GAZDASÁGI MATEMATIKA I.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I.. A HALMAZELMÉLET ALAPJAI. Hlmzok A hlmz, hlmz eleme lpfoglom (nem deniáljuk ket). Szokásos jelölések: hlmzok A, B, C (ngy bet k), elemek, b, c (kis bet k), trtlmzás B ( eleme z A hlmznk) ill. b / A (b nem eleme z A hlmznk). Egy hlmz kkor dott, h minden objektumról el tudjuk dönteni, hogy eleme hlmznk vgy nem z. Hlmzok megdási módji: felsorolás pl. A = {2, 3, 5, 7, } (z els 5 prímszámból álló hlmz), ismert hlmz dott tuljdonságú elemeinek megdás pl. A = { n N : n páros } hol N természetes számok hlmz, melyet ismertnek tekintünk. Definíciók. Azt hlmzt melynek egyetlen eleme sincs üres hlmznk nevezzük és -tel jelöljük. Az A és B hlmzokt egyenl nek nevezzük, h elemei ugynzok. Ezt A = B-vel jelöljük, tgdását A B jelöli. Azt mondjuk, hogy z A hlmz részhlmz B hlmznk, h A minden eleme eleme B-nek. Jelölése: A B. Ezt úgy is írhtjuk, hogy B A, ezt úgy olvssuk, hogy B trtlmzz z A hlmzt. Az A hlmz vlódi részhlmz B hlmznk, h A B és A B. Megjegyzések. Denícióinkt, állításinkt egyszer bben foglmzhtjuk meg mtemtiki logik jeleinek hsználtávl. Ítélet (állítás) ltt olyn kijelentést értünk melyr l egyértelm en eldönthet, hogy igz (i) vgy hmis (h). Állításokból újbb állításokt kphtunk z 5 logiki m velet (negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció, ekivivlenci) segítségével. Legyenek P, Q állítások. A logiki m veletek deníciói: P (nem P, vgy P tgdás) kkor és cskis kkor igz, h P hmis. P Q (P és Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q is igz. P Q (P vgy Q) kkor és cskis kkor igz h P és Q leglább egyike igz. P = Q (P-b l következik Q)kkor és cskis kkor igz h P hmis vgy h Q igz. P Q (P ekvivlens Q-vl) kkor és cskis kkor igz h P és Q vgy mindketten igzk vgy mindketten hmisk. P = Q esetén zt mondjuk, hogy P elegend Q teljesüléséhez, vgy Q szükséges P teljesüléséhez. Beláthtó, hogy (P = Q) ( Q = P ) P Q esetén zt mondjuk, hogy P szükséges és elegend Q teljesüléséhez. Hsználjuk még logiki kvntorokt: univerzális kvntor: x = minden x-re egzisztenciális kvntor: x = létezik x

2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. E jelölések segítségével pl. A = B ( x)((x A = x B) (x B = x A)), A B ( x)(x A = x B). M veletek hlmzokkl. Célszer vizsgált hlmzokt egy X lphlmz részhlmzink tekinteni. Definíciók. A B := { x X : x A vgy x B } z A és B hlmzok uniój vgy egyesítése A B := { x X : x A és x B } z A és B hlmzok metszete vgy közös része A \ B := { x X : x A és x / B } z A és B hlmzok különbsége A := X \ A z A hlmz komplementere,, \ binér (kétváltozós) m veletek, komplementerképzés unér (egyváltozós) m velet. Az A és B hlmzokt diszjunktnk nevezzük, h metszetük üres. Állítás. Tetsz leges A, B, C X hlmzokr teljesülnek z lábbi tuljdonságok. A B = B A, A (B C) = (A B) C, A B = B A, A (B C) = (A B) C, A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), A A = A, A A = A, A B = A B, A B = A B. A felsorolt tuljdonságok nevei rendre (zz felsorolás sorrendjében) z unió ill. metszetképzésre vontkozó kommuttivitás, sszocitivitás, disztributivitás, idempotenci, és de Morgn féle zonosságok. A hlmzm veletek zonossági z un. Venn digrmmokkl szemléltethet k. Definíciók. Hlmzrendszer (vgy hlmzcslád) ltt olyn (nemüres) hlmzt értünk, melynek elemi hlmzok. H I egy (nemüres) hlmz és minden i I elemhez meg vn dv egy A i vel jelölt hlmz, kkor z A = { A i : i I } hlmzrendszert I-vel indexelt hlmzrendszernek nevezzük, I neve indexhlmz. Egy R hlmzrendszer unióját és metszetét R := { x : A R úgy hogy x A }, R := { x : A R mellett x A } deniálj. H R = A = { A i : i I } egy I hlmzzl indexelt hlmzrendszer, kkor z unióját és metszetét -vel szokás jelölni. i I, i I

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3.2 Relációk Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztán (vgy direkt szorztán) e hlmzok elemeib l képezett összes (, b) rendezett párok hlmzát értjük, hol A, b B. Jelölésére z A B szimbólumot hsználjuk. Azz A B = { (, b) : A, b B }. Rendezett párok egyenl ségére megköveteljük zt, hogy (, b) = (c, d) kkor és cskis kkor h = c, b = d. Hsználjuk z A A = A 2 jelölést is. Megjegyezzük, hogy A B áltlábn nem egyenl B A-vl. Definíció. Az A és B hlmzok Descrtes szorztánk egy R A B részhlmzát z A és B hlmzok közötti (binér) relációnk nevezzük. H (, b) R kkor zt mondjuk, hogy z elem R relációbn vn b-vel. Ezt szokás R b-rel is jelölni. A = B esetén z A és B közötti relációt A-n értelmezett relációnk mondjuk. Az lábbikbn legfontosbb relációtípusokt tárgyljuk meg. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt ekvivlenci relációnk nevezzük, h R reexív, zz ( A) R szimmetrikus, zz (, b A) R b = b R trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Péld. Legyen A z els éves debreceni közgzdászhllgtók hlmz, és R b kkor és cskis kkor teljesüljön h z és b hllgtók ugynbbn hónpbn születtek. Ekkor R egy ekvivlenci reláció. Az összes hllgtók 2 osztályb sorolhtók (születési hónp szerint), bármely két osztályt véve zok vgy zonosk, vgy diszjunktk. Áltlábn is igz, hogy h R egy ekvivlenci reláció z A-n kkor z egymássl relációbn álló elemeket egy osztályb sorolv z A hlmz egy osztályozását kpjuk (zz A felbontását páronként diszjunkt hlmzok uniójr), és fordítv, A minden osztályozás megd egy ekvivlenci relációt, melynek osztályi éppen kiindulásként vett osztályok. Definíció. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt féligrendezésnek nevezzük, h R reexív, zz ( A) R ntiszimmetrikus, zz (, b A) R b b R = = b trnzitív, zz (, b, c A) R b b R c = R c. Az A hlmzon értelmezett R A A relációt rendezésnek nevezzük, h R féligrendezés, és (, b A) R b b R. Példák. Egy X hlmz összes részhlmzin trtlmzási reláció féligrendezés. H A = R vlós számok hlmz, kkor rendezés. Definíciók. Tekintsük vlós számok R hlmzát rendezéssel és legyen A R. Az A hlmzt felülr l korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) fels korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt lulról korlátosnk nevezzük, h vn olyn k R szám, hogy ( A) k. A k számot A (egy) lsó korlátjánk nevezzük. Az A hlmzt korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos.

4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az s R számot z A hlmz pontos fels korlátjánk (vgy suprémumánk) nevezzük, h s z A fels korlátj A bármely s fels korlátjár s s. Jelölés s = sup A. Az i R számot z A hlmz pontos lsó korlátjánk (vgy inmumánk) nevezzük, h i z A lsó korlátj A bármely i lsó korlátjár i i. Jelölés i = inf A. Péld. Legyen A = {, 2, 3,... } természetes számok reciprokink hlmz. Akkor A korlátos és sup A =, inf A = 0. Definíció. Az A és B hlmzok között értelmezett F A B relációt z A hlmzon deniált függvénynek nevezzük, h minden A elemhez pontosn egy olyn b B elem létezik, melyre F b teljesül. Ilyenkor b = F () jelölést hsználjuk, függvény jelölésére pedig F : A B-t hsználjuk. D F = A z F függvény értelmezési trtomány (domin of F). R F := { F () : A } z F függvény értékkészlete (rnge of F). Definíciók. Az F : A B függvényt injektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm nek, invertálhtónk) nevezzük, h (, b A) b = F () F (b), vgy, mi ugynz (, b A)F () = F (b) = = b. Az F : A B függvényt szürjektívnek (vgy B-re képez nek) nevezzük, h R F = B. Az F : A B függvényt bijektívnek (vgy kölcsönösen egyértelm en B-re képez nek) nevezzük, h injektív és szürjektív. Definíció. H F : A B injektív, kkor z F : R F A inverz függvényét z lábbi módon értelmezzük: tetsz leges b R F -hez létezik egyetlen egy A úgy, hogy b = F (), ekkor legyen F (b) :=. Röviden, F (b) = h F () = b. Azonnl láthtó, hogy F ( F (b) ) = F () = b h b R F, F (F ()) = h A. H F bijektív, kkor itt R F = B. 2. A VALÓS SZÁMOK 2. A vlós számok ximómrendszere Az R hlmzt vlós számok hlmzánk nevezzük, h teljesíti z lábbi 3 xiómcsoport xiómáit..testxiómák R-ben két m velet vn értelmezve, z

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 R R (x, y) x + y összedás R R (x, y) x y szorzás melyek teljesítik z lábbi xiómákt (melyeket testxiómáknk nevezünk). A szorzás jelét z lábbi xiómákbn kiírjuk, de továbbikbn nem, kivéve, h elhgyás félrértéshez vezetne. Az összedás xiómái: ( x, y R) x + y = y + x, ( x, y, z R) x + (y + z) = (x + y) + z, ( 0 R)( x R) x + 0 = x, ( x R)( x R) x + ( x) = 0 A szorzás xiómái: ( x, y R) x y = y x, ( x, y, z R) x (y z) = (x y) z, ( R, 0)( x R) x = x, ( x R, x 0)( x R) x x = Ezek z xiómák rendre z összedás ill. szorzás kommuttivitását, sszocitivitását, 0 ill. létezését, és z dditív ill. multipliktív inverz létezését fejezik ki. Megköveteljük szorzás disztributivitását z összedásr nézve, zz ( x, y, z R) x (y + z) = x y + x z. 2. Rendezési xiómák R-en értelmezve vn egy ( R R) (olvsd kisebb vgy egyenl ) rendezési reláció (mely korábbn tárgylt) négy xiómát teljesíti, továbbá ( x, y, z R) (x y) = x + z y + z, ( x, y R) (0 x 0 y) = 0 x y. E tuljdonságokt z összedás és szorzás monotonitásánk nevezzük. H 0 x de 0 x(x R) kkor ezt 0 < x -szel (vgy x > 0-vl) jelöljük, és x -et pozitívnk mondjuk. x R-et negtívnk mondjuk, h x pozitív. 3. Teljességi xióm R ( rendezésre nézve) teljes, zz R bármely nemüres felülr l korlátos részhlmzánk vn pontos fels korlátj. Összefogllv, vlós számok R hlmz tehát egy teljes rendezett test. Megmutthtó, hogy létezik ilyen hlmz, és ez bizonyos értelemben egyértelm. A vlós számokt számegyenesen modellezhetjük. A testxiómákt felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x + y = x + z, kkor y = z; h xy = xz, x 0, kkor y = z; h x + y = x, kkor y = 0; h xy = x, x 0, kkor y = ; h x + y = 0, kkor y = x; h xy =, x 0, kkor y = x ; ( x) = x; h x 0, kkor ( x ) = x, továbbá 0x = 0; x 0, y 0 xy 0; ( x)y = (xy) = x( y); ( x)( y) = xy.

6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A rendezési és testxiómákt (rendezett test xiómáit) felhsználv igzolhtó, hogy bármely x, y, z R esetén h x 0, y z, h x 0, y z, x 0 kkor és cskis kkor, h x 0, kkor xy yz, kkor xy yz, h x 0, kkor x 2 > 0, speciálisn > 0, h 0 < x y, kkor 0 < y x, és x 2 y 2. A bizonyítássl gykorlton fogllkozunk mjd. 2. R nevezetes részhlmzi, bszolút érték, távolság Definíciók. Az N = {, 2, 3, 4... } hlmzt természetes számok hlmzánk nevezzük. Végiggondolv zt, hogy 2 = +, 3 = 2 +, 4 = 3 +,... dódik, hogy N R-nek z legsz kebb részhlmz, melyre teljesül, z, hogy N, h n N kkor n + N. Az, hogy N legsz kebb ilyen hlmz zt jelenti, hogy h egy M N-re is teljesülnek z teljesíti z M, és n M = n + M tuljdonságok, kkor M = N. A Z = {0, ±, ±2, ±3,... } hlmzt z egész számok hlmzánk nevezzük. A Q = { pq : p, q Z, q 0 } hlmzt rcionális számok hlmzánk nevezzük. Definíciók. Legyen < b (, b R). Az ], b[ := { x R : < x < b } [, b] := { x R : x b } ], b] := { x R : < x b } [, b[ := { x R : x < b } számhlmzokt rendre (véges) nyílt, zárt, blról nyílt jobbról zárt, blról zárt jobbról nyílt intervllumoknk nevezzük. [, ] := { x R : x } = {} elfjult (egyetlen pontból álló) zárt intervllum. Legyen, b R. Az ], [ := { x R : < x } [, [ := { x R : x } ], b] := { x R : x b } ], b[ := { x R : x < b } ], [ := R számhlmzokt (végtelen) nyílt, blról zárt jobbról nyílt stb. intervllumoknk nevezzük. Definíció. Az { x h x 0 x := x h x < 0 számot z x vlós szám bszolút értékének nevezzük. Állítás. [z bszolút érték tuljdonsági] Bármely x, y R esetén (x R) x 0 és x = 0 x = 0, xy = x y, x + y x + y.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 Az els tuljdonság nyilvánvló, többiek pl. esetszétválsztássl bizonyíthtók. További tuljdonságok: x y x y (x, y R), x x és hsonlón x < < x <. Definíció. Az x, y R számok távolságát d(x, y) := x y deniálj. Állítás. [ távolság tuljdonsági] Bármely x, y, z R esetén d(x, y) 0 és d(x, y) = 0 x = y, nemnegtivitás d(x, y) = d(y, x), szimmetri d(x, y) d(x, z) + d(z, y) háromszög egyenl tlenség. E tuljdonságok egyszer en következnek z bszolút érték tuljdonságiból. 2.2 A teljességi xióm néhány következménye Tétel. Az R bármely nemüres lulról korlátos részhlmzánk vn pontos lsó korlátj. A bizonyításhoz legyen A R egy nemüres lulról korlátos hlmz, k lsó korláttl, és tekintsük B := { : A } hlmzt, kkor ( ) ( A = k )-ból következik, hogy k így B felülr l korlátos k fels korláttl, és fordítv. A teljességi xióm mitt létezik β := sup B. Könny belátni, hogy α := β = inf A z A-nk pontos lsó korlátj: ti. z el z ek lpján lsó korlát, és h α z A hlmz egy lsó korlátj, kkor α B-nek egy fels korlátj, így β α mib l α = β α. Tétel. A természetes számok hlmz felülr l nem korlátos. A bizonyításhoz tegyük fel, hogy N felülr l korlátos,így létezik z α := sup N szám, melyre ( n)(n N = n α). Mivel α < α így α nem lehet N fels korlátj, ezért vn olyn n 0 N melyre α < n 0 zz α < n 0 +. Mivel n 0 + N így α nem fels korlátj N-nek, mi ellentmondás. Indirekt bizonyítást végeztünk: feltételeztük, hogy tétel állítás nem igz (ez z indirekt feltevés). Helyes következtetésekkel ellentmondást kptunk, ennek csk z lehet z ok, hogy indirekt feltevésünk nem igz, így nnk tgdás, zz tétel állítás igz. Következmény.[ vlós számok Archimedesi tuljdonság] Bármely x > 0 és y R számokhoz létezik olyn n N melyre y < nx. Ugynis y x nem fels korlátj N-nek, így vn olyn n N, hogy n > y x mib l nx > y. Tétel. [Cntor féle metszettétel] H [ n, b n ] (n N) zárt egymásb sktulyázott intervllumok sorozt, zz kkor [, b ] [ 2, b 2 ] [ 2, b 2 ]... n= [ n, b n ]. Röviden: zárt intervllumok egymásb sktulyázott soroztánk metszete nemüres.

8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. A bizonyításhoz el ször jegyezzük meg, hogy n b n (n N) mivel [ n, b n ] intervllum, z egymásb sktulyázás pedig zt jelenti, hogy n n+ és b n+ b n E feltételekb l zonnl kpjuk, hogy bármely m, n N esetén n b m. (n N). Legyen A := { n : n N }, B := { b m : m N } kkor A felülr l korlátos (bármely b m (m N) fels korlátj, B pedig lulról korlátos (bármely n (n N) lsó korlátj. Így léteznek z α := sup A, β := inf B pontos korlátok. α deníciój mitt n α b m Ebb l láthtó, hogy α is lsó korlátj B-nek, ezért továbbá β deníciój mitt β b m Ezeket z egyenl tlenségeket összevetve kpjuk, hogy mi zt jelenti, hogy α β, (m, n N). (m N). n α β b n (n N) [α, β] mint állítottuk. Definíció. Az x R szám egész kitev s htványit továbbá [ n, b n ] n= x := x, x n+ := x n x (n N) x 0 :=, x n := (x 0, n N) xn -nel értelmezzük. A következ tétel szintén teljességi xióm segítségével igzolhtó ( bizonyítás megtlálhtó pl. W. Rudin, A mtemtiki nlízis lpji c. könyvében, M szki Könyvkidó, 975). Tétel. [n-edik gyök létezése] Bármely x 0 nemnegtív vlós számhoz és n N természetes számhoz pontosn egy olyn y 0 nemnegtív vlós szám létezik, melyre y n = x. Definíció. Az el z tétel állításábn szerepl y 0 számot z x 0 szám n-edik gyökének nevezzük, és n x vgy x n-nel jelöljük. H n páros, x 0 kkor n x z egyetlen olyn nempozitív szám melynek n-edik htvány x így ekkor y n = x y = n x y = n x. H n pártln, kkor negtív számokr is kiterjesztjük z n-edik gyök denícióját: n x := n x h x < 0. Ezek után lehet pozitív számok rcionális kitev s htványát értelmezni, z x r := q x p hol x > 0, r = pq, p Z, q N képlettel.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 Igzolhtó hogy ez deníció korrekt (x r független r el állításától) és hogy htványozás szokásos tuljdonsági (rcionális kitev k esetén) teljes lnek. 2.3 Topológikus foglmk, Bolzno-Weierstrss tétel Definíció. Egy R pont ε > 0 sugrú (nyílt) környezetén K(, ε) := { x R : d(x, ) < ε } hlmzt értjük. Világos, hogy K(, ε) éppen z pontr nézve szimmetrikus 2ε hosszúságú ] ε, + ε[ nyílt intervllum. Definíciók. Legyen A R. Az R pontot z A hlmz bels pontjánk nevezzük, h -nk vn olyn környezete mely (teljesen) A-bn vn, zz ( ε > 0)K(, ε) A. Az R pontot z A hlmz izolált pontjánk nevezzük, h A és -nk vn olyn környezete melyben nincs más A-beli pont, zz A (( ε > 0)(K(, ε) \ {}) A = ). Az R pontot z A hlmz torlódási pontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn -tól különböz A-beli pont, zz ( ε > 0) (K(, ε) \ {}) A ). Az R pontot z A hlmz htárpontjánk nevezzük, h bármely környezetében vn A-beli pont, és nem A-beli pont, zz ( ε > 0) ( K(, ε) A K(, ε) A ). A bels pont és z izolált pont mindig pontj hlmznk, torlódási és htárpont lehet hlmzpont, vgy nem hlmzpont. Definíciók. A R összes bels pontjink hlmzát A belsejének nevezzük és A -rel jelöljük. A R összes htárpontjink hlmzát A htáránk nevezzük és A-rel jelöljük. Definíciók. Az A R hlmzt nyíltnk nevezzük, h minden pontj bels pont. Az A R hlmzt zártnk nevezzük, h komplementere nyílt. Péld. Legyen A := { : n N }. Htározzuk meg A bels, izolált, torlódási és htárpontjink n hlmzát. Továbbá htározzunk meg A belsejét, htárát, döntsük el, hogy nyílt vgy zárt hlmz-e! Megoldás. A-nk nincs bels pontj, minden pontj izolált, egyetlen torlódási pontj 0, egyetlen htárpontj 0, A =, A = {0}, z A hlmz sem nem nyílt, sem nem zárt. Állítás. Egy A R hlmz kkor és cskis kkor zárt, h trtlmzz összes torlódási pontját. Bizonyítás ld. gykorlt. Tétel. [Bolzno-Weierstrss tétel] Bármely korlátos végtelen számhlmznk vn torlódási pontj. Egy hlmzt végesnek mondunk, h üres, vgy h elemeinek szám egy természetes szám. Egy hlmzt végtelennek mondunk, h nem véges. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy A R korlátos végtelen hlmz, kkor vn olyn [, b ] zárt intervllum, hogy A [, b ].

0 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Felezzük meg [, b ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 2, b 2 ]-vel jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz. Ezután felezzük meg [ 2, b 2 ]-t és válsszuk ki zt zárt [ 3, b 3 ]-ml jelölt felét, mely végtelen sok A-beli elemet trtlmz, és így tovább. Az így kpott [ n, b n ] (n N) intervllumsorozt egymásb sktulyázott, ezért Cntor tétele mitt [ n, b n ]. n= Mivel z [ n, b n ] intervllum hossz b 2 tetsz leges kicsi, h n elég ngy, ezért z intervllumok metszete csk egyetlen pontot trtlmzht, legyen ez n z pont. Azt állítjuk, hogy torlódási pontj A-nk. Ugynis véve egy tetsz leges ε > 0 számot [ n, b n ] K(, ε) h n elég ngy. Ugynis válsszuk n-et olyn ngyr, hogy b n n < ε legyen, kkor [ n, b n ] mitt z [ n, b n ] intervllum minden pontjánk -tól vló távolság < ε így z intervllum pontji K(, ε)-bn vnnk. Mivel minden intervllumbn végtelen sok A-beli pont vn így K(, ε) trtlmz -tól különböz A-beli pontot. 3. SOROZATOK 3. Soroztok korlátosság, monotonitás, konvergenciáj Definíció. Egy f : N R függvényt (vlós szám)soroztnk nevezünk. H A egy dott hlmz és f : N A, kkor f-et A-beli (érték ) soroztnk nevezzük. Jelöléseink: f(n) = n sorozt n-edik eleme, f = ( n ) sorozt mg, { n : n N } sorozt értékkészlete. Sorozt megdás: képlettel pl. n = n (n N), rekurzív módon pl. =, és n+ = 2 + n szbállyl pl. n = n-edik prímszám. Definíciók. Az ( n ) soroztot felülr l korlátosnk lulról korlátosnk Azz Az ( n ) soroztot nevezzünk, hogy felülr l korlátosnk lulról korlátosnk (n N), nevezzük, h k R k R ( n N) n k ( n N) n k. nevezzük, h értékészlete felülr l korlátos lulról korlátos. szám, melyet sorozt egy fels korlátjánk fels korlátjánk Az ( n ) soroztot korlátosnk nevezzük, h lulról és felülr l is korlátos. Könny belátni, hogy egy n sorozt kkor és cskis kkor korlátos, h vn olyn K R hogy n K minden n N-re. Az ( n ) soroztot monoton növekv nek monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ n. ( n N) n+ n Az ( n ) soroztot szigorún monoton növekv nek szigorún monoton csökken nek nevezzük, h ( n N) n+ > n. ( n N) n+ < n

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Egy soroztot (szigorún) monotonnk mondunk, h (szigorún) monoton növekv vgy csökken. Péld. Legyen n := n (n N). Ez sorozt lulról korlátos (pl. k = 0 lsó korlát), és felülr l is korlátos (pl. k = fels korlát), így korlátos. Soroztunk szigorún monoton csökken. Az is igz, hogy n növekedésével n egyre közelebb kerül 0-hoz (jóllehet soh sem éri el 0-t). Pontosbbn, 0 kármilyen kis környezetét vesszük, zon belül vn soroztnk véges sok kivételével minden eleme. Definíciók. Az ( n ) soroztot konvergensnek nevezzük, h vn olyn R szám, hogy bármely ε > 0-hoz létezik olyn N(ε) R szám, hogy n < ε h n > N(ε). A számot sorozt htárértékének (limeszének) nevezzük és z n (n ) jelölést hsználjuk. N(ε) z ε-hoz trtozó küszöbszám. Az ( n ) soroztot divergensnek nevezzük, h nem konvergens. vgy lim n n = Állítás. [ konvergenci környezetes átfoglmzás] Az ( n ) sorozt konvergens és htárértéke kkor és cskis kkor, h z pont bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Bizonyítás. H n (n ), kkor minden ε > esetén vn olyn N(ε), hogy n < ε h n > N(ε), mi úgy is írhtó, hogy ε < n < + ε, zz n K(, ε) h n > N(ε). De ez zt jelenti, hogy K(, ε) környezeten belül vnnk z N(ε)-nél ngyobb index elemek, míg kívül csk z N(ε)-nél nem ngyobb index ek lehetnek, melyek szám éges. Fordítv, h minden ε > 0 esetén K(, ε) környezeten kívül csk véges sok elem vn, pl. p drb k, k2,..., kp elemek, kkor N(ε) := mx{k, k 2,..., k p } válsztássl n < ε h n > N(ε), zz soroztunk konvergens és htárértéke. Következmény. H egy soroztbn véges sok elemet tesz legesen megváltozttunk, soroztból véges sok elemet elhgyunk, sorozthoz véges sok elemet hozzáveszünk, kkor sem sorozt konvergenciáj és htárértéke (divergenciáj) nem változik. Állítás. [ htárérték egyértelm sége] Konvergens soroztnk pontosn egy htárértéke vn. Indirekt bizonyítás. H z n (n ) soroztnk két htárértéke voln,, b( < b) kkor ε = b 3 válsztássl denícióból ellentmondásr jutunk. Példák. n = (n N) konvergens és htárértéke null. n n = ( ) n (n N) divergens. Tétel. [konvergenci és korlátosság kpcsolt] Konvergens sorozt korlátos. Vn olyn korlátos sorozt mely divergens (nem konvergens). Bizonyítás. ε = -gyel kpjuk, hogy n < h n > N(). Világos, hogy k := mx{ +, és K(, ) környezeten kívüli elemek }

2 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. sorozt fels korlátj, míg k := min{, és K(, ) környezeten kívüli elemek } sorozt lsó korlátj. n = ( ) n (n N) korlátos de nem konverges. Tétel. [konvergenci és monotonitás kpcsolt] Monoton növekv és felülr l csökken és lulról korlátos sorozt konvergens. Bizonyítás. Tegyük fel pl. hogy ( n ) növekv felülr l korlátos, és legyen := sup{ n : n N }. Véve egy ε > 0 számot ε nem fels korlátj soroztnk, így vn olyn n 0 N index, hogy n0 > ε. Legyen N(ε) := n 0, kkor n > N(ε) = n 0 esetén és ezt kellett bizonyítni. ε < n0 n < + ε zz n < ε 3.2 M veletek, rendezés és konvergenci kpcsolt ( ) Definíciók. H ( n ), (b n ) soroztok c R, kkor z n ( n + b n ),, ( n b n ),, (c n ), ( n ) soroztokt b n rendre z ( n ), (b n ) soroztok összegének, szorztánk, hánydosánk, z ( n ) c-szeresének, bszolút értékének nevezzük. A hánydos deníciójábn fel kell tennünk, hogy b n 0. Tétel. [konvergenci és m veletek kpcsolt] Konvergens soroztok összege, szorzt, hánydos (h értelmezve vn), konstnsszoros, bszolút értéke is konvergens, és e soroztok htárértékeinek összegéhez, szorztához, hánydosához, konstnsszorosához, bszolút értékéhez konvergál, zz h n, b n b (n ) kkor n + b n n b n n + b (n ), b (n ), b n b (n ), h b n, b 0, c n c (n ), n (n ). Bizonyítás. Itt csk z els állítást igzoljuk. Tetsz leges ε > 0 mellett mib l n < ε 2 h n > N ( ε 2), és b n b < ε 2 h n > N 2 ( ε 2), ( n + b n ) ( + b) < n + b n b < ε 2 + ε 2 = ε h n > N(ε) := mx { N ( ε 2 ) ( ε )}, N 2 és ezt kellett igzolni. Tétel. [konvergenci és rendezés kpcsolt] () Konvergens sorozt jeltrtó, zz h n 0 (n ), kkor vn olyn n 0 R, hogy sg n = sg h n > n 0. (2) A konvergenci meg rzi monotonitást, zz h n b n (n N) és n, b n b (n )), kkor b. (3) Érvényes rend rtétel, zz h n, b n (n ) és n x n b n (n N), kkor (x n ) is konvergens és x n, (n ).

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 3 Az els állításbn sg signum (el jel) függvényt jelöli, melynek deníciój sg x := h x > 0 0 h x = 0. h x < 0 Bizonyítás. Az els állítás igzolásához legyen ε = /2, kkor n < /2 h n > n 0 := N( /2). Innen /2 < n < + /2 h n > n 0 mib l > 0 ill. < 0 esetszétválsztássl dódik állításunk. A második állítást indirekt úton igzoljuk. H > b voln, kkor b > 0 így jeltrtóság mitt n b n > 0 voln elég ngy n-re, mi ellentmondás. A rend rtétel igzolás. Az n x n b n (n N) feltételb l n kivonásávl kpjuk, hogy 0 x n n b n n vgy x n n b n n < ε h n > N(ε) mi éppen zt jelenti, hogy x n n 0 (n ) mib l x n = (x n n ) + n ) + = h n. 3.3 B vített vlós számok, végtelenhez trtó soroztok Definíció. Az R b := R {+ } { } hlmzt b vített vlós számok hlmzánk nevezzük (+ helyett gykrn csupán -t írunk). M veletek R b -ben: bármely x R-re legyen Nincsennek értelmezve z lábbik: x + (± ) = (± ) + x = ± (± ) + (± ) = ± x(± ) = (± )x = ± h x > 0 x(± ) = (± )x = h x < 0 (± )(± ) = + (± )( ) = x ± = 0. (± ) + ( ), 0(± ), (± )0, ± ±, x 0. Rendezés: minden x R esetén, ( korábbi rendezés megtrtás mellett) < x < +. Megjegyzés. R b nem test! A htárérték foglmánk kiterjesztése. Az n = ( ) n, n = ( ) n, n = n, n = n 2 (n N) vlmennyien divergens soroztok, de közülük z els kett másképpen viselkedik, mint z utolsó kett : zok ngy n esetén -hez ill. -hez közelednek.

4 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíció. Azt mondjuk, hogy z ( n ) soroztnk htárértéke + bármely K R számhoz vn olyn N(K) R, hogy n > K h n > N(K). n < K + (vgy sorozt trt -hez) h Jelölése (z els esetben) n + (n ) vgy lim n =. n H n ( ) kkor sorozt divergens, de vn htárértéke. H + környezetein ]K, + [ intervllumokt, környezetein ], K[ intervllumokt értjük,hol K R tetsz leges, kkor egyszer belátni, hogy érvényes z lábbi Állítás. Egy sorozt htárértéke + (vgy ) kkor és cskis kkor, h + (vgy ) bármely környezetén kívül soroztnk csk véges sok eleme vn. Példák. Az n = n (n N) sorozt htárértéke +. Az n = n 2 (n N) sorozt htárértéke. Definíció. H A R felülr l nem korlátos kkor sup A :=. H A R lulról nem korlátos kkor inf A :=. Ezzel kiegészítéssel minden A R hlmznk vn supremum és inmum, de lehet hogy ezek végtelenek zz inf A sup A +. Továbbá minden monoton soroztnk vn htárértéke (R b -ben): növekv nem korlátos sorozt trt + -hez, csökken nem korlátos sorozt trt -hez. A htárérték és m veletek kpcsolt is kiterjeszthet, z lábbi tétellel. Tétel. H n, b n b (n ) hol most, b R b, c R, kkor n + b n + b (n ), h + b értelmezve vn, n b n b (n ), h b értelmezve vn, n b n b (n ), h b n 0, és értelmezve vn, b c n c (n ), h c értelmezve vn, továbbá h n kkor n 0 (n ). 3.4 Nevezetes htárértékek Tétel. () (2) n n + h > 0, h = 0, (n ) 0 h < 0. 0 h <, h =, + h >, (n ) divergens h.

(3) H > 0, kkor GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 5 n (n ). (4) H <, k R, kkor (5) n n (n ). (6) H R kkor (7) n n! + (n ). n k n 0 n n! (n ). 0 (n ). ( (8) Az n = + n) n (n N) sorozt szigorún monoton növekv és felülr l korlátos, n < 3, így konvergens. Htárértéke egy nevezetes szám, mit e-vel jelölünk, közelit értéke e = 2, 7... (9) H 0 c n 0, kkor ( + c n ) cn e (n ).

6 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítások. () H = 0, kkor z állítás nyilvánvló, mert n 0 = minden n N-re. H > 0, kkor tetsz leges (pozitív) K-t véve n > K pontosn kkor, h n > K / így deníció lpján n +. H < 0, kkor n = n = 0, mivel most > 0. + (2) A Bernoulli egyenl tlenség szerint ( + x) n + nx, h n N, x és itt egyenl ség kkor, és cskis kkor teljesül, h n = vgy x = 0. H > kkor = + h, hol h > 0, így n = ( + h) n + nh, n +. Legyen most <. H = 0, kkor n = 0 n = 0 0. Így feltehetjük, hogy 0 < <, ezért n = ( ) n + = 0, mib l n 0. H =, kkor n =. H =, kkor n = ( ) n divergens. H <, kkor 2n = ( 2 ) n + mivel 2 >, és 2n = (2 ) n, így soroztunk divergens. (3) H, kkor b n := n 0, Bernoulli egyenl tlenség lpján kpjuk, hogy = ( + b n ) n + nb n, mib l 0 b n n. n Innen rend rtétellel dódik, hogy b n 0,. H 0 < <, kkor, z el z ek mitt n, n. (4) H k < 0, kkor sorozt els és második tényez je is zérushoz trt, így sorozt is. H k = 0 kkor 2. Állítás mitt n 0 n = n 0. H k > 0, kkor legyen k 0 egy k-nál ngyobb egész, és tegyük fel, hogy n > k 0. Vn olyn h > 0, hogy = + h, és 0 n k n nk0 A jobboldli kifejezést növelhetjük n n... n h k = (k 0 + )! 0+ (k 0 + )! n(n )... (n k 0) ( + h) n < n ( k0 n ). h k 0 + k 0 + h k0+ ( ) ( n... k 0 ) n (n k0 ) 0, mivel jobboldli szorzt második tényez jének nevez jében z els k 0 db. tényez -hez trt, míg z utolsó + -hez. Ezért rend rtétel mitt n k n 0, és z bszolút érték elhgyásávl kpott sorozt is nullához trt. (5) Legyen ε > 0 dott, lklmzzuk z el z állítást = + ε, k = -nél, kkor n ( + ε) n 0, mib l n ( + ε) n <, h n > N() = N (ε). Innen átrendezéssel, mjd gyökvonássl kpjuk, hogy zz n < ( + ε) n, ε < n n < + ε n n < ε h n > N (ε)

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 7 bizonyítv állításunkt. (6) Legyen n 0 egy -nél ngyobb természetes szám, n > n 0, kkor 0 n n! = n = n! n n 0!(n 0 + )(n 0 + 2)... n n n 0!(n 0 + ) n n0 = (n 0 + ) n0 n 0! ( ) n. n 0 + A jobboldli sorozt 0-hoz trt, mivel zárójeles tört bszolút értéke kisebb mint, így rend rtétel mitt n n! 0 es n n! 0. (7) A soroztunk szigorún monoton növekv, mert z egyenl tlenség ekvivlens z < (n + )n n! n n! < n+ (n + )! = n + n +... n + 2 n egyenl tlenséggel, mi igz, mert jobboldlon lev szorzt minden tényez je -nél ngyobb. Másrészt soroztunk nem korlátos felülr l, ugynis h z voln, kkor n n! K, n! K n, Kn n! következne, mi nem lehet, mert Kn 0 6. Állítás szerint. n! (8) A monotonitás igzolás: h n > kkor n n = ( + n ) n ( + ) n = n ( n + n ( n n ) n ) n = n n ( n + n ( n n ) n ) n = n n = n ( ) n n n 2 > n ( ) n n n 2 = n ( ) =, n n hol Bernoulli egyenl tlenség szigorú változtát hsználtuk. A korlátosság igzolás: binomiális tételt hsználv kpjuk, hogy n = ( + n) n = n k=0 ( n k ) n k. ( n 2 Az l (l = 0,..., k ) egyenl tlenséget hsználv z el z összeg áltlános tgját felülr l n megbecsüljük: ( n k ) n(n )... (n k + ) = nk n k = n! Ezt felhsználv kpjuk, hogy k! = 2... k 2 2... 2 = 2 k. n 2 ( ) ( 2 ) (... k ) n n n k! n + 2 0 + 2 + 2 2 + + 2 n = + (/2)n /2 = + 2 ( /2 n ) < 3. (9) Nem bizonyítjuk. ) n

8 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 4. SOROK 4. Definíció, konvergenci, divergenci, összeg Definíció. Egy ( n ) (szám)sorozt elemeit z összedás jelével összekpcsolv kpott + 2 +... vgy n= összeget (szám)sornk (vgy numerikus sornk) nevezzük. n sor n-edik (vgy áltlános) tgj, s n := + 2 + + n = n (röviden n ) n k (n N) pedig sor n-edik részletösszege. A n sort konvergensnek nevezzük, h részletösszegeinek (s n ) sorozt konvergens, lim s n = s n htárértéket sor összegének nevezzük és zt irjuk, hogy n := lim n= n= k= k n= n = s, zz k n. A n sort divergensnek nevezzük, h nem konvergens. Megjegyzések.. Az összegezés kezd dhet n = 0-vl is. Kissé zvró, hogy sort és (konvergens sor esetén) z összegét is ugynzzl szimbólumml jelöltük. Ezt elkerülend sorokr inkább n (ill. h z összegzés n = 0-vl kezd dik n ) jelölést hsználjuk, sor összegét pedig inkább n -nel jelöljük mjd. 0 n= 2. H egy sorbn véges sok tgot megváltozttunk, sorból véges sok tgot elhgyunk, vgy véges sok tgot sorhoz hozzáveszünk, kkor sor konvergenciáj/divergenciáj nem változik, z összege viszont változht! Ez bból következik, hogy h z eredeti sor részletösszegeinek sorozt (s n ), kkor fenti változttások után kpott sor (S n ) részletösszegeire S n = s n + A h n > n 0 teljesül, vlmilyen A R és n 0 N mellett, hol A z új (megváltozttott) tgok és régiek különbsége. Innen láthtó, hogy (s n ) és (S n ) vgy mindketten konvergensek vgy divergensek, konvergenci esetén viszont lim S n = lim s n + A n n zz z összegek eltérése A. Divergens sornk természetesen nincs összege (bár, h s n ( ) kkor szokás zt mondni, hogy sor összege ( ). Példák.. Geometrii sor. A q n = + q + q 2 +... sort, hol 0, R, q R geometrii sornk nevezzük. sor els tgj, q sor hánydos, vgy kvociense. Vizsgáljuk meg e sor konvergenciáját. A részletösszegek sorozt s n = + q + + q n (n N)

mit q-vl megszorozv GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 9 s n q = q + + q n + q n, így kivonássl s n s n q = q n vgy s n ( q) = ( q n ), mib l ( q és q = eseteket szétválsztv kpjuk, hogy s n = Figyelembevéve (q n ) sorozt viselkedését kpjuk, hogy s n ( q n ), h q, q n, h q =., h q <, q divergens, h q >, vgy q, divergens, h q =. Ezzel igzolást nyert következ Állítás. [geometrii sor konvergenciáj] A q n = + q + q 2 +..., ( 0,, q R) geometii sor kkor és cskis kkor konvergens, h q < és kkor sor összege s = els tg = q kvociens. 2. Hrmónikus sor. A n = + 2 + +... sort hrmónikus sornk nevezzük. 3 Állítás. [hrmónikus sor divergenciáj] A hrmónikus sor divergens. Bizonyítás. Vegyük észre, hogy sor s 2 n lkú részletösszegeire s 2 = + 2 = 3 2 s 2 2 = s 2 + ( 3 + ) 4 > 3 2 + 2 4 = 4 2 s 2 3 = s 2 2 + ( 5 + 6 + 7 + ) 8 > 4 2 + 22 8 = 5 2 s 2 4 = s 2 3 + ( 9 + 0 + + ) 6 > 5 2 + 23 6 = 6 2 áll fenn, és indukcióvl könnyen igzolhtó, hogy s 2 n > n + 2 2 (n = 2, 3,... ) így s 2 n (n ) mib l (s n ) szigorú monoton növekedése mitt s n (n ), igzolv állításunkt. Tétel. [sor konvergenciájánk szükséges feltétele] Konvergens sor áltlános tgj nullához konvergál. Azz, h n sor konvergens, kkor lim n = 0. n Így, h ( n ) divergens, vgy h ( n ) konvergens, de htárértéke nem 0, kkor n sor divergens. Bizonyítás. Világos, hogy n = s n s n így konvergens sor esetén s n s, s n s mitt n s s = 0 mint állítottuk. H n 0 kkor n sor lehet konvergens is és divergens is, utóbbir péld hrmónikus sor. A továbbikbn sorokt tgjik el jele szerint osztályozzuk, és vizsgáljuk.

20 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Definíciók. Egy sort lternáló sornk nevezzünk, h tgjink el jele váltkozik (pozitív tgot negtív tg követ vgy fordítv). Egy sort pozitív (negtív) tgú sornk nevezzünk, h tgji pozitívok (negtívok). Tetsz leges el jel tgok esetén sor tgjink z bszolút értékeib l lkotott sort vizsgáljuk. Alternáló sorokr vontkozik Leibniz tétele. [elegend feltétel lternáló sorok konvergenciájár] A ( ) n+ n ( n 0, n N) lternáló sor konvergens, h ( n ) monoton csökken en trt nullához, és ekkor sor s összegére, és részletösszegeinek (s n ) soroztár érvényes z s s n n+ (n N) becslés. Bizonyítás. ( n ) monoton csökkenése mitt s 2n+ = s 2n + ( ) 2n+ 2n + ( ) 2n+2 2n+ = s 2n + ( 2n + 2n+ ) s 2n s 2n+2 = s 2n + ( ) 2n+2 2n+ + ( ) 2n+3 2n+2 = s 2n + ( 2n+ 2n+2 ) s 2n s 2n = s 2n + ( ) 2n+ 2n = s 2n 2n s 2n zz (s 2n ) monoton csökken, (s 2n ) monoton növekv, és s 2n s 2n, mib l egy [s 2, s ] [s 4, s 3 ] [s 6, s 5 ]... intervllumsktulyázást kpunk, hol z intervllumok (Cntor tétele szerint nemüres) metszete csk egy pontból állht, mert z intervllumok s 2n s 2n = ( ) 2n+ 2n = 2n 0 (n ) hossz nullához trt. Legyen s fenti intervllumok egyetlen közös pontj, kkor s 2n s, s 2n s (n ) ezért s n s (n ) igzolv konvergenciár vontkozó állítást. A becslés igzolás: s s n = ( ) n+2 n+ + ( ) n+3 n+2 + ( ) n+4 n+3 + ( ) n+5 n+4 + ( ) n+6 n+5... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = ( n+ n+2 ) + ( n+3 n+4 ) + ( n+5 n+6 ) +... = n+ [( n+2 n+3 ) + ( n+4 n+5 ) +... ] n+. Itt második sorbn z bszolút érték elhgyhtó, mivel tgok összege nemnegtív, z utolsó sorbn lev egyenl tlenség pedig zért igz, mert szögletes zárójelben lev összeg nemnegtív. Péld. A ( ) n+ n = 2 + 3 4 +... sor konvergens, mert n = n 0 (n ) (csökken en). Érdekes megjegyezni, hogy e sor összege ln 2. 4.2 Pozitív tgú sorok A n sort kkor neveztük pozitív tgúnk, h n > 0 (n N) teljesül. Ilyen sorok részletösszegeire s n+ = s n + n+ > s n (n N), zz részletösszegek sorozt monoton növekv, ezért (s n ) kkor és cskis kkor konvergens h felülr l korlátos. Ezért pozitív tgú sor kkor és cskis kkor konvergens h részletösszegeinek sorozt felülr l korlátos. Ez megállpítás z lpj konvergencikritériumok (vgy konvergencitesztek) bizonyításánk. Tétel. [mjoráns- minoráns teszt] H 0 < n b n (k N) és

h GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 2 bn sor konvergens, kkor n sor is konvergens, n sor divergens, kkor b n sor is divergens. Megjegyzés. Azt mondjuk, hogy b n sor mjorálj n sort (vgy mi ugynz, n sor minorálj b n sort) h n b n (n N). Bizonyítás. Jelölje (s n ()) n sor részletösszegeinek soroztát, (s n (b)) pedig b n sor részletösszegeinek soroztát, kkor s n () s n (b) (n N). Az els esetben b n sor konvergens, így (s n (b)) felülr l korlátos, részletösszegekre vontkozo el bbi egyenl tlenség mitt (s n ()) is felülr l korlátos, ezért n sor konvergens. A második esetben n sor divergens, így (s n ()) felülr l nem korlátos, részletösszegekre vontkozo egyenl tlenség mitt (s n (b)) sem korlátos felülr l, ezért b n sor divergens. Tétel. [hánydos vgy D'Alembert teszt] Legyen n pozitív tgú sor. H n+ n h n+ n q < (n N) kkor n sor konvergens, (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt egy másik lkbn (limeszes lk) is kimondjuk. Legyen n pozitív tgú sor és tegyük fel, hogy lim k n+ n = L (L R b ). (i) H L < kkor n sor konvergens, (ii) h L > kkor n sor divergens, (iii) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H z els feltétel teljesül, kkor z 2 q, 3 2 q, 4 3 q,..., n n q egyenl ltlenségeket összeszorozv kpjuk, hogy n q n, mib l n q n (n N). Ez zt jelenti, hogy n sort q n konvergens (mert 0 q < mitt q < ) geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H második feltétel teljesül, kkor n+ n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (i) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén kívül z ( ) n+ soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n+ n q (:= L + r < ) h n n 0

22 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. vlmely n 0 mellett, így (2) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján következik állításunk. (ii) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (22) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (iii) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Utóbbi sor konvergenciáj pl. bból következik, hogy 2 + 2 2 + 3 2 + + n 2 + 2 + 2 3 + + (n ) n ( = + ) ( + 2 2 ) ( + + 3 n ) = 2 n n < 2 így részletösszegek sorozt korlátos, sor konvergens. Tétel. [gyök vgy Cuchy teszt] Tegyük fel, hogy n 0 (n N). H n n q < (n N) kkor n sor konvergens, h n n (n N) kkor n sor divergens. Ezt tételt is kimondjuk limeszes lkbn. Legyen n 0 (n N), és tegyük fel, hogy lim n n = L (L R b ). n (j) H L < kkor n sor konvergens, (jj) h L > kkor n sor divergens, (jjj) h L = kkor n sor lehet konvergens, és lehet divergens is. Bizonyítás. H tétel els feltétele teljesül, kkor z n q n, (n N) mi zt jelenti, hogy n sort q n konvergens geometrii sor mjorálj, így mjoráns teszt lpján n sor konvergens. H tétel második feltétele feltétele teljesül, kkor n mitt konvergenci szükséges feltétele, z n 0 (n ) feltétel, nem teljesül, sor divergens. A limeszes lk bizonyítás. H (j) teljesül kkor legyen r = L > 0. Az L htárérték r sugrú környezete 2 -nél kisebb értékeket trtlmz, e környezetén ívül z ( n n ) soroztnk csk véges sok eleme vn, így n n q (:= L + r < ) h n n 0 vlmely n 0 mellett, így (23) véges sok index kivételével teljesül, 4. szksz 2. megjegyzése lpján dódik állításunk. (jj) mellett hsonló gondoltmenettel kpjuk, hogy (24) véges sok index kivételével teljesül, mib l következik, hogy ( n ) nem trtht 0-hoz, sor divergens. (jjj) Végül, hrmónikus sornál L = és e sor divergens, sor konvergens, és e sornál szintén L =. n2 Igzolhtó, hogy gyök teszt er sebb, mint hánydos teszt (zz, h hánydos teszt eldönti konvergenciát/divergenciát kkor ugynezt teszi gyök teszt is), hánydos teszt lklmzás viszont áltlábn egyszer bb.

Példák.. A 2n n! GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 23 sor konvergens, mert hánydos teszt limeszes lkját lklmzv n+ n = 2n+ (n + )! n! 2 n = 2 n + 0 = L <. 2. A hol p R (hiperhrmonikus) sor divergens, h p 0, mert ekkor z áltlános tg nem trt 0-hoz. np p > 0 mellett mind hánydos, mind gyök teszt limeszes lkj L = -et d, segítségükkel konvergenci nem dönthet el. A Cuchy-féle kondenzációs teszt segítségével (ld. pl Ljkó jegyzet) kphtjuk, hogy A (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. np Ugyncsk ezzel teszttel dódik, hogy A 2 n(ln n) (p R) sor kkor és cskis kkor konvergens, h p >. p kezdenünk, mivel ln = 0. 4.3 Abszolút konvergenci, m veletek sorokkl Itt z összegezést n = 2-nél kell Definíciók. A n sort bszolút konvergensnek nevezzük, h n sor konvergens. A n sort feltételesen konvergensnek nevezzük, h sor konvergens de nem bszolút konvergens. Igzolhtó, hogy bszolút konvergens sor konvergens, fordított állítás viszont nem igz, mint ezt sor muttj. Utóbbi sor feltételesen konvergens. ( ) n+ n Az bszolút konvergenci eldöntésere lklmzhtók z el z szkszbn tárgylt tesztek. H n 0 (n N) és lim n n+ n lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n+ n kkor n sor divergens. n H lim n < kkor n sor bszolút konvergens, h n n kkor n sor divergens. n h lim n Legyen n egy dott sor és ϕ : N N egy bijektív leképezése N-nek önmgár, kkor ϕ(n) sort n sor (ϕ) bijekcióhoz trtozó) átrendezésének nevezzük. Például 2 + 3 4 + 5 6 +... sor egy átrendezése + 3 2 + 5 + 7 4 +... sor, hol két pozitív tgot egy negtív tg követ.

24 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Az bszolút konvergens sorok fontos tuljdonság, z, hogy bármely átrendezésük is konvergens, és z átrendezett sor összege megegyezik z eredeti sor összegével. Feltételesen konvergens sorokr ez nem igz, s t, feltételesen konvergens sornk vn olyn átrendezése, mely divergens, vgy melynek összege egy tetsz legesen el írt szám. Könny belátni, hogy konvergens sor tetsz legesen zárójelezhet, és zárójelezett sor összege egyenl z eredeti sor összegével. Továbbá ( soroztokr vontkozó m veleti tuljdonságok mitt) konvergens sorok összegsor ( tgok összedásávl keletkez sor) és konvergens sor számszoros is konvergens és összegük kiinduló sorok összege és számszoros, zz, h n, b n konvergensek, c R kkor ( n + b n ), (c n ) is konvergensek és ( n + b n ) = n + b n, n= n= n= (c n ) = c n. A sorok szorzás lényegesen komplikáltbb. Definíció. A n és b n sorok Cuchy-féle szorztsor c n sor, melynek tgji 0 0 0 n= c n := 0 b n + b n + + n b 0 = n= n k b n k. Tétel. Abszolút konvergens sorok Cuchy-féle szorztsor is bszolút konvergens, és összege tényez sorok összegének szorzt. k=0 4.4 Függvénysorok, htványsorok Definíciók. H egy sor tgji (zonos hlmzon értelmezett) függvények, kkor sort függvénysornk nevezzük. Legyenek f n : D R R (n N) vlós számok D részhlmzán értelmezett függvények. A f n (x) függvénysor konvergencihlmzát/divergencihlmzát zon x D pontok lkotják melyekre sor konvergens/divergens. A konvergencihlmz pontjibn értelmezhet sor összegfüggvénye (mint részletösszegek htárértéke). Definíció. A n (x ) n lkú függvénysort htványsornk nevezzük. n z n-edik együtthtó, pedig 0 sorfejtés középpontj. Vizsgáljuk meg n (x ) n htványsor bszolút konvergenciáját gyökteszttel. H n n (x ) n = x n n 0 (n ) x L < htványsor bszolút konvergens, > htványsor divergens, hol feltételeztük, hogy z ( n n ) soroztnk létezik z L htárértéke, 0 L.. L = 0 esetén x L = 0(<,) így htványsor minden x R mellett bszolút ( konvergens. 2. 0 < L < esetén x L < (> ) kkor és cskis kkor, h x < L > L), ezért x < L esetén sor bszolút konvergens, míg x > L mellett sor divergens.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 25 3. L = esetén x L = > h x, így ekkor sor divergens, míg x = esetén sor nyilván konvergens (ugynis nulldik tg kivételével z összes tg null). Definíció. Az r := L = n n lim n ( ) 0 :=, := 0 b vített vlós számot n (x ) n htványsor konvergencisugránk nevezzük. 0 Az el bbiek lpján állíthtjuk: H x < r, kkor htványsorunk bszolút konvergens, h x > r, kkor htványsorunk divergens. Péld. A geometrii sor esetén + x + x 2 + = h x < x konvergencisugár r =. 5. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA 5. Függvény htárértéke Egy D R hlmz torlódási pontjink hlmzát D -vel fogjuk jelölni. Definíció. Legyen f : D R R és legyen x 0 D ( D hlmz torlódási pontj). Azt mondjuk, hogy f-nek vn (véges) htárértéke z x 0 pontbn, h vn olyn R szám, hogy minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. Az R számot z f függvény x 0 pontbeli htárértékének nevezzük, és jelölésére z lim f(x) =, x x 0 vgy f(x) (x x 0 )-t hsználjuk. Állítás. A htárérték, h létezik, kkor egyértelm. Bizonyítás. Tegyük fel, hogy f-nek létezik véges htárértéke x 0 -bn, de nem egyértelm. Akkor vn két olyn szám, R, hogy minden ε > 0-hoz vnnk olyn δ(ε), δ (ε) > 0 számok, melyekre f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D f(x) < ε h 0 < x x 0 < δ (ε) és x D. Ebb l 0 = f(x) + f(x) < 2ε h 0 < x x 0 < min{δ(ε), δ (ε)} és x D. Mivel itt ε > 0 tetsz legesen kicsi, így = 0, =, mi ellentmondás, bizonyítv állításunkt. Megjegyzés. Htárérték létezhet z x 0 pontbn kkor is, h függvény nincs értelmezve pontbn de torlódási pontj nnk (egy hlmz torlódási pontj ui. nem feltétlenül pontj hlmznk). Éppen emitt lényeges denícióbn 0 < x x 0 feltétel, ez biztosítj zt, hogy x x 0. Tétel. [átviteli elv] Legyen f : D R R és x 0 D. f(x) = kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén lim x x 0 f(x n ) (n ).

26 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Másképpen megfoglmzv: z f függvény értelmezési trtományánk egy x 0 torlódási pontjábn kkor és cskis kkor lesz f htárértéke z szám, h z értelmezési trtományból bármely x 0 -hoz konvergáló (x n ) soroztot véve, melynek elemei x 0 -tól különböz ek, függvényértékek (f(x n )) sorozt hoz konvergál. Bizonyítás. H lim x x 0 f(x) =, és x 0 x n x 0 (n ), kkor δ(ε) > 0-hoz vn olyn N (δ(ε)) > 0, hogy x n x 0 < δ(ε) h n > N (δ(ε)), így f(x n ) < ε h n > N (δ(ε)), mi zt jelenti, hogy f(x n ) (n. Indirekt bizonyítást hsználunk. Tegyük fel, hogy bármely (x n ) : N D, x 0 x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) (n ), de lim f(x) = x x 0 nem teljesül. Ez utóbbi zt jelenti, hogy (ε > 0) (δ(ε) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε)) ( f(x) < ε)]. Ennek tgdás zt jelenti, hogy Innen δ(ε ) = n-t véve (ε > 0) (δ(ε ) > 0) (x D) [(0 < x x 0 < δ(ε )) ( f(x) ε )]. [( (x n D) 0 < x n x 0 < ) ] ( f(x n ) ε ) n de kkor x 0 x n x 0 (n ) és f(x n ) (n ), mi ellentmondás. Megjegyezzük, hogy P Q implikáció ekvivlens ( P ) Q-vl, így tgdás (P Q) = (( P ) Q) = P ( Q) lesz (itt tgdás m veletének logiki jele). Példák. ld. el dás. Átfoglmzás. f(x) < ε f(x) K(, ε) 0 < x x 0 < δ(ε) x D x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D hol K(, ε) z pont ε sugrú környezetét jelöli. Ennek segítségével deníció átfoglmzhtó: lim f(x) =, x x 0 h pont bármely K(, ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x (K(x 0, δ) \ {x 0 }) D, kkor f(x) K(, ε). Ez z átfoglmzás lehet séget d htárérték deníciójánk kiterjesztésére. Azt mondjuk, hogy + + torlódási pontj D R-nek, h bármely környezetében vn D-beli pont (mi nyilvánvlón mindig különböz + -t l).. A deníció kiterjeszthet rr z esetre, mikor x 0, R b. Például, z x 0 =, = esetben htárérték deníciój: legyen x 0 = torlódási pontj D-nek, kkor lim f(x) = zt jelenti, hogy hogy x bármely környezetéhez vn -nek olyn környezete, hogy h x-et ezen utóbbi környezet és D közös részéb l vesszük, kkor f(x) benne lesz el bbi környezetében. Vgy, mi ugynz, bármely K < 0 számhoz vn olyn δ(k) > 0 szám, hogy f(x) < K h x > δ(k), és x D.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 27 2. Jobb- és bloldli htárérték (csk x 0 R-ben). Tegyük fel, x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. H D [x 0, + [ hlmzr lesz kített függvény D ], x 0 ] D ], x 0 ] htárértéke z x 0 pontbn z szám, kkor zt mondjuk, hogy jobboldli f bloldli htárértéke, és ezt lim f(x) = x x 0+0 lim x x 0 0 f(x) = -vl jelöljük. Másképpen foglmzv, legyen x 0 D [x 0, + [ hlmz torlódási pontj. Akkor mondjuk, hogy z f : D D ], x 0 ] R R függvénynek z szám jobboldli bloldli htárértéke z x 0 pontbn, h minden ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy 0 < x x f(x) < ε h 0 < δ(ε) és δ(ε) < x x 0 < 0 x D teljesül. Definíció. Legyenek f, g : D R R, kkor e függvények (pontonkénti) összegét, f c R-szeresét, szorztukt, hánydosukt z (f + g)(x) : = f(x) + g(x) (x D) (cf)(x) : = cf(x) (x D) (fg)(x) : = f(x)g(x) (x D) (f/g)(x) : = f(x)/g(x) (x D, g(x) 0) képletekkel értelmezzük. Tétel. [htárérték, monotonitás és m veletek] Legyenek f, g : D R R, x 0 D, és tegyük fel, hogy Akkor bármely c R mellett lim f(x) =, lim g(x) = b. x x 0 x x 0 lim (f + g)(x) x x 0 = + b, lim (cf)(x) x x 0 = c, lim (fg)(x) x x 0 = b, lim (f/g)(x) x x 0 = /b, h b 0. H f(x) g(x) (x D, x x 0 ), kkor b. H f(x) h(x) g(x) (x D, x x 0 ), és = b, kkor lim h(x) =. x x 0 Bizonyítás. Az átviteli elv lpján soroztok htárértékének tuljdonságiból következik. A tétel kkor is igz, h, b R b, x 0 R b, de ekkor meg kell követelnünk, hogy jobboldli kifejezések ( + b, c, b, /b) értelmezve legyenek. Definíció. A h(x) := g (f(x)) (x D) függvényt, hol f : D R R, g : f(d) R, z f és g függvényekb l összetett függvénynek nevezzük, f bels, g küls függvény. h jelölésére hsználjuk h = g f-t is (itt f(d) = { f(x) : x D } z f függvény értékkészlete). Tétel. [összetett függvény htárértéke] Legyen f : D R R, g : f(d) R, és h(x) := g (f(x)) (x D). H x 0 D, lim f(x) =, / f (D \ {x 0 }), x x 0 és lim g(x) = b y kkor lim h(x) = b. x x 0

28 GAZDASÁGI MATEMATIKA I. Bizonyítás. Legyen x 0 x n x 0 (n ) kkor y n := f(x n ) (n ) és y n f (D \ {x 0 }) ezért y n, így h(x n ) = g(y n ) b (n.) 5.2 Függvény folytonosság Definíció. Az f : D R R függvényt értelmezési trtományánk x 0 D pontjábn folytonosnk nevezzük, h bármely ε > 0-hoz vn olyn δ(ε) > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < ε h x x 0 < δ(ε) és x D teljesül. H x 0 D D kkor f folytonos x 0 -bn kkor, és cskis kkor, h lim f(x) = f(x 0 ). x x 0 H x 0 D, de x 0 / D, kkor x 0 D izolált pontj, izolált pontokbn f deníció lpján mindig folytonos. Tétel. [átviteli elv függvény folytonosságár] Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h bármely (x n ) : N D, x n x 0 (n ) sorozt esetén f(x n ) f(x 0 ) (n ). Környezetes átfoglmzás. Az f : D R R függvény folytonos z x 0 D pontbn kkor és cskis kkor, h f(x 0 ) bármely K(f(x 0 ), ε) környezetéhez vn x 0 -nk olyn K(x 0, δ) környezete, hogy h x K(x 0, δ), kkor f(x) K(f(x 0 ), ε). Tétel. [folytonosság es m veletek] H f, g : D R R folytonosk z x 0 D pontbn, kkor f + g, cf, fg, f/g (h g(x 0 ) 0) is folytonosk x 0 -bn. Továbbá, h(x) = g (f(x)) (x D) összetett függvény (hol f : D R R, g : f(d) R) folytonos x 0 -bn, h f folytonos x 0 -bn és g folytonos z y 0 := f(x 0 ) pontbn. 5.3 Folytonos függvények globális tuljdonsági Definíciók. Az f : D R R függvényt lulról felülr l korlátosnk nevezzük, h értékkészlete lulról felülr l korlátos. Az f : D R R függvényt monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) f(x 2 ) f(x ) f(x 2 ) teljesül. Az f : D R R függvényt szigorún monoton növekv nek csökken nek nevezzük D n, h bármely x < x 2, x, x 2 D esetén f(x ) < f(x 2 ) f(x ) > f(x 2 ) teljesül. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x K(x 0, ε) D esetén.

GAZDASÁGI MATEMATIKA I. 29 Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú lokális (helyi) mximum minimum z x 0 D pontbn, h vn olyn ε > 0 hogy f(x 0 ) > f(x) teljesül minden f(x 0 ) < f(x) x K(x 0, ε) D, x x 0 esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) f(x) f(x 0 ) f(x) teljesül minden x D esetén. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvénynek szigorú globális (bszolút) mximum minimum vn z x 0 D pontbn, h f(x 0 ) > f(x) f(x 0 ) < f(x) teljesül minden x D, x x 0 esetén. Állítás. Folytonos függvény jeltrtó, zz h f : D R R folytonos z x 0 D pontbn, és f(x 0 ) 0 kkor vn olyn δ > 0 hogy sg f(x) = sg f(x 0 ) h x K(x 0, δ) D, hol sg szignum (el jel) függvényt jelöli. Bizonyítás. A folytonosság mitt ε := f(x 0 ) /2-höz vn olyn δ > 0, hogy f(x) f(x 0 ) < f(x 0 ) /2 h x x 0 < δ(ε) és x D. Legyen pl. f(x 0 ) > 0, kkor z el z egyenl tlenséget részletesen kiírv kpjuk, hogy f(x 0 )/2 < f(x) f(x 0 ) < f(x 0 )/2, vgy f(x 0 )/2 < f(x) (< 3f(x 0 )/2), h x G(x 0, δ) D, mi muttj állításunk helyességét. Definíció. Azt mondjuk, hogy z f : D R R függvény folytonos z A D hlmzon, h f z A hlmz minden pontjábn folytonos. Tétel. [folytonos függvény korlátosság] Korlátos zárt intervllumon folytonos függvény korlátos. Azz h f : [, b] R folytonos [, b]-n, kkor vnnk olyn k, K R melyekre k f(x) K minden x [, b] mellett. Bizonyítás. Tegyük fel állításunkkl ellentétben, hogy pl. f nem korlátos felülr l. Akkor minden n N-hez vn olyn x n [, b], hogy f(x n ) > n. Tekintsük z A := { x n : n N } hlmzt. H A véges hlmz, kkor vn olyn x k0 eleme A-nk, hogy x n = x k0 véges sok n index kivételével, zz, x n = x k0 h n > n 0. H A végtelen hlmz, kkor Bolzno-Weierstrss tétel lpján A-nk vn (leglább egy) x 0 torlódási pontj. x n [, b] és [, b] zártság mitt x 0 [, b]. Vegyünk z x 0 pont K(x 0, ) környezetéb l egy x 0 -tól különböz A-beli x n pontot. Ezután z x 0 pont K(x 0, d ) környezetéb l, hol d = x n x 0, válsszunk egy olyn x 0 -tól különböz x n2 A pontot melyre n 2 > n legyen (ilyen biztosn vn, mert z x 0 pont bármely környezete végtelen sok A-beli pontot trtlmz, egyébként x 0 nem lehetne A torlódási pontj). Az x n3 pontot K(x 0, d 2 ) környezetb l válsztjuk, hol d 2 = x n2 x 0, úgy, hogy x n3 x 0, és n 3 > n 2 legyen. Hsonlón