A dolgozatok egoldási ideje 15-20 perc. Kísérleti fizika 1. gyakorlat Zárthelyi dolgozatok 1/A Egy R sugarú henger vízszintes talajon csúszásentesen gördül, tengelyének sebessége v. a) Add eg a henger egy kerületi pontjának ozgását (5p) b) és sebességvektorát az idő függvényében (5p) c) Írd fel a sebesség- és gyorsulásvektorát, aikor a sebessége a legnagyobb, (5p) d) valaint ahhoz képest 90 0 elfordulásonként (5p) Dolgozz a talajhoz képest álló vonatkoztatási rendszerben! 1/B Egy ágyúval lövedéket lövünk ki 10 /s kezdősebességgel szög alatt, vízszintes terepen. (g=10 /s 2, légellenállás nincs) a) Mennyi ideig repül a lövedék? (4p) b) Hogyan kell lőni, hogy a lövedék kétszer olyan távol érjen talajt, int ailyen agasra eelkedik? (10p) c) Hogyan kell lőni ugyanezen feltételhez a Holdon? (g*=1,6 /s 2 ) (4p) d) Hogyan kell lőni, hogy a lövedék a legtovább legyen ozgásban? (2p) a) t=(2v 0 /g). sin b) tg()=2 (azonos eelkedés és távolság esetén lásd DRS 1.49 és a szá 4) c) ugyanaz, int b) d) függőlegesen 1/C Egy töegpont a síkon a következő hely-idő függvények szerint ozog egy rögzített Descartes-féle koordinátranedszerben: x(t) = 2 sin[π/2 sin(t)], y(t) = 3 cos[π/2 sin(t)] a) Milyen pályán ozog a test? Milyen jellegű görbe ez a pálya? (5 pont) b) Hol a legnagyobb a pálya görbülete, és ely időpontokban tartózkodik ott a test? (5 pont) c) Mennyi ebben a pontban a test sebességének nagysága? (5 pont) d) Adjuk eg ebben a pontban a gyorsulásvektort! (5 pont) a) x 2 /4+y 2 /9=1 ellipszis y>0 fele. Nyílt pálya véges hosszal.. b) (0;3) pontban, itt t=nπ időpontokban van (n egész szá) c) pl. t=0-ra és π re v =π d) pl. t=0-ra a=(0;-3π/4) 1/D Egy kiskocsin, ely az x tengely entén egyenletes v 0 sebességgel ozog, egy test csillapított λt rezgőozgást végez y irányban, y irányú sebessége a vy ( t ) = v 0 e cos( ωt ) összefüggéssel adható eg, továbbá kezdetben az origóban van, azaz x(0)=0 és y(0)=0. a) Add eg a test pillanatnyi gyorsulását! (5 pont) b) Add eg azokat az idöpontokat, aikor a gyorsulása zérus! (6 pont) c) Add eg a helyzetét az idö függvényében! (9 pont) a) a(t) = [0 ; v 0 e λt (λ cos ωt + ω sin ωt)] c) x(t)=v 0 t kétszeres parciális integrálással y(t)= v 0 e λt ( λ cosωt + ω sin ωt)/(ω 2 + λ 2 ) +λ v 0 /(ω 2 + λ 2 ) 1/E Egy síkban ozgó, pontszerűnek tekinthető test sebessége az idő függvényében az alábbi összefüggéssel írható le: a) Add eg a test gyorsulását, (6p) b) a test helyzetét, ha r(0)=(x 0 ;y 0 ), (10p) c) és a test sebességének az y-tengellyel bezárt szögét az idő függvényében! (4p) 1/F Egy síkban ozgó, pontszerűnek tekinthető test sebessége az idő függvényében az alábbi összefüggéssel írható le:
a) Add eg a test gyorsulását, (6p) b) a test helyzetét, ha r(0)=(x 0 ;y 0 ), (10p) c) és a test sebességének az y-tengellyel bezárt szögét az idő függvényében! (4p) 1/G Egy test a vizsgált időtarta első felében haronikus rezgést végez, a ásodik felében egyenletesen ozog. Mozgásának sebesség idő grafikonja az alábbi ábrán látható. a) Írd fel a v(t) függvény képletét indkét tartoányon! (6 pont) b) Határozd eg a gyorsulás idő függvényt képlettel, és ábrázold! (8 pont) c) Határozd eg az x(t) függvényt, ha a test a t=0 s időpillanatban az origóban volt! (6 pont) A képletekbe ost ne szükséges értékegységeket írni, inden értéket SI-egységben értünk! ha a két időtartoány A és B, akkor a) v a (t)=3+2cos(pi/2 t), v b (t)=5 b) a a (t)=pi sin(pi/2 t), a b (t)=0 c) x a (t)=3t+4/pi sin(pi/2 t), x a (4)=12, x b (t)=5t-8 (így t=4-re épp 12) 2/A Egy dőlésszögű lejtő tetején rugóval rögzítettünk egy töegü testet. A t=0 időpillanatban a lejtő és a test is nyugaloban van. Ekkor a lejtőt elkezdjük vízszintesen a 0 gyorsulással tolni. a) Adjuk eg az egyensúlyi helyzet elozdulását (attól D, l 0 függöen, hogy jobbra vagy balra kezdjük el tolni)! (6 pont) b) Milyen körfrekvenciával rezeg a test? (6 pont) c) Írjuk le a test ozgását a lejtővel együttozgó vonatkoztatási rendszerből nézve! (8 pont) a 0 a) Δx 0 =±a 0 cos/d b) ω 2 =D/ c) ha a lejő tetején van az origó, és l 0 a rugó nyújtatlan hossza: x(t)=l 0 +gsin/d±a 0 cos. cos(ω t)/d 2/B Egy M töegű, szögű lejtőre töegű testet helyezünk. A test és a lejtő között a súrlódás elhanyagolható, a lejtő és a talaj közötti súrlódási együttható μ. Tegyük fel, hogy μ elég nagy ahhoz, hogy a lejtő ne csússzon eg a talajon! a) Rajzold le a lejtőn lecsúszó testre ható erőket! (3 pont) b) Írd fel a lecsúszó testre vonatkozó ozgásegyenleteket a legegfelelőbb kooridnátákkal! (4 pont) c) Milyen erők hatnak a lejtőre? (3 pont) d) Írd fel a lejtőre vonatkozó ozgásegyenleteketa legegfelelőbb koordinátákkal! (4 pont) e) Mi a lejtő tapadásának feltétele? Legalább ekkorának kell lennie a μ súrlódási együtthatónak, hogy a lejtő ne csússzon eg? (6 pont) 2/C Egy repülőgép 3,5 k sugarú függőleges síkú pályán állandó 720 k/h sebességgel köröz úgy, hogy a repülőgép hasa indig a körpálya közepe felé utat. A pilóta töege 70 kg, és g=9,81 /s 2. a) Rajzold fel a pilótára ható erőket léptékhelyesen a pálya φ szöggel jelleezhető pontján (ld. ábra) inerciarendszerből, és a repülőgéphez rögzített rendszerből nézve, (5p+3p) b) ajd írd fel a pályaenti és arra erőleges ozgásegyenleteket indkét rendszerben kihasználva az isert ozgást! (4p) c) Mekkora erővel tartja a pilótát az ülés vagy az öve a legfelső pontban? (3p) d) Mekkora lenne egy l=10 c hosszúságú ateatikai inga körfrekvenciája a pálya függőleges érintőjű pontjaiban? (5p) (Segítség: Alkalazd a ateatikai inga körfrekvenciájára vonatkozó ω = g * / l összefüggést! )
2/D Adott egy függőleges síkú, R sugarú fékarika, a karikán van egy töegű gyöngy, aely súrlódás nélkül tud rajta ozogni. A karikát a függőleges átérője körül egforgatjuk ω 0 szögsebességgel. a) Tegyük fel, hogy a gyöngy φ szögnél v=r(dφ/dt) kerületi sebességgel ozog a karika teteje felé! A karikával együttforgó vonatkoztatási rendszerből nézve ilyen erők hatnak (4 p)? b) Add eg ezen erők irányát (4 p) és nagyságát (4 p) is! (8p) 2 c) Ha g < ω 0 R, akkor ilyen szög esetén van a gyöngy egyensúlyban? (8p) φ 2/E Egy hajlásszögű lejtő tetejéről a t=0 időpontban elengedünk egy töegű testet, ugyanakkor el is kezdjük húzni a lejtővel párhuzaosan F=kt nagyságú erővel felfelé. A ozgást addig vizsgáljuk, íg a test újra eg ne áll. Nuerikus adatok : =45, =4 kg, k 2 =2 N 2 /s 2, μ=0,5, g=9,81/s 2. a) Mekkora a test gyorsulása a t=0 időpontban? (2 pont) b) Add eg a test gyorsulását az idő függvényében! Mennyi idő telik el, íg a testre ható erők kiegyenlítik egyást? (6 pont) c) Mikor áll eg a test? (6 pont) d) Mekkora és ilyen irányú a test gyorsulása a egállás pillanatában? (2 pont) e) Ha a lejtőt a 0 =g/2 gyorsulással egtolnánk, ekkora lenne a test gyorsulása a t=0 időpontban? (4 pont) a) g sin() b) a(t)=gsin()-kt/ c) t=20 s d) g sin() a lejtőn felfelé e) 3g sin()/2-g/2 2/F Egy R=20 c sugarú drótkarikát az ábrán látható ódon erősítettünk egy kiskocsira. Előzetesen egy töegű gyöngyöt fűztünk a karikára úgy, hogy súrlódásentesen csúszhat rajta. A kocsit a 0 =5,66 /s 2 állandó gyorsulással ozgatjuk. A gyöngy egyensúlyi helyzetét a függőlegeshez képest jelölje φ 0! a) Rajzold be a gyöngyre ható erőket az egyensúlyi helyzetben és írd fel a ozgásegyenleteket a kocsi vonatkoztatási rendszerében! (4 pont) b) Száítsd ki az egyensúlyi helyzetet (φ 0 ) paraéteresen és nuerikusan! (4 φ 0 R a 0 pont) c) Írd fel a ozgásegyenleteket sugár- és érintőirányban, ha a gyöngy az egyensúlyi helyzettől kissé eltérő, pozícióban helyezkedik el! (4 pont) d) Száítsd ki az egyensúlyi helyzet körüli kis kitérésű haronikus rezgés periódusidejét! (8 pont) A egoldás során a kocsi vonatkoztatási rendszerében dolgozz! (g=9,81 /s 2 ) Használd a következő közelítéseket: cos(φ 0 +Δφ) cos(φ 0 )-sin(φ 0 )Δφ a) 0=Ksinφ 0 -a 0 0=Kcosφ 0 -g b) tg φ 0 =a 0 /g φ 0 =30 0 c) a cp =K-g cosφ a 0 sinφ a t =a 0 cosφ g sinφ d) a közelítést a tangenciális egyenletbe beírva Δφ-re kapható hoogén ozgásegyenlet, ebből ω 2 =(a 0 sinφ 0 +g cosφ 0 )/R és T=0,83 s 2/G Egy R sugarú, szögben egdöntött útpályájú kanyarban egy töegű autó halad. a) Milyen sebességgel kell haladnia, hogy tapadási súrlódás nélkül se sodródjon ki? (4p) Ha a tapadási súrlódási együttható μ, b) i az a legkisebb sebesség, aivel haladhat, hogy ne csússzon eg, (6p) c) és i az a legnagyobb sebesség, aivel haladhat, hogy ne csússzon eg? (6p)
d) Rajzd fel az autóra ható erőket a b) és c) esetben (4p) a) v 2 =R*g*tg b) v 2 =R*g*(sin-μcos)/(cos+μsin) c) v 2 =R*g*(sin+μcos)/(cos-μsin) 2/H Az ábrán látható ódon a(t)=ct 2 függvény szerint gyorsítunk egy lejtőt. A lejtő tetején t=0 időpontban egy test nyugaloból indul. a) Rajzold fel a testre ható erőket egy t>0 időpillanatban! (4 pont) a(t) b) Írd fel a test gyorsulás-idő függvényt! (4 pont) c) Mikor található a test újra a lejtő legfelső pontján? (feltesszük hogy a lejtő elegendően hosszú) (8 pont) d) Mekkora a visszaérkezés pillanatában a test sebessége? (4 pont) 2/I Egy vidáparki játékban az eberek egy függőleges palástú forgó henger belső felületén próbálnak aradni. Ha egy eber töege, a hengerpalást sugara R, a súrlódási együtthatók értéke pedig μ, a) írd fel a ozgásegyenleteket nyugvó rendszerben! (4p) b) Mi a legnagyobb egengedett periódusideje a forgásnak? (6p) c) Milyen szögben áll a vízfelület az eber kezében tartott pohárban ebben a határesetben? (4p) d) Ha a periódusidő a egengedettnél nagyobb és T, ekkora lesz az eber gyorsulásvektorának nagysága a nyugvó rendszerben? (6p) a) a x =g-f s, a y =a cp =N, F s <= μ N b) T ax =2π. sqrt(μ R/g) c) tg()=1/μ d) a 2 =a x2 +a y2, a x =g- 4μπ 2 R/T 2, a y =4π 2 R/T 2 3/A Az ábrán látható l hosszúságú ingát 90 -kal kitérítjük és elengedjük. A h agasságú, =60 dőlésszögű lejtő tetején kis pöcökkel kitáasztott vele egyenlő töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. a) Határozzuk eg az ütközés utáni sebességeket! (4 p) b) Mennyit eelkedik a eglökött golyó az induló helyzetéhez l képest? (2p) c) A lejtőtől ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó? (6p) d) Mekkora φ 0 aplitúdóval fog az inga az ütközés után lengeni? (4 h p) s e) Az inga legalsó helyzetében ekkora erő feszíti a kötelet az ütközés után? (4 p) 3/B Az ábrán látható l hosszúságú ingát 90 -kal kitérítjük és elengedjük. A h=l agasságú, =60 vagy =30 dőlésszögű lejtő tetején kis pöcökkel kitáasztott kétszeres töegű golyóval teljesen rugalasan ütközik. a) Határozzuk eg az ütközés utáni sebességeket! (6p) b) Mennyit eelkedik a eglökött golyó az induló helyzetéhez l 2 képest? (2p) c) A lejtőtől ilyen távol ér a padlóra a lelökött golyó? (6p) d) Mekkora szögaplitúdóval fog az inga az ütközés után lengeni? h (6p) Megoldás 60 0 -ra: s a) -1/3*gyök(gl) és 2/3*gyök(gl) b) l/6 c) gyök(l 2 /27)*(1+gyök(7)) d) cos( 0)=1/2-1/18=0.444, 0 =63.6 0
y 35 0 θ x 3/C Egy k töegű biliárdgolyót az ábra szerint =35 -ban szeretnénk eglökni egy töegű golyóval. Az ütközést tekintsük tökéletesen rugalasnak, a golyókat pontszerűnek, súrlódás nincs. a) Írja fel az ütközéskor érvényes egaradási tételeket! (6 pont) b) Milyen töegarány kell ahhoz, hogy a fehér golyó is Θ= szög alatt enjen tovább? (10 pont) k=1/(1+2cos2) c) Ekkor ekkora az ütközés utáni ozgási energiák aránya? (4 pont) k=v 1 /v 2 = 2 / 1 =E 1 /E 2 3/D M=500 kg töegű ágyúval =20 kg töegű ágyúgolyót lövünk ki vízszintesen. A lőpor töegét, az égésterékek ipulzusát és ozgási energiáját hanyagoljuk el!. a) Mekkora az ágyúgolyó és az ágyú lövés utáni sebességeinek aránya? (6 pont) b) Mekkora az ágyúgolyó és az ágyú lövés utáni ozgási energiáinak aránya? (6 pont) c) A lőpor robbanásából E=104 kj energia alakul át az ágyú és az ágyúgolyó ozgási energiájává. Az ágyú és a talaj közti súrlódási együttható μ=1,6. Mekkora úton fékeződik le a hátralökött ágyú? A feladatot a unkatétellel oldd eg! (8 pont) Bónusz: Az ágyú csövét a vízszinteshez képest =30 -os szögbe állítjuk, inden ás feltétel változatlan. Most ekkora a lefékeződés távolsága? a) ágyú M és V, golyó és v jelöléssel v/v=m/=25 b) v 2 /MV 2 =M/=25 c) E á =μgs s=0,5 bónusz: s=2,2, egy ég nagyobb határszög felett pedig 0: ctg 0 = μ 3/E Egy töegű L hosszúságú ateatikai ingát vízszintes helyzetéből elengedünk. Függőleges helyzetében a kötél egy csapocskán egakad, így az inga az ábrán látható ódon lendül tovább. a) Mi a dinaikai feltétele annak, hogy az inga további ozgása során le tudjon írni egy teljes kört? (4p) b) Hova kell ehhez helyezni a csapocskát? (x < > =?) (7p) c) Hogyan alakul a test pályája ellenkező esetben? (szöveges válasz) (3p) d) Hova kell helyezni a csapocskát, hogy a c) esetben isét az indítás agasságába jusson fel? (6p) x x a) a ásodik szakaszban a (kör)pálya legfelső pontján a cp g b) x 3L/5. c) addig halad L-x sugarú körpályán, aíg a kötélerő nulla ne lesz és a cp =g, onnantól ferde hajítás parabolapályáján halad d) x=0 3/F Egy L hosszúságú kötelekre függesztett M töegű hookzsákba (ballisztikus inga) egy töegű v 0 sebességű golyó ütközik teljesen rugalatlanul. a) A golyó sebességének függvényében ilyen szögben tér ki az inga? (8 pont) b) Hányad része alakul át a lövedék kezdeti ozgási energiájának? (6 pont) c) Maxiálisan ekkora lövedék sebesség érhető eg ezzel az összeállítással? (6 pont) L M v 0
4/A Egy hoogén töegeloszlású, töegű, R sugarú körlapot felfüggesztünk a középpontjától R/2 távolságra. a) Mekkora a felfüggesztési ponton átenő, a korong síkjára erőleges tengelyre vonatkoztatott tehetlenségi nyoaték? (6 pont) b) Írd fel a nyoatéki egyenletet az egyensúlyi helyzettől való kitérés függvényében! (6 pont) c) Kis aplitúdót feltételezve ekkora T periódusidővel rezeg? (4 pont) d) A t=0 pillanatban szögelfordulásból, kezdősebesség nélkül elengedjük a korongot. (4 pont) 4/B Egy töör, M töegű, R sugarú henger felületére, a középponttól R távolságra ráragasztunk egy töegű töegpontot. Az így kapott test a stabil egyensúlyi helyzete körül kis lengéseket végez, elyek során a henger tisztán gördül. M R a) Mekkora az így kapott rendszernek a henger középpontján átenő, lapjára erőleges tengelyre vonatkoztatott tehetetlenségi nyoatéka? (4 pont) b) A tiszta gördülés feltevése ilyen összefüggést ad eg a henger Ω szögsebessége és a henger középpontjának v sebessége között? (2 pont) c) Mekkora a rendszer U helyzeti energiája az egyensúlyi helyzettől való φ szögkitérés függvényében? (2 pont) d) Mekkora a rendszer K ozgási energiája? (4 pont) e) Lásd be, hogy a rendszer echanikai energiája kis φ kitérések esetén a következő kvadratikus alakban írható fel: E ech =½Θ*Ω 2 +½D*φ 2 ahol Θ* és D* állandók. (Segítség: Kis φ szögekre cos φ ~ 1- φ 2 /2) (4 pont) f) Az előbbi közelítésben ekkora a rendszer rezgésének T periódusideje? (4 pont) 4/C R sugarú, töegű hoogén körhenger felületére fonalat csavarunk. A hengert ezután hajlásszögű lejtőre helyezzük. A hengert elengedve a fonalat állandó F erővel húzzuk a lejtővel párhuzaosan felfelé. F a) Jelöld be az ábrán a választott koordinátarendszert és a pozitív forgásirányt! Mekkora a henger töegközéppontjára vonatkoztatott tehetetlenségi nyoatéka? (3 p) b) Jelöld be az ábrán a hengerre ható erőket! Az a) pontban választottaknak egfelelően írd fel a hengerre vonatkozó ozgásegyenleteket! (6 p) c) Feltéve, hogy a henger csúszásentesen gördül, ekkora a henger töegközéppontjának gyorsulása? (6 p) d) Legalább ekkora μ 0 tapadási súrlódási együttható szükséges ahhoz, hogy a henger tisztán gördüljön? (5 p) a) 1/2R^2 b) erők: g, N, F, Fs (felfelé), a=f+fs-*g*sin(alfa), teta*beta=f*r-fs*r c) beta=a/r gördülés, két iseretlen a és Fs, a=4f/3-2g/3*sin(alfa) d) Fs=F/3+g/3*sin(alfa) <= u**g*cos(alfa), így u0=f/(3g*cos(alfa))+tg(alfa)/3 4/D Egy pontszerűnek tekinthető v 0 sebességű 2 töegű hokikorong tökéletesen rugalatlanul ütközik egy fele akkora töegű, l hosszúságú rúd végével (jégen). Írja le a rendszer ozgását ütközés után! v a) Hol lesz az ütközés után a rendszer töegközéppontja (a rúd hossza entén)? (4 pont) 0 (l/6 a végétől) b) Mekkora lesz a töegközéppont sebessége? (4 pont) (2/3v 0 ) c) Mekkora az e pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyoaték? (6 pont) (l 2 /4) d) Milyen szögsebességgel forog a rendszer ütközés után? (6 pont) (8v 0 /3l) 4/E Egy hoogén töegeloszlású, töör hengerre zsinórt csévélünk és vízszintes asztalra helyezzük. (A henger töege, sugara R.) A zsinórt D rugóállandójú rugó közbeiktatásával a falhoz rögzítjük. A rugó nyújtatlan állapotától indulva (de a zsinór ár épp kifeszül) a hengert jobbra gördítjük úgy, hogy a
töegközéppontja s távolságnyit ozduljon el, ajd kezdősebesség nélkül agára hagyjuk. (A tapadási súrlódás elegendően nagy ahhoz, hogy a henger tisztán gördüljön.) a) Mennyivel nyúlt eg a rugó? (2 pont) b) Határozzuk eg a henger töegközéppontjának a gyorsulását az elengedés pillanatában! (8 pont) c) Mekkora legyen a tapadási súrlódási együttható, hogy a henger tényleg ne csússzon eg? (4 pont) d) Mekkora lesz a henger töegközéppontjának a sebessége, ikor a rugó isét nyújtatlan állapotba kerül? (6 pont) Bónusz: Ugyanezt a kísérletet elvégezzük egy ásik, ugyanakkora töegű és külső sugarú, szintén hoogén anyagú, de üreges hengerrel is. (Az üreg henger alakú, és koncentrikus elhelyezkedésű.) Azt tapasztaljuk, hogy az üreges henger az elengedéstől érve 20 %-kal több idő alatt teszi eg az s távolságot. Mekkora a hengerben lévő üreg sugara? a) 2s b) a= -8Ds/3 c) μ 0 2Ds/3g d) v 2 =8Ds 2 /3 4/F Egy töegű l hosszúságú hoogén erev rudat vízszintes tengelyű fizikai ingaként függesztünk fel. A tengely távolsága a töegközépponttól x. A rudat vízszintes helyzetből engedjük el. (Θ végpont = l 2 /3) a) Írd fel a ozgásegyenletet és a szöggyorsulást az elengedés pillanatában! (5p) b) Hol van a tengely (x=?), ha a rúd távolabbi végének kezdeti gyorsulása éppen g? (5p) c) Mennyi ekkor a tehetelenségi nyoaték? (5p) d) Mekkora lesz így a szögsebesség axiális értéke? (5p) Megoldások: a) β= (+/-) gx/(l 2 /12+x 2 ) előjelet ne kérünk b) x=l/6 c) Θ=l 2 /9 d) ω 2 =3g/l 4/G Az ábrán látható félhold szerű test felületi sűrűsége hoogén, töege 3, a körök sugara R és 2R. Az AB szakasz illetve annak fele a körök átérője. A a) Mennyi a test felületi sűrűsége? (2p) a) Hol van a test töegközéppontja? Vegyél fel egyértelűen egy koordinátarendszert! (6p) b) Mennyi az A pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyoaték a lapra erőleges tengely esetén? (6p) c) Mennyi az B pontra vonatkoztatott tehetetlenségi nyoaték a lapra erőleges tengely esetén? (6p) (Segítség: A feladat tényleges integrálás nélkül egoldható.) D R s B a) /(R 2 π) b) Az A ponttól 7R/3 c) 45R 2 /2 d) 29R 2 /2 5/A a) Egy test ozgása a következő összefüggéssel írható le:. Adjuk eg C-t és tgδ-t A és B függvényében! (4 pont) Egy M töegű kiskocsit egy l 0 nyugali hosszú, D direkciós erejű rugóval a falhoz rögzítünk (ld. ábra), a rugó nyújtatlan. A t=0 időpontban belelövünk egy u sebességű, töegű golyót, az ütközés tökéletesen rugalatlan, azaz a golyó hozzátapad a kocsihoz. b) Mekkora v 0 sebességgel indul el az ütközés után a kiskocsi? (4 D,l 0 M u pont)
c) Írd fel a kocsi ozgásegyenletét a vízszintes pozíció függvényében (az x-tengely nullpontját a falnál vedd fel, és jobbra legyen pozitív)! (4 pont) d) Mekkora a kialakuló rezgés ω körfrekvenciája? (4 pont) e) Add eg a haronikus rezgőozgás kifejezését erre a konkrét esetre a kezdeti feltételek felhasználásával az a) részben egadott alakok valaelyikével! (4 pont) 5/B a)vezesd le az l hosszúságú töegű ateatikai inga ozgásegyenletét, és add eg a kialakuló rezgés frekvenciáját kis kitérések esetére! (8 pont) Add eg a egoldás paraétereit a ϕ(0) = c 1 és dϕ/dt (0) = c 2 kezdeti feltételek segítségével, ha b) ϕ = Acos(ωt + ) (3 pont) c) ϕ = B cos(ωt) + C sin(ωt) (3 pont) d) Vezesd le az {A, } és a {B,C} paraéterek közötti összefüggéseket! (6 pont) 5/C Egy töegpont az alábbi ozgásegyenlet szerint ozog az x tengely entén: 0,1 a(t)= 0,98696 x(t) 0,02309 v(t) (Minden száérték SI-egységben értendő. A részletszáításokban ne kell kiírni a értékegységeket, csak a végeredényeknél! ) a) Határozd eg a csillapított rezgőozgás leírásához használt szokásos és β, továbbá ω vagy γ paraétereket! (6 pont) b) Milyen típusú a egoldás? Írd fel a ozgásegyenlet általános egoldását! (2 pont) c) Az x(0)=0,2 és v(0)=0 /s kezdőfeltételek illesztésével add eg a ozgásegyenlet konkrét egoldását! (12 pont) Bónusz: Mekkora a töegpont legnagyobb sebessége a ozgás során? 5/D Az ábrán látható elrendezésben egy =0,2 kg töegű test lecsúszik egy =30 0 hajlásszögű, h=14 c agas lejtőn, aelynek aljához l 0 =10 c nyugali hosszúságú, D=80 N/ rugóállandójú súlytalan rugó van erősítve. Az ütközés után a rugó és a test összekapcsolódik, a súrlódástól eltekintünk, g=10 /s 2. a) Mekkora a test sebessége az összekapcsolódás pillanatában? (2p) b) Rajzold le a testre ható erőket és írd fel a ozgásegyenletet az l összekapcsolódás utáni időpontokra! (6p) 0 h c) Írd fel ennek az egyenletnek az általános egoldását szabad paraéterekkel! (6p) d) Illeszd a egoldást egy általad választott koordináta-rendszerhez és a kezdeti feltételekhez! (6p) Egyértelűen definiáld a koordináta-rendszert és az időszáítás nulla pontját! 5/E Egy töegű testet D direkciós állandójú rugóhoz rögzítünk, a testre a sebességével arányos csillapító erő hat (az állandó k). A rendszert F 0. sin(ωt) időfüggő erővel gerjesztjük. a) Írd fel a test ozgásegyenletét! (5 pont) b) Írd fel általános alakban az inhoogén egyenlet egoldását a tranziens rezgés lecsillapodása után! (5 pont) c) Határozd eg a egoldás paraétereit a rendszer jellezőivel! (5 pont) d) A gerjesztés kikapcsolása után ennyi idő úlva csökken a rezgés energiája az 1/10-ére? (5 pont) 5/F Egy =10 g töegű gyöngy vízszintes drótsínen súrlódás nélkül tud ozogni. A gyöngyhöz két D=0,01 N/ rugóállandójú l=30 c nyújtatlan hosszúságú rugó csatlakozik úgy, hogy a gyöngy egyensúlyi helyzete az ábrán látható ódon =30 0 -os szöggel jelleezhető. A t=0 időpontban a gyöngy az egyensúlyi helyzetén halad át v 0 =4 c/s sebességgel. a) Határozd eg a gyöngy ozgásegyenletét jellező D* effektív rugóállandót (5p) b) A egadott kezdeti feltételek esetén ekkora a haronikus rezgés aplitúdója és periódusideje? (3p) Ha bekapcsolunk egy sebességgel arányos kv alakú közegellenállási erőt, ahol k=0,01 Ns/: c) Milyen típusú ozgás alakul ki? Add eg ennek egy általános egoldását, (2p) d) és illeszd D,l az előző kezdeti feltételekhez (5p) e) Mekkora a legnagyobb kitérés ezen ozgás során? (5p) Bónusz: Maxiális kitérésnél ekkora az eredő erő lineáris közelítésének hibája? D,l
a) D*=D b) ω 0 =1 1/s 2 és T=8,28 s, A=4 c c) β=0,5 1/s < ω 0 (alul)csillapított rezgés, pl. x(t)=cexp(-βt)sin(ωt+φ) ahol ω 2 =ω 02 - β 2 d) φ=0, C=8/gyök(3) c e) t*=1/(3gyök(3)) s időpontban x(t*)=2,1 c