MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Sorozatok A szürkített hátterű feladatrészek em tartozak az éritett témakörhöz, azoba szolgálhatak fotos iformációval az éritett feladatrészek megoldásához! 1) Egy mértai sorozat első tagja 8, háyadosa 0,5. Számítsa ki a sorozat ötödik tagját! ( pot) 4 4 1 8 0,5 5 a q a 1 ( pot) ) Egy számtai sorozat második tagja 17, harmadik tagja 1. a) Mekkora az első 150 tag összege? (5 pot) Kiszámoltuk ebbe a sorozatba az első 111 tag összegét: 5 863. b) Igaz-e, hogy 5 863 számjegyeit tetszőleges sorredbe felírva midig hárommal osztható számot kapuk? (Válaszát idokolja!) (3 pot) c) Gábor olya sorredbe írja fel 5 863 számjegyeit, hogy a kapott szám éggyel osztható legye. Milye számjegy állhat a tízes helyiértéke? (Válaszát idokolja!) (4 pot) a) a 17 a d 1 d 4 a1 13 és a150 a1 149d 609 S 150 150 13 609 150 a 1 a d 3 1 S 46650 b) Alkalmazzuk a hárommal való oszthatóság szabályát. 5863 számjegyeiek összege 4, így osztható 3-mal. Tetszőleges sorred eseté az összeg em változik, tehát az állítás igaz. c) Alkalmazzuk a éggyel való oszthatóság szabályát. Ebbe az esetbe ez akkor teljesül, ha az utolsó két számjegy: 8; 3; 36; 5; 56; 68. ( pot) A tízes helyiértéke tehát ; 3; 5; vagy 6 állhat. Összese: 1 pot
3) Egy kultúrpalota szíházterméek a ézőtere szimmetrikus trapéz alaprajzú, a széksorok a szípadtól távolodva rövidülek. A leghátsó sorba 0 szék va, és mide megelőző sorba -vel több, mit a mögötte lévőbe. 500 diák és 10 kísérő taár pot megtöltik a ézőteret. Háy széksor va a ézőtére? (1 pot) Legye a széksorok száma:. A sorokba levő székek száma egy egymást követő elemeit adja. a1 0 d differeciájú számtai sorozat Az -edik (első) sorba a 0 ( 1) szék va. Az összes helyre az S a 510 0 0 1 38 100 0 15 és 34 1 1 a alkalmazható. ( pot) ( pot) em ad megoldást. 15 széksor va a ézőtére. Összese: 1 pot 4) Meyi aak a mértai sorozatak a háyadosa, amelyek harmadik tagja 5, hatodik tagja pedig 40? ( pot) 3 1 5 a a q 5 6 1 40 a a q Ie q Összese: pot 5) Összeadtuk ötveöt egymást követő pozitív páratla számot, az összeg értéke 3905. a) Melyik volt az összegbe az első, illetve az ötveötödik páratla szám? (8 pot) b) Melyik az összeadottak között a legkisebb olya szám, amelyek a prímtéyezős felbotásába két külöböző prímszám szerepel, és a égyzete ötre végződik? (4 pot) a) Az összeadott páratla számok egy d differeciájú számtai sorozat szomszédos tagjai. Legye az összeg legkisebb tagja a a A számtai sorozat első eleméek összegére voatkozó képletet alkalmazva: a 1 54 S55 55 3905 55a1 54 ( pot) a 1 17 a 1, ekkor 55 1 54
a 55 15 Tehát a keresett páratla számok a 17 és a 15. Elleőrzés: az összes valóba 3905. b) A keresett számak 5-re kell végződie. A 17 utá a legkisebb ilye szám a 5, de ez em felel meg. A következő szám 35, és ez jó, mert 35 5 7. Tehát a keresett szám a 35. Összese: 1 pot 6) Egy számtai sorozat első eleme 8, differeciája. Mekkora a sorozat 3 egyedik eleme? ( pot) A sorozat egyedik eleme 6. Összese: pot 7) Egy útépítő vállalkozás egy muka elkezdésekor az első apo 0 méteryi utat aszfaltoz le. A rákövetkező apo 30 métert, az azutái 40 métert és így tovább: a mukások létszámát apota övelve mide következő mukaapo 10 méterrel többet, mit az azt megelőző apo. a) Háy méter utat aszfaltozak le a 11-edik mukaapo? (3 pot) b) Az összes aszfaltozadó út hossza ebbe a mukába 7,1 km. Háyadik mukaapo készülek el vele? (8 pot) c) Háy méter utat aszfaltozak le az utolsó mukaapo? (3 pot) d) A 1-edik apo kétszer ayia dolgoztak, mit az első apo. Igaze az a feltételezés, hogy a apota elkészült út hossza egyeese aráyos a mukások létszámával? (Válaszát idokolja!) (3 pot) a) Számtai sorozatról va szó: b) a1 0, d=10 A11 a1 10d ( pot) 0 10 10 30 30 métert aszfaltozak le a 11. mukaapo. ; S 7100?, ahol pozitív egész szám. a 1 1 d S 0 1 10 7100 ( pot) 140 44 1 43 140 0 ( pot) Egyetle pozitív megoldás va 1,88, de ez em egész. Az aszfaltozással a. mukaapo készülek el.
c) S 1 0 11 10 S1 670 a1 0 0 10 40 Az utolsó mukaapo 7100 670 d) Egyees aráyosság eseté 440 métert kellee aszfaltozi a 1. apo. Nem teljesül az egyees aráyosság. Összese: 1 pot 380 méter utat aszfaltoztak le. 8) Egy mértai sorozat második eleme 3, hatodik eleme. Mekkora a sorozat háyadosa? Írja le a megoldás meetét! (3 pot) 9) A feltételből 4 3q 1 q1 4 0, 065 q 1, ahoa Összese: 3 pot a) Határozza meg azt a háromjegyű számot, amelyről a következőket tudjuk: számjegyei a felírás sorredjébe egy számtai sorozat egymást követő tagjai; a szám értéke 53,5-szerese a számjegyei összegéek; ha kivojuk belőle az első és utolsó jegy felcserélésével kapott háromjegyű számot, akkor 594 az eredméy. (10 pot) b) Sorolja fel azokat a 00-ál agyobb háromjegyű számokat, amelyekek számjegyei a felírás sorredjébe övekvő számtai sorozat tagjai! (4 pot) c) Számítsa ki aak a valószíűségét, hogy a b) kérdésbe szereplő számok közül véletleszerűe egyet kiválasztva, a kiválasztott szám osztható 9-cel! (3 pot) a) A háromjegyű szám számjegyei: a d; a; a d, ahol a a számtai sorozat középső tagja, d a differecia. Felírható: (1) ( pot) 100 a d 10a a d 53,5 3a és 100 a d 10a a d 100 a d 10a a d 594 () ( pot) A () egyeletből: ahoa d 3 Az (1) egyeletből: 111a 99d 53,5 3a ahoa a d a 3 6 a középső számjegy, a háromjegyű szám: 963. 198d 594
A feladat úgy is megoldható, ha a számtai sorozat első tagját jelöljük a-val. b) A megfelelő számok: 34; 345; 456; 567; 678; 789; 46; 357; 468; 579; 58; 369. (4 pot) c) Közülük 9-cel osztható: 34; 369; 468; 567. A jó esetek száma 4; az összes eset 1. 4 1 1 3 A keresett valószíűség: p Összese: 17 pot 10) Egy számtai sorozat első és ötödik tagjáak összege 60. Meyi a sorozat első öt tagjáak összege? Válaszát idokolja! (3 pot) S 5 a1 a 60 S5 5 S5 150 Összese: 3 pot 11) Szabó agymamáak öt uokája va, közülük egy láy és égy fiú. Nem szeret levelet íri, de mide héte ír egy-egy uokájáak, így öt hét alatt midegyik uoka kap levelet. a) Háyféle sorredbe kaphatják meg az uokák a levelüket az öt hét alatt? (3 pot) b) Ha a agymama véletleszerűe dötötte el, hogy melyik héte melyik uokájáak írt levél következik, akkor meyi aak a valószíűsége, hogy láyuokája levelét az ötödik héte írta meg? (3 pot) Szabó agymama sálat kötött egyetle láyuokájáak. Az első apo 8 cm készült el a sálból, és a agymama elhatározta, hogy a további apoko mide ap 0 százalékkal többet köt meg, mit az előző apo. Ezt az elhatározását tartai tudta. c) Háy ap alatt készült-el a méter hosszúra tervezett sál? (11 pot) a) A lehetséges sorredek száma: 5! ( pot) Az uokák 10-féle sorredbe kaphatják meg a levelet. b) Az utolsó hétre az 5 uoka bármelyike egyelő valószíűséggel kerül. ( pot) A keresett valószíűség tehát: 1 5 c) Az egyes apoko kötött darabok hosszúságai mértai sorozatot alkotak. A mértai sorozatba a1 8, q 1, ( pot) A sál teljes hossza a mértai sorozat első eleméek összegekét adódik. q 1 S a1 q 1
1, 1 00 8 0, 5 1 1, lg 6 lg1, 9,83 A sál a tizedik apo készül el. ( pot) Összese: 17 pot 1) Egy számtai sorozat első tagja 3, differeciája 17. Számítsa ki a sorozat 100-adik tagját! Számítását részletezze! (3 pot) a1 3 d 17 a100 3 99 17 1686 ( pot) A sorozat 100-adik tagja: 1686. Összese: 3 pot 13) Egy mértai sorozat első tagja 3, a háyadosa. Adja meg a sorozat ötödik tagját! Írja le a megoldás meetét! (3 pot) 1 a a q 1 a 5 3 5 1 A sorozat ötödik tagja: 48. Összese: 3 pot 14) Egy mértai sorozat első tagja 5, háyadosa. Számítsa ki a sorozat tizeegyedik tagját! Idokolja a válaszát! 10 a11 5 a11 510
15) Agéla a piheőkertjük egy részére járólapokat fektetett le. Az első sorba 8 járólap került, mide további sorba kettővel több, mit az azt megelőzőbe. Összese 858 járólapot haszált fel. a) Háy sort rakott le Agéla? (6 pot) A járólapokat 5-ös csomagolásba árusítják. Mide csomagba bordó szíű a járólapok 16 %-a, a többi szürke. Agéla 4 csomag járólapot vásárolt. Csak bordó szíű lapokat rakott le az első és az utolsó sorba. Eze kívül a többi sor két szélé levő 1 1 járólap is bordó, az összes többi lerakott járólap szürke. b) Adja meg, hogy háy szürke és háy bordó járólap maradt ki a lerakás utá! (6 pot) a) (A sorokét elhelyezett járólapok számát aak a számtai sorozatak egymást követő tagjai adják, amelyre:) 1 a1 d a1 8, d. 858 7 858 0 1 6 és 33 (A megfelelő pozitív egész szám 6.) Agéla 6 teljes sort rakott le (ez a megoldás a feltételekek megfelel). b) A bordó járólapok száma 144. ( pot) A huszohatodik sorba járólap került. A burkolt rész peremére 8 58 4 114 bordó szíű került. 30 bordó járólap maradt ki. Összese járólap maradt ki, ezek közül 1 szürke és 30 bordó. Összese: 1 pot 16) 900 858 4 a6 a1 5d 8 50 58 a) Egy számtai sorozat első tagja 7, a yolcadik tagja 14. Adja meg lehetséges értékeit, ha a sorozat első tagjáak összege legfeljebb 660. (9 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja ugyacsak 7, a egyedik tagja 189. Mekkora az, ha az első tag összege 68887? (8 pot) a) a a d, ahol d a sorozat differeciája. 8 1 7 14 7 7d d 3 660 S a 1 1 d 14 3 1 S 3 17 130 0
b) Az egyelőtleség bal oldalához kapcsolható másodfokú függvéyek miimuma va (, vagy grafikora hivatkozás stb.), zérushelyei: a 3 0 55 4 és - 3 55-0 4 3 (ami egatív). Mivel a feladatukba pozitív egész, lehetséges értékei: 1,,, 3, 4, ahol q a sorozat differeciája. a a q 4 1 3 3 189 7 q q 3 q 1 3 1 S a1 7 q 1 68887 7 3 1 3 19683 ( pot) Az expoeciális függvéy kölcsööse egyértelmű (szigorúa mooto), 9 Összese: 17 pot 17) Melyik a 01-edik pozitív páros szám? Válaszát idokolja! (3 pot) Az a 1 első tagú, a 01 00 40 d differeciájú számtai sorozat felismerése. Összese: 3 pot 18) Egy számtai sorozat ötveedik tagja 9, az ötveegyedik tagja 6. Számítsa ki a sorozat első tagját! (3 pot) d 3 a50 a1 49d 176 Összese: 3 pot a 1 19) Egy mértai sorozat első tagja 3, háyadosa első hat tagjáak összegét!. Adja meg a sorozat ( pot) 1 S a1 d, ebből: S6 63 ( pot)
0) Az újkori olimpiai játékok megredezésére 1896 óta kerül sor, ebbe az évbe tartották az első (yári) olimpiát Athéba. Azóta mide egyedik évbe tartaak yári olimpiát, és ezeket sorszámmal látják el. Három yári olimpiát (az első és a második világháború miatt) em tartottak meg, de ezek az elmaradt játékok is kaptak sorszámot. a) Melyik évbe tartották a 0. yári olimpiai játékokat? ( pot) b) Számítsa ki, hogy a 008-ba Pekigbe tartott yári olimpiáak mi volt a sorszáma! ( pot) A yári olimpiák szervezőiek egyik fő bevételi forrása a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel. Redelkezésükre állak a következő adatok (millió dollárba számolva): Olimpia sorszáma 0.. Bevétel a televíziós jogok értékesítéséből 75 19 Eszter úgy véli, hogy a televíziós jogok értékesítéséből származó bevételek a 0. olimpiától kezdve az egymás utái yári olimpiáko egy számtai sorozat egymást követő tagjait alkotják. Marci szerit ugyaezek a számok egy mértai sorozat egymást követő tagjai. A saját modelljük alapjá midkette kiszámolják, hogy meyi lehetett a televíziós jogok értékesítéséből származó bevétel a 7. yári olimpiá. Ezutá megkeresik a téyleges adatot, amely egy iteretes holap szerit 1383 (millió dollár). c) Számítsa ki, hogy Eszter vagy Marci becslése tér el kisebb mértékbe a 7. yári olimpia téyleges adatától! (8 pot) a) A yári olimpiák évszámai egy olya számtai sorozatot alkotak, melyek első tagja 1896, külöbsége pedig 4. vagyis 197-be tartották a 0. yári olimpiát. 1896 1 4 008, tehát 9. yári olimpiát tartották 008-ba. a0 1896 19 4 197 b) ( pot) c) (A megadott két adatot egy számtai sorozat első, illetve harmadik tagjáak tekitve:) 75 19, amiből d 85 ( pot) Így, Eszter becslése a sorozat yolcadik tagjára: 75 7d 484,5 millió dollár d (A megadott két adatot egy mértai sorozat első illetve harmadik tagjáak tekitve:), amiből ( pot) 75q 19 q 0 miatt 1,6 Így Marci becslése a sorozat yolcadik tagjára: 75q 013 millió dollár 1383 485 898 és 013 1383 630, vagyis Marci becslése tér el kevésbé a téyleges adattól. ( pot) Összese: 1 pot q
1) a) Egy számtai sorozat első tagja, első hét tagjáak összege 45,5. Adja meg a sorozat hatodik tagját! (5 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja 5, második és harmadik tagjáak összege 10. Adja meg a sorozat első hét tagjáak az összegét! (7 pot) a) A sorozat differeciáját d-vel jelölve: 13 4 6d 7 1 d 45,5 7 d 1,5 a 6 5 1,5 A sorozat 6. tagja 9,5. b) A sorozat háyadosát q-val jelölve: ; q 1 ( pot) Ha a háyados, akkor a sorozat első hét tagjáak ) Az q1 összege: S 7 7 1 5 1 5q 5q 10 15 ( pot) Ha a háyados 1, akkor a sorozat tagjai megegyezek, így ebbe az esetbe az első hét tag összege a sorozat 6. tagját! 3) A 75 35. ( pot) Összese: 1 pot számtai sorozat első tagja és differeciája is 4. Adja meg a ( pot) a6 104 ( pot) b mértai sorozat háyadosa, első hat tagjáak összege 94,5. Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát idokolja! 94,5 b 1 1 6 1 1 (3 pot) 94,5 b 63 b1 15, Összese: 3 pot
4) Egy számtai sorozat első tagja 5, második tagja 8. a) Adja meg a sorozat 80. tagját! ( pot) b) Tagja-e a feti sorozatak a 005? (Válaszát számítással idokolja!) (3 pot) c) A sorozat első tagját összeadva az összeg 1550. Határozza meg értékét! (7 pot) a) a1 5 és d a a a 8 1 3 a a d 80 1 79 a80 4. b) Ha 005 a sorozat -edik tagja, akkor 000 1 3 Mivel 003 3 azaz c) Az első tag összege: 5) Ebből 1, 1 31 Mivel 003 3 005 5 1 3, a 005 em tagja a sorozatak. S 10 3 3 3100 7 49 3700 6 00 6 1, 31 5 5 1 3 1550, azaz lehet csak a válasz. 3 7 3100 0. ( pot) 10 30 3 Elleőrzés: 31 1550, tehát 31 tagot kell összeadi. Összese: 1 pot a) Iktasso be a 6 és az 163 közé két számot úgy, hogy azok a megadottakkal együtt egy számtai sorozat szomszédos tagjai legyeek! (5 pot) b) Számítsa ki a 6 és az 163 közötti éggyel osztható számok összegét! (7 pot) a) A sorozat tagjai: 6; 6 + d; 6 + d; 163 6 + 3d = 163 d = 539 Az első beiktatott szám: 545 A második beiktatott szám: 1084
b) A feltételekek megfelelő számok: 8; 1; 16; ; 160 ( pot) Ezek a számok egy számtai sorozat egymást követő tagjai 160 8 4 1 404 S 8 160 404 S 38856 Összese: 1 pot 6) Egy számtai sorozat hatodik tagja 15, kilecedik tagja 0. Számítsa ki a sorozat első tagját! Válaszát idokolja! (3 pot) A számtai sorozat külöbségét d-vel jelölve adódik: 3d 15 amiből A sorozat első tagja 40. d 5. Összese: 3 pot 7) A kólibaktérium (hegeres) pálcika alakú, hossza átlagosa mikrométer, átmérője 0,5 mikrométer. a) Számítsa ki egy mikrométer magas és 0,5 mikrométer átmérőjű forgásheger térfogatát és felszíét! Számításaiak eredméyét m 3 - be, illetve m -be, ormálalakba adja meg! (5 pot) Ideális laboratóriumi körülméyek között a kólibaktériumok gyorsa és folyamatosa osztódak, számuk 15 percekét megduplázódik. Egy tápoldat kezdetbe megközelítőleg 3 millió kólibaktériumot tartalmaz. b) Háy baktérium lesz a tápoldatba 1,5 óra elteltével? (4 pot) A baktériumok számát a tápoldatba t perc elteltével a 6 10 m 15 3000000 B t t összefüggés adja meg. 7 5 10 m c) Háy perc alatt éri el a kólibaktériumok száma a tápoldatba a 600 milliót? Válaszát egészre kerekítve adja meg! (8 pot) a) A heger alapköréek sugara térfogata ormálalakba A heger felszíe: V,5 10 10 7 6 V 3, 9 10 m 7,5 10 m 19 3 A,5 10 5 10 10 7 7 6 1 ormálalakba 3,5 10 m,,., A. b) A kólibaktériumok száma 1,5 óra alatt 6-szor duplázódott, ( pot) 6 ezért 1,5 óra utá 3000000 19 millió lesz a baktériumok száma.
c) A baktériumok száma x perc múlva lesz 600 millió. Meg kell oldauk a x 15 3 600 x 15 00 Átalakítva: x 15 log 00 lg 00 x 15 lg egyeletet. ( pot) ( pot) amiből adódik, tehát 115 perc múlva lesz a baktériumok száma 600 millió. Összese: 17 pot x 115 8) a) Egy számtai sorozat első tagja 5, differeciája 3. A sorozat első tagjáak összege 440. Adja meg értékét! (5 pot) b) Egy mértai sorozat első tagja 5, háyadosa 1,. Az első tagtól kezdve legalább háy tagot kell összeadi ebbe a sorozatba, hogy az összege elérje az 500-at? (7 pot) a) A szöveg alapjá felírható egyelet: 5 1 3 440 Ebből 3 7 880 0 A egatív gyök 55 3.. ( pot) a feladatak em megoldása. 16 b) Keressük a következő egyelet megoldását: 1, 1 500 5 1, 1 1 1,. (midkét oldal 10-es alapú logaritmusát véve) lg 1 lg1, lg 1 lg1, ( pot) 16,7 Ez azt jeleti, hogy a sorozatak legalább 17 tagját kell összeadi, hogy az összeg elérje az 500-at. Összese: 1 pot
9) A vízi élőhelyek egyik agy problémája az algásodás. Megfelelő féy- és hőmérsékleti viszoyok mellett az algával borított terület agysága akár 1- ap alatt megduplázódhat. a) Egy kerti tóba mide ap (az előző api meyiséghez képest) ugyaayi-szorosára övekedett az algával borított terület agysága. A kezdetbe -e észlelhető alga hét api övekedés m 1,5 m utá borította be teljese a -es tavat. Számítsa ki, hogy apota háyszorosára övekedett az algás terület! (4 pot) Egy parkbeli szökőkút medecéjéek alakja szabályos hatszög alapú egyees hasáb. A szabályos hatszög egy oldala,4 m hosszú, a medece mélysége 0,4 m. A medece alját és oldalfalait csempével burkolták, majd a medecét teljese feltöltötték vízzel. b) Háy területű a csempével burkolt felület, és legfeljebb háy liter víz fér el a medecébe? (8 pot) A szökőkútba hat egymás mellett, egy voalba elhelyezett kiömlő yíláso keresztül törhet a magasba a víz. Mide vízsugarat egy-egy szíes lámpa világít meg. Midegyik vízsugár megvilágítása háromféle szíű lehet: kék, piros vagy sárga. Az egyik látváyprogram úgy változtatja a vízsugarak megvilágítását, hogy egy adott pillaatba három-három vízsugár szíe azoos legye, de mid a hat e legye azoos szíű (például kék-sárga-sárga-kék-sárga-kék). c) Háyféle külöböző látváyt yújthat ez a program, ha vízsugarakak csak a szíe változik? (5 pot) 7 m a) Ha apota x-szeresére őtt az algás terület, akkor:. 7 1,5 x 7 x 7 18 1,5 Az algás terület apota körülbelül a másfélszeresére övekedett. b) A medece alaplapja egy,4 m oldalhosszúságú szabályos hatszög, eek területe,4 3 T alaplap 6 ( pot) 4 14,96 m A medece oldalfalaiak összterülete Toldalfal 6,4 0,4 5,76 m. Így összese körülbelül A medece térfogata,4 3 0,7 m V Talaplap m 6 0,4 4 5, 986 m 3 felületet burkoltak csempével.. Körülbelül 5986 liter víz fér el a medecébe.
6 3 c) Ha például a kék és a sárga szít választották ki, akkor 0 külöböző módo választható ki az a három vízsugár, amelyet a kék szíel világítaak meg (a másik három féysugarat ugyaekkor sárga szíel világítják meg). ( pot) A megvilágításhoz két szít háromféleképpe választhatak ki (kék-sárga, kék-piros, piros-sárga). 6 3 60 3 Azaz 60 külöböző megvilágítás lehetséges. Összese: 17 pot 30) Péter lekötött egy bakba 150 000 foritot egy évre, évi 4%-os kamatra. Meyi pézt vehet fel egy év elteltével, ha év közbe em változtatott a lekötése? ( pot) 156000 Ft-ot vehet fel Péter egy év elteltével. ( pot) 31) A Kis család 700 000 Ft megtakarított pézét éves lekötésű takarékba helyezte el az A Bakba, kamatos kamatra. A péz két évig kamatozott, évi 6%-os kamatos kamattal. (A kamatláb tehát ebbe a bakba 6% volt.) a) Legfeljebb mekkora összeget vehettek fel a két év elteltével, ha a kamatláb a két év sorá em változott? (3 pot) A Nagy család a B Bakba 800 000 Ft-ot helyezett el, szité két évre, kamatos kamatra. b) Háy százalékos volt a B Bakba az első év folyamá a kamatláb, ha a bak ezt a kamatlábat a második évre 3%-kal övelte, és így a második év végé a Nagy család 907 00 Ft-ot vehetett fel? (10 pot) c) A Nagy család a bakból felvett 907 00 Ft-ért külöféle tartós fogyasztási cikkeket vásárolt. Háy foritot kellett vola fizetiük ugyaezekért a fogyasztási cikkekért két évvel korábba, ha a vásárolt termékek ára az eltelt két év sorá csak a 4%-os átlagos éves iflációak megfelelőe változott? (A 4%-os átlagos éves ifláció szemléletese azt jeleti, hogy az előző évbe 100 Ft-ért vásárolt javakért idé 104 Ft-ot kell fizeti.) (4 pot) 700000 1,06 a) A felvehető összeg: ( pot) ami 78650 Ft.
b) (Az első évbe x %-os volt a kamat.) Az első év végé a számlá lévő összeg: x 800000 1 100. ( pot) A második év végé a felvehető összeg: x x 3 800000 1 1 90700 100 100 ( pot) x 03x 1040 0 (3 pot) a másik gyök egatív ( 08), em felel meg. Az első évbe 5%-os volt a kamat. A feladat megoldható mértai sorozat felhaszálásával is. c) Ha a két évvel ezelőtti ár y forit, akkor egy év múlva 1,04 y, x 1 5 két év múlva 90700 y 1,04 1,04 y 90700 838757 Két évvel korábba forit az ár. 838757 Ft -ot kellett vola fizetiük. Összese: 17 pot 3) Csilla és Csogor ikrek, és születésükkor midkettőjük részére takarékköyvet yitottak a agyszülők. 18 éves korukig egyikőjük számlájáról sem vettek fel pézt. Csilla számlájára a születésekor 500 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg évi 8 %-kal kamatozik. a) Legfeljebb mekkora összeget vehet fel Csilla a 18. születésapjá a számlájáról, ha a kamat midvégig 8 %? (A pézt foritra kerekített értékbe fizeti ki a bak.) (5 pot) Csogor számlájára a születésekor 400 000 Ft-ot helyeztek el. Ez az összeg félévete kamatozik, midig azoos kamatlábbal. b) Mekkora ez a félévekéti kamatláb, ha tudjuk, hogy Csogor a számlájáról a 18. születésapjá millió foritot vehet fel? (A kamatláb midvégig álladó.) A kamatlábat két tizedesjegyre kerekítve adja meg! (7 pot) a) Csilla számlájá a 8%-os évi kamat a yitótőke évi 1,08-szoros övekedését jeleti. A 18. születésapo 18. alkalommal övekszik így a tőke, ezért Csilla 18. születésapjára a yitótőke -ra változa. ( pot) Csilla 18. születésapjá 1998010 Ft-ot kaphata. S 500000 1,08 1998009,75 Csilla 18
b) Csogor számlájá a p %-os kamat évete p 1 100 -szeres évi övekedést eredméyez 18 éve keresztül A 18. születésapjá Csogor betétjé összese p SCsogor 400000 1 000000 Ft 100 Ie 36 va. 36 36 p p 36 1 5, vagyis 1 5 1,0457 100 100 A keresett kamatláb tehát 4,57%. ( pot). ( pot) Összese: 1 pot 33) Statisztikai adatok szerit az 1997-es év utái évekbe 003-mal bezárólag a világo évete átlagosa 1,1%-kal több autót gyártottak, mit a megelőző évbe. A 003-at követő évekbe, egésze 007-tel bezárólag évete átlagosa már 5,4 %-kal gyártottak többet, mit a megelőző évbe. 003-ba összese 41,9 millió autó készült. a) Háy autót gyártottak a világo 007-be? (4 pot) b) Háy autót gyártottak a világo 1997-be? (4 pot) Válaszait százezerre kerekítve adja meg! 008-ba az előző évhez képest csökket a gyártott autók száma, ekkor a világo összese 48,8 millió új autó hagyta el a gyárakat. 008-ba előrejelzés készült a következő 5 évre voatkozóa. Eszerit 013-ba 38 millió autót fogak gyártai. Az előrejelzés úgy számolt, hogy mide évbe az előző éviek ugyaakkora százalékával csökke a termelés. c) Háy százalékkal csökke az előrejelzés szerit az évekéti termelés a 008-at követő 5 év sorá? Az eredméyt egy tizedes jegyre kerekítve adja meg! (4 pot) d) Elfogadjuk az előrejelzés adatát, majd azt feltételezzük, hogy 013 utá évete 3 %-kal csökke a gyártott autók száma. Melyik évbe lesz így az abba az évbe gyártott autók száma a 013-ba gyártottakak a 76 %-a? (4 pot) a) Az évekéti övekedés szorzószáma (övekedési ráta) 1,054. 003-at követőe a 007-es évvel bezárólag 4 év telik el. 4 41,9 1,054 51,71 A 007-es évbe kb. 51,7 millió autót gyártottak. b) A 003-at megelőző évekre évekét 1,011-del kell osztai. 1997 utá a 003-as évvel bezárólag 6 év telik el. 41,9 39,4 millió 6 1,011 1997-be kb. 39, millió autót gyártottak.
c) Az évekéti csökkeés szorzószáma legye x. 008 utá a 013-as évvel bezárólag 5 év telik el., 5 48,8 x 38 x 5 0,779 x 5 0,779 0,951 Az évekéti százalékos csökkeés kb. 4,9 %. d) Ha 013 utá y év múlva lesz 76 %-a az éves autószám, akkor Midkét oldal tízes alapú logaritmusa is egyelő. y. 0,97 0,76 y lg 0,97 lg 0,76 Kb. 9 év múlva, tehát 0-be csökkee az évi termelés a 013-as éviek a 76 %-ára. Összese: 17 pot y 9,01 34) Egy autó ára újoa millió 15 ezer forit, a megvásárlása utá öt évvel eek az autóak az értéke 900 ezer forit. a) A megvásárolt autó tulajdoosáak a vezetési biztoságát a vásárláskor 90 pottal jellemezhetjük. Ez a vezetési biztoság évete az előző éviek 6 %-ával ő. (4 pot) Háy potos lesz 5 év elteltével az autótulajdoos vezetési biztosága? Válaszát egész potra kerekítve adja meg! b) Az első öt év sorá eek az autóak az értéke mide évbe az előző évi értékéek ugyaayi százalékával csökke. Háy százalék ez az éves csökkeés? (8 pot) Válaszát egész százalékra kerekítve adja meg! a) A vezetési biztoság potjai egy t 0 90, tagjai. (Ebbe a sorozatba) (pot). 5 t 5 90 1,06 5 q 1,6 háyadosú mértai sorozat 90 1,06 10,44 tehát 5 év utá a vezetési biztoság 10 potos. b) Legye a csökkeési ráta x. Ekkor ( pot) 5 900 x 0,418, 15 amiből x 900 5 15, x 0,84 5,15 x 0,9 10,84 0,16, tehát évete 16 %-kal csökke az autó értéke. A feladat megoldható úgy is, ha a kamatos kamatszámításhoz hasoló képletet haszáluk. Összese: 1 pot
35) Egy sejtteyészetbe apota kétszereződik meg a sejtek száma. Az első ap kezdeté 5000 sejtből állt a teyészet. Háy sejt lesz a teyészetbe 8 ap elteltével? Számításait részletezze! (3 pot) A 8 ap alatt 4-szer kétszereződött meg a sejtek száma (s), s 5000 4 s 80000 Összese: 3 pot 36) A 000 eurós tőke évi 6 %-os kamatos kamat mellett háy teljes év elteltével őe 404 euróra? Megoldását részletezze! (4 pot) 000 1,06 404 x x kiszámítása. lg 000 x lg1,06 lg 404 lg 404 lg 000 x 11,998 lg1,06 1 teljes év alatt... ( pot) Összese: 4 pot