Poliomok és egyeletek Jaroslav Zhouf Első rész Lieáris egyeletek A lieáris egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket: ahol a, b valós számok és a + b 0, a 0, lieáris egyeletek hívjuk, az ismeretle Lieáris biom Az a + b kifejezést, ahol a, b valós számok és a 0, lieáris biomak hívjuk Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) + 5 7 +, 5 5 7, b) c) ( ) a) 4 + 8 0 b) 0 5 5 7 0 + 7 0 Egyetle szám sem elégíti ki az egyelőséget c) + 0 + 0 0 Mide valós szám kielégíti az egyelőséget Képlet a lieáris egyelet gyökéek meghatározására AZ a + b 0, a 0, egyeletek potosa egy gyöke va, kokréta az b a
4 Külöböző feladatok Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) +, 4 5 5 b), 4 5 c) ( ) Feladat Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: ( ) 5( + ) + ( 6 )( + ) ( ) + ( ) Feladat Egy osztályterembe padok vaak Ha az utolsó pad kivételével mide padhoz 7 diák ül, akkor az utolsó padhoz csak diák fog üli Ha 6 diák ül mide padhoz, diákak em fog juti hely Háy diák va a terembe? Második rész Másodfokú egyeletek Két lieáris biom szorzatakét felírt egyeletek A következő formájú egyeletek: ( a + b)( c + d ) 0, ahol a, b, c, d valós számok és a 0, c 0, két lieáris biom szorzatakét vaak felírva Az ilye egyeletek megoldásáál azt a téyt haszáljuk ki, hogy két kifejezés szorzata akkor és csakis akkor 0, ha legalább az egyik szorzótéyező 0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + 0 Az szám akkor és csakis akkor az egyelet megoldása, ha 0 vagy + 0, azaz
vagy A megadott egyelet gyökei a és Egyeletek, amik átalakíthatóak két lieáris biom szorzatává Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 9 + ( )( ) ( + )( ) 0 + + 0, Megjegyzés A több lieáris biom szorzatakét felírt egyeletek hasoló módo oldhatók meg, például: 9 6 ( ) 0 4 4 4 + ( )( + ) 0,,, 4 8 8 Egyelet létrehozása a két megadott gyöke alapjá Itt visszafelé fogjuk haszáli azt az eljárást, amit a következő formájú egyeletek megoldására haszáltuk: ( a + b)( c + d ) 0 Továbbá, ha adott két valós szám,,, ezek a következő egyelet gyökeit adják: a 0, a 0 Példa Készítsük olya egyeletet, amiek a gyökei a következők: a),, b) 4 a) A megoldás a következő egyelet:
( ) a 0, a 0, a + 6 0, a 0 Ha az melletti együtthatót eljelöljük b-vel, és -6a t c-vel, akkor a következő egyeletet kapjuk: a + b + c 0, a 0 b) Hasolóa ( ) a 4 0, a 0, a 8 + 6 0, a 0 Ha a következő jelölést haszáljuk: 8a b, 6a c, akkor a következő egyeletet kapjuk a + b + c 0, a 0 4 Másodfokú egyeletek defiíciója A következő formájú egyeleteket, a + b + c 0, ahol a, b, c valós számok és a 0, másodfokú egyeletek hívjuk, az ismeretle Az a kifejezést másodfokú tagak hívjuk, a b kifejezést lieáris tagak és c-t szabad tagak 5 Másodfokú triom Az a + b + c kifejezést, ahol a, b c valós számok és a 0, másodfokú triomak hívjuk 6 Két speciális másodfokú egyelet c0eseté: Ebbe az esetbe, az egyeletük a következő: a + b 0, a 0 Ez a téyezőkre botás segítségével a következő módo oldható meg: a + b 0 b Az egyelet gyökei: 0, a 4 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 6 0 0 0,
b0eseté: Ebbe az esetbe az egyeletük a következő: a + c 0, a 0, c a, a 0 c Ha < 0, akkor az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá a c Ha 0 a c, akkor az egyelet gyökei a következők: a, c a 5 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) + 9 0, b) 8 0 a) Eek az egyeletek ics megoldása a valós számok halmazá b) 6, 6 7 A ormált másodfokú egyeletek A következő egyelet: a + b + c 0, a 0, átalakítható az a 0 együtthatóval törtéő osztással a ormált formába: b c + + 0 a a b c Ha a következő jelölést haszáljuk: p, q, akkor megkapjuk a ormált formát: a a + p + q 0 8 A másodfokú egyelet gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a másodfokú egyelet a ormált formájába va felírva, és a gyökei,, akkor az + p + q, ( ) + p + q + + egyelőség lesz igaz A midkét oldalo lévő együtthatók összehasolításával megkapjuk az
úgyevezett kapcsolatot a ormált másodfokú egyelet gyökei és együtthatói között (Vieta-formula, Vieta-gyöktétele) + p, q Ha a másodfokú egyelet em a ormált formájába va felírva, akkor a következők az összefüggések: b + a, c a 9 Vieta-formula felhaszálása a másodfokú egyeletek megoldására Először átalakítjuk az a + b + c 0 egyeletet a ormált formájába: + p + q 0 Aztá megpróbáljuk meghatározi az, számokat, amelyekre igaz, hogy + p, q Az, számok az egyelet megoldásai 6 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) b) + 8 0, 4 + 4 0 a) Itt a következő egyeleteket kell megoldauk: +, 8 A két gyök:, 4 b) Itt a következő egyeleteket kell megoldauk: + 4, 4 A két gyök: 0 Külöböző másodfokú egyeletek Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: a) + + 0, b) + 9 8 0, c) 4 + 9 0 Másodfokú triomok lieáris biomok szorzatává botásáak alkalmazása
A másodfokú triomok két lieáris biom szorzatává botásáak egyik alkalmazása a törtek egyszerűsítése 7 Példa Határozzuk meg az összes olya számot, amelyre a következő tört értelmezve va, és egyszerűsítsük is azt: + 7 + 6 5 + + A tört azokra az -ekre ics értelmezve, ahol + 5 + 0 Hogy megtaláljuk -et, végigmegyük a fet említett eljáráso: 5 +,, A tört mide valós számra értelmezve va, a - és számok kivételével Ezutá téyezőkre botjuk a evezőt: + 5 + ( + ) + A számláló téyezőkre botása hasolóa megoldható: + 7 + 6 + + 6 Így a következő kifejezést kapjuk: ( + )( + 6) + 7 + 6 + 6 + 6 + 5 + + ( + ) + + Több feladat a téyezőkre botással kapcsolatba Feladat Keressük meg az összes olya számot, amelyre értelmezve vaak a következő törtek, és egyszerűsítsük is a törteket: a) 4 + 7, 6 b) + 7 5 +6 ( ) Feladat Oldjuk meg a következőket a valós számok halmazá: 5 4 a) + + 5 0, b) ( ) ( ) ( ) 4 + 5 4 + 4 4 5 0
4 Feladat Keressük meg az összes olya p valós számot, amelyre a következő egyelet két gyökéek külöbsége 6: p + p 9 0 5 Feladat Botsuk téyezőkre a következő triomokat: a) + 4, b) 4 + 40, 4 c) 6 + 6 6 Feladat Határozzuk meg az összes olya számot, amelyre a következő tört értelmezve va, és + egyszerűsítsük is a törtet: + 7 Feladat Keressük meg az összes olya számot, amelyre értelmezve vaak a következő törtek, és egyszerűsítsük is a kifejezéseket: a) + + + +, b) + 0 + 6 + 5 8 Feladat Keressük meg az összes olya p valós számot, amelyre az p + 0 0 egyeletek megoldása lesz az 9 Feladat Egy autóak 08 km-es távolságot kell megteie Ha órákét km rel hosszabb távolságot tesz meg, akkor félórával hamarabb ott lesz Mekkora az autó sebessége? 0 Feladat Három egymást követő páratla szám égyzetéek az összege 55 Találjuk meg a számokat! Másodfokú egyeletek megoldása a teljes égyzetté alakítás módszerével 8 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + 0 6 A teljes égyzetté alakítás módszerét haszáljuk: + 6 0
+ 0 + + 0 4 4 4 49 + 0 6 7 7 + + + 0 4 4 5 ( ) + 0 5, A feti eljárás az egyelet ormált formájába törtéő átalakításából és egy lieáris biom teljes égyzetté alakításából áll 9 Példa Oldjuk meg a következő egyeleteket a teljes égyzetté alakítás módszerével: a) 9 + + 4 0, b) + 4 0 a) 4 4 + + 0 9 + 0 b) + 0 + 0 Az egyelet baloldala mide valós szám eseté pozitív lesz, de a jobboldal 0 Ezért az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá teljes égyzetté alakítás módszerével: a) b) + 0 + + 0
4 Képlet az általáos másodfokú egyelet gyökeire (a másodfokú megoldóképlet) Az előző fejezet eljárását fogjuk haszáli, hogy megoldjuk az általáos másodfokú egyeletet: a + b + c 0, a 0 Először, átalakítjuk az egyeletet az ormált formájába: b c + + 0 a a b Aztá kiegészítjük a + biomot egy lieáris biom égyzetévé és mit másodfokú a egyeletet megoldjuk a lieáris tag élkül: b b b c + + + 0 a a a a b b 4ac + a 4a A 4a evező pozitív és az utolsó egyelőség baloldala em-egatív Az egyeletek akkor és csakis akkor va legalább egy megoldása, ha b 4ac 0 Így, ha b 4ac 0, folytathatjuk a megadott általáos másodfokú egyelet megoldását: b b 4ac + 0 a a b b 4ac b b 4ac + + + 0 a a a a + 4 a b b ac b b 4ac a Ezt a következő rövidebb formába szoktuk felíri:, ± a b b 4ac A másodfokú egyelet megoldása a b 4ac kifejezés előjelétől függ, amit diszkrimiásak hívuk és a következő módo jelölük: D b 4ac Foglaljuk össze, amit felfedeztük: Az a + b + c 0, a 0 egyeletek icse valós b gyöke akkor és csakis akkor ha D < 0, a valós gyökei akkor és csakis a b akkor ha D 0 (azt modjuk, hogy egy kétszeres gyök), vagy két külöböző, a, ± a b b 4a c gyöke va akkor és csakis akkor, ha D > 0
0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletek a valós számok halmazá a másodfokú megoldóképletet haszálva: a) + 4, b) 6 8 + 0, c) + 8 + 5 0 a) b), D ( 4 ) 4 6 > 0 4 ± 6 4 ± 6 + ± D 8 4 6 0 8 6 4 c) D 8 4 5 56 < 0 Eek az egyeletek icse megoldása a valós számok halmazá Feladat + 4 Keressük meg a következő kifejezés értelmezési tartomáyát: + + 5 + Feladat Bizoyítsuk be, hogy ameyibe két szám összege p, a szorzatuk pedig q, akkor igaz, hogy: 4q p 5 A másodfokú egyelet gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a + b + c 0 egy másodfokú egyelet, ahol a 0, akkor a diszkrimiása D b 4ac 0, míg a gyökei, b± D, akkor igaz, hogy a b+ D b D + + b a a a, ( 4 ) b+ D b D b D b b ac c a a 4a 4a a Ezeket az összefüggéseket a gyökök és az együtthatók között Vieta-formuláak evezik
Példa Keressük meg, hogy milye a, b, c, a 0 a + b + c 0 egyelet gyökei a) egymás elletettjei, egymás reciprokai valós számok eseté igaz, hogy az a) Az egyeletek valódi gyökei vaak, ezért b 4ac 0 Az, egymás elletettjei, b ezért 0 + és így b 0 Így 4ac 0 a, azaz ac 0 Fordítva, ha b 0 és ac 0, akkor az egyeletek két valódi gyöke va, amik egymás elletettjei Így az egyelet gyökei akkor és csakis akkor egymás elletettjei, ha b 0 és ac 0 b) Hasolóa, b 4ac 0 Az egyelőség igaz, ha a gyökök egymás reciprokai, c így vagy másképpe a c Ezért b 4ac b 4a 0 Az egyeletek a akkor és csakis akkor egymás reciprokai a megoldásai, ha a c és b 4a 0 Példa Adott az 7 + 80 0 egyelet A gyökök kiszámítása élkül határozzuk meg azt a másodfokú egyeletet, amiek a gyökei a reciprokai a megadott egyelet gyökeiek Ha, a megadott egyelet megoldásai és ', ' az új egyelet megoldásai, akkor ' ', Mivel + 7 és 80 a megadott egyelet eseté, az új egyeletre a következők igazak: ' ' + 7 + +, 80 ' ' 80 Az új egyelet így a következő formájú: 7 + 0, 80 80 80 7 + 0 4 Feladat Adott az a + b + c 0, a 0 egyelet A gyökök kiszámítása élkül találjuk meg azt a másodfokú egyeletet, amiek a gyökei a megadott egyelet gyökeiek a égyzetei 5 Feladat Keressük meg az összes olya m valós számot, amelyre a következő egyeletek két valós gyöke va, és az egyik kétszer akkora, mit a másik
9 8m 8m+ 6 0 6 Feladat Az + p + q 0 egyelet gyökei p és q Keressük meg az összes olya p, q számot, ami kielégíti ezeket a feltételeket 7 Feladat Keressük meg az összes olya valós számot, amelyre a következő egyeletekek va közös gyökük m+ + 0 4 9m + 6 0 Harmadik rész Magasabb fokú poliomok és poliom egyeletek A poliom egyelet defiíciója A következő formájú egyeleteket, a + a + + a+ a 0, ahol a 0, a,, a, a, valós számok, pedig egy egész szám, poliom egyeletek 0 hívjuk, az ismeretle Az szám a poliom egyelet foka Speciális esetei a lieáris egyeletek: a + b 0, a 0, másodfokú egyeletek: a + b + c 0, a 0 és harmadfokú egyeletek a + b + c + d 0, a 0 0 -ed fokú poliomok Azt a következő alakú poliomot, a + a + + a+ a, 0 ahol,,,, a valós számok, pedig egy természetes szám és a 0, -ed fokú a a a 0 poliomak hívjuk Poliomok osztása A poliomok osztása ugyaúgy működik, mit az egész számok osztása Példa Végezzük el a két poliom osztását: 4 ( 8 + 6 7 ):( + ), ( 4 9 6 0 : 5 + + + )
8 + 6 7 : + 5 4 + 4 5 4 7 + 5 5 0 + + + 0 Így is felírhatjuk: 4 8 + 6 7 5 + Az osztást bármely valós szám eseté elvégezhetjük, amire igaz, hogy + 0, azaz és kivételével mide valós szám eseté Ha az eljárást ebbe a formába írjuk fel: 4 8 + 6 7 5 +, ez az egyelőség igaz lesz Így is felírhatjuk:, eseté is 4 9 6 0 : 5 + + + + + 5 9 + 6 5 4 6 + + 0 6 + 4 0 5 0 + 0 + 5 0 5 5 4 9 + 6 + 0 5 + + 5+ + 5 +5 Az osztást bármely valós szám eseté elvégezhetjük, amire igaz, hogy + 5 0, azaz mide valós szám eseté, ugyais a + 5 0 egyelet diszkrimiása egatív Az eljárást a következő szorzat formájába is felírhatjuk: ami mide valós szám eseté igaz lesz 9 4 + 6 + 0 + + 5 + 5 5, Tétel A P és Q poliomokhoz találhatuk egy R és S poliomot úgy, hogy P S R + Q Q Ez az egyelőség mide valós számra igaz, ahol Q 0, és az S poliom foka kisebb, mit a Q poliomé
Ezt az egyelőséget is felírhatjuk szorzat formájába: P R Q + S, de ez az egyelőség mide valós szám eseté igaz Feladat Végezzük el a következő poliomok osztását, és írjuk fel a műveleteket szorzat formájába is: ( 8 7 ) : ( + ) 4 ( 9 7 ):( 6 + 5 ) ( + 9 + 4 8 ) : ( 4 + ) -ed fokú poliom egyeletek gyökei Mide olya egyeletek, ami a következő formába írható fel, a + a + + a+ a 0, 0, 0 legfeljebb valós gyöke va Mit a másodfokú egyeletek megoldásából tudjuk, az elsőfokú kivételével bármely poliom egyeletek lehet több megegyező gyöke Ekkor azt modjuk, hogy többszörös gyöke va, illetve a gyök többszörösségi fokáról beszélük Az 0 gyök többszörösségi foka akkor és csakis akkor k, ha az a + a + + a+ a poliom az 0 0 biom k hatváyával osztható, de a ( k + ) hatváyával már em osztható a Példa A következő egyeletek: + 0 gyöke háromszoros, 0 gyöke kétszeres (vagy ill többszörösségi fokkal redelkezek), gyöke pedig egyszerű Poliom egyeletek gyökei és együtthatói közötti kapcsolat Ha a következő egyelet: a + a + + a+ a 0, 0, 0 gyökei az,,,, (egyesek közülük megegyezhetek), téyezőkre bothatjuk a következő formába: a ( )( )( )( ) 0 Ha az egyelet baloldalá található szorzatot kifejtjük, akkor a következő alakot kapjuk: + + ( + + + ) + + ( ) a + + 0 a A poliom egyelet együtthatói és gyökei közötti kapcsolatot az egyelet két eltérő alakjáak összehasolításával kapjuk: a + + +, a
a a 0 ( a ) a + + +, Poliom egyeletek megoldása A lieáris és másodfokú egyeletek gyökeire voatkozó képleteket az előző fejezetekbe vezettük le Hasolóa vaak képletek a harmad- és egyedfokú egyeletek gyökeire is De ezek agyo boyolultak, ezért em fogjuk bemutati ezeket itt Másrészről, em lehetséges uiverzális képleteket gyártai a magasabb fokú egyeletekhez Ezekek az egyeletekek csak speciális formáihoz vaak megoldóképletek Éppe ezért, lehetetle megoldai egy tetszőleges poliom egyeletet éháy képlet alkalmazásával Itt meg fogjuk ézi azt az eljárást, ami alkalmas éháy magasabb fokú poliom egyelet megoldására Ez legalább az egyik gyök meghatározásá és az egyelet fokáak csökketésé alapul A következő tételt fogjuk haszáli Tétel Ha a következő egyelet egyik gyöke: a + a + + a+ a 0, 0, akkor 0 a ( ) a + a + + a+ a b + + b+ b 0, 0 0 b 0 A megadott egyelet többi gyökét a következő egyelet megoldásával találhatjuk meg: b + + b + b 0, b 0 0 Folytathatjuk ezt az eljárást, hogy megtaláljuk a megadott egyelet többi megoldását is Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 6 6 0 + Behelyettesítük helyére pár értéket az egyelet bal oldalá Ez alkalommal köyű megláti, hogy az egyelet egyik megoldása Így Az 6 6 p + + +q + p + q poliomot az 6 + 6 poliom -gyel törtéő osztásával vagy a 6 + 6 poliom és a következő poliom együtthatóiak összehasolításával kapjuk: + p + q + p + q p q Ebből következik, hogy p 6, q p, q 6 vagy p 5, q 6 Így, 6 + 6 5 + 6
Az egyelet gyökei:,, 4 Példa Oldjuk meg az egyeletet a valós számok halmazá: 5 4 6 0 6 4 0 + + Az egyelet, gyökeit megtalálhatjuk, ha ezeket az értékeket helyettesítjük be helyére Így felírhatjuk a következőt: + + + + + + 5 4 6 0 6 4 p q r 5 4 + p+ + p+ q 6 + 6p+ q + r + 6q + r 6 r Így következik, hogy p +, p+ q 6 6, 6p+ q + r 0, 6q + r 6, 6r 4 és így p, q, r 4 Most már csak a következő egyelet megoldása marad hátra: + 4 0 Újra rájöhetük, hogy az egy megoldás, ezért: s t s t s + 4 + + + + t Így következik, hogy s, t s, t 4 vagy s 0, t Utoljára már csak az + 0 egyeletet kell megoldauk, amiek icseek valós gyökei Végül összefoglaljuk, hogy az egyelet gyökei az, 5 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + 0 Téyezőkre bothatjuk a harmadfokú poliomot az egyelet bal oldalá: ( )( ) ( )( 5 ) + + + + + + + + + + Az egyelet egyik gyöke az Ezutá, oldjuk meg a következő egyeletet 5 + 0 a másodfokú megoldóképlet segítségével: 5± 5 4, Az egyelet gyökei:,, Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá úgy, hogy először
meghatározuk éháyat a gyökeik közül: 4 0, 4 4 + + 4 4 0, 4 7 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá a poliomok egy megfelelő téyezőkre botásával: + 0, + + + 0, 6 0 Egész együtthatójú poliom egyeletek racioális gyökei Eddig a poliom egyeletek megoldását egy vagy több gyökük meghatározásával kezdtük Amikor megtaláltuk ezeket, akkor lecsökketettük velük a poliom fokát, és folytattuk tovább az előbbi eljárást Megköyítheti a gyökök keresését, ha kokréta tudjuk, hogy milye számok halmazá keressük a gyököket A következő tételt fogjuk haszáli Tétel Ha a következő poliom egyeletek, a + a + + a+ a 0, a 0, 0 r ahol a, a,, a, a egész számok, va egy racioális gyöke, ahol r és s számok 0 s relatív prímek, akkor az r szám osztója a 0 ak és az s szám osztója a ek Ez a tétel lehetővé teszi számukra, hogy a megadott poliom egyelet racioális gyökeit is megtaláljuk Más lehetséges gyökök a valós számok halmazából már az irracioális számok közül kerülek ki 6 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 4 7 7 0 + + osztói a következők: ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ±, míg osztói: ± Ezért az egyelet 4 6 lehetséges racioális gyökei a következő számok: ±, ±, ±, ±, ±, ± azaz ±, ±, ±, ± 4, ± 6, ± Ha behelyettesítjük ezeket az értékeket helyére a megadott egyelet bal oldalá, akkor azt találjuk, hogy, 4 az egyelet gyökei Így felírhatjuk, hogy: ( 7) ( 7 ) ( 7 ) ( 4)( ) 4 7 + 7 + 4 + p + q 7 + + p + q 4 + p + p+ q + + q q + q +
Ezért a megadott egyelet gyökei:, 4 és ics több gyöke a valós számok halmazá 7 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: 7 6 + + + 0 6 Az egyelet lehetséges racioális gyökei a következők: ±, ±, ±, ±, ±, ±, ±, 6 ±, azaz ±, ±, ±, ± 6, ±, ± Ha kipróbáljuk ezeket a számokat mid, akkor azt találjuk, hogy az egyelet gyökei az,, 4 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: 7 + 7 0, 4 6 + 9 0 5 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá: + +, 8 Több ismeretlees lieáris és másodfokú egyeletredszerek 8 Példa Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: + y 5 y 5 Kifejezzük, hogy y 5 a második egyeletből és behelyettesítjük az első egyeletbe: ( ) + 5 5 0 0 0 0, A második egyeletből a következőket kapjuk: y 5 5, y 5 4
Miutá kipróbáljuk, azt kapjuk, hogy a megadott redszerek két megoldása va: 0, y 5 és, y 4 9 Példa Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá: + y 5 + y + 8 8y 7 0 Kivojuk a második egyeletből az elsőt, és ezt kapjuk: 8 8y 7 5 y + Ezt behelyettesítjük az első egyeletbe A megadott egyeletredszerek két megoldása va:, y és, y 4 4 6 Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszereket a valós számok halmazá: y + + y + 0 + y 8 ( ) + ( y ) ( ) + ( y ) y z y + z 4 + y + z 0 Behelyettesítés Néháy magasabb fokú egyeletet megoldhatuk a behelyettesítés módszerével 0 Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: Haszáljuk az alakítja át: y + 0 4 behelyettesítést! Ez a megadott egyeletet a következő egyeletté y y 0 +, y y 0, amiek a gyökei y, y Így a megadott egyelet gyökei:,,, 4
Példa Oldjuk meg a következő egyeletet a valós számok halmazá: + Az 0, eseté haszáljuk az következő egyeletté alakítja át: amiek a gyökei: y, y Ez a következő egyelethez vezet: y behelyettesítést! Ez a megadott egyeletet a y +, y y y + 0, y + y 0,, amiek a gyöke az, valamit a következő egyelethez:, amiek a gyöke az Így a megadott egyelet gyökei:, 7 Feladat Oldjuk meg a következő egyeleteket a valós számok halmazá a behelyettesítés módszerét haszálva: + 7 4 8 0, + +, + 4 0, + + + 0 8 Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszereket a valós számok halmazá behelyettesítést haszálva:
( ) ( y + ) y + ( y + ) y + + y + + y ( + y) 44 Negyedik rész Több boyolult feladat 4 Feladat Mely c valós számok eseté lesz a következő egyeletek csak valós megoldása a valós számok halmazá: + c + c 0? 4 Feladat Mely p valós számok eseté lesz a következő egyeletredszerek: + p 6 + + 4p 0 legalább egy megoldása a valós számok halmazá? 4 Feladat Keressük meg, hogy mely a valós számok eseté lesz következő egyeletredszerek: + y z+ + y z + 4 + y z + a megoldása a valós számok halmazá, és oldjuk is meg! 44 Feladat Keressük meg, hogy mely p valós számok eseté lesz az + p + p p+ egyeletek három külöböző valós gyöke:, és amelyekre igaz 45 Feladat Bizoyítsuk be, hogy az 996 + r + 995 0 egyeletek mide r valós paraméter eseté maimum egy egész gyöke lesz 46 Feladat Keressük meg azokat a p valós számokat, amelyekre az + 4p + 5p + 6p 6 0 egyeletek két külöböző, gyöke lesz, és amelyekre az + összeg a lehető
legkisebb 47 Feladat Oldjuk meg a következő egyeletredszert a valós számok halmazá! ( + )( y + ) + 4y 0 y + + 0 + y + 48 Feladat Keressük meg az összes olya P poliomot, amelyre mide valós értéke eseté igaz lesz a egyelet ( ) 8 + ( ) P P 49 Feladat Keressük meg az összes olya P, Q poliomot, amelyekre mide valós értéke eseté igaz lesz a egyelet ( + ) 4 ( ) Q P 40 Feladat Keressük meg a szorzat eredméyét! + 99 + 00 + + + + 99 + 00 4 Feladat Keressük meg az S összeg értékét, ha az a következő poliom együtthatóiak összege: ( + ) ( + ) 988 989 F 4 Feladat Keressük meg az összes olya F poliomot, ami kielégíti a következőket: F + + 7 +, a) 7 5 b) F + 8 + 6 4, F + F + 7 c) 4 Feladat Keressük meg a következő poliom 9 7 8 4 + + + + + osztási maradékát, ha az osztó: a), b)! 44 Feladat Határozzuk meg azt a lehető legkisebb fokú F poliomot, ami az ( ) és ( ) kifejezésekkel törtéő osztás eseté redre, illetve maradékot ad 45 Feladat Keressük meg azt az természetes számot, amire az + ( ) + ( ) ( + + ) F G poliom osztható a következő kifejezéssel:
46 Feladat Tegyük fel hogy a következő egyelet két gyökéek összege! 7 + d 0 Határozzuk meg d összes lehetséges értékét és az egyelet gyökeit is! 47 Feladat Tegyük fel, hogy az + p + q 0 egyelet,, gyökei kielégítik a következő összefüggést: + Milye feltételeket kell a p, q együtthatókak kielégíteiük? 48 Feladat Határozzuk meg az összes olya a, b, p, q valós számokat, úgy, hogy igaz legye a következő: 0 0 ( ) ( + ) ( + + ) a b p q 0 Ötödik rész Válaszok Feladat: a), b) icse megoldása, c) mide valós szám Feladat: Feladat: 4 diák Feladat: a),, b), 8, c) Feladat: a) 4,,, b), ±,, 7 + ( Feladat: a) ( ) (,,,, b), 5, + ) p+ 4 Feladat: meete - + 6 p p, 6,, 6, valamit p, aztá p 4p 0, p 0 vagy p 4 9 5 Feladat: a) ( + 7)( ) ( p 6 4 6, b) ( )( ) ( + )( )( + )( ) 5 8 5 5 8 8, c) 4 6 4 9 + 6 + + + 6 Feladat: + + 4 7 Feladat: a) 8 Feladat: p 7,, ± ( ) 9 Feladat: meete - 0, ±, b) ( 5 )( + )( ),, 5, vt 08, v + t 08, t t 6 0, t 9 óra
0 Feladat: meete - + + + + 4 55 A három egymást követő páratla szám az 5, 7, 9 Feladat: a), b) 5, + 5 Feladat:,, ( + ), Feladat: Ötlet - a p, q számok az p + q 0 egyelet gyökei ' ' b c b ac ' ' c 4 Feladat: + + ( + ) a,, a a a b ac c a kért egyelet a következő: + 0, azaz a ( b ac) + c 0 a a 6 8m 5 Feladat: meete -, + m,, 9 eredméy: m, m 6 Feladat: p q 0 vagy p, q 7 Feladat: m, a közös gyök az 4 Feladat: a) ( 8 7 ):( + ) 4 + 6 9,, 8 7 4 + 6 9 + mide valós számra, vagy b) 9 7 6 8 6 + 5 6 + 5, 5,, 4 4 vagy 4 9 7 ( 4)( 6 + 5) ( 6 8) mide valós számra 4 4 ( + 9 + 8 ) : ( 4 + ) + 5 + + 8,, + 9 + 4 8 + 5 + + 8 4+ mide valós számra vagy Feladat: a),, b),,,4, c) 6 + 0, Feladat: a) ( + )( + )( ) 0, b) c) ( + ) + + + 0 4 Feladat: a),,, b), 5 Feladat: a),,, b) 4, 5,,4 ± 5 6 Feladat: a) ( 4,4+ ), ( + ) 4,4, b) 7 Feladat: a) 4,,,4, b), c), 8 Feladat: a) ics megoldás, b) ( ) 6, 6, 6,6 4 Feladat: meete - ( )( c) 4 Feladat: p 0 vagy p vagy p 0,,,, c) (,0,), 8 5,, ± 7, d), ± + + 0, eredméy: c vagy 4 Feladat: 8, az egyeletredszer megoldása [, y, z] [ p,, p], ahol p egy paraméter a valós számok halmazá c 4 a [, y, z] [, p, p] vagy
44 Feladat: meete ha a Vieta-formulát haszáljuk, az eredméy: p, 4,, 45 Feladat: ötlete ha a, b, c a gyökök, akkor a+ b + c 996 és abc 995 46 Feladat: meete haszáljuk a Vieta-formulát és a következő egyelőséget + +, eredméy: p, + kapjuk: 6 47 Feladat: meete haszáljuk a következő behelyettesítést: u +, y v y +, megoldások: ( y, ) ( + 8, + ), ( y, ) ( + 8, ), ( y, ) ( 8, + ), ( y, ) ( 8, ), (, ) ( +,+ ) ( y, ) ( +, 8), ( y, ) (,+ 8 ), ( y, ) (, 8) y 8, 4 48 Feladat: Ötlet a poliom foka legalább, eredméy: P + vagy 4 7 P a 4 + 4 7, a egy paraméter a valós számok halmazá 49 Feladat: A égy megoldás: P + és Q +, P és + Q + 4 +, P és Q + 4 98 00 40 Feladat: + + + + + S F 4 Feladat: 4 Feladat: a) + F 4 Feladat: a) 6, b) 6 Q + 4 +, P és F, b) em létezik ilye poliom mivel ( + ) F foka páros, c) 44 Feladat: Ötlet haszáljuk az egyelőséget, a ( 4) + ) 4 F 4 7 + 66 65 + 4 45 Feladat: Ötlet - G ( + )( ), így igazak kell leie, hogy F P + Q + Q poliomot el kell osztai ( -el, az eredméy: F F 0, eredméy: páros szám 46 Feladat: meete ha +, akkor, ahoa d és ±, 47 Feladat: Ötlet - q +, eredméy: q + pq + q 0 48 Feladat: Ötlet hasolítsuk össze 0 együtthatóit, helyettesítsük be -et, így 0 a ± 0 0 0 a, b, ( + p + q ), ahoa p, q 4