Néhány szó a mátrixokról

Hasonló dokumentumok
Vektoralgebra. Ebben a részben a vektorokat aláhúzással jelöljük

Vektorok. Vektoron irányított szakaszt értünk.

Vektortér fogalma vektortér lineáris tér x, y x, y x, y, z x, y x + y) y; 7.)

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes 1. Források, ajánlott irodalom:

2010/2011 es tanév II. féléves tematika

Matematika A1a Analízis

2014/2015-ös tanév II. féléves tematika

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Budapesti Műszaki Főiskola, Neumann János Informatikai Kar. Vektorok. Fodor János

Vektoranalízis Vektor értékű függvények

Vektorok (folytatás)

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

1. MECHANIKA-SZILÁRDSÁGTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. Ts; Tarnai Gábor mérnöktanár.) Matematikai összefoglaló, kiinduló feladatok

Vektoralgebra előadás fóliák. Elméleti anyag tételek, definíciók, bizonyítás vázlatok. Bércesné Novák Ágnes. Források, ajánlott irodalom:

Matematika (mesterképzés)

Vektorok. Wettl Ferenc október 20. Wettl Ferenc Vektorok október / 36

1. MECHANIKA-MOZGÁSTAN GYAKORLAT (kidolgozta: Szüle Veronika, egy. ts.) Matematikai összefoglaló

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Heves Megyei Középiskolák Palotás József és Kertész Andor Matematikai Emlékversenye évfolyam (a feladatok megoldása)

Vektorgeometria (1) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Lineáris algebra LI 1. Lineáris algebra. A diákon megjelenő szövegek és képek csak a szerző (Kocsis Imre, DE MFK) engedélyével használhatók fel!

Absztrakt vektorterek

1. Generátorrendszer. Házi feladat (fizikából tudjuk) Ha v és w nem párhuzamos síkvektorok, akkor generátorrendszert alkotnak a sík vektorainak

LINEÁRIS ALGEBRA. matematika alapszak. Euklideszi terek. SZTE Bolyai Intézet, őszi félév. Euklideszi terek LINEÁRIS ALGEBRA 1 / 40

Vektorok összeadása, kivonása, szorzás számmal, koordináták

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Gyakorló feladatok I.

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

Lineáris algebra mérnököknek

Valasek Gábor

Lineáris algebra zárthelyi dolgozat javítókulcs, Informatika I márc.11. A csoport

1. feladat Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: 3. x log3 2

FELVÉTELI VIZSGA, július 15.

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

I. Vektorok. Adott A (2; 5) és B ( - 3; 4) pontok. (ld. ábra) A két pont által meghatározott vektor:

Lineáris algebra mérnököknek

Vektorok és koordinátageometria

17. előadás: Vektorok a térben

2. MECHANIKA-STATIKA GYAKORLAT (kidolgozta: Triesz Péter, egy. ts.; Tarnai Gábor, mérnök tanár) Erők eredője, fölbontása

2. gyakorlat. A polárkoordináta-rendszer

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok II.

Számítógépes Grafika mintafeladatok

A közönséges geometriai tér vektorai. 1. Alapfogalmak

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

1. Transzformációk mátrixa

Hatványozás és négyzetgyök. Másodfokú egyenletek

IX. A TRIGONOMETRIA ALKALMAZÁSA A GEOMETRIÁBAN

Gyakorló feladatsor 11. osztály

Bevezetés az algebrába 1

Egyenes és sík. Wettl Ferenc szeptember 29. Wettl Ferenc () Egyenes és sík szeptember / 15

Az egyenes és a sík analitikus geometriája

Kvadratikus alakok és euklideszi terek (előadásvázlat, október 5.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

Algebrai struktúrák, mátrixok

λ 1 u 1 + λ 2 v 1 + λ 3 w 1 = 0 λ 1 u 2 + λ 2 v 2 + λ 3 w 2 = 0 λ 1 u 3 + λ 2 v 3 + λ 3 w 3 = 0

1. feladatsor: Vektorterek, lineáris kombináció, mátrixok, determináns (megoldás)

Gyökvonás. Hatvány, gyök, logaritmus áttekintés

Összeállította: dr. Leitold Adrien egyetemi docens

Lineáris algebra mérnököknek

Kinematika: A mechanikának az a része, amely a testek mozgását vizsgálja a kiváltó okok (erők) tanulmányozása nélkül.

Matematika III előadás

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Vektorok I.

V. Koordinátageometria

Kinematika szeptember Vonatkoztatási rendszerek, koordinátarendszerek

Skaláris szorzat: a b cos, ahol α a két vektor által bezárt szög.

Nagy András. Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály 2010.

6. előadás. Vektoriális szorzás Vegyesszorzat

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

I. VEKTOROK, MÁTRIXOK

Mátrixok 2017 Mátrixok

a b a leghosszabb. A lapátlók által meghatározott háromszögben ezzel szemben lesz a

Hajder Levente 2017/2018. II. félév

Testek. 16. Legyen z = 3 + 4i, w = 3 + i. Végezzük el az alábbi. a) (2 4), Z 5, b) (1, 0, 0, 1, 1) (1, 1, 1, 1, 0), Z 5 2.

Óra A tanítási óra anyaga Ismeretek, kulcsfogalmak/fogalmak 1. Év eleji szervezési feladatok 2.

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

O ( 0, 0, 0 ) A ( 4, 0, 0 ) B ( 4, 3, 0 ) C ( 0, 3, 0 ) D ( 4, 0, 5 ) E ( 4, 3, 5 ) F ( 0, 3, 5 ) G ( 0, 0, 5 )

1. Szabadvektorok és analitikus geometria

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Térbeli transzformációk, a tér leképezése síkra

Analitikus térgeometria

1. Az euklideszi terek geometriája

l.ch TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS DIFFERENCIÁLHATÓSÁGA

1. Végezd el a kijelölt mûveleteket a betûk helyére írt számokkal! Húzd alá azokat a mûveleteket,

Matematika I. Vektorok, egyenesek, síkok

1. Mit jelent az, hogy egy W R n részhalmaz altér?

= Y y 0. = Z z 0. u 1. = Z z 1 z 2 z 1. = Y y 1 y 2 y 1

Vektoralgebra feladatlap 2018 január 20.

5. előadás. Skaláris szorzás

f (ξ i ) (x i x i 1 )

Differenciálgeometria feladatok

2. Gauss elimináció. 2.1 Oldjuk meg Gauss-Jordan eliminációval a következő egyenletrendszert:

Keresztmetszet másodrendű nyomatékainak meghatározása

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

KIDOLGOZÁSA - INFORMATIKAI MATEMATIKA SZAK -

Átírás:

VE 1 Az Néhány szó mátrixokról A : 11 1 m1 1 : m......... 1n n : mn tábláztot, hol ij H (i1,,m, j1,,n) H elemeiből képzett m n típusú vlós mátrixnk nevezzük. Továbbá zt mondjuk, hogy A-nk m sor és n oszlop vn, és hogy ij z A i-deik soránk j-edik eleme.

VE Az n n típusú mátrixokt n-edrendű kvdrtikus (négyzetes) mátrixoknk nevezzük. Minden kvdrtikus mátrixhoz hozzárendelünk egy vlós számot, mátrix determinánsát. Definíció: másodrendű mátrixok determináns det 11 1 1 11 1 1 Péld: 6 4 det 6 7 4 3 3 7 30

VE 3 Definíció: hrmdrendű mátrix determináns (első sor szerinti kifejtéssel) det 0 5 4 3 1 1 1 3 det 1 1 0 4 det 5 1 0 1 det 5 3 1 - - - - (-7) - 4 (-5) (- 1) (-15) 1

VE 4 R 3, három dimenziós euklideszi tér Vektorlgebr R 3 R R R { (,b,c),b,c R } Ebben részben z R 3 elmeit könnyebb áttekinthetőség érdekében láhúzássl jelöljük

VE 5 Definíció: műveletek R 3 -bn Összedás H ( 1,, 3 ) és b (b 1,b,b 3 ), kkor b ( 1 b 1, b, 3 b 3 ) Szorzás számml H ( 1,, 3 ) és t R, kkor t ( t 1, t, t 3 )

VE 6 Skláris szorzás H ( 1,, 3 ), b (b 1,b,b 3 ), kkor Péld: <, b > b 1 b 1 b 3 b 3 H (,5,-1), b (4,-3,7), kkor: b 4 5 (-3) (-1) 7-14 Definíció: merőlegesség és b merőlegesek, h b 0

VE 7 Péld: Az (,1,-1) és b (4,-3,5) vektorok merőlegesek, mert b 4 1 (-3) (-1) 5 0 Definíció: vektor hossz (normáj) Az ( 1,, 3 ) vektor hossz (normáj): 1 3

A vektor geometrii foglm Szbdvektorok Az irányított szkszok hlmzán z eltolás, mint ekvivlenci reláció, áltl generált osztályok VE 8 Helyzetvektorok helyzetvektorok pontok

VE 9 Vektor jellemzői: hossz (ngyság): irány helyzetvektor esetén: vontkozttási pont helye A hossz tuljdonsági: Speciális vektorok: 0 ( 0 0 ) λ λ b b nullvektor: 0 egységvektor: v 1

VE 10 Műveletek geometrii értelemben vett vektorokkl Definíció: összedás Az összedás tuljdonsági: b b ( b c ) ( b ) c 0 ( - ) 0

VE 11 Definíció: szorzás számml A számml vló szorzás tuljdonsági: t ( s ) ( t s ) 1 ( t s ) t s t ( b ) t t b

VE 1 Definíció: lineáris kombináció Az 1,,, n vektoroknk t 1, t,, t n számokkl képzett lineáris kombinációj vektor. t 1 1 t t n n

VE 13 Definíció: skláris szorzás b b cosα Egy fiziki péld: W F r cosα F r Megjegyzés: és b pontosn kkor merőlegesek, h b 0

VE 14 Megjegyzés: A koordinátrendszer és koordinát foglmánk bevezetésekor kiderül, hogy z R 3 hlmz zonosíthtó geometrii vektorokkl, továbbá hogy z előzőekben definiált vektorműveletek vektoroknk egy dott derékszögű koordinátrendszerbeli koordinátáit tekintve egybeesnek z R 3 -beli műveletekkel.

VE 15 Vektoriális szorzás Az és b vektorok vektoriális szorztán zt z b-vel jelölt vektort értjük, melyre b b sinα b b (, b, b) jobbsodrású rendszer

VE 16 Egy fiziki péld: F q (v B) Vegyes szorzás bc ( b c )

VE 17 A vektoriális szorzás tuljdonsági Tétel: b - (b ) ( b) c c b c ( t ) b t ( b) Az és b vektorok pontosn kkor párhuzmosk, h b 0

VE 18 Definíció: derékszögű koordinátrendszer H z i, j, k egységvektorok páronként merőlegesek ebben sorrendben jobbsodrású rendszert lkotnk O tér egy rögzített pontj kkor z (O, i, j, k ) négyest derékszögű koordinátrendszernek nevezzük.

VE 19 Elnevezések: i, j, k : bázisvektorok { i, j, k } : bázis (ortonormált vektorrendszer) O : koordinátrendszer kezdőpontj

VE 0 Tétel: Minden v vektor egyértelműen előállíthtó z i, j, k bázisvektorok lineáris kombinációjként: v v 1 i v j v 3 k Definíció: koordináták A v 1, v, v 3 vektor nevezzük. számokt v koordinátáink

VE 1 Megjegyzés: Egy vektor koordinátái különböző koordinátrendszerekben különbözőek! A koordinátrendszer megválsztás befolyásolhtj számítások bonyolultságát:

VE Definíció: pont koordinátái Egy pont koordinátáink pontb muttó helyzetvektor koordinátáit nevezzük. P (v 1, v, v 3 ) H dott egy koordinátrendszer, kkor R 3 és geometrii tér pontji (vektori) között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. Ennek lpján geometrii problémák R 3 beli számításokkl megoldhtók ( vektorok koordinátáivl kell számolni )

VE 3 Megjegyzés: Skláris szorzás lklmzási A skláris szorzás b b cosα definíciój vektoroknk egy dott derékszögű koordinátrendszerbeli koordinátáit tekintve egybeesik z R 3 -beli skláris szorzássl: h ( 1,, 3 ), b (b 1,b,b 3 ), kkor b 1 b 1 b 3 b 3

VE 4 Vektorlgebr Vektorok szögének kiszámítás 3 1 3 1 3 3 1 1 b b b b b b b b cos α Péld: z (,-4,5) és b (3,1,) vektorok szöge: 0.48 14 45 1 1 3 5 4) ( 5 1 4) ( 3 b b cos α α 68

VE 5 A koordináttengelyre eső merőleges vetület Vetületek hossz ( koordináták ): v 1 v i, v v j, v 3 v k Vetületvektorok: v 1 v 1 i (v i) i v v j (v j) j v 3 v 3 k (v k) k v (v i) i (v j) j (v k) k

VE 6 Tetszőleges (irányvektorávl megdott) egyenesre eső merőleges vetület A v vetületének hossz z vl párhuzmos egyenesre vontkozón: d v 0 Vetületvektor: d (v 0 ) 0 Ahol 0 1 z 0 vektorrl egyirányú egységvektor.

VE 7 Tétel: vektoriális szorzt kiszámítás koordinátákkl H ( 1,, 3 ), b (b 1,b,b 3 ), kkor b ( b 3-3 b, - 1 b 3 3 b 1, 1 b - b 1 ) Könnyebben megjegyezhető formábn: Emlékeztető: i b det b 1 1 b j k b 3 3 b b sinα b b (, b, b) jobbsodrású rendszer

VE 8 Vektorlgebr Péld: Az (4,5,-1) és b (,3,6) vektorok vektoriális szorzt: 6,) (33, k j 6 i 33 k 3 5 4 det j 6 1 4 det i 6 3 1 5 det 6 3 1 5 4 k j i det b

VE 9 A vektoriális szorzás geometrii lklmzás: háromszög területe Péld: A (1,3,0) B (5,8,-1) C (3,6,6) T b Ekkor (4,5,-1), b (,3,6), így b (33,-6,), T b 1 33 ( 6) 1 1769 1

VE 30 A vegyes szorzt kiszámítás koordinátákkl bc det b c 1 1 1 b c b c 3 3 3 Emlékeztető: bc ( b c )

A vegyes szorzás geometrii lklmzás: tetréder térfogt VE 31 Péld: A (1,3,0) B (5,8,-1) C (3,6,6) D (-4,-3,0) V bc 6 Ekkor (4,5,-1), b (,3,6), c (-5,-6,0), 4 5 1 bc 9 bc det 3 6 9 V 1, 5 5 6 0 6 6

Egyenes előállítás R R 3 függvénnyel VE 3 Az r 0 helyzetvektor áltl meghtározott ponton átmenő, v irányvektorú egyenest állítj elő következő függvény: r(t) r 0 t v, t R Megjegyzés: A t prméterértékek és z egyenes pontji között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést jelent fenti függvénykpcsolt.

VE 33 Legyen r ( x, y, z ), r 0 ( x 0, y 0, z 0 ), v ( v 1, v, v 3 ). Ekkor fenti vektorfüggvény koordinátákr bontv (z egyenes prméteres egyenletrendszere): x(t) x 0 v 1 t y(t) y 0 v t, t R z(t) z 0 v 3 t r 0 v

VE 34 Péld: r 0 (,5,3 ), v ( 4,-3,1 ). Ekkor z egyenes: x(t) 4 t y(t) 5 3 t, t R z(t) 3 1 t Az egyenes néhány pontj és hozzá trtozó prméterérték: t 1 0 P 1 (,5,3) t P (10,-1,5) t 3-1 P 3 (-,8,)

Sík előállítás R R 3 függvénnyel VE 35 Az r 0 helyzetvektor áltl meghtározott ponton átmenő, z u és v vektorokkl párhuzmos síkot állítj elő következő függvény: r(t,s) r 0 t u s v, (t,s) R

VE 36 Legyen r (x,y,z), r 0 (x 0,y 0,z 0 ), u (u 1,u,u 3 ), v (v 1,v,v 3 ). Ekkor fenti vektorfüggvény koordinátákr bontv: x(t,s) x 0 u 1 t v 1 s y(t,s) y 0 u t v s, t,s R z(t,s) z 0 u 3 t v 3 s r 0 u v

VE 37 Péld: r 0 (,5,3), u (4,-3,1), v (1,,7). Ekkor sík: x(t,s) 4 t 1 s y(t,s) 5 3 t s, t,s R z(t,s) 3 1 t 7 s A sík néhány pontj és hozzá trtozó prméterérték: (t 1,s 1 ) (0,0) P 1 (,5,3) (t,s ) (1,) P (8,6,18) (t 3,s 3 ) (-1,1) P 3 (-1,10,9)

VE 38 Sík normálvektoros előállítás Az r 0 helyzetvektor áltl meghtározott ponton átmenő, z n normálvektorú sík egyenlete: r -r 0, n 0

VE 39 Legyen r (x,y,z), r 0 (x 0,y 0,z 0 ), n (A,B,C) Ekkor fenti egyenlet: r -r 0, n 0 (x,y,z) - (x 0, y 0, z 0 ), (A,B,C) 0 (x-x 0, y-y 0, z-z 0 ), (A,B,C) 0 A (x-x 0 ) B (y-y 0 ) C (z-z 0 ) 0 A x B y C z (-A x 0 -B y 0 -C z 0 ) 0 A x B y C z D 0

VE 40 A (x-x 0 ) B (y-y 0 ) C (z-z 0 ) 0 formul sík áltlános egyenlete. A változók együtthtói sík egy normálvektoránk koordinátái. Az áltlános egyenletet elosztv n(a,b,c) normálvektor hosszávl sík normál egyenletét kpjuk: (x-x 0 ) b (y-y 0 ) c (z-z 0 ) 0 hol c A A A B C B C C b A B B C C d A D B