Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 22/2. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 94 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.. (99) 518 64 () 59 761 takach@inf.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ takach 1. konzultációs hét Gráfelmélet Alapfogalmak Euler-vonal Hamilton-kör Legrövidebb út Minimális feszítőfa Algoritmusok! Hozzárendelési feladat Folyamprobléma Szélsőértékszámítás!!! Irodalom F. S. Hillier és G. J. Lieberman. Bevezetés az operációkutatásba. LSI Oktatóközpont, Budapest, 1994. Szükséges részek: 1. fejezet, azaz 27 247, 258 261 oldal. A többi anyagrészhez: ld. tantárgy honlapja A gráf definíciója 1. DEFINÍCIÓ. Legyen V egy véges halmaz, E pedig V -beli rendezetlen elempárok véges rendszere. Ekkor a G=(V, E) párt gráfnak nevezzük. V elemei a gráf csúcsai, E elemei a gráf élei. Ha e = (v 1, v 2 ) egy él, akkor azt mondjuk, hogy az e él a v 1 és a v 2 csúcsokat köti össze.
2 Egy labdarúgó tornán 6 csapat vesz részt. Ez a gráf azt írja le, hogy mely csapatok mérkőztek meg egymással az első négy fordulóban. V = {A, B, C, D, E, F } E = {(A, B), (A, C), (A, D), (A, F ), (B, C), (B, E), (B, F ), (C, D), (C, E), (D, E), (D, F ), (E, F )} Rendezetlen elempáron azt értjük, hogy nem teszünk különbséget a (v 1, v 2 ) és a (v 2, v 1 ) pár között, a rendszer pedig abban különbözik a halmaztól, hogy egy elem többször is szerepelhet benne. Gráfelméleti alapfogalmak 2. DEFINÍCIÓ. Egy gráf egy csúcsa izolált csúcs, ha nem indul ki belőle él. (W ) Többszörös élről beszélünk, ha két pontot több él köt össze.((y, V ) ) A hurokél önmagába visszatérő él, azaz két végpontja azonos.((x, X)) Az üres gráf csupa izolált pontokból álló gráf, azaz E =. Az egyszerű gráfok nem tartalmaznak sem hurokélet, sem többszörös élet. Gráfelméleti alapfogalmak. DEFINÍCIÓ. A teljes gráfok olyan egyszerű gráfok, amelyekben bármely két különböző csúcs között vezet él. K n : n csúcsú teljes gráf. Egy G egyszerű gráf komplementere az a Ḡ gráf, amely teljes gráffá egészíti ki; tehát G és Ḡ csúcsai megegyeznek, továbbá két csúcs között pontosan akkor vezet él Ḡ-ben, ha G-ben nem vezet él. A G 1 = (V, E ) gráf a G = (V, E) gráf részgráfja, ha E E; tehát G 1 -et G-ből néhány él elhagyásával kapjuk. A G 1 és G 2 gráfok izomorfak, ha létezik a csúcsok között olyan bijekció, hogy két G 1 -beli csúcs között pontosan akkor vezet él, ha a megfelelő két G 2 -beli csúcs is össze van kötve.
Síkgráfok 4. DEFINÍCIÓ. Egy gráf síkgráf, ha lerajzolható úgy a síkba, hogy élei csak a szögpontokban metszik egymást. G síkgráf, mert a vele izomorf H a síkba van rajzolva. Ha egy gráf lerajzolható a síkba, akkor lerajzolható úgy is, hogy minden éle egyenes szakasz legyen. (K) Síkgráfok K 5 és K, nem rajzolhatók le a síkba. Az is belátható, hogy ha egy gráf nem rajzolható síkba, akkor K 5 vagy K, valahol "benne van" a gráfban. Fokszámok 5. DEFINÍCIÓ. Egy csúcs fokszáma a belőle kiinduló élek száma. Megjegyzés. Egy n-pontú teljes gráfban minden csúcs fokszáma n 1, és összesen ( n 2) élet tartalmaz. 6. TÉTEL. Egy gráf páratlan fokú csúcsainak száma páros. Bizonyítás. Felhasználjuk az alábbi segédtételt. 7. SEGÉDTÉTEL. Egy gráf csúcsai fokszámainak összege megegyezik az élek számának kétszeresével. Ezek után a tétel bizonyítása a következő: Jelölje a gráf csúcsait A 1,... A n, a megfelelő fokszámokat ρ(a 1 ),..., ρ(a n ). Tegyük fel, hogy ρ(a 1 ),..., ρ(a k ) páratlan számok, ρ(a k+1 ),..., ρ(a n ) párosak. A segédtétel szerint ρ(a 1 ) +... + ρ(a n ) páros, így páros számokat elhagyva ρ(a 1 ) +... + ρ(a k ) is páros lesz. Páratlan számok összege pedig csak akkor lehet páros, ha páros sok van belőlük.
Fokszámok 4 8. TÉTEL. Legyen G egy n-csúcsú egyszerű gráf, n 2. Ekkor van legalább két olyan csúcs, melyek fokszáma megegyezik. Bizonyítás. Minden egyes csúcs fokszáma, 1,..., n 1 lehet, vagyis n-féle. Egy -fokú csúcs izolált csúcs, egy (n 1)-fokú pedig minden másik csúccsal össze van kötve. Tehát nem lehet a gráfban egyszerre -fokú és (n 1)-fokú csúcs is, vagyis csak (n 1) féle lehet a fokszám. Ekkor a skatulya-elv szerint van két azonos fokszámú csúcs.
Gráfok bejárása 9. DEFINÍCIÓ. Sétán két csúcsot összekötő élsorozatot értünk. Speciális séták: vonal: olyan séta, melyben minden él legfeljebb egyszer szerepel (a csúcsok többször is szerepelhetnek). zárt vonal: olyan vonal, melynek kezdő és végpontja azonos. nyílt vonal: olyan vonal, melynek kezdő és végpontja különböző. út: minden csúcsot legfeljebb egyszer érintő séta. kör: olyan séta, melynek a kezdő és végpontja azonos, a többi csúcsot legfeljebb egyszer érinti. 5 1. DEFINÍCIÓ. Egy gráf összefüggő, ha bármely két csúcs között vezet út. Königsbergi hidak Eulertől megkérdezték Königsberg lakói, hogy miért nem tudnak átmenni a város hídjain úgy, hogy mindegyiken pontosan egyszer mentek át: Euler-vonal Melyik ábra (gráf) rajzolható le egy vonallal a ceruza felemelése nélkül?
6 A kukásautónak egy körzet minden utcáján végig kell mennie, és be kell gyűjteni a szemetet. Meg tudja-e ezt tenni úgy, hogy minden utcán csak egyszer megy végig? Euler-vonal 11. DEFINÍCIÓ. Euler-vonal: olyan vonal (séta), melyben minden él pontosan egyszer szerepel. Szükséges feltétel Euler-vonal létezésére: zárt Euler-vonal esetén minden pontba pont ugyanannyiszor megyünk be mint ki minden pont foka páros. Belátható, hogy ez elegendő is! 12. TÉTEL. Egy összefüggő gráfban pontosan akkor létezik zárt Euler-vonal, ha minden csúcs fokszáma páros. Egy összefüggő gráfban pontosan akkor létezik nyitott Euler-vonal az A csúcsból a B csúcsba, ha csak A és B fokszáma páratlan. Ha egy összefüggő gráfban a páratlan fokszámú csúcsok száma 2k, akkor a gráf k darab diszjunkt vonal egyesítése. Algoritmusok "Algoritmus" zárt Euler-vonal keresésére: Tetszőleges csúcsból kiindulva rajzolom fel a gráfot, ügyelve arra, hogy a le nem rajzolt rész összefüggő maradjon. "Algoritmus" nyílt Euler-vonal keresésére: Ugyanaz, mint a zártra, de a kiindulópont szükségszerűen az egyik páratlan fokú csúcs. Utazó ügynök probléma Egy ügynöknek meg kell látogatnia bizonyos városokat útja során (és végül haza kell térnie). Adott: mely városokból mely másik városokba van járat(közvetlen út) milyen költséggel tud eljutni egyik városból másikba (repülőjegy, autóút ára).
7 Cél: az utak összköltségét minimalizálni. Ez a feladat sok alkalmazás során felmerül, és csak bizonyos speciális esetekben ismeretesek jó algoritmusok a megoldására. Ha bármely két város közt, melyek között van összeköttetés, az 1 költségű, és az ügynöknek minden várost meg kell látogatnia, akkor a feladat a Hamilton-kör létezésére vezet. Hamilton-kör 1. DEFINÍCIÓ. A Hamilton-kör olyan kör, amely minden csúcson átmegy (szükségszerűen pontosan egyszer). A Hamilton-kör létezésére nem ismert egyszerű szükséges és elégséges feltétel, s ugyancsak nincs gyors algoritmus sem Hamiltonkör keresésére. Elégséges, de nem szükséges feltétel Hamilton-kör létezésére: 14. TÉTEL. Legyen G n-csúcsú egyszerű összefüggő gráf. Ha minden csúcs fokszáma legalább n/2, akkor a gráfban létezik Hamilton-kör. Hamilton-kör Szükséges, de nem elégséges feltétel Hamilton-kör létezésére: 15. TÉTEL. Ha egy G = (V, E) gráfban van Hamilton-kör, akkor bármely S V ponthalmaz esetén S pontjait és a belőlük kiinduló csúcsokat elhagyva a maradék gráfnak legfeljebb annyi össefüggő komponense van, mint S. Másképpen: Ha egy G = (V, E) gráfban létezik olyan S V ponthalmaz, hogy S pontjait és a belőlük kiinduló csúcsokat elhagyva a maradék gráfnak S -nál több össefüggő komponense van, akkor a gráfban nincs Hamilton-kör. Legrövidebb út keresése Alapfeladat: Adott egy összefüggő gráf, egy kezdő- és egy végső csúcs, valamint az élekhez rendelt távolságok. Keressük a legrövidebb utat a kezdő és a végső csúcs között. Figyelem! Nem a felhasznált élek számát kell minimalizálni, hanem a hosszaik összegét. Átfogalmazások: Az elemekhez rendelt számok jelképezhetnek költségeket illetve időtartamokat is. Ilyenkor a minimális költségű illetve a legkevesebb idő alatt bejárható utat keressük. Algoritmus. A gráf minden élére meghatározzuk a kezdőponttól oda vezető legrövidebb utat. A kezdőponttól mért távolságok szerint növekvő sorrendben vesszük a pontokat. 1. iterációs lépés: Meghatározzuk a kezdőponthoz legközelebbi pontot. n. iterációs lépés: Meghatározzuk a kezdőponthoz n. legközelebbi pontot. Bemenet: A legközelebbi n 1 csúcs, beleértve a legrövidebb útvonalakat is. (Ezeket nevezzük megoldott pontoknak (beleértve a kezdeti pontot is), a többit megoldatlan pontnak mondjuk.) Jelöltek: minden megoldott ponthoz a legközelebbi megoldatlan pont (ha van ilyen). Döntés: minden jelöltre kiszámítjuk a jelölő kezdő távolság és a jelölt jelölő távolság összegét, és ezek közül a minimálisat választjuk. A jelölő csúcsot is feljegyezzük. A legrövidebb út: Ha az iterációban elérek a végső pontig, akkor készen vagyok. (Visszafejtés!)
8 Visszafejtés n Jelölő Jelölt Távolság Győztes Távolság Összeköttetés 1 O A 2 A 2 OA 2 O C 4 C 4 OC A B 2 + 2 = 4 B 4 AB 4 A D 2 + 7 = 9 B E 4 + = 7 E 7 BE C E 4 + 4 = 8 5 A D 2 + 7 = 9 B D 4 + 4 = 8 D 8 BD E D 7 + 1 = 8 D 8 ED 6 D T 8 + 5 = 1 T 1 DT E T 7 + 7 = 14 Az összeköttetés oszlop tartalma: OA, OC, AB, BE, BD, ED, DT Azaz OABEDT és OABDT a két legrövidebb út. Fák 16. DEFINÍCIÓ. Fának nevezzük az olyan összefüggő gráfokat, amikben nincs kör. A fák szükségszerűen egyszerű gráfok, hiszen a hurokél 1-hosszú kör, a többszörös él 2-hosszú kör.
9 Fák jellemzése 17. TÉTEL. Legyen G egy n-csúcsú gráf. Ekkor a következő állítások ekvivalensek 1. G fa; 2. G összefüggő és n 1 éle van;. G összefüggő, de tetszőleges élét elhegyva már nem lesz összefüggő. 4. G-ben nincs kör, de egy tetszőleges új élet hozzávéve már lesz benne kör. Feszítő fák 18. DEFINÍCIÓ. Legyen G egyszerű, összefüggő gráf. Az F fa a G gráf feszítő fája, ha F olyan részgráfja G-nek, mely a G minden csúcsát és bizonyos éleit tartalmazza. Minimális kifeszítő fa keresése Feladat: Adott egy n csúcsú, egyszerű összefüggő gráf, valamint az élekhez rendelt valós számok, amelyek az élek hosszai. Keressük azt a kifeszítő fát, amelyben az élek összhossza minimális. 1. ALGORITMUS (KRUSKAL-FÉLE MOHÓ ALGORITMUS): Rendezzük hosszuk szerint növekvő sorrendbe az éleket.
Válasszunk ki sorban éleket, de olyan élet ne válasszunk ki, melynek kiválasztásával kör keletkezne. 1 Az előző pontot ismételjük n 1-szer. 2. ALGORITMUS: ld. [HL], 1.4. Ez szintén mohó algoritmus, de végig összefüggő részgráfot alkotnak a kiválasztott élek. Páros gráfok 19. DEFINÍCIÓ. Egy G = (V, E) gráfot páros gráfnak nevezünk, ha van olyan V = B J felbontás, hogy B J =, továbbá minden él egyik végpontja B-ben, a másik J-ben van. Jelölése: G = (B, J; E). Vegyük észre, hogy ha B és J nem adott, akkor nem egyszerű feladat eldönteni, hogy a gráf páros-e. Hozzárendelési feladat páros gráfokban 2. DEFINÍCIÓ. A G = (B, J; E) páros gráf éleinek egy M halmaza lefedést (matching-et, független élrendszert, párosítást) alkot, ha nincs két olyan M-beli él, amelyeknek van közös végpontja. Egy csúcs lefedetlen az M élrendszerben, ha nem végpontja egyetlen M-beli élnek sem. Egy lefedés teljes lefedés, ha a gráf minden csúcsát lefedi. (Teljes lefedés csak akkor létezhet, ha B = J teljesül.) Javító útak 21. DEFINÍCIÓ. Adott egy M párosítás egy páros gráfban. Ha egy út felváltva tartalmaz M-hez tartozó és M-hez nem tartozó éleket, akkor alternáló útnak nevezzük. Egy alternáló út javító út (bővítő út), ha mindkét végpontja lefedetlen csúcs.
11 Javító útak Vegyük észre, hogy ha U egy bővítő út az M párosításra nézve, akkor az U M eggyel nagyobb elemszámú párosítás, mint M. Tehát az alternáló út M-hez tartozó éleit M-ből elhagyva, az M-hez nem tartozó éleit M-hez hozzávéve eggyel nagyobb elemszámú párosítást nyerünk. 22. TÉTEL. Egy páros gráf M lefedése akkor és csak akkor maximális elemszámú független élrendszer, ha nem létezik bővítő út a gráfban M-re nézve. Matching-algoritmus Adott egy G = (B, J; E) páros gráf, valamint egy M kiindulási párosítás (amely esetleg üres is lehet). M-ből kiindulva keresünk egy maximális elemszámú párosítást G-ben. Ha nincs lefedetlen csúcs B-ben, akkor M maximális párosítás, STOP. Ha van, akkor folytassuk a következő lépéssel. Keressünk egy bővítő utat, Ha találunk bővítő utat, akkor ennek segítségével bővítsük M-et, és folytassuk az első lépéssel. Ha nem találtunk bővítő utat, akkor M maximális elemszámú párosítás. Javító út keresése Kisebb gráfok esetén ránézésre, nagyobb méret esetén erre is van algoritmus: Cimkézzünk meg minden B-beli lefedetlen csúcsot -val. Minden egyes i B csúcsra és (i, j) / M élre cimkézzük meg a (J-beli) j csúcsot i-vel. Minden egyes lefedett j J csúcsra cimkézzük meg a (B-beli) i csúcsot j-vel, ahol (i, j) M.
12 24. TÉTEL. Egy páros gráfban tetszőleges párosítás elemszáma kisebb vagy egyenlő tetszőleges éllefogó ponthalmaz elemszámánál. Következésképpen ha M = W teljesül, akkor M maximális elemszámú párosítás, W pedig minimális elemszámú éllefogás. Hálózatok Alapfeladat: Adott egy gráf, minden élének mindkét irányú kapacitása, valamint két kitüntetett csúcs: a forrás és a nyelő. Keresünk egy maximális értékű megengedett folyamot (áramlást). Szemléltetésképpen feltehetjük, hogy a hálózattal egy olajvezetékrendszert ábrázolunk. A kapacitások a vezeték vastagságát jelentik, vagyis azt, hogy egységnyi idő alatt mennyi olaj folyhat át azon a vezetékdarabon. A kérdés az, hogy egy adott hálózaton mennyi olaj folyhat át s-ből t-be. Szoktak beszélni úthálózatokról is, ahol a kapacitás az utak áteresztőképessége, és árukat kell eljuttatni a termelőtől a fogyasztókhoz. De beszlélhetünk számítógéphálózatokról és adatátviteli sávszélességről is. Folyamok
1 25. DEFINÍCIÓ. Folyamon a hálózat minden egyes éléhez rendelt számot értünk, amely azt mutatja, hogy mekkora az élen átáramló anyag mennyisége. Meg kell adni az áramlás irányát is. (Irányított gráf!) Megengedett folyamnak nevezünk egy olyan folyamot, ahol a forrásból csak kifelé, a nyelőbe csak befelé vezet áramlás, minden egyes egyéb csúcs esetén a kifolyó áramlások összege megegyezik a befolyók összegével, továbbá a egyik élen sem haladja meg az él kapacitását. 26. DEFINÍCIÓ. Egy út kapacitásán a rajta lévő minimális élkapacitást értjük. Algoritmus 1. Keresünk egy forrás nyelő utat pozitív kapacitással (c). Ha nincs ilyen út, akkor a jelenlegi folyam maximális. STOP! 2. Növeljük a folyamot c-vel ezen az úton.. Csökkentsük ezen az úton c-vel a kapacitást minden élen. Növeljük az ellenkező irányú úton a kapacitást c-vel minden élen. Folytassuk az 1. lépéssel. Vágások Hogyan győződhetünk meg egyszerűen arról, hogy egy folyam maximális, azaz hogy nem tudunk további áramlást indítani s-ből t-be? 27. DEFINÍCIÓ. Egy vágás irányított élek olyan halmaza, amelyek minden forrás nyelő útból tartalmaz egy élet. Egy vágás értéke a hozzá tartozó élek kapacitásainak összege. 28. TÉTEL. Minden megengedett folyam értéke kisebb minden vágás értékénél. Sőt, a maximális folyamok(ok) értéke egyenlő a minimális vágás értékével. A tétel megkönnyíti az algoritmus 1. lépésében a döntést: ha úgy tűnik, hogy nincs már pozitív kapacitású forrás nyelő út, akkor megpróbálok keresni egy -értékű vágást. Ha van nulal értékű vágás, akkor biztos hogy nincs pozitív kapacitású forrás nyelő út. Ha úgy tűnik, hogy nincs nulal értékű vágás, akkor valószínűleg van pozitív kapacitású forrás nyelő út...
Van-e Euler vonal az alábbi gráfban? Minden csúcs foka Nincs!
Van-e Euler vonal az alábbi gráfban? Minden csúcs foka páros Van, méghozzá zárt! KÉSZ!!!
Van-e Hamilton-kör az alábbi gráfban? Igen, pedig a csúcsok foka = < 8/2
Van-e Hamilton-kör az alábbi gráfban? 2 pont elvételével komponensre esik Szét, tehát nincs Hamilton-kör!
Keressünk egy minimális feszítőfát! A 7 1 11 C 5 D B 8 12 12 E F 1 9 2 G H n=8 csúcs esetén n-1=7 él kell kész!
Keressünk egy maximális folyamot A- bőlg-be! 6 A 4 6 A A B kapacitású út 5 B E E B 2 C 5 2 D 5 G G E 8 F 5 9 G értékű folyamot indítunk. Az útvonalon módosítjuk a kapacitásokat.
A B C D E F G 4 5 5 2 2 9 8 A D F G 4 5 9 A D F G 1 4 4 5 4 4 kapacitású út 4 értékű folyamot indítunk. Az útvonalon módosítjuk a kapacitásokat.
A B C D E F G 5 1 4 2 2 4 5 4 8 A C E G 5 2 2 A C E G 2 2 5 2 kapacitású út 2 értékű folyamot indítunk. Az útvonalon módosítjuk a kapacitásokat.
A B C D E F G 1 4 2 2 5 4 5 4 8 A C F G 2 4 5 A C F G 5 7 2 kapacitású út értékű folyamot indítunk. Az útvonalon módosítjuk a kapacitásokat.
A B 5 C 4 D 1 2 4 E 8 F 2 5 G 7 Látszólag nincs több pozitív kapacitású forrás-nyelő út. Keressünk egy nulla értékű vágást! Tehát az aktuális folyam maximális!
Mi az aktuális (s egyben maximális) folyam? Összaadhatnánk az indított áramlásokat, de egyszerűbb a kezdeti és az aktuális kapacitások különbségét tekinteni! A B C D E F G 6 4 5 5 2 5 9 8 1 4 5 2 5 7 2 4 8 A B C D E F G 5 4 2 4 5 7 Ellenőrizzük a csomóponti törvényt, illetve a folyamértéket! A folyam értéke: 12
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelez alapképzés 22/2. tanév, II. évf. 2.félév El adó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 94 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.. (99) 518 64 () 59 761 takach@inf.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ takach Parciális függvény, parciális derivált (ismétlés) Deníció. Az f(x, y) kétváltozós függvény y = b-hez tartozó parciális függvénye az f x = f x (x) = f(x, b) egyváltozós függvény, az x = a-hoz tartozó parciális függvénye az f y = f y (y) = f(a, y) egyváltozós függvény. Tehát az egyik változót lerögzítjük. Kétváltozós függvények grakonja egy felület: az értelmezési tartomány a sík, ill. a sík egy részhalmaza, és minden x, y ponthoz a felület (x, y, z) pontja tartozik, ahol z = f(x, y). A parciális függvény grakonja a felületb l az y = b illetve x = a (függ leges) síkok által kimetszett síkgörbe. függvénygrakon domborzat, parciális függvény út (Észak-Déli, illetve Kelet-Nyugati) Deníció. f y. Egy kétváltozós függvény parciális deriváltjain a parciális függvények deriváltjait értjük. Jelölés: f x ill. Mivel a parciális derivált függ attól is, hogy hogyan rögzítettük le a másik változót, szokás kétváltozós függvénynek is tekinteni. Pl. f x(1, ) azt jelenti, hogy az f(x, ) = f x függvényt deriváljuk, majd x = -at behelyettesítünk. A gyakorlatban azonban általánosan van szükségünk f x(x, y)-ra; ezt úgy kapjuk meg, ha y-t számnak képzeljük, és úgy deriválunk, mintha egyváltozós függvényr l lenne szó, amely csak x-t l függ.
A fenti g(x, y) = 2x 2 y + xy + 2x 5y + 1-re g x(x, y) = 4xy + y + 2. 2 Hasonlóan g y(x, y) = 6x 2 y 2 + x 5. Az egyváltozós esethez hasonlóan beszélhetünk magasabbrend parciális deriváltakról. Itt azonban nem egy, hanem négy másodrend parciális derivált van. Ha f(x, y)-t el ször x szerint deriváljuk, majd y szerint, akkor kapjuk f xy(x, y)-t, ha mindkétszer y szerint, akkor f yy(x, y)-t, stb. Ellen rzési pont, hogy általában. f xy(x, y) = f yx(x, y) Széls értékszámítás Deníció. Az f függvénynek lokális minimuma van az m M helyen, ha létezik m-nek olyan K környezete, hogy tetsz leges x M K esetén f(x) > f(m). f-nek globális minimuma van az m M helyen, ha tetsz leges x M esetén f(x) > f(m). maximum fogalmát hasonlóképpen értelmezhetjük. A lokális és globális Tétel. Legyen az (a, b) pont az f(x, y) függvény értelmezési tartományának egy bels pontja. Ha f(x, y)-nak széls értéke van az (a, b) helyen, akkor els rend parciális deriváltjai az (a, b) helyen nullák, azaz f x(a, b) = f y(a, b) =. Ha az f(x, y) függvény els rend parciális deriváltjai az (a, b) helyen nullák, továbbá a másodrend parciális deriváltakra D(a, b) = f xx(a, b)f yy(a, b) f xy(a, b)f yx(a, b) >, akkor f-nek széls értéke van az (a, b) helyen. Méghozzá minimuma, ha f xx(a, b) >, és maximuma, ha f xx(a, b) <. A D(a, b) = f xx(a, b)f yy(a, b) f xy(a, b)f yx(a, b) > feltétel azt fejezi ki, hogy a két parciális függvénynek ugyanolyan típusú széls értéke legyen. Az olyan tulajdonságú pontot, ahol az egyik parciális függvénynek minimuma, a másiknak pedig maximuma van, nyeregpontnak nevezzük. Ha az els rend parciális deriváltak nullák, de D(a, b) <, akkor biztosan nincs széls érték, ha pedig D(a, b) =, akkor további vizsgálat szükséges.
Széls érték korlátos zárt halmazon Rögzítsünk egy M R n halmazt, továbbá egy olyan n-változós f függvényt, amely M minden pontjában értelmezve van és dierenciálható. (Nálunk n = 1 vagy n = 2 lesz.) Tétel. (Weierstrass) Ha M korlátos és zárt, akkor f-nek van globális minimuma és maximuma M-en. Tudjuk, hogy ha m a M értelmezési tartomány bels pontja és f-nek lokális széls értéke van m-ben, akkor f els rend parciális deriváltjai m-ben nullák (illetve f (m) = az egyváltozós esetben). Ez módot ad M azon bels pontjainak meghatározására, ahol lokális széls értékek lehetnek. A másodrend deriváltak segítségével azt is megállapíthatjuk, hogy melyik helyen van minimum, maximum, ill. nincs széls érték. Ha csak véges sok lokális széls érték van, akkor a globális széls érték nem más, mint a legnagyobb lokális széls érték, tehát behelyettesítéssel eldönthetjük, hogy hol van globális széls érték. Az értelmezési tartomány határán azonban széls érték lehet akkor is, ha a derivált(ak) nem nulla. Például a [, 1] zárt intervallumon értelmezett g(x) = 2x + függvénynek lokális minimuma van a -ban, lokális maximuma az 1-ben. Lemma. Az [a, b] zárt intervallumon értelmezett g(x) egyváltozós függvénynek pontosan akkor van lokális minimuma a-ban, ha g (a) >, b-ben pedig pontosan akkor, ha g (b) <. Feladat. Határozzuk meg az f(x) = x 6x 2 15x+ függvény lokális és globális széls értékeit a [-1, 6] intervallumon! Megoldás. Deriválással megállapítható, hogy az x = 1 helyen maximum, az x = 5 helyen minimum van. Mivel f ( 1) > és f (6) >, ezért az x = 1 helyen minimum, az x = 6 helyen maximum van. Behelyettesítéssel meggy z dhetünk arról, hogy a globális széls értékek az x = 1 és az x = 1 helyen vannak. Kétváltozós függvények esetén szorítsuk meg az f függvényt M határára, és állapítsuk meg az ottani lehetséges (glob is) széls érték-helyeket. Ez általában már csak egyváltozós széls érték-számítás, de továbbra is egy korlátos zárt halmazon. A globális széls értékek megállapításához a bels és határpontokban lév lehetséges lokális széls értékhelyek mindegyikén számuljuk ki a függvény helyettesítési értékét. Feladat. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 + 2xy + 8y 4x függvény globális széls értékeit az M = {(x, y) x, y 1} halmazon! Megoldás. Az egyenletrendszer megoldása a ( 4, 6) pont, f x = 2x + 2y 4 = f y = 2x + 8 =
azonban ez nincs M-ben. Tehát M bels pontjaiban nincs lokális széls érték sem. Az M tartomány egy téglalap, 4 határát négy szakasz alkotja: Ha x =, akkor az f(y) = 8y, ( y 1) egyváltozós függvény széls értékeit keressük. Mivel f(y) monoton n, y = -ban minimuma, y = 1-ben maximuma van. Tehát az f(x, y)-nak a (, ) pont lehetséges minimumhelye, a (, 1) pont lehetséges maximumhelye. Ha x =, akkor f(y) = 14y, ( y 1) szintén monoton n, így f(x, y)-nak az (1, ) pont lehetséges minimumhelye, az (1, 1) pont lehetséges maximumhelye. Ha y =, akkor az f(x) = x 2 4x, ( x ) egyváltozós függvényt vizsgáljuk. f (x) = 2x 4 pozitív a (2, ] intervallumon, negatív a [, 2) intervallumon, így f(x)-nek lokális minimuma van x = 2-ben, lokális maximuma van x = -ban és x = -ban. Tehát az f(x, y)-nak a (2, ) pont lehetséges minimumhelye, a (, ) és a (, ) pontok lehetséges maximumhelyei. Ha y = 1, akkor hasonlóan kapjuk, hogy f(x, y)-nak az (1, 1) pont lehetséges minimumhelye, a (, 1) és a (, 1) pontok lehetséges maximumhelyei. Ezek után behelyettesítünk a lehetséges széls értékhelyeken: f(, ) = f(, 1) = 8 f(1, 1) = 7 f(2, ) = 6 f(, ) = f(, 1) = 11 Ennek alapján a (2, ) globális minimumhely, a (, 1) globális maximumhely. Feladat. Határozzuk meg az el z feladatbeli függvény lokális széls értékeit! Megoldás. Vizsgáljuk meg a fenti hat lehetséges széls értékhelyet: A (, ) és a (, ) pontok biztosan nem lokális széls értékhelyek, mert az egyik parciális függvénynek minimuma, a másiknak maximuma van, ahogyan azt az el z feladatban is kiszámoltuk (nyeregpontok). A (, 1) pontban mindkét parciális függvénynek maximuma van, ami lokális maximumhelyre utal. Valóban, f x < és f y > nemcsak a (, 1) pontban, hanem egy környezetében is fennáll. Tehát ha az M-beli (a, b) pont elég közel van a (, 1) ponthoz, akkor f(, 1) > f(, b) > f(a, b). Hasonlóan indokolható, hogy a (, 1)-ben is maximum van. Az (1, 1) ill. a (2, ) pontban az f y = 2x+8 képletbe helyettesítve kapjuk, hogy az f(y) parciális függvénynek maximuma ill. minimuma van. Ez el z ekhez hasonlóan kapjuk, hogy az (1, 1) nyeregpont, a (2, ) pedig minimumhely. Feladat. Határozzuk meg az f(x, y) = x 2 + 2y 2 + függvény globális széls értékeit az M = {(x, y) x 2 + y 2 1} halmazon! Megoldás. Az f x = 2x = f y = 4y = egyenletrendszer megoldása a (, ) pont, lehetséges széls értékhely. Az M tartomány egy körlap, határát az x 2 +y 2 = 1 egyenlet kör alkotja. A függvényt úgy szorítjuk meg a körvonalra, hogy a körvonal egyenletének segítségével kiküszöböljük ez egyik változót f(x, y)-ból: f(y) = y 2 + 4, ( 1 y 1). f (y) = 2y-ból f(y)-nak y = minimumhelye, y = 1 és y = 1 maximumhelyei. pontok, azaz (1, ), ( 1, ), (, 1), (, 1) az f(x, y) lehetséges széls értékhelyei. Az ezen y értékeknek megfelel Behelyettesítéssel kapjuk, hogy a (, 1), (, 1) (nem szigorú) globális maximumhelyek, a (, ) pedig globális minimumhely.
1 Operációkutatás #, NYME KTK III. évf. nappali Játékelmélet Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach 24. ősz Játékelmélet Irodalom: Hilier-Lieberman 12. fejezet Kétszemélyes zéróösszegű játékot tekintünk: az egyik játékos azt nyeri meg, amit a másik elveszít. Mindkét játékos néhány lehetőség (stratégia) között dönt, nem ismerve a másik döntését. Ugyanakkor sok menetet játszanak, s így esetleg kiismerhetik a másik stílusát. A kifizetési táblázat (mátrix) mutatja, hogy mely esetben mennyi lesz az 1. játékos nyeresége (= 2. játékos vesztesége). A mátrix sorai felelnek meg az 1., az oszlopai a 2. játékos startégiáinak. Feltételezzük, hogy mindkét játékos 1. racionális (logikusan gondolkozik), és 2. önző (kizárólag maximális nyereségre törekszik). Dominált stratégiák Definíció. Egy játékos egyik stratégiája dominálja a másikat, ha az ellenfél minden döntése esetén legalább olyan jó, mint a másik. A dominált stratégiákelhagyhatóak feltételezéseink miatt. Példa. 1 2 1 1 2 4 2 1 5 1 1 Az 1. játékos -as startégiáját dominálja az 1-es, vagyis az. sor elhagyható: 1 2 1 1 2 4 2 1 5 A 2. játékos -as startégiáját dominálja az 1-es, vagyis az. oszlop elhagyható: 1 2 1 1 2 2 1 Az 1. játékos 2-es startégiáját dominálja az 1-es, vagyis az 2. sor elhagyható: 1 2 1 1 2
A 2. játékos 2-es startégiáját dominálja az 1-es, vagyis az 2. oszlop elhagyható: 2 1 1 1 Kaptuk: mindkét játékosnak az 1. stratégiát célszerű választania. Ekkor az 1. játékos nyeresége 1 lesz. Ezt a számot a játék értékének nevezzük. Minimax-elv A minimax-elv szerint mindkét játékosnak minimalizálnia kell a maximális veszteségét, másképpen maximalizálni a minimális nyereségét. Azaz: 1. játékos: a sorok minimumai közül melyik a maximális? Ez a játék alsó értéke. 2. játékos: az oszlopok maximumai közül melyik a minimális? Ez a játék felső értéke. Ha a játék alsó és felső értékét a táblázat ugyanazon eleme adja, akkor az szükségszerűen egy nyeregpont, azaz sorában minimális, oszlopában maximális elem. Ez mindkét játékos számára hasznos, mert ha a másik eltér ettől, akkor ez neki csak javítja a hasznát. 1 2 Min 1 2 6 2 2 2 5 2 4 4 Max 5 6 Ha nincs nyeregpont... A nyeregpont léte stabil megoldást ad, azaz egyik játékosnak sem hasznos eltérni a minimax kritérium adta stratégiától. (Ez a dominált stratégiák kiküszöbölésekor is igaz.) Ha nincs nyeregpont, akkor instabil lesz a megoldás: 1. sor. elemét adná a minimax elv. DE: 2. játékosnak az 2. stratégia jobb. 1. játékos ezt kiismeri, és áttér a 2. sorra. 2. játékos ezt kiismeri, és áttér a. oszlopra. 1. játékos ezt kiismeri, és áttér a 1. sorra.. Kevert startégiák 1 2 Min 1 2 2 2 2 5 4 2 4 4 Max 5 4 2 Legyenek x 1,..., x m illetve y 1,..., y n valószínűségeloszlások, ahol m illetve n az 1. illetve a 2. játékos számára rendelkezésre álló stratégiák száma. Ezen vektorok által megadott kevert stratégiák abban állnak, hogy a játékosok az adott valószínűségeloszlások szerint véletlenszerűen választják a megfelelő startégiákat. Például (1/2, 1/, 1/6) esetben a játékos feldob egy kockát, és 1,2, esetén az 1., 4,5 esetén a 2., 6 esetén a. stratégia mellett dönt. A várható kifizetés, amit az 1. játékos kap: a ij x i y j, i,j
ahol a ij a kifizetési táblázat megfelelő elem. Minimax kritérium:minimalizálni kell a várható veszteségek maximumát, másképpen maximalizálni a várható nyereség minimumát. 2 2-es táblázat Tegyük fel, hogy a kifizetési táblázat q 1 q 1 2 p 1 k 11 k 12 1 p 2 k 21 k 22 és a játékosok a táblázat szélein jelzett p és 1 p ill. q és 1 q valószínűséggel választják az egyes stratégiákat. Ekkor az első játékos várható nyeresége: K = k 11 pq + k 12 p(1 q) + k 21 (1 p)q + k 22 (1 p)(1 q) = ( = Apq + Bp + Cq + D = A pq + B A p + C A q + D ) = A [( = A p + C ) ( q + B ) BC A A A 2 + D ] = A ( = A p + C ) ( q + B ) + D BC A A A. ( K = A p + C ) ( q + B ) + D BC A A A A szorzattá alakítás után maradt D BC A lesz a játék értéke, míg az optimális stratégiát az biztosítja, hogy az A(p + C A )(q + B A ) szorzat legyen. Tehát p opt = C A ill. q opt = B A. Ez abból következik, hogy ha pl. p C A, akkor a II. játékos q megfelelő megválasztásával elérheti, hogy a szorzat értéke negatív legyen, s így K értéke csökken, azaz I. kevesebbet nyer. Mintapélda Adjunk optimális kevert startégiát az alábbi játékra: Megoldás. Tehát p opt = 4 9, q opt = 5 9 és v = 11 9. q 1 q 1 2 p 1-1 4 1 p 2-1 K = 1pq + 4p(1 q) + (1 p)q 1(1 p)(1 q) = 9pq + 5p + 4q 1 = 9(pq 5 9 p 4 9 + 1 9 ) = = 9[(p 4 9 )(q 5 9 ) 11 81 ] = 9(p 4 9 )(q 5 9 ) + 11 9.
Grafikus eljárás 4 Akkor alkalmazható, ha az egyik, mondjuk az 1. játékosnak csak 2 stratégiája van. y 1 y 2 y 1 2 x 1-2 2 1 x 2 5 4 - Ha y = 1, akkor K = x + 5(1 x) = 5 5x Ha y = 2, akkor K = 2x + 4(1 x) = 4 6x Ha y =, akkor K = 2x (1 x) = + 5x Keressük ezek minimumainak maximumát, azaz az egyenesek alsó burkolójának maximumát. Ábráról: x = 7/11, a játék értéke pedig K = 4 6 7/11 = 2/11. A 2. játékos szempontjából: y 1 (5 5x) + y 2 (4 6x) + y ( + 5x) = 2/11 y 1 (5 5x) + y 2 (4 6x) + y ( + 5x) = 2/11 Másrészt y 1 + y 2 + y = 1. Innen adódik, hogy y 1 =. Általában is felhasználhatjuk, hogy amely egyenes nem megy át a kérdéses metszésponton, az ahhoz tartozó y j értéke. Marad: y 2 (4 6x) + y ( + 5x) = 2/11. Ennek minden és 1 közti x-re teljesülnie kell, speciálisan -ra és 1-re is: Ebből y = 6/11, y 2 = 5/11. 4y 2 y = 2/11 2y 2 + 2y = 2/11
. konzultáció: Hozzárendelési feladat 1 Példa. Adott 5, alvállalkozóknak kiadandó feladat. 5 alvállalkozó mindegyike árajánlatot ad mind az 5 feladatra, de mindegyikük csak egy feladatot tud elvégezni a szoros határidők miatt. Rendeljünk minden feladathoz különböző alvállalkozót úgy, hogy az összes kifizetés minimális legyen! Feladat. Teljes páros gráfban keresünk min. költségű teljes párosítást. Más megfogalmazás. Adott egy n n-es C (költség)mátrix, melynek minden eleme nemnegatív egész. Válasszunk ki n elemet, hogy semelyik sorból és oszlopból se legyen több belőlük, és összegük minimális legyen Képletekkel megfogalmazva: x ij {, 1} (i = 1,..., n; j = 1,..., n) j x ij = 1 (i = 1,..., n) i x ij = 1 (j = 1,..., n) K(x) = i j c ijx ij min Itt x ij = 1, ha a c ij elemet kiválasztottuk, azaz az i-edik munkát a j-edik alvállalkozónak adtuk ki, x ij =, ha nem. Redukálás Tétel. Ha a költségmátrix egy sorának vagy oszlopának minden eleméhez ugyanazt a számot adjuk, vagy abból ugyanazt a számot kivonjuk, ekvivalens feladatot kapunk. Ugyanott lesz az optimum, csak értéke lesz más. Bizonyítás. Ha az i-edik sorból kivonunk c-t, akkor a célfüggvény értéke minden párosítás esetén c-vel csökken, ami független a párosítástól. Módszer. Redukáljuk a költségmátrixot. Ha utána nulla összköltségen tudunk párosítani, akkor az biztosan optimális. Első lépésben minden sorból kivonjuk a minimális elemét, majd minden oszlopból is. Természetesen ahol van nulla, az marad változatlan. Ezek után általában szükség van még további redukálásra, pl. egy oszlophoz hozzáadok egy számot, hogy ezután több sorból is kivonhassam ugyanazt a számot. Ennek rendezett formába hozása lesz a magyar módszer. Független nullák. Definíció. A költségmátrixban található két nullát függetlennek nevezünk, ha nem fekszenek azonos sorban sem azonos oszlopban. Nulla összköltségű párosítás n darab (páronként) független nulla kiválasztását jelenti. Ennél több független nulla nincs is. Tehát minél több független nullára van szükségünk. Módszer független nullák kiválasztására. Az egyik legkevesebb nullát tartalmazó sort vagy oszlopot kiválasztjuk, az egyik nullát kijelöljük, majd kihúzzuk a sorát és oszlopát. Ha ezután találunk olyan sort vagy oszlopot, amelyben már nincs nulla, azt is ki lehet húzni, s ezután előlről folyatjuk. Fedővonalak Definíció. Fedővonalon a költségmátrix egy sorára vagy oszlopára fektetett vonalat értünk. Fedővonalak nullákat fednek le: Tétel. (König-Egerváry) Egy mátrixban kiválasztható független nullák maximális száma megegyezik az összes nullát lefedő fedővonalak minimális számával. Bizonyítás. Nem kell.
Módszer minimáli számú fedővonal keresésére. Először a nem független (azaz az előzőekben ki nem választott) nullákat 2 fedjük le. Ezek ugyanis azért nem függetlenek, mert a sorukban vagy az oszlopukban van még egy kiválasztott nulla. Ennek megfelelően a nem független nulla sorára vagy oszlopára tesszük a fedővonalat, hogy egyúttal egy független nullát is lefedjünk. ε-transzformáció Ha a König-Egerváry tétel alapján megállapítjuk, hogy nem tudunk nulla költségen párosítani (vagyis nem létezik n darab független nulla), akkor: ε-transzformáció. Jelölje ε a költségmátrix legkisebb elemét (ε > egész). A lefedetlen elemeket csökkentsük ε-nal, az egyszeresen fedetteket hagyjuk változatlanul, a kétszeresen fedetteket pedig növeljük ε-nal. Más megközelítésben: A fedetlen sorokból kivonjuk ε-t, a lefedett oszlopokhoz pedig hozzáadjuk ε-t. Tehát az ε-transzformáció redukálást jelent, s így ekvivalens feladatra vezet, ahol általában nagyobb lesz a fügetlen nullák száma. Előfordulhatnak olyan lépések is, ahol nem nő a független nullák száma, de az optimális megoldás költsége minden lépésben csökken, így véges sok lépésben eljutunk egy olyan költségmátrixhoz, ahol nulla az optimum, azaz n darab független nulla van. Megjegyzés. Az optimális megoldás csökkenése egy lépésben: R ε = ε (n lefedetlen sorok száma + lefedett oszlopok száma). Általánosítások Maximumfeladat kezelése. A költségek ellentettjével egy minimumfeladatot kell megoldani. Ekkor azonban negatív költségek is vannak: redukcióval (hozzáadás) el kell érni, hogy sehol se legyen negatív költség. (Pl. minden sorhoz hozzáadom a benne álló legnagyobb abszolút értékű negatív szám abszolút értékét. n m-es költségmátrix. Szükség van úgynevezett névleges "állomás" beiktatására. Ez azt jelenti, hogy négyzetesre egészítjük ki a költségmátrixot, csupa nulla költséggel. Ezután megoldjuk a feladatot, és azon elemeknek, amelyeknek ilyen névleges pár jut, nem lesz párjuk. Tiltott viszonylatok. Ha egy viszonylatban tilos a párosítás, akkor oda végtelen költséget kell írni. Ilyenkor szokás szerint c = a számolási szabály. Túl sok végtelen költség esetén nem biztosított a véges összköltségű párosítás létezése.
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelez alapképzés 22/2. tanév, II. évf. 2.félév El adó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 94 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.. (99) 518 64 () 59 761 takach@inf.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ takach Széls érték korlátos zárt halmazon Feladat. Adott egy kétváltozós f(x, y) függvény, valamint egy g(x, y) = feltétel. Jelölje G a g(x, y) = feltételt kielégét pontok (tehát a g(x, y) = egyenlet görbe pontjainak) halmazát. Keressük a D f G halmazra megszorított f(x, y) függvény széls értékeit; ezeket nevezzük az f(x, y) függvény g(x, y) = feltételre vonatkozó széls értékeinek. Lagrange-módszer. vonatkozó Tekintsük a ϕ(x, y) = f(x, y)+λ g(x, y) függvényt. Igazolható, hogy az x, y, λ ismeretlenekre ϕ x(x, y) = ϕ y(x, y) = ϕ λ(x, y) = g(x, y) = egyenletrendszer megoldásai között biztosan ott lesznek az f(x, y) feltételes széls értékei. Fordítva nem okvetlenül! Feladat. Keressük meg az az x + y 2 = egyenes origóhoz legközelebbi pontját! Megoldás. Az f(x, y) = x 2 + y 2 függvény x + y 2 = feltételre vonatkozó minimumát kell megkeresni. g(x, y) = x + y 2, valamint ϕ(x, y) = x 2 + y 2 + λ(x + y 2), tehát a megoldandó egyenletrendszer: ϕ x(x, y) = 2x + λ = ϕ y(x, y) = 2y + λ = g(x, y) = x + y 2 = λ értékére nincs szükségünk, x = y = 1 pedig könnyen adódik. Mivel ϕ xx ϕ xy ϕ yx ϕ yy = 2 2 = 4 >, továbbá ϕ xx = 2 >, ezért itt ϕ(x, y)-nak minimuma van, tehát az (1, 1) pont annál inkább feltételes széls értékhely. Feladat. Keressük meg az f(x, y) = x 2 + xy + y 2 függvény maximumát feltéve, hogy x + y = 1! Megoldás. ϕ(x, y) = x 2 + xy + y 2 + λ(x + y 1), tehát a megoldandó egyenletrendszer: ϕ x(x, y) = 2x + y + λ = ϕ y(x, y) = x + 2y + λ = g(x, y) = x + y 1 =
2 λ értékére itt sincs szükségünk, x = y = 5 pedig viszonylag könnyen adódik. Mivel a másodrend parciális deriváltakból alkotott determináns itt negatív, ϕ(x, y)-nak nincs széls értéke ebben a pontban, de f(x, y)-nak mégis feltételes maximuma van. Valóban, a kérdéses feltétel mellett az x =, 5, 1 helyeken felvett függvényérték rendre 1, 125, 1, vagyis x 1 intervallumon valahol maximumnak kell lennie, ez pedig csak az x = 5-ben lehet. Feladat. Keressük meg az f(x, y, z) = x 2 +2y 2 +z 2 függvény x 2 +y 2 +z 2 = 1 feltételre vonatkozó globális feltételes széls értékeit! Megoldás. ϕ(x, y, z) = x 2 + 2y 2 + z 2 + λ(x 2 + y 2 + z 2 1), tehát a megoldandó egyenletrendszer: ϕ x(x, y, z) = 2x + 2λx = ϕ y(x, y, z) = 4y + 2λy = ϕ z(x, y, z) = 6z + 2λz = g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 1 = Átrendezve x(λ + 1) = y(λ + 2) = z(λ + ) = x 2 + y 2 + z 2 = 1 Ennek 6 megoldása van: x, y és z közül pontosan kett nulla, a harmadik pedig ±1. Behelyettesítés!!! Széls érték korlátos zárt halmazon: a határon lév lehetséges széls értékek meghatározása történhet Lagrangemódszerrel. n-változós függvény esetén is m ködik, ott n + 1 egyenletb l áll az egyenletrendszer. Több feltétel esetén g 1, g 2,... s ennek megfelel en λ 1, λ 2,... szükséges: ϕ(x 1, x 2,...) = f(x 1, x 2,...) + λ 1 g 1 (x 1, x 2,...) + λ 1 g 1 (x 1, x 2,...) +...
Operációkutatás 1 NYME KTK, gazdálkodás szak, levelező alapképzés 22/2. tanév, II. évf. 2.félév Előadó: Dr. Takách Géza NyME FMK Információ Technológia Tanszék 94 Sopron, Bajcsy Zs. u. 9. GT fszt.. (99) 518 64 () 56 785 takach@inf.nyme.hu http://titanic.nyme.hu/ takach 4. konzultáció: Sorbanállás Irodalom: Csernyák 5. fejezet 5.1. A későbbiekhez kell: jelölések, a későbbi bizonyításokban felhasználandó egyszerű összefüggések. 5.2. A 4 feltevés, illetve a differenciálegyenletrendszer (biz. nélkül) 5.. Stacionárius folyamatra vonatkozó egyenletrendszer 5.4. és 5.5. végig kell, bizonyításokkal, kivéve a Kendall-képlet. Exponenciális elsozlás (ismétlés) Az exponenciális eloszlás folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye { µe µt ha t f(t) = ha t < Eloszlásfüggvénye: Ez eloszlás két fontos tulajdonsága: F (t) = P (η < t) = { 1 e µt ha t ha t < 1. (Örökifjú tulajdonság) Annak a valószínűsége, hogy még egy percnél többet kell várnom a buszra, nem függ attól, hogy eddig mennyit vártam. 2. Annak a valószínűsége, hogy éppen a következő percben jön a busz, egyre csökken.
Örökifjú tulajdonság 2 1. Örökifjú tulajdonság. Annak a valószínűsége, hogy még egy percnél többet kell várnom a buszra, nem függ attól, hogy eddig mennyit vártam. Állítás. P (η > t + t η > t) = P (η > t). Bizonyítás. A bal oldal: P (η > t + t η > t) = = P (η > t + t és η > t) P (η > t) 1 P (η < t + t) 1 P (η < t) = e µ t = P (η > t + t) P (η > t) = 1 (1 e µ(t+ t) ) 1 (1 e µt ) = = A jobb oldal: A remény fogy...(?) P (η > t) = 1 P (η < t) = 1 (1 e µ t ). Annak a valószínűsége, hogy éppen a következő percben jön a busz, egyre csökken. Állítás. P (t η < t + t) > (t 1 η < t 1 + t), ha t < t 1. Bizonyítás. és hasonlóan P (t η < t + t) = (1 e µ(t+ t) ) (1 e µt ) = e µt (1 e µ t ) P (t 1 η < t 1 + t) = e µt1 (1 e µ t ). Mivel t < t 1, ezért µt > µt 1, vagyis e µt > e µt1. Teljes eseményrendszer Definíció. Teljes eseményrendszer: A 1, A 2,..., A n véges sok, vagy A 1, A 2,... végtelen sok esemény, melyek páronként kizárják egymást, és összegük a biztos esemény. A P (A 1 ), P (A 2 ),..., P (A n ) illetve P (A 1 ), P (A 2 ),... véges vagy végtelen sok szám diszkrét eloszlást alkot, vagyis olyan és 1 közti számokról van szó, melyek összege 1. Sorbanállás Modell: m ennyi egység képzelhető el összesen a rendszerben (általában végtelennek tételezzük fel) n beérkező egységek, azaz sorbanállók + kiszolgálásban részesülők v várakozók (sorbanállók) j kiszolgálásban részesülők S kiszolgáló csatornák ρ üres csatornák n S esetén n = j (mindenkit kiszolgálnak) és n + ρ = S, v =. n > S esetén ρ = (minden csatornánál folyik a kiszolgálás), és S = j, n = v + j.
Valószínűségek Tegyük fel, hogy n, v, j valószínűségi változók, és p k = P (n = k). A rendszerben lévő egységek várható száma: A sor hosszának várható értéke: M(n) = p + 1 p 1 +... + m p m = m ip i M(v) = p + p 1 +... + p S + 1 p S+1 + 2 p S+2 +... + (m S)p m =. Az üres állomások várható értéke: Nyilván M(n) = M(v) + S M(ρ). i=1 m i=s+1 S 1 M(ρ) = Sp + (S 1)p 1 +... + 1 p S 1 + p S +... + p m = (S i)p i Poisson-típusú sorbanállási rendszer Jelölések: e k ( t) = P ( t idő alatt k egység érkezik a rendszerbe). p k (t) = P (t időpontban k egység van a rendszerben). Feltételezéseink: 1. e k ( t) csak a t időintervallum hosszától függ, a kezdetétől nem. i= (i S)p i 2. ahol λ az időegységenkénti átlagos beérkezés. e 1 ( t) lim = λ, t t. (ritkasági feltétel) e 2 ( t) + e ( t) +... 1 e ( t) e 1 ( t) lim = lim =, t t t t azaz egyszerre több egység nem érkezik a rendszerbe. Poisson-típusú sorbanállási rendszer Tétel. 1,2, teljesülése esetén Bizonyítás. Nem kell. e k ( t) = (λt)k e λt (k =, 1, 2,...). k! További feltételezésünk, hogy 4 Egy egység kiszolgálásának időtartama exponenciális eloszlású 1 µ várható értékkel, azaz időegységenként µ egységet tud kiszolgálni egy csatorna. Tétel. 1-4 teljesülése esetén a p i valószínűségek kielégítik következő differenciálegyenlet-rendszert.... Bizonyítás. Nem kell!
Stacionárius folyamat 4 Ha p n(t) =, azaz p n (t) = p n nem függ az időtől, akkor a fenti differenciálegyenlet-rendszer az alábbi egyenletrendszerbe megy át: = λp + µp 1 (n = ) = (λ + nµ)p n + λp n 1 + (n + 1)µp n+1 (1 n < S) = (λ + Sµ)p n + λp n 1 + Sµp n+1 (n S) Ezen egyenletrendszerből vezetjük le a p i -kre vonatkozó képletet. Az egycsatornás rendszereknél, ahol S = 1, nincs olyan n, amire 1 n < S. Így az egyenletrendszer: = λp + µp 1 (n = ) = (λ + µ)p n + λp n 1 + µp n+1 (n 1) Egycsatornás rendszerek Definíció. Legyen ψ = λ µ a forgalom intenzitása, azaz az időegység alatti beérkezések és kiszolgálások hányadosa. Egy csatorna esetén elvárható, hogy ψ < 1 teljesüljön, különben a sora végtelenségig növekedne. Állítás. p = 1 ψ, p n = (1 ψ)ψ n. Bizonyítás. Az egyenletrendszerben az első egyenletből: = λp + µp 1 (n = ) p 1 = λ µ p = ψp. A második egyenletből: Tehát = (λ + µ)p n + λp n 1 + µp n+1 p n+1 = (λ + µ) 1 µ p n λ µ p n 1 p 2 = (λ + µ) 1 µ p 1 λ µ p = (λ + µ) 1 λ µ µ p λ µ p = λ2 µ 2 p = ψ 2 p Egycsatornás rendszerek Hasonlóan p =... = ψ p. p n =... = ψ n p Másrészt Ebből p = 1 ψ, és p n = (1 ψ)ψ n. 1 = p + p 1 +... = n= p ψ n = p 1 1 ψ.
További képletek 5 Tétel. 1. M(n) = ψ 1 ψ 2. M(v) = ψ2 1 ψ. várható sorbanállási idő: M(t s ) = 1 µ ψ 1 ψ 4. várható rendszerben töltött idő: M(t r ) = 1 µ 1 1 ψ Bizonyítás. könyvben. Megjegyzés. 1. M(n) M(v) = S = 1 2. M(t r ) M(t s ) = 1 µ (kiszolgálási idő.. ψ 1 esetén M(n), M(v), M(t s ), M(t r ). Többcsatornás rendszerek Ha S csatorna van, akkor λ továbbra is az egységnyi idő alatt a rendszerbe érkezők száma, de µ az egy csatornán időegység alatt kiszolgált egységek száma. Tehát ψ = λ µ < S a feltétele, hogy ne torlódjon a sor a végtelenségig. Tétel. Az egyenletrendszer megoldása S csatornás rendszer esetén: ψ n p n = p n! (1 n S) ψ n p n = p S!S n S (S < n) p 1 = ψ S S 1 ψ n S!(1 ψ s ) n= n! Bizonyítás. könyvből. Tétel. M(v) = ψs+1 S S! 1 (1 ψ p S )2 M(n) = M(v) + S M(t s ) = M(v) λ M(t r ) = M(n) λ M(ρ) = S ψ ψ S P (t s > ) = P (n S) = p n = p S!(1 ψ n S S ) Bizonyítás. könyvből.
Képletgyűjtemény 6 ψ = λ µ = beérkezések kiszolgálások (időegységenként) S = 1 ψ < 1 p = 1 ψ p n = (1 ψ)ψ n M(n) = ψ 1 ψ M(v) = ψ2 1 ψ S > 1 ψ < S p = M(t s ) = 1 ψ µ 1 ψ M(t r) = 1 1 µ 1 ψ 1 ψ S + S 1 ψ n S!(1 ψ s ) n= n! ψ n ψ n p n = p (1 n S) p n = p n! S!S n S (S < n) M(v) = ψs+1 S S! 1 (1 ψ p S )2 M(n) = M(v) + S M(t s ) = M(v) λ P (t s > ) = p S!(1 ψ S ) M(t r ) = M(n) λ ψ S M(ρ) = S ψ
1 Operációkutatás #, NYME KTK III. évf. nappali Szállítási feladat Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet takach@inf.nyme.hu http://inf.nyme.hu/ takach 24. ősz Mintafeladat. Két raktárban (feladóhelyek) rendre 2 illetve 25 raklap áru van, ezeket kell elszállítani három üzletbe (rendeltetési helyek), amelyek rendre 1, 2 illetve 15 raklap áruratartanak igényt. A szállítási költségek táblázata: R 1 R 2 R F 1 2 5 2 F 2 4 1 2 25 1 2 15 45 Hogyan szervezzük a szállítást, hogy minimális legyen a szállítási összköltség? Visszavezetés a hozzárendelési feladatra. Ez egy 45 45-ös hozzárendelési feladat, F 1 -nek 25 sor felel meg, R 1 -nek 1 oszlop, stb. A feladat LP modellje A költségek és kapacitások: R 1 R 2 R F 1 2 5 2 F 2 4 1 2 25 1 2 15 45 A szállított mennyiségek: R 1 R 2 R F 1 x 11 x 12 x 1 2 F 2 x 21 x 22 x 2 25 1 2 15 45 Az LP model: x 11 + x 12 + x 1 = 2 x 21 + x 22 + x 2 = 25 x 11 + x 21 = 1 x 12 + x 22 = 2 x 1 + x 2 = 15 2x 11 + x 12 + 5x 1 + 4x 21 + x 22 + 2x 2 min LP modell általánosan Adott m feladóhely: F 1,..., F m, és n rendeltetési hely: R 1,..., R n. Az i-edik feladóhelyen f i mennyiségű homogén áru áll rendelkezésre, ezeket kell elszállítani a rendeltetési helyekre. A j-edik rendeltetési hely r j árumennyiséget igényel. Feltételezzük, hogy a készletek és az igények összhangban vannak, azaz m f i = i=1 n r j. j=1
Jelölje c ij az egységnyi áru szállítási költségét az i-edik feladóhelyről a j-edik rendeltetési helyre történő szállításkor: 2 R 1 R 2... R n F 1 c 11 c 12... c 1n F 2 c 21 c 22... c 2n.... F m c m1 c m2... c mn Jelölje x ij az i-edik feladóhelyről a j-edik rendeltetési helyre szállítandó árumennyiséget: R 1 R 2... R n F 1 x 11 x 12... x 1n f 1 F 2 x 21 x 22... x 2n f 2..... F m x m1 x m2... x mn f m r 1 r 2... r n A következő feltételek azt fejezik ki, hogy a feladóhelyekről minden árut el kell szállítani, és a rendeltetési helyek igényét ki kell elégíteni: m x ij = r j (j = 1,..., n) i=1 n x ij = f i (i = 1,..., m) j=1 x ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n) A célfüggvény, aminek a minimumát keressük, K = n i=m j=1 n c ij x ij min. Ez egy lineáris programozási feladat: mn változó, m + n feltétel. 1 1... 1............ 1 1... 1......... A =......... 1 1... 1 1... 1...... 1... = 1... 1...... 1............ 1... 1...... 1 x = [x 11, x 12,..., x 1n ; x 21, x 22,..., x 2n ; x m1, x m2,..., x mn ] c = [c 11, c 12,..., c 1n ; c 21, c 22,..., c 2n ; c m1, c m2,..., c mn ] b = [f 1, f 2,..., f m ; r 1, r 2,..., r n ] = [f, r ] Ax = b x K(x) = c x min [ A1 A 2 ] Az A mátrix oszlopvektorai: A = [a 11, a 12,..., a 1n ; a 21, a 22,..., a 2n ; a m1, a m2,..., a mn ]
ahol a ij = [ ei e j ] (e i egy m, e j egy n komponensű egységvektor) A mátrixos alak feleslegesen sok nullát tartalmaz, hiszen egy egyenlőtlenségben m vagy n 1-es szerepel, a többi elem nulla. Ezért célszerűbb a bázistáblánál tömörebb írásmód használata: disztribúciós táblázat. Ez nem jelent mást, mint hogy a költségmátrixban bekeretezzük azon viszonylatoknak megfelelő elemeket, ahol szállítunk és azt is melléírjuk, hogy abban a viszonylatban mennyit szállítunk. Tétel. Ha feladóhelyek száma m arendeltetési helyek száma n, akkor az (m+n) (mn)-es A együtthatómátrix rangja m+n 1. Bizonyítás. A rang nem lehet nagyobb, mint a sorok száma, azaz m + n. Mivel az első n sor összege és az utolsó m sorösszege egyaránt csupa 1 komponensekből áll, ezért az első n sor összege és az utolsó m sorösszegének különbsége : 1 A 1 1 A 2 = 1 1 = Vagyis A sorai lineárisan függőek, így a rang kisebb m + n-nél, legfeljebb m + n 1. A rang m + n 1, mert az első blokk oszlopai, valamint a további blokkok első oszlopai oszlopai lineárisan függetlenek: [ ] [ ] [ ] e1 e1 e1 a 11 =, a e 12 =,... a 1 e 1n =, 2 e n [ ] [ ] [ ] e2 e em a 2n =, a e n =,... a n e mn =, n en Disztribúciós módszer Tétel. A szállítási feladatnak mindig van lehetséges megoldása. Bizonyítás. A bizonyításban módszert is adunk egy lehetséges megoldás megkeresésére. (Disztribúciós módszer) A mintafeladaton: R 1 R 2 R F 1 2 1 5 2 1 F 2 4 1 2 25 1 2 15 45 R 1 R 2 R F 1 2 1 5 1 2 1 F 2 4 1 2 2 25 5 1 2 15 45 5 R 1 R 2 R F 1 2 1 5 1 2 1 F 2 4 1 2 25 1 2 15 45 5 R 1 R 2 R F 1 2 1 5 1 2 1 F 2 4 1 2 2 5 25 5 1 2 15 45 5 Disztribúciós módszer Válasszuk ki a C költségmátrix egy c ij elemét, s legyen x ij = min(f i, r j ).
A c ij elemet bekeretezzük, fölé írva x ij értékét. 4 Ha f i < r j, azaz x ij = f i, akkor az F i készlete kiürült, míg R j igénye x ij -vel csökkent. Ennek megfelelően az i-edik sort töröljük, r j -t pedig r j f i -re változtatjuk. Ha r j < f i, azaz x ij = r j, akkor az R j igényeit kielégítettük, míg F i készlete x ij -vel csökkent. Ennek megfelelően az j-edik oszlopot töröljük, f i -t pedig f i r j -re változtatjuk. Ha f i = r j : degeneráció, ld. később. Ezt ismételgetve m + n 2 lépés után egyetlen sor és oszlop marad, amit már egyszerre törölhetünk. Tehát mindig m + n 1 viszonylatban fogunk szállítani. Azon c ij ket, ahol szállítunk, kötött elemeknek, a többit szabad elemeknek nevezzük. Megjegyzés. Belátható hogy az így kapott megoldás bázismegoldása a szállítási feladathoz tartozó LP feladatnak: (Biz. nem kell, a könyvbeli bizonyítás hiányos.) Optimum létezése Tétel. A szállítási feladat célfüggvénye korlátos a lehetséges megoldások halmazán. Bizonyítás. Mivel n j=1 x ij = f i (i = 1,..., n), ezért K = n n n n c ij x ij i=m j=1 c ij x ij i=m j=1 n n n n max c ij x ij = max c ij j j = i=m n i=m j=1 max c ij f i, j i=m j=1 x ij = és ez már konstans. Megjegyzés. A könyvbeli bizonyításban durvább becslés szerepel. Optimális-e az aktuális program? A mintafeladat LP modellje: Duálisának feltételrendszere: x 11 + x 12 + x 1 = 2 x 21 + x 22 + x 2 = 25 x 11 + x 21 = 1 x 12 + x 22 = 2 x 1 + x 2 = 15 2x 11 + x 12 + 5x 1 + 4x 21 + x 22 + 2x 2 min u i + v j c ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n), ahol az u i -k a sorokhoz, v j -k az oszlopokhoz tartozó változók. Ismert, hogy ezek előjelkötetlen változók, mert egyenleteknek felelnek meg. A feltételrendszer eltérésvektorokkal: u i + v j + δ ij = c ij (i = 1,..., m; j = 1,..., n), ahol δ ij.