1. fejezet A lasszus mechana elve Vrtuáls muna elve, D'Alembert-elv, Hamlton-elv. Legsebb hatás elve. Lagrangeféle els fajú és másodfajú mozgásegyenlete. Hamlton függvény, anonus egyenlete. Kanonus transzformácó. Szmmetrá és megmaradás tétele. 1.1. A mechana elve A lasszus mechana alapvet törvényene megfogalmazását Newton megtette. Azonban ugyaneze az elve megfogalmazhatóa számos, a Newton- axómáal evvalens, azonban matematalag más alaban, am soszor szemléletesebb, lletve egyszer bb tud lenn. Eze a mechana elve, amelye nem bzonyítható axómá, eze helyességét a tapasztalato adjá. 1.1.1. A vrtuáls muna elve Vegyün egy N anyag pontból álló mechana rendszert, amelyne oordnátá x, y, z, a ható er t pedg F jelöl. Legyen δr az -ed anyag pontna a ényszere által megengedett nntezmáls és vrtuáls elmozdulása. Itt a vrtuáls alatt azt értjü, hogy nem tartoz ezen elmozulásohoz d tartam. A tárgyalt rendszer aor lesz egyensúlyban, ha a ható er vrtuáls munája zérus: F δr = 0 1.1) Szabad mozgás esetén mnden δr tetsz leges, tehát az er vetorona ell zérusna lennü. Ha van N pontun, aor azohoz 3N darab oordnáta tartoz, és ennél evesebb ényszerfeltétel lehet adott, ülönben nncs mozgás. Itt most feltesszü, hogy a ényszeren egy felületre orlátozzá a rendszert, és ezért alaju így írható: ϕ r 1, r 2...r N ) = 0 1.2) A ényszerfeltétele a vrtuáls elmozduláso alatt s ell, hogy teljesüljene, ebb l valamnt egy n- ntezmáls elmozduláshoz tartozó Taylor-sorfejtésb l belátható, hogy a ényszerfeltétele a övetez általános alaba írhatóa: ϕ δr = 0 = 1, 2,..., s < 3N 1.3) Ezeet a Lagrange-multplátoro módszerével vehetjü gyelembe: egy smeretlen λ szorzóval hozzáadju et a vrtuáls muna egyenlethez: F + ) λ ϕ δr = 0 1.4) Most a szabad esettel szemben csa 3N-s) darab együttható lesz zérus, de a többnél a Lagrangemultplátoroat választju úgy, hogy a maradé együttható s elt njene. Eor úgy tenthetjü,
1.1. A mechana elve 2 mntha a vrtuáls elmozduláso függetlene lennéne, ezért az egyenl ség teljesüléséhez az er összegéne ell zérusna lenne, ezért: F + λ ϕ = 0 1.5) A másod tagot elnevezhetjü ényszerer ne, és eor a az egyensúly feltétele, hogy a szabad és ényszerer összege zérus legyen. A λ ϕ -s denícóból az s látható, hogy felületen mozgásnál a ényszerer mer leges a felületre mvel ϕ a felület normáls rányába mutat). 1.1.2. d'alembert elv és a Lagrange-féle els fajú egyenlete d'alembert a vrtuáls muna elvéhez hasonló fejezést vezetett be, de az nem csa az egyensúlyt írja le, hanem egyben mozgástörvény s: F ṗ ) δr = 0 1.6) A mechana rendszer az elv értelmében úgy mozog, hogy a fent fejezés mnden d pllanatban teljesül. Szabad rendszerre ez a Newton mozgásegyenletet adja, hszen tetsz leges δr -re el ell t nne a zárójelne, azaz F = ṗ. Ha ényszere s jelen vanna, aor smét a Lagrange-multplátoros átalaítást végezzü el: F + ) λ ϕ p δr = 0 1.7) A vrtuáls muna elvéhez hasonlóan tt s formálsan függetlenént ezelhet a megváltozáso, így ṗ = F + λ ϕ 1.8) Ha feltesszü hogy a tömeg állandó, azaz: ṗ = m d 2 r 1.9) Aor megaphatju a Lagrange-féle els fajú egyenlete. d 2 r m = F + λ ϕ 1.10) Mvel eze vetor egyenlete, így tulajdonéppen 3N darab egyenletün van, és ezenívül az s darab ényszeregyenlet. 1.1.3. Gauss-féle legsebb ényszer elve Bevezette a ényszer mértéét: Z := 3N 1 m =1 m d 2 x X ) 2 1.11) ahol X a szabad er a záró jelben az -d pont tömegpontna a szabad mozgástól való eltérése szerepel). Gauss elve a övetez t mondja: a ényszere által megengedett gyorsulásváltozáso özül a legsebb valósul meg. A gyorsulást varálva, a övetez alara hozható: 2 3N =1 m d 2 x X ) δ d 2 ) x = 0 1.12)
fejezet 1. A lasszus mechana elve 3 Ehhez hozzáadva a szoásos módon Lagrange multplátorral a ényszereet: 3N =1 m d 2 x X m d 2 x λ ϕ ) δ = X + d 2 ) x = 0 λ ϕ 1.13) Eze a már orábban megsmert Lagrange-féle els fajú egyenlete. Ezzel tulajdonéppen megmutattu, hogy a Gauss-féle legsebb ényszer elve a helyes mozgásegyenletere vezet, tehát egyenérté a Newton-féle megfogalmazással, vagy a D'Alambert-elvvel. 1.1.4. Általános oordnátá Az eddg tárgyalásoban a ényszere, mnt független egyenlete volta gyelembe véve. Ha azonban olyan oordnátára térün át, amelye lleszedne a ényszerehez, aor ezeben eze a feltétele elt nne, így egyszer bb alaot apun a mozgásegyenletere. Az állítás az, hogy lyen transzformácó létezne, az lyen áttéréssel apott új oordnátáat általános oordnátána nevezzü, és q -val jelöljü, az általános sebességeet pedg q -val. Itt ell megjegyezn, hogy eze nem feltétlen hosszúság lletve sebesség dmenzójú változó. Lagrange-féle másodfajú mozgástörvény Határozzu meg a mozgásegyenleteet az általánosított oordnátá mellett, ehhez nduljun a D'Alembert elvb l: d 2 ) x m dt 2 X δx = 0 1.14) Térjün át általános oordnátára: ẋ = x q + x q 1.15) δx = x q δq 1.16) A 1.16) fejezés nem tartalmazza a δt varácót, mvel a vrtuáls elmozdulás csa q oordnátától függ. Így az általános oordnátáal a övetez alara hozható a D'Alembert elvet leíró összefüggés: d K K ) Q δq = 0 1.17) dt q q ahol K = 1 2 m ẋ 2 netus energa és Q = X x q az úgynevezett általánosított er omponens általában nem er dmenzójú, de a W = Q δq mndenépp muna dmenzójú). Ha a ható er onzervatíva, tehát: X = V 1.18) Aor a 1.17) egyenlet a övetez alara hozható: d dt d K K V dt q q q = 0 d K K V ) dt q q = 0 K V ) K V ) q q = 0 1.19)
1.1. A mechana elve 4 Az utolsó lépés azért megtehet, mert V csa a helyoordnátától függ, és független a q általános sebesség omponenst l. A rendszer mozgás energájána és a potencálsna a ülönbségét Lagrange függvényne nevezzü így: d = 0 1.20) dt q q A 1.20) egyenletet nevezzü Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenletene. Hamlton-féle varácós elv és az Euler-Lagrange egyenlete A Hamlton által mondott varácós elv, az eddgeen azért mutat túl, mert nem csupán a mechana problémá általános megfogalmazásában használható, hanem az opta és a vantummechana törvényet s egyszer en meg lehet általa fogalmazn. Konzervatív rendszerre az állítás a övetez : S = t2 A varácószámításból adódna a mozgásegyenlete: t 1 Ldt = ext. 1.21) d = 0 1.22) dt q q Eze az Euler-Lagrange egyenlete Lagrange-féle másodfajú mozgásegyenlete). Példa: Rugó mozgása. Legyen ét tömegpontun am egy-egy rugóval a falhoz van rögzítve és egy rugóval pedg a ét test van össze ötve. Legyen mnden rugó egyforma D = D). Eor a Lagrange függvény: L = K V = 1 ) ẋ 2 m 2 1 + ẋ 2 2 1 2 Dx2 1 1 ) 2 D x 2 x 2 1 + 1 2 Dx2 2 1.23) amb l a mozgás egyenlete: m d2 x 1 = Dx 2 2Dx 1 1.24) m d2 x 2 = Dx 1 1.25) Ha a megoldás x = a e ωt alaba eressü, aor egy sajátérté problémára vezet az egész feladat. Kanonus egyenlete, Hamlton-függvény Az eddg használt Lagrange leírásban másodrend derencálegyenletet aptun. Az úgynevezett anonus egyenlete azzel szemben els rend derencálegyenleteet szolgáltatna, amelye a másodrend eel egyenérté e, azonban étszer anny van bel lü. Bevezetjü a anonusan onjugált mpulzust és a Hamlton-függvényt: p = q H = p q L 1.26) Az Euler-Lagrange egyenlete gyelembevételével, és a Hamlton-függvény teljes derencájána felhasználásával dhp, q, t) = H H H dq + dp + dt 1.27) q p ) = d p q L = pd q + qdp dq d q dt 1.28) q q
fejezet 1. A lasszus mechana elve 5 Tehát ebb l leolvashatju a anonus egyenleteet: = pd q + qdp ṗdq pd q dt 1.29) = qdp ṗdq dt 1.30) 1.31) q = H p 1.32) ṗ = H q 1.33) H = 1.34) Ha a rendszer onzervatív, és az általánosított oordnátára való áttérés d független, aor a Hamlton-függvény a mechana energát adja. Enne a formalzmusna emeled szerepe van a vantummechana és a vantumtérelemélete tárgyalásánál. Clus oordnátá, anonus transzformácó Ha a Hamlton-függvény nem függ valamely oordnátától, aor az ahhoz a oordnátához tartozó onjugált mpulzus állandó a anonus egyenlete matt, és azonnal megoldást szolgáltat a mozgásegyenletre q = q t + c = H p t + c 1.35) Az lyen tulajdonságú oordnátát clus oordnátána nevezzü. Értelemszer en mnél több clus oordnátá van, annál egyszer bb megoldan az adott problémát. Ezért érdemes foglalozn azoal a transzformácóal, amelye változatlanul hagyjá a anonus egyenleteet, de clus oordnátára térhetün át segítségüel. Eze a transzformácó tehát olyan oordnátá özött vszne át, amelye teljesít a anonus egyenleteet továbbá a varácós elvne s eleget teszne a anonus egyenlete s abból származtathatóa). Eze alapján belátható, hogy a varált funconálban van egy szabadságun egy tetsz leges függvény d szernt derváltjána erejég. Ezt a függvény nevezzü alotó függvényne, mert segítségével fejezhet e a transzformácós szabályo. Az alapján, hogy az alotó függvényt mely ét változóval fejezzü a négy rég és új oordnáta, rég és új mpulzus) özül, ülönböz összefüggéseet apun a oordnátá és az alotó függvény özött, valamnt megapju a Hamltonfüggvény transzformácóját s. Maupertus-elv A Maupertus-elv energamegmaradó rendszerere vonatoz, vagys a Lagrange-függvény nem függ explcte az d t l. Az elv mondja, hogy a rendszer által megtett út olyan, hogy a rövdített hatás S = dq = mn. 1.36) p ahol az ntegrált a pályára vett vonalntegrálént ell érten. Louvlle-tétel A Hamlton- mechana rendszerere mondható a Louvlle-tétel, am azt fogalmazza meg, hogy nem-dsszpatív rendszerre a fázstérfogat állandó marad. Ha ϱ a fázstérbel eloszlás függvény, és a rendszer d dmenzós: dϱ dt = ϱ + d =1 ϱ q + ϱ ) ṗ q p 1.37)
1.2. Szmmetrá és megmaradás tétele 6 mvel a fázstérben a ponto sebessége: v = dr dt = q + ṗ ) = H H ) p p 1.38) a sebesség dvergencája: v = 2 H p q H q p ) = 0 1.39) Ez azért fontos egyenlet, mert nem csa egyensúly sztuácóban használható, hanem sorészecsés bonyolult dnama problémára s, ezért alapvet fontosságú a statsztus jelensége tárgyalásában. 1.2. Szmmetrá és megmaradás tétele 1.2.1. Noether-tétel Azt mondja, hogy mnden folytonos szmmetrához tartoz egy megmaradó mennység. Tehát ha a rendszer Lagrange függvényéne a szmmetrája: aor a övetez mennység megmaradó: q : q = q + εf q, q) 1.40) q : q = q + εf q, q) 1.41) q f = áll. 1.42) mvel L q + εf, q + εf ) L q, q ) = 0) = εf + ) εf q q = ε d ) εf dt q 1.43) A tér homogentása és az mpulzus megmaradás Ha a rendszer eltolás szmmetrus aor egy tetsz leges rányba δr-rel való eltolásra L változatlan, és eltolás során a övetez éppen transzformálódna a vetoro: Így a Noether-tétel 1.42) alapján: r = r + δr 1.44) q = p = p = áll. 1.45) A tér zotrópája és az mpulzusmomentum megmaradás A szmmetra transzformácó eredménye a vetorora: r = r + δr δr = δφ e r 1.46) p = p + δp δp = δφ e p 1.47) A Noether-tétel 1.42) alapján: q r = p r = N = N = áll. 1.48)
fejezet 1. A lasszus mechana elve 7 Az d homogentása és az energa megmaradás Ha a szmmetra m veletün az d bel eltolás, azaz aor Noether-tétel 1.42) alapján: t = t + t 0 1.49) = áll. 1.50) A Lagrange függvény általában nem függ explcte az d t l, így ez az állandó a nulla, így láthatju, hogy a rendszer energája megmarad.