KOVÁCS BÉLA, MATEmATIkA II 2
II TÖbbVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEk INTEGRÁLÁSA 1 Kettős INTEGRÁL Legyen f(x,y) a T tartományon nemnegatív kétváltozós függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a z = 0 sík, felülről a z = f(x, y) felület, oldalról a T határára emelt, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület zár közre (3118 ábra) Ennek a hengerszerű testnek a térfogatát akarjuk meghatározni 3118 ábra Kettős integrál téglalap tartomány felett Próbáljuk megoldani a fenti feladatot amikor a T tartomány egy téglalap Legyen az,,, egyenesek által határolt téglalap tartományon értelmezett z = f(x, y) kétváltozós függvény sehol sem negatív, azaz minden esetén Ebben az esetben a V azt a testet jelenti, amelyet alulról a z = 0 sík, felülről a z = f(x, y) felület, oldalról pedig az T határára emelt, a z tengellyel párhuzamos,,, síkok határolnak, azaz: Tehát a célunk a V térrész térfogatának meghatározása Érdemes lesz bevezetni a téglalap tartományra jelölést Az első lépés az lesz, hogy a T téglalapot felosztjuk kis téglalapokra úgy, hogy az részre a intervallumot pedig m egyenlő részre osztjuk Ebben az esetben a kis téglalapok hosszai intervallumot n egyenlő lesznek Legyenek,, Így a következő un osztópontokat kapjuk: illetve az ezeknek megfelelő zárt kis részintervallumok:
A téglalap tartományra bevezetett jelölés mintájára a kis téglalapokból néhányat felsorolunk:, Ha mindet meg akarjuk adni, akkor indexes jelölést kell bevezetni a következőképpen: ahol és Tehát és egy ilyen kis téglalap területe Ekkor a kis téglalapok oldalai párhuzamosak lesznek az x és az y koordinátatengelyekkel és ezek uniója egyenlő a T- vel Válasszunk ki minden egyes kis téglalapon belül egy tetszőlegesen választott ún kiszemelt helyet:, ahol és Közelítsük a z = f(x, y) kétváltozós függvény kis téglalap feletti térfogatot a következő módon: Ez nem más mint az alapterületű magasságú hasáb térfogata Számítsuk ki ezt térfogatot minden egyes kis téglalap esetén majd adjuk őket össze: ezt az összeget integrál közelítő összegnek vagy röviden csak közelítő összegnek nevezzük A közelítő összeg tehát a V térrész térfogatának egy közelítő meghatározása: Azt várjuk, hogy ha a függvény elegendően sima (például ha folytonos), akkor minél finomabb a felosztás (n és m minél nagyobbak), annál pontosabban közelíti a közelítő összeg a V térrész térfogatát Az integrál fogalmához (illetve a V térrész térfogatának pontos értékéhez) úgy juthatunk el, hogy a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz praktikusan n és m tartanak a végtelenhez Ekkor az közelítő összeg határértékét vizsgáljuk meg abban az esetben, amikor n és m tartanak a végtelenhez, jelben és Tételezzük fel, hogy a V térrész térfogata létezik, ez tehát egy valós, jelen esetben pozitív, szám Adjunk meg egy tetszőlegesen kicsi pozitív valós számot Ha minden számhoz létezik olyan N természetes szám (küszöbszámnak is szokás nevezni), hogy esetén
teljesül, bármilyen kiszemelt helyekkel számított közelítő összeg esetén, akkor azt mondhatjuk, hogy közelítő összeg határértéke létezik és esetén és ez egyenlő a valós számmal, ami nem más mint a V térrész térfogata Ezt szimbolikusan is jelölhetjük: Másképpen is szokás ezt jelölni: ha és Ezt a határértéket, ha létezik, akkor a z = f(x, y) kétváltozós függvény téglalap tartományon vett kettős integráljának nevezzük abban az esetben is, amikor nem kötjük ki az f(x, y) függvényről, hogy nem negatív Lényegében a z = f(x, y) kétváltozós függvényről csak annyit kötünk ki, hogy a téglalap tartományon korlátos legyen (természetesen mindenhol értelmezve van) Ez azt jelenti, hogy létezik olyan pozitív szám amelyre teljesül az feltétel minden esetén Definíció A függvény kettős integrálján a téglalap tartományon értelmezett korlátos z = f(x, y) kétváltozós határértéket értjük, feltéve, hogy létezik Megjegyzés Ha és, vagyis a felosztást minden határon túl finomítjuk, akkor a kis téglalapok és oldalhosszai pedig zérushoz tartanak: Ez a korábbi és összefüggésekből következik Így a kettős integrál definícióját másképpen is (az előzővel egyenértékű módon) is megadhatjuk Definíció A függvény kettős integrálján a téglalap tartományon értelmezett korlátos z = f(x, y) kétváltozós határértéket értjük, feltéve, hogy létezik Sőt még egyszerúbbé tehetjük a fenti definíciót, ha bevezetjük a téglalap átmérőjének fogalmát, ami a legnagyobb mérete a téglalapnak, -vel fogjuk jelölni Ez pontosan a téglalap átlójának hosszát jelenti Definíció A függvény kettős integrálján a téglalap tartományon értelmezett korlátos z = f(x, y) kétváltozós határértéket értjük, feltéve, hogy létezik, ahol a kis téglalap átmérője
Megjegyzés A későbbiek során szükségunk lesz tetszőleges korlátos részhalmaz átmérőjének fogalmára Egy tetszőleges korlátos részhalmaz esetén definiálható a halmaz átmérője, ami röviden a halmaz legnagyobb méretét jelenti, feltéve ha létezik ilyen Van amikor nem létezik ilyen Tekintsünk egy egységnyi sugarú nyílt körlapot: Ez az sík egy nyílt halmaza, ugyanis csak kör belső pontjai tartoznak a halmazhoz a körvonal nem Vegyük a számhalmaz maximális értékét minden pontok esetén, ez a maximum lenne az halmaz átmérője, ha létezne Tudjuk, hogy nem minden valós számokból álló halmaznak létezik maximális eleme, illetve maximuma Tekintsük például a nyílt intervallumot ennek nincs legnagyobb eleme (legkisebb sincs), hiszen az 1 nem a maximum, mert ez nem eleme a nyílt intervallumnak Van azonban sok felső korlátja, sőt ezek között van legkisebb, ezt legkisebb felső korlátnak idegen szóval szuprenumnak nevezzük A lényeg az, bár ezt itt nem igazoljuk, hogy egy felülről korlátos, nem üres számhalmaznak mindig létezik legkisebb felső korlátja Tehát a maximum szerepét a szuprenum veszi át, mert a szuprenum mindig létezik, szemben a maximummal amelyik esetleg nem Az is igaz, hogy egy alulról korlátos, nem üres számhalmaznak mindig létezik legnagyobb alsó korlátja (infinuma) Tehát a fenti számhalmaznak nem létezik maximális értéke (ez azért van mert a körtartomány nyílt) De létezik a felső korlátjai között legkisebb (idegen szóval szuprénum), és ez az érték éppen kettővel egyenlő Tehát: Jordan-féle terület Mielőtt általánosítanánk a kettős integrál fogalmát tetszőleges A tartományra, foglalkozzunk egy kicsit egy tetszőleges korlátos síkbeli halmaz területének definíciójával Nyilvánvaló, hogy egy téglalap területe, jelöljük ezt vel: Egy halmaz korlátos, ha létezik olyan téglalap tartomány amely lefedi t: Külső terület Definíció Legyen adott egy korlátos halmaz, amely nem üres Fedjük le t véges számú téglalappal: ekkor egy pozitív valós számot kapunk: Majd adjuk össze a lefedő téglalapok területeinek összegét, Ha ezután az összes lehetséges lefedést tekintjük, akkor a lefedő téglalapok területeinek összege egy valós számokból álló halmazt eredményez: Ekkor e számhalmaz legnagyobb alsó korlátját (infinumát) az halmaz külső területének nevezzük, jele: Az utóbbi definícióban a legjobb ill "leggazdaságosabb" lefedést szeretnénk megtalálni, feltéve hogy van ilyen Nem mindig létezik ilyen Tekintsünk például egy kört; ezt nem tudjuk véges számú téglalappal úgy lefedni, hogy a lefedő téglalapok területének összege pontosan megegyezzen a kör területével Emiatt a kört lefedő téglalap rendszerekhez rendelt összegeknek nincs minimális értéke (ehhez az értékhez tartozó lefedő rendszer lenne a legjobb lefedő rendszer, de ilyen nincs), de az alsó korlátok között létezik legnagyobb (idegen szóval infinum), és ezt az értéket nevezzük a kör külső területének Megjegyzések: 1 Azért kell, hogy az halmaz korlátos legyen, hogy lefedhető legyen véges számú téglalappal 2 A számhalmaz nem üres hiszen korlátos, tehát a korlátos halmaz
definíciója szerint van az t lefedő téglalap 3 A számhalmaz alulról korlátos, hiszen csupa pozitív számból áll, így egy alsó korlátja például a nulla 4 Egy korlátos (és nem üres) halmaznak létezik külső területe, mert az analízis egy alapvető tétele szerint egy nemüres, alulról korlátos valós számhalmaznak létezik infinuma Belső terület Definíció Legyen adott egy korlátos halmaz, amely nem üres Helyezzünk el ban véges számú olyan téglalapot, amelyek egymásba nem nyúlók (határuk lehet közös, de belső pontjuk nem):, feltéve, hogy tartalmaz egyáltalán téglalapot Majd adjuk össze a téglalapok területeinek összegét, ekkor egy pozitív valós számot kapunk: Ha ezután az összes lehetséges összeget tekintjük, akkor a belső téglalapok területeinek összege egy valós számokból álló halmazt eredményez: Ekkor e számhalmaz legkisebb felső korlátját (szuprénumát) az halmaz belső területének nevezzük, ha pedig nem tartalmaz egyetlen egy téglalapot sem, akkor a belső terület legyen nulla A belső terület jele: Megjegyzés: Egy korlátos halmaz esetén, hasonlóan a külső területhez, a belső terület is mindig létezik Valóban, ha nem tartalmaz egyetlen egy téglalapot sem tartalmaz, akkor a belső területet nulla, így ebben az esetben létezik az belső területe Ha pedig tartalmaz téglalapot, akkor a számhalmaz nem üres, és felülről korlátos hiszen a külső terület egy felső korlátja a belső téglalapokhoz rendelt terület összegének Így az analízis egy alapvető tétele szerint egy nemüres, felülről korlátos valós számhalmaznak létezik szuprénuma, tehát a belső terület is mindig létezik Az is bizonyítható, hogy Azokat a halmazokat fogjuk mérhetőnek nevezni és területet rendelni hozzájuk, amelyek esetén a külső és a belső terület megeggyezik Definíció Egy korlátos halmazt akkor nevezünk mérhetőnek, ha, és ezt a közös értéket az halmaz területének nevezzük, amit val jelölünk: Megjegyzés: Megjegyezzük, hogy egy tartomány pontosan akkor mérhető, ha korlátos és a tartomány határa nulla területű PÉLDA Példa Tekintsünk egy három pontból álló halmazt a síkon: Memutatjuk, hogy ez a halmaz mérhető és a területe nulla A belső terület a definíció alapján nulla, hiszen nem helyezhető el benne téglalap: Vizsgáljuk meg az A halmaz külső területét Ez a három pont lefedhető akár egyetlen egy téglalappal is, de nem ez a lefedés a leggazdaságosabb Sokkal érdemesebb három különböző kis téglalapot venni, és ezekkel külön-külön lefedni a három pontot Sőt ezek a téglalapok lehetnek akár kis négyzetek is a oldalhosszúsággal Ekkor a három négyzet területe: Bármilyen kicsi négyzettől van kisebb olyan négyzet ami lefed egy pontot Így ha a négyzetek oldalait minden határon túl csökkentjük, praktikusan határértéket vesszük, akkor a külső terület nulla lesz:
Más szóval a legnagyobb alsó korlát (infinum) zérus lesz Tehát a külső és a belső terület megegyezik, vagyis A mérhető és a területe nulla: Ezután szeretnénk a kettős integrált nemcsak téglalap tartomány esetén, hanem ettől általánosabb tartományra is definiálni Legyen a tartomány, amin definiálni akarjuk az integrált, korlátos és mérhető Kettős integrál korlátos és mérhető tartományon Az f kétváltozós függvény az A korlátos és mérhető tartományra vonatkozó kettős integrálján az határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Itt az A tartomány egy olyan mérhető halmazokból álló felosztása, amelyek egymásba nem nyúlók (határuk lehet közös, de belső pontjuk nem) és uniójuk az val egyenlő, a résztartomány területe, az átmérője, pedig egy tetszőleges pontja A kettős integrál néhány tulajdonsága:, c állandó; ; Ha és, ekkor ; Ha, ill, akkor, ill Kettős integrál kiszámítása A kettős integrál a 3119, 3120 és 3121 ábrákon látható tartományok esetén az alábbi, ún kétszeres integrálokkal számítható ki: A 3119 ábrán látható téglalap tartomány esetén: 3119 ábra
Tétel Legyen az kétváltozós függvény integrálható az,,, egyenesek által határolt téglalap tartományon (3119 ábra) Ekkor ; (7) feltéve hogy a integrál létezik minden esetén Természetesen az és az szerepe felcserélhető és adott feltételek mellett A fenti feltételek teljesülnek például akkor, ha az téglalap tartományon kétváltozós függvény folytonos a Tétel Legyen az kétváltozós függvény folytonos a téglalap tartományon (3119 ábra) Ekkor Hasonlóan az és az szerepének felcserélésével kimondhatjuk a következő tételt is Tétel Legyen az kétváltozós függvény folytonos a téglalap tartományon (3119 ábra) Ekkor 3120 ábra A 3120 ábrán látható tartományt y-ra nézve normáltartománynak mondjuk, ha a és folytonosak az
intervallumban és teljesül minden esetén Tétel Legyen az kétváltozós függvény integrálható az, egyenesek és a és függvények által határolt normáltartományon (3120 ábra) Ekkor ; feltéve hogy a integrál létezik minden esetén 3121 ábra A 3121 ábrán látható tartományt x-re nézve normáltartománynak mondjuk, ha a és folytonosak az intervallumban és teljesül minden esetén Tétel Bármely normáltartomány korlátos, zárt és mérhető Tétel Legyen az kétváltozós függvény integrálható az, egyenesek és a és függvények által határolt normáltartományon (3121 ábra) Ekkor (8) feltéve hogy a integrál létezik minden esetén
3122 ábra A 3122 ábrán látható tartomány esetén, amikor a tartományt alulról az, felülről az görbe határolja, ; (9) 3123 ábra A 3123 ábrán látható tartomány esetén, amikor a tartományt balról az, jobbról az görbe határolja, (10) A kettős integrál kiszámításánál gyakran előnyös lehet a változók helyett új változókat bevezetni Az (1) integrál kiszámításához alkalmazzuk az helyettesítést Ha ez a folytonosan differenciálható függvénypár kölcsönösen egyértelmű leképezést létesít a T (korlátos és zárt) tartomány és az (u, v) sík tartománya között, akkor (11), (12)
ahol J az ún Jacobi-determináns és (13) Speciális eset, amikor az x és y változók helyett a poláris koordinátarendszer r, változóit vezetjük be az, (14) formulákkal Ekkor, és (15) A (12) és (15) integrálok határainak megállapításához természetesen fel kell írni a tartományt határoló görbék egyenletét 2 HÁRmAS INTEGRÁL Hármas integrál téglatest tartományon Próbáljuk megoldani a következő feladatot Legyen az,,,,, és a síkok által határolt (itt a,b,c,d,e és f valós számok, emelyekre teljesülnek az feltételek) téglatest tartományon értelmezett w = f(x, y, z) háromváltozós függvény sehol sem negatív, azaz minden esetén Legyen ennek a függvénynek a fizikai jelentése az anyag sűrűsége; köztudott, hogy a dimenziója Bár a fizikában a sűrűséget -val szokták jelölni, mi nem használjuk ezt a jelölést Abban az esetben ha az anyag sűrűsége állandó a teljes térfogaton (tehát a test minden pontjában azonos a sűrűség: ahol kostans), akkor könnyen ki tudjuk számítani a test tömegét, nevezetesen, ahol a téglatest térfogata Érdemes lesz bevezetni a téglatest tartományra a jelölést Az első lépés az lesz, hogy a T téglatestet felosztjuk kis téglatestekre úgy, hogy az intervallumot n egyenlő részre, a intervallumot m egyenlő részre, a intervallumot pedig l egyenlő részre osztjuk Ebben az esetben a kis téglatestek hosszai lesznek Legyenek,,,, Így a következő un osztópontokat kapjuk rendre az x, y, és a z tengely mentén:
illetve az ezeknek megfelelő zárt kis részintervallumok: A téglatest tartományra bevezetett felsorolunk: jelölés mintájára a kis téglatestekből néhányat,, Ha mindet meg akarjuk adni, akkor indexes jelölést kell bevezetni a következőképpen: ahol, és Tehát és egy ilyen kis téglatest térfogata Ekkor a kis téglatestek oldallapjai párhuzamosak lesznek az xy, yz és a xz koordináta síkokkal és ezek uniója egyenlő a V- vel Válasszunk ki minden egyes tetszőlegesen választott ún kiszemelt helyet: kis téglatesten belül egy, ahol, és Közelítsük a w = f(x, y, z) háromváltozós függvény (sűrűség függvény) pontbeli értékének a segítségével a kis téglatest tömegét a következő módon: Ez nem más mint az olyan térfogatú téglatest tömege amelynek minden pontjában állandó a sűrűsége Az gondoljuk, hogy ha elég kicsi a tömeget minden egyes térfogat, akkor ez a közelítés elég jó Számítsuk ki ezt a kis téglatest esetén majd adjuk őket össze: ezt az összeget integrál közelítő összegnek vagy röviden csak közelítő összegnek nevezzük A közelítő összeg tehát a V térrész tömegének egy közelítő meghatározása: Azt várjuk, hogy ha a függvény elegendően sima (például ha folytonos), akkor minél finomabb a felosztás (n, m és l minél nagyobbak), annál pontosabban közelíti a közelítő összeg a V térrész tömegét Az integrál fogalmához (illetve a V térrész tömegének pontos értékéhez) úgy juthatunk el, hogy a felosztást minden határon túl finomítjuk, azaz praktikusan n, m és l tartanak a végtelenhez Ekkor az
közelítő összeg határértékét vizsgáljuk meg abban az esetben, amikor n,m és l tartanak a végtelenhez, jelben, és Tételezzük fel, hogy a V térrész tömege létezik, ez tehát egy valós, jelen esetben pozitív, szám Adjunk meg egy tetszőlegesen kicsi pozitív valós számot Ha minden számhoz létezik olyan N természetes szám (küszöbszámnak is szokás nevezni), hogy esetén teljesül, bármilyen kiszemelt helyekkel számított közelítő összeg esetén, akkor azt mondhatjuk, hogy közelítő összeg határértéke létezik, és esetén, és ez egyenlő a valós számmal, ami nem más mint a V térrész tömege Ezt szimbolikusan is jelölhetjük: Másképpen is szokás ezt jelölni: ha,, Ezt a határértéket, ha létezik, akkor a z = f(x, y, z) háromváltozós függvény téglatest tartományon vett hármas integráljának nevezzük abban az esetben is, amikor nem kötjük ki az f(x, y,z) függvényről, hogy nem negatív Lényegében a w = f(x, y, z) háromváltozós függvényről csak annyit kötünk ki, hogy a V téglatest tartományon korlátos legyen (természetesen mindenhol értelmezve van) Ez azt jelenti, hogy létezik olyan pozitív szám amelyre teljesül az feltétel minden esetén Definíció A téglatest tartományon értelmezett korlátos w = f(x, y, z) háromváltozós függvény hármas integrálján a határértéket értjük, feltéve, hogy létezik Megjegyzés: Ha, és vagyis a felosztást minden határon túl finomítjuk, akkor a kis téglalatestek, és oldalhosszai pedig zérushoz tartanak: és Ez a korábbi, és összefüggésekből következik Így a hármas integrál definícióját másképpen is (az előzővel egyenértékű módon) is megadhatjuk Definíció A téglatest tartományon értelmezett korlátos w = f(x, y, z) háromváltozós függvény hármas integrálján a határértéket értjük, feltéve, hogy létezik Sőt még egyszerúbbé tehetjük a fenti definíciót, ha bevezetjük a átmérőjének fogalmát, ami a legnagyobb mérete a téglatestnek, téglatest -vel fogjuk jelölni Ez pontosan a téglatest
testátlójának hosszát jelenti Definíció A y, z) háromváltozós függvény hármas integrálján a téglatest tartományon értelmezett korlátos w = f(x, határértéket értjük, feltéve, hogy létezik ahol a kis téglatest átmérője Megjegyzés: A későbbiek során szükségunk lesz tetszőleges korlátos részhalmaz átmérőjének fogalmára Egy tetszőleges korlátos részhalmaz esetén definiálható a halmaz átmérője, ami röviden a halmaz legnagyobb méretét jelenti, feltéve ha létezik ilyen Van amikor nem létezik ilyen Tekintsünk egy egységnyi sugarú nyílt gömböt: Ez az tér egy nyílt halmaza, ugyanis csak gömb belső pontjai tartoznak a halmazhoz a gömb felülete nem Vegyük a számhalmaz maximális értékét minden pontok esetén, ez a maximum lenne az halmaz átmérője, ha létezne Tudjuk, hogy nem minden valós számokból álló halmaznak létezik maximális eleme, illetve maximuma Tekintsük például a nyílt intervallumot ennek nincs legnagyobb eleme (legkisebb sincs), hiszen az 1 nem a maximum, mert ez nem eleme a nyílt intervallumnak Van azonban sok felső korlátja, sőt ezek között van legkisebb, ezt legkisebb felső korlátnak idegen szóval szuprenumnak nevezzük A lényeg az, bár ezt itt nem igazoljuk, hogy egy felülről korlátos, nem üres számhalmaznak mindig létezik legkisebb felső korlátja Tehát a maximum szerepét a szuprenum veszi át, mert a szuprenum mindig létezik, szemben a maximummal amelyik esetleg nem Az is igaz, hogy egy alulról korlátos, nem üres számhalmaznak mindig létezik legnagyobb alsó korlátja (infinuma) Tehát a fenti szám halmaznak nem létezik maximális értéke (ez azért van mert a gömbtartomány nyílt) De létezik a felső korlátjai között legkisebb (idegen szóval szuprénum), és ez az érték éppen kettővel egyenlő Tehát: Jordan-féle térfogat Mielőtt általánosítanánk a hármas integrál fogalmát tetszőleges A térbeli tartományra, foglalkozzunk egy kicsit egy tetszőleges korlátos térbeli halmaz térfogatának definíciójával Nyilvánvaló, hogy egy téglatest térfogata, jelöljük ezt vel: Egy halmaz korlátos ha létezik olyan téglatest tartomány amely lefedi t: Külső térfogat Definíció Legyen adott egy korlátos halmaz, amely nem üres Fedjük le t véges számú téglatesttel: ekkor egy pozitív valós számot kapunk: Majd adjuk össze a lefedő téglatestek térfogatainak összegét, Ha ezután az összes lehetséges lefedést tekintjük, akkor a lefedő téglatestek térfogatainak összege egy valós számokból álló halmazt eredményez: Ekkor e számhalmaz legnagyobb alsó korlátját (infinumát) az halmaz külső térfogatának nevezzük, jele: Megjegyzések:
1 A számhalmaz nem üres hiszen korlátos, tehát a korlátos halmaz definíciója szerint van az t lefedő téglatest 2 A számhalmaz alulról korlátos, hiszen csupa pozitív számból áll, így egy alsó korlátja például a nulla 3 Egy korlátos (és nem üres) halmaznak létezik külső térfogata, mert az analízis egy alapvető tétele szerint egy nemüres, alulról korlátos valós számhalmaznak létezik infinuma Belső térfogat Definíció Legyen adott egy korlátos halmaz, amely nem üres Helyezzünk el ban véges számú olyan téglatestet, amelyek egymásba nem nyúlók (határuk lehet közös, de belső pontjuk nem):, feltéve, hogy tartalmaz egyáltalán téglatestet Majd adjuk össze a téglatestek térfogatainak összegét, ekkor egy pozitív valós számot kapunk: Ha ezután az összes lehetséges esetet tekintjük, akkor a belső téglatestek térfogatainak összege egy valós számokból álló halmazt eredményez: Ekkor e számhalmaz legkisebb felső korlátját (szuprénumát) az halmaz belső térfogatának nevezzük, ha pedig nem tartalmaz egyetlen egy téglatestet sem, akkor a belső térfogat legyen nulla A belső térfogat jele: Megjegyzés: Egy korlátos halmaz esetén, hasonlóan a külső térfogathozz, a belső térfogat is mindig létezik Valóban, ha nem tartalmaz egyetlen egy téglatestet sem tartalmaz, akkor a belső térfogat nulla, így ebben az esetben létezik az belső térfogata Ha pedig tartalmaz téglatestet, akkor a számhalmaz nem üres, és felülről korlátos hiszen a külső térfogat egy felső korlátja a belső téglalapokhoz rendelt térfogat összegének Így az analízis egy alapvető tétele szerint egy nemüres, felülről korlátos valós számhalmaznak létezik szuprénuma, tehát a belső térfogat is mindig létezik Az is bizonyítható, hogy Azokat a halmazokat fogjuk mérhetőnek nevezni és térfogatot rendelni hoozájuk, amelyek esetén a külső és a belső térfogat megeggyezik Definíció Egy korlátos halmazt akkor nevezünk mérhetőnek, ha, és ezt a közös értéket az halmaz térfogatának nevezzük, amit val jelölünk: Hármas integrál korlátos és mérhető térfogaton Definíció Az f háromváltozós függvény A korlátos mérhető tartományra vonatkozó hármas integrálján az határértéket értjük (feltéve, hogy az létezik és véges) Itt az A térbeli tartomány egy olyan mérhető halmazokból álló felosztása, amelyek egymásba nem nyúlók (határuk lehet közös, de belső pontjuk nem) és uniójuk az val egyenlő, a résztartomány térfogata, az átmérője, pedig egy tetszőleges pontja A továbbiakban a hármas integrál integrálási tartományát inkább V vel fogjuk jelölni az A helyett A hármas integrál kiszámítása
A hármas integrál kiszámítása három határozott integrál egymás utáni kiszámításával történhet Ha a (térbeli) V tartományt alulról a, felülről a felületek, oldalról például a 3122 ábrán vázolt T síkbeli tartomány határgörbéjére emelt, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület határolja, akkor Új változók bevezetése a hármas integrál kiszámításánál is lehetséges Legyen x x(u, v, w),, z z(u, v, w) Ekkor ahol J az ún Jacobi-determináns, és Hengerkoordináták bevezetése esetén Ekkor Gömbi koordináták esetén Itt r a (térbeli) P pont origótól való távolsága vagyis az OP szakasz hossza, az OP szakasznak az (x, y)-síkkal bezárt szöge (a magassági szög), pedig az OP szakasz (x, y) -síkon vett vetületének az x tengely pozitív felével bezárt szöge Ekkor 3 MINTApÉLdÁk Megoldások: láthatók nem láthatók Számítsuk ki az alábbi függvények kettős integrálját a megadott tartományokon: 1 f(x, y) xy,, ;
Itt az integrálás határai állandók (téglalap tartomány esete), ezért az integrálás sorrendje felcserélhető: 2 f(x, y) x sin y,, ; 3 g(x, y) 1,, ; 4,, ; 5 f(x, y) x,, ;
6,, ; 7, ; Megoldás Az integrációs tartomány az körlap (3124 ábra) 3124 ábra Az integrál kiszámításához célszerű polárkoordinátákat bevezetni A (14) szerint, és J = r Az origó középpontú, egységsugarú körvonal polárkoordinátás egyenlete r = 1 Ezeket felhasználva, a (15) alapján 8 f(x, y) 1, ; Megoldás Az integrációs tartomány az azaz
körlap (3125 ábra) 3125 ábra Itt is célszerű polárkoordinátákat bevezetni A körvonal polárkoordinátás egyenlete, azaz Az ábrán látható, hogy és Tehát 9 Számítsuk ki az f(x, y) = xy függvény T tartományra vonatkozó kettős integrálját, ha T az,, és y = 2x görbék (vonalak) által határolt tartomány (3126 ábra) 3126 ábra Megoldás A T tartományt határoló, ill görbék az görbesereg elemei u = 1, ill u = 3 esetére A másik két határoló vonal, az és y = 2x egyenes az egyenessereg két eleme v = 1/2 és v = 2 esetére Vezessünk be tehát új változókat az és y = vx egyenletekkel Innen x és y kifejezhető az u és v új változókkal Így a (11) -nek megfelelő
egyenletek, A Jacobi-determináns: Ezzel a leképezéssel a T tartomány kölcsönösen és egyértelműen képezhető le az (u, v) koordinátarendszerben lévő, téglalapra A kérdéses integrál a (12) szerint: Megjegyezzük, hogy ez az integrál "hagyományos" módon is kiszámítható, csak ekkor a T tartományt alkalmas módon fel kell darabolni Így az integrál a következőképpen számítható: Cseréljük fel az integrálások sorrendjét a következő integrálokban: 10 ; Megoldás Az integrációs tartomány a 3127 ábrán látható 3127 ábra A példaként felírt integrálban először y szerint kell integrálni az "alsó görbétől a felső görbéig", azaz
a parabolától az egyenesig Ez a sorrend jelen esetben csak úgy cserélhető fel, ha a tartományt két részre bontjuk az ábra szerinti módon A csere folytán a résztartományon először a bal oldali parabolaívtől a jobb oldali parabolaívig kell integrálni (x szerint), a résztartományon pedig a bal oldali parabolaívtől az egyenesig Az parabola bal oldali, ill jobb oldali ívének egyenlete ill Így az új integrál: 11 ; Megoldás A tartomány a 3128 ábrán látható 3128 ábra A tartomány bal oldali határa az integrál: görbe, jobb oldali határa az x = e egyenes Az új 12 Megoldás Ha, akkor a 3129 ábrán látható tartományt bal oldalról az, jobb oldalról az görbe határolja 3129 ábra
Így az új integrál: 13 Számítsuk ki az kettős integrált, ha a T tartomány az körlap Megoldás Számítsuk ki előbb az lévő negyed körlap Polárkoordinátákat vezetve be, függvény integráját, ha a tartomány az első síknegyedben A második síknegyedben Itt az integrál Ugyanezt az eredményt kapjuk a harmadik és a negyedik síknegyedben is Az eredeti integrál értéke tehát A szimmetriákból egyébként is következik, hogy mindegyik síknegyedben az integrál értéke ugyanaz Számítsuk ki az alábbi hármas integrálokat: 14, ahol a V tartományt a z = x y, y = x, x = 1, z = 0 felületek zárják közre; Megoldás Először z szerint, majd y szerint, végül x szerint kell integrálni A V tartományt alulról a z = 0 sík, felülről a z = xy felület, oldalról pedig az y = x és x = 1 síkok határolják Ez utóbbi két sík párhuzamos a z tengellyel A z = xy felület (nyeregfelület) a z = 0 síkot az x tengelyben és az y tengelyben metszi A V tartomány z = 0 síkra való vetülete a 3130 ábrán látható Tehát
15, ahol,, ; 16, ha ; Megoldás A V tartomány origó központú, a sugarú gömbtest Célszerű gömbi koordinátákat bevezetni A (23) szerint,,, Ekkor és az integrál: Az integrálás határai állandók, ezért tetszőleges sorrendben lehet integrálni Tehát 17, ahol V az és a z = 1 felületekkel határolt tartomány Megoldás A V tartomány olyan forgáskúptest, amelynek csúcsa az origó, forgástengelye a z tengely, fedőlapja a z = 1 magasságban lévő egységsugarú körlap (középpontja a z tengelyen van) Célszerű hengerkoordinátákat bevezetni,,, Ekkor, a kúpfelület egyenlete, azaz z = r Az integrál:
4 FELAdATOk Alakítsa át az kettős integrált kétszeres integrállá úgy, hogy először y szerint történjen az integrálás, majd fordítva, ha a T tartomány az alábbi: 1 y =, y = 1 + x és y = 0 egyenesek által közrezárt háromszög(lap); 2 félkörlap; 3 és parabolaszelet; 4 görbe íve és az x tengely által közrezárt síkidom 5 Cserélje fel az integrálás sorrendjét az alábbi integrálban: Számítsa ki az alábbi függvények kettős integrálját a megadott tartományokon: 6, T az y = x, y = x + a, y = a és y = 3a egyenesek által határolt paralelogramma; 7 f(x, y) = x,, 8 f(x, y) = x + y, ha T az, x + y = 4, x + y = 12 görbékkel határolt tartomány 9, ahol T az parabola és az egyenes által közrezárt síkrész (p > 0); 10, ha T a, téglalap; 11, ha T az és y = 2 görbék által határolt síkidom; 12, ahol a T tartományt az xy = 1, görbék határolják Polárkoordináták bevezetésével számítsa ki az alábbi függvények kettős integrálját: 13,, félkörlap; 14 f(x, y) = x, körlap; 15 f(x, y) =, körgyűrű;
16,, háromszög(lap); 17,, téglalap Új változók bevezetésével számítsa ki az alábbi kettős integrálokat, ahol a T tartományt a megadott görbék határolják: 18, x + y = a, x + y = b,,, (0 < a < b, ); 19,,, y = x, y = 2x, (x > 0, y > 0); 20,,,, ; Számítsa ki az alábbi hármas integrálokat: 21 ; 22, ha a V tartományt a z = sík, a z = 0 sík és az parabolikus henger zárja közre; 23, ahol V az x + y + z = a (a > 0) sík és a koordinátasíkok által határolt tartomány 24, ha V határai a z = xy, x + y = 1, z = 0 felületek Hengerkoordináták bevezetésével számítsa ki az alábbi hármas integrálokat: 25 ; 26, ahol V az, félgömbtest Gömbi koordináták bevezetésével számítsa ki az alábbi hármas integrálokat: 27 ; 28, ahol V az, félgömbtest; 29, ahol V az,,, nyolcadgömbtest;
30, ahol V az felülettel határolt tartomány Megoldások 1 A T tartomány a 3131 ábrán látható A bal oldali, ill jobb oldali határvonal egyenlete (x -re kifejezve) x =, ill x = Így 2 Az egyenletből a bal-, ill jobb oldali határgörbe egyenlete, ill (3132 ábra) Ezeket felhasználva, 3 Az parabola és az y = 1 metszéspontjainak abszcisszái x = és x = 1 A bal-, ill jobb oldali határgörbe egyenlete, ill, így 4 Itt a bal oldali határgörbe egyenlete, a jobb oldalié (3133 ábra)
5 A T tartomány az körlap jobb oldali fele A jobb oldali körvonal egyenlete Így 6 Az integrációs tartomány a 3134 ábrán vázolt paralelogramma Célszerű előbb x szerint integrálni 7 Az integrálás tartománya az, felső félkörlap A feladat egyszerűbben oldható meg polárkoordináták bevezetésével Elvégezve az, helyettesítést és figyelembe véve, hogy J = r, 8 A tartomány a 3135 ábrán látható
Ez alapján 9 Tekintsük a 3136 ábrát 10 11 A tartomány a 3137 ábrán látható 3137 ábra
3138 ábra A 3138 ábrát felhasználva, 13 A tartomány a 3132 ábrán látható 14 A tartomány egy a/2 sugarú körlap A körvonal polárkoordinátás egyenlete (l a 8 mintapéldát és a 3125 ábrát) Kihasználva, hogy J = r, 15 A tartomány a 3139 ábrán látható
3139 ábra 16 A tartomány a 3140 ábrán látható 3140 ábra Az x = 1 határvonal egyenlete, azaz Az, ill egyenes egyenlete, ill Az integrál: 17 A tartományt a 3141 ábra szerint bontsuk két részre 3141 ábra
Így 18 Az x + y = u, y = vx egyenlőségekkel vezessünk be új változókat (3142 ábra) 3142 ábra Innen, ;, 19 Az xy = u, y = vx egyenlőségekkel vezessünk be új változókat Ekkor, ;, és 20 Az, egyenlőségekkel új változót vezetve be,, ;
21 22 A V térbeli tartományt a 3143 ábrán vázoltuk 3143 ábra Innen leolvashatók az integrálás határai 23 A 3144 ábra alapján 3144 ábra
24 A 3145 ábra alapján 3145 ábra 25 A V (térbeli) tartomány a 3146 ábrán látható 3146 ábra Hengerkoordináták esetén,, és J = r 26 Hengerkoordináták esetén,, z = z, és így az gömbfelület egyenlete, a felső félgömbfelület egyenlete pedig
27 Gömbi koordináták esetén,,, A V tartományt egy origó középpontú, féltéren A (z, x) -síkkal való metszete a 3147 ábrán látható sugarú gömbfelület és egy z tengelyű körkúpfelület zárja közre a 3147 ábra 28 Gömbi koordináták esetén 29 Gömbi koordináták esetén,
30 A felület egyenlete kis átalakítással Innen látszik, hogy M(0;0;1) középpontú, egységsugarú gömbfelületről van szó Vezessünk be új változókat az,, egyenlőségekkel Itt, így 5 A kettős ÉS hármas INTEGRÁL ALkALmAZÁSAI A (x, y) - síkon lévő T tartomány területe (1) Legyen f a T tartományon nemnegatív függvény Jelölje V azt a hengerszerű testet, amelyet alulról a z = 0 sík, felülről a z = f(x, y) felület, oldalról a T határára emelt, a z tengellyel párhuzamos alkotójú hengerfelület zár közre (3148 ábra) 3148 ábra Ennek a hengerszerű testnek a térfogata (2) A 3148 ábrán látható F felületdarab felszíne: (3)
Ha a felület egyenlete vektorosan van megadva módon, akkor (4) A sűrűségű T lemez tömege: (5) Ha a lemez homogén, akkor Ugyanennek a lemeznek az x, ill y tengelyre vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka:, ill (6) súlypontjának koordinátái pedig:, (7) Ugyanennek a lemeznek az x és y tengelyekre, ill origóra vonatkozó másodrendű (tehetetlenségi, inercia) nyomatéka:,, ill (8) A 3148 ábrán vázolt hengerszerű test térfogata: (9) Ha a V térrész sűrűsége, akkor annak tömege: (10) Ha a térrész homogén, akkor Ugyanennek a testnek az (y, z), (x, z), ill (x, y) síkra vonatkozó elsőrendű (statikai) nyomatéka:,, ill, (11) súlypontjának koordinátái pedig:,, (12) Ugyanennek a testnek az x, y, z tengelyekre, ill origóra vonatkozó másodrendű (tehetetlenségi, inercia) nyomatéka:,,, ill (13)
6 MINTApÉLdÁk Megoldások: láthatók nem láthatók Számítsuk ki az alábbi görbékkel határolt tartományok (síkidomok) területét: 1, y = x; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet A tartomány a 3149 ábrán látható 3149 ábra A két görbe metszéspontja az (1; 1) pont A terület az (1) alapján 2, ; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet A tartományt két parabola zárja közre (3150 ábra) 3150 ábra A területet az (1) alapján, a szimmetriát kihasználva, számítjuk ki Célszerű előbb x szerint
integrálni 3 y = ln x, x = 1, y = ; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet Az (1) képletet alkalmazva, célszerű először x szerint integrálni, amint az a 3151 ábrán látható 3151 ábra 4 r = 2,, r és poláris koordináták; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet A 3152 ábrán látható, hogy a tartomány szimmetrikus a tengelyre Ezt a szimmetriát célszerű kihasználni A két görbe (kör és kardioid) metszéspontjainak meghatározására megoldjuk a
egyenletet A szóbajöhető gyökök: és Az (1) kettős integrált polárkoordináták bevezetésével számítjuk ki A r koordináta a körtől (2 -től) a kardioidig változik 5 ; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet Írjuk fel a görbe polárkoordinátás egyenletét: Ez lemniszkáta (363 ábra) A szimmetria miatt elegendő a tartomány első síknegyedben lévő részét kiszámítani, majd ezt néggyel szorozni 6 xy = 1, xy = 8,, ; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet A tartomány a 3152a ábrán látható Vezessünk be új változókat az xy = u, egyenlőségekkel Innen,,
7 ; Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet Vezessünk be polárkoordinátákat A görbe (kör) egyenlete Területe: 8 Megoldás Alkalmazzuk az (1) képletet Ellipszis területéről van szó (3153 ábra) Vezessünk be új változókat (elliptikus koordinátákat) az, egyenlőségekkel Ekkor, és az ellipszis új egyenlete: Területe: Számítsuk ki az alábbi felületekkel határolt testek (hengerszerű testek) térfogatát: 9 z = 1 + x + y, z = 0, x + y = 1, x = 0, y = 0; Megoldás Alkalmazzuk a (2) képletet
3154 ábra A test a 3154 ábrán vázolt tartomány fölött, a z = 0 sík és a sík között van Térfogata a (2) szerint z = f(x, y) = 1 + x + y 10, z = 0,, y = 1; Megoldás Alkalmazzuk a (2) képletet A test a 3155 ábrán látható tartomány fölött, és a paraboloid alatt helyezkedik el 3155 ábra Térfogata (a szimmetriát kihasználva): 11 x + y + z = 2a, z = 0, ; Megoldás Alkalmazzuk a (2) képletet A testet a z = 0, a z = f(x, y) = 2a síkok és az henger zárják közre
Alaptartomány az körlap (3156 ábra) 3156 ábra Célszerű polárkoordinátákat bevezetni Ekkor,, J = r, a felület egyenlete pedig A térfogat: = itt célszerű előbb szerint integrálni = Itt kihasználtuk azt, hogy 12 ; Megoldás Alkalmazzuk a (2) képletet A a sugarú gömb térfogatát kell kiszámítani A szimmetriát kihasználva, a felső félgömb felület alatti (és a z = 0 sík fölötti) test térfogatát számítjuk és azt szorozzuk 2 -vel Az alaptartomány az körlap (3156 ábra) Polárkoordinátákat használva, a térfogat: 13, z = 0, Megoldás Alkalmazzuk a (2) képletet A forgásparaboloid és a z = 0 sík közötti térrész térfogatát kell kiszámítani,
alaptartomány az körlap (3156 ábra) Polárkoordinátákat vezetve be, a térfogat: Számítsuk ki az alábbi felületdarabok felszínét: 14, ha, ; Megoldás Használjuk a (3) képletet Mivel, ezért,, A felszín: Itt azt használtuk ki, hogy értéke a T tartomány területével egyenlő Mivel a tartomány az, körlap, ennek területe 15 z = xy, ha ; Megoldás Alkalmazzuk a (3) képletet Ha, akkor, és így a (3) képlet szerint, polárkoordinátákat vezetve be, 16,,, h állandó; Megoldás Alkalmazzuk a (3) képletet A felület vektorosan van megadva, ezért a (4) képletet fogjuk használni,,
A felszín: Számítsuk ki az alábbi görbékkel határolt homogén síkidomok súlypontjának koordinátáit 17, x + y = 2; Megoldás Először kiszámítjuk a síkidom (lemez) (3157 ábra) tömegét Mivel a lemez homogén, ezért Az (5) képlet szerint a tömeg (jelen esetben terület): A statikai nyomatékokat a (6) képletekkel számítjuk:, A súlypont koordináti a (7) képletekkel:, 18, x = 0, y = 0,, ;
Megoldás Itt egy negyedkörlap (lemez) súlypontját kell meghatározni (3158 ábra) A szimmetria miatt A lemez tömege, azaz területe A görbe egyenlete (felső félkörív!), A (6) képlet szerint A súlypont koordinátái a (7) szerint 19,, y = 0, Megoldás A síkidom a 3159 ábrán látható lemez, amelyet felülről egy ciklois ív határol A szimmetria miatt a súlypont abszcisszája (5) szerint : A lemez tömege, azaz a síkidom területe az Itt alkalmaztuk az helyettesítést Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték a (6) szerint
A súlypont koordinátái: 20 Számítsuk ki az és y = 1 görbék által közrezárt síkidom (lemez) súlypontjának a koordinátáit, ha a) ; b) Megoldás A síkidom a 3155 ábrán látható A szimmetria miatt a súlypont abszcisszája mindkét esetben: a) A lemez tömege : Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték: A súlypont ordinátája: b) A lemez tömege Az x tengelyre vonatkozó statikai nyomaték: A súlypont ordinátája: 21 Számítsuk ki az, homogén félkörlemez koordinátatengelyekre és az origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát Megoldás Alkalmazzuk a (8) képleteket, mellett Célszerű poláris koordinátákat bevezetni,
, Számítsuk ki hármas integrállal az alábbi felületekkel határolt testek térfogatát: 22, z = 0, x = 0, x = 3, y = 0, y = 2; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet A test a, téglalap "fölött" helyezkedik el 23, z = x + y + 2, y = 0, y = 1, x = 0, x = 2; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet A testet (hasábot) alulról ill felülről a ill síkok határolják Az (x, z) sikon lévő oldallapja a 3160 ábrán látható 3160 ábra Alaptartomány a, téglalap A térfogat:
24 z = xy + 10, z = 0, ; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet A test a z = 0 sík és a z = xy + 10 nyeregfelület között helyezkedik el Alaptartomány az körlap Vezessünk be hengerkoordinátákat Ekkor,, z = z, J = r A felület egyenlete: A térfogat: 25, z = 0; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet A testet a z = 0 sík és a 3161 ábrán látható paraboloid határolja A (z, x) - síkkal való metszete a 3161 ábra Hengerkoordinátákat alkalmazva, a térfogat:
26, z = 1; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet A test a a 3162 ábrán látható forgási paraboloid és a z = 1 sík közé esik A (z, x)- síkkal való metszete 3162 ábra A két felület metszetgörbéje az alkalmazva, a térfogat: kör, amely a z = 1 síkon van Hengerkoordinátákat 27 ; Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet Az a sugarú gömb térfogatáról van szó A "felső" félgömb térfogatát számítjuk, majd ezt szorozzuk 2 -vel a) Hengerkoordinátákat használva, a gömbfelület egyenlete: Alaptartomány az origó közepű, a sugarú körlap A térfogat: b) Gömbi koordinátákat használva, A térfogat:,,,
28 Megoldás Alkalmazzuk a (9) képletet Vezessünk be új változókat a következőképpen:,, Ekkor, a felület (ellipszoid) egyenlete pedig r = 1 A térfogat: 29 Számítsuk ki a forgásparaboloid és z = 4 sík által közrezárt homogén test súlypontjának koordinátáit Megoldás Mivel forgástestről van szó (forgástengely a z tengely), ezért a súlypont rajta van a z tengelyen Így A harmadik koordináta ( ) kiszámításához használjuk a (12) képletek közül a harmadikat Hengerkoordinátákat használva, a test tömege a (10) szerint : Az (x, y) - síkra vonatkozó statika nyomaték a (11) szerint: A súlypont koordinátája: 30 Számítsuk ki az,,, homogén nyolcadgömbtest koordinátatengelyekre és az origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát Megoldás A koordinátatengelyekre vonatkozó nyomatékok egyenlők, tehát elegendő az egyiket kiszámítani Számítsuk ki a z tengelyre vonatkozót Gömbi koordinátákat használva, a (13) szerint
Az origóra vonatkozó nyomaték: 7 FELAdATOk Számítsa ki kettős integrállal az alábbi görbékkel határolt tartományok (síkidomok) területét: 1, ; 2 xy = 4, y = x, x = 4; 3 y = sin x, y = cos x, ; 4, ; 5,, x = 4; 6 ; 7, ( ),, ; 8,, y = 0, ; x = ln 5; 9 ; 10, ; 11 y = ax, y = bx,,, ) Számítsa ki kettős integrállal az alábbi felületek által határolt testek térfogatát: 12,, ; 13,,,,, ; 14,,,, ; 15,,,, ; 16, ;
17,, ( ); 18 ; 19, ; 20, ( ) Számítsa ki az alábbi felületdarabok felszínét: 21, ; 22, ; 23, ; 24,, ; 25, ; 26 Számítsa ki az alábbi görbékkel határolt homogén lemezek (síkidomok) súlypontjának koordinátáit: 27,, ; 28,, Számítsa ki az alábbi görbékkel határolt homogén lemezeknek (síkidomoknak) a koordináta tengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát: 29,, ; 30 ; 31,, x = 2y, 2x = y (x > 0, y > 0) Számítsa ki hármas integrállal az alábbi felületek által határolt testek térfogatát: 32,,,,, ; 33,,, ; 34, ; 35,, ; 36 z = xy, z = x + y, x + y = 1, x = 0, y = 0; 37, ; 38, ;
39,,, Számítsa ki az alábbi felületekkel határolt homogén testek súlypontjának koordinátáit: 40,, ; 41 x + y + z = a,,, ; 42,, 43 Számítsa ki a,, egységkocka tömegét, ha a P(x, y, z) pontban a sűrűség: Számítsa ki az alábbi felületekkel határolt homogén testeknek a koordinátatengelyekre vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát: 44,,,,, ; 45,, 46 Számítsa ki az homogén gömbtest origóra vonatkozó tehetetlenségi nyomatékát Megoldások 1 A tartomány a 3163 ábrán látható Területe 2 A 3164 ábrát felhasználva,
3 A 3165 ábra szerint 4 A tartományt egy parabola és egy egyenes határolja (3166 ábra) 5 A 3167 ábra alapján
6 A tartomány a 3168 ábrán látható Vezessünk be (általánosított) polárkoordinátákat az, egyenlőségekkel Ekkor A terület: A tartomány a 3169 ábrán látható Polárkoordinátákat felhasználva, 8 A 3170 ábra alapján, a szimmetriát kihasználva,
9 Polárkoordinátákra áttérve, a görbe egyenlete: Ez egy lemniszkáta (3171 ábra) Területe: 10 A 3172 ábrán látható kardioid és kör közötti síkidom területét kell kiszámítani: 11 Vezessünk be új változókat az y = ux és egyenlőségekkel Innen,,
A négy görbe által közrezárt síkidom (3173 ábra) területe: 12 A z = 0 sík, a z = 10 sík és az parabolikus henger közötti test (3174 ábra) térfogata: 13 Az alaptartomány a, téglalap 14 Alaptartomány a 3175 ábrán vázolt háromszög
15 A test a és felületek között, a, négyzet alaptartomány alatt és fölött helyezkedik el Az y = x síkkal való metszete a 3176 ábrán látható 3176 ábra Térfogata: 16 Alaptartomány a 3177 ábrán látható (a függvény a vonalkázott tartományon van értelmezve) A szimmetriát kihasználva, polárkoordinátákat vezetve be, 17 A 2a sugarú gömbtestnek az a sugarú henger belsejébe eső részének térfogatát kell kiszámítani Polárkoordinátákat bevezetve, 18 Két azonos sugarú henger (test) közös részének térfogatát kell kiszámítani A 3178 ábrán ennek a testnek a felső felét ábrázoltuk
3178 ábra A szimmetriákat kihasználva, 19 Két paraboloid közötti test térfogatát kell kiszámítani Az (x, z) - síkkal való metszete a 3179 ábrán látható 3179 ábra A szimmetriát kihasználva és polárkoordinátákat használva, 20 A gömbtestnek arról a részéről van szó, amely az henger belsejében van A 3180 ábrán ennek a testnek a felső részét ábrázoltuk 3180 ábra Polárkoordinátákat bevezetve,
21 A paraboloid henger belsejébe eső részének felszínét kell kiszámítani,, A felszín: 22 A gömbfelületnek a hengeren belüli részéről van szó,, ; 23 A kúpfelületnek az hengeren belüli részét számítjuk Az alaptartomány a 3181 ábrán látható egységsugarú körlap 3181 ábra,, ; Itt kihasználtuk azt, hogy a tartomány területével egyenlő, amely jelen esetben 24 A parabolikus hengernek (3182b ábra) a 3182a ábrán vázolt tartomány fölötti és alatti részének a felszínét számítjuk
3182a ábra 3182b ábra,,, ; A kérdéses felületdarab a gömbfelületnek az henger belsejébe eső része (Viviani-levél) Felső része a 3180 ábrán látható,, A szimmetriákat kihasználva, 26 A felület olyan gyűrűfelület (tórusz), amely az kör y tengely körüli forgásával keletkezik Alkalmazzuk a (4) képletet: A felszín: 27 A lemez (síkidom) a 3183 ábrán látható
Tömege (területe) az (5) képlettel : A statikai nyomatékok:, A súlypont koordinátái:, 28 A síkidom szimmetrikus az egyenesre, ezért a súlypont ezen az egyenesen van, így (3184 ábra), A súlypont koordindátái: 29 Használjuk a (8) képleteket
A 3185 ábra szerint, 30 A görbe kardioid (a 3172 ábrán a külső görbe) Használjuk a (8) képleteket és vezessünk be poláris koordinátákat A szimmetriát is kihasználva,, 31 A lemez alakja a 3186 ábrán látható
Szimmetrikus az y = x egyenesre, ezért a két tehetetlenségi nyomaték egyenlő Vezessünk be új változókat az xy = u, y = vx egyenletekkel Ekkor,, (l a 38 pont 9 mintapéldáját is) A (8) képletet alkalmazva, 32 A V testet (térrészt) alulról a z = 0 sík, felülről a z = 2xy nyeregfelület, oldalról pedig az x = 0, x = 1, y = 0, y = 2 síkok határolják 33 A test a 3187 ábrán vonalkázott tartomány fölött, a két forgási paraboloid között helyezkedik el 34 A test közös (z) tengelyű forgásparaboloid és forgáskúp között helyezkedik el A (x, z) - síkkal való metszete a 3188 ábrán látható Alaptartomány az körlap Hengerkoordinátákat bevezetve, a térfogat:
35 A gömbtest hengeren belüli részéről van szó A 3180 ábrán egy ilyen test felső fele látható Hengerkoordinátákat használva, A test a z = xy nyeregfelület és a z = x + y sík között, az,, Térfogata: háromszöglap fölött helyezkedik el 37 A két paraboloid közötti térrész térfogatát kell kiszámítani A két paraboloid a z = 2 magasságban, az körben metszi egymást Hengerkoordinátákat használva, 38 A felső félgömbtestnek a paraboloid "belsejében" lévő térfogatát számítjuk Az (x, z) - síkkal való metszete a 3189 ábrán látható 3189 ábra Először hengerkoordinátákat használva számítjuk a térfogatot
Gömbi koordinátákat használva: 39 Vezessünk be új koordinátákat a következő módon:,, Ekkor A felület egyenlete pedig A térfogat: 40 A test a z = 0 sík és a paraboloid között, az henger belsejében van Tömege (térfogata) A statikai nyomatékok a (11) képletek szerint:, (a szimmetria miatt), A súlypont koordinátái:,, 41 Az első térnyolcadban lévő gúla (test) szimmetrikus a z = x = y egyenesre nézve, ezért súlypontjának koordinátái egyenlők Tömege (térfogata): A statikai nyomatékok:
A súlypont koordinátái: 42 A felső félgömbtest súlypontja rajta van a z tengelyen, azaz Tömege: Az statikai nyomaték számításánál használjunk gömbi koordinátákat: A súlypont harmadik koordinátája: 43 Használjuk a 10 képletet: 44 Mindhárom tehetetlenségi nyomaték azonos A (13) képletek szerint: 45 A felső félgömbtest nyomatékáról van szó A (13) képletek szerint, gömbi koordinátákat használva: Hasonlóan látható be, hogy 46 A (13) képlet szerint, gömbi koordinátákat használva: Digitális Egyetem, Copyright Kovács Béla, 2011