Készítette: Fegyverneki Sándor

VALÓSZÍNŰSÉGSZÁMÍTÁS Összefoglaló segédlet Készítette: Fegyverneki Sándor Miskolci Egyetem, 2001. i

JELÖLÉSEK: N a természetes számok halmaza (pozitív egészek) R a valós számok halmaza R 2 {(x, y) x, y R} A B az A részhalmaza a B-nek A B az A és B halmaz közös része A B az A és B halmaz összes eleme egy halmazban A az alaphalmaz A halmazon kívüli elemei A\B A B F (a + 0) a jobboldali határérték, azaz F (a 0) a baloldali határérték, azaz exp(x) e x lim F (x) x a+0 lim F (x) x a 0 f( ) : D R az f leképezés, D az értelmezési tartomány, a pont a változót helyettesíti f(d) az f leképezés értékkészlete ii

A VALÓSZÍNŰSÉG FOGALMA Definíció: Egy véletlen kísérlet lehetséges eredményeinek összeségét eseménytérnek (mintatér) nevezzük. Jele: Ω. Az Ω elemeit elemi eseményeknek nevezzük. Definíció: Az Ω részhalmazainak egy F rendszerét σ-algebrának nevezzük, ha (1) Ω F, (2) A F, akkor A F, (3) A 1, A 2,... F, akkor A 1 A 2... F. Az F elemeit pedig eseményeknek nevezzük. Megjegyzés: Ha A, B F, akkor A B F. Definíció: Az Ω-t szokás biztos eseménynek, az -t pedig lehetetlen eseménynek nevezni. Továbbá, az A esemény bekövetkezik, ha a kísérlet eredménye eleme az A halmaznak. Megjegyzés: Az A B esemény bekövetkezik, ha legalább az egyik közülük bekövetkezik, míg az A B esemény akkor következik be, ha mind a kettő bekövetkezik. Definíció: A P : F R nemnegatív leképezést valószínűségnek nevezzük, ha (1) P (Ω) = 1, (2) A B =, akkor P (A B) = P (A) + P (B), (3) A 1, A 2,... egymást kölcsönösen kizáró események (azaz A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,...), akkor P ( ) A i = 1 P (A i ).

LEMMA: (1) P ( A ) = 1 P (A). (2) P ( ) = 0. (3) P (B\A) = P (B) P (A B). (4) Ha A B, akkor P (A) P (B). (5) P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). (6) Ha B n+1 B n és B n =, akkor lim P (B n) = 0. n Definíció: Az (Ω, F, P ) hármast valószínűségi mezőnek nevezzük. Definíció: Ha az elemi események száma véges és valószínűségük megegyezik, akkor a valószínűségi mezőt klasszikusnak nevezzük. Megjegyzés: Legyen Ω = n és jelölje az elemi eseményeket ω i (i = 1, 2,..., n). Ekkor ( n ) n 1 = P (Ω) = P {ω i } = P ({ω i }) = np ({ω i }). Tehát P ({ω i }) = 1 n (i = 1, 2,..., n). Definíció: Bernoulli kísérletsorozatnak nevezzük azt, ha adott A F és egymástól függetlenül, azonos körülmények között elvégezzük ugyanazt a kísérletet, s csak azt figyeljük, hogy az A esemény bekövetkezett-e vagy sem. Példa: 1. Visszatevéses mintavétel: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, például selejt. Visszatevéssel kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k n. P (ξ = k) = ( n k ) s k (N s) n k N n. 2. Visszatevés nélküli mintavétel: Adott N darab különböző objektum, amelyek közül s darab rendelkezik egy bizonyos tulajdonsággal, 2

például selejt. Visszatevés nélkül kiveszünk n darabot. Legyen a kivett selejtek száma ξ. Mennyi a valószínűsége, hogy ξ = k, ahol 0 k min{n, s}. P (ξ = k) = ( )( ) s N s k n k ( ). N n TÉTEL: (Poincaré) Az A 1, A 2,..., A n eseményekre ( n ) n k P A i = ( 1) k 1 k=1 i 1 <i 2 < <i k P ahol az összegzést az összes lehetséges {i 1, i 2,..., i k } {1, 2,..., n} esetre tekintjük. Definíció: Az A esemény B feltétel melletti feltételes valószínűségének nevezzük a P (A B) P (A B) = P (B) mennyiséget, ha P (B) > 0. Megjegyzés: A P ( B) : F R leképezés tényleg valószínűség. n 1 LEMMA: Ha az A 1, A 2,..., A n eseményrendszerre P ( A i ) > 0, akkor P ( j=1 A ij, n A i ) = P (A 1 )P (A 2 A 1 ) P (A n A 1 A 2... A n 1 ). Definíció: Az A 1, A 2,... eseményrendszert teljes eseményrendszernek nevezzük, ha A i A j =, ha i < j és i, j = 1, 2,..., és A i = Ω. TÉTEL: (teljes valószínűség) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges B esemény esetén P (B) = P (B A i )P (A i ). 3

TÉTEL: (Bayes) Ha A 1, A 2,... teljes eseményrendszer és P (A i ) > 0, ha i = 1, 2,..., akkor tetszőleges pozitív valószínűségű B esemény esetén P (A k B) = P (B A k)p (A k ) P (B A i)p (A i ). Megjegyzés: A Bayes-tételhez kapcsolódóan bevezethetjük a következő elnevezéseket: P (A i ) az ún. a-priori valószínűség és P (A i A) az ún. a-posteriori valószínűség. Definíció: Az A és B eseményt sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A B) = P (A)P (B). Az A 1, A 2,..., A n eseményeket páronként sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i A j ) = P (A i )P (A j ) (1 i < j n). Az A 1, A 2,..., A n eseményeket teljesen sztochasztikusan függetlennek nevezzük, ha P (A i1... A ik ) = P (A i1 ) P (A ik ), ahol 1 i 1 < < i k n, 2 k n. Példa: Ha az A és B események függetlenek, akkor A és B, A és B és A és B is függetlenek. LEMMA: Ha A 1, A 1,..., A n független események és P (A i ) < 1 (i = n 1, 2,..., n), akkor P ( A i ) < 1. Bizonyítás: ( n ) P A i = P n A i = 1 P n A i = = 1 P ( n ) n A i = 1 P ( A i ). 4

A VALÓSZÍNŰSÉGI VÁLTOZÓ Definíció: A ξ : Ω R leképezést valószínűségi változónak nevezzük, ha {ξ < x} = {ω ω Ω, ξ(ω) < x} F x R. Definíció: Az F (x) = P (ξ < x) formulával meghatározott valós függvényt a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvényének nevezzük. TÉTEL: Az F valós függvény akkor és csak akkor lehet eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x) = 0, x 2. lim F (x) = 1, x 3. F (x 1 ) F (x 2 ), ha (x 1 < x 2 ), azaz monoton növekvő, 4. lim x x 0 0 F (x) = F (x 0), x 0 R, azaz balról folytonos. TÉTEL: Legyen F a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye és a, b R, ekkor 1. P (a ξ < b) = F (b) F (a), 2. P (ξ = a) = F (a + 0) F (a). Definíció: A ξ valószínűségi változót diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek ξ(ω) halmazának számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. Megjegyzés: Diszkrét valószínűségi változó esetén a lehetséges értékek felírhatók egy sorozatként. Definíció: Legyen a ξ valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata x 1, x 2,.... A p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,...) valószínűségek sorozatát eloszlásnak nevezzük. 5

TÉTEL: Ha p 1, p 2,... eloszlás, akkor p i 0 (i = 1, 2,...) és p i = 1. Definíció: Ha létezik f nemnegatív valós függvény, melyre F (x) = x f(t)dt, x R akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó sűrűségfüggvény. Megjegyzés: A sűrűségfüggvény nem egyértelmű. TÉTEL: Az f valós függvény akkor és csak akkor lehet sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + f(t)dt = 1. Definíció: A valószínűségi változót folytonosnak nevezzük, ha létezik a sűrűségfüggvénye. TÉTEL: Legyen a ξ folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel és a, b R, ekkor P (ξ = a) = 0, és P (a ξ < b) = b a f(x)dx. Definíció: 1. Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek a száma véges, azaz a lehetséges értékek x 1, x 2,..., x n és p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,..., n), akkor a n x i p i mennyiséget várható értéknek nevezzük. 6

2. Ha a ξ diszkrét valószínűségi változó lehetséges értékeinek számossága megszámlálhatóan végtelen, azaz a lehetséges értékek akkor a x 1, x 2,..., és p i = P (ξ = x i ) (i = 1, 2,...), x i p i mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha a + x i p i < +. 3. Ha ξ folytonos valószínűségi változó f sűrűségfüggvénnyel, akkor xf(x)dx mennyiséget várható értéknek nevezzük, ha + x f(x)dx < +. A ξ valószínűségi változó várható értékének a jele: E(ξ) TÉTEL: 1. E(aξ + b) = ae(ξ) + b, a, b R. 2. Ha m ξ M, akkor m E(ξ) M. Definíció: Legyen ξ valószínűségi változó és g valós függvény. Ha az η = g(ξ) függvény valószínűségi változó, akkor a ξ transzformáltjának nevezzük. Megjegyzés: A transzformált eloszlásfüggvénye F η (y) = P ({ω g(ξ(ω)) < y}). TÉTEL: Ha g differenciálható és g (x) 0, akkor ξ folytonos valószínűségi változó esetén η = g(ξ) folytonos valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye { f η (y) = f ξ (g 1 (y)) d dy g 1 (y), ha a < y < b, 0, egyébként, 7

ahol a = min( lim g(x), lim g(x)), x x + b = max( lim g(x), x lim g(x)). x + TÉTEL: Ha η = g(ξ) a ξ valószínűségi változó transzformáltja, akkor E(η) = g(x i )P (ξ = x i ), + g(x)f ξ (x)dx, ha ξ diszkrét, ha ξ és η folytonos. Definíció: Az E((ξ E(ξ)) 2 ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetének nevezzük. Jele: D 2 (ξ). Definíció: A E((ξ E(ξ)) 2 ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó szórásának nevezzük. Jele: D(ξ). Definíció: Az E(ξ k ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó k-adik momentumának nevezzük. Definíció: Az E((ξ E(ξ)) k ) mennyiséget a ξ valószínűségi változó k-adik centrális momentumának nevezzük. TÉTEL: 1. D(aξ + b) = a D(ξ), a, b R. 2. min a R E((ξ a)2 ) = D 2 (ξ), és ekkor a = E(ξ). 3. D 2 (ξ) = E(ξ 2 ) E 2 (ξ). NÉHÁNY DISZKRÉT ELOSZLÁS ÉS JELLEMZŐI: 1. BINOMIÁLIS ELOSZLÁS Legyen n N, A F, és végezzünk el egy n hosszúságú Bernoulli kísérletsorozatot. Továbbá, legyen ξ az A esemény bekövetkezéseinek a száma. Ekkor ξ eloszlása ( ) n P (ξ = k) = p k q n k, (k = 0, 1,..., n), k 8

ahol P (A) = p és q = 1 p. Fegyverneki Sándor: Valószínűségszámítás E(ξ) = np, D 2 (ξ) = npq. Megjegyzés: vezet. A visszatevéses mintavétel binomiális eloszláshoz 2. POISSON-ELOSZLÁS Legyen λ > 0 és λ = np n, ekkor lim n,λ=np n ( n )p kn(1 p n ) n k λ λk = e, ahol k = 0, 1,.... k k! A ξ valószínűségi változót Poisson-eloszlásúnak nevezzük λ > 0 paraméterrel, ha eloszlása λ λk P (ξ = k) = e, ahol k = 0, 1,.... k! E(ξ) = λ, D 2 (ξ) = λ. 3. GEOMETRIAI ELOSZLÁS A binomiális eloszlás bevezetésekor használt jelölések mellett a ξ valószínűségi változó jelentse az A esemény első bekövetkezéséhez szükséges kísérletek számát. A ξ eloszlása P (ξ = k) = pq k 1, ahol k = 1, 2,.... E(ξ) = 1 p, D2 (ξ) = q p 2. Megjegyzés: A η = ξ 1 valószínűségi változót is szokás geometriai eloszlásúnak nevezni. Az η eloszlása P (η = k) = pq k, ahol k = 0, 1, 2,.... E(η) = q p, D2 (η) = q p 2. 9

NÉHÁNY FOLYTONOS ELOSZLÁS ÉS JELLEMZŐI: 1. EGYENLETES ELOSZLÁS Legyen a, b R és a < b. A ξ egyenletes eloszlású az (a, b) intervallumon, ha a sűrűségfüggvénye E(ξ) = a + b 2, D2 (ξ) = 1, ha a < x < b, f(x) = b a 0, egyébként. (b a)2. Az eloszlásfüggvény 12 0, ha x a, x a F (x) =, ha a < x b, b a 1, ha x > b. 2. EXPONENCIÁLIS ELOSZLÁS A ξ exponenciális eloszlású λ > 0 paraméterrel, ha a sűrűségfüggvénye { λe f(x) = λx, ha x 0, 0, egyébként. E(ξ) = 1 λ, D2 (ξ) = 1. Az eloszlásfüggvény λ2 F (x) = { 0, ha x 0, 1 e λx, ha x > 0. Örökifjú tulajdonság: P (ξ a + b ξ a) = P (ξ b), ahol a > 0, b > 0. 3. NORMÁLIS ELOSZLÁS Legyen m R, σ > 0. Az η normális eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 ) ( σ 2π exp (x m)2 2σ 2, x R. 10

E(ξ) = m, D 2 (ξ) = σ 2. Ha m = 0 és σ = 1, akkor a valószínűségi változót standard normális eloszlásúnak nevezzük. Jelölje a sűrűségfüggvényét ϕ és az eloszlásfüggvényét Φ. Ha ξ standard normális eloszlású, akkor az η = σξ+m valószínűségi változó F eloszlásfüggvényére jellemző, hogy ( ) x m F (x) = Φ. σ Megjegyzés: 1. A ϕ függvény írja le a Gauss-görbét(harang görbét). 2. Φ(0) = 0.5 és Φ( x) = 1 Φ(x). 4. CAUCHY ELOSZLÁS Legyen c R, s > 0. Az η Cauchy eloszlású, ha a sűrűségfüggvénye f(x) = 1 [ ( ) 2 ], x R. x c πs 1 + s Nem létezik a várható érték. Az eloszlásfüggvény F (x) = 1 2 + 1 π arctan ( x c s Megjegyzés: Szokás csak a c = 0, s = 1 esetet (standard) Cauchyeloszlásnak nevezni. ). A VÉLETLEN VEKTOROK Definíció: A (ξ, η) : Ω R 2 leképezést (kétdimenziós) véletlen vektornak nevezzük, ha {ξ < x, η < y} = {ω ω Ω, ξ(ω) < x, η(ω) < y} F x, y R. Definíció: Az F (x, y) = P (ξ < x, η < y) formulával meghatározott valós értékű függvényt a (ξ, η) véletlen vektor együttes eloszlásfüggvényének nevezzük. Az F ξ (x) = lim F (x, y), F η(y) = lim F (x, y) y + x + 11

függvényeket peremeloszlásfüggvénynek nevezzük TÉTEL: Az F függvény akkor és csak akkor lehet együttes eloszlásfüggvény, ha 1. lim F (x, y) = 0, lim x 2. x lim F (x, y) = 1, y F (x, y) = 0, y 3. F mindkét változójában balról folytonos, 4. F (b, d) F (b, c) F (a, d) + F (a, c) 0, a < b, c < d esetén, azaz teljesül az ún. téglalap tulajdonság. Megjegyzés: A téglalap tulajdonságból következik, hogy mindkét változójában monoton növekvő. Definíció: A (ξ, η) véletlen vektort diszkrétnek nevezzük, ha a lehetséges értékek számossága legfeljebb megszámlálhatóan végtelen. Definíció: Legyen a ξ, illetve η valószínűségi változó lehetséges értekeinek sorozata x 1, x 2,..., illetve y 1, y 2,.... A P (ξ = x i, η = y j ) = p ij (i, j = 1, 2,...) valószínűségek sorozatát együttes eloszlásnak nevezzük. A q i = p ij, (i = 1, 2,...), r j = j=1 p ij, (j = 1, 2,...) valószínűség sorozatokat peremeloszlásnak nevezzük. Minden r j > 0 esetén a ξ feltételes eloszlása adott η = y j mellett P (ξ = x i η = y j ) = p ij r j. Az E(ξ η = y j ) = 12 x i p ij r j

mennyiséget feltételes várható értéknek nevezzük. Az E(ξ η = y j ) = m 2 (y j ) függvényt a ξ-nek az η-ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük. TÉTEL: Ha p ij (i, j = 1, 2,...) együttes eloszlás, akkor p ij 0 (i, j = 1, 2,...) és p ij = 1. j=1 Definíció: Ha létezik f nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x, y) = x y f(u, v)dvdu, x, y R, akkor f az F eloszlásfüggvényhez tartozó együttes sűrűségfüggvény. Az f ξ (x) = + f(x, y)dy, f η (y) = + függvényeket peremsűrűségfüggvénynek nevezzük. f(x, y)dx TÉTEL: Az f függvény akkor és csak akkor lehet együttes sűrűségfüggvény, ha nemnegatív és + + f(x, y)dydx = 1. Definíció: A (ξ, η) véletlen vektort folytonosnak nevezzük, ha létezik az együttes sűrűségfüggvénye. Definíció: A ξ és η) valószínűségi változót függetlennek nevezzük, ha F (x, y) = F ξ (x)f η (y), x, y R. 13

Megjegyzés: A függetlenség megfelelői diszkrét illetve folytonos esetben: p ij = q i r j, (i, j = 1, 2,...), f(x, y) = f ξ (x)f η (y) x, y R. Definíció: Legyen (ξ, η) véletlen vektor. Az F (x y) az feltételes eloszlásfüggvénye a ξ-nek η = y esetén, ha F (x y) = P (ξ < x η = y) = lim P (ξ < x y η < y + h). h 0+0 Megjegyzés: Ha léteznek a feltételes valószínűségek. Definíció: Ha létezik f ξ η nemnegatív valós értékű függvény, melyre F (x y) = x f ξ η (u y)du, x, y R akkor f ξ η a ξ-nek az η-ra vonatkozó feltételes sűrűségfüggvénye. Megjegyzés: f ξ η (x y) = f(x, y) f η (y). Definíció: A feltételes sűrűségfüggvény segítségével meghatározott feltételes várható értéket regressziós függvénynek nevezzük, azaz az + f ξ η (x y)dx = m 2 (y) függvényt a ξ-nek az η-ra vonatkozó regressziós függvényének nevezzük. Megjegyzés: Ha (ξ, η) véletlen vektor g : R 2 R olyan függvény, hogy g(ξ, η) valószínűségi változó, akkor g(x i, y j )p ij, ha (ξ, η) diszkrét, i,j E(g(ξ, η)) = + + g(x, y)f(x, y)dydx, ha (ξ, η) folytonos. 14

Definíció: A cov(ξ, η) = E((ξ E(ξ))(η E(η))) mennyiséget kovarianciának nevezzük. Az r(ξ, η) = cov(ξ, η) D(ξ)D(η) mennyiséget pedig korrelációs együtthatónak nevezzük. TÉTEL: 1. E(ξ + η)) = E(ξ) + E(η). 2. D 2 (ξ + η)) = D 2 (ξ) + D 2 (η) + 2cov(ξ, η). 3. E(E(ξ η = y)) = E(ξ). 4. cov(ξ, η) D(ξ)D(η), azaz r(ξ, η) 1. NÉHÁNY FOLYTONOS ELOSZLÁS: A (ξ, η) véletlen vektor Q = (i) normális eloszlású, ha f(x, y) = 1 2πσ 1 σ 2 1 ρ 2 exp[ Q], [ 1 2(1 ρ 2 ( x m 1 ) 2 2ρ( x m 1 )( y m 2 ) + ( y m ] 2 ) 2, ) σ 1 σ 1 σ 2 σ 2 ahol σ 1 > 0, σ 2 > 0, 1 < ρ < 1. (ii) egyenletes eloszlású az A R 2 tartományon, ha { 1, f(x, y) = A ha (x, y) A, 0, egyébként. Megjegyzés: A véletlen vektor és a hozzákapcsolódó fogalmak definícióját csak kétdimenziós esetben adtuk meg, de nagyon egyszerűen 15

kiterjeszthetőek véges sok valószínűségi változó esetére. Például, a ξ 1, ξ 2,..., ξ n valószínűségi változókat függetlennek nevezzük, ha F (x 1, x 2,..., x n ) = F ξ1 (x 1 )F ξ2 (x 2 ) F ξn (x n ) x 1, x 2,..., x n R. TÉTEL: Az F (x 1, x 2,..., x n ) függvény akkor és csak akkor együttes eloszlásfüggvény, ha minden változójában balról folytonos, és lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 0, x i (i = 1, 2,..., n), lim F (x 1, x 2,..., x n ) = 1, x i + (,2,...,n) K=e 1 +e 2 +...+e n ( 1) K F (e 1 a 1 + (1 e 1 )b 1,..., e n a n + (1 e n )b n ) 0 a i b i (i = 1, 2,..., n) és az összegzést K esetében vesszük, ahol az e 1, e 2,..., e n értéke 0 és 1 lehet. TÉTEL: Legyenek ξ 1, ξ 2,..., ξ n független valószínűségi változók, melyeknek rendre F ξ1, F ξ2,..., F ξn az eloszlásfüggvénye. Ekkor (a) az η(ω) = max{ξ 1 (ω),..., ξ n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F η (y) = F ξ1 (y)f ξ2 (y) F ξn (y). (b) az η(ω) = min{ξ 1 (ω),..., ξ n (ω)} ( ω Ω) valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F η (z) = 1 (1 F ξ1 (z))(1 F ξ2 (z)) (1 F ξn (z)). TÉTEL: (Markov-egyenlőtlenség) Legyen a ξ nemnegatív valószínűségi változó, melynek létezik a várható értéke, ekkor c > 0 esetén P (ξ c) E(ξ). c 16

TÉTEL: (Csebisev-egyenlőtlenség) Ha a ξ valószínűségi változónak létezik a szórásnégyzete, akkor ε > 0 esetén P ( ξ E(ξ) ε) D2 (ξ) ε 2. TÉTEL: (nagy számok gyenge törvénye) Legyen ξ 1, ξ 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata. Létezik a szórásnégyzet. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P ξ ) 1 +... + ξ n E(ξ 1 ) ε = 0. n + n Megjegyzés: Legyen A esemény és S n az A esemény gyakorisága az első n kísérletből egy Bernoulli kísérletsorozatnál. Ekkor tetszőleges ε > 0 esetén ( lim P S ) n n + n P (A) ε = 0. TÉTEL: (centrális határeloszlás-tétel) Legyen ξ 1, ξ 2,... független, azonos eloszlású valószínűségi változók sorozata és létezik az E(ξ i ) = µ és n D 2 (ξ i ) = σ 2 > 0. Ha S n = ξ k, akkor k=1 ( lim P Sn nµ n + σ n ahol Φ a standard normális eloszlásfüggvény. ) < x = Φ(x), x R, TÉTEL: (Moivre-Laplace) Legyen a ξ valószínűségi változó binomiális eloszlású n és p paraméterrel és 0 a < b n egész, akkor b ( ) n P (a ξ b) = p k q n k k k=a b np + 1 Φ 2 Φ npq a np 1 2 npq. 17