I. Adatk, adatgyűjtés Adatgyűjtés adatk minőségének értékelése. Gazdasági adatkról lesz szó! Adat: rögzített ismeret. Számszerű adatkkal fgunk fglalkzni. Általában az adatk nem teljes körűek (kmplettek). Az adatgyűjtés fő kérdései:. Mi(k) a releváns ppuláció(k)?. Mik az adatfrrásk? 3. Hány embert kérdeztünk meg és hgyan válgattuk ki őket? 4. Hgyan gyűjtöttük össze az infrmációkat? 5. Kik nem válaszltak? 6. Milyen típusú adatkat gyűjtöttünk? ad.. Skaság (ppuláció) Fnts a kiválasztás precizitása. A megkérdezetteknek tudni kell, miről van szó! Ez tehát alapvető marketing prbléma! (lásd tt!) ad.. Adatfrrásk Szegmentálás, célcsprt kiválasztás Ismérvek! GIGO (szemét be, szemét ki) Eredetük szerint: Elsődleges (eredeti) adatk Másdlags (származéks) adatk ad.3. A megkérdezettek kiválasztása a.) A CENSUS (népszámlálás, összeírás) Ez nem kíván semmilyen szelekciót, hiszen mindenkire vnatkzik! b.) Véletlen kiválasztás A vizsgált skaság minden elemének azns esélye van a mintába kerülésre! Pl. véletlen szám generálás útján való kiválasztás c.) Nem véletlen kiválasztás Előzetes szűréssel a skaság egy részét kizárjuk a mintából. Kvóta minta: a skaságt többféle jellemző aznsítja. Minden jellemző alapján egy-egy részt választunk ki. (pl. nem, életkr, munka) A mintában az egyes jellemzők aránya hasnló lesz az alapskaságéhz! (Pl. férfi-nő aránya a valóságban 46 % - 54 %., akkr a mintában is ilyennek kell lennie.)
d.) Számsság Minél hetergénabb az alapskaság, annál nagybb minta kell! (Egy hmgén skaságból elég elemet vizsgálni!) A minta elemszámától függ a vizsgálat pntssága. e.) Kmplexebb véletlen minták Ha az alapsság rétegezhető, akkr a mintában is jelen lesznek a rétegek. Tehát minden rétegből - súlyának megfelelően - választani kell eleme(ke)t. Ha vannak rétegek, de nem tudjuk őket aznsítani, akkr először a rétegekre kell rákérdeznünk, s csak azután fghatunk a mintavételhez. (Utólags rétegezés!) Clusterezés (csprtsítás) Ha vannak (eredendően) lyan csprtk, amelyek eleve tükrözik az alapskaságt, azkból kell választani. Több lépcsős tervezés Ez a fkzats szűkítés technikája. ad.4. Kérdezés A kérdezés mikéntje igen fnts! a.) Kérdőív-tervezés Legyen világs a vizsgálat tárgya, témája! Világs és tömör kérdések! A kérdés ne tartalmazza a választ (ne is utaljn rá!) A kérdések lgikus srrendet kövessenek! A nyelvezet egyszerű, könnyen érthető legyen! A kérdés ne krlátzza a válaszadót! A kérdőív rövid és tömör legyen! A kérdés lehet: nyittt, zárt, segítő, szűkítő, szűrő, többszörös válaszadó (zártkérdés alternatív kimenetekkel) A válasz lehet: szabad, rögzített, (választással!), igen-nem, skálán elhelyezhető. b.) Interjúk A személyes varázs hatása érvényesülhet. Bizalmi viszny jöhet létre. Felszínre jöhetnek meg nem értési prblémák. Segítségadás a kérdezettnek, stb.
c.) Pstai kérdőívek Válaszbrítékkal küldjük ki. A válaszadás önkéntes! Személytelenség! A visszaérkezési arány (!) 0-40 %! ad.5. Kik nem válaszlnak? kk: a.) személyes érdektelenségűek b.) lakcímváltzás miatt nem találhatók c.) kifutás a határidőből d.) az együttműködést elvből megtagadók e.) a lusták ad.6. Az adatk típusa Méréselméleti prblémák! Skálák: nminális, srrendi, intervallum, arány Milyen az adat? Minőségi: csak nminális skálán mérhető. Mennyiségi: minden skálán mérhető lehet! Milyenek az értékek? Diszkrétek vagy flytnsak Az adatk megjelenítése. Az adatk táblázatba fglalása Lehetséges módjai: a.) minden érték felsrlása b.) minden különböző érték felsrlása előfrdulásuk gyakriságával együtt c.) intervallumkba srlás (gyakriságkkal együtt!). Megjelenítés - ábrák - diagramk Diszkrét adatk megjelenítése: - kördiagramk, sávdiagramk - piktgramk Flytns adatk megjelenítése: - hisztgramk 3. Grafiknk használata grafiknk készítése idősrk ábrázlása lgaritmikus grafiknk 3
II. Adatk elemzésének statisztikai módszerei. Statisztikai srk A statisztikai sr: statisztikai adatk valamilyen szempnt szerinti felsrlása Statisztikai srk: (a.) a keletkezés módja szerint: - csprtsító sr - összehasnlító sr b.) az ismérv fajtája szerint: - idősr - területi sr - minőségi sr - mennyiségi sr Mennyiségi srk: - gyakrisági sr: a skaság hgyan szlik meg a mennyiségi ismérv szerint /f/; - értékösszeg sr: a mennyiségi ismérvnek a gyakriságával szrztt adata /f*x/. példa: a) Minden lehetséges értéket felsrló gyakrisági és értékösszeg sr legyen a következő: Ismérvérték (x) csprtlétszám (fő) Gyakriság (f) csprtk száma (db) 3 5 5 4 7 8 7 4 8 9 3 7 8 96 3 6 5 8 0 8 98 6 336 3 3 69 4 7 68 6 3 9 0 90 3 6 86 34 9 306 38 9 34 39 7 73 Értékösszeg (f*x) létszám (fő) Összesen: 37 90 gyakrisági sr értékösszeg sr 4
Listánkat leegyszerűsíthetjük, ha nem srlunk fel minden értéket, hanem az ismertérték adatkból ún. sztáyközöket képezünk. Ebben az esetben az értékösszeg sr pnts reprdukálása nem lehetséges, de megfelelő becslést kaphatunk, ha az sztályközöket az ún. sztályközepekkel helyettesítjük, és ezen értékeket szrzzuk a gyakrisággal. b. Osztályközös gyakrisági és értékösszeg sr: csprtlétszám csprtk száma becsült sztály köz sztályközép (gyakriság) értékösszeg 0-0 5 9 45 0-0 5 9 435 0-30 5 48 00 30-40 35 3 085 Összesen: - 37 866 - az sztályközép a két határ számtani átlaga - a két értékösszeg eltérése: 90-866 44 fő Ezen különbséget hívjuk abszlút becslési hibának. 44 Százaléksan kifejezve a relatív becslési hibát kapjuk: 00,5% 90. Visznyszámk (egyszerű visznyszámk) A visznyszám két, egymással valamilyen kapcslatban álló statisztikai adat hányadsa. Visznyszámk fajtái: megszlási, krdinációs, dinamikus, tervteljesítési és intenzitási Dinamikus visznyszám: az időbeli váltzásk jellemzői. Két különböző időszak - vagy időpnt - azns fajta adatainak egymáshz való arányát mutatja. Két fajtája van: a lánc- és bázisvisznyszám. Láncvisznyszám: az idősr adataiból egymáshz láncszerűen kapcslódó visznyszámk, ahl mindig két szmszéds adatt hasnlítunk össze, tehát ún. váltzó bázissal számlunk. l i x x i i- 5
. példa: Bázisvisznyszám: az idősr minden adatát ugyanazn időszak adatával sztjuk el, tehát az ún. állandó bázissal számlunk. xi b i x (Nagyn lényeges a helyes bázis kiválasztása!) Egy vállalat teljes termelési érték adatai a következők: év termelési érték előző évi termelés 994. évi termelés (mft) %-ában %-ában 994. 30-00,0 995. 40 3,6 3,6 996. 690, 6,3 997. 3050 3,4 43, 998. 370 07, 53,5 999. 3490 06,7 63,8 Milyen összefüggések vannak a bázis- és láncvisznyszámk között?. az első tárgyidőszak lánc- és bázisvisznyszáma egyenlő: l b. az első k láncvisznyszám szrzata a k -ik bázisvisznyszámt adja: l i bk 3. bázisvisznyszámból ugyanúgy számíthatunk láncvisznyszámt, mint az eredeti abszlút számkból). 3. Középértékek Középérték: az azns jellegű számadatk közös jellemzője. A középértékkel szemben támaszttt követelmények: - közepes helyet fglaljn el: x min < K < x max - tipikus legyen, tehát álljn közel az előfrduló értékek zöméhez - egyértelműen legyen definiálva (pl. képlet frmájában). Két fő csprtja ismert a középértékeknek: - helyzeti és - számíttt k i 6
3.. A helyzeti középértékek Jellemzője: - nagyságát az előfrduló értékek egy része nem beflyáslja, - számításuk egyszerű; gyakran rátekintéssel megállapítható a helyzeti középérték). A helyzeti középérték fajtái: módusz és medián Módusz: a leggyakrabban előfrduló ismérvérték Meghatárzásáhz nincs szükség számítására, értéke a gyakrisági srra történő rátekintéssel megállapítható. 3. példa: A Statisztikai alapismeretek tárgyból a hallgatók az alábbi érdemjegyeket érték el: Feladatk: érdemjegy vizsga db x f f*x 5 5 7 54 3 38 4 4 88 5 60 Összesen: 4 33. Állapítsuk meg az érdemjegyek móduszát! A módusz 3, mert ezen sztályzathz tartzik a legnagybb gyakriság (38). Határzzuk meg ugyanezen gyakrisági sr számtani átlagát. x 33:4,904. Hgyan értelmezhető a fenti módusz? A hallgatók leggyakrabban közepes sztályzatt kapnak. Ezzel szemben a,904-es számtani átlagnak nincs ilyen értelmű tárgyi jelentése, hiszen,9-re nem lehet felelni. 7
Nézzük meg, hgy az ismételt vizsgák után hgyan alakulnak az eredmények: érdemjegy vizsga ( db ) x f f*x - - 33 66 3 45 35 4 4 96 5 60 Összesen: 4 357 Feladatk:. Határzzuk meg mst a számtani átlagt: x 357 :4 3,3 Tehát az átlag váltztt azáltal, hgy az érdemjegynek nem számítható elégtelen sztályzatkat kijavíttták. Ezzel szemben a módusz értéke nem váltztt! Megállapítás: a módusz értékét a szélső értékek nem beflyáslják. (Ugyanígy 3 lenne a módusz értéke, ha az eredeti adatk közül - mint nem értékelhetőt - az elégteleneket teljesen figyelmen kívül hagynánk.) Medián: az ismérvhalmaz azn értéke, amelynél ugyanannyi kisebb, mint nagybb érték frdul elő. 4. példa: Hgyan határzható meg a medián? Az ismérvértékeket mntn növekvő srrendbe rendezzük, s az n + srszámú tagja a medián (ha n páratlan), vagy ha "n" párs, úgy a két középső tag számtani átlaga. Határzzuk meg az. példa adatainak mediánját. 37 + n 37 ; medián a - ik tag, tehát a 69. tag Tehát 68 csprtben ennél kevesebb vagy egyenlő, 68-ban pedig több vagy egyenlő a létszám. 8
3.. Számíttt középértékek A számíttt középértékek jellemzője, meghatárzásuk számítás útján történik, értéküket minden átlaglt érték beflyáslja. Számíttt középérték fajták: - számtani átlag, - harmnikus átlag, - mértani átlag, - négyzetes átlag. Számtani átlag: az átlaglandó ismérvértékek összegét sztjuk az ismérvek db számával. Képlete: Σ x x n 5. példa: Egy karbantartó brigád 00. február havi dlgzónkénti bruttó keresete:. Kiss Gábr 3.000,- Ft. Kvács Jenő 36.000,- Ft 3. Balgh Antal 4.000,- Ft 4. Nagy Imre 36.000,- Ft 5. Huzián Mihály 3.000,- Ft 6. Gyergyói Pál 3.000,- Ft 7. Tóth Kárly 36.000,- Ft Összesen: 945.000,- Ft A brigád átlagkeresete: Számtani átlagt alkalmazunk, ha az átlaglandó értékek összegének van tárgyi értelme. (pl. a dlgzók bruttó összkeresete) Az egyes átlaglandó értékek többször is előfrdulhatnak az értéksrban. Ezek összeadását szrzással helyettesítjük: 945000 35.000,- Ft/fő 7 3 x 3000 + 3 x 36000 + x 4000 35000,- Ft 7 Ezzel eljutttunk a súlyztt számtani átlag fgalmáhz. 9
A súlyztt számtani átlag képlete: Σ f ix x Σ f i i Értékét a következő két tényező beflyáslja: az átlaglandó értékek nagysága a súlyk nagysága, a súlyarányk. Harmnikus átlag: a tagk db számát elsztjuk az átlaglandó értékek reciprkainak összegével. 6. példa: Képlete: x h n i n xi Hárm kubiks brigád - az eltérő talajszerkezet miatt - 0 fm alapárk ásási munkáit az alábbi idők alatt végzi el: A brigád: B brigád: C brigád: óra 4 óra 8 óra Feladat: Határzzuk meg, mennyi ideig tart átlagsan 0 fm-nyi alapárk kiásása? (az összeadásnak nincs értelme!) _ t x _ h + 3 4 + 8 4 8 + 3 8 + 8 3 7 8 4 7 3,43 óra Természetesen a harmnikus átlagnak is van súlyztt frmája: x h Σ f f Σ x 0
7. példa: Egy iparvállalat munkaügyi adatai az alábbiak: Egység Havi béralap (Ft) Átlagbér (Ft/fő). üzemrész 800.000,- 40.000,-. üzemrész 900.000,- 30.000,- 3. üzemrész 480.000,- 48.000,- Vállalat:.80.000,-? Feladat: Számítsuk ki a vállalati átlagbért! átlagbér Σ létszám átlagbér Σ béralap Σ létszám Σ béralap Σ átlagbér Σ Σ béralap béralap átlagbér ; a béralap ismert, a létszám nem. ; ezek után Melyek az átlaglandó értékek? Az átlagbérek! Mik a súlyk? A béralapk! Így: 800.000 + 900.000 + 480.000.80.000 vállalati átlagbér 36.333,- Ft 800.000 900.000 480.000 + + 60 40.000 30.000 48.000 8. példa: Egy vállalat két üzemegységének termelési adatai: egység beszámlási időszak termelése (Ft) tervteljesítés (%). üzemegység 43.000,- 08. üzemegység 960.000,- 96 Vállalat:.39.000,-? Feladat: Határzzuk meg a vállalat tervteljesítési %-át! Magyarázzuk meg az eredményt! - az átlaglandó értékek a tervteljesítési %-k. - a súlyk a beszámlási időszaki termelési értékek.
Vállalati tervteljesítés % 43.000 43.000,08 + 960.000 960.000 + 0,96.39.000 400.000 +.000.000.39.000.400.000 0,9943 99,43 % Az átlag a nagybb súlyú üzemegység felé tlódik el. A harmnikus átlagt akkr alkalmazzuk, ha az átlaglandó értékek reciprk értékei összegének tárgyi értelme van, általában visznyszámk - sebesség, teljesítmény, stb. átlagaként számítjuk. Mértani átlag: az a szám, melyet ha az átlaglandó értékek helyébe teszünk, azk szrzata váltzatlan marad. Képlete: x g n x xx3...xn ; azaz: az átlaglandó érték szrzatból n-edik gyököt vnunk. Mikr van értelme? Ha az átlaglandó értékek szrzatának tárgyi jelentése van. Ismerünk-e ilyen esetet? Igen! Láncvisznyszámk szrzata bázisvisznyszám. m f A mértani átlag súlyztt frmája: x g n x j j j Ahl: f j a j-edik adatcsprt gyakrisága n az összes elem száma x j a j-edik adatcsprt ismérvértéke Négyzetes átlag: az átlaglandó ismérvértékek négyzeteinek szummájából képzett számtani átlag négyzetgyöke. Képlete: x q Σ x, ill. súlyztt frmában: n x q Σ fx n Akkr használjuk, ha az átlaglandó értékek különböző előjelét négyzetre emeléssel kívánjuk eltüntetni. (Ugyanis: lyan esetet nem ismerünk, amikr az átlaglandó értékek négyzetösszegének tárgyi jelentése van.) Ezt a módszert a szórás mutató számításánál alkalmazzuk (lásd később!)
3.3. Idősrk elemzése 9. példa: Egy vállalat raktáraiban A anyag leltár szerinti készletértékei a következők szerint alakultak: Leltári időpnt készletérték 996. 0. 0. 460 ezer Ft 0. 0. 480 ezer Ft 03. 0. 50 ezer Ft 04. 0. 440 ezer Ft Határzzuk meg az 996. I. negyedévi készletet. Milyen módszerrel tehetjük ezt, ha azt akarjuk, hgy az időbeli váltzásk jól kifizetésre jussanak? (Kérjünk hallgatói véleményeket). Számljunk először minden hónapra átlagkészletet: 460 + 480 0. havi átl.: 470 ezer Ft 480 + 50 0. havi átl.: 500 ezer Ft 50 + 440 03. havi átl.: 480 ezer Ft Miután ezek az átlagk nagyjából egyenlő időszakkra vnatkznak, ezért - másdik lépésként - számíthatjuk a negyedéves átlagt ezek átlagából: 470 + 500 + 480 3 483,33 ezer Ft - vnjuk össze a két lépést: 483,33 460 + 480 480 + 50 50 + 440 + + 3 460 + 480 + 50 + 3 440 Ezzel az un. krnlógikus átlaghz jutttunk el! - hgyan számítjuk tehát a krnlógikus átlagt? Összeadjuk az első és az utlsó tag felét a többi taggal, az összeget pedig sztjuk az adatk száma, mínusz eggyel. 3
Képlete: Yk Y + Y +...Yn- + n Yn (Miért van a nevezőben n, és nem n-? Mert Y -val, és nem Y -gyel kezdtünk a számlálóban.) 3.4. A fejlődés intenzitásának vizsgálata Példa: adtt építőipari vállalat éves termelési értékének alakulása: termelési érték időszak ezer Ft-ban váltzás előző évben 993. 640.000-994. 660.000 0.000 995. 70.000 60.000 996. 780.000 60.000 997. 870.000 90.000 Feladat: Határzzuk meg a fejlődés (váltzás) mértékét. 0.000 + 60.000 + 60.000 + 90.000 30.000 ezer Ft. Az eltérések összege egyenlő az első és utlsó tag közötti különbséggel: D 870.000-640.000 30.000 ezer Ft. A váltzás mértéke tehát igen egyszerűen számlható. 4. Szóródás számítás A középértékek egyetlen számba sűrítve jellemzik a vizsgált skaságt. Mi ennek a hátránya? Eltüntetik, kiegyenlítik a különbözőségeket, ugyanis az egyes értékeknek az átlagtól való eltérései nagyn különbözők lehetnek. Hgyan határzhatjuk meg az ismérvértékek átlagtól való eltérését? Az értékek átlag körüli szóródásának megállapításával, az ún. szóródásszámítással. A szóródás: az azns értékek különbözősége, az átlaglt értékeknek az átlagtól való eltérése. 4
Szóródási mutatók - szóródás terjedelme /R/ - átlags eltérés /δ/ - szórás /б/ - relatív szórás /V/ A szóródás terjedelme: a legnagybb és legkisebb érték különbözősége. Képlete: R x max x min 0. példa: Határzzuk meg az. példa adatainak terjedelme mutatóját a létszám adatkra. x 34 ; x 5 max R 34-5 37 - mit világít meg az R mutató? Hgy mekkra értékközben mzgnak - ingadznak - az ismérvértékek. - mi a hiányssága az R mutatónak? Csupán értékre támaszkdik, ezért szeszélyes, nem jellemző érték is éreztetheti hatását esetenként. Átlags (v. abszlut) eltérés: az egyes értékek és azk számtani átlaga közötti eltérések abszlút értékeinek számtani átlagát. Σ /d/ Képlete: δ, ahl d az átlagtól való eltérés értéke n. példa: Hat vállalat kllektív szerződése az esztergálys szakmunkásk személyi órabérét rendre az alábbiak szerint rögzíti: min A vállalat: 50,- Ft B vállalat: 80,- Ft C vállalat: 00,- Ft D vállalat: 30,- Ft E vállalat: 40,- Ft F vállalat: 60,- Ft Feladat: határzzuk meg a δ (delta) mutatót! 5
- először kiszámítjuk a számtani átlagt: δ 50 + 80 + 00 + 30 + 40 + 60 x 6 60 + 30 + 0 + 0 + 30 + 50 6 00 6 33,33 0, Ft Ft - a kiszámíttt adat jelentése: az egyes órabérek átlagsan 33,33 Ft-tal térnek el az órabérek átlagától. Szórás: az átlagtól való eltérések négyzetes átlaga. Képlete: б Σ d n A szórás a szóródás jelenségének egyik mutatója, mérőszáma!. példa: Számítsuk ki az iménti 6 órabér szórását. б 60 + 30 + 0 + 0 + 30 + 50 6 8400 400 37,4 Ft 6 Látható, hgy б > δ. Miért? Mert x q x. A 37,4 értékű szigma mutató jelentése ugyanaz, mint a 33,3 értékű deltáé! A két, azns jelentésű mutató számszerű eredményének eltérése nem kz prblémát, ha mindig ugyanazn mutatókat hasnlítjuk. Kérdés: váltzik-e a dlgzók fizetésének szórása, ha egységesen 50,- Ft-al emelik minden dlgzó órabérét? Nem! Váltzik-e a szórás, ha a fizetéseket 5 %-al emelik? Igen, 5 %-al nő. 6
Relatív szórás: a szórás és a számtani átlag hányadsa. Képlete: V σ x A relatív szórás mutatót különböző nagyságrendű skaságk szóródásának öszszehasnlításánál alkalmazzuk. 3. példa: Feladat: számítsuk ki a. Példában szereplő 6 személyi órabér relatív szórását! V 37,4 0 0,78 A relatív szórás 0,78 értéke azt jelenti, hgy az egyes órabérek átlagsan 7,8 %-al térnek el az átlags órabértől. 5. Összetett visznyszámk Eddig lyan visznyszámkat ismertünk meg, melyek a statisztikai vizsgálat (pl. adatgyűjtés) srán nyert két adatt hasnlítanak egymáshz valamilyen lgika szerint, és az összehasnlítás (sztás) eredményeképp egy újabb statisztikai adathz jutttunk, amely megmutatja a két adat egymáshz képest bekövetkezett váltzását. (Pl. két időszak azns jellegű adatának összevetése, vagy tény- és tervadatk visznyítása, stb.). A gyakrlatban sűrűn előfrduló igény, hgy ne csupán két-két adatt visznyítsunk, hanem több adat együttes-átlags váltzását állapítsuk meg, pl. egyik időszakról a másikra. Ilyen jellegű vizsgálatra a megismert egyszerű visznyszámk nem alkalmasak, hanem az ún. összetett visznyszámkat kell alkalmaznunk. Ezeket az összetett visznyszámkat statisztikai indexeknek nevezzük, és ezeknek is léteznek egyszerűbb fajtái, az ún. alapindexek, melyek eredeti (nem származéks, számíttt) adatkkal számlnak, és összetett fajtái az ún. standardizálásn alapuló indexek, melyek intenzitási visznyszámk, átlagk - együttes - átlags váltzásait számszerűsítik. Statisztikai index: két, vagy több, egymással közvetlenül nem összegezhető adat együttes-átlags váltzását kifejező mutatót. Az index a dinamikus visznyszám sajáts fajtája, sajátssága abban áll, hgy a benne fglalt adatk nem összegezhetők. Miért nem összegezhetők az index-számítás módszerével vizsgált adatk? az elnevezés meglehetősen elterjedt, de nem túl találó 7
Eltérő mennyiségi egységük miatt, pl. egy-egy termelő szervezet több különféle terméket állít elő, melyek természetes mértékegységben történő számbavétele srán a legkülönfélébb mértékegységekkel találkzunk. (Lásd később az indexszámítás módszerének bemutatására szlgáló példát.) Az indexszámítás úgy hidalja át ezt a prblémát, hgy nem az eredeti adatkkal, pl. a termelt mennyiségekkel, hanem mindig az ún. érték adatkkal, pl. az egyes termékekre vnatkzó termelési értékekkel száml. 5.. Alapindexek Az alapindexek a termelési mennyiségek, az árak és a termelési érték között teremtenek kapcslatt. A termelt mennyiségek - q - és az egyes termékek egységárai - p- összeszrzva az értéket - v - adják. Tehát termékenként kiszámljuk a q x p v adatkat, majd ezeket összegezzük. Két különböző időszak n i q i x p i adata már összehasnlítható, elsztható egymással. (A tvábbiakban az egyszerűség kedvéért a futóindexet nem jelöljük!) Az alapindexek: - árindex - vlumenindex - értékindex Árindex: A termelt termékek árai megváltzásának hatását a termelési értékre, vagyis az egyes árváltzásk együttes - átlags hatását. Úgy tekintjük tehát, mintha a vállalat két egymást követő évben valamennyi termékből azns mennyiségeket állíttt vlna elő, csupán az árak váltztak vlna meg. Az árindex számításáhz meg kell határznunk az előző évi - ún. bázisidőszaki - termelési értéket: Σ q x p Ezután kiszámítunk egy következő évi - ún. tárgyidőszaki -, feltételezett termelési értéket, ahl a mennyiségek aznsak a bázisidőszaki adatkkal, az árak visznt megváltztak: Σ q x p 8
Az árindex képlete ( I p ): I p Σ q Σ q x p x p Mi állapítható meg a képletből? Itt a bázisidőszaki mennyiségekkel számltunk a tárgyidőszakban is, de az a feltételezés, hgy a termelt mennyiségek nem váltztak frdítva is elképzelhető, tehát úgy, hgy mindkét időszakban a tárgyidőszaki mennyiségekkel számlunk. Ezek szerint kétféle árindex képlet létezik! - az iménti, amit az első alkalmazójáról Laspeyres, (ejtsd: laszper) frmulának nevezünk, - tvábbá a következő képlet: Σ q x p Ip, Σ q x p amelyet Paasche, (ejtsd: páse) frmulának hívunk. Hangsúlyzzuk a kétféleképp számlt, de azns jellegű index számszerű különbözőségét és némiképp eltérő jelentését! Vlumenindex: Megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a termelés összértéke, ha az érték két tényezője, a mennyiségek és egységárak közül csak a termelt mennyiségek váltztak vlna, és az árak az összehasnlíttt két időszakban aznsak lettek vlna. Választhatjuk váltzatlan árnak a bázisidőszak árait is, és a tárgyidőszaki árukat is, tehát itt is két képlet, frmula létezik. A vlumenindex képlete ( I q ): illetve I I q q L P Σ q Σ q Σ q Σ q x p x p x p x p Értékindex: Együtt vizsgálja a mennyiségek és árak együttes - átlags váltzásának hatását az értékre. Itt tehát mindkét tényező megváltzik. 9
0 Az értékindex képlete ( v I ) v x p q x p q I Σ Σ Itt értelemszerűen csak egyféle képlet létezik! Az egyes termékekre tehát fennáll a i i i p x q v összefüggés. A hárm indexre is fennáll a szrzatszerű összefüggés, de csak ha a két különböző frmulával számlt ár- és vlumenindexet szrzzuk össze.) Azaz:. v q p I I I P L, azaz Σ Σ p q p q Σ Σ p q p q p q p q Σ Σ, illetve. v q p I I I L P, azaz Σ Σ p q p q Σ Σ p q p q p q p q Σ Σ Kialakult hazai gyakrlat, hgy az árindexet tárgyidőszaki mennyiségekkel, tehát Paasche frmulával, a vlumenindexet bázisidőszaki árakkal, tehát Laspeyres frmulával számljuk.
4. példa: Egy vállalat egyik üzeme által előállíttt 5 termék jellemző adatai az alábbiak: termék neve mennyiség egység termelt mennyiség 000. 00. q q egységár 000. 00. p p A db 00 50 50 60 B fm 000 900 5 0 C m 3 50 60 80 00 D q 300 350 70 60 E m 0 30 50 80 Feladatk: a.) Számítsuk ki az összes lehetséges indexet! q p q p q p q p A 0.000.500.000 5.000 B 5.000 3.500 0.000 9.000 C 9.000 0.800 0.000.000 D.000 4.500 8.000.000 E 5.000 7.500 5.600 8.400 Összesen: 60.000 68.800 55.600 65.400 I P Σ q Σ q p p 55.600 0,97 (Laspeyres) 60.000 I P Σ q Σ q p p 65.400 0,95 (Paasche) 68.800 I q Σ q Σ q p p 68.800,47 (Laspeyres) 60.000 I q Σ q Σ q p p 65.400,76 (Paasche) 55.600 I v Σ q Σ q p p 65.400 60.000,090
b.) Győződjünk meg arról, hgy a krábban megállapíttt indexösszefüggés valóban fennáll-e! I v Iq Ip illetve I v Iq Ip,76 0,97,090 P L,47 0,95,090 L P c.) Mit fejez ki pl. a Laspeyres frmulával számlt vlumenindex,47-es adata? A megtermelt 5 termék termelési mennyiségének váltzása termelési érték 4,7 %-s növekedését eredményezte vlna, ha mindenütt az 980-as év árait vennénk figyelembe. 5.. Standardizálásn alapuló indexek Az alapindexek eredeti adatkkal számlnak, aznban gyakran előfrduló eset, hgy lyan adatk együttes-átlags váltzásait kell vizsgálnunk, melyek az ún. származéks adatk, pl. visznyszámk. A prbléma jbb megértéséhez tekintsük ismét a visznyszám általáns képletét! A A visznyszám általáns képlete: V B Kérdés: Hgyan vizsgálható több A/B jellegű adat együttes-átlags váltzása? Σ A I : Σ B Σ Σ A B (Nyilvánvaló, hgy itt is egyfajta indexről van szó, ezért alkalmaztuk az I jelölést.) Ez a képlet még mindig A és B jellegű, tehát eredeti adatkkal száml. Mi a helyzet aznban akkr, ha V jellegű és B jellegű adataink, tehát viszny-számaink és azk előfrdulási gyakriságai állnak rendelkezésre?
A V, ebből A B V, B ezt behelyettesítve: Σ B x V Σ B x I : Σ B Σ B V Ez az ún. főátlag index, más néven váltzó állmányú index, jele: I _ v A főátlag index: kifejezi az egyes visznyszám, vagy átlag jellegű adatk - pl. a vállalat egyes állmánycsprtjainak átlagbérei és az egyes csprtk létszámai - megváltzásának együttes hatását, pl. a vállalati átlagbérre, az ún. főátlagra. Lgikáját tekintve ez az index a krábban megismert értékindexnek felel meg, ti. mindkét tényező együtt váltzik. Megvizsgálhatjuk itt is a két tényező külön-külön történő váltzásának hatását a főátlagra. Ekkr a másik tényezőt mindig váltzatlannak, standardnak tekintjük, ezért nevezzük a módszert standardizálásnak. Vizsgáljuk meg először azt az esetet, mintha csak az egyes visznyszámk, v. átlagk váltztak vlna és súlyuk (előfrdulásuk száma) nem, tehát pl. megváltznának az egyes állmánycsprtk átlagbérei, de az állmánycsprtk létszámai váltzatlank maradnának. Ez az ún. részátlag, v. váltzatlan állmányú index. A részátlag index képlete: I v Σ B x V, : Σ B Σ B x V Σ B Ez esetben is létezhet kétféle képlet, de kialakult gyakrlat, hgy a tárgyidőszak súlyaival, tehát " B "-ekkel számlunk. A részátlag index kifejezi a részátlagk megváltzásának a főátlag váltzására gyakrlt hatását, vagyis megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a főátlag, ha ez a váltzás kizárólag a részátlagk megváltztatásából adódna. 3
A képlet ΣB "-el egyszerűsíthető, így " I v Σ B x V, Σ B x V Ha az egyes részátlagk (" V i "-k) nem váltznának, hanem csupán súlyuk, tehát egymáshz visznyíttt részarányaik (" B i "-k) váltznának meg, akkr az ún. összetétel index, más néven arányeltlódási index mutatja meg ezen váltzás együttes-átlags számszerű hatását a főátlagra. Az összetétel index képlete: I v,, Σ B x Σ B V Σ B x : Σ B V Az index-technika eddig megismert lgikájából egyértelműen következik, hgy miért " V "-val számlunk, és így itt sem használunk két különféle képletet! Az összetétel index kifejezi az ún. főskaság összetételében bekövetkezett váltzásnak a főátlag váltzására gyakrlt hatását, vagyis megmutatja, hgy hgyan váltztt vlna a főátlag, ha a váltzás kizárólag az összetétel megváltzásából adódna. A megismert hárm index között számszerű összefüggés: főátlag index részátlag index összetétel index azaz: I I, I,, v v v I v Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B Σ B V Σ B V Σ B Σ BV Σ B 5. példa: Tekintsük az alábbi, első ránézésre egyszerűen áttekinthető adatkat, melyek egy vállalat átlags havi béralakulását mutatják meg bázis- és tárgyidőszakra munkás-csprtnként és együttesen: 4
Munkás Összes munkabér (.000,- Ft) Létszám (fő) Átlags havi bér (Ft/fő) csprtk bázis tárgy bázis tárgy bázis tárgy A A B B V V Szakmunkás 300 586 300 350 44000 4530 Segédmunkás 4800 4896 50 50 3000 3640 Együtt 8000 0758 450 500 40000 450 Az adatk látszólag semmi furcsaságt sem mutatnak, aznban ha megvizsgáljuk az egyes munkáscsprtk havi átlagbérének és az együttes átlagbérének a váltzását, a következő adatkat kapjuk: a szakmunkásk átlags havi bérének váltzása: V V 4530 44000,03 03,0 %, a segédmunkásk átlags havi bérének váltzása: V V 3640 3000,0 0,0 %, az átlags havi bérek együttes váltzásai: V V 450 40000,038 03,8 %! Hgyan lehetséges az, hgy 3 %-s szakmunkás és %-s segédmunkás havi átlagbér emelkedés mellett a vállalati átlagbér mindkét munkáscsprténál jbban, 3,8 %-al növekedett? A kérdésre a standardizálásn alapuló indexek adnak választ, ui. a látszólags furcsaság nyilvánvaló ka az, hgy nem csak az egyes átlags havi bérek, hanem a munkásk létszáma, tehát a létszám összetétel aránya is megváltztt. 5
Számítsuk ki rendre a megismert indexeket! Főátlag index: I v Σ B V Σ B V : Σ B Σ B 350 4530 + 50 3640 350 + 50 : 300 44000 + 50 3000 300 + 50 03,8 % Részátlag index: Σ B V 350 4530 + 50 3640 I,076 0,8 % v Σ B V 350 44000 + 50 3000 Eszerint a vállalatnál az egyes munkáscsprtk havi átlags bére átlagsan,8 %-al növekedett. Összetétel index: I v Σ B V Σ B V,, : Σ B Σ B 350 44000 + 50 3000 350 + 50 : 300 44000 + 50 3000 300 + 50 0,0 % A létszámarányknak a magasabb havi átlagbérű szakmunkás csprt javára történő eltlódása önmagában,0 %-al növelte a munkásk együttes átlagbérét. A hárm index összefüggése: I I, I v,,, azaz,038,08,0 v v 6
III. Valószínűség, biznytalanság, elszlásk A gazdasági életben vizsgált jelenségek lehetnek: - determinisztikusak (azaz egy meghatárztt módn végbemenők), - sztchasztikusak (azaz több lehetséges kimenettel rendelkezők).. A valószínűség fgalma Néhány alapfgalm: Elemi esemény: egy végrehajttt kísérlet lehetséges eredménye! (Nem maga a kísérlet, hanem az eredmény!!) Eseménytér: ( Ω ) : a lehetséges eredmények halmaza. Műveletek eseményekkel: Legyen A és B két tetszőleges elemi esemény. Mivel A és B egy-egy halmaz, így igazak rájuk a halmazműveletek szabályai! Azaz A + B : azt jelenti, hgy a két esemény közül az egyik bekövetkezik. 6. példa: AB A : mind az A, mind a B esemény bekövetkezik. : azt jelenti, hgy A esemény nem következik be. (Kmplementer képzés). Ezért: A - B A B : azt jelenti, hgy A bekövetkezik, de B nem. A B : azt jelenti, hgy az A bekövetkezése maga után vnja a B bekövetkezését. AB O : azt jelenti, hgy A és B kizárja egymást. 300 kereső embert véletlenszerűen kiválasztunk, s feljegyezzük a következő táblázatt. Éves jövedelem 650 eft alatt 650-900 eft 900 eft felett között férfi 30 50 80 60 nő 50 50 40 40 80 00 0 300 7
Mi lvasható ki ebből a táblázatból? P (férfiak) 60 0, 533 40 P (nők) 0, 467 300 300 gyakriság/összes előfrdulás relatív gyakriság Ha a skaság elég nagy, vagy a próbát elég skszr ismételjük, a relatív gyakriság egy határértékhez tart, aminek a neve valószínűség. (Nagy számk törvénye!!!) Levnható következtetések: P (férfiak) + P (nők) P (férfiak) + P (nem férfiak) másként P (f) - P (nem férfi) Általában: "n" lehetséges kimenetet feltételezve, amiből az egyik biztsan bekövetkezik a P(), P(), P(3),... + P(n) eseményhalmazzal állunk szemben. Ez az ún. teljes eseményrendszer! (csak ezzel fglalkzunk!) A valószínűség a várt eredmény bekövetkezési gyakrisága elég sk próba esetén! Tehát: Várt érték valószínűség próbák száma Ennek alapján a definíciót tetszőleges E esemény valószínűségére kiterjesztve: P (E) E előfrdulásának gyakrisága az összes mért kimenet száma Néhány fnts megállapítás:.) O P (E)!.) P (Bizts esemény) 3.) Egymástól független, egymást kölcsönösen kizáró eseményeknél P () + P () +... + P (n) Pl. kckadbás! P () + P () +... + P (6) Valamelyik biztsan bejön! 8
4.) Egymást kölcsönösen ki nem záró eseményeknél! Egynél több tulajdnság együttes (vagy külön-külön) előfrdulása esetén találkzunk ezzel. Nézzük ezt a következő (7.) példán! 7. példa: Megkérdeztek 00 felnőttet, hgy érdekli-e őket a plitika. A válaszkat az alábbi táblázatba fglaltuk: 0 férfit érdekel 30 férfit nem érdekel 0 nőt érdekel 40 nőt nem érdekel Feladat: Határzzuk meg annak valószínűségét, hgy a 00-as mintából találmra választva lyan személyt kérdezünk meg aki vagy férfi, vagy nem érdekli a plitika! Ez a valószínűség: P (férfi vagy nem érdekli) P (férfi) + P (nem érdekli) - P (férfi és nem érdekli) 50 Mivel: P (férfi) 0, 5 00 70 P (nem érdekli) 0, 7 00 30 P (férfi és nem érdekli) 0, 3 00 így P (f + né) 0,5 + 0,7-0,3 0,9 5.) Függetlenül események: Ha két (vagy több) esemény hat egy jelenségre, de egymástól függetlenül, akkr együttes bekövetkezésük valószínűsége P (A és B) P(A) P(B) P(AB) Például: textilipar leállás! Okk: A: géptörlés! B: anyaghiány! 6.) Feltételes valószínűség 9
8. példa: 5 férfiból és 5 nőből álló csprtból kell egymás után személyt kiválasztanunk! Feladat: Mi a valószínűsége annak, hgy másdszrra nőt választunk, feltéve, hgy először férfit választttunk? Legyen A : férfit választttunk B : nőt választttunk A fenti kérdés frmális megfgalmazása: P (B/A)? Megldás: Ha a két esemény független lenne, akkr a P(AB) együttes bekövetkezési valószínűséget a P(AB) P(A) P(B) összefüggés adná meg. Írjuk mst P (B) helyére a P (B/A)-t, hiszen B esemény függ A eseménytől! Így mst P (AB) P (A) P (B/A), ahnnan P (B/A) P (AB) P (A) Nézzük mst a knkrét példát! Az első választáskr P (B) 0,5. Mivel ezután már csak 9 személy marad, így a másdik választás esetén, ha először A jött ki: 4 P (A) 9 5 és P (B) 9 5 5 P (AB) 0 9 5 90 Így: 5 P (B/A) 90 5 0 5 9! 30
. Valószínűség-fák A valószínűség-fák illusztrálják az eseménysrkat! 9. példa: Legyen két dlg együttes előfrdulását reprezentáló adatsrunk az alábbi.) Kimenetek: A, B vagy C; valószínűségük: 0,3; 0,; 0,5.) Kimenetek: X, Y ; : 0,6 és 0,4 Feladat: Rajzljuk fel a valószínűség-fát! Ha az események kölcsönösen kizáróak, akkr: P (A+B+C) és P (X+Y) A 0,3 B 0, C 0,5 X 0,6 Y 0,4 X 0,6 Y 0,4 X 0,6 Y 0,4 P(AX)0,3x0,60,8 P(AY)0,3x0,40, P(BX)0,x0,60, P(BY)0,x0,40,08 P(CX)0,5x0,60,30 P(CY)0,5x0,40,0,00 Alkalmazhatjuk ezt nyitó példánkra is! (Házi feladat!) 80 00 0 60 ( P (A), P (B), PCC), P (x), PLY) 300 300 300 300 40 300 ) 3
3. Várható érték és döntési fák 0. példa: Pénzérmét dbunk fel 00-szr! Ha fej, nyerünk 00 Ft-t, ha írás, vesztünk 00-at! Az elemi események legyenek: A: nyerünk, B: veszítünk. Mit várhatunk a játéktól!? Átlagsan az várható, hgy 50-szer nyerünk és 50-szer veszítünk, hiszen P(A) P(B) 0,5 Azaz a várható eredmény: 50 00-50 00-5.000 Ft Ez lesz ennek a srzatnak a várható értéke (VÉ) vagy várható pénzértéke (VPÉ). Ha ábrázljuk a játékt: 00 A (Bnylultabb esetekben így keletkezik a döntési fa!) B - 00. példa (órai bemutatással!): Új terméket fejlesztettünk ki. A tervezése.000 eft-ba került. A termék piacra dbásának költsége várhatóan.500 eft lesz, míg az esetleges piackutatás 500 eft-ba fg kerülni. A termék lehet nagyn sikeres, sikeres és sikertelen, aminek az eredménye 0.000, 4.000 és - 6.000 eft lehet. Az egyes variációkhz az alábbi táblázat szlgáltat tvábbi infrmációkat a (kckázatk) esélyek tekintetében! 3
Kimenet Nincs Piackutatás Sikeres piackutatás van Sikertelen piackutatás van Nagy siker 0, 0,6 0, (Közepes) siker 0,5 0, 0,3 Bukás 0,3 0, 0,6 Az előző termékeken szerzett tapasztalatk alapján 40 % esély van a sikeres piackutatásra! Feladat: Oldjuk meg a prblémát döntési fa segítségével! 4. Bayes tétele Amint azt krábban láttuk az egymástól nem független események bekövetkezési valószínűsége erősen függ a megelőző eseményektől. A tétel azt mndja ki, hgy egy skszr ismétlődő döntési flyamatban a már bekövetkezett események visszahatnak az a'priri valószínűségekre! Képletben megfgalmazva: P (A j /X) n P (X/A i j ) P (A P (X/A ) P (A ) Szemléltessük mindezt egy példán keresztül! i j ) i. példa: Egy vállalat alapanyag beszerzéséről az alábbi infrmációk állnak rendelkezésünkre. A szállítók 70 %-a pntsan betartja a szállítási szerződést, míg 30 %-uk nem. A két legfntsabb nyersanyag aránya az első csprtnál 50-50 %, míg a másdiknál 60-40 %. Szemléltesse mindezt egy valószínűségi-fa, melyben A: pnts, B: a hibás szállítást, X és Y pedig a két alapvető nyersanyagt reprezentálja. 33
A X 0,6 P(AX)0,8 0,3 Y 0,4 P(AY)0, B X 0,5 P(BX)0,35 0,7 Y 0,5 P(BY)0,35 Ha mst tudjuk (!), hgy a X következett be (azaz egy beérkező szállítmányban X jelű anyagt kaptunk), akkr ez vagy A vagy B eseményen keresztül történt. Próbáljuk meg megtalálni ezek valószínűségeit! Mivel mst a két lehetséges kmbináció (A és X, B és X) egymást kizáró lesz, ez a két valószínűség együttesen fgja kiadni X bekövetkezési valószínűségét, azaz P(X/A vagy B) P(A és X) + P(B és X) 0,8 + 0,35 0,53. Ha A következett be először, akkr P (X/A) 0,6 és P (A) 0,3, amiből P (AX) P (A) P (X/A) 0,8 vagyis megadható a frdíttt eset is, azaz: P (A/X) X valószínűségea - n keresztül X valószínűségebármely eseményen keresztül P (AX) P (AX) + P (BX) Nagyn fnts a srrend!! 34
P (X/A) P(A) P (A) P (X/A) + P (X/B) P (B) 0,8 0,53 0,3396 Ezt felhasználva: 0.35 P (B/X) 0,6604 0,53 Így megkülönböztethetővé válnak az előzetes (a priri) és az utólags (a' psteriri) valószínűségek. A esetében ezek: Pe 0,3 Pp 0,3396 (a kimenet visszahatásának köszönhetően). 5. Markv lánck (fakultatív rész!) A Markv lánc kmbinálja a valószínűségi elemeket a mátrixs megjelenítéssel. Feltételezi, hgy a valószínűségek hsszabb távn fixek maradnak, míg az a rendszer, amelyet mdelleznek úgy képes átalakulni egyik állaptból a másikba, hgy közben a rögzített értékeket tranziens valószínűségekként használja. Tekintsünk például az alábbi tranziens mátrixt: P E E 0,8 0,3 0, 0,7 E E Ez azt jelenti, hgy ha a rendszer az E -el jelölt állaptban van, akkr annak valószínűsége, hgy E -be megy át 0,. Ugyanúgy: ha a rendszer E állaptban van, akkr az E -be való átmenet valószínűsége 0,3, míg annak esélye, hgy E - ben marad 0,7. Ez a mátrix egy irányíttt gráffal is szemléltethető. Az időről-időre történő átalakuláskat szemlélteti az alábbi ábra: E 0,8 E 0,8 E 0, 0,3 0, 0,3 E 0,7 E 0,7 E Első periódus Másdik periódus 35
Annak a valószínűsége, hgy két perióduss befejeződése után az: E -ből induló rendszer E -ben lesz: P (E E E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0,8 0,8 + 0, 0,3 0, 7 E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0, 0,7 + 0,8 0, 0, 3 E P (E E -ből kiindulva E -ben lesz: P (E E ) + E E ) 0,7 0,3 + 0,3 0,8 0, 45 E P (E ) + E E ) 0,7 0,7 + 0,3 0, 0, 55 Így két periódus után a tranziens mátrix a következő lesz: P' E E E 0,7 0,45 E 0,3 0,55 Ez a mátrix pedig nem más, mint P mátrix négyzete, P. ' 4 Ugyanígy: négy periódus után P P. A rendszerállaptk a gyakrlatban skfélék lehetnek. Pl. - a vállalkzás prfitt termel ( E ) vagy veszteséges ( - a piackutatás sikeres ( E ) vagy sikertelen ( E ) stb. Eddig a valószínűség alapfgalmait tárgyaltuk. (Egy esemény valószínűségét, vagy események egyidejű előfrdulását, vagy egymásutánságát.) Az üzleti életben ezt bővíteni kell. A használats mdellek egy része a valószínűségi váltzókhz és elszláskhz kötődik. E ) 36
6. Valószínűségi váltzók, elszlásk Valószínűségi váltzóknak egy az elemi események Ω halmazán értelmezett függvényt nevezünk. A valószínűségi váltzó létének feltétele, hgy ugyanazt a kísérletet skszr hajtsuk végre! A valószínűségi váltzó a kísérlet (vizsgálat) jellegétől függően felvehet - diszkrét (egész szám, pl. kckadbás eredménye) és - flytns értékeket (csak a mérés pntssága szab határt, pl. tömegmérés, hsszmérés, stb.) A skszr ismételt kísérlet eredményei valamilyen elszlási képet mutatnak, s kijelölnek valamilyen halmazt. Jelöljük ezt a halmazt E-vel. Tekintsük ezután annak valószínűségét, hgy kísérletünk eredménye, azaz a valószínűségi váltzó e halmazba esik. P(v E). Ezen valószínűségek megadása aznban nehézkes, ezért célszerű egy lyan egyszerűbb, új fgalmat bevezetni, amelyből ezek a keresett valószínűségek mind származtathatók. Legyen x a számegyenes egy rögzített pntja és tekintsük az F (x) P (v x) valószínűségét. Ha mst x-et - -től + -ig futtatjuk (azaz elképzelünk bármilyen lehetséges eredményt!), akkr egy függvényt kapunk. Ezt az F (x) függvényt fgjuk a v valószínűségi váltzó elszlásfüggvényének nevezni: Az elszlásfüggvény tulajdnságai: a.) F (x) F (x ), ha x x b.) lim F (x) 0 és lim F (x) x - x c.) F (x) minden x pntban balról flytns. lim F (x n ) F(x) ha x x és lim x n x n - n Lássuk mst, hgy hgyan származtathatók a P (v E) valószínűségek ebből a függvényből. Mivel P(v < a) + P(a v < b) P(v < b), ha a < b 37
F(x) definíciójából következik, hgy P(a v < b) F(b) - F(a) Ezt ábrán bemutatva: F(b) F(x) P(a v < b) P(b) - P(a) F(a) a b x 7. Az elszlásk sztályzása. Diszkrét eset, ha v lehetséges értékei egy véges vagy végtelen x 3, x, x... x... srzatt alktnak. Ekkr az F (x) elszlás függvény helyett szívesebben használjuk az egyedi valószínűségeket, azaz p P(v x ), ahl k k k,, 3... ugyanis, ha v x k és x k E -nek, akkr bármely x k értékét veszi is fel v, az benne lesz az E halmazban, s így teljesül a P(v E) Σ P(v xk) egyenlőség! k. Flytns esetről van szó akkr, ha van lyan f (x) 0 függvény, hgy a számegyenes minden (a,b) intervalluma esetén F (b) - F(a) P (a v b) a Az f (x) függvényt a v valószínűségi váltzó sűrűségfüggvényének nevezzük. b f (x) dx 38
3. Kevert eset: ez ritkán frdul elő, tehát nem tárgyalják. 8. A valószínűségi váltzók jellemzői. A várható érték Az a szám, amelyhez a kísérletek egymás után végtelen skszr való végrehajtása srán nyert számértékek számtani átlaga knvergál. Jelölése: M (v) Diszkrét esetben: M (v) Flytns esetben: M (v) μ x i p i i x f (x) dx. Szórás A v - M (v) valószínűségi váltzó négyzetének várható értékéből vnt pzitív négyzetgyök. Jele: D (v) σ Definíció szerint tehát: D (v) M [(v - M(v)) ] 9. Fntsabb elszlásk 9.. Egyenletes elszlás Ilyen elszlást mutat a teljesen véletlenszerűen választtt természetes egész számk halmaza. Itt minden elemnek egyfrma az előfrdulási gyakrisága. Ha pl. 0-0 között választunk véletlenszerűen, akkr minden egyes számnak /0 esélye lesz a kiválasztásra. Itt nem állapítható meg egy pregnáns várható érték, hiszen minden elem egyfrmán valószínűen frdulhat elő. 9.. A binmiális elszlás Diszkrét elszlás. A váltzónak két alternatív ismérve létezik. Jelöljük az egyik lehetséges eredményt S-sel (pl. selejtes termék) és legyen ennek a valószínűsége: P (S) p. Ekkr az alternatív esemény valószínűsége (pl. jó termék): P (J) - p q. 39
Ha egy kísérlet eredménye, x valószínűségi váltzó binmiális elszlást követ, akkr annak valószínűsége, hgy 'n' kísérlet esetén (pl. az n elemű mintában) az x valószínűségi váltzó pntsan k értékét vegye fel (k 0,,..., n; pl. az n elemű mintában k selejtes legyen): P (x k) Elszlásfüggvénye: F (k) n! k n-k pk p q, ahl k 0,,...n (n - k)!k! k P (x k) i A binmiális elszlás jellemzői: n! (n - i)! i p q i! n-i Várható értéke: μ n p Szórása: σ n p q A binmiális elszlás jól közelíthető Pissn-elszlással (p 0, alatt, vagy p 0,9 felett, illetve, ha n >> k és n p állandó), vagy nrmális elszlással (ha p közel esik 0,5-höz, vagy n eléggé nagy, illetve np 5), amelyek számítástechnikailag skkal könnyebben kezelhetők. 3. példa Egy flyamats munkarendben dlgzó üzem alkatrészellátása egy adtt napn 80 %-s valószínűséggel zavartalan. Egy hetet vizsgálva mi annak a valószínűsége, hgy a) pntsan négy napn lesz zavartalan a termelés? b) Legalább öt napn lesz zavartalan a termelés? Megldás: A prbléma megldására a binmiális elszlást használjuk. Ennek megfelelően: q 0,8 és p 0, (a zavar valószínűsége), n 7 a) k 7-4 3, aminek felhasználásával 7! 3 4 p3 0, 0,8 0,753 4!3! 40
b) A legalább öt nap zavartalan termelés egyenértékű a legfeljebb két nap prblémás időszakkal, így k 0,,, amit felhasználva: 9.3. A Pissn-elszlás P(x ) p 0 + p + p 0,097 + 0,3670 + 0,753 0,850 Diszkrét elszlás. Ha egy x valószínűségi váltzó Pissn-elszlást követ, akkr annak valószínűsége, hgy x értéke pntsan k legyen (k 0,,,..., n): λ -λ P (x k) pk e, k 0,,, k! k..., n ahl λ : az elszlás paramétere, egy pzitív állandó, ami nem más, mint maga μ. A Pissn-elszlás elszlásfüggvénye: k- i λ -λ A Pissn-elszlás jellemzői: F(k) P(x k) i i! e Várható értéke: μ n p λ Szórása: σ λ A Pissn-elszlás λ > 5 esetén jól közelíthető a vele egyenlő várhatóértékű és szórású nrmális elszlással. 4. példa Egy frgalmas pstahivatalban egy év alatt 090 címzés nélküli levelet adtak fel. Mi annak a valószínűsége, hgy egy nap kettőnél több címzés nélküli levelet adnak fel? Megldás: A prbléma Pissn-elszlást mutat. Így: λ 090/365 3 címzetlen levél/nap, aminek felhasználásával: P ( x > ) ( p0 + p + p ) (0,0498 + 0,494 + 0,40) 0,5768 4
9.4. A nrmális elszlás A gyakrlat számára legfntsabb elszlástípus. Flytns elszlás! Az elszlás függvénye: σ Π F(x) σ Π x e Egy x valószínűségi váltzó nrmális elszlást követ, ha sűrűségfüggvénye: (x-μ) - σ f(x) e (x- μ) σ dx ahl μ az elszlás várható értéke, σ az elszlás szórása. A gyakrlati számításk egyszerűsítésére az ún. standard nrmális elszlással dlgzunk. Ennek paraméterei: μ 0 és σ, így sűrűségfüggvénye: φ (z) elszlásfüggvénye: Π e z - Φ (z) Π z e z - dz x - μ Látható, hgy a standardizálást a z való segítségével végeztük. σ A nrmális elszlás igen nagy gyakrlati jelentőségű. Az elméleti és gyakrlati munka srán igen skszr találkzunk nrmális vagy jó közelítéssel nrmális elszlással, amit a már említett közpnti határelszlás tétele indkl. Skszr használható a binmiális és Pissn-elszlásk közelítésére. 5. példa Autmata palacktöltő exprt knyakt tölt. A megrendelő kikötése szerint az 50 ml űrtartalm alatti palackk aránya legfeljebb 3 % lehet. 4
Egy N 0.000 db-s tétel paramétereit minta alapján meghatárzták: _ x 53,4 ml. A töltőgép σ 6 ml szórással tölti a kérdéses knyakfajtát. Egy palack knyak ára 800,- Ft Határzzuk meg: - az ptimális töltési szintet, - a jelenlegi tétel esetén az esetleges túltöltés frint értékét! Megldás: Tudjuk, hgy a töltési űrtartalm valószínűségi váltzóként fgható fel, és elszlása nrmális elszlás. A nrmális elszlású valószínűségi váltzóra érvényes, hgy P(v < x) Φ( z ), ahl x - μ z σ Az az infrmáció, hgy az 50 ml űrtartalm alatti palackk aránya legfeljebb 3 % lehet, azt jelenti, hgy adtt szórás mellett az 50 ml űrtartalm alatti palackk valószínűsége 0,03! Az 50-es érték pedig az adtt x érték! Írjuk ezt fel képlettel: P ( v < 50 ) 0,03 vagyis Φ(z) 0,03 Ebből kiszámítható az ptimális töltési érték, mert a x - μ z - ból kapjuk : μ x z σ σ Ha μ > x, akkr értéke negatív, így a Φ ( - z ) - Φ ( + z) egyenletet alkalmazva táblázatból (.sz. táblázat) kaphatjuk meg z értékét. Példánkban Φ(- z ) - 0,03 0,97, amihez a táblázatból kilvasva és helyes előjellel értelmezve a z -,88 tartzik. Ezt az értéket helyettesítsük a μ x - z б egyenletbe; így megkapjuk az ptimális töltési szintet, vagyis μ 50 +,88 6 5,3 ml. A jelenlegi tétel átlaga x 53,4 ml, a túltöltés tehát 53,4 5,3, ml palacknként. 43
Ez 0.000 palack esetén 0.000,.000 ml. Ez a mennyiség ptimális töltés esetén.000 : 5,3 45 db palacknak felel meg. A veszteség tehát á. 800,- Ft-tal számlva: A váltzók kmbinálása 45 800 340.000,- Ft Ha x és y két független, nrmális elszlású véletlen váltzó μ és μ értékkel és σ és σ varianciával, akkr várható X + Y - ra : és μ μ + μ és σ σ + σ X Y - ra : μ μ μ és σ σ + σ 9.5. A közpnti határelszlás tétele Ha egy statisztikai skaságból k-szr veszünk n elemű mintát, akkr a mintaátlagból képzett statisztikai skaság nrmális elszlást követ, és n növelésével határértékként közelíti az alapskaság μ várható értékét!! Minél nagybb a minta elemszáma, annál kisebb lesz a szórás. Ez azt jelenti, hgy a mintaátlagk a következő elsztást mutatják: σ x N( μ, ) n ahl n a minta elemszáma. ( σ a standard hiba!) n 50 elemû minta 0 elemû minta alapskaság μ 44
0. Knfidencia intervallumk A statisztikai vizsgálatk kényes pntja a mintavétel. Vizsgálatainkban fel fgjuk tételezni, hgy mintáink egyszerű véletlen mintavétellel keletkeztek. A mintavételezés mindig infrmációvesztéssel jár, azaz a mintából levnt következtetések biznytalansága nagybb, mintha ugyanazt a teljes alapskaságból vnnánk le. Ezért egy új fgalmat kell bevezetnünk, a statisztikai következtetés fgalmát. Hárm bázisfaktr fg hatni eredményeinkre. Ezek:. A minta nagysága. A váltzéknyság a releváns ppulációban 3. Az eredményben elérni kívánt megbízhatósági szint A minta elemszámainak növelésével csökken a biznytalanság, de nem egyenes arányban! Milyen biztnság az elfgadható? (90, 95, 99 %?) 0.. Következtetések az alapskaság átlagára, knfidencia intervallumk Jelölésünkben a következő elveket fgjuk követni: Alapskaság Minta átlag μ x variancia σ s elemszám N n Mivel az alapskaságból vett minták átlaga nem egyezik meg μ-vel, úgy ezeket valószínűségi váltzóként fgjuk fel, s a belőlük képzett skaság átlagával közelítjük μ-t. Ez aznban nem pnts; a közelítésnek van biznys hibája. Ez azt jelenti, hgy a μ egy lyan intervallumba esik, amelynek nagysága x ± mintavétel hibája. Ezzel gyakrlatilag egy intervallum becslést készítettünk n-re! Ha mintánk elég nagy ( n 30), akkr a mintaátlagk elszlása nrmális elsztást követ μ átlaggal és szórással. σ n 45
A nrmális elszlás táblázatából megállapítható, hgy a váltzók 95 %-a az átlag körüli ±,96σ intervallumba esik! Alkalmazva ezt esetünkre a következő frmulát kapjuk σ σ P ( x -,96 μ x +,96 ) 0, 95 n n Amint az látható, a minta elemszámának növelése szűkíti a becslési intervallumt! Újrarendezve fenti képletünket megkapjuk az alapskaság átlagára (μ) vnatkzó 95 %-s knfidencia intervallumt. μ x ±,96 σ n 6. példa: Egy bankfiókban találmra kiválasztttak 00 számlát és azt találták, hgy azk átlagban 5.300 frintról szóltak. Ha tudjuk, hgy a befizetések szórása 7.000 Ft, határzzuk meg az átlag 95 %-s knfidencia intervallumát. Megldás: n 00 x 5.300 Ft σ 7.000 Ft Ebből: 7000 μ 5.300 m,96 5.300 ± 0 vagy másként 3.98 < μ < 6.67.37 Mindössze 5 % a valószínűsége annak, hgy napi befizetési átlag ezen határkn kívül lesz! Ha σ nem ismert, közelítsük azt a minta szórásával (s)!!. Knfidencia intervallum (nagyszámú statisztikai adat feldlgzása révén) Az adatgyűjtés srán adataink rendezetlen frmában kerülnek birtkunkba. Az adatk nagyság szerinti srba rendezésével sem tudunk aznban lényegesen javítani a halmaz áttekinthetőségén. Az áttekinthetőséget az adatk sztályzásával tehetjük megfelelőbbé. Az adathalmaz valamennyi értékét magába fglaló teljes értékköz felsztását azns 46
nagyságú rész-értékközökre, és az adatknak ezen belüli csprtsítását sztályba srlásnak nevezzük. A rész értékközt sztályköznek nevezzük. Az sztályköz középső értékét (rendszerint számtani átlagát) sztályközépnek nevezzük. Az sztályközt határló két érték az alsó, illetve felső sztályhatár. Osztályba srlás esetén az sztályközön belüli közönség értékű adatkat egyetlen érték, az sztályközép jellemzi. Az sztályközök számának és az sztályhatárk megfelelő megállapításával adataink egyértelműen sztályba srlhatók és ezután megszámlálhatjuk, hgy egyegy sztályközbe hány adat esik. Gyakriságnak ( f i ) nevezzük az sztályközben lévő adatk számát. Az egyes sztályközökbe eső adatk gyakriságainak megállapításával tulajdnképpen azt is megkapjuk, hgy az egyes sztályközök között adathalmazunk hgyan szlik meg, vagyis ismerjük adathalmazunk gyakrisági elszlását. Lehetséges, hgy az egyes sztályközök gyakriságának aránya érdekel bennünket. Ekkr a relatív gyakriságkat ( g i ) kell megállapítanunk. A gyakriságt az adathalmaz elemszámával (n) sztva kapjuk a relatív gyakriságt. Gyakran kíváncsiak vagyunk arra, hgy egy adtt értéknél kisebb érték milyen gyakrisággal frdul elő. A kumulált gyakriságk előállításával kapunk erre választ. A kumulálást úgy végezzük, hgy az eredeti gyakriságkat rendre halmzva összeadjuk. Megemlítjük, hgy kevés adatt nem érdemes sztályba srlni. Általában 5-0 adatnál kevesebbet nem srlunk sztályba. Célszerűen 0-5 sztályközt érdemes kialakítani. A statisztikai jellemzőket flytns elszlás esetén az alábbi módn számítjuk: A számtani átlag ( x ): ahl x A + f i n x, i h (vagy x Σ fixi ) n A a legnagybb gyakriságú sztály sztályközepe,, xi A xi, h x az egyes sztályk sztályközepe, i 47