Louvlle tétele Egy tetszőleges klasszkus mechanka rendszer állapotát mnden t dőpllanatban megadja a kanónkus koordnáták összessége. Legyen a rendszerünk N anyag pontot tartalmazó. Ilyen esetben a rendszer állapota jellemezhető 3N darab tér-koordnátával: q 1, q 2,...,q,...,q 3N és 3N mpulzuskoordnátával: p 1, p 2,..., p,..., p 3N. A rendszer állapotát jellemző koordnáták összességét q, p q, p -vel fogjuk jelőln. A rendszer állapotát a 6N dmenzós állapottárben ez a q, p koordnátájú karaktersztkus pont jellemz. A rendszer állapotát jellemző karaktersztkus pont az dő során mozog az állapottérben, ezáltal a q és p kanónkus koordnáták változnak az dőben a kanónkus mozgásegyenleteknek megfelelően. Ha a rendszer állapotát a H =H q, p,t Hamlton-függvény adja, akkor a mozgásegyenletek: H q, p q = =1,2,3...3N (1) H q, p ṗ = q A karaktersztkus pont a mozgása során egy trajektórát határoz meg az állapottérben. A karaktersztkus pont mozgásának az rányát mnden pllanatban megadja az általánostott sebességvektor v, amelynek koordnátá: q, ṗ. A mozgás során a karaktersztkus pont általában az állapottér egy megadott tartományában marad. Az állapottérnek ezt a tartományát a rendszerre szabott külső feltételek határozzák meg. Például bezárjuk a rendszert egy dobozban (határt szabva ezáltal a térkoordnáták értékének, vagy lerögztjük a rendszer energáját...stb). Tekntsünk most nagyon sok különböző másolatát (replkáját) a karaktersztkus pontnak, mndenket a megengedett állapottér különböző pontjából kndtva. Ezen pontok sokasága egy ponthalmazt határoz meg a 6N dmenzós állapottérben. Ezen pontok sokaságának egy áramlása történk az dő során, mnden másolat ugyans evoluál az dő függvényében. Értelmezhetjük ezen sokaság állapotanak a sűrűségét, a 6N dmenzós állapottér mnden pontjának a körzetében és mnden dőpllanatban: q, p,t. Ennek a sűrűségnek a segtségével a q, p koordnátájú pont körzetében az állapottér egy elem térfogategységben d 3N q d 3N p található pontoknak a száma: dn= q, p,t d 3N d 3N p. Egy tetszőleges F q, p fzka mennység (amelynek az értéke különbözk a rendszer állapotától függően) átlagát k tudjuk számtan mnt: F q, p q, p,t d 3N q d 3N p F q, p = (2) q, p,t d 3N qd 3N p Az ergódkus hpotézs alapján a valós termodnamka rendszerekre mért dőátlagok megegyeznek ezen sokaságátlagokkal. A fent ntegrálok az egész állapottérre vonatkoznak, de végül s az ntegrálok szemszögéből csak azon tartományok lényegesek amelyekre 0. Fgyelembe véve, hogy q, p,t dőfüggő lehet, azonnal következk, hogy F s dőfüggő lehet. Egy sokaságot staconárusnak fogunk nevezn akkor ha a sokaságot alkotó pontok sűrűsége nem függ az dőtől: q, p,t q, p t =0 (3) Ilyen esetben a fzka mennységek átlaga s dőtől függetlenek. A termodnamka rendszerek, lyen esetben vannak egyensúlyban. A következőkben ennek a termodnamka egyensúlynak a feltételet vzsgáljuk és ezzel kapcsolatos a Louvlle tétele. Tekntsünk a következőkben az állapottér egy adott tartományát. A sokság pontjanak a számát ebben a tartományban megkapjuk mnt: n = d (4)
A térrészben az egységny dő alatt a sokságpontok számának a változása: n t = d (5) t ahol d d 3N qd 3N p. 1. ábra. A sokaságpontok a tartományban A tartományból egységny dő alatt kfolyó sokaság-pontok számát, q k megkapjuk mnt q k = v d ahol d = n d (6) A fent képletekben v az adott (q,p) pontban levő pont sebességét jelől, a tartomány felületét, lletve d az ránytott felületegységet adja (felületelem és a reá merőleges n egységvektor szorzata). A Gauss-Ostrogatsk képlet alapján, a felület ntegrál átalaktható egy térfogat ntegrállá v d = v d, (7) ahol a dvergenca operátor hatása: 3N v =1 [ q ṗ ] (8) Mvel a sokaságpontok száma adott és nem változk (a rendszerben nncsenek források és elnyelők) felrható, hogy: n t = q k (9) Ennek az alapján felrhatjuk, hogy
t d = v d vagys:, t v }d =0 (10) Ahhoz, hogy mnden lehetséges térbel térfogatra a fent egyenlőség gaz legyen, az szükséges, hogy: t v =0. (11) A fent egyenlet azonban nem más mnt a kontnutás egyenlet a tekntett sokaságpontokra. Felhasználva most a dveregenca-operátor (8) hatását a kontnutás egyenletet tovabb rhatjuk: =1 q ṗ }=0 (12) A szorzat derváltjat kfejtve: =1 q 3N q ṗ } =1 ṗ }=0 (13) q A fent egyenlet másodk összegében levő tagok kesnek ha felhasználjuk az smert kanónkus mozgásegyenleteket: H q, p H q, p q = és ṗ = (14) q Ezek alapján: q 2 H q, p = 2 H q, p = ṗ (15) q Mvel a (13) egzenlet másodk összege eltünk, rhatjuk, hogy: =1 q ṗ }=0 (16) Felhasználva újból a kanónkus mozgásegyenleteket: H q, p =1 H q, p }=0 (17) q Emlékezzünk most vssza arra, hogy értelmeztük az analtkus mechankában két (mondjuk f és g) (q,p) kanónkus koordnátáktól függő mennység Posson zárójelét: 3N f f, g }= =1 [ g f g ] (18) q A Posson zárójel alakjának a felhasználásával a (17) egyenletet tovább rhatjuk mnt: t, H }=0 (19) A fent egyenletet még egyszerűbb formában s rhatjuk a teljes dőszernt dervált felhasználásával d q, p,t = dt t 3N =1 [ q ṗ ], (20)
am alapján (16 ) azt bzonytja, hogy: d q, p,t =0 dt (21) A fent egyenlet a Louvlle tétele, amnek értelmében a bevezetett sokaság pontok úgy mozognak, hogy a velük együtt mozgó rendszerből nézve ezeknek a sűrűsége dőben állandó. Ezen sokaságpontoknak a mozgása lényegében egy összenyomhatatlan folyadék mozgásához hasonlt. Az állapottérbel térfogatban levő sokaságpontok relatv helyzetéről azonban nem mondhatunk semmt, ezek a térben szátvállhatnak úgy ahogy páldául a turbulens folyások esetén történk. 2. ábra. A tartomány eltorzulása az dő függvényében A (19) összefüggés megadja ugyanakkor annak a feltételét s, hogy staconárus sokaságunk legyen. A =0 staconartásnak a feltétele az, hogy: t 3N H }= =1 Ezt a feltételt többféleképpen elérhetjük. q ṗ }=0 (22) 1. Ez első lehetőség az, hogy feltételezzük, hogy a sűrűség az állapottérben s állandó: q, p = 0 lyen esetben mkrókanónkus sokaságról beszélünk. Ez a lehető legegyszerübb sokaság. Ezen esetben bármely F(q,p) fzka mennység átlaga nagyon egszszerűen szamtható k: F q, p = 1 F q, p q, p,t d3n q d 3N p (23) Ezen sokaság esetén az állapottér mnden pontja ekvvalens, olyan szempontból, hogy a sokaságpontok egyforma valósznűséggel tartozkodnak bármely állapottérbel pont körül. Az átlagok tehát egyszerű átlagok lesznek az állapottér pontjara. 2. A másk lehetőség az, hogy a sűrűség csak az adott pontban levő Hamltonfüggvény értékétől függ: q, p = [H q, p ] (24) Azonnal belátható, hogy lyen esetben
3N H }= =1 q 3N ṗ }= =1 ' H q, p q q H q, p ṗ } (25) Fgyelembe véve újbol az (1 ) kanónkus állapotegyenleteket azonnal adódk, hogy: H }=0 (26) Nagyon sok olyan sokaság létezhet tehát, ahol az állapottérbel pontok sűrűsége a térben nem állandó és a sokaság mégs staconárus. A legegyszerübb és számunkra a legfontosabb lyen sokaság a kanónkus sokaság lesz, ahol: q, p exp H q, p /kt (27) (ahol k a Boltzmann állandó, T meg a termodnamka hőmérséklet)