Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle
Valek Béla Moden Fizika Kézikönyv I. Álalános Relaiviáselméle A dokumenum bámely észé, vagy egészé ilos anyagi haszonszezés céljából sokszoosíani, amennyiben aól az íó máskén nem endelkezik. A dokumenum egyébkén szabadon felhasználhaó, amennyiben ez az oldal aalmazza és foáskén meg van jelölve. Valek Béla, 010 01 bvalek@yahoo.com A könyv a kövekező szabad szofveek felhasználásával készül: OpenOffice.og 3..1 Copyigh 000, 010 Oacle és/vagy leányvállalaai. A eméke az OpenOffice.og alapján készíee: FSF.hu Alapívány. Maxima 5..1 using Lisp GNU Common Lisp (GCL) GCL.6.8 (a.k.a. GCL) Disibued unde he GNU Public License. Dedicaed o he memoy of William Schele. Euphoia Inepee 3.1.1 fo 3-bi DOS Copyigh (c) Rapid Deploymen Sofwae 007
Bevezeés Bevezeés Ez a sooza példákon és levezeéseken keeszül muaja be a moden fiziká. A émák felépíése a hagyományos udományöénei vonal helye pakikus szemponoka köve. Előszö felépíjük azoka a maemaikai keeeke, melyeken belül az ado modellek mozognak, majd hiányalanul levezejük a legfonosabb kövekezményeke, és fiss kísélei eedményekkel vejük őke össze. A köeek felhasználhaóak a szakeüleükön efeenciaanyagnak, illeve alkalmas önálló anulása is az egyes émákban. Az egyeemi okaásban gyakolaok segédeszközekén ehenek hasznos szolgálao. Az első köe az álalános elaiviáselméleel foglalkozik. A megnevezésnek csupán udományöénei oka van, az elmúl évszázadban egymás uán nyeek kísélei igazolás Einsein elméleének kövekezményei. Klasszikus eüleől van szó, ahol évszázados udományfilozófiai gondolaok nyeek maemaikai megfogalmazás, majd kísélei bizonyíás. Fonos megjegyezni, hogy az a hagyományos mechanikai világkép, amiől sokszo az állíjuk, hogy könnyebben felfoghaó, valójában egy félkész szellemi emék. Az álalános elaiviáselméle alapfelevései héköznapi apaszalaokból meíenek. A é göbülségének belőlük kövekező felismeése valójában a Föld gömbölyű alakjának a megééséhez hasonló, és ha a maemaikai alapokkal iszában vagyunk, nem is köveel komoly képzelőeő. Az Olvasóól feléelezek némi felsőfokú alapismeee maemaika, és a hagyományosabb fizikai ágyak köében, de csak annyi maemaikai ejengősség van a könyvben, amennyi a fizikához felélenül szükséges. A diffeenciálszámíás hagyományos jelölései használjuk, illeve indexes mennyiségeke. A fizikai levezeésekben mindenhol az SI-méékendsze használjuk Valek Béla 4
Bevezeés Taalomjegyzék Bevezeés...4 Ábajegyzék...8 Megfigyelések...9 Jelölések és állandók...10 1. Alapok...1 1.1 Koodináa-endszeek...1 1. Tenzook...15 1.3 Kovaiáns deiválás...18 1.4 Konnexió ulajdonságai...0 1.5 Roáció... 1.6 Páhuzamos elolás...4 1.7 Konnexió és meikus enzo...6 1.8 Legövidebb ú...8 1.9 Meikus enzo kovaiáns deiválja...30 1.10 Göbe meni deivál...31 1.11 Auopaallel egyenesek egyenlee...33 1.1 Geodeikus menén megmaadó mennyiségek...33 1.13 Göbüle...34 1.14 Páhuzamos elolás zá kö menén...38 1.15 Egyenesek elhajlása...41 1.16 Inegálás...4 1.17 Vaiáció és haáselv...43 1.18 Runge-Kua közelíés...45. Példák...47.1 Kédimenziós felüle göbülee...47. Sík...49.3 Henge...50.4 Kúp...51.5 Gömb...5.6 Paaboloid...55.7 Hipeboloid...57.8 Bolyai sík...58.9 Kaenoid...60.10 Helikoid...6.11 Hipebolikus paaboloid...63.1 Tóusz...65 3. Sík és álalános éidő...68 3.1 Sajáidő...68 3. Loenz-anszfomáció...69 3.3 Sebesség és gyosulás összeadása...75 3.4 A fény abeációja...78 3.5 Dopple-effekus...79 3.6 Események soendje...80 3.7 Enegia és lendüle...8 3.8 Relaiviszikus akéa...87 5
Taalomjegyzék 3.9 Fénynél gyosabb észecskék...89 3.10 Kömozgás és Thomas pecesszió...91 3.11 Gaviációs vööselolódás...93 4. Gömbszimmeikus éidő...94 4.1 Gömbszimmeikus koodináa-endsze...94 4. Schwazschild-koodináák...95 4.3 Geodeikus egyenleek...104 4.4 Gaviációs vööselolódás...105 4.5 Féegjáa...106 4.6 Newoni közelíés...108 4.7 Kö alakú pálya...114 4.8 Felszíni gyosulás és lebegés...117 4.9 Geodeikus pecesszió...10 4.10 Köpályák sabiliása...13 4.11 Napközelpon vándolása...15 4.1 Fényelhajlás...18 4.13 Áapály...133 4.14 Zuhanó pálya...138 4.15 Izoóp koodináák...14 4.16 Gaussi poláis koodináák...147 4.17 Fogó Schwazschild-koodináák...149 4.18 Kuskal-Szekees koodináák...153 4.19 Kuskal-Szekees éidő...160 5. Fogó fekee lyuk éideje...16 5.1 Tengely-szimmeikus éidő...16 5. Ens-egyenle...166 5.3 A Ke-megoldás levezeése...171 5.4 Koodináaszingulaiások...178 5.5 Vööselolódás...179 5.6 Téidő csavaodása...179 5.7 Egyenlíői köpálya...181 5.8 Ke-Schild meikák...183 5.9 Tomimasu-Sao éidők...185 6. Anyagi közegek éideje...189 6.1 Enegia-impulzus enzo...189 6. Einsein-egyenle anyagi közegben...190 6.3 Ideális folyadék...19 6.4 Gömbszimmeikus égies...193 6.5 Állandó sűűségű gömb...199 6.6 Zuhanás a középponba...05 6.7 Relaiviszikus po...10 6.8 Összeomló gömb alakú pofelhő...11 6.9 Elekomágneses kölcsönhaás...16 6.10 Elekomágneses hullámok...0 6.11 Klein-Godon egyenle... 6.1 Poca egyenle...5 6.13 Diac egyenle...5 6.14 Weyl egyenle...35 6
Taalomjegyzék 7. Gaviációs hullámok...36 7.1 A meikus enzo felbonása...36 7. A meika vizsgálaa...38 7.3 Síkhullám megoldások...41 7.4 Másodendű közelíés...43 7.5 Példák...46 8. Világegyeem éideje...50 8.1 Feléelezések...50 8. Poziív göbüle...51 8.3 Negaív göbüle...5 8.4 Nulla göbüle...53 8.5 Kozmológiai vööselolódás...53 8.6 Hubble övény...55 8.7 Síkbeli geomeia...56 8.8 Álalános Fiedmann-egyenleek...58 8.9 Világmodellek...6 Függelék...66 A.1 Makoszkopikus kölcsönhaások egyesíése...66 A. Elekomosan ölö gömbszimmeikus fekee-lyuk...7 Összefoglalás...83 Iodalomjegyzék...84 Tágymuaó...88 7
Taalomjegyzék Ábajegyzék Galilei, Clausius, Maxwell, Einsein, Kaluza...1 sík deékszögű koodináákkal...49 sík poláis koodináákkal...50 henge...50 kúp poláis koodináákkal...51 kúp deékszögű koodináákkal...51 gömb poláis koodináákkal...5 gömb deékszögű koodináákkal...53 paaboloid poláis koodináákkal...55 paaboloid deékszögű koodináákkal...55 egypalású hipeboloid...57 képalású hipeboloid poláis koodináákkal...58 képalású hipeboloid deékszögű koodináákkal...58 akoid...60 kaenoid...61 helikoid...6 hipebolikus paaboloid...63 óusz...66 Minkowski koodináa-endsze...69 féegjáa poláis koodináákkal...108 féegjáa deékszögű koodináákkal...108 lebegő es gyosulása...119 geomeiai poenciál...15 gaviációs lencse...133 áapály - Nap haása a Földe...135 áapály - fekee lyuk haása póbaese...135 zuhanó es pályája sajáidőben...140 zuhanó es pályája koodináa időben...14 Kuskal-Szekees koodináák...156 eljes féegjáa poláis koodináákban...157 eljes féegjáa deékszögű koodináákban...157 Kuskal-Szekees éidő...161 fogó fekee-lyuk hosszmesze...179 zuhanás égies belsejében...09 gyosulás égies belsejében...10 összeomló pofelhő...16 8
Megfigyelések Megfigyelések Lehe, hogy csak az ézékszeveink csapnak be minke, de nem éezzük, hogy a Föld közel 30 km/másodpeces sebességgel száguld a Nap köül. Valójában, az sem udjuk megmondani egy óceánjáó belsejében, hogy a kiköőben vagyunk-e még, vagy má a nyíl vízen szeli a haboka. Az igazság az, hogy nemcsak mi nem udjuk, (ideális eseben) a műszeeink sem észlelik a különbsége. Lehe, hogy csak ponalanok, de az is lehe, hogy valami elvi dolog akadályoz meg minke benne, hogy megállapísuk az abszolú sebességünke. Ez a Galileo Galileiől számazó elaiviási elv. Az idő egy iányba öénő haladása, vagyis az ok és kövekezmény soendje annyia magáól éeődő, és emészees apaszalaunk, hogy egész meglepő, ha ez még ki is kell jeleneni. Súlyos logikai poblémák meülnének fel, ha nem így lenne, mégsem mondhaunk más, min hogy eddig nem apaszalunk más. Ennek a gondolanak akko le nagy jelenősége, amiko Rudolf Clausius felismee az enópiá, melynek a válozása kijelöli az idő iányá. Vegyük azonban figyelembe, hogy ezzel a éellel semmi nem állíounk az idő múlásának méékéől, vagy méékének állandóságáól. A fény ézékelheelenül gyosan ejed a mi fogalmainkhoz képes. Azonban má eze évvel ezelő Ibn al-hayham aab udós felveee, hogy egy ejedő jelenségől van szó, aminek ennél fogva ejedési sebessége kell, hogy legyen. Csillagászai méeű jelenségek eseében vesszük csak észe, illeve a mi szemünknél övidebb eakcióidejű műszeeink ézékelheik. Igen fonos az, hogy a sebessége vákuumban mindenko egyfaja, és állandó, minden megfigyelő számáa, függelenül a mozgásállapoukól, aminek az elmélei megalapozásá James Clek Maxwell egyenleei adják. Annyia megbízunk ebben a apaszalaban, hogy a ávolság egységének, a mée definíciójának az alapjául válaszouk SI egységekben. Ha ez nem így lenne, akko például egy nagyon gyos jámű lehagyhaná, és a fedélzei műszeek má nem a megszoko ééke ménék. Ezzel viszon meghaáozhanánk az abszolú sebességünke, amiől úgy udjuk, hogy leheelen. Űhajósjelölek a paabolikus pályán zuhanó epülőgépben (a hányaógépben ) övid időe megapaszalhaják a világűbeli súlyalanságo. Vidámpaki szimuláook pedig háadönik a láogaóika, bá csak a sajá súlyuka ézik, mégis az hiszik, hogy gyosulnak. Ha hielen elindulna közben a eheauó, amie felszeelék a beendezés, a ben ülők nem udnák megállapíani, hogy ényleg gyosulnak-e, vagy csak hanya fekszenek az ülésben. Ismé ké megkülönbözeheelen jelenség, ehá jelensük ki hogy megegyeznek, ez Albe Einsein ekvivalencia-elve. Elekomágneses haása gyosuló esek úgy viselkednek, minha gaviáció hana ájuk, hasonló apaszalai övény íja le a mozgásuka. Viszon ez az eő függ aól, hogy van-e eedő ölésük, ső nem csak vonzani, aszíani is képes. Ennek ellenée az álalános elekomágneses és gaviációs ében mozgó észecske pályájá le lehe íni iszán geomeiai eszközökkel, ahogy az Theodo Kaluza megmuaa. A megfogalmazo kijelenésünk lényegében az fogja jeleni, hogy a ölö műsze nem mé különbsége gaviációs, elekomos gyosulás, vagy a súlyalanság állapoa közö. Az álalános elaiviáselméle ezeken a megfigyeléseken alapszik, és a éidő viselkedésé íja le, illeve a kölcsönhaásá a benne lévő anyaggal. Ezzel léehoz egy keee, amiben az összes öbbi fizikai modell leíhaó. 9
Jelölések és állandók Jelölések és állandók A könyv folyamán végig az indexes jelölésmódo használjuk. Az indexek mindig egybeűsek, és a kövekező ábláza összefoglalja, hogy hol és milyen jelenéssel használjuk őke: eek szabad indexek összegzési indexek 3D-s é (1 3) álalános é (1 N) i, j, k, l, m, n a, b, c, d, e, f 4D-s éidő (0 3) η, κ, μ, ν, ξ, σ α, β, γ, δ, ε, ζ 5D-s éidő (0 4) spino-é (1 4) P, Q, R, S, T, U A, B, C, D, E, F Az egyenleek ké oldalán ugyanannyi szabad indexnek kell lennie, hiszen valójában annyi egyenleünk van, amennyi a dimenziók száma szoozva a szabad indexek számával: v i =a u i b i v 1 =a u 1 b 1, v =a u b, v 3 =a u 3 b 3 Azoka a agoka amelyekben összegzési indexek vannak, összegzés kell éeni, mégpedig annyiszo amennyi a dimenziók száma: N s=v a u a = v a u a =v 1 u 1 v u v 3 u 3 a=1 A Konecke-dela: i j = { 1, i= j 0, i j A koodináa-endszeeke, amikben az egyes mennyiségek fel vannak íva, bal alsó saokban lévő indexszel jelezzük. Különböző ponokban felí mennyiségeke különböző beűkkel jelöljük, ahol csak leheséges. Kéindexű máix deeminánsa kiszámíhaó a kövekező ekuzív képleel: M ij = 1 a 1 M 1 a M i 1 j a Késze konavaiáns meikus enzo komponenseinek kiszámíása késze kovaiáns meikus enzoból: g kl = 1k l g i k j l g ij A Lambe-függvény deiválja és inegálja: dw x dx 1 = e W x W x1 W x dx= x W x 1 W x 1 C 10
Jelölések és állandók Temészei állandók: fénysebesség: c=,9979458 10 8 m s gaviációs állandó: =6,6748 10 11 m 3 Idő és ávolságegységek: kg s Júlián év: csillagászai egység: fényév: pasec: 1a=365,5 nap=3,15576 10 7 s 1 AU =1,49597870691 10 11 m 1 fényév=9,460730475808 10 15 m 1 Pc=3,0856775818 10 16 m =,066480645 10 5 AU =3,6156377695 fényév 11
1. Alapok 1. Alapok Ebben a fejezeben bevezejük az a maemaikai nyelvezee, ami az álalános elaiviáselméle használ. A célunk az, hogy méheő mennyiségeke aláljunk, amikkel a öbbdimenziós felüleeke jellemezni udjuk. Ezzel a poblémával a diffeenciál-geomeia foglalkozik, és az alkalmazo módszeek hasonlóak azokhoz, amike a földméők használnak. Maga a geomeia szó is földméés jelen, mely évén a émánk egy ősi udományhoz kapcsolódik, melye má az anik világban is nagy szakéelemmel művelek. Amíg a geodéák a Föld göbül felszíné, mi a göbül éidő fogjuk feléképezni, de a céljaink ponosan ugyanazok: ájékozódni, ávolságoka méni, vagy megkeesni a legövidebb ua ké pon közö, és így ovább. Láni fogjuk, hogy a ée vonakozó naiv, földhöz agad feléelezésekből kiindulva endkívül álalános, válozaos ulajdonságokkal endelkező geomeiá lehe felépíeni, melyben az összes fonos geomeiai mennyisége meg udjuk haáozni. Ebből levonhajuk magunknak a anulságo, hogy amiko az egyszeű sík éől gondolkozunk, valójában számos ki nem mondo megköéssel és feléelezéssel élünk, melyek nem kövekeznek auomaikusan a kezdei feléeleinkből. 1.1 Koodináa-endszeek Képzeljünk el egy eszőleges ee, melynek a ponjai egyedi számsookkal különbözejük meg, melyeke úgy válaszunk meg, hogy egymáshoz közeli ponok eseén a számsook száméékei is közel essenek egymáshoz. A számsooka annyi szám alkoja, amennyi a ponok egyéelmű azonosíásához felélenül szükséges. Más szóval egy koodináa-endsze veszünk fel benne, ahol a számsooka koodináavekooknak, az őke alkoó számoka pedig koodinááknak hívjuk, melyeke megállapodás szein jobb felső indexszel jelölünk. Az x pon helyzeé jelölő koodináaveko i.-ik eleme: x i (1.1.1) Ezek a számsook emészeesen nem kizáólagosak, eszőlegesen úja lehe számozni a é ponjai. Ha más logika szein oszjuk ki a soszámoka, egy másik koodináa-endsze veszünk fel, ami egy -essel jelölünk a bal alsó saokban, ahol a koodináák függenek az első koodináaendszeben felve koodináákól: x i = x i ( 1 x j ) (1.1.) Rendeljünk hozzá a é minden ponjához egy számo, vagy más néven skalá. Egy skalámező a ponok függvényében adunk meg, ennek az úgyneveze skaláfüggvénynek az ééke egy ado ponban emészeesen függelen a koodináa-endszeől: x i x i = x i 1 (1.1.3) Válasszunk egy koodináa-endszeben ké különböző pono: 1
1.1 Koodináa-endszeek x i y i = x i + Δx i (1.1.4) A skalámező ezekben a ponokban felve éékeinek különbsége nem függ aól, hogy milyen koodináa-endsze válaszounk: x i = x i 1 y i 1 = x i y i (1.1.5) A mező éékének válozási sebessége a koodináák szeini paciális deiválja: lim x 0 x i x i x i = xi x i x i Ez megszoozva a mege úal megkapjuk a mező éékének válozásá egy koodináa menén. A mező éékének infiniezimálisan kicsi eljes válozásá úgy közelíjük, hogy egyszeűen összeadjuk a válozásoka az egyes koodináák menén, így megkapjuk a eljes deivála, ahol az a indexe a jelölésendszeünk szabályai szein összegzés végzünk: d = lim x 0 x i x i x i x a x a = xi dx a x a Így ha végelenül kicsie csökkenjük a ké pon közöi ávolságo, akko az a kövekezőképpen udjuk deiválakkal kifejezni ké különböző koodináa-endszeben: d = a 1 x a 1 dx = a x a dx (1.1.6) A skalámező éékének koodináánkéni válozása függ aól, hogy milyen koodináa-endsze alkalmazunk. Megvizsgáljuk, hogy a válozás az egyik koodináa menén mekkoának lászik a másik koodináa-endsze koodináái menén. Hogy kevésbé legyenek zsúfolak a képleek, a ovábbiakban öbbnyie elhagyjuk az 1-es indexe. d = x a dxa / 1 x i x i = x a x a x i (1.1.7) Ezzel megkapuk a skalámező paciális deiváljának anszfomációjá. A koodináa-diffeenciál anszfomációjához behelyeesíjük a koodináaválozás: dx i = xi x a dxa (1.1.8) A keejük skalászozaa a eljes deivál, ami koodináa-endszeől függelen: 13
1.1 Koodináa-endszeek dx a x a = xb x b xa x a x c dxc = (1.1.9) x b dxb Végelenül kicsi elmozdulás eseén mindké koodináa-endszeben váloznak a koodináák. A válozások kölcsönös aányai a ké koodináa-endsze közö a anszfomációs máixo alkoják: i j = xi x j 1 i 1 j = xi x j (1.1.10) Azoka a mennyiségeke, melyek úgy anszfomálódnak, min a skalámező paciális deiváljai, elnevezzük kovaiáns vekooknak, melyek a é ponjai ugyanúgy beszámozhaják, csak egy másik logika szein. I az index megállapodás szein a jobb alsó saokba keül: x = i x a a i v i = x i Kovaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a skalámező paciális deiváljai: v i =v a xa x i =v a i a (1.1.11) Azoka a mennyiségeke pedig, melyek úgy anszfomálódnak min a koodináa-diffeenciálok, elnevezzük konavaiáns vekooknak. I az index helyzee nem válozik: dx i = xi v i =dx i x a dxa Konavaiáns veko: olyan v mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko úgy anszfomálódik, min a koodináa-diffeenciálok: v i = xi i = x a va a v a (1.1.1) Ha felcseéljük a koodináa-endszeeke, akko a fodío anszfomációs képleek a kövekezők: v i = xi v a x a = i a v a v i = v a x a = v x i a a i (1.1.13) A diffeenciál ecipoka úgy anszfomálódik min egy kovaiáns veko: 1 dx i = 1 1 i a dx = xa 1 a x i dx = a i a 1 dx a (1.1.14) 14
1.1 Koodináa-endszeek A feniekből kövekezik, hogy a kovaiáns és konavaiáns vekook skalászozaa is függelen aól a koodináa-endszeől, melyben felíuk a komponenseike, és az eedmény egy skalá: v a u a =v b b a a c u c =v b u b (1.1.15) Készees anszfomáció végzünk, egy veko felíunk egy másik koodináa-endszeben, majd visszaéünk az eedeibe: v i = xi v a x a = i a v a v i = i b v a b a = i a v a v i =v a xi x a =va i a A anszfomációs máixok skalászozaa a Konecke-dela: i a a j = i j = xi x a xa x j (1.1.16) 1. Tenzook Azok a mennyiségek, melyeke vekook szozaából állíunk elő, a enzook családjába aoznak. Ezek speciális enzook, me csak n m számól függenek, ahol m a vekook száma, n pedig a koodinááké: v i u j w k p l q m =T ijk lm (1..1) Viszon egy ilyen enzo epezenáló máixnak n m függelen komponense is lehe, és ez az álalános enzoa is igaz. Ebből levezeheő a anszfomációs szabály: Tenzo: olyan T mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko a kövekezőképpen anszfomálódik: ijk i T lm= a b j c k abc T d l e m (1..) de Jól lászik a feni összefüggésen, hogy ha a enzo összes komponense nulla, akko ez így maad bámilyen koodináa-anszfomáció eseén. A enzo angja az indexek száma, egy skalá nullad-angú enzo, a veko elsőangú, és így ovább. Álalános enzook szozaa szinén enzo, például: A ijk B lm =T ijk lm (1..3) Tenzook összegé csak ugyanolyan ang eseén udjuk éelmezni, például: 15
1. Tenzook ij A k B k ij i = a j b A c ab B ab c c k (1..4) Szoozzunk össze egy eszőleges enzo olyan vekookkal, amikkel mindegyik indexe összegzés végzünk. A feniek szein egy invaiáns skalá kapunk: T abc v a u b w c p d q e =s (1..5) de Ha nem ismejük egy öbbindexű mennyiség emészeé, a feni összefüggés használaával bebizonyíhaó, hogy enzo. Ugyanis ha felíjuk egy másik koodináa-endszeben, a anszfomációs máixok csak akko ejik ki egymás, ha a öbbindexes mennyiség ugyanannyi vonula fel belőlük, min amennyi a vekooka anszfomálja. A Konecke-dela ééke egyező indexek eseén egy, különböző indexeknél nulla. A feni összefüggés alapján enzo, mégpedig egy speciális faja, mivel a komponensei külön-külön is invaiánsak: b a v a u b =v b u b =s (1..6) A kovaiáns vekookkal is be lehe számozni a é ponjai, ezeke a számsooka a kovaiáns koodináák alkoják: x i (1..7) Tulajdonképpen ez is csak egy koodináa-endsze a sok leheséges közül, ezé minden bizonnyal á lehe anszfomálni egy pon konavaiáns koodináái kovaiáns koodináákká. Ezé legyen a második koodináa-endsze a kovaiáns, így a koodináa-válozások kölcsönös aányai egy g ij szimmeikus mennyisége alkonak: x i x j 1 g ij = x i x j = x j x i =g ji (1..8) v i =v a xi v x a i =v a x i x a =va g ia (1..9) Fodío iányban: 1 x i x j g ij = xi x j = x j x i =g ji (1..10) v i =v a xa x i v i =v a xa x i =v a g ai (1..11) A veko konavaiáns és kovaiáns válozaának skalászozaa invaiáns skalá ami a veko hossza ehá az új mennyiségünk enzo-jellegű: 16
1. Tenzook v a v a =v a v b g ab =v b v a g ba (1..1) A segíségével indexeke is lehe emelni és süllyeszeni, úgyhogy nevezzük el meikus enzonak: v a u b w c p d q e g ai g bj g ck g dl g em =v i u j w k p l q m T abc de g ai g bj g ck g dl g em =T ijk lm (1..13) Készees anszfomáció végzünk, egy konavaiáns veko felíunk kovaiáns alakban, majd visszaíjuk konavaiánssá: v i =v a g ab g bi =v a a i A meikus enzook skalászozaa a Konecke-dela: g ia g aj = i j = x i xa x a (1..14) x j Ha minden indexe összegzünk, akko az eedmény a dimenziószám: g ab g ab = b b =N (1..15) Egy kéindexű álalános enzo mindig fel lehe bonani egy szimmeikus és egy aniszimmeikus enzo összegée. Az egymással szemben lévő enzokomponensek álagolásával szimmeikus enzo hozhaó lée: s T ij = 1 T ijt ji = 1 T jit ij = s T ji (1..16) Az álalános enzoból kivonva az eedmény egy aniszimmeikus enzo: T ij a =T ij s T ij =T ij 1 T ijt ji = 1 T ij T ji = 1 T ji T ij = a T ji (1..17) melynek a diagonális elemei nullák: a T ii = 1 T ii T ii =0 (1..18) Az összegük visszaadja az eedei enzo: s T ij a T ij = 1 T ijt ji 1 T ij T ji =T ij (1..19) Álalános kéindexű enzo indexeinek megfodíása: T ij =T ji a T ij (1..0) 17
1. Tenzook Tenzookkal epezenálhaó mennyiségeke és a belőlük alkoo egyenleeke kovaiáns mennyiségeknek, illeve kovaiáns egyenleeknek hívjuk. Ebben a megnevezésben a kovaiancia nem a kovaiáns vekooka ual, hanem aa, hogy az ezekből a mennyiségekből alkoo egyenleek alakja enzoanszfomációka invaiáns. 1.3 Kovaiáns deiválás A fejeze címében szeeplő kovaiáns szó szinén nem a kovaiáns vekooka vonakozik, hanem a enzoanszfomáció-invaiancia megnevezése. Deiváljuk a skaláfüggvény paciális deiválja anszfomációs összefüggésének mindké oldalá: = xa x i a x x i / x j = x j x i x j x a x x i x a x j x i a x a (1.3.1) A jobb oldal első agjában anszfomáljuk az egyik nevező diffeenciál a másodikból az első koodináa-endszebe: a x j x a x = xb x i x b x a xa x j x i Visszahelyeesíjük: = xb x j x i x b a x a x x j x i x a x a x j x i (1.3.) A skalámező második paciális deiválja, ami a kovaiáns veko paciális deiválja, nem úgy anszfomálódik min egy enzo. Felíjuk és behelyeesíjük a feni képlebe: v i = x i v i = v a xb x j b x x j xa v x i a x a x j x i (1.3.3) Áendezzük a képlee, és anszfomáljuk az egyik ago szozó veko az első koodináaendszeből a másodikba: v a xb x b x j xa x i = v i x j v a x a x j x i 18
1.3 Kovaiáns deiválás v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i (1.3.4) Tegyük fel, hogy egy kovaiáns vekomező konsans egy ado koodináa-endszeben, vagyis a paciális deiválja mindenhol nulla: v i =0 j (1.3.5) x Felíjuk ez az összefüggés egy másik koodináa-endszeben, és felesszük, hogy o is nulla: v a xb x b x j xa x i = v i x j x a v b xb x =0 (1.3.6) a x j x i Bevezeünk egy új jelölés a második agban: b ji = xb x a x a x j x i (1.3.7) Ez az összefüggés eszőleges koodináa-endszeben leíja, hogy a vekomező paciális deiválja elűnik az eedei koodináa-endszeben: v i b v x j b ji =0 (1.3.8) Az új jelölés ami bevezeünk egy speciális ípusú konnexió, ami mindig szimmeikus az alsó ké indexében. Definiáljuk vele a kovaiáns veko kovaiáns deiváljá, majd kövekezik a konnexió álalános definíciója: j v i = v i x v b j b ji (1.3.9) Konnexió: olyan Γ mennyiség, mely koodináa-endszeek közöi áválásko bizosíja, hogy az kovaiáns deivál úgy anszfomálódjon min egy enzo: j v i = v i x v a j a ji j v i = b v a b a j i (1.3.10) Azok az álalános mennyiségek amelyek kielégíik a konnexió definíciójá viszon má nem felélenül szimmeikusak. Egy skalámező paciális deiválja enzo, ezé legyen ez a kovaiáns deiválja: i = x i (1.3.11) Kovaiáns és konavaiáns veko skalászozaának az eedménye egy skalá: 19
1.3 Kovaiáns deiválás i u a v a = ua v a x i (1.3.1) i u a v a u a i v a = ua x i v a ua v a x i i u a v a u a v a x i ua v b b ia = ua x i v a ua v a x i i u a v a = ua x i v au a b v b ia / 1 v a A konavaiáns veko kovaiáns deiválja: i u j = u j x i ua ia j (1.3.13) Mos má eszőleges enzo kovaiáns deiváljá meg udjuk haáozni, konavaiáns és kovaiáns vekook szozaának felhasználásával: n T n T ijk lm ijk lm = n v i u j w k p l q m = n v i u j w k p l q m v i n u j w k p l q m n T ijk lm = vi x n u j w k p l q m v a i na u j w k p l q m Összevonjuk a vekooka a jobb oldalon: n T T ijk lm ijk lm x n = i na T ajk j lm na T iak k lm na A Konecke-dela kovaiáns deiválja nulla: k i j = i j x i k ak a j jk a i i a =0 jk T ija lm a nl T ijk a am nm T ijk la (1.3.14) i jk =0 (1.3.15) 1.4 Konnexió ulajdonságai 0
1.4 Konnexió ulajdonságai Megvizsgáljuk hogyan anszfomálódik a konnexió, ezé előszö észleesen kiíjuk a kovaiáns veko kovaiáns deiváljának anszfomációjá: v i d v x j d ji = v a xb xa (1.4.1) x v c b c ba x j x i v i d v x j d ji = v a xb x b xa v x j x i c c ba xb xa x j x i A jobboldali első ago má feljebb megismeük, behelyeesíünk: Egyszeűsíünk: v a xb b x x j xa x i = v i x j x a v b xb x a x j x i v i d v x j d ji = v i v x j b xb x x a c v a x j x i c ba xb xa x j x i x a d v d ji = v b xb x c v a x j x i c ba xb xa x j x i (1.4.) Tanszfomáljuk a jobboldali második agban lévő veko az első koodináa-endszeből a másodikba, és leegyszeűsíünk a veko szozókkal: d v d ji = v b xb x x a a x j x i v d x d x c c ba xb xa x j x i A konnexió anszfomációs szabálya: d k k ji = xk x a x a x j x i c ba xk x xa x j x i c xb (1.4.3) A konnexió ehá nem enzo-jellegű mennyiség. Az álalános konnexió szimmeikus észe: C k ij = 1 ij k k ji (1.4.4) Az álalános konnexió aniszimmeikus észe a ozió: S k ij = 1 ij k k ji k ij = k ji k S ij (1.4.5) 1
1.4 Konnexió ulajdonságai Behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: S k ij = 1 x e x i x xk j x e e ab x a x x b i x x k j x x e xk e x j x i x e e ba xb x x a j x i xk x e Egyszeűsíünk, a ozió anszfomációja: k = 1 e e ab ba xa x xb i x xk j x e S ij (1.4.6) A ozió a anszfomációs képlee alapján egy háomindexű enzo: k k = S ij S ij a i b k j e (1.4.7) A konnexió végelenül kicsi különbségei úgy anszfomálódnak min a enzook: első koodináa-endsze: második koodináa-endsze: j ik j = ik j x ik x x j j j ik = ik x ik x x (1.4.8) Az első képlebe behelyeesíjük a konnexió anszfomációjá: j ik = x e x i x k x j e x e ab x xa x xb i x x j k x e x e x i x k x j e x e ab x x xa x xb i x x j k x e j ik e = ab x xa x x b i x x j k x e e ab x x xa x x b i x x j k x e (1.4.9) A konnexió vaiációja enzo-jellegű mennyiség: j ik j = ik xa x xb i x x j k x e (1.4.10) 1.5 Roáció A kovaiáns veko deiváljának anszfomációja:
1.5 Roáció v i v x j b xb x x a = v a xb a x j x i b xa x x j x i (1.5.1) Ez a mennyiség nem enzokén anszfomálódik. De ha megcseéljük benne az indexeke, és kivonjuk az eedei kifejezésből, enzo-jellegű mennyisége kapunk, a neve oáció. Az összefüggés jobb oldala: v a xb x b xa v b x j x i x a x a xb x i x = v v a j x b b xb x a xa =T x j x i ab b a j i Az összefüggés bal oldala: v i x v j b xb x a x a x j x i v j x v i b xb x a x a x i x j = v i A oáció anszfomációs szabálya a másodangú enzookénak felel meg: x v j j x = T i ij T ab b j a i = T ij (1.5.) Ez a enzo aniszimmeikus: T ij = T ji = v i x j v j x i = v j x i v i x j (1.5.3) A diagonális elemei pedig mindig nullák: T ii = v v i x i i =0 i (1.5.4) x Ha az aniszimmeikus enzo paciális deiváljának az indexei ciklikusan pemuáljuk és összeadjuk, az eedmény nulla, me a vekook második deiváljai kiejik egymás: x v j j x i v j i x x v j k k x x v k j x v i i x = k v i x k x v j j x k x v j i x i x v k k x i x v k j x j x v i i x j x =0 k T ij x k T jk x i T ki x j = x k v i (1.5.5) A kovaiáns deiválból képze oáció: j v i i v j = v i x j v j x v b i b ji Ez az egyenlőség csak akko eljesül, ha a konnexió szimmeikus: b ij = v i x v j (1.5.6) j x i k k ij = ji (1.5.7) 3
1.5 Roáció 1.6 Páhuzamos elolás Felveszünk ké végelenül közeli pono, ezekben a ponokban vekooka, és ké különböző koodináa-endszeben is felíjuk őke. A évedések elkeülése édekében összefoglaljuk egy áblázaban a jelöléseke: Első koodináa-endsze Első pon x i x i Második pon y i y i Első ponbeli vekook v i, w i v i Második ponbeli vekook u i, q i u i Második koodináa-endsze Páhuzamosan elolunk egy veko az első ponból a másodikba, az egyik koodináa-endsze úgy vesszük fel, hogy az eedei és az új veko minden komponense megegyezzen: u i =v i (1.6.1) A kövekezőképpen számíjuk á a vekook koodináái: v i = xi v a x a u i = yi u a y a (1.6.) Behelyeesíjük az első koodináa-endszeben felí összefüggésbe: x i v a x a = yi u a y a (1.6.3) A másik koodináa-endszeben álalánosan íjunk fel egy elolás: u i = v i dv i (1.6.4) A ké pon különbsége a oális deivál, ami a második koodináa-endsze koodináái szein deiválunk: y i = x i xi dx a x a y i = xi y j x j / x i x j dx a x j x a (1.6.5) Behelyeesíjük az elolás képleébe, majd felbonjuk a záójeleke: 4
= x i v a x a xi x i dx a x b x b x a 1.6 Páhuzamos elolás x i v a x a = xi v b x b xi dv b x b x i vb dv b (1.6.6) x b x a dx a v b x i x b x a dx a dv b Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: 0= xi dv b x b x i dx a x b x a v b / x j x i i c x j x xc dv b c x b = x j x x c dx a c x b x a v b (1.6.7) Az egyenle bal oldalán behelyeesíjük és alkalmazzuk a Konecke-delá, a jobb oldalán a konnexió helyeesíjük be, ahogy a koábbi definíciónál eük: j ba = x j x c x c x b x a (1.6.8) dv j j = ba dx a v b Ez visszahelyeesíjük a konavaiáns veko elolási képleébe, a koodináa-endsze azonosíó számok nélkül. Az indexek minden ovábbi nélkül felcseélheők, ami meg is eszünk, ugyanis ekko ugyanaz a konnexió kapjuk meg, ami koábban definiálunk: u i =v i i ba v a dx b (1.6.9) Felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: v a w a =u a q a (1.6.10) A konavaiáns veko elolása: u i =v i dv i =v i i ba v a dx b (1.6.11) A kovaiáns veko elolása: q i =w i dw i (1.6.1) 5
1.6 Páhuzamos elolás Behelyeesíjük a skalászozaba: v a w a =v a a dc v c dx d w a dw a (1.6.13) v a w a =v a w a v a dw a a dc v c dx d w a a dc v c dx d dw a Egyszeűsíünk, és elhagyjuk az uolsó ago, ahol a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványon vannak: dw i = a bi dx b w a Ez visszahelyeesíjük a kovaiáns veko elolási képleébe: q i =w i a bi w a dx b (1.6.14) Ezek alapján eszőleges enzo elolási képleé meg udjuk haáozni. I má nem használjuk a áblázaba foglal jelöléseke: v i u j w k p l q m =T ijk lm Behelyeesíjük az elolási képleeke, és elhanyagoljuk a végelenül kicsi mennyiségek magasabb haványai aalmazó agoka. Így csak a vekook szozaai, illeve azok a agok maadnak meg, melyek csak egysze aalmazzák a konnexió: v i i ba v a dx b u j j ba u a dx b w k k ba w a dx b p l a bl p a dx b q m a bm q a dx b = ijk i ajk T lm ba T j iak lm ba T k ija lm ba T lm a ijk a ijk bl T am bm T la dx b (1.6.15) 1.7 Konnexió és meikus enzo Az előző fejezehez hasonlóan felveszünk az első ponban ké veko, és képezzük a skalászozauka. Ha páhuzamosan eloljuk őke a másik ponba, a skalászoza nem válozik: g ab x v a w b = g ab y u a q b (1.7.1) I az egyenle bal oldalán az első ponban felve vekook közöi skalászozao íuk fel, a jobb oldalon pedig a második ponban felve vekook közöi skalászozao. Az egyik meikus enzoól a végelenül közeli másikhoz sofejéssel közelíünk: g ij y=g ij x g ijx x a dx a 1 g ij x dx b (1.7.) x a x b dxa Behelyeesíjük a vekook páhuzamos elolásának képleé, és a meikus enzo sofejésé, 6