Fuzzy endszere és Genetus lgortmuso Előadás vázlat előadás Felhasznált Irodalom: Összeállította: armat István Ph.D., egyetem adjuntus ózsa Pál: neárs algebra és alalmazása. Budapest, 99.
[] Sajátérté-eladat megoldása transzormácóval Cél: Valós elemű mátrxo sajátérté-eladatána megoldása általános esetben Kulcsszerep: essenberg-éle mátrx. (Csöen a számítás gény, ha lyen alaon végezzü -t) [De.] essenberg matrx. Egy mátrxot essenberg éle mátrxna nevezün, ha az j +, j,, K, n (n a matrx mérete) egyenlőtlenséggel jellemzett ndexpár által meghatározott eleme nullá: F M 3, n, n 3, n M n, n n n 3n M nn z eljárás lépése:. transzormácó bemutatása ényege: Egy adott ( ) mátrxot ortogonáls transzormácó (F-) sorozatával első háromszögmátrxra (FM) transzormálun, amelyne őátlójában megjelenne a sajátértée. Megmutatju, hogy a essenberg matrx alaja a transzormácóra nvaráns.. ranszormácó essenberg alara. Eljárást adun arra, hogy bármely matrx egy alsó háromszögmátrxszal végzett hasonlóság F-val első essenberg éle alara hozható. 3. essenberg-éle mátrxra alalmazva transzormácót, terácós módszert apun sajátétée meghatározására. (alalmas eltolás transzormácóval a onvergenca sebessége növelhető) 4. Sajátvetoro meghatározása reurzív éplettel és a. pontban szereplő alsó háromszögmátrx (M) segítségével.
[].. transzormácó []... elbontás étel.. Bármely valós mátrx elírható alaban, ahol ortogonáls mátrx, pedg FM. Bzonyítás. Elöször bebzonyítju, hogy létez olyan Sortogonáls mátrx, hogy S első oszlopána őátló alatt eleme nullá. entsü elöször a övetező ortogonáls mátrxot: S n cosϑn M snϑn snϑ M cosϑ n n (Ez egy síbel orgatás) egyen a, snϑ an π tgϑ (a a, aor ϑ a n n : cosϑn n ) Szorzással belátható, hogy egyenletét adja.) M S n szorzat első oszlopána utolsó eleme, (mvel épp tgϑ n n
j asonlóan, az eredményül apott ( m elemeből álló) mátrx első oszlopána. sora s nullázható S cosϑ snϑ snϑ cosϑ m tg ϑ π (a m, aor ϑ m ) eurzívan olytatva eljutun M mátrxg, amelyne első oszlopa a őátló alatt zérus: M SS3 Sn ahol S SS3 Sn ortogonáls z eljárás lépéset a másod oszlop dagonáls alatt eleme nullázására alalmazva szntén egy ortogonáls mátrxot apun: S S S S, így az M 3 4 n S S mátrxna már első és másod oszlopában s a dagonáls eleme alatt nullá szerepelne. ( S mátrxszal való szorzás nem rontja el az első oszlopban már meglévő nulláat)
Általánosan, az n n S j j + S j cosϑ j snϑ j snϑ cosϑ j j rtogonáls transzormácóal végzett szorzat első háromszög mátrxot ad, és az mátrx n n j + S szorzója egy ortogonáls mátrx. zaz j (.E.D.)
[]... transzormácó előállítása Képezzü a övetező mátrxsorozatot: : Szorozzu meg a omponenseet ordított sorrendben: } Képezzü az elbontását: Megsmételve az eljárást,,, K(/6-) z és (/6-) elírást behelyettesítve (/6-) egyenletbe: z összes mátrx hasonló, tehát sajátértée megegyezne. egyen P (FM) és (/6-3) N (ortogonáls) (/6-4) Ezeet alalmazva a (/6-) reurzív összeüggéssel együtt: + N N P P. (/6-5)
(/6-), (/6-), (/6-4) alapján: ( ) ( ) ( ) P N (/7) z hatvány tehát az ortogonáls és első háromszög matrx szorzatára bontható! N P [De] transzormácó. z matrx (/6-) szernt reurzós atorzácó-sorozata az matrx transzormácója K,,
[]..3. transzormácó mátrxsorozatána onvergencája étel. a az matrx transzormácójával meghatározott mátrxsorozat onvergens, aor anna határértée első háromszögmátrx. Bzonyítás: eltétel alapján az mátrxsorozat onvergens létez N N lm + (/6-4) lm + N + N + lm N N + I (Konvergenca esetén nagy -ra N egyre evesebbet változ) Másrészt (/6-5) és (/6-) alapján: + N N + + N + + + +N N N + N + N lm + lm N + N lm + lm + + ( / 8) Vagys, ha onvergens, aor határértée valóban FM..E.D. Követezmény.. Mvel mátrxo hasonlóa az sorozat határértéeént adodó őátlójána eleme az matrx sajátértée. FM
étel.3 essenberg éle mátrxo alaja -transzormácóval szemben nvaráns. Bzonyítás: egyen F egy első essenberg-éle mátrx, amelyre a transzormácó: F F. z FM. Egy FM ( ) nverze s FM ( adj / det, FM adjungáltjában a dagonáls alatt elemehez tartozó mnormátrxo dagonáls elemeben lesz nulla, gy nullát ad azon a helyen az nvez s.) - F azaz mvel FM, így j. oszlopa az F mátrx első j oszlopána lneárs ombnácója s essenberg mátrx. (/9-B) 4443 4 4443 4 4443 4 F
transzormácó alapján: F Mvel az FM és essenberg mátrx (/9-B), az mátrx. sora a mátrx F n,,, K + sorána lneárs ombnácója essenberg mátrx F F essenberg mátrxo alaja a transzormácóra nvaráns. 4 4 4443 4443 4 4443 F.E.D.
[].. ranszormácó essenberg alara lgortmus: z n -edrendű mátrxot alalmas Z alsó háromszögmátrxszal végzett hasonlóság transzormácóval hozun első essenberg alara:. Kndulás: etszőleges z vetor (Megjegyzés: z,,, ndulás jelentősen csöent az gényelt számítás apactást. ) ( ) K. Képezzü: z : z z hol értéét abból a eltételből határozzu meg, hogy z első eleme legyen. 3. z eljárást olytatva: z+ : z z z z (/-) ahol (,, K, ) együttható megválasztása úgy történ, hogy z + első eleme legyen [ ] Z z matrx alsó háromszögmátrx. z n (/-) ala elírható mátrxormában: Z ZF z z z M Z F M M zn zn z M nn zaz F első essenberg mátrx alaú! 3 3 n, n n n n, n M nn
4. essenberg ala előállítása: F Z Z [].3. essenberg-éle mátrx sajátértéene meghatározása transzormácóval.3. étel alapján a essenberg éle matrx sajátértée a transzormácóra nvaráns. z mátrxot essenberg alara hozzu []. ejezet alapján. lalmazzu a [].. ejezetben smertet ett transzormácót (mátrxsorozatot) 3 ( n nagyságrendű műveletgény helyett csa n ell essenberg alanál) mátrxsorozat egy FM-hez tart (Követezmény..), amne dagonáls eleme adjá a sajátértéet. Konvergenca sebessége: ( ), λ λ ( ) hol, a mátrxsorozat előállításában a. essenberg mátrx λ az. sajátérté. onvergenca nem elég nagy, ha ét sajátérté özött nncs nagy ülönbség. Kon vergenca gyorsítása: helyett si mátrxszal dolgozun, amne a sajátértée λ s számo leszne és a onvergenca sebességére jelemző λ s λ s csöenthető alalmas s választással.
[].4. essenberg-éle mátrx sajátvetorana meghatározása Sajátvetor: v Sajátvetoro meghatározása: ( I F) v λ algebra egyenletet ell megoldan. Megjegyzés: essenberg ala az egyenlet megoldásához szüséges számításoat csöent, így előnyösen használható.
[SVD] Szngulárs érté szernt elbontás (SVD) [De.] Szngulárs értée. a az omplex elemű, (,, K, n) jelöl a poztív szemdent matrx sajátértéet, aor a σ σ σ r > σ r+ σ n számoat a szngulárs értéene nevezzü. n -edrendű és r -edrangú négyzetes matrx és σ étel SVD.. egyen tetszőleges m n típusú omplex elemű mátrx, és tegyü el, hogy m n. Eor létez olyan m -edrendű U és n -edrendű V mátrx, hogy UDV (SVD/4-) hol UU I (U untér mátrx) VV I (V untér mátrx) D σ σ n σ σ σ n σ,,, K, n számo az mátrx szngulárs értée, V az mátrx modálmátrxa mátrx modálmátrxa, U pedg az Bzonyítás:
Jelölje az n -edrendű poztív szemdent mátrx modálmátrxát V (sajátérté-sajátvetorelbontásból jön, megoldáshoz: ), vagys: V V ~ D hol D ~ a nemnegatív szngulárs értéeből alotott mátrx ~ D σ σ n egyen F : V. or: ~ F F D am dagonáls, vagys (SVD/5-) ha ρ ( ) r n σ és ;,, K, n ha ρ ( ) r < n F mátrx r +, K, n oszlopvetora zérusvetor. Képezzü az U [ u ] r u r σ untér vetorendszert és egészítsü az [, ] u, K, r (SVD/5-) u K,u m teljes untér vetorrendszerré ( U r U r I r és I n U mátrxot hermetus dádora elbontva I U U WW ahol W oszlopa adjá a hányzó vetoroat) n r r r U r egyen U [ u ] u m (SVD/5-),(SVD/5-) U U E F V UD UDV
Végül megmutatju, hogy U oszlopvetora az sajátvetora. z (SVD/4-)-ből: VD U ~ D U U azaz u σ u Vagys U oszlopvetora valóban az sajátvetora..e.d. Követezmény SVD.: UDV v σ u u σ v
[MPI] Moore-Penrose éle nverz (pszeudo nverz) étel MPI.. a az r -edrangú pszeudonverz előállítható m n ( m n ) típusú mátrx SVD elbontása UDV, aor az + + VD + U laban, ahol D + σ σ r ( m n típusú) Mert teljesül: +. + +. + + + 3. ( ) + + 4. ( )