Nemlineáris dinamika, oszcilláló reakciók, reakció-diffúzió rendszerek Szalai István Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 1 / 19
Olvasnivalók Encyclopedia of dynamical systems (http://www.scholarpedia.org/article/encyclopedia of dynamical systems) Prigogine-Stengers: Az új szövetség (Akadémiai Kiadó, 1995) Pontrjagin: Közönséges diffrenciálegyenletek (Akadémiai Kiadó, 1972) Tóth J., Simon L. P.: Differenciálegyenletek, Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba (Typotex, 2005) Tél-Gruiz: Kaotikus Dinamika (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002) Nemlineáris dinamika és egzotikus kinetikai jelenségek kémiai rendszerekben (egyetemi jegyzet, Szerkesztő: Dr. Bazsa György, Debrecen-Budapest-Gödöllő, 1992) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 2 / 19
Olvasnivalók John Maynard Smith, Szatmáry Eörs: Az evolúció nagy lépései (Scientia Kiadó, 1997) Mérő László: Észjárások (Typotex, 1994), Az élő pénz (Tericum, 2004) Ropolyi László: Az Internet természete (Typotex, 2006) Roger Penrose: A császár új elméje (Akadémiai Kiadó, 1993) D. R. Hofstadter Gödel, Escher, Bach (Typotex, 1998) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 3 / 19
Bevezetés Motiváció,,egy élettelen, de kellően összetett kémiájú bolygón nagyon valószínű, hogy az élet spontán módon kialakul, és egyre összetettebb és bonyolultabb formákba rendezi önmagát. Csak azt kell megérteni, hogy... milyen fizikai törvények tették az élet felé vezető első lépést nemcsak lehetségessé, de elkerülhetetlenné is. (Ian Stewart: A végtelen megszeĺıdítése, Helikon, 2008) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 4 / 19
Bevezetés Motiváció,,egy élettelen, de kellően összetett kémiájú bolygón nagyon valószínű, hogy az élet spontán módon kialakul, és egyre összetettebb és bonyolultabb formákba rendezi önmagát. Csak azt kell megérteni, hogy... milyen fizikai törvények tették az élet felé vezető első lépést nemcsak lehetségessé, de elkerülhetetlenné is. (Ian Stewart: A végtelen megszeĺıdítése, Helikon, 2008) Milyen kémiai reakciók és milyen körülmények szükségesek komplex viselkedésmódok kialakulásához? Mennyire különlegesek, ritkák az ilyen kémiai reakciók? Hogyan szabályozható a dinamikai viselkedés? zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 4 / 19
Bevezetés Dinamikai rendszerek,,általánosságban a dinamikai rendszerek időben változó, determinisztikus fizikai, vagy biológiai rendszerek matematikai modelljei. Folytonosan változó rendszerek esetén ezt az időbeli fejlődést tipikusan valamilyen differenciálegyenlet írja le, ezekről majd később lesz szó. Diszkrét dinamikai rendszernek azt nevezzük, ha van egy leképezésünk valamilyen halmazon, ahol a halmaz elemei a rendszer lehetséges állapotai (egyszerűbb esetben számok, de lehetnek vektorok vagy akár komplikáltabb dolgok is), és ezt iteráljuk. nemlinearis.blog.hu/2008/08/26/mik azok a dinamikai rendszerek 1 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 5 / 19
Bevezetés Dinamikai rendszerek,,általánosságban a dinamikai rendszerek időben változó, determinisztikus fizikai, vagy biológiai rendszerek matematikai modelljei. Folytonosan változó rendszerek esetén ezt az időbeli fejlődést tipikusan valamilyen differenciálegyenlet írja le, ezekről majd később lesz szó. Diszkrét dinamikai rendszernek azt nevezzük, ha van egy leképezésünk valamilyen halmazon, ahol a halmaz elemei a rendszer lehetséges állapotai (egyszerűbb esetben számok, de lehetnek vektorok vagy akár komplikáltabb dolgok is), és ezt iteráljuk. nemlinearis.blog.hu/2008/08/26/mik azok a dinamikai rendszerek 1,,A dinamikai rendszerek elmélete egy matematikai elmélet (általában az anaĺızis körébe sorolják), amely egy állapottérrel leírt rendszer valamely álapotainak rögzített szabályok szerinti időbeli változásával foglalkozik. hu.wikipedia.org/wiki/dinamikai rendszer Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 5 / 19
,,Egyszerű (lineáris) rendszerek F = mg sin θ sin θ θ θ = g l θ l T = 2π g zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 6 / 19
,,Egyszerű (lineáris) rendszerek A k 1 B k 2 C k 3 D c A = k 1 c A c B = k 1 c A k 2 c B c C = k 2 c B k 3 c C c D = k 3 c C c A = c 0 A e k 1t c B = c0 A k 1 (e k1t e k2t ) k 2 k 1 c C = ca 0 k e k 1t 1k 2 ( (k 2 k 1 )(k 3 k 1 ) e k2t (k 2 k 1 )(k 3 k 2 ) e k3t (k 3 k 1 )(k 3 k 2 ) ) zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 7 / 19
,,Egyszerű (lineáris) rendszerek Schrödinger egyenlet i t Ψ = ĤΨ Ĥ = 2 + V (r, t) 2m = 2 x + 2 y + 2 z Szuperpozíció elve (LCAO): φ i = r c ri χ r Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 8 / 19
,,Egyszeru (linea ris) rendszerek Jellemzo k Egye rtelmu ok-okozati o sszefu gge sek. Az okozat ara nyos a kiva lto okkal. Kisza mı thato sa g. Elo rejelezheto se g. Az ege sz a re szek o sszesse ge. Szalai Istva n ELTE ( Eo tvo s Lora nd Tudoma nyegyetem Budapest 2011 ) 9 / 19
Háromtest probléma II. Oszkár svéd király (1888) Given a system of arbitrarily many mass points that attract each according to Newton s law, under the assumption that no two points ever collide, try to find a representation of the coordinates of each point as a series in a variable that is some known function of time and for all of whose values the series converges uniformly. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 10 / 19
Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19
Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Poincaré megnyeri a díjat (1889 január 27.), ami 2500 svéd korona. A bizonyítást az Acta Mathematica újság fogadja el közlésre. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19
Háromtest probléma Henri Poincaré nyer és veszít A határidő előtt két héttel (1888 május 17.) leadja 158 oldalas bizonyítását a megoldás létezéséről. Poincaré megnyeri a díjat (1889 január 27.), ami 2500 svéd korona. A bizonyítást az Acta Mathematica újság fogadja el közlésre. Poincaré 1989 november 30-án leálĺıtja a nyomtatást és a közli újabb 270 oldalas bizonyítását. Ebben megmutatja, hogy a problémának nincs általános megoldása és azt is hogy bizonyos kezdeti feltételeknél a megoldás,,megjósolhatalan. Az újranyomtatás 3500 svéd koronába kerül Poincarénak. zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 11 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Kettős inga - kaotikus mozgás (egyszerű rendszerek bonyolult viselkedése) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 12 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Szolitonok (lokalizált hullámok, amelyek mozgásuk, egymással való ütközésük során megtartják alakjukat) v = g(d + h) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 13 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Szolitonok (lokalizált hullámok, amelyek mozgásuk, egymással való ütközésük során megtartják alakjukat) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 14 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Faraday mintázatok - folyadékfelszínen kialakuló állandó lyukak F. S. Merkt, R. D. Deegan, D. I. Goldman, E. C. Rericha, and Harry L. Swinney PRL (92), 2004 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 15 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Folyadékcseppek Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 16 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Pattogó folyadékcseppek Y. Couder, S. Protière, E. Fort, A. Boudaoud, Nature (437), 2005 Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 17 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek,,egyszerű kémiai reakció által létrehozott hidrodinamikai áramlás NaOH + HCl = NaCl ρ(naoh)> ρ(hcl) C. Almarcha, P.M.J. Trevelyan, P. Grosfils and A. De Wit, Phys. Rev. Lett. (104) 2010. Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 18 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek,,egyszerű kémiai reakció által létrehozott hidrodinamikai áramlás NaOH + HCl = NaCl ρ(naoh)> ρ(hcl) C. Almarcha, P.M.J. Trevelyan, P. Grosfils and A. De Wit, Phys. Rev. Lett. (104) 2010. D(HCl)> D(NaCl) D(NaOH) D(NaCl) Szalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 18 / 19
Komplex (nemlineáris) rendszerek Jellemzők Körkörös ok-okozati összefüggések, visszacsatolások. Kis különbségek a kezdeti feltételekben drámai változásokat okozhatnak. Kiszámíthatatlanság. Önszerveződés. Az egész nem csupán a részek összessége. zalai István ELTE ( Eötvös Loránd Tudományegyetem Budapest 2011 ) 19 / 19