ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

ÖSSZEFÜGGÉSVIZSGÁLAT, PARAMÉTERBECSLÉS

Összefüggésvizsgálat, paraméterbecslés A kísérletek sorá a redszer állapotát ellemző paraméterek kapcsolatát vizsgáluk. A yert adatok alapá felállítuk a redszer matematikai modellét, vagy ha már vaak ismereteik, akkor az előre felállított modell (hipotézis) érvéyességét elleőrizzük. Aszerit, hogy két paraméter (változó) vagy egyideűleg több tuladoság egymás közötti összefüggését vizsgáluk, kétváltozós, illetve többszörös összefüggés-vizsgálatról beszélük. Magát az összefüggést korrelációak is evezik. Az általuk tervszerűe változtatott paramétert függetle változóak, az eek hatására változó másikat függő változóak tekitük (szigorúa véve valameyi paraméter valószíűségi változó).

Korreláció- és regresszióaalízis

Korreláció- és regresszióaalízis Módszereit elsőkét az örökléstaal foglalkozó K. Pearso dolgozta ki (1903). (Va olya véleméy, hogy Galto volt az első.) Téma: a gyermekek termetéek a szülők termetével való összefüggése. Maga a regresszió kifeezés is ebből az első alkalmazásból ered. Amikor felismerték, hogy agyo magas vagy agyo alacsoy szülők gyermekei átlagba em olya magasak vagy alacsoyak, ezt a tedeciát úgy írták le, mit a visszatérést (regressziót) az átlag felé, és az ezt leíró egyeest regressziós egyeesek evezték el.

Korreláció- és regresszióaalízis Regressziós modell : a két változó között eleve feltételezzük a lieáris kapcsolatot. Korrelációs modell : a két változó kapcsolatát leíró függvéyről ics előzetes feltételezésük. A kétféle modell és elevezés a gyakorlatba keveredik, szigorúa véve midig korrelációs modellről kellee beszélük.

Korreláció- és regresszióaalízis Amikor két meyiség (változó) úgy függ össze egymással, hogy a függetle változó adott értékéhez a függő változó egy ól meghatározott értéke tartozik, függvéykapcsolatról beszélük. y f () Korrelációs kapcsolat: a függetle változó () mide értékéhez a függő változó (y) bizoyos statisztikus sokasága tartozik úgy, hogy az y eloszlása az változásával meghatározott módo szité változik. Ilyekor az összefüggést az egyik változó () és a másik változó (y) várható értéke között tuduk megadi.

Korreláció- és regresszióaalízis A korrelációs kapcsolat közbeső állapotot foglal el a potos függvéyszerű összefüggések és a változók teles függetlesége között. Az ilye ellegű kapcsolatot sztochasztikusak is evezik. Az összefüggés e viszoylagosságáak ellemzésére szolgál a korrelációs együttható (r), amelyek abszolút értéke 0 és 1 között változik. 0 a változók teles függetleségéek, ±1 a potos függvéykapcsolatak felel meg. A korrelációs együttható égyzete a determiációs együttható (r 2 ). Ez tuladoképpe arra ad felvilágosítást, hogy a függő változó megváltozása milye aráyba köszöhető a függetle változó értékébe bekövetkező változásak, és milye aráyba egyéb esetleg ismeretle téyezőkek.

Korreláció- és regresszióaalízis Például ha r 2 0,98, akkor azt modhatuk, hogy a függő változó (y) értékébe bekövetkező változásokak 98%-ba a függetle változó () megváltozása az oka, és csak 2%- ba egyéb, általuk ismeretle téyezők (lásd: za).

Kétváltozós lieáris regresszióaalízis

Korreláció- és regresszióaalízis A regressziószámításba az egyik alapeset az, amikor a függetle változó () értékeit potosak, hibametesek tekithetük, és eek függvéyébe vizsgáluk a mért, hibákkal terhelt függő változó (y) értékeket. A két változó csak akkor cserélhető fel, ha a voatkozó modell ezt megegedi, pl. kalibrációs függvéyek esetébe ez midig megegedett.

Korreláció- és regresszióaalízis A regresszióaalízis alkalmazása sorá a következő feladatokat lehet megoldai: a) a két változó kapcsolatát leíró függvéy álladóiak (paramétereiek) becslése, b) a liearitás hipotéziséek vizsgálata (pl. a korrelációs együttható statisztikai próbáával), c) az illesztett függvéy paramétereire voatkozó hipotézisek vizsgálata, pl. az origó megy-e át az illesztett egyees, d) kofidecia (megbízhatósági) itervallum számítása a függvéy paramétereire, és az ezekből számított fizikai meyiségek hibahatáraiak becslése.

Korreláció- és regresszióaalízis Ha a szabado választott paraméter (függetle változó) és a mért meyiség (függő változó) között ismeretes valamilye elméleti összefüggés, akkor azt kell megvizsgáli, hogy érvéyes-e az adott kísérletsorozatra.??? A függvéykapcsolat gyakra em ismeretes??? Célszerű a korrelációt (összefüggést) kifeező ábrát készítei: -Derékszögű koordiátaredszer: abszcissza függetle változó (), ordiáta függő változó (y). - A grafiko méretezés és skálázása: az adatok a két tegelye közelítőleg azoos hosszúságú szakaszt fogaak át.

Korreláció- és regresszióaalízis Helyese megválasztott tegelybeosztás a grafikus ábrázoláshoz Helyteleül megválasztott tegelybeosztás a grafikus ábrázoláshoz

Korreláció- és regresszióaalízis A legkisebb égyzetek módszere Ha va elképzelésük arról, hogy milye függvéyt illesztük adataikhoz, meg kell határozi a függvéy paramétereiek számszerű értékét: Olya egyelet meghatározása a cél, amelybe külöböző értékeit behelyettesítve y értékeit a lehető legpotosabba becsülhetük. E számításhoz alkalmas a legkisebb égyzetek módszeré alapuló regresszióaalízis (Legedre, Gauss). Sokféle módszer létezik!

Korreláció- és regresszióaalízis A legkisebb égyzetek módszere Mit is elet? Léyeg: Ha megválasztottuk a görbe típusát (a függvéyt), a paramétereket úgy határozzuk meg, hogy a mért függő változó értékek és az összefüggésből azoos függetle változó behelyettesítésével számolt értékek külöbségeiek égyzeteit összeadva a kapott összeg miimális legye.

Korreláció- és regresszióaalízis

Két külöböző egyees illesztése Korreláció- és regresszióaalízis

Korreláció- és regresszióaalízis Az egyees egyelete: y a + b A paraméterek legvalószíűbb értéke az, amelyre a függvéyből számított és a mért y értékek közötti eltérés égyzeteiek összege miimális, vagyis a miimalizáladó meyiség: Q 1 2 2 1 ( y f( )) ( y a b ) miimum

Korreláció- és regresszióaalízis A miimum feltétele: egyeletredezés és a -2 szorzóval való egyszerűsítés utá: ( ) 2( ) 0 0; 0 2 0; 1 1 b a y a Q a Q b a y b Q b Q + 1 1 2 1 a b y + 1 1 b a y

Korreláció- és regresszióaalízis A paraméterek értékei: 2 2 2 1 1 2 1 1 1 y y y y b b y b y a 1 1

Korreláció- és regresszióaalízis A liearitás hipotéziséek vizsgálata (vagyis, hogy mérési adataik kapcsolata egyees egyeletével adható-e meg), több módszerrel lehetséges. Itt csak a korrelációs együtthatóval foglalkozuk. Az értelmezéshez: Mide megfigyeléssorozathoz két regressziós egyees illeszthető, az egyik esetbe az a függetle változó, a másikba esetbe az y. y a b y a y + b y y + y

Korreláció- és regresszióaalízis Bár ez két regressziós egyees, csak egyetle korrelációs együttható létezik mide megfigyeléssorozatra. A korrelációs együttható azt mutata meg, hogy a két egyees meyire esik közel egymáshoz. Miél szorosabb a korreláció, aál közelebb kerül egymáshoz a két egyees, és viszot. Miél lazább a kapcsolat, aál széttartóbbak. Tökéletes korreláció (függvéykapcsolat) esetébe (r 1) a két egyees egybeesik. Ha ics kapcsolat (r 0), a két egyees merőleges egymásra. (A két egyees metszéspota midig az, y koordiátáú pot!)

Korreláció- és regresszióaalízis Ez az összefüggés ayira egzakt, hogy a korrelációs együtthatót a két egyees meredekségéből lehet számítai az képlet alapá. r 2 b A változók felcserélése ebbe az esetbe a statisztikai elárás része. Valóába csak abba az esetbe cserélhető fel a függő és függetle változó, ha ezt a voatkozó modell megegedi. (Kalibrációs függvéyek esetébe ez megegedett.) y b y

Korreláció- és regresszióaalízis A korrelációs együttható számítása a korábbiak alapá a kiidulási adatokból képzett segédmeyiségekkel: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 1 y y y y r

Korreláció- és regresszióaalízis A korrelációs együttható statisztikai próbáa Az r együtthatóra voatkozó hipotézisvizsgálatok felépítése, godolatmeete ugyaolya, mit a többi feltevésvizsgálaté, külöbség csupá a hipotézis megszövegezésébe va. A ullhipotézis (a leggyakoribb esetbe) így szól: a két változó függetle, vagyis az elméleti korrelációs együttható értéke ulla. (Természetese az észlelési adatok hibáiak ormális eloszlása ulla várható értékkel ebbe az esetbe is előfeltétel.) Liearizált összefüggés esetébe a traszformált változók közötti kapcsolat szorosságára ellemző a korrelációs együttható, ezért a szigifikaciavizsgálat is ezekre voatkozik.

Korreláció- és regresszióaalízis Az r szigifikaciááak vizsgálata kapcsolatba hozható a t-próbával. Eze az alapo kiszámították és táblázatba foglalták a szabadságfokok és a megfelelő valószíűségek függvéyébe a megfelelő r küszöbszámokat. Ezekkel kell összehasolítai az általuk számított r abszolút értékét. A táblázatból kikeressük az 2 szabadságfokhoz tartozó r α kritikus értéket. Ha r α < r számított, akkor (1-α) statisztikus biztosággal bizoyítottak tekithetük, hogy r szigifikása eltér 0- tól, vagyis az és y változók kapcsolatát az általuk meghatározott egyees egyelete íra le.

Kofidecia (megbízhatósági) itervallum számítása az illesztett függvéy paramétereire

Korreláció- és regresszióaalízis A reziduális szórás Egy adott értékhez tartozó mért y i érték és a korábba ismertetett módo számított a és b paraméterekkel meghatározott egyees egyeletéből számított y értékek külöbségét (amelyek égyzetét miimalizáltuk) maradékak vagy reziduumak evezzük. A reziduális szórás ( illeszkedési szóráségyzet ) : S 2 * reziduális 1 [( ) ] 2 y a b ( y ) 2 1 2 2

Korreláció- és regresszióaalízis A reziduális vagy illeszkedési szórás szemléletes eletése: a reziduális szórás kielöl egy sávot a regressziós egyees körül ± iráyba, amelye belül található a kokrét eredméyek bizoyos százaléka, a mita elemszámtól függőe: > 30 eseté a potok kétharmada, < 30-ál pedig a mita elemszámak a kofidecia itervallumra gyakorolt hatásáak megfelelőe -től függő háyada.

Az egyees meredekségéek (iráytageséek) statisztikai próbáa Korreláció- és regresszióaalízis 1. Az lieáris egyeletbe szereplő b iráytages becsült szórása (az S b dimezióa megegyezik a b dimezióával). S b S * reziduális S S * reziduális ( ) 2 ahol S 1 ( ) 2

Korreláció- és regresszióaalízis 2. A b paraméter megbízhatósági (kofidecia) itervalluma: b ± t α S b (1-α) valószíűséggel állíthatuk, hogy valódi értéke eze itervallumo belül található. (t α az (-2) szabadság fokhoz tartozó táblázati érték, kétoldali szitél.)

Korreláció- és regresszióaalízis 3. Előfordul, hogy az általuk meghatározott értéket össze akaruk hasolítai aak valódi értékével, ami lehet az irodalomból ismert, többféle módszerrel meghatározott adat. Ilyekor t próbát végzük. A próbastatisztika: t b β ahol a regressziós egyees iráytageséek elméleti, valódi értéke (a szabadságfoka -2). Ameyibe t > t α, akkor azt modhatuk, hogy az általuk meghatározott b és aak valódi értéke (β) között léyeges (eletős, szigifikás) külöbség va. Ellekező esetbe a mi adatuk em tér el szigifikása a valódi értéktől. S b

Korreláció- és regresszióaalízis A regressziós egyeletből számított függő változó (y ) értékek hibáa A felállított regressziós egyeletből kiszámítható a függetle változó valamely meghatározott értékéhez tartozó átlagos y érték. Kérdés, hogy az y értékre voatkozó becslésük mekkora hibával terhelt. A kofideciahatárok számítására voatkozó összefüggés: ahol y ' ± t α S y S y S * reziduális 1 + ( ) 2 '. ( ) 2 1

Korreláció- és regresszióaalízis Külöböző értékekél meghatározva a feti kifeezés értékét, a regressziós egyelet alatt és fölött megadhatuk (1-α) statisztikus biztoságot képviselő megbízhatósági határt. E két görbét kofidecia hiperboláak is evezik, mert az összefüggés képe az (, y) koordiátákkal meghatározott poto átmeő aszimptotákkal is ellemezhető hiperbola.

Az egyees tegelymetszetéek statisztikai próbáa Korreláció- és regresszióaalízis A tegelymetszet (a) azy értéke az 0 helye. Gyakra az 0 a megfigyelési tartomáyo kívül esik, ezért az oda törtéő etrapolációak csak akkor va értelme, ha egyéb olya szakmai iformációk állak redelkezésükre, amelyek reális fizikai eletést tuladoítaak az y a + b egyeletbe szereplő a-ak. Ilye esetbe az S y -ra voatkozó összefüggésből az 0 helyettesítéssel kapuk a tegelymetszet (a) megbízhatósági itervallumát: 2 a S a * 1 Sreziduális + ± t S α a ( ) 1 2

Korreláció- és regresszióaalízis Speciális esetkét gyakra felmerül a kérdés, hogy a regressziós egyees az origóból idul-e, vagy redelkezik 0-tól külöböző tegelymetszettel, azaz az általuk meghatá-rozott a szigifikása eltér-e ullától vagy em. A ullhipotézis: H 0 : a elméleti 0 A feltevés elleőrzése kétoldali t próbával lehetséges. A próbastatisztika (a szabadságfokok száma -2): t a Amikor t > t α, akkor az a eltérése a ullától szigifikásak modható, vagyis a regressziós egyeesük em az origóból idul, redelkezik számottevő tegelymetszettel. Bármilye más tegelymetszet értékre ugyaígy kell elvégezi a próbát. a S a elméleti

Példa a kétváltozós összefüggés-vizsgálatra

Korreláció- és regresszióaalízis Termoelem kalibrációs függvéyéek meghatározása, termofeszültség hőmérséklet-megfeleltetés A hőmérséklet és a termofeszültség kapcsolatát lieáris függvéyel íruk le. Ehhez égy adatpár áll redelkezésükre. A 0 C refereciahőmérséklethez 0 mv tartozik. A tiszta ayagok (S, Pb, Z) olvadáspotértékeit ismerük az irodalomból, a hozzáuk tartozó termofeszültségeket a lehűlési görbékről mi olvassuk le. A égy adatpárra illesztett egyees paramétereit grafikus értékelőszoftverrel határozzuk meg. A kalibrációs egyees egyelete: T a + b U term.

Korreláció- és regresszióaalízis A redelkezésre álló adatok: U / mv 0,0 12,79 18,38 23,52 T / o C 0,0 231,9 327,4 420,0 A függvéy paraméterek: a 0,98192 C b 17,8345 C/mV A termofeszültség adatokat a o o T 0,98192 C + 17,8345( C mv ) U term. egyeletbe helyettesítve megkapuk a hőmérsékletértékeket.