PTE PMMFK Levelező-távoktatás, villamosmérnök szak MATEMATIKA (A tantárgy tartalma és a tananyag elsajátításának időterve.) Összeállította: Kis Miklós adjunktus Tankönyvek Megegyeznek az 1. és 2. félévben használtakkal, de kiegészülnek a Kandó Főiskola Matematika II. (2. Rész) (Műszaki Könyvkiadó, Budapest 1975.) 18. Laplace-transzformáció című fejezetével (a továbbiakban: LTR) és a Feladatok a Laplace-transzformációhoz című gyűjteménnyel (a továbbiakban: FELLTR). 3. félév A tantárgy tartalma Laplace-transzformáció A Laplace-transzformáció definíciója: a Laplace-integrál és konvergenciája. A Laplace-transzformáció inverze. A Laplace-transzformáció és inverzének linearitása. Néhány, a gyakorlat szempontjából fontos függvény Laplace-transzformáltja: - exponenciális függvény - trigonometrikus függvények - hatványfüggvény - Dirac-féle δ () t függvény - egységugrás 1(t) függvény - exponenciális fügvénnyel szorzott függvény - hatványfüggvénnyel szorzott függvény - függvény n-edrendű derivált függvénye - függvény integrálja Az inverz Laplace-transzformáció módszerei: - a konvolúció tétele - kifejtési tételek. A Laplace-transzformáció alkalmazása: első- és másodrendű, lineáris, állandó együtthatós, inhomogén differenciálegyenletek megoldása, alkalmas kezdeti feltételek mellett. A sorok elmélete A számsor fogalma és konvergenciája. A konvergencia szükséges feltétele. Nevezetes számsorok: a geometriai sor és a harmonikus sor. Előjeltartó és váltakozó előjelű számsorok. Konvergencia-kritériumok előjeltartó és váltakozó előjelű számsorokra. Abszolút és feltételes konvergencia. Függvénysorok és konvergenciájuk, műveletek konvergens függvénysorokkal. Hatványsorok és konvergenciájuk, műveletek hatványsorokkal. A Taylor-sor és a Maclaurin-sor, mint speciális hatványsorok. Néhány fontos függvény Maclaurin-sora és alkalmazásuk. Periodikus függvények Forurier-sorfejtése.
A Fourier-együtthatók. Páros és páratlan függvények Fourier-sora. Ismétlés az 1. és 2. féléves tananyagból, felkészülés a szigorlatra. A Laplace-transzformáció A tananyag elsajátításának időterve 1. konferencia A Laplace-transzformáció és inverzének definíciója és lineáris tulajdonsága. Néhány, a gyakorlat szempontjából fontos függvény Laplace-transzformáltja. Az inverz Laplace-transzformáció módszerei. 1. egység (kb. 10 óra): az LTR 18.1; 18.2; 18.3 és 18.4 pontok és alpontjaik áttanulmányozása, különös tekintettel a feladatmegoldásokra. 2. egység (kb. 10 óra): az LTR 18.5 pontja bevezető részének, valamint a 18.5.3 és a 18.5.4. alpontok áttanulmányozása, különös tekintettel a feladatmegoldásokra. 3. egység (kb. 10 óra): az alább felsorolt feladatok önálló megoldása: FELLTR 1.1; 1.3; 1.4; 1.8; 1.10; 3.2; 3.6; 3.10; 3.11; 3.12; 3.13; 3.24. 2. konferencia Állandó együtthatós differenciálegyenletek egy partikuláris megoldásának meghatározása a Laplace-transzformáció alkalmazásával A Laplace-transzformáció alkalmazása megfelelő kezdeti feltételekkel megadott, első- és másodrendű, állandó együtthatós differenciálegyenletek megoldására. Áramkör számítási alkalmazások. 1. egység (kb. 10 óra): az LTR 18.6 pontjának áttanulmányozása, különös tekintettel a feladatmegoldásokra. 2. egység (kb. 10 óra): az alább felsorolt feladatok önálló megoldása: FELLTR 4.1; 4.2; 4.4; 4.5; 4.7; 4.8. 3. egység (kb. 10 óra): ismeretbővítés céljából, az LTR 18.7, 18.8 és 18.9 pontjának áttanulmányozása, különös tekintettel a fejezetben definiált fogalmakra. A 3. egység tananyagának feldolgozása azaz a kijelölt fejezetek gondos áttanulmányozása után, házi feladatként, önálló jegyzetet kell készíteni! 3. konferencia A numerikus sor és kapcsolata a függvénysorral A számsor fogalma, konvergenciája, a konvergencia szükséges feltétele. 2
A mértani sor, a harmonikus és a hiperharmonikus sor. Műveletek számsorokkal. Konvergenciakritériumok pozitív tagú sorokra, a Leibniz-féle sor konvergenciájának szükséges és elégséges feltétele. A függvénysor fogalma és kapcsolata a számsorral. 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 6. Végtelen sorok című fejezetéből a 6.1 Numerikus sorok című pont bevezetőjének és 6.1.1 Konvergens és divergens számsorok című alpont áttanulmányozása után, a FEL 9.1; 9.6 és 9.7 feladataiban megadott sorok első hat részletösszegének felírása. 2. egység (kb. 10 óra): az ANAL 6.1.2; 6.1.3; 6.1.4 és 6.1.5 alpontjainak áttanulmányozása. 3. egység (kb. 10 óra): az ANAL 6.1.6 alpontjának különös tekintettel a D'Alembertés a Cachy-féle konvergencia kritériumra áttanulmányozása után, a FEL 9.35; 9.41; 9.43; 9.53 és 9.54 feladatainak megoldása. Az ANAL 6.2 Függvénysorok című pont bevezetőjének és a 6.2.1 alpont áttanulmányozása. A Fourier-sor, mint speciális függvénysor 4. konferencia Műveletek konvergens függvénysorokkal: - a függvénysor tagjainak csoportosítása, - véges sok tag elhagyása a függvénysorból illetve véges sok függvény hozzávétele a függvénysorhoz, - a homogenitás tulajdonsága, - a tagonkénti differenciálhatóság és integrálhatóság. Trigonometrikus függvények által alkotott függvénysor. Periodikus függvények Fourier-sorfejtése: 2π illetve T szerint periodikus függvé nyek Fourier-együtthatóinak meghatározása, Páros és páratlan függvény Fourier-együtthatói. 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 6. Végtelen sorok című fejezetéből a 6.2.2 Műveletek függvénysorokkal és a 6.2.5 Fourier-sorok című alpontok áttanulmányozása, - az utóbbi alpont megoldott példái nélkül. 2. egység (kb. 10 óra): a 6.2.5 Fourier-sorok című alpont megoldott példáinak egyenkénti áttanulmányozása úgy, hogy közvetlenül az 1. példa áttanulmányozása után önállóan megoldandó a FEL 9.191 feladat, a 2. példát követően a FEL 9.185 feladat, végül a 3. példa után a FEL 9.195 feladat. 3. egység (kb. 10 óra): önállóan megoldandók a FEL 9.186; 9.192; 9.201 és 9.204 feladatok. 5. konferencia A hatványsor, mint speciális függvénysor és a Taylor-sor, mint speciális hatványsor. A szigorlati tananyag összefoglalása. 3
Hatványfüggvények által alkotott függvénysor. A hatványsor konvergenciája, a konvergenciasugár és meghatározása. A Taylor (Maclaurin)-sor és a Taylor(Maclaurin)-együtthatók meghatározása. Néhány, a gyakorlat szempontjából fontos függvény Maclaurin-sora. A szigorlatra való felkészülés szempontjai, célszerű módszerei. 1. egység (kb. 10 óra): az ANAL 6. Végtelen sorok című fejezetéből a 6.2.3 Hatványsorok a D) Néhány hatványsor vizsgálata című rész nélkül, és a 6.2.4 Taylor-sor mint speciális hatványsor című alpontok áttanulmányozása, az alpontok megoldott példái nélkül. 2. egység (kb. 10 óra): a fenti alpont megoldott példáinak, egyenkénti áttanulmányozása. A B) A konvergenciasugár meghatározása című rész 1. példájának áttanulmányozása után, önállóan megoldandó a FEL 9.111 feladat. A 2. példát követően a FEL 9.112 feladat, a 3. példa után pedig a FEL 9.120 feladat, és az ezen részt záró, sorszám nélküli példa után a FEL 9.110 feladat. Áttanulmányozandó a 6.2.3 Hatványsorok alpont D) Néhány... című része és a 6.2.4 Taylor-sor... című alpont. Ennek sorszám nélküli példája után megoldandó a FEL 9.134 feladat, a két sorszámozott példa után pedig a FEL 9.181 és 9.180 feladat. 3. egység (kb. 10 óra): önállóan megoldandók a FEL 9.114; 9.116; 9.119; 9.136; 9.137; 9.146 és 9.179 feladatok. A szigorlatra való felkészülés céljából át kell ismételni az 1. és a 2. félévben házi feladatként kijelölt feladatok megoldásait, továbbá a kiadott összefoglaló kérdések alapján, a tananyag elméleti részeit. Összefoglaló kérdések a matematika szigorlatra 101. Ismertesse a vektor fogalmát, a vektor megadásának módját és a vektori műveleteket. 102. Ismertesse két, koordinátáival megadott vektor skaláris és vektoriális szorzata kiszámításának módját, továbbá a kétféle szorzás geometriai alkalmazásait. 103. Ismertesse a determináns fogalmát és a determináns értékének kiszámítási módját. Mondjon példákat a determináns alkalmazására. 104. Ismertesse a lineáris egyenletrendszer fogalmát és megoldásának módját. 105. Ismertesse a mátrix fogalmát, sorolja fel a speciális mátrixokat és hasonlítsa össze egymással a mátrixot és a determinánst. 106. Ismertesse a halmaz fogalmát és a halmazműveleteket. 107. Ismertesse a valós számsorozat fogalmát és sorolja fel tulajdonságait. 108. Ismertesse a függvény általános fogalmát és sorolja fel példákkal a különféle, valós számhoz vagy vektorhoz valós számot vagy vektort rendelő függvénytípusokat. 109. Ismertesse az egyváltozós valós függvény fogalmát. Sorolja fel az alapfüggvényeket és ismertesse példákkal az ezekből való, további függvények képzésének módjait. 110. Ismertesse az egyváltozós valós függvény differencia- és differenciálhányadosának definícióját, valamint geometriai jelentését. 111. Ismertesse az egyváltozós valós, alapfüggvények differenciálási szabályait. 112. Ismertesse az egyváltozós valós függvényekre vonatkozó általános differenciálási szabályokat. 4
113. Ismertesse az egyváltozós valós függvény lokális szélsőértékének és az inflexiós pontjának fogalmát, továbbá a mindenhol, legalább háromszor differenciálható függvény szélsőértéke illetve inflexiós pontja helyének meghatározási módját. 114. Ismertesse a Rolle- és a Lagrange-féle középérték tétel geometriai tartalmát és a L'Hospital szabályt. 115. Ismertesse az egyváltozós valós függvény diszkussziójának menetét. 201. Ismertesse a komplex szám fogalmát, ábrázolását, indokolja meg bevezetésének szükségességét. 202. Ismertesse a komplex szám három alakját és az egyik alakról a másikra való áttérés módszereit. 203. Ismertesse a komplex szám egyes alakjaiban elvégezhető műveletek végrehajtásának módszereit. 204. Ismertesse az egyváltozós valós függvény határozatlan integráljának fogalmát, továbbá a differenciálás és az integrálás kapcsolatát. 205. Ismertesse példákkal a legfontosabb integrálási szabályokat és módszereket. 206. Ismertesse az egyváltozós valós függvény határozott integráljának fogalmát és a kiszámítására alkalmazott Newton-Leibniz szabályt. 207. Ismertesse a határozott integrál alkalmazásait. 208. Ismertesse a közönséges differenciálegyenlet fogalmát és jellemző sajátosságait. Sorolja fel a legfontosabb differenciálegyenlet típusokat a megoldás módszerei szempontjából. 209. Ismertesse a másodrendű, állandó együtthatós, lineáris differenciálegyenlet megoldásának módszerét. 210. Ismertesse a kétváltozós valós függvény fogalmát és grafikonjának geometriai értelmezését. 211. Ismertesse a kétváltozós valós függvény parciális deriváltjának fogalmát, geometriai értelmezését és kiszámításának módszerét. 212. Ismertesse a kétváltozós valós függvény tartományon vett határozott integráljának fogalmát, geometriai jelentését és kiszámításának módszerét. 301. Ismertesse a Laplace-transzformáció definícióját, tulajdonságait. 302. Ismertesse a Laplace-transzformáció alkalmazási területét és a transzformált függvény szokásos jelöléseit. 303. Ismertesse a leggyakrabban használt függvények Laplace-transzformáljait. 304. Ismertesse az inverz Laplace-transzformáció módszereit. 305. Ismertesse a Laplace-transzformáció alkalmazásának feltételeit és módszerét (közönséges) differenciálegyenlet megoldására. 306. Ismertesse a numerikus sor fogalmát, konvergenciájának szükséges feltételét és értelmezze a szokásos jelöléseket. 307. Ismertesse a numerikus sor konvergenciájának elégséges feltételét előjeltartó és alternáló sor esetén. Sorolja az elégséges feltétel teljesülése megállapításának tanult módszereit. 308. Ismertesse a függvénysor fogalmát és kapcsolatát a numerikus sorral. 309. Ismertesse a függvénysorokkal végezhető műveleteket és a műveletek elvégzésének feltételeit. 310. Ismertesse a Fourier-sor fogalmát és azokat a feltételeket, amelyek teljesülése esetén egy adott függvény Fourier-sorba fejthető. 311. Ismertesse a Fourier-együtthatók meghatározásának módszerét 2 illetve T szerint periodikus függvények esetén. 312. Ismertesse a páros illetve a páratlan függvények Fourier-sorának sajátosságait. 5
313. Ismertesse a hatványsor fogalmát, a hatványsor konvergencia tartományának fogalmát és a konvergencia sugár meghatározásának módszerét. 314. Ismertesse a Taylor- és a Maclaurin-sor fogalmát és a sorok együtthatói kiszámításának módszerét. 315. Ismertesse a legfontosabb függvények Maclaurin-sorát és ezek alapján további függvények Maclaurin-sora meghatározásának módszereit. 6