33. MIKOLA SÁNDOR ORSZÁGOS KÖZÉPISKOLAI TEHETSÉGKUTATÓ FIZIKAVERSENY HARMADIK FORDULÓ 9. osztály Gyöngyös, 4. ájus 4-6. Megoldások Gináziu. Egy adott pillanatban két őhold halad el egyás ellett. Az elhaladás pillanatában sebességük erıleges a Földet a őholdakkal összekötı egyenesre. A találkozás pillanatában táolságuk a Földtıl 5 k. Az egyik őhold keringési ideje 5 nap, a ásiké 8 nap. a) Mekkora a őholdaknak a aiális és a iniális táolsága a Földtıl? b) Milyen táol annak a Földtıl, aikor sebességük éppen párhuzaos azzal az egyenessel, aely a találkozás pillanatában összekötötte a őholdakat a Földdel. c) Leghaarabb ennyi idı úla lesz a két őhold a legtáolabb egyástól? Mekkora ez a táolság? (A őholdak töege jelentéktelen. A Hold 7,3 nap alatt kerüli eg a Földet, átlagos táolsága a Földtıl 384 4 k.) (Kiss Miklós) Megoldás: A kis töegő őholdak Kepler elsı törénye szerint ellipszis pályán keringenek a Föld körül. A Hold a Föld- Hold rendszer töegközéppontja körül kering ellipszis pályán. Becslésként úgy esszük, intha a Hold Föld körül keringene. Ezzel a hiba kisebb, int,3% (/8 rész). Az ellipszis adatai közötti összefüggések: din a c, ebbıl c a din a d a + c, ebbıl és az elızıbıl d d c, illete a in d + d a a in A egadott keringési idıkbıl és a Hold pálya adatai alapján a őholdak pályájának nagytengelye Kepler III. törényébıl száolható: a 3 T 3 ah T 3 3 T a a H H TH Ezt alkalaza a két őholdra és a Holdra adódnak a nagytengelyek értékei: a I 3 95 k, illete a II 69 499 k. a) Ebbıl és a kiindulási táolságból ( R 5 k ) látható, hogy találkozásukkor, az elsı őhold pályáján Földtáolban, a ásodik pályáján Földközelben an. Ezek alapján az elsı őhold aiális táolsága d a a + c 5 k, a iniális táolsága d a c a R 978 k. in
A ásodik őhold iniális táolsága d in a c 5 k, a aiális táolság d a a + c a R 88999 k. (Az ábra ne éretarányos!) b) A táolságok egegyeznek a pályák fél nagytengelyének hosszáal, azaz az átlagos táolsággal, tehát az elsı őhold 3 95 k, a ásodik 69 999 k táol lesz a Földtıl. c) A két őhold legközelebb 4 nap úla halad el egyás ellet. Legtáolabb akkor lesznek, aikor az elsı őhold isszatér a találkozás helyére, íg a ásodik éppen pályája ellentétes pontjában lesz (indkettı Földtáolban). Ez húsz nap úla fog beköetkezni. Ugyanis az elsı őhold 5 naponta isszatér, a ásodik őhold a találkozás után négy nappal az ellentétes pontban lesz, aztán találkozástól száíta nap úla, nap úla stb. lesz az ellentétes pontban. Ekkor a táolságuk: d d I + d 8689 k. Az adatok és eredények táblázata: a II a Alap T a d in d a c b Hold 7,3 384 4 363 4 45 696 96 383 8 I. 5, 3 95 978 5 3695 853 II. 8, 69 499 5 88 999 9 499 68 374 a. tá 8689. Egy r sugarú, rögzített félgöbfelület peree felett h agasságban egy kisérető testet tartottunk, ajd elengedtük. Ezt köetıen a félgöb aljában centrálisan és tökéletesen rugalasan ütközött egy ásik kisérető testtel. Ezután indkét test a félgöb pereéig eelkedett. (A súrlódást és a közegellenállást hagyjuk figyelen kíül!) Mekkora olt h értéke? (Suhajda János) Megoldás. Az ütközést egelızı folyaatra felírható: g ( h + r), innen g ( h + r) () A rugalas ütközésre felírható a lendület-egaradás és a echanikai energia-egaradás törénye: u + u () + u + u, (3) ugyanis, ha a félgöb aljáról indkét test a félgöb pereéig csúszik, szétpattanáskor az ütközés utáni kezdısebességüknek eg kell egyezniük.
A () és (3) egyenletekbıl eghatározható a két test töegének aránya, ahonnan: 3. (4) Osszuk el ui. a () és (3) egyenleteket -gyel, ajd jelöljük az / arányt k-al: u + ku u + ku. Az elsıt négyzetre eele és a sebességnégyzet két kifejezését tée: u ku + u u + ku. Minden tagot u -tel oszta: k + k + k, ahonnan k 3. A echanikai energia egaradásának törényét ost a kezdı- és égállapotra írjuk fel, indegyikben pillanatnyi nyugaloban annak a testek, azaz a ozgási energia zérus. A helyzeti energia -szintjét együk a félgöb aljánál: ( ) g h + r gr + gr (5) Felhasznála (4)-et ez (g-el aló egyszerősítés után) így írható: h + r r + 3 r, ahonnan a félgöb pereétıl száított indítási agasság Ilyen agasból kellett leejteni a testet. h 3r. 3. Egy kilöı szerkezetbıl függılegesen felfelé 6 /s sebességgel kilıtt 8 kg töegő robbanó löedék pályájának felszálló ága félagasságában két darabra robbant szét. Ennek köetkeztében az M kg-os darab a pálya egyenesére erıleges, I Ns nagyságú ipulzust (lendületet) kapott. Milyen táol lesznek egyástól a darabok, aikor indkét rész a talajba csapódik? (A légellenállástól tekintsünk el.) (Holics László) Megoldás. A jelenség akkor írható le a legkönnyebben, ha beülünk a löedék töegközéppontjáal együtt ozgó koordinátarendszerbe. Ekkor szétrobbanás után is áltozatlanul függıleges hajításnak egfelelı ozgást égez rendszerünk, ert ízszintes erı hiányában a rendszer töegközéppontja úgy ozog, intha ne robbant olna szét a löedék. Miel a robbanáskor ízszintes lendületet kapott az M töegő rész a ásik, töegő résztıl (és ugyanekkora, ellentétes irányút az töegő M töegőtıl), indkét repesz és a töegközéppont is egyaránt azonos g gyorsulással eelkedik, ajd esik (szabad ozgást égeznek a graitációs ezıben), ezért egyáshoz képest ne gyorsulnak, azaz ebben a koordinátarendszerben egyenes onalú egyenletes ozgást égeznek. A talajról néze a függıleges hajítás csak annyiban érdekes, hogy a pálya agasságát és az idıadatokat eg tudjuk határozni belıle. A lendület egaradása a (pillanatszerő) robbanás után: MV I, innen egyrészt a nagyobbik darab sebessége: I Ns MV I V, M kg s ásrészt a kisebbik repesz sebessége: M kg V. 8 kg kg s s 3
Együtt ozgó koordinátarendszerünkben tehát egyenes onalú egyenletes ozgással táolodnak egyástól a darabok, és t idı úla ( ) d + V t esszire kerülnek. Meghatározandó tehát a t idı. Itt ár a talajhoz rögzített rendszerbıl kaphatjuk eg a szükséges adatokat. A töegközéppont és a szilánkok hajítási ideje egegyezik. (Ez utóbbiak ferde hajítást égeznek, ez azonban ne érint inket.) A függıleges hajítás teljes ideje: 6 s Thaj s. g s A szétrobbanásig (a pálya félagasságáig) eltelt idıt egadó egyenlet: ha t gt, ahol az eelkedés agassága: h a. g Ezzel egyenletünk az idıre: Rendeze: Nuerikusan: dienziók nélkül: Ennek egoldása: t gt. 4g gt. t + gt t 4g + g 36 t 6 t + s, s s s t t + 8. ± 4 8,4 s t.,757 s A nagyobbik adat a leszálló ág félagasságáig eltelt idıt, a kisebbik a felszálló ágét jelenti. A robbanástól a talajra érkezésig eltelt idı tehát: t T haj t s,747 s,4 s. A robbanástól száíta ennyi idı alatt érnek (egyszerre) a részek a talajra, ennyi idı alatt egyástól táolságra kerültek. d ( + V ) t +,4 s s s 37, A tényleges ozgás a talajról néze 4
A égeredényt sokkal egyszerőbben is egkaphatjuk! Az eelkedési agasság eghatározása is feleslegessé álik, ha észreesszük, hogy a függıleges hajítás agasságának az idı függényében egrajzolt képe szietrikus! A legutolsó ásodfokú egyenlet két egoldása közül a nagyobbik közetlenül egadja a robbanástól a talajra érésig eltelt idıt! Ui., int az ábra utatja, a kilöéstıl a leszálló ág félagasságáig eltelt idı (a egoldás nagyobbik értéke) éppen a robbanástól a földet érésig eltelt idıel egyenlı, tehát az egyenlet nagyobbik értékő egoldása az a keresett idı, aiel a relatí sebességet szoroznunk kell, hogy a repeszek közti táolságot egkapjuk! 4. Valaely, ízszintes síkon nyugó M töegő, könnyen gördülı kiskocsi platójára sebességgel rácsúszik egy töegő, elhanyagolható érető test az ábra szerint. A két test között µ tényezıjő súrlódás lép fel. Miniálisan ekkora legyen a kiskocsi L hossza, hogy a test azon ég egálljon? (Adatok: M 5 kg; kg; 6 /s; µ,7.) (Dr. Wiedeann László) Megoldás. Felírjuk a rendszerre a unkatételt a kezdı- és égállapot közötti szakaszra, alaint az ipulzus egaradását, iel külsı erık eredıje nulla. A unkatétel: µ g ( ) ( ) M µ g L M + M k, () ahol k a kis test kocsihoz iszonyított egállásakor felett, a kocsial közös sebessége. Az ipulzus (lendület) egaradása: M () ( ) + k k. ( + M ) ()-t ()-be íra: Rendeze: Adatainkkal: µ g µ g L M M + M + ( ) ( ) ( + M ) M L µg M. ( + ) 6 L 5 kg,7 ( kg 5 kg) + s s,4.. 5
33. MIKOLA SÁNDOR ORSZÁGOS KÖZÉPISKOLAI TEHETSÉGKUTATÓ FIZIKAVERSENY HARMADIK FORDULÓ 9-ik osztály Gyöngyös, 4. ájus 4-6. Szakközépiskola. Egy 3 c, és egy 4 c hosszú fonal egy-egy égét a ennyezeten rögzítjük, egyástól 5 c táolságban. Mindkét fonál ásik égét egy pici, dkg töegő testhez erısítjük. a) Mekkora erık ébrednek a fonalakban? b) A hosszabb fonalat elégetjük. Mekkora erı ébred a ásik fonálban abban a pillanatban, aikor az éppen függıleges. (Sion Péter) Megoldás: Adatok: l 3 c, l 4 c, l 5 c,, kg. a) A fonalak egy derékszögő hároszöget határoznak eg, iel a hosszak (3, 4, 5) pitagorászi száhárast alkotnak. A nyugaloban léı testre ható erık eredıje nulla, tehát az erık (F, F, g) is egy derékszögő hároszöget határoznak eg. A két hároszög hasonló, ezért a egfelelı oldalaik aránya egyenlı. Így 4 F : N 4:5 F N,8 N, 5 és 3 F : N 3 :5 F N,6 N. 5 b) Aikor az l hosszú fonalat égetjük el, a test h 4 c-rel an a plafon alatt. (A derékszögő hároszög területét kétféleképen is felírhatjuk: l h l l l l h 4 c.) l Az energiaérleg segítségéel ki tudjuk fejezni a test sebességének négyzetét, aikor a fonál éppen függıleges: g ( l h) g ( l h) A testre írjuk fel a dinaika alapegyenletét, aikor a fonál függıleges: 6
F a cp K g l ( l h) g K g + g 3 l K 4 N.. Egy kilöı szerkezetbıl függılegesen felfelé 6 /s sebességgel kilıtt 8 kg töegő robbanó löedék pályájának felszálló ága félagasságában két darabra robbant szét. Ennek köetkeztében az M kg-os darab a pálya egyenesére erıleges, I Ns nagyságú ipulzust (lendületet) kapott. Milyen táol lesznek egyástól a darabok, aikor indkét rész a talajba csapódik? (A légellenállástól tekintsünk el.) (Holics László) Megoldás. A jelenség akkor írható le a legkönnyebben, ha beülünk a löedék töegközéppontjáal együtt ozgó koordinátarendszerbe. Ekkor szétrobbanás után is áltozatlanul függıleges hajításnak egfelelı ozgást égez rendszerünk, ert ízszintes erı hiányában a rendszer töegközéppontja úgy ozog, intha ne robbant olna szét a löedék. Miel a robbanáskor ízszintes lendületet kapott az M töegő rész a ásik, töegő résztıl (és ugyanekkora, ellentétes irányút az töegő M töegőtıl), indkét repesz és a töegközéppont is egyaránt azonos g gyorsulással eelkedik, ajd esik (szabad ozgást égeznek a graitációs ezıben), ezért egyáshoz képest ne gyorsulnak, azaz ebben a koordinátarendszerben egyenes onalú egyenletes ozgást égeznek. A talajról néze a függıleges hajítás csak annyiban érdekes, hogy a pálya agasságát és az idıadatokat eg tudjuk határozni belıle. A lendület egaradása a (pillanatszerő) robbanás után: MV I, innen egyrészt a nagyobbik darab sebessége: I Ns MV I V, M kg s ásrészt a kisebbik repesz sebessége: h l M kg V. 8 kg kg s s Együttozgó koordinátarendszerünkben tehát egyenes onalú egyenletes ozgással táolodnak egyástól a darabok, és t idı úla ( ) d + V t esszire kerülnek. Meghatározandó tehát a t idı. Itt ár a talajhoz rögzített rendszerbıl kaphatjuk eg a szükséges adatokat. A töegközéppont és a szilánkok hajítási ideje egegyezik. (Ez utóbbiak ferde hajítást égeznek, ez azonban ne érint inket.) A függıleges hajítás teljes ideje: 6 s Thaj s. g s A szétrobbanásig (a pálya félagasságáig) eltelt idıt egadó egyenlet: ha t gt, 7
ahol az eelkedés agassága: Ezzel egyenletünk az idıre: Rendeze: Nuerikusan: dienziók nélkül: Ennek egoldása: h a. g t gt. 4g gt. t + gt t 4g + g 36 t 6 t + s, s s s t t + 8. ± 4 8,4 s t.,757 s A nagyobbik adat a leszálló ág félagasságáig eltelt idıt, a kisebbik a felszálló ágét jelenti. A robbanástól a talajra érkezésig eltelt idı tehát: t T haj t s,747 s,4 s. A robbanástól száíta ennyi idı alatt érnek (egyszerre) a részek a talajra, ennyi idı alatt egyástól táolságra kerültek. d ( + V ) t +,4 s s s 37, A tényleges ozgás a talajról néze 3. Az ábra szerint egy fél-kapón, l,6 hosszú, igen ékony fonálon függı asgolyót kitérítünk, ajd kezdısebesség nélkül elengedünk. Aikor a fonál függılegessé álik, elhagyja a kapót. A asgolyó ettıl a helyzettıl h,5 élyen leı szinten, ízszintes irányban d táolságban elhelyezett kosárlabda-hálóba esik. Mekkora szöggel térítettük ki a fonalat? 8 (Holics László)
Megoldás. Meg kell határozni a ízszintes hajítás kezdısebességét. Ez a ozgás ízszintes etületének izsgálatáal kezdıdik: ekkora állandó sebessége legyen a golyónak, hogy adott idı alatt eljusson a d táolságra leı kosárig. Ennek nagysága: d, t ahol t az az idı, aely alatt a függıleges ozgásetületben a golyó (függıleges kezdısebesség nélkül) h élységre süllyed: h,5 t.,5 s g s Ezzel a ízszintes hajítási kezdısebesség: d g d. s 4 h h,5 s g Ekkora sebességre kell szert tennie a asgolyónak, ait a kitérítés után kapott helyzeti energia nöekedésébıl szerez. Kitérítés utáni helyzeti energianöekedés: Eh gh. Innen a kitérítés során létrejöı eelkedés agassága: h d g d 4,8. g g h 4h 4,5 Miel a fonál hossza,6 olt (kétszerese a kapott eelkedésagasságnak), az ábra szerint is látható, hogy egyszabályos hároszög α 6 o -os szögének egfelelı kitérítés a egfelelı, aellyel a asgolyó a kosárba jut. l h h,8 (Paraéteresen: cosα,5,5, α arccos,5 6. ) l l,6 4. Vékony leezbıl az ábrán láthatóhoz hasonló, negyed- és félköríbıl összeillesztett pályát készítünk, ajd függıleges síkban rögzítjük. Az R sugarú í felsı égénél egy a felülethez illesztett apró testet kezdısebesség nélkül agára hagyunk, aely gyakorlatilag súrlódásentesen csúszhat a kényszerpályán. a) Mekkora legyen a R/r arány, hogy a test égighaladjon a kényszerpályán? b) A pálya aljától ére a kezdeti agasság hányad részéig jut a test, ha R/r? c) Milyen R/r arány esetén esik issza a test a kényszerpályára az O ponttal egy agasságban, iután égighaladt rajta? R O (Szkladányi András) Megoldás: a) A test akkor halad égig a pályán, ha indégig hat rá kényszererı, illete az legfeljebb a pálya égénél csökken nullára. Ekkor a nehézségi erı éppen elegendı a test körpályán tartásához: A echanikai energia egaradása iatt: 9 O r
A két egyenletbıl: A keresett arány: 5 b) R/r esetén is izsgáljuk azt a pillanatot, aikor a kényszererı egszőnik. Jelölje a test agasságát a pálya aljától h, sebességét. A echanikai energia egaradása iatt: R O A körozgás dinaikai feltétele (és hasonló hároszögek) alapján: Behelyettesítés után: Egyszerősíte és felhasznála a sugarak arányát: h-r O r G A keresett arány: 5 6 c) A pályától aló elálás után a test ízszintes hajítással ozog. Jelölje ennek kezdısebességét 3, a becsapódás helyét P. O Az idıt kiküszöböle: Az O O P hároszög derékszögő, ezért:. P R r O A két egyenletbıl: A echanikai energia egaradása iatt: Behelyettesítés után: Átalakítások után a keresett arány: R r 7. Ez az eredény teljesíti az a) pontban kapott R/r >,5 feltételt.