Kontytető torzfelülettel A tnulmányi és npi munkáj során z ács viszonylg ritkán tlálkozik torzfelület elnevezésű mértni lkzttl bár tetők és zsluztok építése során is kpcsoltb kerülhet velük Most nem merülve el z elnevezések problémkörében z lábbikt mondjuk el e témávl kpcsoltbn tető - lkokr fordítv figyelmünket Az [ ] munkábn is tlálkozhtunk címbeli problémávl: hogyn oldják meg négyszög lprjz feletti tetőidom kilkítását Vegyük sorr felmerülő főbb tudnivlókt Egy ferdeszögű négyszög lprjz feletti tetőidom kilkításáról Az [ ] műben olvshtjuk z lábbikt ábr ábr
A nem tégllp ereszkörvonl - rjzú kontytető kilkításánk kétféle módját láthtjuk itt nnk érdekében hogy z egyébként emelkedő vgyis nem vízszintes tréjt vízszintes helyzetűre lkítsuk át Ugynis z építészeti szkirodlom néhol egyenesen megengedhetetlennek trtj ferde tréjjl készült tető - lkot Most nem fogllkozunk szépészeti kérdésekkel hnem úgy vesszük hogy dott feldt: vízszintes tréjú kontytető kilkítás Az ábr felülnézeti tető - képei közül jobb oldli zt z esetet szemlélteti mikor z épület járd - szintjéről már nem láthtó felső tetőrészt úgy lkítják ki hogy ferde tréjt egy vízszintes síkkl levágják mjd z így létrejött T T T 3 háromszögre mint egy újbb ereszkörvonl - rjzr egy z eredetinél jóvl kisebb hjlású tetőidomot szerkesztenek Utóbbi éleit z ábrán szggtott vonlk jelzik A bl oldli esetben vízszintes tréjt z AB vízszintes ereszvonlll párhuzmossá tették Ennek eredményeként DC és T T egyenesek kitérő helyzetűek lettek zz rjtuk nem fektethető át egy sík A nem sík felülettel vló lefedéshez dj mgát torzfelület mely egyenes lkotókkl bír Így DCT T tetőfelület három részből áll: ~ DET síkháromszögből ~ z EFT T torzfelületből vlmint ~ z FCT síkháromszögből Ezt z is jelzi hogy D A és B ereszsrkoknál közepelést szögfelezéssel végezték mikor is megfelelő tetősíkok egyező hjlásúk A C sroknál z ábrából is jól kivehetően T C élgerinc - vetület nem szögfelező helyzetű mi zt jelzi hogy z itt összemetsződő tetősíkok nem egyező hjlásúk: z élgerinc vetülete szögfelezőtől elfordul ngyobb hjlásszögű tetősík eresz - szksz felé Tudjuk hogy z EF szkszon z ereszre merőleges síkokbn elhelyezett szrufák eltérő hjlásúk lesznek mit úgy is megfoglmzhtunk hogy torzfelület csvrodik A tetőidom főbb méreteinek meghtározását egy mintpéldán keresztül muttjuk be Megjegyzés: Különös hogy z építészek részéről ferde tréj ellen úgy szól z érvelés hogy nem szép vlmint hogy nehéz kilkítni H eddig követtük gondoltmenetet kkor kezdhet olyn gynúnk támdni hogy térbeli kitérő helyzetű eresz és tréj között pl tlpszelemen illetve tréjszelemen és szruf - végek összekötése sem lesz egy szokványos feldt Másként foglmzv: cseberből vederbe Mintpéld Adott: ábr szerinti fedélidom Adtok: α = 60 δ = 45 ; = 400 ( m ); b = 900 ( m ) Keresett: m t β γ ε C ε C ε C szerkesztéssel és számítássl
3 ábr Megoldás ) Szerkesztés Az lprjzon dolgozunk 3 ábr A szerkesztéses méret - meghtározás lényege: ábrán befeketített háromszögek síkjánk z lprjz síkjáb döntése mjd z így kpott vlódi ngyságú háromszög - dtok lemérése A szerkesztés eredményei méréssel: m = 490 ( m ); t = 500 ( m ); β = 48 ; γ = 39 ; ε C = 45 ; ε C = 3 ; ε C = 4
4 3 ábr b) Számítás A számításos megoldás során ngyrészt szerkesztést követjük Ehhez először tekintsük 4 ábrát! Egyrészt: m tg 45 tg45 innen: tg 45 ; ( ) másrészt: ; ( b ) most ( ) és ( b ) - vel: 4 ábr
5 tg 45 tg 45 innen: ; ( c ) tg 45 továbbá ( b ) és (c ) - ből: tg 45 tg 45 tg 45 tg 45 tg 45 tg 45 ctg 45 tehát: ( d ) ctg 45 Ezután z ábrák szerint: m m tg m innen m tg ; ( e ) most ( d ) és ( e ) - vel: tg m ctg 45 ( f ) Hsonlón: m tg t sin m tg t sin ( g ) ( h ) Most megint z ábrák lpján:
t b b b tehát: t b ( i ) Fejezzük ki ( g ) - t ( d ) ( e ) ( i ) - vel! tg tg tg tg t t t sin sin sin ctg 45 tg sin b ctg 45 tehát: 6 tg tg sin b ctg 45 ( j ) Innen β már visszkereséssel számíthtó Hsonlón ( h ) - ból: tg tg b ( k ) sin ctg 45 Innen γ már visszkereséssel számíthtó Az ε C szög z ábrákról zonnl dódik: C 90 ( l ) Az ε C és ε C szögeket egy korábbi dolgoztunk címe: A szintvonls eljárásról eredményének felhsználásávl számítjuk ki A képlet:
7 Ezt lklmzv z itteni esetre: sin C tg C ; tg cos C tg ( m ) most ( k ) ( l ) ( m ) - mel: sin90 cos tgc tg tg cos90 sin tg tg cos sin b sin ctg 45 tehát: cos tg C sin b sin ctg 45 ( n ) Innen ε C már visszkereséssel számíthtó Ennek ismeretében pedig: ( o ) C C C A fenti képletekbe helyettesítve z dtokt következő eredmények dódnk: m 4899 (m); t 5000 (m); 4683 ; C 4500 ; 3759 ; C 355 ; C 3 45 A szerkesztéssel / méréssel és számítássl kpott számszerű eredmények egyezése elfogdhtó A szögmérési ponttlnságokért gyári hibás szögmérő eszköz is okolhtó
8 A példbeli tető torzfelületéről Tekintsük z 5 ábrát! Itt kékkel kezdő érintősíkot pirossl torzfelületet színeztük 5 ábr Jelöljük torzfelület egy tetszőleges pontját P - vel! Ennek koordinátái: ( x P y P z P ) A felület egyenletéhez következőképpen juthtunk Az 5 ábr lpján: z y tg (x ); ( ) P P P m tg (x ) ; P x P tg m tg ; ( e ) most ( ) ( ) ( e ) - vel: tg yp tg zp y P x x P tg P tg Elhgyv P indexet felület egyenlete: ( )
9 y tg z(x y) x tg ( 3 ) A ( d ) képlet szerint: ( d ) ctg 45 Most ( 3 ) és ( d ) - vel: y tg y tg z(x y) x tg x ctg 45 tg ctg 45 tehát: y tg z(x y) x tg ctg 45 hol : 0 x bcos 0 y bsin ctg 45 tg 0 z ctg 45 ( 4 ) Hsonlítsuk össze z ( ) és ( 4 ) képleteket! Leolvshtó hogy tg tg (x) x tg ctg 45 ( 5 )
Eszerint mondhtjuk hogy felületet egy olyn egyenes - sereg lkotj melynek meredeksége z x - tengely mentén folytonosn csökken Szokás ezt felületfjtát vonlfelületnek is nevezni [ ] Nézzük meg felület néhány metszetét! 0 I z = konst = z 0 ; ( * ) ekkor ( 3 ) és ( * ) szerint: y tg z0 z0 tg z0 y x c c x; x tg tg tg ez egy egyenes egyenlete II y = konst = y 0 ; ( ** ) ekkor ( 3 ) és ( ** ) szerint: y0 tg c3 z ; x tg c4 x ez egy hiperbol egyenlete III x = konst = x 0 ; ( *** ) ekkor ( 3 ) és ( *** ) szerint: ytg z c5 y; x0 tg ez egy egyenes egyenlete Az ( e - ) és z ( e - ) eredmények z 5 ábrán is megfigyelhetők A metszeti hiperbol - ág lefutásánk jellegét 6 ábrán szemlélhetjük ( e - ) ( hip ) ( e - ) Látjuk hogy tető szerkezetének építése során nem csk szrufák de vízszintes helyzetű egyenes tetőlécek is gond nélkül elhelyezhetők Ez már nem mondhtó el egy véges merevségű lemez felerősítésével kpcsoltbn nnk megcsvrodás mitt Önállón megoldndó feldtok F Htározz meg z ET FT GT 3 szruf - hosszkt! F Mutss meg hogy tetőidom csk síkokt trtlmz h ~ δ = 0 illetve ~ b =! F3 Htározz meg példbeli torzfelület csvrodását!
z 4 08 06 04 0 x -0 0 04 06 08 4 6 8 4 6-0 -04-06 6 ábr Irodlom: [ ] Kotsis Endre: Épületszerkezettn Egyetemi Nyomd Budpest 945 [ ] http://huwikipediorg/wiki/vonlfel%c3%bclet Sződliget 00 november 6 Összeállított: Glgóczi Gyul mérnöktnár