Példa: Csúsztatófeszültség-eloszlás számítása I-szelvényben Készítette: Kossa Attila (kossa@mm.bme.hu) BME, Műszaki Mechanikai Tanszék 2011. március 14. Határozzuk meg a nyírásból adódó csúsztatófeszültség eloszlását leíró függvényt az MSZ 325-86 szerinti I-240, melegen hengerelt, lejtős talpú I-acél esetén, amennyiben a nyíró igénybevétel a keresztmetszet 1-es főtengelyére merőleges. A szelvény geometriáját ne közelítsük, hanem a szabvány szerint adott pontos geometriával számoljunk! Az I-240 szelvény jellemzőit az 1. ábra tartalmazza. 1. ábra. Az I-240 szelvény adatai 1
Megoldás A geometria leírása A geometriai méreteket léptékhelyesen a 2. ábra mutatja, szimmetriaokokból csak a szelvény egynegyedét feltűntetve. A-F pontok jelölik a keresztmetszet kontúrjának nevezetes helyeit. B, C, D és E pontok (y,z) koordinátáit 1 egyelőre nem ismerjük. Viszont, az I-szelvény talprészének geometriájáról annyit tudunk, hogy a lejtése 14%, valamint azt, hogy az ábrán jelölt T pontban a vastagsága t. Ebből meghatározható a B, C, D és E pontok helye, melyeket a 3. ábra részletez. 2. ábra. A geometriai méretek léptékhelyesen A C pont z C koordinátájának számítása: z C = z H +r 2 sinα = (z B r 2 )+r 2 sinα = (53 5,2)+5,2 sin7,97, (1) z C = 48,5210 mm. (2) A D pont z D koordinátájának számítása: z D = z G r 1 sinα = (z E +r 1 ) r 1 sinα = (4,35+8,7) 8,7 sin7,97, (3) z D = 11,8437 mm. (4) A C pont y C koordinátájának számítása a talpas rész meredekségének felhasználásával: y C = y T +0,14(z C z T ) = 106,9+0,14(48,5210 26,5), (5) y C = 109,9829 mm. (6) 1 Itt most eltértünk a szabványban alkalmazott koordinátarendszertől. 2
3. ábra. Kinagyított részek A D pont y D koordinátájának számítása hasonlóképpen: y D = y T 0,14(z T z D ) = 106,9 0,14(26,5 11,8438), (7) A B és E pontok y koordinátái: y D = 104,8481 mm. (8) y B = y C +r 2 cosα = 109,9829+5,2 cos7,97, (9) y B = 115,1327 mm. (10) y E = y D r 1 cosα = 104,8481 8,7 cos7,97, (11) y E = 96,2321 mm. (12) Most már ismerjük az összes nevezetes pont koordinátáját. Ezeket összefoglalóan az 1. táblázat tartalmazza. 1. táblázat. A nevezetes pontok koordinátái y [mm] z [mm] A 120 53 B 115, 1327 53 C 109, 9829 48, 5210 D 104, 8481 11, 8437 E 96, 2321 4, 35 F 0 4, 35 G 96, 2321 13, 05 H 115, 1327 47, 8 T 106,9 26,5 3
Mivel a feladatkiírásban a nyíróerő az 1-es főtengelyre merőleges, emiatt a τ (y) = V S(y) I z w(y) (13) eloszlást keressük, ahol V a nyíróerő; S(y) az y helytől kifele levő keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre; I z a teljes keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre; w(y) pedig a keresztmetszet z irányú "húsvastagsága" az y helyen. Az előzőekből következik, hogy a további számításoknál szükség lesz a keresztmetszet kontúrját leíró f (y) függvény ismeretére. Mivel a kontúr több részből tevődik össze, emiatt a teljes tartományt 5 részre (I - IV) osztjuk, ahogyan azt a 4. ábra szemlélteti. 4. ábra. A keresztmetszet felosztása Az így kapott függvények értelmezési tartományai: f I : y z, y y F...y E, y 0...96,2321, (14) f II : y z, y y E...y D, y 96,2321...104,8481, (15) f III : y z, y y D...y C, y 104,8481...109,9829, (16) f IV : y z, y y C...y B, y 109,9829...115,1327, (17) f V : y z, y y B...y A, y 115,1327...120. (18) A következőkben ezen függvények felírása következik. Az f I egy konstans értékű függvény, tehát f I (y) = z F = 4,35. (19) Az f II egy körívet ír le, melynek egyenlete (y y G ) 2 +(z z G ) 2 = r 2 1, (20) melyből z-re nekünk az a megoldás kell ami a kör alsó részét írja le, vagyis f II (y) = z G r1 2 (y y G ) 2 = 13,05 y 2 +192.4642y 9 184.9271. (21) 4
Az f III egy egyenes egyenlete amely felírható a talprész meredekségének felhasználásával: f III (y) = z D + (z C z D ) (y C y D ) (y y D) = 7,1429y 737,0745. (22) A CB rész szintén egy körív, melynek egyenlete (y y H ) 2 +(z z H ) 2 = r 2 2, (23) melyből z-re nekünk az a megoldás kell ami a kör felső részét írja le, vagyis f IV (y) = z H + r2 2 (y y H ) 2 = 47,8+ y 2 +230,2654y 13 228,4986. (24) Legvégül, az utolsó rész szintén konstansfüggvény, tehát f V (y) = z B = 53. (25) Az f I (y)-f V (y) függvényeket és értelmezési tartományaikat összefoglalóan a 2. táblázat tartalmazza. 2. táblázat. A kontúrt leíró függvények f i (y) értelmezési tartomány I 4,35 0...96,2321 II 13,05 y 2 +192.4642y 9 184.9271 96,2321...104,8481 III 7,1429y 737,0745 104,8481...109,9829 IV 47,8+ y 2 +230,2654y 13 228,4986 109,9829...115,1327 V 53 115,1327...120 I z számítása A keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre ismert a szabványból, de itt most kiszámítjuk a 2. ábra szerinti geometria ismeretében. Közel ugyanazt kell kapnunk. Eltérés abból adódhat, hogy a szabványban megadott értékek is kerekített értékek. Szimmetria okokból csak a negyedkeresztmetszetet vizsgáljuk. A keresett másodrendű nyomatékot a korábban bevezetett I-V részek segítségével az alábbiak szerint számíthatjuk: I z = 4 I negyed z = 4 (I z I +III z +Iz III +Iz IV +Iz) V, (26) ahol I I z-i V z az I-V keresztmetszetrészek másodrendű nyomatéka a z-re. Tehát 2 : I I z = I II z = (I) (II) y 2 da = y 2 da = y E y F y 2 f I (y)dy = 1 292 194,5106 mm 4, (27) y D y E y 2 f II (y)dy = 544 120,9954 mm 4, (28) 2 Az itt lévő integrálások a MATHEMATICA szimbolikus matematikai szofterrel lettek számítva, nem kézzel! (http://www.wolfram.com/mathematica/) 5
I III z = I IV z = (III) (IV) I V z = (V) y 2 da = y 2 da = y 2 da = Visszaírva (26)-ba kapjuk, hogy y C y D y 2 f III (y)dy = 1 805 908,5248 mm 4, (29) y B y C y 2 f IV (y)dy = 3 389 783,5971 mm 4, (30) y A Az eltérés a szabványban közölt értéktől y B y 2 f V (y)dy = 3 566 088,2159 mm 4. (31) I z = 42 392 383,38 mm 4 4239 cm 4. (32) 4 239 4 250 4 250 100 = 0,26%. (33) S(y) számítása Egy adott y koordinátától kifelé eső félkeresztmetszetrész (z-re nézve) statikai nyomatékának számítása a már korábban bevezetett I-V részek felhasználásával történhet. Ezen függvények a következőek (a 2-es szorzó azért szerepel, mert y-ra nézve szimmetrikusak ezek a részek): S V (y) = 2 y A y da = 2 y f V (y)dy = 763 200 53y 2, (34) (V) y ahol S V (y) jelenti az V-ös részen lévő y koordinátától kifele eső keresztmetszetrész statikai nyomatékát a z-re. A IV-es résznél hasonlóképpen kell eljárni, viszont még hozzá kell adni a teljes V-ös rész általi statikai nyomatékot a z-re, amit úgy kapunk, hogy S V (y)-ba behelyettesítünk y B -t. Egyszerűsítés után: S IV (y) = S V (y B )+2 y B y da = S V (y B )+2 y f IV (y)dy, (35) (IV) y S IV (y) = 694 177,4605 47,8y 2 ) + ( 2y2 y2 3 +38,3776y+4436,5396 +230,2654y 13 228,4986 +3113,1893 arcsin[22,1409 0,1923y]. (36) Hasonló gondolatmenetet követve, a többi függvény: S III (y) = S IV (y C )+2 (III) y C y da = S IV (y C )+2 y f III (y)dy, (37) y S III (y) = 4,7619y 3 +737,0745y 2 2 459 788,7941. (38) 6
S II (y) = S III (y D )+2 (II) y D y da = S III (y D )+2 y f II (y)dy, (39) y S II (y) = 286 352,4362 13,05y 2 ( ) 2y 2 y2 + 3 32,0774y 3137,3323 +192.4642y 9184.9271 7283,8048 arcsin[11,0612 0,1149y]. (40) S I (y) = S II (y E )+2 y E y da = S II (y E )+2 y f I (y)dy, (41) (I) y S I (y) = 2,175y 2 +102673,0330. (42) w(y) számítása A (13) képletben szereplő w(y) függvény adja meg a keresztmetszet "húsvastagságát". Az itt alkalmazott jelölések esetén írhatjuk, hogy w i (y) = 2f i (y), ahol i=i,ii,iii,iv,v. A feszültségeloszlás szemléltetése Meghatároztunk mindent, ami szükséges a τ i (y) függvények felírásához. Példaképp a τ I (y) képlete: τ I (y) = V S I(y) I z w I (y) = V 2,175y 2 +102673,0330, (43) I z 2 4,35 τ I (y) = V (0.0005567744536130741 0.011794571576183922 10 6 y 2). (44) A fenti képletbe ha V -t [N]-ban, y-t pedig [mm]-ben helyettesítjük be akkor τ-t [MPa]-ban kapjuk. A többi függvény kiírásától itt eltekintünk, mivel ezek (τ V (y) kivételével, ami τ I (y)- hez hasonló) meglehetősen hosszú kifejezések. A nevezetes helyeken a τ értékeket a megfelelő koordináták behelyettesítésével kapjuk: A feszültségeloszlást az 5. ábra szemlélteti. τ A = 0, (45) τ B = τ V (y B ) = τ IV (y B ) = 13,4984 10 6 V, (46) τ C = τ IV (y C ) = τ III (y C ) = 29,3795 10 6 V, (47) τ D = τ III (y D ) = τ II (y D ) = 153,66 10 6 V, (48) τ E = τ II (y E ) = τ I (y E ) = 447,549 10 6 V, (49) τ F = τ I (y F ) = 556,774 10 6 V. (50) 7
5. ábra. A csúsztatófeszültség eloszlása Közelítő megoldás A következőkben azt vizsgáljuk, hogy miképpen változnak az eredmények ha a talprész geometriáját úgy közelítjük, hogy a T pontban lévő közepes vastagsággal számolunk. Az így kapott geometriát a 6. ábra szemlélteti. Ez esetben a keresztmetszet másodrendű nyomatéka a z tengelyre: I z = 106 2403 12 Az eltérés a pontos értéktől: (106 8,7) (240 26,2)3 12 4 287 4 239 4 239 = 42 870 133,45 mm 4 4 287 cm 4. (51) 100 = 1,13%. (52) A talprészen (övrészen) lévő y helytől kifelé eső keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre: S talp (y) = 106 (120 y) 120+y = 763 200 53y 2. (53) 2 8
6. ábra. Közelíto geometria A gerincrészen lévő y helytől kifelé eső keresztmetszetrész statikai nyomatéka a z tengelyre: S gerinc (y) = S talp (106,9)+8,7 (106,9 y) 106,9+y = 4,35y 2 +207 246,7735. (54) 2 A húsvastagságot leíró függvények: w talp (y) = 106, w gerinc (y) = 8,7. (55) Tehát a talprészen(y = 106,9...120) és a gerincrészen(y = 0...106,9) érvényes csúsztatófeszültségfüggvények: τ talp = V S talp(y) I z w talp (y) = V (167,949 10 6 0,01166313 10 6 y 2), (56) τ gerinc = V S gerinc(y) I z w gerinc (y) = V (555,666 10 6 0,01166313 10 6 y 2). (57) A függvényértékek a nevezetes helyeken: τ A = 0, (58) τ B = τ talp (106,9) = 34,667 10 6 V, (59) τ E = τ gerinc (106,9) = 422,384 10 6 V, (60) τ F = τ gerinc (0) = 555,666 10 6 V. (61) Az így kapott feszültségeloszlást a 7. ábra mutatja, feltűntetve szagatott vonallal a korábban számított pontos eloszlást. Látható, hogy a talp-gerinc találkozási rész környezetétől eltekintve, a két eloszlás közti eltérés a grafikus megjelenítési pontosságon belül van. Ennél a keresztmetszetnél a maximális csúsztatófeszültség az y = 0 helyen ébred. A közelítő és a pontos érték közötti eltérés: 555,666 556,774 100 = 0,2%. (62) 556, 774 9
7. ábra. Közelítő feszültségeloszlás 10