h h f f f h f f f ¹ f h x¾ h¾ f 89. oldal

h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f h f 9f¾¾ h¾ f h h¾f f f f ¾ h h¾ f x ¾¹¾ h¾ ¾ ¾ x @h h f @h h f ½f¾¾ @h h f ½f¾¾ h¾x x h¾x x Sorszám φ [ ] Analtkus Állékonyság LmtState Geo 1 0 2,500 2,500 2 10 3,094 3,094 3 20 3,876 3,876 4 30 4,964 4,964 4 40 6,588 6,589 h f ½x h f x f f h h¾ f ¾¹¾ h¾ ¾ x¾x ¾ ¹ ¾ h ¹ ¾ f ½f¾¾ h¾ ¾ h f ¹ f h¾x x ¾ f h f h f ¾ ¾ h¾x x h ¾ x x¾ f f f f ¾ h¾ x x¾ f ¾h h f ¾ h f h f h h f f f f½ h¾ f f¾ h x x ¾ ¹ f f f f f ¾ h¾ f 90. oldal

Vízszntes feszültségek passzív földnyomás esetén 0 Vízszntes feszültség [kn/m 2 ] 0 1 2 3 4 5 6 0,1 0,2 Terepszntıl mért távolság [m] 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 LmtState Geo eredménye Analtkus megoldás Számított eredmény trendvonala f 9f¾¾ h¾ f ¾h f f 9f¾¾ h¾ f ¾h f ¾ h x ¾ f n¾f ¾ f f f ¾ h¾¾f f x ¾ ¾x h f ¾ ½ ¾¾h f f ¾ ¾ h ¾ ¾ ¾ ¾x f f ¾ x ¹ f x x¾x ¾ h¾f ¾ h x¾f9 f ¾ x¾ x½f f f f ¾ h f f f f x¾ ¾ ¾ h h¾f ¾ f f f ¾ x h f x x¾ ¾¾ 91. oldal

_ Z \a ç h f 9f¾¾ f f x¾ h f 9f¾¾ f f x¾ ¾ ¾ x x f h f¾ ¹ ¾x f f h f f x½ f ¾ x h h f h f¾ h¾ f ¾¹ x ½ h f ¾ h f¾ f f x f - ¾¹¾ h¾ ¾ f x f ¾ h ¾x x ¾ f x x x ¾¾ ¾ h h¾ f f ¾ x h f h f f h f f f ¾ h x¾ x½ f ¾ h x¾ x½ 92. oldal

h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ h f ¾f h ½ f f ¾ h x¾ x½ ¾ h h¾ f x f h f x¾ ½ f f ¾ h f ¹ ½f f x f ¾f f f x f ½ h f ¾ ¾x x x f f ¾ x ¾ f¾ ¾ x x - f ¾ f ¾h f ¾ - f ¾ ¾x f x¾ f f¾ ¾ ¾x x x x¾x ¹ f f f ¾ f¾ x - f f f ¾ f ¾f h x h h ¹ f x¾ x½ f ¾f 93. oldal

çгç _^ _` ç f h x¾ f f x h h f ¾ f f f f f h¾ ½ h ¾ h h¾ f f ½ f f x ¾ f f f ¾ x¾ x h x¾ ¹ ¾x f½f¾ f f f f¾ h f h f nx f ¾ x½ ¹ f h¾f ¹ n f x½ ¹ x f f f n f f ¹¾x f f,h¾½ f f x¾¾ h h¾ h h¾ f x¾f ¾¾ f¾ h¾ f x¾¹ ¾ ¾ ¾¾ x f ¾ h h¾ h h¾ ¾¾ f¾ h¾ ¾ h f f f ¹ f f½¾h h x ¾h ¾ h h¾ h f¾ h ¾ ¾¾ f¾ ff ¹ f x¾¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ h h¾ f ¾ h¾ ¹ f f h f h ¾ h f f f ¾ f n¾f x ¾ ¾ h f h ff f f¾ x ¾ ¾¾ h h¾ f ¾ ¾ f f h h f f f h h¾ ¾ h f f h h f½ ¾ h f f f x ¾ ¾¾ h h¾ f f h ff ¹ f x ¾ ¾ ¾ ¾ f h f½ n n f ¾ h f f x½x¾ f ¹¾ n¾ f h¾ ¹ ¾ f h¾ f h ¾ ¾x f h h¾ f ¹ ç \ Z _ ç f f ½ h ½ f x f f½f f ¾ h f h ff f f¾ f f f¾ h f h ¾ h f f h¾h f ¾ h f f ¾ h¾h f x¾ ¾x ¾ x f f ¾ x f f f f ¾ ¾ f x h f ¾ h f x ¾ h f x f f f ¾f¾ x¾ f x f x¾ 94. oldal

h f x ¾ ¾ h f f h f x ¾ ¾ h f f f f f f x ¾ h¾f ¾ ½ f ½ h h¾f¾ h f f f ¾ ¾ h h¾ ¾ f x¾ f f h f ¾ ¾ h f ff ¾¹ f h x ½ f h f ½ ¾ h f ¾¾ ¾ ¾ h f f f ¾¹x f ½ h f ¾ f f¾ f ¾x ¾x f ¾¹ f h ¾ f h x ½ x ½ h h f x x¾ ½ ¾ ¾ f f ¾x x f f x ¹ ¾h f¾ f x¾ f½ f ¾ 95. oldal

h f @ ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x h f @ ¾ h h¾h f h ¾f f x¾ ¾ x ž _ cb^ç _ b _ ç ½ ¾f ¾h f f½ f f f h¾ ¾h ¾ ¾x x ¾ h f f f f½ x¾ f f f n¾ f h¾h f f f ¹ ¾¾ f f x f f x¾ ½ ff f f ¹¾x ¾ f h¾ x x h f ½ ¾ h¾ @ ¹ - h f ½ ¾ h¾ @ ¹ - 96. oldal

h f ½ ¾ h¾ h f ½ ¾ h¾ @ ¹ - @ ¹ - h f f x¾ h¾ x ¾ x¾ x½ h¾ f ¹¾ ¾x f f Ÿ _ ] ç f f½ ¾ h¾ f f¾¾h ¾ h f f h¾ f f f f ¹ ¾ ½ ¾ f f¾¾h f f ¾ ¾ h h¾ f¾ f f ¾x ¾x ¾ f x ¾ h, f x f f f h¾x x ¾ ½ h¾ ¾ ¾ f¾ h f f f f h¾ ¾ h f h f 9x f x x x¾ x h¾ f9 f¾ ½ f n¾ f f f h f ¾ f f f ¾ f ¾ x ¾ ¾½ f ¾ h f f h x ¾h ¾ f ¾ ¾ n¾ ¾ f½ ¾ ¾ h h¾ f f h f ½ h ½ f ¹ ¹ f f h f h¾ ¾ h h¾h f f f f¾ ½ f x x @ h f h¾ ¹¾x f f f h f h¾ f h¾h f ¾ h f f ¾ h f f f h f h¾ ¾ h f ¹ ¾¹ x ¹ f ¾ f ¾ f ¾h fx¾ h f f x ¾ h f ½ f f ¾ f ¹ h f h f f f x f ¹ ½x h f h½ f h¾ f ¾ ¾ x x f x f h 97. oldal

\ ba Zç _` ç ç b ç, f ¾ x h f x n¾ ½ f ¾ f h x¾ h f h f ¾h ff x¾½ f f h f f f ¾ ¾f f f ¾h x ¹ f h f f f x x ¾ ½ f¾ h f f f ¹h f f x¾ f f f¾ x f ¾h x x x f ¹ x ½x h f x h¾ x ¹ ¾h f f½ x¾x f f ¾ h f f½ h¾ ¾ f f¾¾h f f f ¾h f f½ x ¹ x¾f h¾ f xx½ x ¾h f f½ x½ ¾ h¾ h¾ f ¾ ¾x ¾ h¾ f ¾ h f f f x ¾h f f½ ¾ ¾h f f f x h ¾¾ h f x h h f x h h f f x f f½f f ¾ x¾f f f f ¾f x f f½ f f x¾¾ ½ ½ h h¾h f h f f ¾h x x f f x x x ¹ f x¾ f x ¹ f f½ h¾ x h f f x¾ ¾ f ¾ ¾x ¾ f ¹ ¾h x ¹ ¹ x¾f xx½ f f½ h¾ h n¾f f h f f x¾ h f 98. oldal

h f h h f h f ¾ f ¾h ¾ f f f f f f x x x h f f f ff f f ¾ ¾x ¹f x¾,h¾ ½x h x ¾ x ¾ f f½ ¹ h f f ¾h ¹f f f ¾ f f ¾¹½x h f f ¾ x¾f ¾ ¾ h h f f x ¾ ¾h h f½ x x x h f ¾ h h f ¾ h f ¾ h f ¾ h¾ f½ 99. oldal

h f 2 ¾ h f h f 2 ¾ h f x ¾ n¾ ¾ h¾ x ¾ ¾ x ¹ f f½f f f f x¾ ¾¾x f f h h f ¾h x x ¾ f f f¾f x x f x x ¾ ¾ h f f x½½ f h¾ f ¹ f f f ¾ ¹ f f f f x ¾ ¾ f ¾ f¾ h x h f h n f 2¾¾ ¾¾x x f f h x¾h f n¾ ½ h x ¹ ¾ x h f¾ h¾f ¹ ¾ f f f ¾ f f h¾f h ¾ h ¾ h f f n f f ¾ h¾f 100. oldal