Egy idõállandós rendszer modell Egyszerű, gyaran használ (öbb öölszabályban is eenérheő) özelíés; az áviel RC (aluláeresző) - szűrő [ τ = RC időállandó] modellezi.. ALAPÖSSZEFÜGGÉSEK A. Szinuszos, ω = π revenciájú (T = / periódusidejű) és A ampliúdójú bemene (gerjeszés) eseén - a eszülségoszás, valamin a omplex szám abszolu érée és ázisa épleé elhasználva - a imenő jel (a válasz) u KI a a A = cos( ω Φ) = cos ( ) ahol az ampliúdó áviel (az abszolu éré): a = + B és i B a sávszélesség (az a revencia éré, ahol a = / [ ω ]... () 06, B =... () π RC τ a (relaív) ázis nagysága: Φ= arcg( ω RC) = arcg B... (3), azaz -3 db) (és Φ = 45 0 = π/4, ha = B), illeve a ázissal evivalens időésleleés érée Φ Φ =, azaz ω T =... (4) π Az áviel (a) és a ázis (Φ) revencia-üggése (B-re normál revencia): B =.57 B = π a( ) φ ( ) 0.79 π 4 0. 0. 0 0 0. 0 elsőrendű hálóza [ s -order low-pass (LP) sysem] papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell
B. Egységugrás bemenere a válasz exponenciális : e τ... (5) au = 0.9 e τ 0.5 0. 0 0 3 4 5 6 (τ-ra normál idő), a eluási idő (0-90%) érée pedig = RC ln 9, τ... (6) C. A eluási ido ( ) és sávszélesség (B) apcsolaa (6) és () alapján = ln 9 035, π B B... (7) és ez az összeüggés pl. az oszcilloszópo adalapján is eledezhejü! Megjegyzés: egymás öveő (aszád apcsolású) egy-időállandós oozao eseén, az eredő e eluási idő éréére jó özelíés a négyze-szabály e ( ) + ( ) = +... (8) ahol pl. oszcilloszóp eseén e : a megigyel éré, : a mérendo, pedig az oszcilloszóp sajá eluási ideje (lásd (7))..4 3 x..05 0 0.5 x Valójában, modell szinen is bonyolulabb az összeüggés... Csa mazochisána: C. Miermayer, A. Seininger: On he deerminaion o dynamic errors or Rise Time measuremen wih an oscilloscope, IEEE Trans. on Insr. and Meas., pp. 03-07, Dec. 999 papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell
. FELADAT Egy-időállandós (RC aluláeresző szűrő) rendszer modell alapján 3 haározzu meg (a) a eluási idő ( ) és a sávszélesség (B) apcsolaá [ 0.35/B], (b)* az ampliúdó hibá becslő hármas-szabály [3-szor nagyobb sávszélességű oszcilloszóp ell 5%-os ponosságú méréshez], (c)* a eluási idő hibájá becslő harmados-szabály [harmadnyi eluási idejű oszcilloszóp ell 5%-os hibához], (d) a apaciív erhelés haásá egy orrásra [a eluási idő:, RC], (e)* egy ado ponossághoz szüséges beállási idő, ()* a diszré-idejű EXPonenciális ÁTLAGolás reurzív algorimusá. 3 A *-gal jelöl eladao megoldásá lásd a Függelében. papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 3
3. KÍSÉRLET RC hálóza: ellenállás-méréssel R = 9,9 Ω, C ismerelen Gerjeszés: ARB generáor, válasz-elemzés: digiális oszcilloszóp (DSO) - () csaorna: bemene (gerjeszés), () csaorna: imene (válasz) A. Szinuszos gerjeszésnél, a mér adaoból (α) ellenőrízzü a idő-ésleleés adaá, (β) haározzu meg C éréé, ha R = 9,9 Ω és adju meg a B sávszélessége, (γ) a Lissajous-görbe alapján is ellenőrízzü a Φ ázis adao. (α) mér idő-adao: Úm: ésleleés (D: Delay) ellenőrzéséhez lásd a (4) egyenlee [vigyáza: a épleben rad, a mérésnél o a ázis dimenziója] papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 4
(β) mér ampliúdó adao: V max( ) Úm: pl. V max( ) =, ebből + ω RC ( ) C = V max( ) V max( ) ω R [lásd (α) mérésnél a revencia éréé], a B sávszélesség ()-ből adódi. (Vegyü észre: mivel Φ π/4, ezér B az (α)-nál mér revencia ) (γ) Lissajous-görbe: X = () csa, Y = () csa Y Úm: egyszerűen beláhaó, hogy sin( Φ) = Y ( Megjegyzés: ermészeesen Y Max() ) papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 5
A. Ugyancsa szinuszos gerjeszés, de nagy revencián: Ellenőrízzü mos a Φ (=.ω) ázis adao! Haározzu meg i is C éréé (a mér ampliúdó adaoból, az ellenállás válozalanul R = 9,9 Ω)! papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 6
B. Egységugrás ( Hz-es négyszög-impulzus) gerjeszésre a válasz: Haározzu meg i is C éréé a mér eluási idő (Rise) ada - és az ismer R ellenállás - elhasználásával, lásd (6)-o! Megnövel revenciájú négyszög-impulzus sorozara ado válasz (az RC hálóza min inegráor...): papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 7
B. Nagy revenciás háromszög jelre ado válasz: Megjegyzés: ezen a revencián már láhaóan radiális a szűrő haás... B3. SINC-pulzusra ( Dirac-impulzusra) ado válasz: Megjegyzése: () Nagy ampliúdó ell használni miér? () Emléezzün az RC-ag (Dirac)impulzus-válaszára! (3) Végezzü el a ísérlee (a) növel számú (pl. 30) zero cross paraméerű SINC pulzussal [Waveorm Edior], illeve (b) igen is iölésű ényezőjű négyszög jellel ( Dirac-impulzus) a generáor (330A ype) burs üzemmódjá használva [carrier: Square, Freq: 00Hz, burs Coun:, burs Rae: 00 Hz], vagy 330A ype eseén pulse üzemmód Haározzu meg az ábra alapján a τ = RC időállandó! papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 8
FÜGGELÉK: elada megoldáso (b) A hármas-szabály ()-ből özvelenül adódi (elhasználva az x + x özelíés, és az, hogy a relaív hiba melle - mer -nél jóval isebb - elhanyagolhaó a relaív hiba négyzee ), (c) A harmados-szabály (8)-ból apju, lásd még a hozzá arozó ábrá is. (e) Egységugrás bemenre a válasz exponenciális : R és a - végéré h relaív hibájú megözelíéséhez szüséges - beállási idő az egyenleből: = τ ln(/h). C e τ Például %-os ponosságú beálláshoz = 4,6 τ. = h () Írju el az áramör egyenlee diszré alajá! R i() x() C u() Az ábra alapján: x = i R + u, ebből a (ölés: Q =) i d = C du apcsola és τ = RC (időállandó) elhasználásával, a -adi minavéeli időpillanaban a dierencia egyenle (d = és du = u - u - ) x u = u + u τ, vagyis a imene: u n x = u + n n ahol n = + (τ/ ) onsans. Az aluláeresző szűréssel evivalens exponenciális álagolás oozaosan eleleji a régi mér (álag)éréee és csa részben érvényesíi az új adao. Megjegyzés: a reurzív egyenle mási, szoásosabb ormája: u x = u + u n, ahol ehá x az új mina, u - a régi álag és u az új álagéré, n pedig az időállandó. papay@hi.bme.hu Egy-időállandós rendszer modell 9