Eletromosságtan III. Szinuszos áramú hálózato Magyar Attila Pannon Egyetem Műszai Informatia Kar Villamosmérnöi és Információs Rendszere Tanszé amagyar@almos.vein.hu 2010. április 26.
Átteintés Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása 1 Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózato Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása Középértée Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye Komplex írásmód Impedancia és admittancia Hálózato számítása Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 2 / 27
Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása Időben szinuszosan váltaozó áram, illetve feszültség alaja u(t) = Û sin(ωt + ϕ u ) i(t) = Î sin(ωt + ϕ i ), ahol u(t) = a feszültség pillanatértée, [V] i(t) = az áram pillanatértée, [A] Û = a feszültség csúcsértée [V] Î = az áram csúcsértée [A] ω = örfrevencia, [rad/s]=[1/s] f = frevencia, [1/s], ω = 2πf T = periódusidő, [s], ω = 2π T ϕ u = a feszültség ezdőfázisa ϕ i = az áram ezdőfázisa Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 3 / 27
Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása Szinuszosan váltaozó feszültség és áram leírása Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 4 / 27
Középértée Középértée A villamos mérőműszere a fesz. és az áram valamilyen özépértéét méri: U A = 1 T = Û T Egyenáramú özépérté: U K = 1 T u(t)dt = Û T sin(ωt + ϕ u )dt = T 0 T 0 = Û ωt [cos(ωt + ϕ u)] T 0 = Û ωt [cos(ωt + ϕ u) cos(ϕ u )] = 0 Ha u(t) = U 0 + Û sin(ωt + ϕ u ), aor U K = 1 T T 0 u(t)dt = U 0 Abszolút özépérté: T 0 T 0 u(t) dt = Û T T 0 sin(ωt dt ) = 2 Û T = 2 Û ωt sin(ωt+ϕ u ) dt, t = t ϕ u ω transzformáció: T /2 0 sin(ωt )dt = 2 Û T T /2 [ cos(ωt ) ] t =T t =0 = 4Û 2 π T T = 2 π Û 0 sin(ωt )dt = Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 5 / 27
Középértée Középértée Négyzetes özépérté (effetív érté): 1 T Û2 U = u T 2 (t)dt = T = 0 Û2 2T T [ U 2 = Û2 t sin(2(ωt + ϕ u)) 2T 2ω 0 T 0 [1 cos(2ωt + ϕ u )] dt ] T Csúcstényező ( cs ) és formatényező ( f ): 0 = Û2 2 sin(ωt + ϕ u )dt = cs = Û U = 2, f = U U A = π 2 U = Û 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 6 / 27
Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye Kirchoff-törvénye: i (t) = 0 csomóponti törvény rang számú vágatra u (t) = 0 Feszültségforrás forrásfeszültsége: hurotörvény nullitás számú hurora u(t) = u V (t) = 2 U V sin(ωt + ϕ uv ) Áramforrás forrásárama: i(t) = i A (t) = 2 I A sin(ωt + ϕ ia ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 7 / 27
Ellenállás Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye Az ellenállás feszültsége arányos áramával: u = R i vagy i = G u, azaz 2 UR sin(ωt + ϕ ur ) = R 2 I R sin(ωt + ϕ ir ), amiből U R = R I R, ( vagy I R = G U R, ) és ϕ ur = ϕ ir Az ellenállás árama és feszültsége fázisban van egymással, nincs özöttü fáziseltérés. Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 8 / 27
Kondenzátor Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye A ondenzátor árama arányos a feszültségéne idő szerinti deriváltjával i = C du dt, azaz 2IC sin(ωt +ϕ ic ) = ωc 2U C cos(ωt +ϕ uc ) = ωc 2U C sin(ωt +ϕ uc + π 2 ) amiből: U C = 1 ωc I C, és ϕ ic = ϕ uc + π 2 A ondenzátor árama 90 -al siet a feszültségéhez épest, (vagy feszültsége 90 -ot ési áramához épest) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 9 / 27
Teercs Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózato Szinuszosan váltaozó mennyiségere vonatozó alaptörvénye A teercs feszültsége arányos az áramána idő szerinti deriváltjával u = L di dt, azaz 2UL sin(ωt + ϕ ul ) = ωl 2I L cos(ωt + ϕ il ) = ωl 2I L sin(ωt + ϕ il π 2 ) amiből: U L = ωli L, és ϕ il = ϕ ul π 2 A teercs árama 90 -ot ési a feszültségéhez épest, (vagy feszültsége 90 -al siet áramához épest) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 10 / 27
Komplex írásmód Komplex írásmód A Kirchoff-törvényeből és az ágtörvényeből mindig meghatározható az ismeretlen effetív értée és ezdőfáziso Bonyolult, hosszadalmas, helyette a omplex írásmód használható Komplex számo (Z C) algebrai és exponenciális alaja: Z = x + j y = Z e jϕ Euler-formula: e jϕ = cos(ϕ) + j sin(ϕ) x = Re(Z) = Z cos(ϕ) y = Im(Z) = Z sin(ϕ) Z = Z = x 2 + y 2 ϕ = arc(z) = arctan(y/x) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 11 / 27
Komplex írásmód Komplex írásmód Legyen a feszültség és az áram (valós) pillanatértée u(t) = Û sin(ωt + ϕ u ) i(t) = Î sin(ωt + ϕ i ) Komplex pillanatértée u(t) = Û e j(ωt+ϕu) = Û (cos(ωt + ϕ u ) + j sin(ωt + ϕ u )) i(t) = Î e j(ωt+ϕ i ) = Î (cos(ωt + ϕ i ) + j sin(ωt + ϕ i )) A valós pillanatérté a omplex pillanatérté épzetes része u(t) = Im(u), i(t) = Im(i) Az u vetor ω szögsebességgel forog a omplex számsíon pozitív irányban A valós pillanatérté a épzetes tengelyre eső merőleges vetülete Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 12 / 27
Komplex írásmód Komplex írásmód A omplex pillanatérté ismeretében definiálható a omplex csúcsérté (Û) és a omplex effetív érté (U) ˆ U = Û e jϕu = 2 U e jϕu Î = Î e jϕ i = 2 I e jϕ i, és U = U e jϕu I = I e jϕ i A omplex csúcsérté illetve a omplex effetív érté ismeretében felírható a omplex pillanatérté u(t) = Û ejωt = 2 U e jωt i(t) = Î ejωt = 2 I e jωt továbbá U = U I = I, és ϕ u = arc(u) ϕ i = arc(i ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 13 / 27
Kirchoff-törvénye omplex alaja Komplex írásmód Kirchoff-törvénye omplex pillanatértéere i (t) = ( ) Im(i (t)) = Im i (t) = 0, azaz i (t) = 0 u (t) = ( ) Im(u (t)) = Im u (t) = 0, azaz u (t) = 0 Kirchoff-törvénye omplex effetív értéere i (t) = 2 I e jωt = 0, azaz I = 0 u (t) = 2 U e jωt = 0, azaz U = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 14 / 27
Impedancia és admittancia Impedancia és admittancia R, L és C elemeből álló passzív étpólus bemenetére apcsoljun u(t) = Û sin(ωt + ϕ u ) feszültséget, melyne omplex effetív értée U = U e jϕu A étpólus bemenetén folyó áram i(t) = Î sin(ωt + ϕ i ), melyne omplex effetív értée I = I e jϕ i A feszültség és áram omplex pillanatértééne hányadosa a étpólus impedanciája (Z) Z = u i = 2 U e jωt 2 I e jωt = U I = U ejϕu I e jϕ i U I ej(ϕu ϕ i ) = Z e jϕ Z ahol Z = U I az impedancia abszolút értée, ϕ Z = ϕ u ϕ i az impedancia szöge Az impedancia reciproa az admittancia (Y = Z 1 ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 15 / 27 =
Ellenállás Impedancia és admittancia u = R i, amiből Z R = u i = R R ϕ R = 0 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 16 / 27
Kondenzátor Impedancia és admittancia i = C du dt, amiből Im(i) = C d ( Im(u) = Im C du ), azaz i = C du dt dt dt u = 2 Ue jωt du dt = jω 2 Ue jωt = jωu A ondenzátor árama i = C du dt = jωcu Impedanciája Z C = u i = 1 jωc = Z C e j π 2 Z C = 1 ωc, ϕ C = ϕ u ϕ i = π 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 17 / 27
Teercs Szinuszos áramú lineáris időinvariáns hálózato Impedancia és admittancia u = L di dt, amiből Im(u) = L d ( Im(i) = Im L di ), azaz u = L di dt dt dt i = 2 I e jωt di dt = jω 2 I e jωt = jωi A teercs feszültsége u = L di dt = jωli Impedanciája Z L = u i = jωl = Z L e j π 2 Z L = ωl, ϕ L = ϕ u ϕ i = π 2 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 18 / 27
Összefoglalva Impedancia és admittancia Az áram és feszültség omplex effetív értée özti apcsolat a omplex Ohm-törvény: U = Z I. A Z omplex impedancia a ülönféle hálózati elemenél az alábbi: Z R = R, Z L = jωl, Z C = 1 jωc A omplex impedancia a feszültség és az áram omplex effetív értééne hányadosa, nagysága a feszültség és az áram effetív értééne hányadosa, szöge pedig a feszültség és az áram ezdőfázisána ülönbsége: Z = U I, Z = U I, ϕ Z = ϕ u ϕ i Impedanciá soros, illetve párhuzamos eredője: n 1 Z s = Z, = Z p =1 n 1 Z =1 Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 19 / 27
Összefoglalva Impedancia és admittancia Az impedancia valós és épzetes része Z = R ± j X = Z e jϕ Z, ahol Z = ( ) ±X R 2 + X 2, ϕ Z = arctan R Z a látszólagos ellenálás, R a hatásos ellenállás (rezisztancia), X pedig a meddő ellenállás (reatancia) Az impedancia reciproa az admittancia: Y = 1 Z = G ± j B = Y e jϕ Z = Y e jϕ Y Y a látszólagos vezetés, G a hatásos vezetés (ondutancia), B a meddő vezetés (szuszceptancia) Ohm-törvénye admittanciával ifejezve: I = Y U Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 20 / 27
Hálózato számítása Hálózato számítása A feszültsége és áramo effetív értéével és impedanciáal számolva a szinuszos áramú hálózato számítása megegyezi az egyenárú hálózato számításával. Kirchoff-törvényeből és az ágtörvényeből b + b számú lineáris algebrai egyenlet. Alalmazható az egyenáramú hálózatonál megismert módszere: Szuperpozíció elve Thévenin-, és Norton-tétel Csillag-háromszög átalaítás Csomóponti potenciálo, és huroáramo módszere Millmann-tétele A feszültsége és áramo omplex effetív értéét vetorábrán szemléltetjü Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 21 / 27
Soros RL ör Hálózato számítása A apocsfeszültség u(t) = 2U sin(ωt + ϕ u ), azaz U = Ue jϕu A hálózat impedanciája Z = R + jωl = Ze jϕ Z ahol Z = R 2 + ω 2 L 2, ϕ Z = arctan( ωl R ) Áramerősség Ellenállás feszültsége U R = RI = RIe jϕ i = U R e jϕ i Teercs feszültsége U L = jωli = = ωlie j( π 2 +ϕ i ) = = U L e j( π 2 +ϕ i ) I = U Z = Uejϕu Ze jϕ Z = Iejϕ i Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 22 / 27
Soros RC ör Hálózato számítása Impedancia Z = R + 1 jωc = R j 1 ωc = Zejϕ Z ahol Z = R 2 + 1 ω 2 C 2, ϕ 1 Z = arctan( ωrc ) Ellenállás feszültsége U R = RI = RIe jϕ i = U R e jϕ i Kondenzátor feszültsége U L = 1 jωc I = = 1 ωc Iej(ϕ i π 2 ) = = U C e j(ϕ i π 2 ) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 23 / 27
Párhuzamos rezgőör Hálózato számítása Eredő impedancia Z = (R + jωl) 1 jωc = R + jωl 1 + jωrc ω 2 LC Ideális párhuzamos rezgőör esetén (R = 0) ( ) jωl Z = 1 ω 2 LC, ϕ ωl Z = arctan 1 ω 2 LC Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 24 / 27
Párhuzamos rezgőör Hálózato számítása Antirezonáns örfrevencia (ω 0 = 1 LC ): Z = jωl 1 ( ω ω 0 ) 2 ω < ω 0 : a ör indutív, (ϕ Z > 0) ω = ω 0 : a ör rezisztív, (ϕ Z = 0) - itt végtelen az impedancia ω > ω 0 : a ör apacitív, (ϕ Z < 0) Áramerősség: I = I L + I C = ( ) 1 jωl + jωc U = Y U Nem ideális esetben (R > 0) az impedancia egyetlen frevencián sem lesz végtelen nagy. Ha R ω 0 L, aor az antirezonáns örfrevencián: Z = jω 0 L 1 ω 2 0 LC + jω 0RC = L RC (rezonancia inpedancia) Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 25 / 27
Soros rezgőör Hálózato számítása Eredő impedancia Z = R +jωl+ 1 ( jωc = R +j ωl 1 ) ( ) ωl 1 ωc, ϕ Z = arctan ωc R Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 26 / 27
Soros rezgőör Hálózato számítása Rezonáns örfrevencia (ω 0 = 1 LC ): ( Z = R + jωl 1 ( ω0 ) ) ( ( 2 ωl, ϕ Z = arctan 1 ω R Ha ω = ω 0, aor Z = R, és ϕ Z = 0 ω < ω 0 : a ör indutív, (ϕ Z > 0) ω = ω 0 : a ör rezisztív, (ϕ Z = 0) ω > ω 0 : a ör apacitív, (ϕ Z < 0) Feszültség: U = U R + U L + U C = ( R + jωl + 1 ) I = Z I jωc ( ω0 ) )) 2 ω Magyar A. (Pannon Egyetem) Eletromosságtan 2010. április 27 / 27