Gyakorló feladatok Az alábbi feladatokon kívül a félév szemináriumi anyagát is nézzék át. Jó munkát! Gaál László I/. A vizsgaidőszak második napján a hallgatók %-ának az E épületben, %-ának a D épületben, a többieknek pedig a K épületben van vizsgája. (Mindenkinek csak egy vizsgája van.) Az E-ben 6%-os a bukási arány, a D-ben %, a K-ban pedig %-os. a) Rajzolja fel a valószínűségi fát! b) Véletlenszerűen kiválasztva egy hallgatót, mi a valószínűsége, hogy átment a vizsgáján? c) Egy véletlenszerűen kiválasztott hallgató megbukott a vizsgáján, mi a valószínűsége, hogy az E épületben vizsgázott? I/. Egy üzemben gépsor gyárt egy adott terméket. Az első gépsor gyártja az összes termék %-át, a második %-át. Az első gépsor által előállított termékek 6%-a hibás, a másodiknál %, a harmadiknál % ez az arány. a) Rajzolja fel a valószínűségi fát! b) Véletlenszerűen kiválasztva egy terméket, mi a valószínűsége annak, hogy hibás? c) Egy véletlenszerűen kiválasztott termék nem hibás, mi a valószínűsége, hogy a harmadik gépsor gyártotta? II/. Adott a következő függvény: p f ( ) egyébként I. II. a) A p paraméter milyen értéke esetén lesz f() függvény egy folytonos eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye? II/. f ( ) p egyébként a) Határozza meg p paraméter értékét! b) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét )-et! c) Határozza meg várható értékét!
II/. f ( ) egyébként a) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét )-et! II/. f ( ) 9 9 a) Írja fel és ábrázolja eloszlásfüggvényét )-et! b) Bizonyítsa be, hogy f () valóban sűrűségfüggvény! II/. f ( ) 6 8 egyébként a) Bizonyítsa be, hogy f () valóban sűrűségfüggvény! b) Számítsa ki a P(, ) II/6. Adott a ) ( valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: ) a) Határozza meg sűrűségfüggvényét, f () -et! Majd ábrázolja ) -et és f () -et! b) Számítsa ki a P(, ) II/7. Adott a ) ( valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: 9) 7 8 7 8 a) Határozza meg sűrűségfüggvényét, f () -et! Majd ábrázolja ) -et és f () -et!
II/8. Adott a valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: ) a) Határozza meg és ábrázolja sűrűségfüggvényét, f () II/9. f ( ), egyébként -et! a) Bizonyítsa be, hogy f () valóban sűrűségfüggvény! b)számítsa ki a P(, ) c) Adja meg az eloszlásfüggvényt és grafikonját! II/. Vizsgálja meg, hogy lehet-e valamely, f ( ) függvény!, valószínűségi változó sűrűségfüggvénye az a) Amennyiben sűrűségfüggvény számítsa ki a várható értéket! b) Számítsa ki a P(, ) III. III/. a) Az ismeretlen eloszlású valószínűségi változó várható értéke 6,, a szórása,. Legalább mennyi a valószínűsége, hogy a valószínűségi változó a várható értéktől legfeljebb -mal tér el? a) Mennyi ez a valószínűség Poisson eloszlást követ változatlan várható értékkel és szórással? b) A valószínűségi változó lehetséges értékei: ; ;.,6; p,; p, A megfelelő valószínűségek: p. b) Rajzolja fel eloszlását; határozza meg az eloszlásfüggvényt és ábrázolja! b) Számítsa ki az 7 valószínűségi változó várható értékét és szórását!
III/. a) Az ismeretlen eloszlású valószínűségi változó várható értéke, a szórása. Adjon becslést a P (8 6) valószínűségre! a) Mennyi a P ( ) valószínűség binomiális eloszlást követ változatlan várható értékkel és szórással? b) A valószínűségi változó lehetséges értékei: ; ; 8.,; p,; p, A megfelelő valószínűségek: p. b) Rajzolja fel eloszlását; határozza meg az eloszlásfüggvényt és ábrázolja! b) Számítsa ki az valószínűségi változó várható értékét és szórását c) Hűtőgépek műszaki átvétele során három gépet ellenőriznek. Jelentse A, B ill. C rendre azt az eseményt, hogy az első, második illetve a harmadik gép hibás. Mit jelentenek a következő események c) ( A B) C c) A B C III/. a) A szöveteken található szövési hibák Poisson-eloszlást követnek. méterenként átlagosan hiba található. Mennyi annak a valószínűsége, hogy egy méteres darabot vizsgálva legalább hibát találunk? a) Tudjuk, hogy az A véletlen esemény valószínűsége p=p(a)=,. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz azt akarjuk, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága a valószínűséget,-nél kisebb hibával, legalább 9%-os valószínűséggel közelítse meg? b) Adott a valószínűségi változó a következő eloszlásfüggvénnyel: ) 6 8 8 Írja fel eloszlását és ábrázolja azt! Számítsa ki M ( ) -t és D( ) -t! III/. valószínűségi változó binomiális eloszlású. Várható értéke, szórása. a) Határozza meg valószínűségi változó paramétereit! a) Számítsa ki a P( ) b) Tudjuk, hogy az A véletlen esemény valószínűsége p=p(a)=,. Hány kísérletet kell elvégezni ahhoz azt akarjuk, hogy az esemény bekövetkezésének relatív gyakorisága a valószínűséget,8-nél kisebb hibával, legalább 99%-os valószínűséggel közelítse meg? c) Egy fős csoport tagjai között 6db nyereményt sorsolnak ki. Hányféleképpen végződhet a sorsolás a nyeremények egyformák és egy személy csak egy nyereményt nyerhet? c) Ha a nyeremények különbözőek és egy személy több nyereményt is nyerhet?
III/. a) Egy előrejelzési módszer hibája (megfelelő egységben mérve) egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [ ;] intervallumon. Mi a valószínűsége annak, hogy a hiba nagysága a várható értéktől nem tér el nagyobb mértékben a szórás,-szeresénél? b) Egy szabályos kockával dobásokat végzünk. Hány dobást kell elvégezni ahhoz azt akarjuk, hogy a 6-os dobás relatív gyakorisága az 6 valószínűséget,-nél kisebb hibával, legalább 9%-os valószínűséggel közelítse meg? c) Egy elemű alapsokaságban selejt található. Visszatevéssel kiveszünk 7 elemet. Mennyi a valószínűsége, hogy a mintában pontosan selejt található? c) Mennyi az előbbi valószínűség visszatevés nélküli mintavétel esetén? III/6. a) Egy ToiToi-ban a két látogató érkezése között eltelt idő eponenciális eloszlású valószínűségi változó, perc várható értékkel. Mennyi annak a valószínűsége, hogy két látogató érkezése között legalább, de legfeljebb perc telik el? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal: 7 -,,, 6,,, Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg várható értékét és szórását! III/7. a) Egy kockával tízszer dobunk egymás után. valószínűségi változó értéke jelentse a hatos dobások számát.(binomiális eloszlás.) Mennyi annak a valószínűsége, hogy pontosan négyszer dobunk hatost? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal: -,,,, Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg és várható értékét! III/8.
valószínűségi változó jelölje egy elektronikus kütyü élettartamát. eponenciális eloszlású, a következő sűrűségfüggvénnyel: valószínűségi változó f ( ) e a) Mi a valószínűsége, hogy legalább, évig működik a kütyü? b) Adott egy kétdimenziós eloszlás a következő táblázattal: - 7 -,,, 9,,, Határozza meg a peremeloszlás-függvényeket és az együttes eloszlásfüggvényt! Határozza meg várható értékét és szórását! IV. IV/. Egy dugulás alkalmával a lakást elöntő szennyvíz űrtartalma egy olyan valószínűségi változó, amelynek várható értéke 8 liter, szórása liter. a) Mekkora a P ( ) valószínűség? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a lakásban lévő szenny űrtartalma liter és 8 liter közé esik? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy nem tér el a várható értéktől a szórás,- szeresénél jobban? d) A várható érték körül milyen sugarú megbízhatósági intervallumba esik 98%-os valószínűséggel? IV/. Egy bizonyos márkájú fogkrém tubusából kinyomható fogkrémcsík hossza normális eloszlást követő valószínűségi változó, 6 méter várható értékkel és, méter szórással. a) Rajzolja fel a sűrűségfüggvényt; majd a következő kérdésekre adandó válaszait is ábrázolja a Gauss-görbén! a) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy tubusból legfeljebb méter hosszú csíkot tudunk kinyomni? b) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kinyomható csík hossza, és 6, méter közé esik? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy a kinyomható csík hossza nem tér el a várható értéktől a szórás, szeresénél jobban? d) A várható érték körül milyen sugarú megbízhatósági intervallumba esik 9%-os valószínűséggel? 6