A folytonos idej kvantumos bolyongás Pólya-féle száma

A folytonos idej kvantumos bolyongás Pólya-féle száma Darázs Zoltán IV. zikus Eötvös Loránd Tudományegyetem Tudományos Diákköri Dolgozat Témavezet : Kiss Tamás MTA SZFKI Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály Budapest, 2009. január 6. 1

Bevezetés A klasszikus véletlen bolyongás elmélete más alkalmazások mellett az informatika fejl désével algoritmusok tervezésében egyre fontosabb szerepet kapott. A kvantumos bolyongás a klasszikus bolyongás általánosítása [5], amely a kvantuminformatikai alkalmazások miatt nagy érdekl dést kapott. A kvantumos bolyongásnak, hasonlóan a klasszikushoz alapvet en két fajtája van: a diszkrét és a folytonos idej, attól függ en, hogy bolyongó csak adott id közönként, vagy bármikor léphet. A kvantuminformatikai alkalmazások legnagyobb el nye, hogy a kvantumos bolyongásra alapozott keresési algoritmusok kvadratikusan gyorsabbak lehetnek mint az adott problémára alkalmazható klasszikus algoritmusok. A folytonos idej kvantumos bolyongáson alapuló algoritmusok, mint például a gráfbejárási algoritmusok pedig akár exponenciálisan hatékonyabbak lehetnek a klasszikus algoritmusoknál [21]. Egy friss eredmény szerint a kvantumos bolyongás felfogható úgy is, mint a kvantumszámítógép egy lehetséges univerzális paradigmája, ahol a kódot teljes egészében a bolyongás gráfja jelenti [22]. Az algoritmikus alkalmazásokon túl a folytonos idej kvantumos bolyongás tulajdonságainak megértése is nagy gyelmet kapott az utóbbi id ben. Különböz geometriájú gráfokat vizsgáltak [23, 24, 25], fázistérbeli [29] és térid [30] struktúrák magyarázatát keresték illetve vizsgálták a Lévy-féle eloszlást mutató, nagy lépésközöket is megenged bolyongásokat [26]. A folytonos idej kvantumos bolyongás szorosan köt dik a transzport folyamatokhoz is [24, 28, 31]. Aktívan kutatják a folytonos és diszkrét idej kvantumos bolyongás kapcsolatát is, ugyanis nincs természetes átmenet a kett között. A folytonos idej eset nem kapható meg a diszkrét idej határeseteként ha a lépések között eltelt id intervallumot innitezimálisan kicsire választjuk. Ez azért van, mert diszkrét esetben a bolyongó Hilbert tere kib vül az úgynevezett érmetérrel, amelynek folytonos esetben nincs természetes megfelel je, így bár teremthet kapcsolat a kétféle bolyongás között [17, 18], ez csak nagyon speciális esetekben igaz, általánosan nem alkalmazható. A visszatérés fogalmát dinamikai rendszerekben Poincaré óta vizsgálják [33]. A kvantummechanikában szokásos szóhasználat a részleges visszatérés, ez azt jelenti hogy csak egy adott tulajdonság ugyanaz mint induláskor, de a teljes állapot nem [34]. Ilyen visszatérés van például a diszkrét idej kvantumos véletlen bolyongás esetén, ahol az érmeállapotot nem vesszük gyelembe. A klasszikus véletlen bolyongások esetében annak a valószín ségét, hogy a bolyongó visszatér az indulási helyére Pólya György magyar származású matematikus után Pólya-féle számnak nevezik, ugyanis a diszkrét idej bolyongás esetére határozta meg el ször ezt a valószín séget [1]. Ha a Pólya-féle szám értéke egy, akkor a bolyongó biztosan visszatér, az ilyen bolyongást visszatér nek nevezzük, ha pedig egynél kisebb akkor van bizonyos valószín sége annak, hogy a bolyongó soha nem tér vissza az indulás helyére, az ilyen bolyongást elszök nek nevezzük. A klasszikus folytonos idej bolyongásba beágyazható egy diszkrét idej [4], így a kétféle bolyongás Pólya-féle száma megfeleltethet egymásnak. A kvantumos esetben ilyen általános megfeleltetés egyenl re nem ismert a diszkrét idej bolyongás extra Hilbert tere miatt. Fontos fogalom a bolyongásoknál az elérési id (hitting time), amely szorosan 2

kapcsolódik a Pólya-féle szám fogalmához. Jelent s eltérést a klasszikus esett l abban mutat, hogy kvantumosan ez végtelenné válhat véges gráfokon is. Ezt el ször a diszkrét esetben mutatták meg [13]. A folytonos esetre való általánosításhoz a mérési eljárás megfelel deníciójára van szükség, ezt csak nemrégiben találta meg Varbanov, Krovi és Brun [14]. Az elérési id lehetséges denícióiról és azok kapcsolatáról néhány speciális esetben összefoglalás található a [32] hivatkozásban. Dolgozatomban azt vizsgáltam, hogy mi a valószín sége annak, hogy különböz, véges vagy végtelen sok pontból álló gráfokon történ folytonos idej kvantumos bolyongás esetén a bolyongót az indulás helyén mérjük. Ehhez el ször általánosítottam a Pólya-féle szám fogalmát a folytonos idej kvantumos bolyongásra. Ez nem volt magától értet d, ugyanis a diszkrét esetb l nem kapható meg, mivel eddig nem ismert általános kapcsolat a két bolyongás között. A Pólya-féle szám denícióját az is nehezítette, hogy ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren innitezimális id múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a v f pontban van. A folytonos idej kvantumos bolyongás elérési idejének deniálásakor is hasonló problémák merültek fel a mérési eljárás megválasztásánál, ezért én is az ott deniált Poisson-folyamaton alapuló mérést használtam fel [14]. Javaslatuk szerint mindig ugyanazon a rendszeren kellene mérni, azonban ismert, hogy egy kvantummechanikai rendszeren végzett mérés megzavarja a rendszer unitér id fejl dését. Ezért a Poisson-folyamaton alapuló mérési eljárást ötvöztem a diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számának deniálásakor alkalmazott méréssel, mikor is nem mindig ugyanazon a rendszeren mérünk, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet, hogy minden mérés új, addig zavartalan id fejl dés rendszeren történik. A dolgozat els részében röviden összefoglaltam azokat az irodalmi el zményeket, melyek szükségesek az általam végzett számítások megértéséhez. Els ként a diszkrét (1.1.1 fejezet), majd a folytonos idej (1.1.2 fejezet) klasszikus bolyongás tulajdonságait valamint a bolyongások Pólya-féle számát ismertem. Ezt követ en [9] és [10] alapján ismertetem a diszkrét idej kvantumos bolyongás denícióját, és a bolyongás Pólya-féle számát (1.2 fejezet). Ezután [3] alapján ismertetem a folytonos idej kvantumos bolyongás denícióját és alapvet tulajdonságait (1.3.1). Az irodalmi áttekintés végén pedig röviden felidézem a folytonos idej kvantumos véletlen bolyongás elérési idejének denícióját (1.3.2 fejezet). A dolgozat második részében el ször javaslok egy lehetséges deníciót a folytonos idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számára (2.1 fejezet), majd ezen deníciót alkalmazva analitikus eszközökkel meghatározom a periodikus lánc Pólya-féle számát (2.2 fejezet). Ismereteim szerint el ttem ezt még senki nem tette meg. Ezután megvizsgálom el ször az egy-, majd a magasabb dimenziós négyzetes rácsok Pólya-féle számát (2.3 ill. 2.4 fejezet). Végül az itt kapott eredményeket felhasználva néhány az irodalomban vizsgált, érdekes szerkezet gráf esetén határozom meg, hogy a gráfon történ folytonos 3

idej kvantumos bolyongás visszatér -e. (2.5 fejezet). 4

Tartalomjegyzék 1. Irodalmi el zmények 6 1.1. A Pólya-féle szám klasszikusan...................... 6 1.1.1. Klasszikus diszkrét idej bolyongás............... 6 1.1.2. Klasszikus folytonos idej bolyongás.............. 7 1.2. A diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle száma........ 9 1.2.1. A bolyongás alapvet tulajdonságai............... 9 1.2.2. A Pólya-féle szám deníciója és tulajdonságai......... 10 1.3. Elérési id a folytonos idej kvantumos véletlen bolyongásra..... 10 1.3.1. A bolyongás alapvet tulajdonságai............... 11 1.3.2. Az elérési id deníciója..................... 11 2. A folytonos idej kvantumos bolyongás Pólya-féle száma 12 2.1. A Pólya-féle szám deníciója....................... 12 2.2. Periodikus lánc Pólya-féle száma..................... 14 2.2.1. Origóbeli valószín ség...................... 14 2.2.2. A Pólya-féle szám értéke..................... 16 2.3. A visszatérés valószín sége egy dimenzióban.............. 19 2.3.1. Az origóban való megtalálás valószín sége........... 19 2.3.2. A Pólya-féle szám értéke..................... 20 2.4. Többdimenziós négyzetes rács...................... 21 2.4.1. Origóbeli valószín ség...................... 21 2.4.2. A Pólya-féle szám értéke..................... 22 2.5. Egyéb rendszerek............................. 23 2.5.1. Teljes gráf............................. 23 2.5.2. Hermite gráf............................ 24 2.5.3. Csillag-rács............................ 24 2.5.4. Kétdimenziós fés -rács...................... 24 3. Összefoglalás 25 5

1. Irodalmi el zmények 1.1. A Pólya-féle szám klasszikusan Ebben a fejezetben röviden áttekintjük, hogy a klasszikus esetben hogyan de- niálták a bolyongást, valamit a Pólya-féle szám fogalmát. A bolyongás annak függvényében, hogy a bolyongó mikor léphet alapvet en kétfajta lehet: diszkrétvagy folytonos idej. Els ként foglalkozzunk a diszkrét idej bolyongással. 1.1.1. Klasszikus diszkrét idej bolyongás A klasszikus bolyongás legegyszer bb esete az egydimenziós rácson történ bolyongás. A legkézenfekv bb választás, ha a rácspontoknak az egész számokat feleltetjük meg. Ebben a modellben a bolyongó az origóból indul, és adott id közönként egyenl, 1 valószín séggel átlép valamelyik szomszédos egész számra. Ebben a pontban [1] és [2] alapján röviden áttekintjük, hogy mi a valószín sége annak, hogy a 2 bolyongó visszatér a kiindulás helyére. Ezt a valószín séget els ként Pólya György magyar származású matematikus számolta ki, ezért Pólya-féle számnak is nevezik. Jelöljük a bolyongó helyét az n-ik lépés után S n -el. Nyilvánvaló, hogy a bolyongó páratlan lépés után csak páratlan, páros számú lépés után pedig csak páros pontban lehet. Nézzük azt az esetet, amikor a bolyongó 2n lépés után a 2k pontba jutott el. Ehhez 2k-szor kellett az adott irányba lépnie, valamint ezen felül még n k lépést mindkét irányba, utóbbiak sorrendje szabadon választható. Ezen megfontolások alapján annak a valószín sége, hogy 2n lépés után a 2k pontban vagyunk: ( ) 2n P{S 2n = 2k} = 2 2n. (1) n k Hasonló gondolatmenettel belátható, hogy ugyanez páratlan lépés esetén: ( ) 2n + 1 P{S 2n+1 = 2k + 1} = 2 (2n+1). (2) n k Jelöljük p n -nel annak a valószín ségét, hogy a bolyongó az n. lépés után az origóban van. Ekkor (1) alapján: ( ) 2k p 2k = P{S 2k = 0} = 2 2k. (3) k A Stirling-formula alapján: p 2k (πk) 1 2. (4) Ezek után jelöljük A 2k -val azt az eseményt, hogy a 2k-adik lépés után tér vissza el ször, az ehhez tartozó valószín séget pedig jelöljük q 2k -val: q 2k = P(A 2k ). (5) 6

Pólya György ezek alapján bebizonyította, hogy annak a valószín sége, hogy a bolyongó visszatér a következ : P = 1 q 2k = 1 k=1 p. (6) 2k k=1 A p 2k tagokat tartalmazó szummát (4) alapján alulról tudjuk becsülni, és kapjuk, hogy az összeg divergens, vagyis a bolyongó biztosan visszatér. Az ilyen bolyongást visszatér nek nevezzük. Magasabb dimenzióban is hasonló gondolatmenetet kell alkalmazni. Ekkor minden lépésben 2d irányba mehet a bolyongó, ahol d a dimenziók számát jelöli, és az egyes lépések számát az egydimenziós tárgyalással analóg módon fel lehet osztani minden irányban. A dimenziófüggés az origóbeli megtalálás valószín ségében ez alapján p n n d 2 (7) módon jelenik meg. Magasabb dimenzióban is (6) alakú összefüggés határozza meg a Pólya-féle szám értékét. A (7) formula alapján egy és két dimenzióban ekkor is divergens a k=1 p 2k összeg, míg magasabb dimenzióban konvergens. Egy és két dimenzióban a bolyongás tehát visszatér, ugyanakkor magasabb dimenzióban van valószín sége annak, hogy a bolyongó soha nem tér vissza. Az ilyen bolyongást elszök nek nevezzük. 1.1.2. Klasszikus folytonos idej bolyongás Mint a neve is mutatja, a folytonos idej bolyongás alapvet en abban tér el a diszkrétt l, hogy itt a bolyongó bármikor léphet. Az alábbiakban [3] alapján áttekintjük a bolyongás jellemz it. Tegyük fel, hogy adott egy N pontból álló gráf, Γ(V, E), ahol V a pontok, E pedig az élek halmaza. A bolyongó egy lépésben egyik pontból a másikba léphet át, feltéve, hogy az egyik pontból a másikba el lehet jutni élek mentén. Ha ez nem lehetséges, akkor a bolyongó nem léphet az adott pontba. Két pontot, v 1 -et és v 2 -t (v 1, v 2 V ) nevezzünk szomszédosnak, ha összeköti ket egy él, azaz létezik e E úgy, hogy e = {v 1, v 2 }. Tegyük fel továbbá, hogy adott egy γ id független konstans, amely annak a valószín sége, hogy egységnyi id alatt a bolyongó a pillanatnyi helyér l átlép egy másik pontba. Jelöljük a gráf egyes pontjait a = 1... N indexekkel, annak a valószín ségét pedig, hogy a bolyongó t id alatt az a pontból eljut a b pontba p ba (t)-vel. Tegyük fel, hogy egy lépés alatt a bolyongó csak a szomszédos pontokba léphet át, és a kés bbi könnyebb kezelhet ség szempontjából vezessük be a következ elemekkel leírható mátrixot: γ, ha a és b szomszédok, H ba = 0, ha a és b nem szomszédok, (8) kγ, ha a = b. 7

ahol k azt jelöli, hogy egy adott pontnak hány szomszédja van, egy lépésben ennyi pontból érkezhet ide a bolyongó, a negatív el jel az els esetben pedig abból ered, hogy a bolyongó elléphet abból a pontból. Annak a valószín sége, hogy ε id alatt a-ból b-be jut a bolyongó, ha εγ 1: { εhba + O(ε p ba (ε) = 2 ), ha a b 1 εh ba + O(ε 2 ), ha a = b. (9) Feltéve, hogy a rendszernek nincs memóriája, azaz a mozgás csak az adott pozíciótól függ, bármely t 1 és t 2 id pontra fennáll a p ba (t 1 + t 2 ) = c p bc (t 2 )p ca (t 1 ) (10) összefüggés. Ez alapján p ba (t + ε) = c p bc (ε)p ca (t). (11) Kis ε értékekre pedig (9) alapján: p ba (t + ε) = p ba (t) ε c H bc p ca (t) + O(ε 2 ). (12) Ezt átrendezve: p ba (t + ε) p ba (t) ε = c H bc p ca (t). (13) Így p ba (t)-re egy dierenciálegyenletet kaptunk: d dt p ba(t) = c H bc p ca (t). (14) Ennek megoldása a p ba (0) = δ ab kezdeti értékkel: p ba (t) = ( e Ht) ba. (15) Tehát a t id alatt az a pontból a b pontba jutás valószín sége az e Ht mátrix b-edik sorának a-adik eleme. Jelöljük τ n -el az n-edik lépés idejét, X n = X(τ n )-el pedig a bolyongó helyét az n-edik lépés után. Ezzel egy folytonos idej be ágyazott diszkrét idej bolyongást de- niáltunk. Így alkalmazhatjuk a következ állítást [4]: A folytonos idej bolyongás i állapota akkor és csakis akkor visszatér, ha a beágyazott diszkrét idej bolyongás i állapota visszatér. Ez alapján vissza tudjuk vezetni a folytonos idej bolyongás Pólya-féle számát a diszkrét idej re, ugyanis a folytonos esetben is minden lépésben csak a szomszédos pontba léphet a bolyongó 1 valószín séggel, a diszkrét eset Pólya-féle számának deniálásakor pedig nem használtuk ki, hogy két lépés között azonos id telik el. Tehát 2 a folytonos idej bolyongás Pólya-féle száma megegyezik a diszkrét idej bolyongás Pólya-féle számával. 8

1.2. A diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle száma A kvantumos bolyongás fogalmát Aharonov, Davidovich és Zagury vezette be [5]. A rendszer unitér id fejl dése szempontjából a kvantumos bolyongás kétféle lehet: diszkrét idej, amikor egy érmeoperátor fejleszti a rendszert [6, 7, 8]; vagy pedig folytonos idej [3]. El ször [9] és [10] alapján nézzük meg a diszkrét esetet. 1.2.1. A bolyongás alapvet tulajdonságai Ez a modell az 1.1.1 pontban deniált modell kvantált változata. Az egyes rácspontoknak egy kvantumállapotot feleltetünk meg. A kvantumrendszer ezen állapotokban lehet, az állapotok pedig a rácsnak való megfeleltetés szerint követhetik egymást. Tekintsünk egy d dimenziós rácson, Z d -n történ bolyongást [10]. Az állapotok Hilbert tere ekkor a következ : H = H p H c, (16) ahol H p a hely-, H c pedig az érmetér (coin space). A hely teret az m állapotok feszítik ki az alábbi módon: H p = Span{ m : m = {m 1, m 2... m d } Z d }. (17) A H c érmeteret a bolyongás topológiája határozza meg. H c dimenzióját jelölje c, amely azon lehetséges irányok száma, ahová a bolyongó egy lépés során léphet. Jelöljük ezeket az irányokat a következ módon: e i Z d, (i = 1... c). (18) Ha minden egyes iránynak megfeleltetünk egy e i kvantumállapotot, akkor az érmetér H c = Span{ e i : i = 1... c}. (19) Egy lépés úgy történik, hogy a következ operátorral hatunk az állapotra: U = S(I p C), (20) ahol I p a H p téren ható egységoperátor, C az érmeoperátor (coin ip), S pedig a léptet operátor. A C érmeoperátor alakját a kiválasztott érme határozza meg, de kiegyenlített (unbiased) bolyongás esetén C minden elemének azonos abszolút érték nek kell lennie. Az S léptet operátort a következ képpen deniáljuk: S = c m + e i m e i e i, (21) amib l látható, hogy S a bolyongót az m állapotból az m + e i állapotba lépteti, ha az érme állapota e i. 9

1.2.2. A Pólya-féle szám deníciója és tulajdonságai A diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számát els ként M. tefa ák, T. Kiss és I. Jex deniálták és vizsgálták [9]. A klasszikus esettel összehasonlítva a kvantumos deníció alapjában abban különbözik, hogy egy mérési eljárást is tartalmaz. Ezt az indokolja, hogy a kvantummechanikai rendszerek alapvet természetéb l fakadóan a rendszeren végzett mérés megzavarja a rendszer unitér id fejl dését. Ennek hatását a következ mérési eljárással próbálták csökkenteni [9]: a diszkrét bolyongás deníciója miatt adott egy id tartam, amikor a bolyongó lép. Mérjük meg minden lépés után, hogy a bolyongó az indulás helyén van-e, de ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet, hogy minden mérés új, addig zavartalan id fejl dés rendszeren történik. A Pólya-féle szám deníciója ez alapján a következ : jelöljük p 0 (t)-vel annak a valószín ségét, hogy a bolyongó a t-edik lépés után az indulás helyén van, és az egyszer ség kedvéért tegyük fel hogy ez az origó. Annak a valószín sége, hogy a bolyongó a t-edik lépés után nincs az origóban nyilván 1 p 0 (t). Azok az események, hogy a t-edik lépés után a bolyongó nincs az origóban független események, így annak a valószín sége, hogy a bolyongó n lépés után sem volt még az origóban: n P n = [1 p 0 (t)]. (22) t=1 Ennek az ellentett eseménye az az esemény, hogy a bolyongó n lépés alatt legalább egyszer visszatért, így véve az n határesetet a Pólya-féle szám deníciója: P = 1 [1 p 0 (t)]. (23) t=1 Bizonyítható [10], hogy a (23) formulában szerepl produktum akkor nulla, ha az S = p 0 (t) (24) t=1 összeg divergens. Megjegyezzük, hogy a klasszikus esetben deniált Pólya-féle szám esetében ugyanilyen alakú szummának a divergenciáját kellett vizsgálni. Klasszikusan kiegyensúlyozott érmével a bolyongás egy- és két dimenzióban visszatér, magasabb dimenzióban pedig elszök. A fenti deníció alapján a Pólya-féle szám értéke a diszkrét idej kvantumos bolyongás esetében függ attól, hogy milyen érmét választunk, valamint az érme kezd állapotától is [9, 10]. Ezen paraméterek változtatásával elérhet, hogy a bolyongás már két dimenzióban is elszök legyen, valamint megfelel érmét és kezd állapotot választva magasabb dimenzióban is konstruálható visszatér bolyongás. 1.3. Elérési id a folytonos idej kvantumos véletlen bolyongásra Ebben a fejezetben áttekintjük a folytonos idej kvantumos bolyongás denícióját és alapvet tulajdonságait, valamint az elérési id fogalmát. Erre azért van 10

szükség, mert a folytonos idej kvantumos bolyongás elérési idejének deniálása során olyan új gondolatmenetet alkalmaztak, amelyet részben én is felhasználtam. 1.3.1. A bolyongás alapvet tulajdonságai A klasszikus folytonos idej bolyongásból [3] alapján a következ módon kapjuk meg a bolyongás kvantumos megfelel jét: a Γ(V, E) gráfban az N pontnak feleltessük meg egy N dimenziós Hilbert-tér ortonormált { a : a = 1... N} bázisát, ezek lesznek a kvantumállapotok, amiken a bolyongás történik. A rendszer Hamilton operátorának elemei a klasszikus esetben használt mátrix (8) alapján: γ, ha a és b szomszédos állapotok, a Ĥ b = 0, ha a és b nem szomszédosak, (25) kγ, ha a = b. A rendszer id fejl dését biztosító operátor Û(t) = e iht (26) alakú, így a rendszer állapotát t id elteltével a következ képpen határozhatjuk meg: Ψ(t) = e iht Ψ(0). (27) 1.3.2. Az elérési id deníciója A klasszikus bolyongások esetében a v f ponthoz tartozó τ h elérési id (hitting time) [13] az az átlagos id tartam, aminek elteltével a bolyongó eljut ebbe a pontba, adott p i kezdeti eloszlás mellett. Matematikai formalizmussal ezt a következ képpen írhatjuk: τ h = tp(t), (28) t=0 ahol p(t) annak a valószín sége, hogy a bolyongót a t-edik lépés után találjuk el ször a v f pontban. Az elérési id kvantumos deníciója egy mérési eljárást is kell tartalmazzon. Ez azért van, mert ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátértékébe, ezáltal az adott operátor szerinti sajátértékek szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren innitezimális id múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a v f pontban van. A diszkrét idej kvantumos bolyongás esetében a bolyongás diszkrét jellege miatt a mérési id pontok adottak, így ezen problémák könnyen kezelhet ek. Épp ezért a diszkrét idej kvantumos bolyongás elérési idejének deniálásával és annak tulajdonságaival [11, 12] már több szerz is foglalkozott, köztük H. Krovi és T.A. Brun is, akik egyik cikkükben [13] leírják, hogy a folytonos idej kvantumos véletlen bolyongás elérési idejének deníciója a 11

fentebb említett problémák miatt nehéz, nem magától értet d. Kés bbi cikkükben [14] M. Varbanovval közösen adtak egy lehetséges deníciót az elérési id re a folytonos idej esetben. A deníciót alkalmazva megvizsgálták a túl er s és túl gyenge mérés esetén az elérési id t, és azt kapták, hogy az mindkét mérési módszer esetén divergens. Ebb l arra a következtetésre jutottak, hogy a mérés er sségére bevezethet egy λ paraméter, amely optimalizálható. Az általuk deniált mérési eljárás a következ : legyen adott egy δt rövid intervallum, és egy ε valószín ség. Ekkor δt id közönként ε valószín séggel megmérjük, hogy a rendszer a v f állapotban van-e, 1 ε valószín séggel pedig hagyjuk a rendszert unitér módon tovább fejl dni. Ezután vegyük az ε 0, δt 0 határesetet, miközben lim lim ε = λ, (29) ε δt δt ahol 0 < λ < állandó. Ezzel egy Poisson-folyamatot deniáltak. Az elérési id pontos deníciójára ezen dolgozat keretei között nem térek ki, mivel a kés bbiek megértése szempontjából csak a mérési eljárás ismerete szükséges. 2. A folytonos idej kvantumos bolyongás Pólyaféle száma 2.1. A Pólya-féle szám deníciója A klasszikus esetben láttuk, hogy a folytonos idej bolyongásba természetes módon beágyazható egy diszkrét idej bolyongás, ez alapján pedig a folytonos eset Pólya-féle száma visszavezethet a diszkrét esetére. A kvantumos esetben nincs természetes beágyazás, így nem találunk magától értet d deníciót. Ennek zikai oka az, hogy mint azt a korábbi fejezetekben láttuk, a kvantumos diszkrét idej bolyongás esetében az érme egy extra Hilbert-teret jelent, aminek nincs közvetlen megfelel je a folytonos idej kvantumos esetben. Ugyanezen extra Hilbert-tér miatt nem kapható meg általánosan a folytonos eset a diszkrét eset határeseteként úgy, hogy a lépések közötti id tartammal nullához tartunk. Néhány nagyon speciális esetben a két bolyongás megfeleltethet egymásnak, azonban általános megfeleltetés eddig nem ismert, a két bolyongás közötti általános kapcsolat ma is aktívan kutatott terület [17, 18]. A Pólya-szám deníciójának tartalmaznia kell egy mérési eljárást. Ez azért van, mert ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren innitezimális id múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a v f pontban van. Az elérési id nek folytonos idej kvantumos véletlen bolyongásra való deniálása során a mérés gyakoriságának megválasztása hasonló problémát jelentett. Ott ennek megoldására egy Poisson folyamatot alkalmaztak: δt id közönként ε valószín séggel megmérjük, hogy a rendszer a 12

v f állapotban van-e, 1 ε valószín séggel pedig hagyjuk a rendszert unitér módon tovább fejl dni. Ezután vesszük a δt 0, ε 0 határesetben, miközben lim lim ε ε 0 δt 0 δt = λ (30) állandó. Így kapunk mérési id pontokat, amikor mérünk a rendszeren. A diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számának deniálásakor[9, 10] gyelembe vették, hogy ha egy kvantumos rendszeren mérünk, akkor a méréssel megzavarjuk a rendszer unitér id fejl dését. Ezért a következ eljárást javasolták: ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer. Ezáltal elérhet, hogy minden mérés új, addig zavartalan id fejl dés rendszeren történik. Az általam javasolt Pólya-féle szám deníciója ezek alapján a következ : δt id közönként ε valószín séggel feljegyezzük az adott n i δt (n i N) pillanatot egy id sorba, 1 ε valószín séggel pedig kihagyjuk az id sorból. Így kapunk egy {t i } id sort, azon id pontokat amikor mérünk. Ezután ezt az eljárást vegyük a δt 0, ε 0 határesetet, miközben állandó. Egy mérés úgy történik, hogy a rendszerre hattatjuk a lim lim ε ε 0 δt 0 δt = λ (31) P 0 = v 0 v 0 és Q f = I P 0 (32) operátorokat, ahol v 0 azt az állapotot jelöli, ahonnan a rendszert indítottuk, az egyszer ség kedvéért tegyük fel, hogy ez az origó volt, v 0 = 0. Minden mérés egy ugyanolyan, azonos módon fejlesztett rendszerekb l álló sokaság egy elemén történik, és minden mérés után új rendszert veszünk. A Pólya-féle számot a diszkrét esettel analóg módon deniáltam. Bevezettem a P n = n [1 p 0 (t i )] (33) mennyiséget, annak a valószín ségét, hogy a bolyongó a t n id pontban végzett mérés után sem volt még az origóban. Ez alapján a Pólya-féle szám: P = 1 [1 p 0 (t i )]. (34) A [10]-ban szerepl állítás, mely azt mondja ki, hogy a (23)-ban szerepl produktum akkor nulla, ha az S = p 0 (t) (35) t=1 összeg divergens az általam deniált Pólya-féle számra is érvényes, ugyanis az állítás bizonyítása sehol nem használja ki, hogy az egyes mérési id pontok között azonos 13

id telik el, vagy hogy t egész. Tehát a bolyongás elszök vagy visszatér jellege a folytonos idej kvantumos bolyongás esetén attól függ, hogy az S = p 0 (t i ) (36) összeg divergens-e vagy sem. 2.2. Periodikus lánc Pólya-féle száma Els ként olyan rendszereket vizsgáltam, melyek N állapotból állnak, amelyek periodikus láncot alkotnak, azaz a bolyongást jellemz gráf N pontból áll, minden pontnak 2 szomszédja van, az N-edik pontot pedig az els ponthoz csatlakoztattuk. Ilyen rendszereken már kísérletileg is tanulmányozták a folytonos idej kvantumos bolyongást [19]. Es ként meghatároztam annak a valószín ségét, hogy a t i id pontban a bolyongó az origóban van, majd beláttam, hogy a bolyongás visszatér. 2.2.1. Origóbeli valószín ség A legkézenfekv bb reprezentációnak az t nt, hogy az N állapotnak egy N dimenziós vektortér bázisvektorait feleltettem meg, az i (i = 1... N) állapotnak az i-edik bázisvektort. Ekkor a Hamilton-operátor mátrixelemei: a Ĥ b = γ, ha a és b szomszédos állapotok, 0, ha a és b nem szomszédosak, 2γ, ha a = b. Indítsuk a rendszert az 1 állapotból, azaz a kezdeti hullámfüggvény Az id fejl dés ekkor alakú. Az origóban a megtalálás valószín sége (37) Ψ(0) = 1. (38) Ψ(t) = e iht Ψ(0) = e iht 1 (39) p 0 (t) = 1 e iht 1 2. (40) Ez az e iht mátrix (1, 1) eleme abszolútértének a négyzete. Tehát a valószín ség kiszámításához ki kell számolnunk ezt a mátrixhatványt. Általában egy N N-es mátrix hatványát nem lehet általánosan felírni, ebben a reprezentációban azonban mégis egzaktul meg tudtam adni a valószín séget az id függvényében. Mindez azon a felismerésen alapult, hogy a periodikus lánc (37) formulával megadott Hamilton operátora ciklikus mátrix. Az els sor elemei által egyértelm en meghatározott C(c 0, c 1,..., c n 1 ) = c 0 c 1 c 2... c n 1 c n 1 c 0 c 1... c n 2 c n 2 c n 1 c 0... c n 3....... c 1 c 2 c 3... c 0 (41) 14

mátrixot ciklikus mátrixnak nevezzük ciklikus mátrixnak [20]. Egy C szimmetrikus ciklikus mátrix f(c) mátrixfüggvényének általános eleme megadható annak függvényében, hogy a mátrix páros vagy páratlan rend [20]. Ha C páratlan, azaz 2n + 1-edrend, akkor ( ) {f(c)} pq = 1 n 2n + 1 f c 0 + 2 c ν + ν=1 ( ) + 2 n n f c 0 + 2 c ν cos 2νkπ (p q)2kπ cos, (42) 2n + 1 2n + 1 2n + 1 k=1 ha pedig C páros, azaz 2n-edrend, akkor { ( ) {f(c)} pq = 1 n 1 f c 0 + c ν + 2 c ν + 2n + 1 ν=1 ( )} n 1 +( 1) p+q f c 0 + ( 1) n c n + 2 ( 1) ν c ν + k=1 ν=1 ν=1 ν=1 ( ) + 1 n 1 k 1 f c 0 + ( 1) k c n + 2 cos νkπ cos n n (p q)kπ. (43) n Mi az e iht mátrix (1, 1) elemét szeretnénk meghatározni. Mivel c 0 = 2iγt, c 1 = iγt, a többi elem pedig 0, az origóban találás valószín sége a t id pontban ekvivalens átalakításokkal az alábbi alakba írható ha páratlan, N = 2n + 1 állapotból álló rendszert vizsgálunk: p 0 (t) = 1 (2n + 1) + 4 2 (2n + 1) 2 n,j=0 cos(2γtξ kj ), (44) ahol ha pedig N = 2n páros: ξ kj = cos 2kπ 2n + 1 cos 2jπ 2n + 1, (45) p 0 (t) = 1 2n 2 + 1 n 2 n n 1 cos(2γtζ kj ) + 1 cos(4γt), (46) 2n2 j=0 ahol ζ kj = cos kπ n cos jπ n. (47) Tehát zárt alakban megkaptuk az origóban való megtalálás valószín ségét tetsz leges, N pontból álló periodikus láncra. Az 1. és 2. ábrán erre láthatunk két példát. 15

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 1. ábra. 40 pontból álló rendszer esetén az origóban találás valószín sége az id függvényében 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 2. ábra. 61 pontból álló rendszer esetén az origóban találás valószín sége az id függvényében 2.2.2. A Pólya-féle szám értéke A Pólya-féle szám deníciója (2.1 fejezet) alapján az S = p 0 (t i ) (48) 16

összeg konvergenciáját kell meghatározni. Err l a következ kben be fogom látni, hogy bár a deniált mérési eljárással elképzelhet olyan {t i } mérési sorozat amelyre a szumma nem végtelen, de annak a valószín sége hogy ilyen mérést végezzünk bármely pozitív számnál kisebb lehet, azaz 0. Ismert matematikai tétel, hogy egy analitikus függvény zérushelyei csak a végtelenben torlódhatnak. p 0 (t) analitikus, mivel véges sok koszinusz összege. A koszinusz függvény deriválási szabály alapján könnyen igazolható hogy p 0(t) is analitikus, ugyanis véges sok szinusz összege. Ezért p 0 (t) széls értékei sem torlódhatnak. A koszinusz függvény folytonos, így p 0 (t) is folytonos. Mivel p 0 (t) véges sok koszinusz összege, ezért csak akkor tarthat nullához t esetén, ha azonosan nulla, de ez jelen esetben nem igaz, ugyanis p 0 (0) = 1, mert a rendszert az origóból indítottuk. Ezen tulajdonságok alapján most belátjuk, hogy nulla annak a valószín sége, hogy az (48) összeg konvergens. Nyilvánvaló, hogy a p(t) függvény két maximuma között lennie kell egy minimumnak is ha a függvény nem konstans. Ha konstans, akkor a szumma mindenképp divergens. Ha a függvény nem konstans, akkor válasszunk egy 0 < ε < 1 értéket. Ennek segítségével a szummát becsülni tudjuk a következ módon: p 0 (t i ) p 0 (t i )>ε p 0 (t i ). (49) Jelöljük n i -vel az i-edik minimum helyét. Vezessük be a δ i mennyiséget, amely annak az intervallumnak a mérete az i-edik minimum körül, melyen p(t) < ε. Legyen a vizsgált id tartam t = m N, és ezen id alatt vegyünk M mintát a függvényb l. Annak a valószín ségét keressük, hogy ezen M pont közül j egy ε értéknél nagyobb. Ez a valószín ség nyilván P (j) = ( M j ) ( ) N 1 δ M j ( i t t ) N 1 δ j i. (50) t A második tényez nyilván kisebb mint 1, mert a [0, t] intervallum tartalmazza az összes δ i intervallumot, és az is nyilvánvaló, hogy nem lehet egyenl ezen intervallumok összegével, mert ezek az intervallumok nem tartalmazzák a maximumokat. Jelöljük ez a továbbiakban η-val, amir l tudjuk, hogy η < 1. Hasonló gondolatmenet alapján belátható, hogy az utolsó tényez is kisebb mint egy, jelöljük ezt µ-vel, µ < 1. Tehát a valószín ség a következ formába írható: P (j) = ( M j ) η M j µ j. (51) Most vegyük azt a határesetet, amikor végtelen sok mérési pontot veszünk, azaz M, és annak a valószín ségét keressük, hogy csak véges sok pont nagyobb az ε értéknél. Azaz a következ limeszt vesszük: P (j) = lim M ( M j ) η M j µ j. (52) 17

Az utolsó tényez ben nincs M függés, valamint µ < 1, ezért ( ) M P (j) < lim η M j. (53) M j A binomiális tagot faktoriálisokra szétbontva: Mivel j 1 ezért Írjuk ki a faktoriálisokat is: M! P (j) < lim M (M j)!j! ηm j. (54) M! P (j) < lim M (M j)! ηm j. (55) M! (M j)! = M(M 1)(M 2)... (M j)! (M j)! = M(M 1)(M 2)... (M j + 1). (56) Az M tényez b l M j darabot elhagytunk, azaz j darab maradt. szorzatot becsülhetjük az alábbi módon: Ez alapján a valószín ség: Így a fenti M! (M j)! = M(M 1)(M 2)... (M j + 1) < M j. (57) M! P (j) < lim M (M j)! ηm j < lim M j ηm M η. (58) j Mivel η > 0, valamint j > 0 és véges, ezért a nevez kiemelhet a fenti limeszb l, a lim M j η M (59) M limeszr l pedig látható hogy nullához tart ha M, ugyanis az els tényez polinomiális sebességgel tart végtelenhez, a második tényez pedig exponenciális gyorsasággal nullához. Az id függés csak az η és µ mennyiségekben jelent meg. A levezetés során ezekr l a mennyiségekr l csak azt használtam ki hogy egynél kisebbek, ez pedig bármely t-re fennáll ha ε > 0. Így megállapíthatjuk, hogy P (j) = 0. (60) Azt kaptuk tehát, hogy ha végtelen sok mérési id pontot választunk, akkor ezen id pontokban vett valószín ségek között végtelen sok olyan lesz, amely nagyobb egy ε > 0 értéknél. Ezért a (49) egyenl tlenség miatt az S = p 0 (t i ) (61) összeg divergens, azaz a bolyongás visszatér, a Pólya-féle szám értéke 1. 18

2.3. A visszatérés valószín sége egy dimenzióban 2.3.1. Az origóban való megtalálás valószín sége A periodikus láncnál alkalmazott módszer használható lenne a végtelen pontú határesetben is, azonban a kés bbi számítások megkönnyítése érdekében a visszatérés valószín ségét a Hamilton operátor sajátértékeinek és sajátfüggvényeinek segítségével fogom meghatározni. Els ként most is N pontú egydimenziós periodikus láncot veszünk, majd kés bb a pontok számával tartunk a végtelenbe. Ezt a határátmenetet könnyíti meg a következ módszer. Jelöljük λ n -el a (37) mátrixelemekkel deniált H mátrix n-edik sajátértékét, Λ-val a bel lük alkotott sajátértékmátrixot, az ortonormált sajátvektorokból felépített mátrixot pedig jelöljük Q-val, ekkor H = Qe itγλ Q 1. Így annak a valószín sége, hogy t id alatt a rendszer a j állapotból eljut a k állapotba [30]: π kj (t) = α kj (t) 2 = k Qe itγλ Q 1 j 2. (62) A γ paramétert az egyszer ség kedvéért válasszuk egynek, ez a rendszer zikai tulajdonságait nem befolyásolja, tekinthetjük úgy is hogy ezzel egy másik id skálára tértünk át. A Hamilton operátor hatása a j állapotra a következ : H = 2 j j 1 j + 1. (63) Az id független Schrödinger-egyenletet az alábbi módon írhatjuk fel: ahol és Belátható, hogy H Φ θ = E θ Φ θ, (64) Φ θ = 1 N N j=1 e iθj j (65) E θ = 2 2 cos θ (66) j = 1 e iθj Φ θ, (67) N valamint hogy a sajátállapotok ortogonálisak egymásra, azaz Φ θ Φ θ = δ θθ. Ekkor az α jk (t) átjutási amplitudó a következ képpen írható: α kj (t) = 1 Φ θ e iθk e iht e iθ j Φ θ = 1 e ieθt e iθ(k j). (68) N N θθ θ A periodikus határfeltétel miatt θ = 2nπ N egyenlet a következ alakot ölti: α kj (t) = e i2t N N e n=1 θ kell legyen, ahol 0 < n N. Ekkor a fenti 2nπ i2t cos( N 19 ) e i2πn(k j) N (69)

Véve az N határesetet: lim α kj(t) = e 2it N 2π π π dθe iθ(k j) e i2t cos θ = i k j e 2it J k j (2t). (70) Ezen formula alapján az origóba való visszatérés, azaz annak a valószín sége hogy az origóból indítva a rendszert t id múlva ismét az origóban van: ahol J 0 a nulladrend els fajú Bessel-függvény. p 0 (t) = π 00 (t) = α 00 (t) 2 = J 2 0 (2t), (71) 2.3.2. A Pólya-féle szám értéke Az origóban való mérés valószín ségét már tudjuk, most azt kell meghatároznunk, hogy egy adott {t i } id sor mellett a S = p 0 (t i ) (72) összeg divergens-e, ugyanis ha divergens akkor a bolyongás visszatér, ha pedig konvergens, akkor a bolyongás elszök. A J m (x) alakú Bessel-függvényekr l tudjuk, hogy ha x sokkal nagyobb mint m akkor a Bessel-függvény a következ asszimptotikus alakba írható [35]: 2 ( J m (x) πx cos x mπ 2 π ) (73) 4 Tehát az általunk vizsgált p 0 (t) = J0 2 (2t) függvény burkolója 1 alakú. Vizsgáljuk t meg els ként azt az esetet, hogy nem a p 0 (t i ), hanem az 1 t i értékeket adjuk össze, azaz vizsgáljuk meg az S(t) = 1 t i (74) összeg konvergenciáját. Ez az összeg nyilván becsülhet a következ módon: jelölje g(t) a [t 1, t], t N intervallumban lév mérési pontok számát, ekkor g(t) 1 t 1 t i t=1 1 g(t) t 1. (75) t=1 Tudjuk, hogy a 1 t=1 t t=1 összeg divergens, a 1 t = t δ 1 1+δ t t=1 ahol δ > 0 (76) összeg viszont már konvergens. Tehát ha t akkor a g(t) értékeknek nullához kellene tartaniuk, azaz g(t) várható értéke nulla lenne. Ez azonban ellentmond 20

annak, hogy a g(t) várható értéke a Poisson-folyamat λ paramétere, mivel g(t) azt adja meg hogy egy egységnyi intervallumban hány mérési pont van. A vizsgált p 0 (t) függvény kisebb 1 -nél, azonban a (73) formula alapján alkalmazható rá a véges rendszereknél alkalmazott gondolatmenet a következ módosítással: t most nem ε-nal becsüljük alulról az egyes értékeket, hanem ε -vel. Így az ott alkalmazott további gondolatmenettel belátható, hogy nulla annak a valószín sége, hogy t az S = p 0 (t i ) (77) összeg konvergens nulla, tehát a bolyongás visszatér, azaz a Pólya-féle szám egy. 2.4. Többdimenziós négyzetes rács 2.4.1. Origóbeli valószín ség A valószín ség meghatározásához használjuk az egydimenziós esetben alkalmazott formalizmust, és els ként vizsgáljunk d dimenziós, N d pontból álló négyzetes rendszereket, azaz minden pontnak 2d szomszédja van. Az egyes kvantumállapotokat jelöljük a következ módon [25]: j = j 1, j 2... j d ahol j i = 1, 2,... N. A Hamilton operátor hatása egy adott j állapotra ekkor a következ : H j = 2d j j 1 + 1, j 2... j N j 1 1, j 2... j N... j 1, j 2... j N + 1 j 1, j 2... j N 1 (78) Az id független Schrödinger egyenletet az alábbi módon írhatjuk: ahol a (65) formulához hasonlóan H Φ θ = E θ Φ θ, (79) Φ θ = 1 N d 2 e iθj j, (80) csak most θ is vektor, θ = (θ 1, θ 2... θ N ). Az egyes energiaértékek pedig a következ k: E θ = j N E θi, ahol E θi = 2 2 cos(θ i ). (81) Az el z fejezethez hasonlóan a j állapotokat most is kifejezhetjük az alábbi formulával: j = 1 e iθj Φ N d θ. (82) 2 A π kj (t) valószín séget most is az el z pontban alkalmazott módszerrel számíthatjuk ki: θ π kj (t) == α kj (t) 2 = k Qe itγλ Q 1 j 2. (83) 21

A periodikus határfeltétel miatt θ i = 2nπ N, valamint kihasználva, hogy Φ θ Φ θ = δ θθ : α kj (t) = 1 e ieθt e iθ(k j). (84) N d Az N határesetben a π kj (t)valószín ségre a következ t kapjuk: θ ( d 2 π kj (t) = J ki j i (2t)) (85) Tehát annak a valószín sége, hogy a t id pontban a bolyongót az origóban mérjük: p 0 (t) = (J 0 (2t)) 2d (86) 2.4.2. A Pólya-féle szám értéke Az origóban való mérés valószín sége a (86) és (73) összefüggés alapján felülr l 1 alakú függvénnyel becsülhet. Alkalmazzuk az egydimenziós esetben használt t d jelöléseket, így most is becsülhetjük az S összeget a következ módon: g(t) 1 t 1 d t d t=1 i 1 g(t) (t 1). (87) d t=1 Mivel most olyan esetet nézünk ahol d 2, ahhoz hogy a fenti összeg divergens legyen a g(t) értékek várható értékének t esetben divergálna kéne, ami ellentmond annak, hogy g(t) várható értéke λ <. Tehát a szumma konvergens, a bolyongás visszatér. Az el bbi eredményre kicsit más módon is eljuthatunk. Nézzük meg mi a valószín sége annak, hogy az összes [t 1; t], t N intervallumban t-nél kevesebb pont van. A Poisson-eloszlásról tudjuk, hogy annak a valószín sége, hogy egy egységnyi intervallumban t-nél kevesebb pont van: P (< t) = t 1 k=0 λ k k! e λ. (88) Ez alapján annak a valószín sége, hogy minden intervallumban az adott intervallumhoz tartozó t-nél kevesebb pont van: ( t 1 ) ( ) λ k λ k P (, < t) = k! e λ = 1 k! e λ. (89) t=1 Az ilyen alakú szorzatról viszont tudjuk [10], hogy akkor 0, ha a k=0 t=0 k=t 22 t=1 k=t λ k k! e λ (90)

összeg divergens. Alkalmazzuk a következ jelölést: λ k f(t) = k! e λ. (91) k=t k=t Vizsgáljuk meg hogy milyen gyorsan csökken az f(t) függvény, azaz képezzük az f(t) f(t + 1) összeget. Ez nyilván λ k λ k f(t) f(t + 1) = k! e λ k! e λ = λt t! e λ. (92) k=t+1 Err l látható, hogy nagy t értékekre bármely hatványnál gyorsabban tart nullához, azaz 1 -nél is. Azaz létezik olyat t véges szám, amire f(t) < 1 ha t > t. Tehát t 2 t 2 (90) összeg a következ módon becsülhet : f(t) < t=0 [t +1] t=0 f(t) + t=[t +1]+1 1 t 2, (93) ahol [x] az x egészrészét jelöli. Mivel t véges, f(t) pedig korlátos, ezért a (48) összeg konvergens, azaz nem nulla annak a valószín sége, hogy minden [t 1; t] intervallumban t-nél kevesebb pont van. Ekkor azonban g(t) becsülhet t -vel, azaz g(t) < t. A fenti levezetést alkalmazhatjuk t helyett t-re is, azaz annak a valószín sége sem nulla hogy minden [t 1; t] intervallumban t-nél kevesebb pont van. Ekkor azonban g(t) < t módon becsülhet, így véges valószín séggel a 1 g(t) (t 1) < 1 t (94) d (t 1) d t=1 összeg konvergens, tehát a bolyongás elszök, a Pólya-féle szám egynél kisebb. 2.5. Egyéb rendszerek Ebben a fejezetben az eddig elhangzottak alkalmazásaként megvizsgálom néhány, az irodalomban vizsgált gráfon történ bolyongás Pólya-féle számát. 2.5.1. Teljes gráf Teljes gráfon egy olyan n pontból álló gráfot értünk, amelyben minden pont össze van kötve minden ponttal. Ekkor az origóban való megtalálás valószín ségi amplitudója [36]: q 0 (t) = 1 ( e it(n 1) + (n 1)e it), (95) n ebb l az origóban való megtalálás valószín sége: p 0 (t) = q 0 (t) 2 = 1 [( (1 + (n 1) 2 + 2(n 1) cos 1 + 1 ) ]) t. (96) n 2 n 1 Err l látható hogy periodikus, ezért az egydimenziós véges rendszerekhez hasonlóan a bolyongás visszatér. 23 t=1

2.5.2. Hermite gráf Véges sok pontból álló Hermite gráf esetén az origóban való megtalálás valószín ségi amplitudója [36]: q 0 (t) = 1 2 ( ( cos 3 + ) ( 6 t + cos 3 ) ) 6 t, (97) ebb l p 0 (t) = q 0 (t) 2 = [ ( ( 1 cos 3 + ) ( 6 t + cos 3 ) 2 6 t)]. (98) 2 Látható, hogy p 0 (t) ismét periodikus függvény, tehát a bolyongás visszatér. Végtelen sok pontból álló Hermite gráf esetén ebb l: q 0 (t) = e t2 2, (99) p 0 (t) = e t2. (100) Végtelen sok pontból álló Hermite-gráf esetén p 0 (t) minden hatványnál gyorsabban tart nullához, ezért a többdimenziós négyzetes rácsnál leírt gondolatmenet alapján a bolyongás elszök. 2.5.3. Csillag-rács A csillag-rácsot úgy kapjuk, hogy N darab egydimenziós, egyik irányban végtelen rácsot (félegyenest) a kezd pontjaiknál összekapcsolunk. Így például N = 2-re visszakapjuk az egydimenziós rácsot. Ekkor a valószín ségi amplitúdó [36]: q 0 (t) 4NΓ( 3 2 ) π(n 2) 2 ( 1 t cos 2t 3π 4 Ebb l látható, hogy p 0 (t) 1, azaz a bolyongás visszatér. t ) (101) 2.5.4. Kétdimenziós fés -rács A kétdimenziós fés -rácsot úgy kapjuk a kétdimenziós négyzetes rácsból, hogy az origón átmen egyenesen található élek kivételével minden y irányú élet elveszünk a gráfból. Ekkor az origóban való mérés valószín ségi amplitudója [36]: 2 ( 2 t q 0 (t) πt cos π ). (102) 2 4 Ebb l következik, hogy p 0 (t) = q 0 (t) 2 rendszer kétdimenziós. 1, azaz a bolyongás visszatér, bár a t 24

3. Összefoglalás Dolgozatomban javasoltam egy deníciót a folytonos idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számára. Ez alapjában véve klasszikus bolyongásoknál deniált Pólyaféle szám fogalmán alapul. Ha egy kvantumos rendszeren projektív mérést hajtunk végre, akkor a rendszer beugrik az adott operátor szerinti egyik sajátállapotába, ezáltal az adott operátor szerinti sajátállapotok szuperpozícióját elveszítjük. Ha a rendszeren innitezimális id múlva ismét végrehajtjuk ugyanazt a projektív mérést, akkor a rendszer újra beugrik az adott állapotba, ezáltal az er s mérés felülírja az unitér dinamikát. Ha azonban túl ritkán mérünk, akkor elszalaszthatjuk azt a pillanatot amikor a bolyongó az indulás után ismét a v f pontban van. Ezért a Pólya-szám kvantumos deníciója egy mérési eljárást is kell tartalmazzon. Az általam javasolt denícióban a folytonos idej kvantumos bolyongás elérési idejének deníciójában [14] szerepl mérési eljárást vettem alapul, azaz egy Poisson-folyamattal generált id sor pontjaiban mérünk. Ha azonban egy kvantumos rendszeren mérünk, akkor azzal megzavarjuk a rendszer unitér id fejl dését. A diszkrét idej kvantumos bolyongás Pólya-féle számának deniálásakor [10, 9] ezért annak érdekében, hogy a mérés a lehet legkvantumosabb legyen azt javasolták, hogy ne ugyanazon a rendszeren, hanem egy sokaságon végezzük a mérést, azaz sok azonos módon fejlesztett rendszeren, és mindegyiken csak egyszer mérjünk. Ezáltal elérhet, hogy minden mérés új, addig zavartalan id fejl dés rendszeren történik. Az elérési id deníciója szerint minden mérés ugyanazon a rendszeren történik, az kismértékben megzavarja a rendszer unitér id fejl dését. Ezért az általam javasolt Pólya-féle szám deníciója szerint a mérések a Poisson-folyamat által generált id pontokban történnek, de a mérést sokaságon végezzük, és minden rendszeren csak egyszer mérünk, nem pedig egy rendszert fejlesztünk és mérünk rajta többször. A javasolt deníció alapján megvizsgáltam az egydimenziós végtelen négyzetes rács Pólya-féle számát, valamint ez alapján a magasabb dimenziós négyzetes rácsok esetében is megvizsgáltam, hogy a bolyongás visszatér vagy elszök. Ehhez el ször véges, N állapotból álló rendszerek esetén határoztam meg az origóban való mérés valószín ségét, majd a véges rendszereknél meggyelt tulajdonságokat általánosítottam az N határesetre. Eredményeim azt mutatják, hogy a bolyongás mind periodikus láncon, mind pedig egydimenziós végtelen négyzetes rácson visszatér, magasabb dimenziós négyzetes rácson viszont elszök. A kapott eredmények segítségével a dolgozat utolsó fejezetében néhány, az irodalomban vizsgált gráf esetében határoztam meg, hogy az adott gráfon történ folytonos idej kvantumos bolyongás visszatér -e. A kés bbiekben azt is meg fogom vizsgálni, hogy mi történik akkor, ha a folytonos idej kvantumos bolyongás elérési idejének denícióját [14] módosítom úgy, hogy ne egy rendszert fejlesszünk az id ben és azon mérjünk minden egyes, a Poissonfolyamat által generált id pontban, hanem sokaságon végezzük a mérést, és minden rendszeren csak egyszer mérjünk, ezáltal minden mérés új, addig zavartalan id fejl dés rendszeren történik, ezáltal a lehet legkvantumosabb mérést kapjuk. Az elért eredményeket els ként a 2008-as Kvantumelektronika szimóziumon publikáltam poszter, és a szimpózium kiadványában szerepl absztrakt formájában [37]. 25

Hivatkozások [1] G. Pólya, Über eine Aufgabe der Warscheinlichkeitsrechnung betreend die Irrfahrt im Straÿennetz, Math. Ann. 84, 149 (1921) [2] Pál Révész: Random walk in random and non-random enviroments, World Scientic Publishing, 1990 [3] E. Farhi, S. Gutmann, Quantum computation and decision trees, Phys. Rev. A 58, 915 (1998) [4] Karl Sigman, Elementary Stochastic Processes, lecture notes, http://www.columbia.edu/ ks20/4606-03/4606-07-fall-cvn.html [5] Y. Aharonov, L. Davidovich, and N. Zagury, Quantum Random Walks, Phys. Rev. A 48, 1687 (1993) [6] D. Meyer, from Quantum Cellular Automata to Quantum Lattice Gases, J. Stat. Phys. 85, 551 (1996) [7] D. Meyer, Phys. Lett. A 223, 337 (1996) [8] J. Watrous, J. Comput. Syst. Sci. 62, 376 (2001) [9] M. tefa ák, I. Jex, and T. Kiss, Recurrence and Pólya number of Quantum Walks, Phys. Rev. Lett. 100, 020501 (2008) [10] M. tefa ák, T. Kiss, and I. Jex, Recurrence properties of unbiased coined quantum walks on innite d-dimensional lattices, Phys. Rev. A 78, 1 (2008) [11] J. Kempe, in Proceedings of 7th International Workshop on Randomization and Approximation Techniques in Computer Sciences (RANDOM 2003), edited by S. Arora, K. Jansen, J. D. P. Rolim, and A. Sahai (Springer, Berlin, 2003), p. 354. [12] H. Krovi and T. A. Brun, Phys. Rev. A 73, 032341 (2006) [13] H. Krovi, T. A. Brun, Quantum walks with innite hitting times, Phys. Rev. A 74, 042334 (2006) [14] M. Varbanov, H. Krovi, T. A. Brun, Hitting time for the continuous quantum walk, Phys. Rev. A 78, 022324 (2008) [15] M. Gut a, L. Bouten, and H. Maassen, J. Phys. A 70, 022314 (2004) [16] A. Guichardet, Symmetric Hilbert Spaces and Related Topics, Lect. Notes Math. Vol. 261 (Springer, New York, 1972) [17] F. W. Strauch, Connecting the discrete- and continuous-time quantum walks, Phys. Rev. A 74, 030301 (2006) [18] A. M. Childs, On the relationship between continuous and discrete-time quantum walk, arxiv:0810.0312v1 [19] J. Du et. all, Experimental implementation of the quantum random-walk algorithm, Phys. Rev. A 64, 042316 (2003) [20] Rózsa Pál: Lineáris Algebra és Alkalmazásai, Tankönyvkiadó, Budapest 1991 26

[21] Andrew M. Childs, Richard Cleve, Enrico Deotto, Edward Farhi, Sam Gutmann, Daniel A. Spielman, Exponential algorithmic speedup by quantum walk, Proc. 35th ACM Symposium on Theory of Computing (STOC 2003), pp. 59-68 [22] Andrew M. Childs, Universal computation by quantum walk, arxiv:0806.1972v1 [23] E. Agliari, A. Blumen, O. Muelken, Dynamics of continuous-time quantum walks in restricted geometries, J. Phys. A 41, 445301 (2008) [24] Oliver Muelken, Volker Pernice, Alexander Blumen, Quantum transport on small-world networks: A continuous-time quantum walk approach, Phys. Rev. E 76, 051125 (2007) [25] Oliver Muelken, Antonio Volta, Alexander Blumen, Asymmetries in symmetric quantum walks on two-dimensional networks, Phys. Rev. A 72, 042334 (2005) [26] Oliver Muelken, Volker Pernice, Alexander Blumen, Universal Behavior of Quantum Walks with Long-Range Steps, Phys. Rev. E 77, 021117 (2008) [27] Oliver Muelken, Inecient quantum walks on networks: the role of the density of states, arxiv:0710.3453v1 [28] Oliver Muelken, Veronika Bierbaum, Alexander Blumen, Coherent exciton transport in dendrimers and continuous-time quantum walks, J. Chem. Phys. 124, 124905 (2006) [29] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Continuous time quantum walks in phase space, Phys. Rev. A 73, 012105 (2006) [30] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Spacetime structures of continuous time quantum walks, Phys. Rev. E 71, 036128 (2005) [31] Oliver Muelken, Alexander Blumen, Slow transport by continuous time quantum walks, Phys. Rev. E 71, 016101 (2005) [32] Frederic Magniez, Ashwin Nayak, Peter C. Richter, Miklos Santha, On the hitting times of quantum versus random walks, arxiv:0808.0084v1 [33] S. Chandrasekhar, Stochastic Problems in Physics and Astronomy, Rev. Mod. Phys. 15, 1 (1943) [34] A. Peres, Recurrence Phenomena in Quantum Dynamics, Phys. Rev. Lett. 49, 1118 (1982) [35] Korn: Matematikai Kézikönyv M szakiaknak, M szaki Könyvkiadó, Budapest, 1975 [36] M. A. Jafarizadeh, S. Salimi, Investigation of continuous-time quantum walk via spectral distribution associated with adjacency matrix, Annals of Physics, 322 (2007) 1005-1033 [37] Darázs Zoltán, Kiss Tamás, Folytonos idej kvantumos véletlen bolyongás Pólya-féle száma, Kvantumelektronika 2008, VI. Szimpózium a hazai kvantumelektronikai kutatások eredményér l, szerkesztette Ádám Péter, Kiss Tamás, Varró Sándor, P-19 (2008) 27