Fiznum második rész hosszabb feladatsor. Pál Bernadett. Határozzuk meg a 13. feladatban szereplő rendszer sajátfrekvenciáit!

Hasonló dokumentumok
Annak a function-nak a neve, amiben letároltuk az egyenletünket.

Lineáris leképezések. 2. Lineáris-e az f : R 2 R 2 f(x, y) = (x + y, x 2 )

3. előadás Stabilitás

Kiegészítő előadás. Vizsgabemutató Matlab. Dr. Kallós Gábor, Dr. Szörényi Miklós, Fehérvári Arnold. Széchenyi István Egyetem

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

ODE SOLVER-ek használata a MATLAB-ban

Sajátértékek és sajátvektorok. mf1n1a06- mf1n2a06 Csabai István

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

n n (n n ), lim ln(2 + 3e x ) x 3 + 2x 2e x e x + 1, sin x 1 cos x, lim e x2 1 + x 2 lim sin x 1 )

DINAMIKAI VIZSGÁLAT ÁLLAPOTTÉRBEN Dr. Aradi Petra, Dr. Niedermayer Péter: Rendszertechnika segédlet 1

Gyakorló feladatok. Agbeko Kwami Nutefe és Nagy Noémi

Feladatok a Gazdasági matematika II. tárgy gyakorlataihoz

Feladatok az 5. hétre. Eredményekkel és teljesen kidolgozott megoldásokkal az 1,2,3.(a),(b),(c), 6.(a) feladatokra

Lagrange és Hamilton mechanika

Analízis III. gyakorlat október

Függvények Megoldások

Numerikus matematika

Matematika II képletek. 1 sin xdx =, cos 2 x dx = sh 2 x dx = 1 + x 2 dx = 1 x. cos xdx =,

Differenciálegyenletek numerikus integrálása április 9.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

Hajlított tartó elmozdulásmez jének meghatározása Ritz-módszerrel

Lineáris algebra Gyakorló feladatok

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata

10. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 10. előadás Sajátérték, Kvadaratikus alak

I. feladatsor. 9x x x 2 6x x 9x. 12x 9x2 3. 9x 2 + x. x(x + 3) 50 (d) f(x) = 8x + 4 x(x 2 25)

Mátrixok 2017 Mátrixok

Fizika. Fizika. Nyitray Gergely (PhD) PTE PMMIK február 13.

Mechanika I-II. Példatár

Példa keresztmetszet másodrendű nyomatékainak számítására

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Emelt szintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

Numerikus matematika vizsga

Megoldás: Mindkét állítás hamis! Indoklás: a) Azonos alapú hatványokat úgy szorzunk, hogy a kitevőket összeadjuk. Tehát: a 3 * a 4 = a 3+4 = a 7

Érettségi feladatok: Koordináta-geometria 1/5

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Lineáris egyenletrendszerek

Bevezetés az algebrába 2 Differencia- és differenciálegyenlet-rendszerek

Saj at ert ek-probl em ak febru ar 26.

Feladatok megoldásokkal a 9. gyakorlathoz (Newton-Leibniz formula, közelítő integrálás, az integrálszámítás alkalmazásai 1.

Differenciálegyenletek december 13.

Matematika II. 1 sin xdx =, 1 cos xdx =, 1 + x 2 dx =

7. gyakorlat megoldásai

Lineáris algebra. (közgazdászoknak)

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

Szinguláris érték felbontás Singular Value Decomposition

Érettségi feladatok Koordinátageometria_rendszerezve / 5

Az α értékének változtatásakor tanulmányozzuk az y-x görbe alakját. 2 ahol K=10

Geometriai vagy kinematikai természetű feltételek: kötések vagy. kényszerek. 1. Egy apró korong egy mozdulatlan lejtőn vagy egy gömb belső

Compton-effektus. Zsigmond Anna. jegyzıkönyv. Fizika BSc III.

Lendület. Lendület (impulzus): A test tömegének és sebességének szorzata. vektormennyiség: iránya a sebesség vektor iránya.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

PÉLDÁK ERŐTÖRVÉNYEKRE

3. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 3. előadás Lineáris egyenletrendszerek

9. Előadás. (9. előadás) Lineáris egyr.(3.), Sajátérték április / 35

Az elméleti mechanika alapjai

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

1. Diagonalizálás. A Hom(V) diagonalizálható, ha van olyan bázis, amelyben A mátrixa diagonális. A diagonalizálható van sajátvektorokból álló bázis.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Rugalmas állandók mérése (2-es számú mérés) mérési jegyzõkönyv

Irányításelmélet és technika I.

Norma Determináns, inverz Kondíciószám Direkt és inverz hibák Lin. egyenletrendszerek A Gauss-módszer. Lineáris algebra numerikus módszerei

sin x = cos x =? sin x = dx =? dx = cos x =? g) Adja meg a helyettesítéses integrálás szabályát határozott integrálokra vonatkozóan!

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

Az egyenlőtlenség mindkét oldalát szorozzuk meg 4 16-al:

Lineáris algebra 2. Filip Ferdinánd december 7. siva.banki.hu/jegyzetek

Lineáris algebra gyakorlat

MATLAB. 5. gyakorlat. Polinomok, deriválás, integrálás

Bevezetés az algebrába 2

VIK A2 Matematika - BOSCH, Hatvan, 3. Gyakorlati anyag. Mátrix rangja

Numerikus integrálás

Vektorok és koordinátageometria

Hatvány, gyök, normálalak

1. zárthelyi,

1. Gauss-eloszlás, természetes szórás

NULLADIK MATEMATIKA ZÁRTHELYI

Lagrange egyenletek. Úgy a virtuális munka mint a D Alembert-elv gyakorlati alkalmazását

2. Hangfrekvenciás mechanikai rezgések vizsgálata jegyzőkönyv. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

A +Q töltés egy L hosszúságú egyenes szakasz mentén oszlik el egyenletesen (ld ábra ábra

függvény grafikonja milyen transzformációkkal származtatható az f0 : R R, f0(

1. Feladatok munkavégzés és konzervatív erőterek tárgyköréből. Munkatétel

Numerikus módszerek II. zárthelyi dolgozat, megoldások, 2014/15. I. félév, A. csoport. x 2. c = 3 5, s = 4

Gyakorló feladatok 9.évf. halmaznak, írd fel az öt elemű részhalmazokat!. Add meg a következő halmazokat és ábrázold Venn-diagrammal:

6. gyakorlat. Gelle Kitti. Csendes Tibor Somogyi Viktor. London András. jegyzetei alapján

Halmazok. Gyakorló feladatsor a 9-es évfolyamdolgozathoz

2. Rugalmas állandók mérése jegyzőkönyv javított. Zsigmond Anna Fizika Bsc II. Mérés dátuma: Leadás dátuma:

y = y 0 exp (ax) Y (x) = exp (Ax)Y 0 A n x n 1 (n 1)! = A I + d exp (Ax) = A exp (Ax) exp (Ax)

A Föld középpontja felé szabadon eső test sebessége növekszik, azaz, a

Lin.Alg.Zh.1 feladatok

1. ábra. 24B-19 feladat

A mérési eredmény megadása

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

W = F s A munka származtatott, előjeles skalármennyiség.

Végeselem modellezés alapjai 1. óra

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK október 12. Irodalom A fogalmakat, definíciókat illetően két forrásra támaszkodhatnak: ezek egyrészt elhangzanak

Baran Ágnes, Burai Pál, Noszály Csaba. Gyakorlat Differenciálegyenletek numerikus megoldása

Gyakorló feladatok. 2. Matematikai indukcióval bizonyítsuk be, hogy n N : 5 2 4n n (n + 1) 2 n (n + 1) (2n + 1) 6

Átírás:

Fiznum második rész Pál Bernadett 1. 1. hosszabb feladatsor 15 Határozzuk meg a 13. feladatban szereplő rszer sajátfrekvenciáit! Kiszámoljuk a mátrixot. ábra az első feladatsorban. mẍ 1 = D(x 2 x 1 ) + D(x 3 x 1 ) dx 1 mẍ 2 = D(x 3 x 2 ) D(x 2 x 1 ) mẍ 3 = Dx 3 D(x 3 x 2 ) D(x 3 x 1 ) mẍ 1 = x 1 ( 3D) + x 2 D + x 3 D mẍ 2 = x 1 D x 2 (2D) + x 3 D mẍ 3 = x 3 ( D) + x 2 D + x 1 D = -3 1 1 1-2 1 1 1-1 Octave-ban: A=[-3 1 1; 1-2 1; 1 1-1] eig(a) a kiírt sajátértékeknek veszem a -1szeresét és gyököt vonok belőlük. Azok lesznek a sajátfrekvenciák. (1) (2) 16 Alkossunk 6x6os felsőháromszög mátrixot, melynek nem nulla elemei a) A j,k Vizsgáljuk meg a sajátértékeket, sajátvektorokat! function A=andrisnincsitt() for i=1:6 for j=1:6 if (j =i) ide sima kacsacsőr kell, csak a L A TEXnem fogadja el -.- A(i,j)=i*j; = j k b)véletlen számok. octave: A=andrisnincsitt() [sv,se]=eig(a) megadja a sajátvektorokat és sajátértékeket külön. 1

B rész: function A=andrisnincsittv() for i=1:6 for j=1:6 if(j =i) A(i,j)=rand(1); Az [sv,se] paranccsal az egyre normált sajátvektorokat kapjuk oszlopvektor formájában, és a sajátértékeket mátrixban. 2. 2. feladatsor Diffegyenletek általánosan (Euler módszer) dx dt = f(x, t) dx = x i+1 x 1 t i+1 t i = f(x i, t i ) x i+1 = x i + f(x i, t i ) (t i+1 t i ) (3) 1 Egy radioaktívan bomló anyag mennyiségének változását a dn dt = λn egyenlet írja le. Oldjuk meg az egyenletet Euler módszerrel és az octave beépített függvényével! Ha az N 0 = 10 7 kezdeti feltételből indulunk ki, mennyi idő szükséges ahhoz, hogy az összes atom elbomoljon (azaz N 0 legyen)? Hogyan függ ez az időtartam a λ bomlási állandótól? function [t,n]=rovid(t0,n0,n,tmax,lambda) % kezdeti idő, kezdeti anyagmennyiség, lépésszám, meddig futtatjuk N=zeros([n,1]); % ez adja meg, mekkora vektor lesz az eredmény N(1)=N0; N(i+1)=N(i)-lambda*N(i)*(t(i+1)-t(i)); octave: [t,n]=rovid(0,100000,1000,10,100); plot(t,n) 2 Vizsgáljuk meg egy m=1 tömegű részecske mozgását a V (x) = 1 4 x4 1 2 x2 potenciálban! a) írjuk fel a mozgásegyenletet, alakítsuk át numerikusan kezelhető formába és oldjuk meg különböző kezdeti feltételekkel! Vizsgáljuk meg az E 0 és E 0 eseteket is! Itt E a részecske teljes energiája! b)mérjük meg a periódusidőt az E függvényében! c) egészítsük ki a modellünket egy sebességgel arányos súrlódási taggal! mozgásegyenlethez lederiváljuk x szerint kétszer. Úgy lesz numerikusan kezelhető, ha bevezetjük a sebességet és azzal kifejezzük, úgy már csak elsőrű diffegyenletünk lesz. mẍ = x 3 + x, m = 1 ẍ = x 3 + x v = ẋ v = x 3 + x (4) 2

function [t,x]=reszecske(t0,tmax,n,x0,v0) v=zeros([n,1]); v(1)=v0; v(i+1)=v(i)+(-x(i) 3+x(i))*t((i+1)-t(i)); x(i+1)=x(i)+v(i)*(t(i+1)-t(i)); [t,x]=reszecske(0,10,1000,0,1); plot(t,x) periódusidő megméréséhez a kiplotolt ábrán az egér középső gombjával helyezhetünk el pontokat, melynek az octave kiírja a pontos koordinátáit. Megmérjük két periódus közt ezzel a módszerrel. b) súrlódás function [t,x]=reszecskesurlodas(t0,tmax,n,x0,v0) v=zeros([n,1]); v(1)=v0; v(i+1)=v(i)+(-x(i) 3+x(i)-0.1*v(i))*(t(i+1)-t(i)); x(i+1)=x(i)+v(i)*(t(i+1)-t(i)); [t1,x1]=reszecskesurlodas(0,10,1000,2,0); plot (t1,x1) v = x 3 + x λv (5) 3 Oldjuk meg a dx dt = 2xt egyenletet! Vizsgáljuk meg a megoldásokat különböző kezdeti feltételekre! function [t,x]=sex(t0,tmax,n,x0) x(i+1)=x(i)-2*x(i)*t(i)*(t(i+1)-t(i)); [t,x]=sex(0,10,1000,1); plot(t,x) gauss görbe lesz a megoldás. 3

4 Egy tárgyból a hallgatók évvégi összpontszámai a pontok.txt fileban találhatók. Az oszlopok egymás utána évekre vonatkoznak, egymás alatt a hallgatók pontszámai találhatók. Minden évben 25 pontot kellett elérni a tárgy teljesítéséhez. Töltsük le a fájlt, olvassuk be és határozzuk meg, hogy az egyes években hányan teljesítették. Mennyi az 1-est szerzők számának szórása? s=load( pontok.txt ); function x=fallosz(a) x=zeros([16,1]); (mert 16 év volt) for i=1:16 for j=1:30 (minden egyes ember) if(a(j,i) =25) x(i)=x(i)+1; (az átmenő emberek számához hozzáadunk egyet x=fallosz(s) x=30-x (ahányan 1est kaptak) std(x) (szórás) mean(x) (átlag hányan buktak meg) 5 Kimértük egy rugó erejét a megnyúlás függvényében és úgy találtuk, hogy nem pontosan lineáris. Az adatok a data.txt fájlban találhatók, első oszlop a megnyúlás cm-ben, a második oszlop az erő Newtonban. Illesszünk rá polinomot! Ez alapján adjuk meg, hogy ha egy gépbe szereljük, amiben időnként 2.5cm-rel nyúlik meg, máskor ugyanennyit nyomódik össze, akkor a megnyújtott és összenyomott esetben ható erők abszolút értékeinek várhatóan mennyi a különbsége! Ha 1N-nal húzzuk, várhatóan mennyit nyúlik meg? s=load( data.txt ) plot(s(:,1),s(:,2)); illesszünk polinomot a=polyfit(s(:,1),s(:,2),2) másodr harmadrben közelítve nagyon picik az értékek, ezért elég a másodr. b=polyval(a,s(:,1)) ez kiszámolja az y értékeket, ha beadjuk az illesztés paramétereit tartalmazó vektort és az eredeti értékeket a=polyfit(s(:,1),s(:,2),3); b=polyval(a,s(:,1)) plot(s(:,1),s(:,2),s(:,1),b); Két és félcentizős gép: b=polyval(a,2.5) b=polyval(1,-2.5) a két érték abszolútértékét kivonjuk egymásból, ez lesz az erők különbsége. 4

9 Számoljuk ki az x p + y p = 1 egyenlettel adott görbe által körülzárt terület nagyságát különböző p [1, ) értékekre! function s=zotya(p,n) x=linspace(-1,1,n); y=linspace(-1,1,n); s=0; for i=1:n for j=1:n if(x(i) p+y(j) p =1) s=s+4*n (-2); az n (-2) a kis négyzet területe, amire felosztottuk a tartományt zotya(2,100) a pi értékét kéne visszakapnunk. Minél több részre bontjuk (200,300) annál jobban közelít a pi értékéhez. 10 Számoljuk ki egy vékony rúd tehetetlenségi nyomatékát, ha keresztmetszetének területe A(x) = cos(πx/a) függvény szerint változik a rúd hossza mentén, míg x [ a/2, a/2]! A tehetetlenségi nyomatékot a Θ = a/2 a/2 ϱa(x)x2 dx képlettel számolhatjuk, ahol a ϱ sűrűséget vegyük 2-nek! function s=kufi(a,n) - az integrálás során felbontjuk kis téglalapokra a területet, majd felülről vagy alulról becsüljük a fv értékét a téglalapon és elég sok lépés után bekonvergál x=linspace(-a/2,a/2,n); s=0; s=s+(x(i+1)-x(i))*2*x(i) 2*cos(pi*x(i)/a); kufi(1,100) kufi (1, 100000) kábé ennyi az értéke. kufi (2,1000) kufi (5,1000) - a növelésére növekszik az érték. 5