Maemaika
Maemaika Kocsis Imre ERC Kf Budapes, 3 Kocsis Imre, 3
Kézira lezárva: ISBN 978-963-9968-69- Kiadja a ERC Kereskedelmi és Szolgálaó Kf Szakkönyvkiadó Üzleága, az 795-ben alapío Magyar Könyvkiadók és Könyverjeszők Egyesülésének a agja A kiadásér felel: a kf igazgaója Felelős szerkesző: Lévai-Kanyó Judi Műszaki szerkesző: ERC Kf erjedelem: 6 szerzői ív
ARALOMJEGYZÉK ELŐSZÓ 9 LOGIKAI FÜGGVÉNYEK A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK SZEREPE A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK MEGADÁSA 3 NORMÁLFORMÁK 4 A LOGIKAI FÜGGVÉNYEK EGYSZERŰSÍÉSE 3 KOMPLEX SZÁMOK 8 A KOMPLEX SZÁMOK KÜLÖNFÉLE ALAKJAI, ELNEVEZÉSEK 8 ALAPMŰVELEEK, HAVÁNYOZÁS, GYÖKVONÁS 9 3 SZÁMOLÁS VÁLAKOZÓÁRAMÚ HÁLÓZAOKBAN 3 DIFFERENCIÁLÁS 7 3 LINEÁRIS FÜGGVÉNYEK 7 3DIFFERENCIÁLHÁNYADOS; DERIVÁL FÜGGVÉNY 8 33 VÁLOZÁSI GYORSASÁG 3 34 IRÁNY MENI DERIVÁL; PARCIÁLIS DERIVÁL 34 35 A ÉRGÖRBÉK GÖRBÜLEE ÉS ORZIÓJA 36 36 VEKORMEZŐK DIVERGENCIÁJA ÉS ROÁCIÓJA 38 37 PRIMIÍV FÜGGVÉNY; POENCIÁLFÜGGVÉNY 4 4 INEGRÁLÁS 44 4 INEGRÁLRA VEZEŐ PROBLÉMÁK 44 4 JORDAN MÉRÉK; HALMAZ FELOSZÁSA 47 43 INEGRÁLKÖZELÍŐ ÖSSZEGEK 48 44 SKALÁRÉRÉKŰ FÜGGVÉNYEK INEGRÁLJA 5 44 Az n ípusú függvények inegrálja 5 44 Az inegrál néhány alapveő ulajdonsága 5 443 ípusú függvények inegrálja 53 444 ípusú függvények inegrálja 54 445 3 ípusú függvények (skalármezők) inegrálja 54 446 Az inegrál kiszámíása polár és hengerkoordináákkal 54 45 IMPROPRIUS INEGRÁL 56 46 VEKORÉRÉKŰ ÉS KOMPLEX ÉRÉKŰ FÜGGVÉNYEK INEGRÁLÁSA 57 47 VEKORMEZŐK INEGRÁLÁSA 57 47 Erőér munkája; görbe meni inegrál 57 47 Felüle meni inegrál; fluxus 59 473 Kapcsolaok az inegrálok közö 6 48 AZ INEGRÁL KISZÁMÍÁSA 6 48 Newon Leibniz formula 6 48 Görbe meni inegrál kiszámíása poenciálos erekben 63 483 Numerikus inegrálás (közelíőmódszerek) 63 5 FOURIER ANALÍZIS 66 5 FOURIER SOROK 66 5 Hilber ér; a Fourier sor álalános fogalma 66 4
5 Exponenciális Fourier sorok 68 53 rigonomerikus Fourier sorok 68 5 INEGRÁLRANSZFORMÁCIÓK 76 53 FOURIER RANSZFORMÁCIÓ 77 53 Fourier inegrál; Fourier ranszformál 77 53 A Fourier ranszformáció néhány alapveő ulajdonsága 8 533 Megjegyzések a jelfeldolgozással kapcsolaban 8 6 LAPLACE RANSZFORMÁCIÓ; LINEÁRIS RENDSZEREK ELEMZÉSE 8 6 LAPLACE RANSZFORMÁCIÓ 8 6 A Laplace ranszformáció fogalma 8 6 A Laplace ranszformáció néhány ulajdonsága 84 6 LINEÁRIS RENDSZEREK 85 6 Lineáris rendszerek leírása az időarományban 85 6 A homogén lineáris konsansegyühaós differenciálegyenleek megoldáshalmaza 86 63 Az inhomogén lineáris konsansegyühaós differenciálegyenleek megoldáshalmaza 89 63 VIZSGÁLÓFÜGGVÉNYEK; SÚLYFÜGGVÉNY 9 64 A LAPLACE RANSZFORMÁCIÓ ALKALMAZÁSA A LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLAÁBAN 9 65 LINEÁRIS RENDSZEREK VIZSGÁLAA A FREKVENCIAAROMÁNYBAN 93 66 LINEÁRIS KEZDEIÉRÉK PROBLÉMÁK MEGOLDÁSA LAPLACE RANSZFORMÁCIÓVAL 94 FELHASZNÁL SZAKIRODALOM 97 5
ALKALMAZO JELÖLÉSEK Q [a,b] ]a,b[ M n k dea A i Re(z) Im(z) z ~ u ~ i v a ermészees számok halmaza az egész számok halmaza a racionális számok halmaza a valós számok halmaza a komplex számok halmaza zár inervallum nyíl inervallum az n k ípusú valós márixok halmaza az A márix deerminánsa az A márix ranszponálja képzees egység a z komplex szám valós része a z komplex szám képzees része a z komplex szám konjugálja komplex feszülség komplex áramerősség vekor a b skaláris szorza a, b skaláris szorza a b vekoriális szorza a bc vegyes szorza a b diadikus szorza, hossz, norma [] fizikai mérékegység (fizikai dimenzió) nabla operáor Laplace-operáor elsőrendű parciális derivál x xy másodrendű parciális derivál v grad div ro fˆ k FS FI F F - L{f} L - {f} f*g irány meni derivál gradiens divergencia roáció görbüle orzió mérék Fourier-együhaó Fourier-sor Fourier-inegrál Fourier-ranszformál inverz Fourier-ranszformál Laplace-ranszformál inverz Laplace-ranszformál konvolúció 6
() () H(s) w() v() egységugrásfüggvény Dirac-dela függvény ávieli függvény súlyfüggvény ámenei függvény 7
ÁBRÁK JEGYZÉKE ábra: Komplex számsík 8 ábra: Komplex számok összeadása 9 3 ábra: Komplex számok szorzása 9 4 ábra: Komplex feszülség- és áramfüggvények 5 ábra: Ellenállás, kondenzáor, ekercs impedanciája 3 3 ábra: Kísérő riéder, síkok 37 4 ábra: Erőér ado görbe meni munkája 58 4 ábra: Vekorér fluxusa 59 43 ábra: A Gauss Oszrogradszkij-éel mennyiségeinek szemléleése 6 44 ábra: A Sokes-éel mennyiségeinek szemléleése 6 5 ábra: Periodikus jel frekvenciaspekruma 69 cos k függvények, k 7 5 ábra: 53 ábra: sink függvények, k 7 54 ábra: Konvolúció 77 55 ábra: A Fourier-ranszformáció és az inverz Fourier-ranszformáció 78 56 ábra: A valós és a komplex spekrum összehasonlíása 8 6 ábra: A rugalmas mechanikai lengőrendszer modellje 87 6 ábra: ranziens rezgés kis és nagy csillapíás eseén 88 63 ábra: A Dirac-dela függvény származaása 9 64 ábra: Egységugrásfüggvény 9 65 ábra: Nykvis- és Bode-diagram 94 8
ELŐSZÓ A Léesíménymérnöki meserképzés Maemaika című árgyának okaásakor elsődleges feladaunknak az ekinjük, hogy rávilágísunk a műszaki árgyak ananyagának maemaikai vonakozásaira Ehhez (és a erjedelmi korlához) alkalmazkodva e jegyze felépíése rendhagyó, néhány émakör rövid összefoglalásá aralmazza kézikönyvszerűen Az érine émakörök számos maemaika ankönyvben és jegyzeben megjelennek, a szándék nem ezek szaporíása vol, hanem egy olyan ípusú feldolgozás, ami a műszaki aralomnak a maemaika okaásában való megjelenésére adha miná A szemlélemódo közel állónak érezzük a [] forráséhoz A Fourier-analízis, valamin a Laplace-ranszformáció, lineáris rendszerek c részeke az [] forrás leiszul gondolameneére és a [3] gazdag aralmára alapozuk A szöveg, jellege mia nem aralmaz éeles hivakozásoka 9
LOGIKAI FÜGGVÉNYEK A logikai függvények szerepe A digiális echnika eszközrendszeré meghaározza az a ény, hogy az adaok kéállapoú árolóelemekben (memóriacellákban) bináris formában vannak árolva Így a legbonyolulabb rendszerek állapoainak leírása és a legbonyolulabb manipulációk kódja is végeredményben bináris jelsoroza Ha analóg eszköz akarunk kezelni digiális rendszerrel, akkor a feldolgozáshoz az analóg jele digiálissá kell alakíani, a beavakozáshoz pedig vissza kell alakíani analóggá A digiális rendszerekben való problémamegoldás végső soron az jeleni, hogy a bemeneen megjelenő, a vizsgál rendszer állapoá leíró (véges hosszúságú) bináris jelsorozara a kimeneen, egy másik, a beavakozás kódoló (véges hosszúságú) bináris jelsorozao kell előállíani A digiális echnikában használ ké bináris jele a és az jelöli Ennek a számábrázolásban is haszna van, hiszen a kees számrendszerben is ez a ké jele használjuk Azoka a függvényeke, amelyek véges bináris jelsorozahoz véges bináris jelsorozao rendelnek, logikai függvényeknek nevezzük Az elnevezés onnan ered, hogy a bináris jelek kezelésére a maemaikai logika fogalmai, műveleei használjuk (ezek eredeileg az igaz-hamis logikai érékkel való számolásra szolgálak), függelenül aól, hogy a bináris jelek az ado eseben logikai éréke jelenenek-e A logikai függvények megadása A logikai függvények n n,} k {,} k {,} { ípusú függvények, ahol n és k poziív egész számok Egy {,} ípusú függvény előállíhaó k db {,} n {, } ípusú függvénnyel, min koordináafüggvénnyel A ovábbiakban ilyen {,} n {, } ípusú (n-válozós) függvényekkel foglalkozunk, amelyek egy n hosszúságú bináris jelsorozahoz egy bináris jele rendelnek Könnyen n beláhaó, hogy különböző n-válozós logikai függvény léezik: a leheséges bemeneek száma n, és az, hogy ezek közül melyekhez arozik kimene ennyi féleképpen lehe megadni (ennyi a részhalmazok száma)
Egyválozós logikai függvények 4 féle egyválozós logikai függvény léezik, ezek foglalja össze a ábláza: X X Az egyválozós logikai függvények közül a negáció (inverálás) függvény érdemes kiemelni, mely a bemene éréké -ról -re, -ről pedig -ra válozaja Ennek jelölése: X X Kéválozós logikai függvények 6 féle kéválozós logikai függvény léezik, ezeke foglalja össze a kövekező ábláza X Y XY (AND) X+Y (OR) X Y (NOR) X Y (NAND) A kéválozós logikai függvények közül a konjunkció (ÉS, AND, szorzás), a diszjunkció (VAGY, OR, összeadás) függvényeke, valamin ezek negáljai a NAND és a NOR függvényeke emelük ki, mivel ezek a függvények alapveő szerepe jászanak a logikai függvényekkel való számolásokban, illeve a logikai függvények fizikai megvalósíásában (a gyakorlaban elsősorban NAND, illeve NOR kapuka használnak) A logikai függvények megadásának a feniekben használ módjá igazságáblázanak nevezzük A gyakorlaban az jellemző, hogy a megoldandó probléma meghaározza a megvalósíandó logikai függvény érékei, vagyis az igazságáblázaá, ezuán kövekezik a formális leírás, majd az egyszerűsíés és végül a fizikai megvalósíás A keőnél öbb válozós logikai függvények eseén a fenieknek megfelelően kell az igazságáblázao elkészíeni Példa: Jól ismer felada a szavazógép logikai függvényének felírása Három szavazó van (A, B, C), akik igennel ( inpu) vagy nemmel ( inpu) szavaznak Az előerjeszés akkor fogadják el ( oupu), ha öbbségben vannak az igenek, különben elveik ( oupu) A szavazógép logikai függvénye: X Y Z f(x,y,z)
3 Normálformák Diszjunkív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a válozók és negáljaik konjunkcióinak diszjunkciója Például egy háromválozós logikai függvény diszjunkív normál formában: f(x, Y,Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z Az igazságáblázaból könnyen felírhaó a diszjunkív normálforma A feni szavazógép eseén például: X Y Z f(x,y,z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z f(x, Y,Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z A diszjunkív normálformában szereplő konjunkcióka minermeknek nevezzük Egy minerm egyérelműen azonosíhaó úgy, hogy megadjuk, mely válozók szerepelnek ponál, illeve negál formában Ha ez az és a jelekkel esszük, akkor a kód bináris számkén foghaó fel, és decimális alakban is kifejezheő A háromválozós példánkban: X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z bináris kód decimális megfelelő 3 5 6 7 3 3 3 3 a minerm jelölése m m m 3 5 6 m 7 A függvény jelölése: f m 3 3 m 3 5 m 3 6 m 3 7 3 (3,5,6,7) Konjunkív normálformáról beszélünk, ha a logikai függvény a válozók és negáljaik diszjunkcióinak konjunkciója Például egy háromválozós logikai függvény konjunkív normálformában: f(x, Y,Z) (X Y Z) (X Y Z) (X Y Z) (X Y Z) A konjunkív normálformában szereplő diszjunkcióka maxermeknek nevezzük Egy maxerm egyérelműen azonosíhaó úgy, hogy megadjuk, mely válozók szerepelnek ponál, illeve negál formában Ha ez az és a jelekkel esszük, akkor a kód bináris számkén foghaó fel, és decimális alakban is kifejezheő A háromválozós példánkban: X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z bináris kód decimális megfelelő 7 5 3 3 3 3 a minerm jelölése M M 7 5 M M A függvény jelölése: 3 3 3 3 f M M M M 5 7 3 (,,5,7)
4 A logikai függvények egyszerűsíése A negáció, konjunkció és diszjunkció függvényekre érvényesek a kövekező összefüggések (X, Y és Z bináris válozók, azaz X,Y,Z{,}): idempoencia kommuaiviás asszociaiviás diszribuiviás de Morgan-azonosságok elnyelési szabályok OR (+) AND () X X X X X X X X X X X X X Y Y X X Y Y X X (Y Z) (X Y) Z X (Y Z) (X Y) Z X Y Z (X Y) (X Z) X (Y Z) (X Y) (X Z) X X X X X X X Y X Y X Y X Y X X Y X X (X Y) X Az i felsorol azonosságok felhasználásával áalakíhaók (egyszerűsíheők) a negáció, konjunkció- és diszjunkció-függvényekkel felír bonyolulabb logikai függvények Példa: X Z Y Z X Y X Z (X X) Y Z X Y X Z X Y Z X Y Z X Y X Z ( Y) X Y (Z ) X Z X Y Az azonosságokkal való számolás igen körülményes, azér gyorsabb és áekinheőbb módszereke feljeszeek ki Ilyen eszköz az ún Karnaugh-ábla, amely lehe minermvagy maxerm-ábla A áblában annyi cella szerepel, amennyi minerm illeve maxerm képezheő (ez a válozók számáól függ) A áblában -e írunk azokba a cellákba, melyeknek megfelelő minerm, illeve maxerm szerepel a függvény előállíásában A Karnaugh-áblákban a válozók érékei az ún Grey kódnak megfelelő sorrenben kell szerepeleni Karnaugh-ábla kéválozós függvények eseén Minerm-ábla: X \ Y 3 Például az f(x, Y) X Y X Y X Y függvény minerm-áblája: X \ Y m m m 3 3
Karnaugh-ábla háromválozós függvények eseén Minerm-ábla: Például az f(x, Y,Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z X \ Y Z 3 4 5 7 6 3 3 3 3 m m m m 3 5 6 7 függvény minerm áblája: X \ YZ Karnaugh-ábla négyválozós függvények eseén Minerm-ábla: Például az XY \ ZV 3 4 5 7 6 3 5 4 8 9 f (X, Y,Z, V) 4 4 4 m3 m5 m3 X Y Z V X Y Z V X Y Z V függvény minerm áblája: XY \ ZV A Karnaugh-ábla jelenősége az, hogy segíségével grafikus egyszerűsíés lehe végrehajani a az alábbiak szerin: A áblában olyan -esekből álló, vízszinesen vagy függőlegesen összefüggő részeke (hurkoka) kell keresni, amelyek havány (,4,8, ) darab -es aralmaznak Egy huroknak úgy feleleünk meg formulá (konjunkció), hogy a ponál és negál formában egyarán szereplő válozóka elhagyjuk, a öbbi pedig a hurokban szereplő cellák álal meghaározo formában (ponál vagy negál) szerepelejük 3 Egy cella öbb hurokban is szerepelhe 4 A ábláza szemközi szélső cellái szomszédosak kell ekineni a hurkok képzésénél Leheséges hurkok kéválozós függvény eseén: X \ Y X \ Y X \ Y X \ Y X \ Y X Y Y X 4
Leheséges hurkok háromválozós függvény eseén: X\YZ X\YZ X\YZ Y Z Y Z Y Z X\YZ X\YZ X\YZ Y Z X Y X Z X\YZ X\YZ X\YZ X Y X Y X Z X\YZ X\YZ X\YZ X Y X Z X Z X\YZ X\YZ X\YZ Y Z Y X\YZ X\YZ X\YZ Z X X X\YZ Példa: Egyszerűsísük a szavazógép logikai függvényé! A függvény igazságáblázaa és előállíása diszjunkív normálformában: X Y Z f(x,y,z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z f(x, Y,Z) X Y Z X Y Z X Y Z X Y Z 5
A függvény minerm áblája és az egyszerűsíéshez használ hurkok: Y Z Az f függvény egyszerűsíe formája ez alapján: f (X, Y, Z) X Y X Z Y Z X Z X Y Négyválozós eseben a leheséges hurkok nagy száma mia nem rajzoljuk fel az összes esee, csak néhány jellegzees 4, illeve 8 cellás hurok alako XY\ZV XY\ZV XY\ZV Y V Y Z Y V XY\ZV XY\ZV XY\ZV V Z Y Példa Egyszerűsísük az f függvény, amelynek igazságáblázaa X Y Z V f(x,y,z,v) X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V f(x, Y,Z, V) X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V X Y Z V 6
7 A függvény minerm áblája és az egyszerűsíéshez használ hurkok: V Z X V Y X V Y X V Z Y Az f függvény egyszerűsíe formája ez alapján: V Y X V Y X V Z Y V Z X (X,Y,Z,V) f
KOMPLEX SZÁMOK A komplex számok különféle alakjai, elnevezések algebrai alak: a b i a,b rigonomerikus alak: r (cos i sin ) r,, r exponenciális alak: i e r r,, r A komplex számok ábrázolása, komplex számsík: : a komplex számok halmaza i: képzees egység a: valós rész (Re(z)) b: képzees rész (Im(z)) r: hossz, abszolú érék ( z ) : szög/argumenum (arg(z)) z : komplex konjugál Kapcsola a komplex szám jellemzői közö: ábra: Komplex számsík a r sin z r a b, b b r cos g a Megjegyzések: A képzees egysége sokszor j-vel jelölik A Számolás válakozóáramú hálózaokban című részben mi is ez esszük, hogy a képzees egység és az áramerősség jele ne egyezzen meg A z a b i komplex számo a z a b i komplex szám konjugáljának nevezzük 3 Bizonyos számolásokban z komplex számo azonosíják a komplex számsíkban az origóból a z-nek megfelelő ponba muaó vekorral E vekor koordináái a komplex szám valós és képzees része 8
4 Egy komplex számhoz a [,[ arományból egyérelműen hozzárendelheő szög A komplex számokkal való számolásokban gyakran adódnak más szögérékek is Ilyenkor ekineel a sin- és a cos-függvények szerini periodiciására a szöghöz hozzáadhaó a érék egész számszorosa (k, k), amivel megkaphaó a [,[ arományba arozó szögérék 5 Mivel a angens függvényperiódusa, azaz a [,[ inervallumon minden éréke készer vesz fel, önmagában a b/a hányados nem haározza meg egyérelműen a komplex szám szögé Alapműveleek, haványozás, gyökvonás Az összeadás és a kivonás az algebrai, a szorzás, oszás, haványozás és a gyökvonás a rigonomerikus és az exponenciális alakban végezheő el könnyebben Összeadás és kivonás b i a b i a a b b i a, b i a b i a a b b i a (E műveleek megfelelnek a vekorok összeadásának és kivonásának) z z z z (a a ) (b b) i z a b i z a b i z r (cos i sin) z r (cos i sin ) z z ábra: Komplex számok összeadása 3 ábra: Komplex számok szorzása Szorzás, oszás és poziív egész kievős haványozás (cos i sin ) r (cos i sin ) r r cos( ) i sin( ) ; r r (cos r (cos i sin ) i sin ) r r cos( ) i sin( ) ; n n r (cos i sin) r cos(n ) i sin(n ) (n poziív egész szám) Megjegyzés: ii=i =- Gyökvonás ekineel arra, hogy a szöge a egész számú öbbszörösével (k,k) megválozava ugyanaz a komplex számo kapjuk, könnyen beláhaó, hogy ado z komplex szám eseén a z n r (cos i sin ) egyenlenek (n poziív egész szám) n darab különböző megoldása van: azok a komplex számok, melyek hossza n r, szöge pedig a,,,, (n ) szögek valamelyike n n n n n n n 9
Így minden z komplex számnak n darab különböző n-edik gyöke van, melyek az origó középponú, n r sugarú körön, egy szabályos n-szög csúcsaiban helyezkednek el a komplex számsíkban: n r (cos i sin ) n r cos k i sin k, n n n n k,,,, n Komplex exponenciális függvény Az exponenciális alak a komplex exponenciális függvénnyel van felírva, amely az n z z e n n!, z haványsorral van definiálva Ha a z komplex válozó (kievő) helye az x valós válozó szerepel, akkor a valós x n exponenciális függvény kapjuk: e (x / n!), x iszán képzees kievő eseén n a függvényérékek komplexek, amelyekben (a képzees engely irányában) szerini periodikusság muakozik A periodikusság jól láhaó az e i cos i sin Eulerformulából, mely a iszán képzees kievőjű exponenciális és a valós szinusz- és koszinusz függvények közi összefüggés Érdekes a = eseén adódó e i összefüggés az alapveő maemaikai konsansok közö A szorzás, oszás és a poziív egész kievős haványozás exponenciális alakban: i i i i( ) r e r i( ) r e r e r r e, e, i r e r (n poziív egész szám) 3 Számolás válakozóáramú hálózaokban i n n i(n ) Az elekromosságanban feléelezzük, hogy az ún passzív áramköri elemekből (ohmos ellenállásból, kondenzáorból és ekercsből) álló rendszerek lineárisak, így eljesül a szuperpozíció elve A lineariás, valamin a Fourier-elméle alapján megállapíhaó, hogy a periodikus időfüggvényű feszülséggeneráorok (ill áramgeneráorok) felfoghaók harmonikus (szokásos szóhasználaal élve: szinuszos) időfüggvényű feszülséggeneráorok (ill áramgeneráorok) soros kapcsolásakén Ennek alapján a periodikusan gerjesze, csak passzív elemeke aralmazó áramkörök vizsgálaa a harmonikus gerjeszésű rendszerek elemzésén alapul Az elekromosságanból udjuk, hogy a passzív áramköri elemek feszülsége és árama színuszos gerjeszés eseén az alábbiak szerin függ össze (az egyszerűbb áekinheőség érdekében a feszülségfüggvény eseén nulla fázisszöge feléelezünk) r e r e
Ellenálláson (R) Feszülség u() U sin( ) U Áramerősség i() I sin( ) sin( ) R I U / R Fáziselolódás = Kondenzáoron (C) Feszülség u() U sin( ) Áramerősség Fáziselolódás i() I sin U C sin I U C, az áram 9 -kal sie a feszülséghez képes ekercsen (L) Feszülség u() U sin( ) Áramerősség fáziselolódás U i() I sin sin L I U /( L), az áram 9 -kal késik a feszülséghez képes A válakozóáramú hálózaokban végze számíások szemponjából fonos megjegyezni, hogy míg ohmos ellenállás eseén a feszülség és az áramerősség pillananyi érékeinek hányadosa bármely időpillanaban megegyezik az egyenáramú ellenállással R u() i() U, addig a kondenzáor és a ekercs eseén ez a hányados az I körfrekvencia függvénye, és nem hordoz közvelen fizikai jelenés Számolások egyszerűsíése vége a válakozóáramú hálózaokban a feszülsége és az áramerőssége komplex érékű függvényekkel írjuk le (az idő függvényében) E függvények hányadosa az időől függelen állandó, a komplex impedancia, vagy másképpen komplex válakozóáramú ellenállás A komplex függvények alkalmazásának egyik előnye, hogy az egyenáramú körökben használ összefüggések (pl a Kirchhoff-örvények) érvényben maradnak Az alábbiakban összefoglaljuk a számíásokban előforduló komplex érékű függvényeke és ezek összefüggései A feszülség idő függvény leírása komplex formában Ebben a részben a képzees egysége j, a mennyiségek komplex érékei ~ jelöli A feszülség időbeli válozásá leíró u() U sin( ) függvény az U j ( U) cos( ) j sin( ) U e ~ u() U U U u() Im ~ u() az ún komplex feszülségfüggvény képzees része:
Ahhoz, hogy a U fázisszög (konsans) és az időől függő ag szerepé megkülönbözessük, az exponenciális kifejezés szébonjuk: ~ j( ~ U) ju j j u() U e U e e U e Az ~ j U e U U komplex számo a feszülségfüggvény komplex ampliúdójának j nevezzük Mivel e U, a komplex ampliúdó nagysága megegyezik az U valós ampliúdóval (maximális feszülséggel), emelle aralmazza a U fázisszöge is Az áramerősséghez ugyanezen az elven rendelünk komplex függvény: az i() I sin( I) függvény szerin válozó áramerősséghez rendel komplex áramerősség-függvény: ~ i () I ) I I j( cos( ) j sin( ) I e I A valós áramerősség-függvény a komplex áramerősség-függvény képzees része: ~ j I i() Imi () Az áramerősség-függvény komplex ampliúdója: ~ I I e, ezzel ~ j ( ~ I) ji j j i () I e I e e I e A feniek alapján a komplex ampliúdó nagysága megegyezik az I valós ampliúdóval (maximális áramerősséggel), emelle aralmazza a fázisszöge is A komplex feszülség- és áramerősség-érékek a komplex számsíkban vekorokkén ábrázolhaók, amelyek harmonikus gerjeszés eseén szögsebességgel egyenlees körmozgás végeznek az origó körül A vekorok álal bezár szög a feszülség és az áramerősség fázisának elérése Im U U I ~ i () ~ u() Re I i() u() 4 ábra: Komplex feszülség- és áramfüggvények Impedancia Egy passzív áramköri elem impedanciája az elem komplex feszülség- és áramerősségampliúdójának hányadosa: U ~ U e U Z ~ j U ( ) ~ e j U I j I I I e I
Az impedancia ehá a feszülség és az áramerősség maximális érékéől, valamin a fázisszögek eléréséől függ A három áramköri elem eseén, a feniek alapján: Áramköri U elemek ~ U j( U I) I Z e I Ellenállás ~ j ZR R e R Kondenzáor ekercs ~ ZC ~ ZL C j e j L e C j XC j L j XL j U Z I R C L Megjegyzések A komplex impedancia ohmos ellenállás eseén poziív valós szám, kondenzáor és ekercs eseén iszán képzees (negaív, illeve poziív előjellel) Az ellenállás impedanciája nem függ az gerjeszési körfrekvenciáól, míg a kondenzáoré csökken, a ekercsé pedig növekszik az növekedével Emia különböző gerjeszési frekvenciákra egy ado áramkör másképpen reagál 3 A kondenzáor és a ekercs impedanciájának nagyságá lászólagos ellenállásnak is hívjuk A valós impedancia a komplex impedancia nagysága: U U U Z ~ j( U I ) j( U I ) Z e e I I I A komplex feszülség- és áramerősség-ampliúdókkal érvényes az Ohm örvény és a Kirchhoff-örvények: ~ ~ ~ Ohm-örvény: U I Z ~ ~ Csomóponi örvény: I n ~ ~ Hurokörvény: U n L képzees engely n n R Re ~ Z valós engely C L Im ~ z ~ Z C 5 ábra: Ellenállás, kondenzáor, ekercs impedanciája 3
Soros és párhuzamos kapcsolásnál a komplex impedanciákra érvényesek az egyenáramú ~ körökben is használ összefüggések Sorosan kapcsol, Z ~,, Z n impedanciájú elemek eredő impedanciája: Párhuzamosan kapcsol, ~ ~ ~ Zeredő,soros Z Zn ~ Z ~,, Z n impedanciájú elemek eredő impedanciájára: ~ ~ ~ Zeredő,párhuzamos Z Z n Ha a kapcsolás ellenállás melle kondenzáor és/vagy ekercse is aralmaz, akkor eredő impedancia valós és képzees rész egyarán aralmaz Az összeevőke a komplex számsíkban ábrázolva jól láhaó az egyes impedanciák haása az eredőre (5 ábra) Soros RC kapcsolás eseén például az alábbiak szerin alakulnak a függvények és összefüggések: Generáorfeszülség: valós feszülségfüggvény: () U sin( ); u g g j komplex feszülségfüggvény: u~ () U e ; komplex feszülségampliúdó: U ~ g U g Eredő impedancia: Z ~ Z ~ Z ~ RC R C R j C A körben folyó áram: ~ ~ U U komplex áramerőssé ampliúdó: ; Z ~ g g I RC R j C ~ U g valós áramerősség-ampliúdó: I I ; R C komplex áramerősség-függvény: ~ ~ j U g j U g j i () I e e R j e C R j C R C R C g g U g j j g j( ) j( ) R e e e I e C R U C ahol: g C, így, az áramerősség sie a generáorfeszülséghez R R C képes (kapaciív jellegű kapcsolás);, 4
valós áramfüggvény: ~ () Im i () Im I e j ( ) Im I cos( ) j sin( ) I sin( ) i Az áramköri elemek feszülsége ~ U komplex feszülségampliúdók: U ~ I Z ~ g R R R, R j C ~ U U ~ I Z ~ g C C j; R j C C U valós feszülségampliúdók: U ~ g U R R R I R, R C U C U ~ C R U g C I C X C ; komplex feszülségfüggvények: ~ ~ j ur () UR e R C U g j R e R j C U g R R R C R U C C j j e U g j R j g j( R ) j( R ) R R e e R e I R e C, ahol: g R Mivel R (lásd előbb a komplex áramerősség-függvény), az R C j ( ) ellenállás árama fázisban van az ellenállás feszülségével: ~ ur () I R e 5
6 j g j C C e j C j C R U e U ~ () u ~ j g j g e R j C C C R U e j C R j C C R U j j g e e R C C C R U C, e R I e C C R U ) ( j ) ( j g C C ahol: g g C R g C, azaz C, így a kondenzáor feszülsége 9 -kal késik az áramához képes: j C e R I () u ~ ; valós feszülségfüggvények: ) ( j R R e R Im I () u ~ Im () u ); sin( R I ) sin( j ) cos( R I Im j C C e R Im I () u ~ Im () u sin R I sin j cos R I Im
3 DIFFERENCIÁLÁS 3 Lineáris függvények A műszaki folyamaok leírásában fonos szerepe ölenek be a lineáris modellek, amelyekben egyes mennyiségek közö legalábbis egy bizonyos haárig lineáris kapcsolao feléelezünk A rugalmasságan lineáris elmélee például a feszülség és az alakválozás köz feléeleze lineáris kapcsolaon alapszik Ennek legegyszerűbb megnyilvánulása a lineáris rugókarakeriszika feléelezése A szabályozásechnika elmélee is a lineáris rendszerek viselkedésé árgyalja a szuperpozíció elvé alapul véve A lineáris modellek a lineáris függvény fogalmára épülnek Az X és Y lineáris erek közö haó f:xy függvény akkor nevezzük lineárisnak, ha bármely x,x X és bármely, eseén fennáll, hogy x x fx f f x A lineáris ér fogalma igen álalános, mi i a differenciálás kapcsán csak az, és 3 lineáris erek közö haó lineáris függvényekkel foglalkozunk A lineáris algebrából ismer, hogy az n k ípusú lineáris függvények és a (k n) ípusú márixok közö kölcsönösen egyérelmű megfeleleés léesíheő: az : n k lineáris függvényhez egyérelműen léezik egy olyan (k n) ípusú K márix, amelyre x K x, x n A későbbiekben árgyal eseekben felírjuk a lineáris függvényeke: X Y K k ( x) k x 3 k k k k3 ( x) k x 3 k k k k3 ( x) k x k k k3 3 3 K k k k3 ( x) K x k3 k3 k33 7
Megjegyzések: Az ípusú x k x lineáris függvény grafikonja az origón ámenő, k meredekségű egyenes (a síkban) Az 3 ípusú x k x lineáris függvény grafikonja az origón ámenő, k irányvekorú egyenes (a érben) 3 Egy 3 ípusú lineáris függvény egy rögzíe k vekorral képze x k x k x k x k3 x3 skaláris szorza formájában áll elő 4 Geomeriai viszonyok, mozgások leírásában fonosak az n n ípusú lineáris függvényeke, melyeke az n ér lineáris ranszformációinak is nevezzük: az ípusú lineáris függvények síkbeli, az 3 3 ípusú lineáris függvények érbeli lineáris ranszformációk 5 A mechanikában a (síkbeli, illeve érbeli) feszülségi és az alakválozási állapo szinén, illeve 3 3 ípusú lineáris függvényekkel, más szóval enzorokkal írhaó le Ezek a enzorok álalában különböző fizikai dimenziójú mennyiségeke kapcsolnak össze A feszülségenzor például irányhoz rendel feszülségvekor: ( n) n, ado bázisban: x x y xy z xz yx y yz zx n x zy ny z nz Az 3 3 ípusú lineáris függvények (enzorok) invariánsai A lineáris algebrából ismer, hogy különböző bázisokban (koordináa-rendszerekben) a ér elemeinek (vekorainak) különbözők a koordináái, és ezzel együ a ér lineáris ranszformációinak márixa is más I nem érünk ki arra a kérdésre, hogy a koordináarendszer megválozaása hogyan ha egy lineáris ranszformáció márixára, de az megjegyezzük, hogy a lineáris függvényekhez aroznak koordináa-rendszeről függelen skalár- illeve vekorérékek, amelyek a lineáris függvények különböző bázisbeli márixaiból számíva ugyanaz az éréke adják Ezek az érékek olyan fizikai mennyiségekkel vannak összefüggésben, melyek nem köődnek koordináa-rendszerhez, például forrásosság, örvényesség az erőerek, illeve az áramlási erek eseén 3Differenciálhányados; derivál függvény Egy f függvényről álalában akkor mondjuk, hogy differenciálhaó az érelmezési arományának egy x belső ponjában, ha a bemene x x x és a kimene f f(x) f(x) megválozása közöi kapcsola jól közelíheő a x egy lineáris függvényével: f ( x) (Inervallumon i az f függvény érelmezési arományának megfelelő n dimenziós inervallumo érünk, ami n darab nyíl inervallum Descaresszorzaakén definiálunk) A jól közelíés az f hibaagra vonakozó köveelmény: a hibaagnak elegendően gyorsan kell arania nullához, midőn x ar a nullához Legyen X, illeve Y az,, 3 halmazok valamelyike, IX nyíl inervallum, f:iy Az f:iy függvényről akkor mondjuk, hogy differenciálhaó az x I helyen, ha van olyan :XY lineáris függvény, amelyre h( x) f f(x x) f(x) ( x) h( x), x G és lim, x x ahol G valamely origó középponú nyíl gömb 8
Az f:iy függvény x I helyhez köődő lineáris közelíésén az érjük, hogy f f(x x) f(x) ( x), x G, vagyis az, hogy a függvénynek a bemene x megválozásához arozó f válozásá a definícióban szereplő lineáris függvény válozásával közelíjük Az (x) éréke szokás a x -hez arozó differenciálnak nevezni A lineáris közelíés gyakran az f (x) L(x) f (x ) (x x ), x G x formában írjuk, ahol G x valamely x középponú nyíl gömb I L:XY elsőfokú függvény (polinom), így ez a formá ponosabb elsőfokú közelíésnek nevezni Az lineáris függvény az X és Y halmazok dimenziókól függően meghaározó k számo, k vekor, illeve K márixo az f függvény x helyhez arozó differenciálhányadosának nevezzük A feni fogalmak és ezek jelölése a árgyal függvényípusok eseén: ípusú függvények (f:i, x I ) lineáris függvény differenciálhányados ( x) k x, k k a differenciálhányados jelölése df k f(x ) vagy k (x) dx differenciál x f(x ) x lineáris közelíés f f(x x) f(x) f(x ) x f(x) L(x) f(x) f(x ) (x x) Megjegyzés: Az L függvény grafikonja az f függvény grafikonjának érinőegyenese az ( x, f(x)) ponban 3 ípusú függvények ( r :I 3, I) lineáris függvény ( ) k, k 3 differenciálhányados r( ) 3 k a differenciálhányados jelölése r( ) differenciál k r( ) lineáris közelíés r r( ) r() k r() L() r() r( ) ( ) 9
Megjegyzések: A L függvény az r() függvény elsőfokú függvénnyel való közelíése a helyen Az L függvény grafikonja az r függvény grafikonjának érinőegyenese az r() ponban, ennek irányvekora a ponbeli differenciálhányados vekor Az 3 ípusú függvények a geomeriában elsősorban a érgörbékhez, a mechanikában elsősorban a mozgás pályájához köődnek A érgörbék 3 ípusú függvénnyel való előállíásánál a válozó álalában -vel jelöljük, és paraméernek nevezzük A mozgások vizsgálaánál a hely és az idő kapcsolaá 3 ípusú függvénnyel adjuk meg, ovábbá a mozgás jellemző sebesség és gyorsulás időől való függése is ilyen ípusú függvény A válozó (az idő) ebben az eseben is -vel jelöljük A differenciálhányados mindké émakörben vessző helye ponal szokás jelölni 3 Analóg módon érelmezheő bármely n poziív egész eseén az n ípusú függvények differenciálhaósága A síkbeli problémák vizsgálaához az ípusú függvényekre vonakozó megfelelő formulák szükségesek 3 ípusú függvények (skalármezők) (f:i, r I ) lineáris függvény ( r) k r, k 3 differenciálhányados k 3 a differenciálhányados jelölése k grad f vagy k f vagy k differenciál r grad fr r lineáris közelíés f fr fr grad fr r r Lr fr grad fr r r r f Megjegyzések: Analóg módon érelmezheő bármely n poziív egész eseén az n ípusú függvények differenciálhaósága Egy n ípusú függvény gradiense egy n -beli vekor Egy 3 skalármező gradiensfüggvénye egy 3 3 vekormező 3 A ranszporfolyamaok leírásában nagy jelenősége van a gradiens fogalmának: egy inenzív mennyiség inhomogeniása a megfelelő exenzív (legöbbször skalár) mennyiség áramá okozza, az inhomogeniás méréke pedig a gradienssel adhaó meg Ha egy exenzív mennyiség áramsűrűsége (egységnyi felülere vonakozao árama, ami irányfüggő) j, a megfelelő inenzív mennyiség y (legöbbször skalármező), akkor r j L grad y r, ahol: L az (egységnyi hosszúságra vonakozao) vezeési ényező (Sokszor röviden csak annyi írnak, hogy j L grad y ) Néhány példa: df dr r 3
Exenzív mennyiség Inenzív mennyiség Vezeési ényező elekromos áram, I elekromos poenciál, U vezeőképesség, =/ hő, Q hőmérsékle, hővezeési ényező, érfoga, I V nyomás, p szivárgási ényező, A ömeg, I m sűrűség, diffúziós ényező, D 3 3 ípusú függvények (vekormezők) ( v :I 3, r I) lineáris függvény: differenciálhányados: ( r) K r, K M 33 K M 33 a differenciálhányados jelölése: v (r ) K dv K r dr vagy differenciál: r v r r lineáris közelíés: v vr vr vr r r Lr vr vr r v Derivál függvény A differenciálhaóság ponbeli jellemző, de inervallumra is kierjeszheő Ha az f:iy függvény az I inervallum minden ponjában differenciálhaó, akkor az mondjuk, hogy az f függvény differenciálhaó az I inervallumon Az inervallum ponjaihoz a ponbeli differenciálhányados rendelő függvény derivál függvénynek nevezzük Egy függvény folyonosan differenciálhaónak nevezünk, ha a derivál függvénye folyonos 33 Válozási gyorsaság A műszaki folyamaok leírása során használ függvények mennyiségek kapcsolaá (függésé) fejezik ki (A szemléleesség kedvéér az érelmezési aromány, illeve az érékkészle elemei néhol a függvény bemenei, illeve kimenei érékeinek fogjuk hívni) Alapveő kérdés, hogy egy mennyiség megválozása egy másik mennyiségben milyen válozás idéz elő, vagyis hogyan függ össze a ké megválozás Erre a kérdésre a (pillananyi) válozási gyorsaság ad válasz Lineáris kapcsola eseén a válozási gyorsaság állandó, megegyezik a lineáris függvény (a ípusól függően) meghaározó számmal, vekorral vagy márixszal, és könnyen kifejezheő a bemene és a kimene megválozásából (az ípusú függvények eseén például egyszerű oszással) Ha a kapcsola nem lineáris, akkor a válozási gyorsaság pillananyi érékéről beszélheünk, ami a differenciálhaó függvények eseén a függvény az ado helyen jól közelíő lineáris függvény meghaározó adaa, vagyis a függvény differenciálhányadosa Leggyakrabban az időre vagy a helyre vonakozajuk a válozás gyorsaságá, számos alapveő fizikai mennyiség válozási gyorsaságo fejez ki A kövekező ábláza néhány példá mua erre: 3
Mennyiség pályakoordináa (s, [m]) pályasebesség helyvekor ( r, [m]) sebességvekor Válozási gyorsaság az időre vonakozava pályasebesség m v, pályagyorsulás s sebességvekor m v, gyorsulás vekor s rendszer álal leado/felve energia (E, [J]) ado kereszmeszeen ááramlo ölésmennyiség (Q, [C]) hőmérsékle (, [ C]) Mennyiség elekromos poenciál (U, [V]) eljesímény áramerősség m v, s m a, s m v, s m a, s J P, W s C I, s A Válozási gyorsaság a helyre vonakozava hőmérséklei gradiens elekromos érerősség C, m V E, m A pillananyi válozási gyorsaság és a differenciálhányados kapcsolaa könnyebben megérheő a differenciálhányados fogalmának a differenciahányados függvényen alapuló (a feniekben bemuaoal ekvivalens) bevezeésével A differenciálhaóság ekvivalens megfogalmazása ípusú függvényekre Az f:i függvény ponosan akkor differenciálhaó az x I helyen, ha a f(x x) f(x ) lim x x haárérék léezik és véges (valós szám) Ekkor a haárérék megegyezik az f(x x) f(x ) f(x ) differenciálhányadossal A x függvény az f függvény x x helyen ve differenciahányados-függvényének nevezzük f A műszaki elméle leírásakor a differenciálhányadosra gyakran a rövid lim x x formulával ualnak, aminek csak akkor van érelme, ha udjuk, hogy a differenciák mely ponra vonakoznak f(x x) f(x ) A differenciahányados-függvény éréke az x, f(x) és az x x x, f(x x) függvényponokra illeszkedő szelő, az f (x) differenciálhányados pedig az x, f(x) ponbeli érinő (vagy úgy is fogalmazhaunk, hogy a függvény) 3
f(x x) f(x ) meredekségé adja Így a lim formula szemlélees geomeriai x x jelenése: differenciálhaó függvény ado ponbeli meredeksége egyenlő a ponra illeszkedő szelők meredekségének haárérékével, miközben x Ez összhangban van azzal a képpel, hogy az érinő egyenes a szelők haárhelyzeének ekinhejük A differenciahányados függvényhez az álagos válozási gyorsaság fogalma kapcsolhaó: f f(x x) f(x ) az f és az x mennyiségek viszonyában a érék (a x válozáshoz x x f(x x) f(x ) f arozó) álagos válozási gyorsaságo, a lim lim f(x ) x x x x haárérék pedig az x helyen ve pillananyi válozási gyorsaságo fejezi ki Példakén ekinsük egy vezeő ado kereszmeszeén áfoly ölésmennyiség időfüggésé leíró Q(), [ A, B ] függvénykapcsolao Az áfoly ölésmennyiség álagos válozási gyorsaságá (álagos áramerőssége) valamely [, ] időinervallumban Q Q( a ) Q( ) érék adja Így, ha [ A, B ] egy rögzíe időpillana, akkor a Q( ) Q( ) Q differenciahányados-függvény éréke az álagos áramerőssége adja a [, +] (illeve < eseén a [ +, ]) időinervallumban Ha pedig a Q() függvény differenciálhaó a helyen, akkor a Q( ) Q( ) Q lim lim Q( ) I( ) haárérék (differenciálhányados) a időpillanaban ve pillananyi áramerősség Hasonló gondolamene fogalmazhaó meg minden, válozási gyorsaságo kifejező mennyiség eseén, amennyiben skalármennyiségek kapcsolaá vizsgáljuk A korábban emlíe válozási gyorsaságokra vonakozó összefüggések összefoglalva: ds s( ) s( ) s pillananyi sebesség: v( ) s( ) ( ) lim lim ; d pillananyi gyorsulás: pillananyi eljesímény: pillananyi áramerősség: dv v( ) v( ) v a( ) v( ) ( ) lim lim ; d de E( ) E( ) E P( ) E( ) ( ) lim lim ; d dq Q( ) Q( ) Q I( ) Q( ) ( ) lim lim ; d ahol: s pályakoordináa; v pályasebesség; a pályagyorsulás; E energia; P eljesímény; Q ölésmennyiség; I áramerősség A differenciálhaóság ekvivalens megfogalmazása 3 ípusú függvényekre Az r :I 3 függvény ponosan akkor differenciálhaó a I helyen, ha a r( ) r( ) lim 33
haárérék léezik és véges ( 3 -beli vekor) Ekkor a haárérék megegyezik az r () r( ) r( ) differenciálhányadossal A függvény az f függvény x helyen ve differenciahányados függvényének nevezzük r A differenciálhányadosra gyakran a rövid lim formulával ualnak, aminek csak akkor van érelme, ha udjuk, hogy a differenciák mely ponra vonakoznak r( ) r( ) A differenciahányados-függvény éréke a,r() és a,r( ) függvényponokra illeszkedő egyenes, az r () differenciálhányados pedig a,r() ponbeli érinő egyenes irányvekora A differenciahányados-függvényhez, illeve a differenciálhányadoshoz i is az álagos, illeve a pillananyi válozási gyorsaság fogalma kapcsolhaó Példakén ekinsük egy mozgó pon helyének időfüggésé leíró r(), [ A, B ] függvénykapcsolao, a mozgás pályájá A hely álagos válozási gyorsaságá (az álagsebessége) valamely [, ] időinervallumban ( helyileg a pályának az r( ) és r( ) ponok közi ívén) a r r() r() érék adja Legyen [ A, B ] egy rögzíe r( ) r( ) r időpillana Ekkor az differenciahányados függvény éréke az álagos sebessége adja a [, +] (illeve < eseén a [ +, ]) időinervallumban Ha pedig a r() függvény differenciálhaó a helyen, akkor a r( ) r( ) r lim lim r( ) v() haárérék (differenciálhányados) a időpillanaban ve pillananyi sebesség 34 Irány meni derivál; parciális derivál A öbbválozós függvények differenciálszámíása az ún parciális deriválak segíségével örénik A parciális deriválak egyválozós függvények deriváljai, amelyek úgy állnak elő, hogy a öbbválozós függvény válozói egy kivéelével rögzíjük Ha például az (x,y,z)f(x,y,z) háromválozós függvény x és y válozójá valamely x, illeve y éréken rögzíjük, akkor egy zf(x,y,z) egyválozós függvény kapunk Ha ez a függvény differenciáljuk valamely z helyen, akkor a kapo differenciálhányados az eredei háromválozós függvény z válozó szerini parciális differenciálhányadosá kapjuk az (x,y,z ) helyen Az alábbiakban először bevezejük az irány meni derivál fogalmá, ennek speciális eseekén állnak elő a parciális deriválak Irány meni derivál Legyen I 3 (háromdimenziós) nyíl inervallum Ha az f:i függvény differenciálhaó az r I helyen, v 3 egy rögzíe vekor és e v a v irányú egységvekor, akkor a vf r grad fr ev éréke az r f(r) függvény r helyen, v 3 irányban ve irány meni differenciálhányadosának vagy irány meni deriváljának nevezzük 34
Ha a v vekor speciálisan 3 ermészees bázisának egy eleme (bázisvekor), akkor az irány meni differenciálhányados parciális differenciálhányadosnak nevezzük Parciális derivál Ha az f:i függvény differenciálhaó az r I helyen, és e i az i-edik bázisvekor az 3 ermészees bázisában (i{,,3}), akkor a (r ) irány meni differenciálhányados az r f(r) függvény r helyen ve, i-edik válozó szerini parciális differenciálhányadosának (vagy parciális deriváljának) nevezzük A parciális deriválaka öbbféleképpen szokás jelölni Az r f(r) függvény r helyen ve i-edik válozó (x i ) szerini parciális deriváljának leggyakoribb jelölései: f if(r ), x i f(r ), f(r ), (r ) xi xi Ha nem áll fenn a félreérés veszélye, használhajuk az f i (r ), illeve az f x i (r ) jelöléseke is Parciális derivál függvény Ha az f:i függvény differenciálhaó az I inervallumon, akkor az r if(r) függvény az r f(r) függvény i-edik válozó szerini parciális derivál függvényének nevezzük e i f A gradiens és a parciális deriválak kapcsolaa A parciális deriválaka definiáló (i=,,3) formulából if(r ) e f(r ) grad f(r ) ei könnyen láhaó, hogy a parciális deriválak valójában a gradiens vekorkoordináái Így a gradiensvekor a grad f ( f, f, 3f) alakban is írhajuk Az alábbiakban megadjuk az irány meni és a parciális deriválak definíciójá az irány meni differenciálhányados fogalmának felhasználása nélkül, és egyben rávilágíunk e fogalmak jelenésére Szűkísük le az f függvény az érelmezési arománynak egy r, ]-, [ egydimenziós részhalmazára, és ekinsük a f i ev r e v egyválozós függvény A vf(r ) iránymeni differenciálhányados megegyezik ennek a függvénynek a = helyen ve differenciálhányadosával: f r ev fr vf r lim Az irány meni differenciálhányados az fejezi ki, hogy az ado ponból ado irányban kimozdulva milyen gyorsan válozik a függvény éréke A gradiens geomeriai jelenése Igazolhaó, hogy az irány meni differenciálhányados éréke akkor maximális, ha v a grad f(r ) -lal egyirányú Ez úgy is megfogalmazhajuk, hogy a gradiensvekor az az irány muaja az érelmezési aromány egy ado helyén, amely irányban kimozdulva a leggyorsabb a függvény növekedése A koordináaengellyel párhuzamos irányokban speciálisan a parciális differenciálhányadosok adják a válozás gyorsaságá 35
Parciális differenciálhányados r e fr f i if r lim, i =,, 3 A feniekkel összhangban ez az egyválozós fr e i differenciálhányadosa Egy x, y, z fx, y, z,,y,z I, y,z I x függvény = helyen ve x függvény parciális deriváljai az helyen felírhaók a kövekezőképpen is (i rendre =x,y,z): f(x f(x, y,z ) f(x, y,z ) lim x x x, y,z) f(x,y x,z) ; f(x,y y,z) f(x,y,z) f(x,y,z) yf(x,y,z) lim ; y y f(x, y, z z) f(x, y, z ) f(x, y, z ) f(x, y, z ) lim 3 z z z 35 A érgörbék görbülee és orziója A kövekezőkben áekinünk néhány fogalma, amely a érgörbék differenciálással való vizsgálaához köődnek Kísérő riéder Legyen r :I készer differenciálhaó függvény és I együk fel, hogy r () r( ) (vagyis hogy az r ( ) és r ( ) derivál vekorok egyike sem nulla és nem is párhuzamosak) A r() függvény kísérő rédere a I helyen az egységnyi hosszúságú, egymásra páronkén merőleges vekorokból álló ( ), n( ),b( ) vekorrendszer, ahol r( ) e(), r( ) r( ) r( ) b( ) r( ) r(, n() b( ) e() ) e Az e( ) vekor az r () differenciálhányados-vekorral megegyező irányú, egységnyi hosszúságú vekor, neve: érinő egységvekor A b( ) vekor az r () és az r ( ) derivál vekorok álal kifeszíe sík (simulósík) egységnyi hosszúságú normálvekora, neve: binormális egységvekor Az n( ) vekor az e( ) és a b( ) vekorok vekoriális szorzaa, neve: főnormális egységvekor Az e, n és b vekorok ebben a sorrendben jobbsodrású rendszer alkonak 36
A riéder vekorai álal kifeszíe síkok: Az e és az n vekorok síkja: simulósík (S) Ebben a síkban van a simulókör és a görbülei középpon b R (a simulókör középponja) A simuló síknak b N normálvekora Az n és a b vekorok síkja: normális sík (N) A normális síknak e S normálvekora Az e és a b vekorok síkja: rekifikáló sík (R) A rekifikáló síknak n n normálvekora e Egy készer differenciálhaó érgörbe minden ponjához arozik érinő egységvekor 3 ábra: Kísérő riéder, síkok Egyenes eseén az érinő egységvekor minden ponban ugyanaz: az egyenes irányvekora Ha a görbe elér az egyenesől, akkor a görbén haladva az érinő egységvekor elfordul Az elfordulás gyorsaságá a görbüle éréke muaja Ha r( ) és r( ) az r :I görbe ké különböző ponja, s az r( ) és az r( ) görbeponok közi ívhossz, az r ( ) r ( ) szögelfordulása), akkor a s hányados, ahol a [, ] inervallumra vonakozó álagos görbülenek nevezzük A görbüle éréke a görbe egy rögzíe ponjában az álagos görbüle fogalmának felhasználásával haárérékkén adódik, a kövekezők szerin Görbüle Legyen r :I készer differenciálhaó függvény, I rögzíe, I, s az r( ) és az r () vekorok álal meghaározo görbeponok közi ívhossz, az e( ) és az e () vekorok szöge Ekkor a lim haáréréke (ha léezik és véges) a r() görbe s s r( ) ponbeli görbüleének nevezzük A görbüle éréke az muaja meg, hogy a görbén haladva mennyi az érinővekor szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonakozava Fizikai dimenziója [ rad / m] A görbüle kiszámíhaó az alábbi képleel: egy készer differenciálhaó r :I függvény görbülee a I helyen ( r () eseben): r( ) r() () 3 r( ) Kimuahaó, hogy a görbüle éréke függelen a görbe paraméerezéséől, vagyis aól, hogy a görbé milyen képleel állíjuk elő Az egyenes görbülee nulla Ahol a görbüle nem nulla, o a görbüle nagyságának reciproká görbülei sugárnak nevezzük: R() ( ) Anyagi pon mozgásának vizsgálaakor a pálya ponjaihoz arozó kísérő riéder vekorai az ún ermészees koordináa-rendszer bázisvekorai A ermészees koordináarendszernek fonos szerepe van a mozgásani összefüggések levezeésében A pillananyi sebesség irányá az érinő egységvekor muaja (Fenebb láuk, hogy a derivál vekor mozgás eseén a sebességvekor) A mozgás a pálya minden ponjában (minden 37
időpillanaban) felfoghaó egy olyan körmozgáskén, ami egy, a simuló síkban fekvő, a görbülei sugárral egyenlő sugarú körön (a simulókörön) örénik A kör középponja a normális egységvekor min irányvekor álal meghaározo, a vizsgál görbeponon ámenő egyenesen van, a pálya homorú oldalán Így egy álalános mozgás pillananyi jellemzőinek kapcsolaá a körmozgásnál ismer összefüggésekkel lehe leírni Egy készer differenciálhaó érgörbe minden olyan ponjához ahol r és r nem nulla és nem párhuzamos vekor arozik kísérő riéder A görbén haladva a riéder vekorai elfordulhanak Ha a érgörbe háromszor differenciálhaó, akkor a binormális egységvekor (vagyis a simulósík) elfordulásnak gyorsaságá a orzió éréke muaja Egy háromszor differenciálhaó érgörbe ponosan akkor síkgörbe, ha a orziója nulla orzió Legyen r :I háromszor differenciálhaó függvény, I rögzíe, I, s az r( ) és az r () vekorok álal meghaározo görbeponok közi ívhossz, a b( ) és a b () vekorok (előjeles) szöge Ekkor a lim s s görbe r( ) ponbeli orziójának nevezzük haáréréke (ha léezik és véges) a r() A orzió éréke az muaja meg, hogy a görbén haladva mennyi a binormális egységvekor (a simulósík) szögelfordulása (radiánban mérve) egységnyi ívhosszra vonakozava Fizikai dimenziója [ rad /m] A orzió kiszámíhaó az alábbi képleel: egy háromszor differenciálhaó r :I függvény orziója a I helyen: r( )r( )r( ) () r( ) r( ) (A számlálóban a három vekor vegyes szorzaa szerepel) 36 Vekormezők divergenciája és roációja A vekormezők differenciálással való vizsgálaának alapja a korábban érelmeze differenciálhányados-enzor, amelynek márixa a három koordináafüggvény parciális deriváljai aralmazza Könnyen beláhaó, hogy a differenciálhányados-márix elemei függenek a koordináa-rendszer megválaszásáól Ahogyan az a lineáris függvények árgyalásakor már megemlíeük, a enzorhoz aroznak a koordináa-rendszer megválaszásáól függelen skalár-, illeve vekorérékek (invariánsok), amelyek a bázisól függelen fizikai mennyiségekkel vannak kapcsolaban Erőerek, áramlási erek derivál enzorához köődően ké invariáns emlíünk meg A divergencia a vekormező forrásosságá muaja Folyadék áramlásá vizsgálva ado érrészben a sebességmező divergenciája o különbözik nulláól, ahol nyelő vagy forrás van (anyag lép be az áramlási érbe, vagy ávozik onnan) Elekromos érben az elekromos érerősségmező divergenciája o különbözik nulláól, ahol ölés van Mágneses érben a mágneses érerősségmező divergenciája nulla, mer mágneses ölés nem léezik Úgy is szokunk fogalmazni, hogy az elekromos ér forrásos, míg a mágneses ér nem 38
Divergencia A v :I differenciálhaó vekormező r I helyen ve divergenciája: div v A divergencia a r r v r v r v x x y y z z r r yvx r zvx r r yvy r zvy r r v r v r xvx v xvy differenciálhányados-márix xvz y z z z főálójában lévő elemek összege, skalármennyiség A divergencia szerepe a ranszporegyenleekben Valamely exenzív mennyiségre vonakozó (r, ) q(r, ) div j(r, ) egyenlee, ahol: a vizsgál exenzív mennyiségre vonakozóan a érfogai sűrűség; j a felülei áramsűrűség; q a forrássűrűség, álalános koninuiási (vagy ranszpor) egyenlenek nevezzük (Ez röviden úgy szokák írni, hogy q div j ) Az álalános ranszpor-egyenle alkalmas bármely (helyől és időől függő) exenzív mennyiség válozásának leírására, az egyenle megoldásával a mennyiség eloszlása az idő függvényében meghaározhaó Ha például az exenzív mennyiség a ömeg [ kg], akkor az egyenleben szereplő mennyiségek fizikai dimenziója a kövekező: a érfogai sűrűségé kg, a felülei 3 m kg kg áramsűrűségé, a forrássűrűségé s m 3 s m A koninuiási egyenle div j agja azzal függ össze, hogy egy hely infiniezimális környezeéből van-e kiáramlás (vagy oda beáramlás) Ennek ponos megfogalmazásához szükséges a vekormező felüle meni inegráljának fogalma Legyen F az r helye a belsejében aralmazó zár felüle, amelynek érfogaa V Az j da felüle meni inegrál éréke a érrészből kiáramló (negaív érék eseén F beáramló) exenzív mennyiség éréké adja másodpercenkén Az inegrál éréké oszva V érfogaal a kiáramlás gyorsaságának érfogaegységre juó éréké kapjuk A érrész az r ponra zsugoríva juunk a ponbeli divergenciához, ami lokális jellemző: div j r F lim V r V Ez a formula összefügg a Gauss Oszrogradszkij-éellel, amely szerin a feni mennyiségek közö fennáll, hogy j da div j dv F V Példák: Ha folyadék áramlásá vizsgáljuk, akkor r jr a felülei ömegáramsűrűség-függvény Ha F zár felüle az áramlási érben, akkor az j d A felülemeni inegrálérék a ér- j da V F 39
részből kiáramló (negaív érék eseén beáramló) folyadék ömegé adja másodpercenkén Ha a hő kondukív erjedésé vizsgáljuk, akkor r jr a felülei hőáramsűrűségfüggvény Ha F zár felüle, akkor az j d A felüle meni inegrálérék a érrészből F kiáramló (negaív érék eseén beáramló) hő adja másodpercenkén (vagyis a hőeljesímény) Az előjelől függően hűl, illeve melegszik a érrész Ha az elekromos vezeés vizsgáljuk, akkor r jr a felülei elekromos ölésáramsűrűség-függvény Ha F zár felüle, akkor az j d A felüle meni inegrál éréke a F érrészből kiáramló (negaív érék eseén beáramló) ölésmennyisége adja másodpercenkén (vagyis az áramerőssége) A j felülei áramsűrűség származha a megfelelő inenzív mennyiség inhomogeniásából (erre előbb öbb példá is adunk a gradiens fogalmához kapcsolódóan) és a közeg mozgásából Az előbbi eseben kondukív (vezeéses), az uóbbi eseben konvekív áramról beszélünk Képleel: j v L grad y, ahol_ v a konvekív áramsűrűség; v a közeg áramlási sebessége; L grad y kondukív (vezeéses) áramsűrűség; L a vezeési ényező A konvekív ag az áramlási sebességgel, a kondukív ag az exenzív mennyiség gradiensével arányos A koninuiási egyenle a konvekív és a kondukív áramsűrűség figyelembevéelével: q div v L grad y Példakén ekinsük a hővezeés álalános egyenleé (a hőmérsékle-eloszlás leíró egyenle) szilárd es eseén (ekkor nem kell számolunk a közeg mozgásával, azaz v ): a q, c ahol: az a együhaó a hőmérsékle-vezeési ényező; az ún Laplace-operáor: div grad xx x yy y zz z (A hővezeés álalános egyenlee az álalános koninuiási egyenleből vezeheő le) Az álalános hővezeési egyenle egyszerűbb formá öl, ha ovábbi feléelezéseke eszünk: ha a es hőforrásmenes (q=), akkor a Fourier-egyenlee kapjuk: a, ha a hőmérséklemező időben állandó (sacioner), akkor a Poisson-egyenlee kapjuk: q, ha a es hőforrásmenes és a hőmérséklemező időben állandó, akkor a Laplaceegyenlee kapjuk: Fonos példa a diffúzió (ömegáramlás) Amennyiben nincs ömegforrás, a koninuiási egyenleből kiindulva a Fick-egyenle kapjuk: D div grad vagy D, ahol: D a diffúziós ényező Érdemes összehasonlíani a Fourier-és a Fick-egyenle, amiből kiderül, hogy a hővezeés és a diffúzió hasonló jelenségek, az egyenleük maemaikailag megegyezik 4